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Tópicos de Aula Este material descreve de modo sintetizado os tópicos a serem estudados nesta fase da disciplina São enfocados aqui alguns pontos o que não exclui a utilização de bibliografias CÁLCULO NUMÉRICO Fonte da imagem httpswwwanaiusianiulpgcesmetodosnumericospracticashtm Prof Gerson Ulbricht Dr em Métodos Numéricos em Engenharia Versão março de 2022 2 SUMÁRIO PARTE 1 4 CAPÍTULO 1 ERROS 4 11 Matemática Numérica 4 12 Conversão de bases 4 121 Transformação de outras bases para a base 10 4 122 Transformação de base 10 para base 2 5 13 Representação de Números em Máquinas Digitais 6 14 Sistema de Ponto Flutuante SPF 6 15 Erros 8 151 Erros na fase de modelagem 8 152 Erros de arredondamento 8 153 Erros de truncamento 8 154 Erro absoluto e relativo 9 155 Erros em operações aritméticas em ponto flutuante 9 156 Erros por mal condicionamento 9 157 Propagação de Erros 10 CAPÍTULO 2 SOLUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES 12 21 Método da Bisseção 14 22 Método de Cordas OPCIONAL NESTA DISCIPLINA 17 23 Método de Newton para Equações 18 CAPÍTULO 3 SOLUÇÃO NUMÉRICA DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES 22 31 DEFINIÇÕES 22 32 MÉTODOS DIRETOS 23 321 Método de Gauss eliminação 23 322 Método de GaussJordan eliminação 24 323 Método de Gauss com Pivotação Parcial 26 324 Método de Gauss com Pivotação Completa 27 325 Comparação entre estratégias de pivotação 29 326 Fatoração LU 29 327 Resolução de sistemas lineares por fatoração LU 31 33 MÉTODOS ITERATIVOS 34 331 Método Iterativo de Jacobi 34 332 Método Iterativo de GaussSeidel 40 PARTE 2 45 CAPÍTULO 4 SISTEMAS NÃO LINEARES 45 41 DEFINIÇÃO GERAL 45 42 EXEMPLOS GRÁFICOS DE SISTEMAS NÃO LINEARES 45 43 MÉTODO DE NEWTONRAPHSON PARA SISTEMAS NÃO LINEARES 46 3 CAPÍTULO 5 APROXIMAÇÃO DE FUNÇÕES 54 51 INTERPOLAÇÃO 54 511 Interpolação por Meio de Resolução de Sistemas Lineares 54 512 Interpolação por Polinômio de Lagrange 56 52 MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS 58 521 Método dos Mínimos Quadrados Caso Linear polinômio de grau 1 59 522 Método dos Mínimos Quadrados Caso Polinomial grau 2 63 CAPÍTULO 6 INTEGRAÇÃO E DIFERENCIAÇÃO NUMÉRICA 68 61 FÓRMULAS DE NEWTONCOTES 68 611 Regra dos Trapézios 68 612 Regra dos Trapézios Repetida 69 613 Regra 13 de Simpson 69 614 Fórmula de NewtonCotes para n 3 70 615 Fórmula de NewtonCotes para n 4 70 62 DIFERENCIAÇÃO NUMÉRICA 75 621 Fórmula de 3 pontos 75 PARTE 3 76 CAPÍTULO 7 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 76 71 EXEMPLO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 76 72 PROBLEMA DE VALOR INICIAL PVI 76 73 MÉTODO DE EULER 77 74 MÉTODOS DE RUNGE KUTTA 80 741 Método de Runge Kutta de Ordem 1 80 742 Método de Runge Kutta de Ordem 2 80 743 Método de Runge Kutta de Ordem 3 83 744 Método de Runge Kutta de Ordem 4 84 CAPÍTULO 8 SISTEMAS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 85 81 MÉTODO DE EULER PARA SISTEMAS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 85 82 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE ORDEM SUPERIOR 87 BIBLIOGRAFIA 90 4 PARTE 1 CAPÍTULO 1 ERROS Esse capítulo tem como objetivo mostrar a ideia de funcionamento de uma máquina eletrônica de cálculo 11 Matemática Numérica Se trata da resolução de problemas utilizando métodos numéricos possíveis de serem implementados computacionalmente levando em conta aspectos de confiabilidade esforço computacional e erros de arredondamento de iteração e de truncamento Como a maior parte dos problemas não tem solução direta e precisa recorrese a métodos numéricos iterativos onde é necessário que se escolha um critério de parada 12 Conversão de bases 121 Transformação de outras bases para a base 10 Transformar para a base 10 Exemplo Transformar 10112 para base 10 10112 1x2³ 0x2² 1x2¹ 1x20 8 0 2 1 1110 11 a Transformar 1012 para base 10 b Transformar 11012 para base 10 c Transformar 101111 2 para base 10 5 Outros tipos de bases O processo é semelhante mudando somente a base da potência Transformar 12013 para base 10 Transformar 7468 para base 10 Transformar 2BE316 para base 10 122 Transformação de base 10 para base 2 Para transformar da base 10 para outras bases base 2 base 8 base 16 dividese sucessivamente pela base desejada aproveitandose o último quociente e os restos das divisões sucessivas na ordem inversa Exemplo Transformar 2510 para base 2 25 2 1 12 2 0 6 2 0 3 2 1 1 Assim 2510 110012 Parte fracionária Para transformar a parte fracionária de um número na base 10 para a base 2 utilizase o método das multiplicações sucessivas 1º Multiplicar a parte fracionária por 2 2º Deste resultado a parte inteira será o 1º dígito na base 2 e a parte fracionária é novamente multiplicada por 2 O processo é repetido até que a parte fracionária do último produto seja igual a zero Exemplo Transformar 07510 para base 2 075 x 2 15 o nº 1 antes da vírgula será o 1º dígito decimal na base 2 05 x 2 10 o nº 1 antes da vírgula será o 2º dígito decimal na base 2 o 0 após a vírgula é o critério de parada Assim 07510 0112 a Transformar 0187510 para base 2 b Transformar 0610 para base 2 c Transformar 402510 para base 2 6 Lista de exercícios 1 Transformar para a base 10 a 1011012 Resposta 4510 b 110112 Resposta 2710 c 110012 Resposta 62510 d 1111112 Resposta e 1011012 Resposta 2 Transformar os números de 1 a 20 da base 10 para a base 2 3 Transformar para a base 2 a 1510 Resposta 11112 b 012510 Resposta 00012 c 0910 Resposta 011100112 d 0610 Resposta 010011002 e 12510 Resposta 110012 e 0110 Resposta 00001100110011001100112 13 Representação de Números em Máquinas Digitais Um computador ou calculadora representa um número real no sistema denominado Sistema de Ponto Flutuante SPF 14 Sistema de Ponto Flutuante SPF Sistema de Ponto Flutuante Fb m e1 e2 b base b ϵ N b 2 e1 menor expoente e2 maior expoente m precisão da máquina no fixo de dígitos da mantissa Representação de um número real x em ponto flutuante Fbme1e2 flx 0d1d2dtb di dígito di ϵ01 b1 d1 0 Overflow 0000b M M m m Underflow Overflow 7 Exemplo 1 F10355 Maior número positivo representado pela máquina M 0999 105 99900 Menor número positivo representado pela máquina m 0100 105 0000001 Observar que a representação não tem distribuição uniforme ver por exemplo outros valores Exemplo 2 F2433 Maior número positivo M 01111 23 1 21 1 22 1 23 1 24 23152 Menor número positivo m 01000 23 12102202302423116 Exemplo 3 Considere uma máquina hipotética que trabalha no SPF F10 3 5 5 Nesse sistema os números são representados da seguinte forma flx 0d1d2d3 x 10e Nesse caso Menor número m 0100 x 105 0000001 em módulo Maior número M 0999 x 105 99900 Obs Matlab Padrão IEEE utiliza 8 bytes para representar um número Sinal 1 bit Expoente 11 bits Mantissa 52 bits Para ver a precisão do Matlab consultar CHAPRA Steven C Métodos numéricos aplicados com MATLAB para engenheiros e cientistas Tradução de Rafael Silva Alípio 3 ed Porto Alegre AMGH 2013 Ver página 100101 Exercício 1 Seja o sistema de ponto flutuante F2 3 2 2 determine todos os valores de F e represente os em um eixo com auxílio de software O que você observou 8 15 Erros Mesmo quando se utiliza para resolução de um modelo matemático um método exato pelo fato de este envolver um número muito grande de operações adição subtração multiplicação e divisão e sendo essas processadas em equipamentos com capacidade limitada para armazenar dados pode haver a ocorrência de erros 151 Erros na fase de modelagem Ocorrem na interpretação do problema bem como na construção dos algoritmos de resolução 152 Erros de arredondamento Quando se utiliza equipamento computacional e se o número obtido em um cálculo não é representável exatamente no SPF o mesmo será representado de forma aproximada Um número na base b é arredondado na posição n se todos os dígitos de ordem maior que n forem descartados O dígito de ordem n é acrescido de uma unidade se o de ordem n1 for maior ou igual à metade da base Exemplo Considere o SPF F10 4 5 5 a Se a 05324 x 10³ e b 04212 x 10² então a x b 022424688 x 101 que é arredondado e armazenado como a x b 02242 x 101 b Se a 05324 x 10³ e b 01237 x 10² então a b 054477 x 10³ que é arredondado e armazenado como a b 05448 x 101 153 Erros de truncamento É obtido por corte onde para obter um número com n dígitos simplesmente truncase a posição n Exemplo Considere o SPF F10 4 5 5 Se a 05324 x 10³ e b 04212 x 10² então a x b 022424688 x 101 que é armazenado como a x b 02242 x 101 Se a 05324 x 10³ e b 01237 x 10² então a b 054477 x 10³ que é arredondado e armazenado como a b 05447 x 101 9 154 Erro absoluto e relativo Erro absoluto Eabs Xex Xaprox Como na maioria das vezes o valor exato não é disponível trabalhase com um limite superior para o erro Xex Xaprox ε Ou seja ε Xex Xaprox ε Ou ainda Xaprox ε Xex Xaprox ε Erro relativo Erel ex aprox ex X X X Como na maioria das vezes o valor exato não é disponível trabalhase com um limite superior para o erro relativo 155 Erros em operações aritméticas em ponto flutuante Soma de quantidades com magnitudes muito diferentes 156 Erros por mal condicionamento A maioria dos processos numéricos segue uma linha geral 1 Dados são fornecidos 2 Os dados são processados de acordo com um plano préestabelecido algoritmo 3 Resultados são produzidos Existem problemas bem postos e mal postos Exemplo 1 Resolver o sistema linear 2 01 01 1 2 y x y x Resolvendo pelo método da substituição obtêmse x 1 e y 1 Se o número 201 da segunda equação é mudado para 202 obtêmse x 0 e y 2 Verifique essa situação resolvendo os sistemas 10 Exemplo 2 Solução da equação do 2o grau 0 c bx ax 2 a 2 4ac b b x 2 1 2 Supondo b2 4ac o cálculo de x2 envolverá a diferença de dois números próximos o que provoca perda significativa de dígitos A resposta sofrerá influência dessa perda Uma alternativa pode ser calcular x1 como proposto acima e usar a propriedade de raízes de equações do 2º grau x1x2ca Exemplo seja a equação x² 10022x 12371 0 Usando por exemplo uma aritmética de ponto flutuante com 5 dígitos b² 10044 10039 4 ² b ac 10019 4 ² b ac Calculando as raízes pelas fórmulas apresentadas no primeiro procedimento têmse x1 10022 100192 10020 x2 10022 100192 0015 Por outro lado usando o valor de x1 e o segundo procedimento têmse 1 2 ax c x 1237110020 0012346 Numa calculadora com 16 dígitos usando a segunda alternativa têmse x1 10020 x2 0012345364 Para quantificar a diferença entre os dois procedimentos observase que o erro relativo da aproximação x2 usando o primeiro processo é de 215 ao passo que com o segundo procedimento teríamos uma aproximação com erro relativo de 00052 157 Propagação de Erros Erro cometido em uma operação isolada pode não ser muito significativo para a solução do problema tratado Portanto devese analisar como esses erros se propagam Erro ilimitado se acumulam a uma taxa crescente e a sequência de operações é considerada instável Erro limitado se acumulam a uma taxa decrescente e a sequência de operações é considerada estável 11 Exercícios 1 Sabese que π 314 valor aproximado Considerando π 31415926 qual será o erro a Absoluto b Relativo 2 Resolvido Num sistema F10 4 8 8 qual é o erro cometido por a Arredondamento b 10 e n 4 4 3 1 4 1 5 10 210 1 210 1 2 1 b n µ Portanto o erro por arredondamento será Earred µ então Earred 00005 b Truncamento 0 001 1 10 10 3 1 4 1 b n µ Portanto o erro por truncamento será Etrunc µ então Earred 0001 Pelo exemplo anterior podese observar que em geral o erro de arredondamento é menor que o de truncamento 3 Num sistema F2 10 15 15 qual é o erro cometido por a Arredondamento b Truncamento Interprete o algoritmo BIBLIOGRAFIA RUGGIERO Márcia A Gomes LOPES Vera Lúcia da Rocha Cálculo numérico aspectos teóricos e computacionais 2 ed São Paulo Pearson Makron Books 1996 406 p ISBN 9788534602044 CAPÍTULO 2 SOLUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES São métodos numéricos para resolução de equações na forma fx 0 onde fx é função de uma variável real Métodos iterativos Partese de um valor inicial x₀ x₀solução inicial convergência xsolução final Teorema de Bolzano Dada fx contínua em a b então se fafb 0 há pelo menos uma raiz real no intervalo ab Observação Sob as hipóteses do teorema de Bolzano se fx existir e preservar o sinal em a b então esse intervalo contém um único zero de fx GRAFICAMENTE fx 0 x a b fx 0 x a b 13 Exemplo a Exemplo b Observações A análise gráfica da função fx ou da equação fx 0 é fundamental para se obter boas aproximações para a raiz Para tanto é suficiente utilizar um dos seguintes processos i esboçar o gráfico da função fx e localizar as abscissas dos pontos onde a curva intercepta o eixo x ii a partir da equação fx 0 obter a equação equivalente gx hx esboçar os gráficos das funções gx e hx no mesmo eixo cartesiano e localizar os pontos x onde as duas curvas se interceptam pois neste caso fξ 0 gξ iii usar os programas que traçam gráficos de funções disponíveis em algumas calculadoras ou softwares matemáticos 21 Método da Bisseção Consiste num método em que o intervalo a b que contém uma raiz é dividido em 2 subintervalos de amplitudes iguais Cada um desses subintervalos é testado quanto a conter ou não a raiz Prosseguese dessa maneira de modo sucessivo até que um critério de parada seja satisfeito onde de modo geral é utilizada a precisão da raiz dada pela diferença entre o valor encontrado na iteração anterior e na iteração atual Pode ainda ser utilizado como critério de parada o número máximo de iterações ou ambos os critérios o que for satisfeito antes Procedimento 1 Defina fx uma função no intervalo a b e fafb 0 2 Determinase xₙ a b2 3 Determinase a x₀ e x₀ b 4 Testase fx₀ 0 caso positivo x x₀ 5 Se fafx₀ 0 x a x₀ senão fx₀fb 0 x x₀ b 6 Erro xₙ₁ xₙ E caso positivo x a b2 no passo n 15 Exemplo Calcular a raiz positiva da equação fx x² 3 com E 001 SOLUÇÃO 1º Fazer um gráfico da função para se ter uma ideia de seu comportamento e da localização das raízes onde corta o eixo x 2º Proceder com as iterações iniciando em n 0 ITERAÇÃO 1 n 0 ITERAÇÃO 2 n 1 ITERAÇÃO 3 n 2 ITERAÇÃO 4 n 3 ITERAÇÃO 5 n 4 m4 x₄ 16875 2375 2 f16875 001458 16875 2375 f16875 0 F ITERAÇÃO 6 n 5 m5 x₅ 171875 1725 2 17343 f17343 0008 x₅ x₄ 001 F ITERAÇÃO 7 n 6 veja que nesta iteração finalmente o critério de parada será satisfeito m6 x₆ 17343 27343 2 173625 f173625 0019 17365 173625 001 V 3 Apresentar a solução encontrada e o erro Raiz encontrada x 17265 com erro E 0007 ou seja E 001 EXERCÍCIOS Obs Para não ser tão cansativo você pode utilizar erro E 01 para os 3 exercícios a seguir 1 Calcular a raiz da função fx x² lnx com E 001 e 05 1 2 Calcular a raiz da função fx x³ 3x 1 com E 001 e 0 05 3 Calcular a raiz da função fx 2x² senx 10 com E 0001 EXERCÍCIOS COMPUTACIONAIS 1 Desenvolver uma planilha de cálculo para o método da bisseção Resolver os 3 exercícios anteriores 2 Desenvolver um algoritmo execução do método da Bisseção Resolver os 3 exercícios anteriores 22 Método de Cordas OPCIONAL NESTA DISCIPLINA Seja fx uma função contínua que tenha derivada segunda com sinal constante no intervalo a b sendo que fafb 0 e que existe somente um número x a b tal que fx 0 Função iterativa xn1 xn fxnxn c fxn fc Onde n 0123 c é o extremo do intervalo a b onde a função fx apresenta o mesmo sinal de fx ou seja fcfc 0 Critério de parada xn1 xn E Exercícios 1 Calcular a raiz da função fx ex senx 2 com E 0001 2 Calcular uma raiz da função fx 2x² senx 10 com E 0001 no intervalo 15 3 3 Calcular uma raiz do polinômio fx x³ 4x² x 6 com E 103 no intervalo 14 22 4 Desenvolver uma planilha de cálculo para o método de cordas 5 Desenvolver e implementar um algoritmo para cálculo por este método 23 Método de Newton para Equações Seja fx uma função contínua no intervalo a b e suas derivadas primeira e segunda também contínuas nesse intervalo e x seu único zero nesse intervalo Função iterativa xn1 xn fxn fxn com n 0123 onde xn1 é uma aproximação de x Escolha de x0 A condição suficiente para a convergência do método é que f e f sejam não nulas e preservem o sinal em a b e x0 seja o extremo do intervalo a b tal que fx0fx0 0 RESUMINDO Considerando o intervalo a b que contém uma raiz se fafa 0 ou seja fa e fa possuem o mesmo sinal então x0 a se fbfb 0 ou seja fb e fb possuem o mesmo sinal então x0 b Critério de parada do método xn1 xn E Exemplo Calcular uma raiz de fx x² 10lnx 5 com E 001 Passo 1 Pesquisa da raiz x fx 05 21815 1 4 Houve mudança de sinal Obs Essa equação possui mais de uma raiz Se quisermos achar a outra raiz devemos desenvolver o método novamente considerando outro intervalo que contém uma raiz Assim definimos o intervalo que contém uma raiz 05 1 Passo 2 Derivadas Função fx x² 10lnx 5 Derivada 1ª fx 2x 10x Derivada 2ª fx 2 10x² Passo 3 Achar x0 Se x0 05 teríamos fx0 f05 21815 f05 f05 42 fx0fx0 0 VERDADEIRO ou seja Possuem Mesmo sinal Logo x0 05 Se x0 1 teríamos fx0 f1 4 fx0 f1 12 fx0fx0 0 FALSO ou seja Possuem sinais diferentes Início do processo iterativo Passo 4 Processo Iterativo Seguir a Função Iterativa xn1 xn fxn fxn Iteração 1 n 0 Atualizando a Função Iteração x1 x0 fx0 fx0 x1 05 21815 19 x1 06148 Cálculo do erro xn1 xn E x1 x0 001 06148 05 001 01148 001 FALSO Continuar as iterações Iteração 2 n 1 Atualizando a Função Iteração x2 x1 fx1 fx1 x2 06148 02426 150359 x2 06309 Cálculo do erro xn1 xn E x2 x1 001 06309 06148 001 00161 001 FALSO Continuar as iterações Iteração 3 n 2 Atualizando a Função Iteração x3 x2 fx2 fx2 x3 06309 00041 145886 x3 06312 Cálculo do erro xn1 xn E x3 x2 001 06312 06309 001 00003 001 VERDADEIRO Fim das iterações Logo temos a solução x 06312 com precisão E 001 EXERCÍCIOS 1 Calcular uma raiz de fx x³ e²ˣ 3 no intervalo 05 06 com precisão E 0001 2 Calcular uma raiz de fx 2x³ x² 2 no intervalo 08 09 com precisão E 0001 3 Calcular uma raiz de fx senx lnx no intervalo 22 23 com precisão E 0001 EXERCÍCIOS COMPUTACIONAIS 1 Desenvolver uma planilha de cálculo para o método de Newton Resolver os 3 exercícios anteriores 2 Desenvolver e implementar um algoritmo para cálculo por este método Pode utilizar Octave ou Matlab Para a questão 4 podese aproveitar o código já elaborado para o método da Bisseção e alterálo Isso facilita o desenvolvimento CAPÍTULO 3 SOLUÇÃO NUMÉRICA DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES 31 DEFINIÇÕES Definição 311 Uma matriz quadrada é chamada de Diagonal quando ocorrer aij 0 para ij D diagd1 d2 dn d1 0 0 0 0 d2 0 0 0 0 d3 0 0 0 0 dn Definição 312 A matriz quadrada onde aij 0 se i j é chamada de matriz triangular inferior A a11 0 0 0 a21 a22 0 0 a31 a32 a33 0 am1 am2 am3 amn Definição 313 A matriz quadrada onde aij 0 se i j é chamada de matriz triangular superior A a11 a12 a13 a1n 0 a22 a23 a2n 0 0 a33 a3n 0 0 0 amn Definição 314 Matriz numericamente esparsa é aquela que possui grande quantidade de elementos nulos As matrizes esparsas ocorrem com freqüência em problemas práticos Definição 315 Matriz Banda é a matriz na qual todos os elementos não nulos se situam na vizinhança da diagonal Como por exemplo seja a matriz Banda Tridiagonal a seguir A 2 3 0 0 0 1 0 0 1 4 1 0 0 0 0 0 0 9 2 2 0 0 0 2 2 0 0 2 0 0 0 2 32 MÉTODOS DIRETOS São métodos que produzem solução exata de sistemas a com erros de arredondamentos e que possuem um número finito de operações aritméticas A regra de Cramer é um bom exemplo de método direto Ler RUGGIERO M e LOPES p 118 item 321 Conforme Hacke 2010 O método direto mais conhecido e mais usado para a resolução de um sistema denso de porte pequeno a médio é o método da Eliminação de Gauss ou algoritmo de Gauss Para sistemas de pequeno porte entendese uma ordem de até 30 para médio porte podese ter até ordem 50 A partir daí em geral temse sistemas de grande porte 321 Método de Gauss eliminação Operações elementares 1 Permutação entre linhas 2 Multiplicação de linhas por escalar diferente de zero 3 Adição de linhas a11 a12 a13 a1n b1 a22 a23 a2n b2 a33 an3 b3 amn bm Multiplicador m ik a uk a kk Algoritmo Método de Gauss Ver RUGGIERO M e LOPES V Cálculo Numérico Aspectos Teóricos e Computacionais Makron Books 1996 p 139 O método de Gauss tem complexidade polinomial n³ Nº operações NN12N16 Um computador que faz uma operação aritmética em 10⁸ segundos gastaria 00000257 segundos para resolver um sistema 15x15 Um tempo infinitamente inferior àquele gasto pela Regra de Cramer conforme RUGGIERO e LOPES 1996 Exemplo 1 Resolver pelo método da eliminação de Gauss o seguinte sistema x₁ 2x₂ 3x₃ x₄ 1 2x₁ 4x₂ 5x₄ x₁ 0 3x₁ 8x₄ 8x₄ x₃ 2 x₁ 2x₂ 6x₄ 1 Solução x 56 07 16 04ᵀ Exemplo 2 Resolver o sistema 2 1 5 x₁ 19 3 1 6 y 17 8 2 10 z 26 Solução x 1 2 3 322 Método de GaussJordan eliminação Consiste em transformar o sistema dado em um outro sistema na forma diagonal onde todos os elementos fora da diagonal principal são nulos É uma continuidade do método de Gauss que exigia apenas que se chegasse à forma triangular Exemplo 1 Resolver pelo método da eliminação de Gauss Jordan o seguinte sistema x₁ 2x₂ 3x₃ x₄ 1 2x₂ x₁ 2x₄ 1 x₃ x₄ 2 10x₄ 4 Conforme visto no tópico anterior eliminação de Gauss efetuando as operações necessárias chegamos à forma escalonada Assim o sistema fica 1 2 3 1 1 0 2 1 2 1 0 0 1 1 2 0 0 0 10 4 Efetuando diversas etapas de operações entre linhas chegaremos ao seguinte sistema equivalente Efetuamos as operações 2E₂ E₁ 1 0 0 0 285 0 1 0 0 710 0 0 1 0 85 0 0 0 1 25 O que nos dá a solução x 56 07 16 04ᵀ Exemplo 2 Resolver o sistema pelo método de Gauss Jordan 2 1 5 x₁ 19 3 1 6 y 17 8 2 10 z 26 Solução x 1 2 3 26 323 Método de Gauss com Pivotação Parcial Neste método na primeira etapa escolhese para pivô o elemento de maior módulo na primeira coluna Na 2ª etapa escolhese para pivô o elemento de maior módulo na segunda coluna e assim sucessivamente Exemplo Resolver o sistema de equações lineares a seguir pelo método do pivotamento parcial 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x 2x x 1 2x x 3x 8 4x 3x 2x 13 Solução Escrevendo a matriz expandida correspondente a esse sistema têmse 1 2 1 1 2 1 3 8 4 3 2 13 Como o maior elemento em módulo na 1ª coluna é 4 ele será o elemento pivô dessa coluna Trocando as linhas 1 e 3 da matriz expandida ela fica 4 3 2 13 2 1 3 8 1 2 1 1 21 31 2 1 1 m m 4 2 4 m21E1 E2 m31E1 E3 4 3 2 13 1 3 0 2 2 2 11 3 17 0 4 2 4 Agora o maior elemento em módulo da 1ª coluna da matriz resto é 114 então ele será o novo pivô dessa coluna Trocando as linhas 2 e 3 dessa matriz ela fica 4 3 2 13 11 3 17 0 4 2 4 1 3 0 2 2 2 32 1 2 1 4 2 m 11 4 2 11 11 m32E2 E3 27 4 3 2 13 11 3 17 0 4 2 4 25 25 0 0 11 11 O sistema resultante após essas transformações será 1 2 3 2 3 3 4x 3x 2x 13 11 3 17 x x 4 2 4 25 25 11 x 11 Resolvendo o sistema anterior pela retrosubstituição encontrase o vetor solução que é x 2 1 1 r 324 Método de Gauss com Pivotação Completa Neste método no início da etapa k é escolhido para pivô o elemento de maior módulo entre todos os elementos que ainda atuam no processo de eliminação Exemplo Resolver o sistema pelo método da pivotação completa 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 2 6 0 3 4 2 5 x x x x x x x x x Solução Construindo a matriz expandida têmse 2 1 2 6 1 1 1 0 3 4 2 5 28 O maior valor em módulo da matriz dos coeficientes é 4 então as operações a serem aplicadas são 14E3E1 e 14E3E2 que leva à matriz 11 3 29 0 4 2 4 1 1 5 0 4 2 4 3 4 2 5 Observase que na matrizresto o maior valor é 114 que será o pivô A operação será 14114E1 E2 que leva à nova matriz 11 3 29 0 4 2 4 7 21 0 0 11 11 3 4 2 5 O novo sistema então será 1 3 3 1 2 3 11 3 29 4 2 4 7 21 11 11 3 4 2 5 x x x x x x Resolvendo esse sistema encontrase o vetor solução 1 2 3 T x r 325 Comparação entre estratégias de pivoteação Exemplo Resolver o sistema a seguir avaliando o erro cometido em cada caso a Pelo método de Gauss b Pelo método de Gauss com pivoteação parcial Avaliar o resíduo R e o erro ε produzido por cada solução Resíduo R b Ax Erro ε maxri bisin Esses resultados evidenciam de forma clara a melhoria obtida por meio da técnica de pivoteação utilizada Notase que a escolha do maior elemento em módulo entre os candidatos a pivô faz com que os multiplicadores em módulo estejam entre 0 e 1 o que minimiza a ampliação dos erros de arredondamento 326 Fatoração LU Para escrever uma matriz A como LU procedese da seguinte forma 1 A matriz L é obtida pelos multiplicadores utilizados no processo de escalonamento Exemplo 3 x 3 L 1 0 0 m21 1 0 m31 m32 1 Onde cada multiplicador m vem do processo de escalonamento de Gauss Multiplicador mik aik akk 2 A matriz U é a matriz obtida após o escalonamento de Gauss Exemplo Dada a matriz A obter a triangular superior e inferior tal que A LU A 1 2 3 2 3 0 3 8 5 1 2 3 E22 E1m21 E1 onde m21 2 3 2 1 2 3 E32 E1m31 E31 onde m31 3 1 3 1 2 3 1 2 3 E33 E2m32 E22 onde m32 2 1 2 1 2 3 Essa é a Matriz U Obs Se o primeiro elemento for zero permutar as linhas A Matriz L é dada por L 1 0 0 0 m21 1 0 m31 m32 1 Nesse caso temos L 1 0 0 2 1 0 3 2 1 Resposta Sendo assim A LU A 1 0 0 1 1 0 3 2 1 0 0 0 1 6 3 4 1 0 0 0 3 13 1 3 0 1 0 0 1 0 13 327 Resolução de sistemas lineares por fatoração LU Temse Ax b Substituindo por LUx b Fazendo Ux y a solução do sistema Ax b pode ser obtida por meio da resolução de sistemas triangulares 1º Ly b Ux y Exemplo Resolver o sistema por fatoração LU Seja o sistema a seguir Escreva a forma fatorada da matriz dos coeficientes e use a forma fatorada para resolver o sistema dado x1 x2 3x3 8 2x2 x3 x1 7 3x3 x1 2x2 14 x1 2x2 3x3 7 Solução Escrevendo a matriz A A 1 0 1 0 3 2 1 1 1 3 1 1 2 1 2 3 1 m21 212 m31 313 m41 111 Logo L 1 0 0 0 2 1 0 0 3 4 1 0 1 3 0 1 e U 1 1 0 3 0 1 1 5 0 0 3 13 0 0 0 13 Então como A LU fazse a substituição yUx temse que Ax b Mas A LU então LUx b Condição fazendo Ux y temos Ly b Então aplicamos a retrosubstituição primeiramente no sistema Ly b o que resulta no vetor y 1 0 0 0 y1 8 2 1 0 y2 7 3 4 1 0 y3 14 1 3 0 1 y4 7 Pela retrosubstituição encontrase y18 y29 y326 y426 ou seja y 8 9 26 26 T Então voltando ao sistema Ux y aplicamos novamente a retrosubstituição 1 1 0 3 x1 8 0 1 1 5 x2 9 0 0 3 13 x3 26 0 0 0 13 x4 26 Onde se encontra por retrosubstituição x13 x21 x30 x42 Assim o vetor solução do sistema é x 3 1 0 2 T EXERCÍCIOS Questão 1 Seja A 5 2 1 3 1 4 1 1 1 3 e seja a decomposição LU da matriz A representada a seguir L 1 0 0 35 1 0 15 3 1 U 5 2 1 0 15 175 0 0 13 Pedese Usando a decomposição LU resolver o sistema 5x1 2x2 x3 0 3x1 x2 4x3 7 x1 x2 3x3 5 Questão 2 Resolver o sistema de equações a seguir usando a decomposição LU 2 0 1 x1 6 0 2 1 x2 4 1 1 3 x3 9 Questão 3 Resolver por fatoração LU o sistema 2x1 5x2 8 6x1 2x2 10 Resposta L 1 3 0 0 1 U 2 5 0 17 Solução x 1 2 T Questão 4 Resolver por fatoração LU o sistema x1 4x2 2x3 9 2x1 5x2 x3 17 4x1 10x2 3x3 19 Resposta L 1 0 0 2 1 0 4 2 1 U 1 4 2 0 3 5 0 0 5 Sol x 193 163 3 T 33 MÉTODOS ITERATIVOS Os métodos diretos apresentados perdem eficiência à medida que o número de equações aumenta Isso mostra a necessidade de se conhecer outros métodos que apesar de dependerem de condições de convergência e apresentarem algumas restrições sejam mais eficientes para resolver sistemas de grande porte ou seja com muitas equações Além disso uma grande quantidade de problemas de matemática aplicada e de engenharia que recaem em sistemas de equações atendem às condições exigidas por esses métodos 331 Método Iterativo de Jacobi Seja o sistema de equações lineares a seguir a11x1 a12x2 a13x3 a1nxn b1 a21x1 a22x2 a23x3 a2nxn b2 a31x1 a32x2 a33x3 a3nxn b3 an1x1 an2x2 an3x3 annxn bn Tomandose a 1ª equação a11x1 b1 a12x2 a13x3 a1nxn Isolando a variável x1 na primeira equação temse a11x1 b1 a12x2 a13x3 a1nxn x1 fracb1 a12x2 a13x3 a1nxna11 Procedendo da mesma forma para isolar a variável x2 na segunda equação temse x2 fracb2 a21x1 a23x3 a2nxna22 Da mesma maneira encontrase x3 na terceira equação x3 fracb3 a31x1 a32x2 a3nxna33 Generalizando Cálculo do erro xtk1 xtk 001 Iteração 1 k 0 Solução inicial zk z0 0 0 0T Iteração 4 k 3 Solução corrente xk x3 1135 0245 1213T x1 8 0245 1213 6 109 x2 4 1135 1213 8 0206 x3 6 1135 0245 4 1155 Cálculo do erro xk1 xk 001 Nesse caso x3 x2 001 109 1135 0245 001 0206 1213 1155 001 0045 001 0039 001 001 001 FALSO Iteração 5 k 4 Solução corrente xk x4 109 0206 1155T x1 8 0206 1155 6 1106 x2 4 109 1155 8 0219 x3 6 109 0206 4 1176 Cálculo do erro xk1 xk 001 Nesse caso x4 x3 001 1106 109 001 001 0219 0206 1176 1155 0016 001 0013 001 001 001 FALSO Iteração 6 k 5 Solução corrente xk x5 1106 0219 1176T x1 8 0219 1176 6 1101 x2 4 1106 1176 8 0215 x3 6 1106 0219 4 1169 Cálculo do erro xk1 xk 001 Nesse caso x5 x4 001 1101 1106 001 001 0215 0219 1169 1176 0005 001 0004 001 001 001 VERDADEIRO Logo temse Solução após 6 iterações x 1101 0215 1169T Iteração 1 k 0 Solução inicial xk x0 0 0 0T x1 8 0 0 6 1333 x2 4 1133 0 8 0333 x3 6 1333 0333 4 1083 Cálculo do erro xk1 xk 001 Nesse caso x1 x0 001 1333 0 1333 0333 FALSO Iteração 2 k 1 Solução corrente xk x1 1333 0333 1083T x1 8 0333 1083 6 1097 x2 4 1097 1083 8 0227 x3 6 1097 0227 4 1169 Cálculo do erro xk1 xk 001 Nesse caso x1 x0 001 1097 1333 001 001 0236 001 FALSO Iteração 3 k 2 Solução corrente xk x2 1097 0227 1169T x1 8 0227 1169 6 1101 x2 4 1101 1169 8 0216 x3 6 1101 0216 4 1171 Cálculo do erro xk1 xk 001 Nesse caso x2 x1 001 1101 1097 001 001 0004 001 FALSO Iteração 4 k 3 Solução corrente xk x3 1101 0216 1171T x1 8 0216 1171 6 1102 x2 4 1102 1171 8 0216 x3 6 1102 0216 4 1171 Cálculo do erro xk1 xk 001 Nesse caso x3 x2 001 1102 1101 001 001 0001 001 VERDADEIRO Logo temse Solução após 4 iterações x 1102 0216 1171T OBSERVAÇÃO Os exemplos anteriores parecem implicar que o método de GaussSeidel é superior ao de GaussJacobi Geralmente é assim Existem no entanto sistemas lineares onde o método de Jacobi converge e o de GaussSeidel não Como exemplo desse fato seja o sistema de equações lineares a seguir 2x1 2x2 x3 5 x1 2x2 2x3 7 x1 x2 x3 2 A solução exata desse sistema é 1 2 1T Aplicando o método de Jacobi e considerando 12 casas decimais a solução é obtida depois de 308 iterações e com o método de GaussSeidel não há convergência Exemplo RUGGIERO e LOPES p 180 Seja o sistema linear 4x₁ x₂ x₃ 0x₄ 0x₅ 0x₆ 0x₇ 0x₈ 0x₉ 0x₁₀ 110 x₁ x₂ x₃ x₄ x₅ x₆ x₇ x₈ x₉ x₁₀ 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 x₁ 4 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 4 1 0 0 0 0 0 0 0 110 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 4 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 x 48646412 354947917 256157408 490908565 377170139 26968173 393142361 295399306 268773148 229693287ᵀ Aplicando o método de GaussSeidel com o esquema iterativo montado a partir da disposição original das equações com x0 20 20ᵀ e ε 10⁷ obtemos o mesmo vetor após 28 iterações EXERCÍCIOS Dado o sistema a seguir 4x₁ x₂ x₃ x₄ 7 2x₂ 8x₃ x₄ 6 x₁ 2x₂ 5x₃ x₄ 1 x₁ x₂ x₃ 4x₄ 1 Questão 1 Partindo de uma solução inicial x 0 0 0 0ᵀ resolva o sistema pelo método iterativo de Jacobi Questão 2 Partindo de uma solução inicial x 0 0 0 0ᵀ resolva o sistema pelo método iterativo de GaussSeidel PARTE 2 CAPÍTULO 4 SISTEMAS NÃO LINEARES 41 DEFINIÇÃO GERAL Resolução da equação fx0 pelo método de Newton NewtonRaphson Ex Achar x tal que xeˣ senx² 1 0 Resolução de Sistema de equações FX 0 pelo método de Newton NewtonRaphson Ex Achar x tal que x₁x₂ lnx₃ 2 x₁ x₃x₄ 10 senx₃ x₄ x₄ 0 eˣ x₄ 5 O problema é o mesmo só que em dimensões diferentes Bibliografia Numerical Analysis Burden Faires Métodos Numéricos Cristina UNICAMP 42 EXEMPLOS GRÁFICOS DE SISTEMAS NÃO LINEARES Exemplos retirados do livro RUGGIERO M e LOPES V Cálculo Numérico Aspectos Teóricos e Computacionais Makron Books 1996 p 193194 Exemplo 1 f₁x₁ x₂ x₁² x₂² 2 0 f₂x₁ x₂ x₁² x₂² 9 1 0 46 43 MÉTODO DE NEWTONRAPHSON PARA SISTEMAS NÃO LINEARES Resolver o sistema S 0 0 0 2 1 2 1 2 2 1 1 n n n n x x x f x x x f x x x f Considerando 2 1 2 1 2 2 1 1 n n n n x x x f x x x f x x x f F X e nx x x X 2 1 S pode ser escrito por FX 0 onde F Rn Rn X a F X A expansão de Taylor de F em torno de xᵏ é FX FXᵏ FXᵏX Xᵏ EX Supondo FX FXᵏ FXᵏX Xᵏ e achando seu zero pela expressão linear ou seja fazendo FX 0 temos FXᵏ FXᵏX Xᵏ 0 Chamando FX JX a matriz Jacobiana e supondo que sua inversa existe JX JX f₁Xx₁ f₁Xx₂ f₁Xxₙ fₙXx₁ fₙXx₂ fₙXxₙ Assim como FX JX temos a expressão reescrita FXᵏ JXᵏX Xᵏ 0 Vamos isolar X que é o vetor solução X Xᵏ J¹XᵏFXᵏ Considerando que X Xᵏ¹ seja o novo zero solução atualizada temos Xᵏ¹ Xᵏ J¹XᵏFXᵏ que é a equação de iteração A sequência X0 X1 X2 X tal que FX0 dependendo de X0 e de algumas condições de convergência Resumindo Equação de iteração do Método de NewtonRaphson sistemas não lineares xᵏ¹ xᵏ J¹XᵏFXᵏ 48 Exemplo Resolver o sistema não linear Use E 0001 0 4 0 1 2 2 3 2 1 2 1 2 2 2 3 1 2 1 1 x x x x x f x x x x f Cálculo do Jacobiano 1 3 2 6 2 2 1 3 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 1 1 x x x x x x X f x X f x X f x X f J X JF X Resumo do desenvolvimento dos cálculos nas iterações Iteração X k F X 1 1 k k k k F X X J X X Erro 1 E X X k k Iteração 1 k 0 71 21 X 0 1956 0 0 4340 F X 0 1661 12349 X1 Iteração 2 k 1 661 1 1 2349 X 1 0 002 0 0075 F X 1 6618 1 1 2338 X 2 0 039 0 0349 0 1 X X Iteração 3 k 2 1 6615 1 2343 X 2 0 0005 0 0006 1 2 X X Condição de parada E Sim Podese manter o Jacobiano fixo por um certo número de iterações A forma como é feita a atualização do Jacobiano gera novos métodos chamados QuasiNewton Exercício Resolvido 1 Resolve o sistema não linear a seguir pelo Método de NewtonRaphson Utilize solução inicial x0 12 17ᵀ e precisão E 001 Resolução Primeiro devemos igualar todas as equações a zero x₁² x₂² 2 0 ex₁1 x₂² 2 0 Nesse caso temos 2 funções que formam o sistema não linear f₁ x₁² x₂² 2 0 f₂ ex₁1 x₂² 2 0 Cálculo do Jacobiano faz isso somente 1 vez antes da 1ª iteração JX f₁X f₁X x₁ x₂ 2x₁ 2x₂ f₂X f₂X x₁ x₂ ex₁1 3x₂² Iteração 1 k 0 Solução inicial x0 12 17ᵀ Cálculo principal xk1 xk J¹xkFxk x¹ x⁰ J¹x⁰Fx⁰ x¹ 12 17 05206 02041 233 x¹ 08308 12750 Cálculo do Erro xk1 xk 001 x¹ x⁰ 001 08308 12 001 12750 17 001 03629 001 0425 001 Falso ir para a próxima iteração Iteração 2 k 1 Solução corrente x¹ 08308 12750 Cálculo principal xk1 xk J¹xkFxk x² x¹ J¹x¹Fx¹ x² 08308 08196 04285 03159 12750 01419 02792 0917 x² 09648 10638 Cálculo do Erro xk1 xk 001 x² x¹ 001 09648 08308 001 10638 12750 001 0134 001 02112 001 Falso ir para a próxima iteração Iteração 3 k 2 Solução corrente x² 0964810638 Exercício 2 Resolva o sistema não linear a seguir pelo Método de NewtonRaphson Utilize solução inicial x0 08 08ᵀ e precisão E 001 Faça até no máximo 3 iterações se o sistema não convergir antes apresentando o vetor solução xk e o erro encontrado em cada iteração CAPÍTULO 5 APROXIMAÇÃO DE FUNÇÕES Resolução detalhada Como queremos encontrar um polinômio de grau 2 temos o polinômio na forma geral y ax² bx c Tomandose 3 pontos dados e substituindo no polinômio na forma geral temos ax² bx c y Para o ponto 1 4 a1² b1 c 4 Para o ponto 0 1 a0² b0 c 1 Para o ponto 2 1 a2² b2 c 1 Daí temse o sistema a1² b1 c 4 a0² b0 c 1 a2² b2 c 1 Que fica a b c 4 c 1 4a 2b c 1 Resolvendo esse sistema temos a 0666 b 2333 c 1 Substituindo no polinômio na forma geral y ax² bx c temos y 06667x² 23333x 1 Ou seja P₂ 23 x² 73 x 1 512 Interpolação por Polinômio de Lagrange Px ₖ₀ⁿ Lₖxyₖ e Lₖx ₕ₀ⁿx xⱼ ₖ₀ⁿxₖ xⱼ Exemplo Interpole um polinômio em A1 4 B0 1 e C2 1 Solução Nesse caso temse x y 1 4 x₀ 1 y₀ 4 0 1 x₁ 0 y₁ 1 2 1 x₂ 2 y₂ 1 Neste exemplo temos 3 pontos A B e C Com 3 pontos podemos interpolar um polinômio de grau 2 Lembrese que o grau do polinômio a ser interpolado é sempre o número de pontos n menos 1 ou seja será interpolado um polinômio Pₙ₁ Para um polinômio Pₙ₁ P₃₁ P₂ polinômio de grau 2 pois têmse 3 pontos as fórmulas ficam assim k 0 L₀x x x₁x x₂ x₀ x₁x₀ x₂ k 1 L₁x x x₀x x₂ x₁ x₀x₁ x₂ k 2 L₂x x x₀x x₁ x₂ x₀x₂ x₁ Px L₀xy₀ L₁xy₁ L₂xy₂ Resolvendo esse problema serão encontrados os seguintes resultados L₀x x² 2x 3 L₁x 2 x x² 2 L₂x x² x 6 Resposta final Polinômio interpolador Px 23 x² 73 x 1 58 52 MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS Como escolher o tipo de função para explicar determinado fenômeno observado Conforme Ruggiero p 269 Uma aplicação exemplo Ruggiero p 270 521 Método dos Mínimos Quadrados Caso Linear polinômio de grau 1 Aproximar uma função do tipo gx a1x a2 Sistema de Equações Normais Para resolver fazer um quadro xi fxi x²i fxixi ni1 Erro ni1 exi² onde exi² fxi gxi² Exemplo Ajuste os dados abaixo pelo método dos mínimos quadrados utilizando uma reta x 1 2 3 4 5 6 7 8 y 05 06 09 08 12 15 17 20 Solução Passo 1 Fazer o diagrama de dispersão para observar a distribuição dos dados Vemos que os pontos podem ser explicados por uma parábola Então queremos achar uma equação do tipo gx a1x a2 Passo 2 Completar o quadro xi fxi x²i fxixi 1 05 1 05 2 06 4 12 3 09 9 27 4 08 16 32 5 12 25 6 6 15 36 9 7 17 49 119 8 20 64 16 ni1 36 92 204 505 Passo 3 Montar o Sistema de Equações Normais Teremos então 204 36 a1 505 36 a2 92 Temos então o sistema 204a1 36a2 505 36a1 8a2 92 Resolvendo o sistema Octave Assim temos a1 021667 e a2 0175 Logo a função é gx 021667x 0175 Passo 4 Resíduos Podese ainda calcular os resíduos Erro do modelo obtido Resíduo ni1 exi² onde exi² fxi gtx² para isso fazemos gx é o valor obtido com a função encontrada no passo 3 x fx gx ex² fx gx² 1 05 039167 00117354 2 06 060834 00000696 3 09 082501 00056235 4 08 104168 00584092 5 12 125835 00034047 6 15 147502 00006240 7 17 169169 00000691 8 20 190836 00083979 Soma 0088333 Resíduo ε 008830 Gráfico fx e gx Passo 1 Fazer o diagrama de dispersão para observar a distribuição dos dados Vemos que os pontos podem ser explicados por uma reta Então queremos achar uma equação do tipo gx a1x² a2x a3 Passo 2 Completar o quadro xi x²i x³i x⁴i fxi fxixi fxix²i 1 1 1 1 205 205 205 075 05625 042188 0316406 1153 086475 0648563 06 036 0216 01296 045 027 0162 05 025 0125 00625 04 02 01 03 009 0027 00081 05 015 0045 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 004 0008 00016 02 004 0008 04 016 0064 00256 06 024 0096 05 025 0125 00625 0512 0256 0128 07 049 0343 02401 12 084 0588 1 1 1 1 205 205 205 ni1 03500 42025 02499 28464 91150 01088 58756 522 Método dos Mínimos Quadrados Caso Polinomial grau 2 Aproximar uma função do tipo gx a1x² a2x a3 Sistema de Equações Normais ni1 xi4 ni1 xi3 ni1 xi2 ni1 xi3 ni1 xi2 ni1 xi1 ni1 xi2 ni1 xi1 n a1 a2 a3 ni1 fxixi2 ni1 fxixi ni1 fxi Para resolver fazer um quadro xi x²i x³i x⁴i fxi fxixi fxix²i ni1 exi² onde exi² fxi gxi² Exemplo Ajuste os dados abaixo pelo método dos mínimos quadrados utilizando uma parábola polinômio de grau 2 a Seja a tabela Passo 3 Montar o Sistema de Equações Normais Passo 4 Resíduos 67 Exercício Considere novamente o exemplo 1 x 1 2 3 4 5 6 7 8 y 05 06 09 08 12 15 17 20 Ajuste os dados abaixo pelo método dos mínimos quadrados utilizando uma parábola e compare com os resultados obtidos para uma reta CAPÍTULO 6 INTEGRAÇÃO E DIFERENCIAÇÃO NUMÉRICA 612 Regra dos Trapézios Repetida Podese notar graficamente que se o intervalo de integração é grande a Fórmula dos Trapézios fornece resultados distantes do verdadeiro valor da integral a ser calculada Uma forma de contornar esse problema é subdividir o intervalo de integração aplicando assim a regra dos Trapézios repetidas vezes dentro do intervalo de integração a b Sendo assim chamando os xi os pontos de subdivisão de a b sendo xi tais que xi1 xi h para i 0 1 m 1 temos ba fxdx m1i0 xi1xi fxdx m1i0 h2fxi fxi1 h³12 fe ou seja o valor aproximado da integral é dado por ba fxdx m1i0 h2fxi fxi1 613 Regra 13 de Simpson x2x0 fxdx h3fx0 4fx1 fx2 h⁵90 f⁴e ou seja o valor aproximado da integral é dado por x2x0 fxdx h3fx0 4fx1 fx2 614 Fórmula de NewtonCotes para n 3 x3x0 fxdx 3h8fx0 3fx1 3fx2 fx3 3h⁵80 f⁴e ou seja o valor aproximado da integral é dado por x3x0 fxdx 3h8fx0 3fx1 3fx2 fx3 615 Fórmula de NewtonCotes para n 4 x4x0 fxdx 2h45fx0 32fx1 12fx2 32fx3 7fx4 8h⁷945 f⁶e ou seja o valor aproximado da integral é dado por x4x0 fxdx 2h45fx0 32fx1 12fx2 32fx3 7fx4 EXERCÍCIOS Sabese que 21 1x dx lnx ²₁ ln2 ln1 069314718 Pedese Calcular 21 1x dx utilizando as fórmulas de NewtonCotes calculando o erro relativo ao valor representado acima Sendo assim fazer Resoluções detalhadas a partir da próxima página b Cálculo de 2 1 x dx pela fórmula 13 de Simpson Solução Erro c Cálculo de 2 1 x dx pela fórmula de NewtonCotes n 3 Solução d Cálculo de 2 1 x dx pela fórmula de NewtonCotes n 4 Solução 73 MÉTODO DE EULER Também chamado de método de Taylor de ordem 1 Seja o PVI y fx y yx0 y0 Dada a Série de Taylor fx n0 fan xan fa fa1xa fa2xa2 fa3xa3 Considera a Série de Taylor da função yx em torno do ponto xn yx yxn yxnxxn yxnxxn2 2 Considerando somente até o termo com derivada primeira e ajustando ao problema yn1 yn hyn Mas yn fxnyn conforme a definição de PVI Logo yn1 yn hfxnyn Estimativa para o erro ver Arenales 2015 p 264 Algoritmo Arenales 2015 p 265 Considera o PVI y fx y yx0 y0 1 Declarar a Função fx y b Condição inicial yx0 y0 c Intervalo a b em que x0 a d Número de subintervalos N e calcule h baN 2 Para n 0 N1 faça Calcule Início xn1 xn h yn1 yn hfxn yn Fim p 77 Resolver o Problema de Valor Inicial PVI y fxy y x yx0 y0 2 x a b 0 1 e N 4 SOLUÇÃO pelo método de Euler a Função fx y y x b Condição inicial y0 2 c Intervalo a b em que x0 a 0 1 d Número de subintervalos N N 4 Cálculo do h h ba N h 10 4 h 025 Assim temos 0 025 05 075 1 x0 x1 x2 x3 x4 Calculando os valores y para cada x utilizar as expressões a seguir xn1 xn h yn1 yn hfxn yn Cálculo para cada ponto n 0 y1 y0 hfx0 y0 y1 2 025 f02 y1 2 025 2 y1 25 n 1 y2 y1 hfx1y1 y2 25 025 f025 25 y2 25 025 225 y2 30625 n 2 y3 y2 hfx2y2 y3 30625 025 f05 30625 y3 30625 025 25625 y3 37031 n 3 y4 y3 hfx3y3 y4 37031 025 f075 37031 y4 37014 025 28531 y4 44414 Resultados x0 0 y0 2 cond Inicial x1 025 y1 25 x2 05 y2 30625 x3 075 y3 37031 x4 1 y4 44414 podese fazer um gráfico xy Plotando a Solução Analítica x Numérica Sol Numérica Sol Analítica 0 2 20000 025 25 25340 05 30625 31487 075 37031 38670 1 44414 47183 74 MÉTODOS DE RUNGE KUTTA Apresentam precisão equivalente aos Métodos de Taylor porém com a vantagem de evitar o cálculo de derivadas de ordem elevada os quais exigem alto esforço computacional bem como complexidade analítica em alguns casos 741 Método de Runge Kutta de Ordem 1 Coincide com o Método de Euler de ordem 1 742 Método de Runge Kutta de Ordem 2 Chamado também de Método de Euler Aperfeiçoado Passos h xN x0 N xn1 xn h yn1 yn h 2 k1 k2 onde k1 fxn yn k2 fxn h yn hk1 Algoritmo Arenales 2015 p 274 Considere o PVI yx fxy yx0 y0 1 Declare a Função Fxy b Condição inicial yx0 y0 c Intervalo ab em que x0 a d Número de subintervalos N e calcule h ba N 2 Para n 0123N 1 faça Calcule Início xn1 xn h k1 fxnyn k2 fxn1yn hk1 yn1 yn h 2 k1 k2 Fim Exemplo Arenales 2015 p 275 Resolver o Problema de Valor Inicial PVI y fxy x y 2 yx0 y0 2 x a b 0 1 e N 5 Solução pelo método de Runge Kutta de ordem 2 Resultados x0 0 y0 2 cond inicial x1 02 y1 202 x2 04 y2 20724 x3 06 y3 21514 x4 08 y4 22522 x5 1 y5 23738 podese fazer um gráfico xy 743 Método de Runge Kutta de Ordem 3 744 Método de Runge Kutta de Ordem 4 CAPÍTULO 8 SISTEMAS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Exemplo 82 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE ORDEM SUPERIOR Em algumas aplicações precisamos resolver equações diferenciais de ordem m da forma ym fx y y y ym1 Com valores iniciais yx0 α1 yx0 α2 yx0 α3 ym1x0 αm Uma equação diferencial de ordem m pode ser reescrita como um sistema de equações diferenciais de primeira ordem com valores iniciais considerando novas variáveis como a seguir y1x yx y2x yx y3x yx ymx ym1x Assim escrevemos a equação diferencial em termos das variáveis y1x y2x ymx e temos ymx ymx fx y1x y2x ymx yx ym1x Com essas novas variáveis conseguimos escrever um sistema de equações diferenciais de primeira ordem com as devidas condições iniciais que equivale a equação diferencial de ordem m com as condições iniciais 87 88 Exemplo 1 Exemplo 2 90 BIBLIOGRAFIA ARENALES Selma DAREZZO Artur Cálculo numérico aprendizagem com apoio de software 2 ed São Paulo SP Cengage Learning 2015 471 p ISBN 9788522112876 RUGGIERO Márcia A Gomes LOPES Vera Lúcia da Rocha Cálculo numérico aspectos teóricos e computacionais 2 ed São Paulo Pearson Makron Books 1996 406 p il Inclui bibliografia e índice ISBN 9788534602044 em que Y y1 y2 y3 y4 FxY y2 y3 y4 y42y23x Tomando h 01 temos os pontos os discretização x0 0 x1 01 x2 02 Assim Y1 Y0 hFx0Y0 Y1 1 2 3 4 01 2 23 34 42230 12 Y1 Y2 Y1 hFx1Y1 Y2 12 23 34 40 01 12 23 34 40 14300 Portanto temos Y0 1 Y01 Y1 12 23 34 40 Y02 Y2 14300 26400 38000 39700 assim sucessivamente nos pontos de discretização Desta forma y01 12 y01 23 y01 34 y01 40 y02 14300 y02 26400 y02 3800 y02 39700
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Tópicos de Aula Este material descreve de modo sintetizado os tópicos a serem estudados nesta fase da disciplina São enfocados aqui alguns pontos o que não exclui a utilização de bibliografias CÁLCULO NUMÉRICO Fonte da imagem httpswwwanaiusianiulpgcesmetodosnumericospracticashtm Prof Gerson Ulbricht Dr em Métodos Numéricos em Engenharia Versão março de 2022 2 SUMÁRIO PARTE 1 4 CAPÍTULO 1 ERROS 4 11 Matemática Numérica 4 12 Conversão de bases 4 121 Transformação de outras bases para a base 10 4 122 Transformação de base 10 para base 2 5 13 Representação de Números em Máquinas Digitais 6 14 Sistema de Ponto Flutuante SPF 6 15 Erros 8 151 Erros na fase de modelagem 8 152 Erros de arredondamento 8 153 Erros de truncamento 8 154 Erro absoluto e relativo 9 155 Erros em operações aritméticas em ponto flutuante 9 156 Erros por mal condicionamento 9 157 Propagação de Erros 10 CAPÍTULO 2 SOLUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES 12 21 Método da Bisseção 14 22 Método de Cordas OPCIONAL NESTA DISCIPLINA 17 23 Método de Newton para Equações 18 CAPÍTULO 3 SOLUÇÃO NUMÉRICA DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES 22 31 DEFINIÇÕES 22 32 MÉTODOS DIRETOS 23 321 Método de Gauss eliminação 23 322 Método de GaussJordan eliminação 24 323 Método de Gauss com Pivotação Parcial 26 324 Método de Gauss com Pivotação Completa 27 325 Comparação entre estratégias de pivotação 29 326 Fatoração LU 29 327 Resolução de sistemas lineares por fatoração LU 31 33 MÉTODOS ITERATIVOS 34 331 Método Iterativo de Jacobi 34 332 Método Iterativo de GaussSeidel 40 PARTE 2 45 CAPÍTULO 4 SISTEMAS NÃO LINEARES 45 41 DEFINIÇÃO GERAL 45 42 EXEMPLOS GRÁFICOS DE SISTEMAS NÃO LINEARES 45 43 MÉTODO DE NEWTONRAPHSON PARA SISTEMAS NÃO LINEARES 46 3 CAPÍTULO 5 APROXIMAÇÃO DE FUNÇÕES 54 51 INTERPOLAÇÃO 54 511 Interpolação por Meio de Resolução de Sistemas Lineares 54 512 Interpolação por Polinômio de Lagrange 56 52 MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS 58 521 Método dos Mínimos Quadrados Caso Linear polinômio de grau 1 59 522 Método dos Mínimos Quadrados Caso Polinomial grau 2 63 CAPÍTULO 6 INTEGRAÇÃO E DIFERENCIAÇÃO NUMÉRICA 68 61 FÓRMULAS DE NEWTONCOTES 68 611 Regra dos Trapézios 68 612 Regra dos Trapézios Repetida 69 613 Regra 13 de Simpson 69 614 Fórmula de NewtonCotes para n 3 70 615 Fórmula de NewtonCotes para n 4 70 62 DIFERENCIAÇÃO NUMÉRICA 75 621 Fórmula de 3 pontos 75 PARTE 3 76 CAPÍTULO 7 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 76 71 EXEMPLO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 76 72 PROBLEMA DE VALOR INICIAL PVI 76 73 MÉTODO DE EULER 77 74 MÉTODOS DE RUNGE KUTTA 80 741 Método de Runge Kutta de Ordem 1 80 742 Método de Runge Kutta de Ordem 2 80 743 Método de Runge Kutta de Ordem 3 83 744 Método de Runge Kutta de Ordem 4 84 CAPÍTULO 8 SISTEMAS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 85 81 MÉTODO DE EULER PARA SISTEMAS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 85 82 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE ORDEM SUPERIOR 87 BIBLIOGRAFIA 90 4 PARTE 1 CAPÍTULO 1 ERROS Esse capítulo tem como objetivo mostrar a ideia de funcionamento de uma máquina eletrônica de cálculo 11 Matemática Numérica Se trata da resolução de problemas utilizando métodos numéricos possíveis de serem implementados computacionalmente levando em conta aspectos de confiabilidade esforço computacional e erros de arredondamento de iteração e de truncamento Como a maior parte dos problemas não tem solução direta e precisa recorrese a métodos numéricos iterativos onde é necessário que se escolha um critério de parada 12 Conversão de bases 121 Transformação de outras bases para a base 10 Transformar para a base 10 Exemplo Transformar 10112 para base 10 10112 1x2³ 0x2² 1x2¹ 1x20 8 0 2 1 1110 11 a Transformar 1012 para base 10 b Transformar 11012 para base 10 c Transformar 101111 2 para base 10 5 Outros tipos de bases O processo é semelhante mudando somente a base da potência Transformar 12013 para base 10 Transformar 7468 para base 10 Transformar 2BE316 para base 10 122 Transformação de base 10 para base 2 Para transformar da base 10 para outras bases base 2 base 8 base 16 dividese sucessivamente pela base desejada aproveitandose o último quociente e os restos das divisões sucessivas na ordem inversa Exemplo Transformar 2510 para base 2 25 2 1 12 2 0 6 2 0 3 2 1 1 Assim 2510 110012 Parte fracionária Para transformar a parte fracionária de um número na base 10 para a base 2 utilizase o método das multiplicações sucessivas 1º Multiplicar a parte fracionária por 2 2º Deste resultado a parte inteira será o 1º dígito na base 2 e a parte fracionária é novamente multiplicada por 2 O processo é repetido até que a parte fracionária do último produto seja igual a zero Exemplo Transformar 07510 para base 2 075 x 2 15 o nº 1 antes da vírgula será o 1º dígito decimal na base 2 05 x 2 10 o nº 1 antes da vírgula será o 2º dígito decimal na base 2 o 0 após a vírgula é o critério de parada Assim 07510 0112 a Transformar 0187510 para base 2 b Transformar 0610 para base 2 c Transformar 402510 para base 2 6 Lista de exercícios 1 Transformar para a base 10 a 1011012 Resposta 4510 b 110112 Resposta 2710 c 110012 Resposta 62510 d 1111112 Resposta e 1011012 Resposta 2 Transformar os números de 1 a 20 da base 10 para a base 2 3 Transformar para a base 2 a 1510 Resposta 11112 b 012510 Resposta 00012 c 0910 Resposta 011100112 d 0610 Resposta 010011002 e 12510 Resposta 110012 e 0110 Resposta 00001100110011001100112 13 Representação de Números em Máquinas Digitais Um computador ou calculadora representa um número real no sistema denominado Sistema de Ponto Flutuante SPF 14 Sistema de Ponto Flutuante SPF Sistema de Ponto Flutuante Fb m e1 e2 b base b ϵ N b 2 e1 menor expoente e2 maior expoente m precisão da máquina no fixo de dígitos da mantissa Representação de um número real x em ponto flutuante Fbme1e2 flx 0d1d2dtb di dígito di ϵ01 b1 d1 0 Overflow 0000b M M m m Underflow Overflow 7 Exemplo 1 F10355 Maior número positivo representado pela máquina M 0999 105 99900 Menor número positivo representado pela máquina m 0100 105 0000001 Observar que a representação não tem distribuição uniforme ver por exemplo outros valores Exemplo 2 F2433 Maior número positivo M 01111 23 1 21 1 22 1 23 1 24 23152 Menor número positivo m 01000 23 12102202302423116 Exemplo 3 Considere uma máquina hipotética que trabalha no SPF F10 3 5 5 Nesse sistema os números são representados da seguinte forma flx 0d1d2d3 x 10e Nesse caso Menor número m 0100 x 105 0000001 em módulo Maior número M 0999 x 105 99900 Obs Matlab Padrão IEEE utiliza 8 bytes para representar um número Sinal 1 bit Expoente 11 bits Mantissa 52 bits Para ver a precisão do Matlab consultar CHAPRA Steven C Métodos numéricos aplicados com MATLAB para engenheiros e cientistas Tradução de Rafael Silva Alípio 3 ed Porto Alegre AMGH 2013 Ver página 100101 Exercício 1 Seja o sistema de ponto flutuante F2 3 2 2 determine todos os valores de F e represente os em um eixo com auxílio de software O que você observou 8 15 Erros Mesmo quando se utiliza para resolução de um modelo matemático um método exato pelo fato de este envolver um número muito grande de operações adição subtração multiplicação e divisão e sendo essas processadas em equipamentos com capacidade limitada para armazenar dados pode haver a ocorrência de erros 151 Erros na fase de modelagem Ocorrem na interpretação do problema bem como na construção dos algoritmos de resolução 152 Erros de arredondamento Quando se utiliza equipamento computacional e se o número obtido em um cálculo não é representável exatamente no SPF o mesmo será representado de forma aproximada Um número na base b é arredondado na posição n se todos os dígitos de ordem maior que n forem descartados O dígito de ordem n é acrescido de uma unidade se o de ordem n1 for maior ou igual à metade da base Exemplo Considere o SPF F10 4 5 5 a Se a 05324 x 10³ e b 04212 x 10² então a x b 022424688 x 101 que é arredondado e armazenado como a x b 02242 x 101 b Se a 05324 x 10³ e b 01237 x 10² então a b 054477 x 10³ que é arredondado e armazenado como a b 05448 x 101 153 Erros de truncamento É obtido por corte onde para obter um número com n dígitos simplesmente truncase a posição n Exemplo Considere o SPF F10 4 5 5 Se a 05324 x 10³ e b 04212 x 10² então a x b 022424688 x 101 que é armazenado como a x b 02242 x 101 Se a 05324 x 10³ e b 01237 x 10² então a b 054477 x 10³ que é arredondado e armazenado como a b 05447 x 101 9 154 Erro absoluto e relativo Erro absoluto Eabs Xex Xaprox Como na maioria das vezes o valor exato não é disponível trabalhase com um limite superior para o erro Xex Xaprox ε Ou seja ε Xex Xaprox ε Ou ainda Xaprox ε Xex Xaprox ε Erro relativo Erel ex aprox ex X X X Como na maioria das vezes o valor exato não é disponível trabalhase com um limite superior para o erro relativo 155 Erros em operações aritméticas em ponto flutuante Soma de quantidades com magnitudes muito diferentes 156 Erros por mal condicionamento A maioria dos processos numéricos segue uma linha geral 1 Dados são fornecidos 2 Os dados são processados de acordo com um plano préestabelecido algoritmo 3 Resultados são produzidos Existem problemas bem postos e mal postos Exemplo 1 Resolver o sistema linear 2 01 01 1 2 y x y x Resolvendo pelo método da substituição obtêmse x 1 e y 1 Se o número 201 da segunda equação é mudado para 202 obtêmse x 0 e y 2 Verifique essa situação resolvendo os sistemas 10 Exemplo 2 Solução da equação do 2o grau 0 c bx ax 2 a 2 4ac b b x 2 1 2 Supondo b2 4ac o cálculo de x2 envolverá a diferença de dois números próximos o que provoca perda significativa de dígitos A resposta sofrerá influência dessa perda Uma alternativa pode ser calcular x1 como proposto acima e usar a propriedade de raízes de equações do 2º grau x1x2ca Exemplo seja a equação x² 10022x 12371 0 Usando por exemplo uma aritmética de ponto flutuante com 5 dígitos b² 10044 10039 4 ² b ac 10019 4 ² b ac Calculando as raízes pelas fórmulas apresentadas no primeiro procedimento têmse x1 10022 100192 10020 x2 10022 100192 0015 Por outro lado usando o valor de x1 e o segundo procedimento têmse 1 2 ax c x 1237110020 0012346 Numa calculadora com 16 dígitos usando a segunda alternativa têmse x1 10020 x2 0012345364 Para quantificar a diferença entre os dois procedimentos observase que o erro relativo da aproximação x2 usando o primeiro processo é de 215 ao passo que com o segundo procedimento teríamos uma aproximação com erro relativo de 00052 157 Propagação de Erros Erro cometido em uma operação isolada pode não ser muito significativo para a solução do problema tratado Portanto devese analisar como esses erros se propagam Erro ilimitado se acumulam a uma taxa crescente e a sequência de operações é considerada instável Erro limitado se acumulam a uma taxa decrescente e a sequência de operações é considerada estável 11 Exercícios 1 Sabese que π 314 valor aproximado Considerando π 31415926 qual será o erro a Absoluto b Relativo 2 Resolvido Num sistema F10 4 8 8 qual é o erro cometido por a Arredondamento b 10 e n 4 4 3 1 4 1 5 10 210 1 210 1 2 1 b n µ Portanto o erro por arredondamento será Earred µ então Earred 00005 b Truncamento 0 001 1 10 10 3 1 4 1 b n µ Portanto o erro por truncamento será Etrunc µ então Earred 0001 Pelo exemplo anterior podese observar que em geral o erro de arredondamento é menor que o de truncamento 3 Num sistema F2 10 15 15 qual é o erro cometido por a Arredondamento b Truncamento Interprete o algoritmo BIBLIOGRAFIA RUGGIERO Márcia A Gomes LOPES Vera Lúcia da Rocha Cálculo numérico aspectos teóricos e computacionais 2 ed São Paulo Pearson Makron Books 1996 406 p ISBN 9788534602044 CAPÍTULO 2 SOLUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES São métodos numéricos para resolução de equações na forma fx 0 onde fx é função de uma variável real Métodos iterativos Partese de um valor inicial x₀ x₀solução inicial convergência xsolução final Teorema de Bolzano Dada fx contínua em a b então se fafb 0 há pelo menos uma raiz real no intervalo ab Observação Sob as hipóteses do teorema de Bolzano se fx existir e preservar o sinal em a b então esse intervalo contém um único zero de fx GRAFICAMENTE fx 0 x a b fx 0 x a b 13 Exemplo a Exemplo b Observações A análise gráfica da função fx ou da equação fx 0 é fundamental para se obter boas aproximações para a raiz Para tanto é suficiente utilizar um dos seguintes processos i esboçar o gráfico da função fx e localizar as abscissas dos pontos onde a curva intercepta o eixo x ii a partir da equação fx 0 obter a equação equivalente gx hx esboçar os gráficos das funções gx e hx no mesmo eixo cartesiano e localizar os pontos x onde as duas curvas se interceptam pois neste caso fξ 0 gξ iii usar os programas que traçam gráficos de funções disponíveis em algumas calculadoras ou softwares matemáticos 21 Método da Bisseção Consiste num método em que o intervalo a b que contém uma raiz é dividido em 2 subintervalos de amplitudes iguais Cada um desses subintervalos é testado quanto a conter ou não a raiz Prosseguese dessa maneira de modo sucessivo até que um critério de parada seja satisfeito onde de modo geral é utilizada a precisão da raiz dada pela diferença entre o valor encontrado na iteração anterior e na iteração atual Pode ainda ser utilizado como critério de parada o número máximo de iterações ou ambos os critérios o que for satisfeito antes Procedimento 1 Defina fx uma função no intervalo a b e fafb 0 2 Determinase xₙ a b2 3 Determinase a x₀ e x₀ b 4 Testase fx₀ 0 caso positivo x x₀ 5 Se fafx₀ 0 x a x₀ senão fx₀fb 0 x x₀ b 6 Erro xₙ₁ xₙ E caso positivo x a b2 no passo n 15 Exemplo Calcular a raiz positiva da equação fx x² 3 com E 001 SOLUÇÃO 1º Fazer um gráfico da função para se ter uma ideia de seu comportamento e da localização das raízes onde corta o eixo x 2º Proceder com as iterações iniciando em n 0 ITERAÇÃO 1 n 0 ITERAÇÃO 2 n 1 ITERAÇÃO 3 n 2 ITERAÇÃO 4 n 3 ITERAÇÃO 5 n 4 m4 x₄ 16875 2375 2 f16875 001458 16875 2375 f16875 0 F ITERAÇÃO 6 n 5 m5 x₅ 171875 1725 2 17343 f17343 0008 x₅ x₄ 001 F ITERAÇÃO 7 n 6 veja que nesta iteração finalmente o critério de parada será satisfeito m6 x₆ 17343 27343 2 173625 f173625 0019 17365 173625 001 V 3 Apresentar a solução encontrada e o erro Raiz encontrada x 17265 com erro E 0007 ou seja E 001 EXERCÍCIOS Obs Para não ser tão cansativo você pode utilizar erro E 01 para os 3 exercícios a seguir 1 Calcular a raiz da função fx x² lnx com E 001 e 05 1 2 Calcular a raiz da função fx x³ 3x 1 com E 001 e 0 05 3 Calcular a raiz da função fx 2x² senx 10 com E 0001 EXERCÍCIOS COMPUTACIONAIS 1 Desenvolver uma planilha de cálculo para o método da bisseção Resolver os 3 exercícios anteriores 2 Desenvolver um algoritmo execução do método da Bisseção Resolver os 3 exercícios anteriores 22 Método de Cordas OPCIONAL NESTA DISCIPLINA Seja fx uma função contínua que tenha derivada segunda com sinal constante no intervalo a b sendo que fafb 0 e que existe somente um número x a b tal que fx 0 Função iterativa xn1 xn fxnxn c fxn fc Onde n 0123 c é o extremo do intervalo a b onde a função fx apresenta o mesmo sinal de fx ou seja fcfc 0 Critério de parada xn1 xn E Exercícios 1 Calcular a raiz da função fx ex senx 2 com E 0001 2 Calcular uma raiz da função fx 2x² senx 10 com E 0001 no intervalo 15 3 3 Calcular uma raiz do polinômio fx x³ 4x² x 6 com E 103 no intervalo 14 22 4 Desenvolver uma planilha de cálculo para o método de cordas 5 Desenvolver e implementar um algoritmo para cálculo por este método 23 Método de Newton para Equações Seja fx uma função contínua no intervalo a b e suas derivadas primeira e segunda também contínuas nesse intervalo e x seu único zero nesse intervalo Função iterativa xn1 xn fxn fxn com n 0123 onde xn1 é uma aproximação de x Escolha de x0 A condição suficiente para a convergência do método é que f e f sejam não nulas e preservem o sinal em a b e x0 seja o extremo do intervalo a b tal que fx0fx0 0 RESUMINDO Considerando o intervalo a b que contém uma raiz se fafa 0 ou seja fa e fa possuem o mesmo sinal então x0 a se fbfb 0 ou seja fb e fb possuem o mesmo sinal então x0 b Critério de parada do método xn1 xn E Exemplo Calcular uma raiz de fx x² 10lnx 5 com E 001 Passo 1 Pesquisa da raiz x fx 05 21815 1 4 Houve mudança de sinal Obs Essa equação possui mais de uma raiz Se quisermos achar a outra raiz devemos desenvolver o método novamente considerando outro intervalo que contém uma raiz Assim definimos o intervalo que contém uma raiz 05 1 Passo 2 Derivadas Função fx x² 10lnx 5 Derivada 1ª fx 2x 10x Derivada 2ª fx 2 10x² Passo 3 Achar x0 Se x0 05 teríamos fx0 f05 21815 f05 f05 42 fx0fx0 0 VERDADEIRO ou seja Possuem Mesmo sinal Logo x0 05 Se x0 1 teríamos fx0 f1 4 fx0 f1 12 fx0fx0 0 FALSO ou seja Possuem sinais diferentes Início do processo iterativo Passo 4 Processo Iterativo Seguir a Função Iterativa xn1 xn fxn fxn Iteração 1 n 0 Atualizando a Função Iteração x1 x0 fx0 fx0 x1 05 21815 19 x1 06148 Cálculo do erro xn1 xn E x1 x0 001 06148 05 001 01148 001 FALSO Continuar as iterações Iteração 2 n 1 Atualizando a Função Iteração x2 x1 fx1 fx1 x2 06148 02426 150359 x2 06309 Cálculo do erro xn1 xn E x2 x1 001 06309 06148 001 00161 001 FALSO Continuar as iterações Iteração 3 n 2 Atualizando a Função Iteração x3 x2 fx2 fx2 x3 06309 00041 145886 x3 06312 Cálculo do erro xn1 xn E x3 x2 001 06312 06309 001 00003 001 VERDADEIRO Fim das iterações Logo temos a solução x 06312 com precisão E 001 EXERCÍCIOS 1 Calcular uma raiz de fx x³ e²ˣ 3 no intervalo 05 06 com precisão E 0001 2 Calcular uma raiz de fx 2x³ x² 2 no intervalo 08 09 com precisão E 0001 3 Calcular uma raiz de fx senx lnx no intervalo 22 23 com precisão E 0001 EXERCÍCIOS COMPUTACIONAIS 1 Desenvolver uma planilha de cálculo para o método de Newton Resolver os 3 exercícios anteriores 2 Desenvolver e implementar um algoritmo para cálculo por este método Pode utilizar Octave ou Matlab Para a questão 4 podese aproveitar o código já elaborado para o método da Bisseção e alterálo Isso facilita o desenvolvimento CAPÍTULO 3 SOLUÇÃO NUMÉRICA DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES 31 DEFINIÇÕES Definição 311 Uma matriz quadrada é chamada de Diagonal quando ocorrer aij 0 para ij D diagd1 d2 dn d1 0 0 0 0 d2 0 0 0 0 d3 0 0 0 0 dn Definição 312 A matriz quadrada onde aij 0 se i j é chamada de matriz triangular inferior A a11 0 0 0 a21 a22 0 0 a31 a32 a33 0 am1 am2 am3 amn Definição 313 A matriz quadrada onde aij 0 se i j é chamada de matriz triangular superior A a11 a12 a13 a1n 0 a22 a23 a2n 0 0 a33 a3n 0 0 0 amn Definição 314 Matriz numericamente esparsa é aquela que possui grande quantidade de elementos nulos As matrizes esparsas ocorrem com freqüência em problemas práticos Definição 315 Matriz Banda é a matriz na qual todos os elementos não nulos se situam na vizinhança da diagonal Como por exemplo seja a matriz Banda Tridiagonal a seguir A 2 3 0 0 0 1 0 0 1 4 1 0 0 0 0 0 0 9 2 2 0 0 0 2 2 0 0 2 0 0 0 2 32 MÉTODOS DIRETOS São métodos que produzem solução exata de sistemas a com erros de arredondamentos e que possuem um número finito de operações aritméticas A regra de Cramer é um bom exemplo de método direto Ler RUGGIERO M e LOPES p 118 item 321 Conforme Hacke 2010 O método direto mais conhecido e mais usado para a resolução de um sistema denso de porte pequeno a médio é o método da Eliminação de Gauss ou algoritmo de Gauss Para sistemas de pequeno porte entendese uma ordem de até 30 para médio porte podese ter até ordem 50 A partir daí em geral temse sistemas de grande porte 321 Método de Gauss eliminação Operações elementares 1 Permutação entre linhas 2 Multiplicação de linhas por escalar diferente de zero 3 Adição de linhas a11 a12 a13 a1n b1 a22 a23 a2n b2 a33 an3 b3 amn bm Multiplicador m ik a uk a kk Algoritmo Método de Gauss Ver RUGGIERO M e LOPES V Cálculo Numérico Aspectos Teóricos e Computacionais Makron Books 1996 p 139 O método de Gauss tem complexidade polinomial n³ Nº operações NN12N16 Um computador que faz uma operação aritmética em 10⁸ segundos gastaria 00000257 segundos para resolver um sistema 15x15 Um tempo infinitamente inferior àquele gasto pela Regra de Cramer conforme RUGGIERO e LOPES 1996 Exemplo 1 Resolver pelo método da eliminação de Gauss o seguinte sistema x₁ 2x₂ 3x₃ x₄ 1 2x₁ 4x₂ 5x₄ x₁ 0 3x₁ 8x₄ 8x₄ x₃ 2 x₁ 2x₂ 6x₄ 1 Solução x 56 07 16 04ᵀ Exemplo 2 Resolver o sistema 2 1 5 x₁ 19 3 1 6 y 17 8 2 10 z 26 Solução x 1 2 3 322 Método de GaussJordan eliminação Consiste em transformar o sistema dado em um outro sistema na forma diagonal onde todos os elementos fora da diagonal principal são nulos É uma continuidade do método de Gauss que exigia apenas que se chegasse à forma triangular Exemplo 1 Resolver pelo método da eliminação de Gauss Jordan o seguinte sistema x₁ 2x₂ 3x₃ x₄ 1 2x₂ x₁ 2x₄ 1 x₃ x₄ 2 10x₄ 4 Conforme visto no tópico anterior eliminação de Gauss efetuando as operações necessárias chegamos à forma escalonada Assim o sistema fica 1 2 3 1 1 0 2 1 2 1 0 0 1 1 2 0 0 0 10 4 Efetuando diversas etapas de operações entre linhas chegaremos ao seguinte sistema equivalente Efetuamos as operações 2E₂ E₁ 1 0 0 0 285 0 1 0 0 710 0 0 1 0 85 0 0 0 1 25 O que nos dá a solução x 56 07 16 04ᵀ Exemplo 2 Resolver o sistema pelo método de Gauss Jordan 2 1 5 x₁ 19 3 1 6 y 17 8 2 10 z 26 Solução x 1 2 3 26 323 Método de Gauss com Pivotação Parcial Neste método na primeira etapa escolhese para pivô o elemento de maior módulo na primeira coluna Na 2ª etapa escolhese para pivô o elemento de maior módulo na segunda coluna e assim sucessivamente Exemplo Resolver o sistema de equações lineares a seguir pelo método do pivotamento parcial 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x 2x x 1 2x x 3x 8 4x 3x 2x 13 Solução Escrevendo a matriz expandida correspondente a esse sistema têmse 1 2 1 1 2 1 3 8 4 3 2 13 Como o maior elemento em módulo na 1ª coluna é 4 ele será o elemento pivô dessa coluna Trocando as linhas 1 e 3 da matriz expandida ela fica 4 3 2 13 2 1 3 8 1 2 1 1 21 31 2 1 1 m m 4 2 4 m21E1 E2 m31E1 E3 4 3 2 13 1 3 0 2 2 2 11 3 17 0 4 2 4 Agora o maior elemento em módulo da 1ª coluna da matriz resto é 114 então ele será o novo pivô dessa coluna Trocando as linhas 2 e 3 dessa matriz ela fica 4 3 2 13 11 3 17 0 4 2 4 1 3 0 2 2 2 32 1 2 1 4 2 m 11 4 2 11 11 m32E2 E3 27 4 3 2 13 11 3 17 0 4 2 4 25 25 0 0 11 11 O sistema resultante após essas transformações será 1 2 3 2 3 3 4x 3x 2x 13 11 3 17 x x 4 2 4 25 25 11 x 11 Resolvendo o sistema anterior pela retrosubstituição encontrase o vetor solução que é x 2 1 1 r 324 Método de Gauss com Pivotação Completa Neste método no início da etapa k é escolhido para pivô o elemento de maior módulo entre todos os elementos que ainda atuam no processo de eliminação Exemplo Resolver o sistema pelo método da pivotação completa 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 2 6 0 3 4 2 5 x x x x x x x x x Solução Construindo a matriz expandida têmse 2 1 2 6 1 1 1 0 3 4 2 5 28 O maior valor em módulo da matriz dos coeficientes é 4 então as operações a serem aplicadas são 14E3E1 e 14E3E2 que leva à matriz 11 3 29 0 4 2 4 1 1 5 0 4 2 4 3 4 2 5 Observase que na matrizresto o maior valor é 114 que será o pivô A operação será 14114E1 E2 que leva à nova matriz 11 3 29 0 4 2 4 7 21 0 0 11 11 3 4 2 5 O novo sistema então será 1 3 3 1 2 3 11 3 29 4 2 4 7 21 11 11 3 4 2 5 x x x x x x Resolvendo esse sistema encontrase o vetor solução 1 2 3 T x r 325 Comparação entre estratégias de pivoteação Exemplo Resolver o sistema a seguir avaliando o erro cometido em cada caso a Pelo método de Gauss b Pelo método de Gauss com pivoteação parcial Avaliar o resíduo R e o erro ε produzido por cada solução Resíduo R b Ax Erro ε maxri bisin Esses resultados evidenciam de forma clara a melhoria obtida por meio da técnica de pivoteação utilizada Notase que a escolha do maior elemento em módulo entre os candidatos a pivô faz com que os multiplicadores em módulo estejam entre 0 e 1 o que minimiza a ampliação dos erros de arredondamento 326 Fatoração LU Para escrever uma matriz A como LU procedese da seguinte forma 1 A matriz L é obtida pelos multiplicadores utilizados no processo de escalonamento Exemplo 3 x 3 L 1 0 0 m21 1 0 m31 m32 1 Onde cada multiplicador m vem do processo de escalonamento de Gauss Multiplicador mik aik akk 2 A matriz U é a matriz obtida após o escalonamento de Gauss Exemplo Dada a matriz A obter a triangular superior e inferior tal que A LU A 1 2 3 2 3 0 3 8 5 1 2 3 E22 E1m21 E1 onde m21 2 3 2 1 2 3 E32 E1m31 E31 onde m31 3 1 3 1 2 3 1 2 3 E33 E2m32 E22 onde m32 2 1 2 1 2 3 Essa é a Matriz U Obs Se o primeiro elemento for zero permutar as linhas A Matriz L é dada por L 1 0 0 0 m21 1 0 m31 m32 1 Nesse caso temos L 1 0 0 2 1 0 3 2 1 Resposta Sendo assim A LU A 1 0 0 1 1 0 3 2 1 0 0 0 1 6 3 4 1 0 0 0 3 13 1 3 0 1 0 0 1 0 13 327 Resolução de sistemas lineares por fatoração LU Temse Ax b Substituindo por LUx b Fazendo Ux y a solução do sistema Ax b pode ser obtida por meio da resolução de sistemas triangulares 1º Ly b Ux y Exemplo Resolver o sistema por fatoração LU Seja o sistema a seguir Escreva a forma fatorada da matriz dos coeficientes e use a forma fatorada para resolver o sistema dado x1 x2 3x3 8 2x2 x3 x1 7 3x3 x1 2x2 14 x1 2x2 3x3 7 Solução Escrevendo a matriz A A 1 0 1 0 3 2 1 1 1 3 1 1 2 1 2 3 1 m21 212 m31 313 m41 111 Logo L 1 0 0 0 2 1 0 0 3 4 1 0 1 3 0 1 e U 1 1 0 3 0 1 1 5 0 0 3 13 0 0 0 13 Então como A LU fazse a substituição yUx temse que Ax b Mas A LU então LUx b Condição fazendo Ux y temos Ly b Então aplicamos a retrosubstituição primeiramente no sistema Ly b o que resulta no vetor y 1 0 0 0 y1 8 2 1 0 y2 7 3 4 1 0 y3 14 1 3 0 1 y4 7 Pela retrosubstituição encontrase y18 y29 y326 y426 ou seja y 8 9 26 26 T Então voltando ao sistema Ux y aplicamos novamente a retrosubstituição 1 1 0 3 x1 8 0 1 1 5 x2 9 0 0 3 13 x3 26 0 0 0 13 x4 26 Onde se encontra por retrosubstituição x13 x21 x30 x42 Assim o vetor solução do sistema é x 3 1 0 2 T EXERCÍCIOS Questão 1 Seja A 5 2 1 3 1 4 1 1 1 3 e seja a decomposição LU da matriz A representada a seguir L 1 0 0 35 1 0 15 3 1 U 5 2 1 0 15 175 0 0 13 Pedese Usando a decomposição LU resolver o sistema 5x1 2x2 x3 0 3x1 x2 4x3 7 x1 x2 3x3 5 Questão 2 Resolver o sistema de equações a seguir usando a decomposição LU 2 0 1 x1 6 0 2 1 x2 4 1 1 3 x3 9 Questão 3 Resolver por fatoração LU o sistema 2x1 5x2 8 6x1 2x2 10 Resposta L 1 3 0 0 1 U 2 5 0 17 Solução x 1 2 T Questão 4 Resolver por fatoração LU o sistema x1 4x2 2x3 9 2x1 5x2 x3 17 4x1 10x2 3x3 19 Resposta L 1 0 0 2 1 0 4 2 1 U 1 4 2 0 3 5 0 0 5 Sol x 193 163 3 T 33 MÉTODOS ITERATIVOS Os métodos diretos apresentados perdem eficiência à medida que o número de equações aumenta Isso mostra a necessidade de se conhecer outros métodos que apesar de dependerem de condições de convergência e apresentarem algumas restrições sejam mais eficientes para resolver sistemas de grande porte ou seja com muitas equações Além disso uma grande quantidade de problemas de matemática aplicada e de engenharia que recaem em sistemas de equações atendem às condições exigidas por esses métodos 331 Método Iterativo de Jacobi Seja o sistema de equações lineares a seguir a11x1 a12x2 a13x3 a1nxn b1 a21x1 a22x2 a23x3 a2nxn b2 a31x1 a32x2 a33x3 a3nxn b3 an1x1 an2x2 an3x3 annxn bn Tomandose a 1ª equação a11x1 b1 a12x2 a13x3 a1nxn Isolando a variável x1 na primeira equação temse a11x1 b1 a12x2 a13x3 a1nxn x1 fracb1 a12x2 a13x3 a1nxna11 Procedendo da mesma forma para isolar a variável x2 na segunda equação temse x2 fracb2 a21x1 a23x3 a2nxna22 Da mesma maneira encontrase x3 na terceira equação x3 fracb3 a31x1 a32x2 a3nxna33 Generalizando Cálculo do erro xtk1 xtk 001 Iteração 1 k 0 Solução inicial zk z0 0 0 0T Iteração 4 k 3 Solução corrente xk x3 1135 0245 1213T x1 8 0245 1213 6 109 x2 4 1135 1213 8 0206 x3 6 1135 0245 4 1155 Cálculo do erro xk1 xk 001 Nesse caso x3 x2 001 109 1135 0245 001 0206 1213 1155 001 0045 001 0039 001 001 001 FALSO Iteração 5 k 4 Solução corrente xk x4 109 0206 1155T x1 8 0206 1155 6 1106 x2 4 109 1155 8 0219 x3 6 109 0206 4 1176 Cálculo do erro xk1 xk 001 Nesse caso x4 x3 001 1106 109 001 001 0219 0206 1176 1155 0016 001 0013 001 001 001 FALSO Iteração 6 k 5 Solução corrente xk x5 1106 0219 1176T x1 8 0219 1176 6 1101 x2 4 1106 1176 8 0215 x3 6 1106 0219 4 1169 Cálculo do erro xk1 xk 001 Nesse caso x5 x4 001 1101 1106 001 001 0215 0219 1169 1176 0005 001 0004 001 001 001 VERDADEIRO Logo temse Solução após 6 iterações x 1101 0215 1169T Iteração 1 k 0 Solução inicial xk x0 0 0 0T x1 8 0 0 6 1333 x2 4 1133 0 8 0333 x3 6 1333 0333 4 1083 Cálculo do erro xk1 xk 001 Nesse caso x1 x0 001 1333 0 1333 0333 FALSO Iteração 2 k 1 Solução corrente xk x1 1333 0333 1083T x1 8 0333 1083 6 1097 x2 4 1097 1083 8 0227 x3 6 1097 0227 4 1169 Cálculo do erro xk1 xk 001 Nesse caso x1 x0 001 1097 1333 001 001 0236 001 FALSO Iteração 3 k 2 Solução corrente xk x2 1097 0227 1169T x1 8 0227 1169 6 1101 x2 4 1101 1169 8 0216 x3 6 1101 0216 4 1171 Cálculo do erro xk1 xk 001 Nesse caso x2 x1 001 1101 1097 001 001 0004 001 FALSO Iteração 4 k 3 Solução corrente xk x3 1101 0216 1171T x1 8 0216 1171 6 1102 x2 4 1102 1171 8 0216 x3 6 1102 0216 4 1171 Cálculo do erro xk1 xk 001 Nesse caso x3 x2 001 1102 1101 001 001 0001 001 VERDADEIRO Logo temse Solução após 4 iterações x 1102 0216 1171T OBSERVAÇÃO Os exemplos anteriores parecem implicar que o método de GaussSeidel é superior ao de GaussJacobi Geralmente é assim Existem no entanto sistemas lineares onde o método de Jacobi converge e o de GaussSeidel não Como exemplo desse fato seja o sistema de equações lineares a seguir 2x1 2x2 x3 5 x1 2x2 2x3 7 x1 x2 x3 2 A solução exata desse sistema é 1 2 1T Aplicando o método de Jacobi e considerando 12 casas decimais a solução é obtida depois de 308 iterações e com o método de GaussSeidel não há convergência Exemplo RUGGIERO e LOPES p 180 Seja o sistema linear 4x₁ x₂ x₃ 0x₄ 0x₅ 0x₆ 0x₇ 0x₈ 0x₉ 0x₁₀ 110 x₁ x₂ x₃ x₄ x₅ x₆ x₇ x₈ x₉ x₁₀ 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 x₁ 4 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 4 1 0 0 0 0 0 0 0 110 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 4 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 x 48646412 354947917 256157408 490908565 377170139 26968173 393142361 295399306 268773148 229693287ᵀ Aplicando o método de GaussSeidel com o esquema iterativo montado a partir da disposição original das equações com x0 20 20ᵀ e ε 10⁷ obtemos o mesmo vetor após 28 iterações EXERCÍCIOS Dado o sistema a seguir 4x₁ x₂ x₃ x₄ 7 2x₂ 8x₃ x₄ 6 x₁ 2x₂ 5x₃ x₄ 1 x₁ x₂ x₃ 4x₄ 1 Questão 1 Partindo de uma solução inicial x 0 0 0 0ᵀ resolva o sistema pelo método iterativo de Jacobi Questão 2 Partindo de uma solução inicial x 0 0 0 0ᵀ resolva o sistema pelo método iterativo de GaussSeidel PARTE 2 CAPÍTULO 4 SISTEMAS NÃO LINEARES 41 DEFINIÇÃO GERAL Resolução da equação fx0 pelo método de Newton NewtonRaphson Ex Achar x tal que xeˣ senx² 1 0 Resolução de Sistema de equações FX 0 pelo método de Newton NewtonRaphson Ex Achar x tal que x₁x₂ lnx₃ 2 x₁ x₃x₄ 10 senx₃ x₄ x₄ 0 eˣ x₄ 5 O problema é o mesmo só que em dimensões diferentes Bibliografia Numerical Analysis Burden Faires Métodos Numéricos Cristina UNICAMP 42 EXEMPLOS GRÁFICOS DE SISTEMAS NÃO LINEARES Exemplos retirados do livro RUGGIERO M e LOPES V Cálculo Numérico Aspectos Teóricos e Computacionais Makron Books 1996 p 193194 Exemplo 1 f₁x₁ x₂ x₁² x₂² 2 0 f₂x₁ x₂ x₁² x₂² 9 1 0 46 43 MÉTODO DE NEWTONRAPHSON PARA SISTEMAS NÃO LINEARES Resolver o sistema S 0 0 0 2 1 2 1 2 2 1 1 n n n n x x x f x x x f x x x f Considerando 2 1 2 1 2 2 1 1 n n n n x x x f x x x f x x x f F X e nx x x X 2 1 S pode ser escrito por FX 0 onde F Rn Rn X a F X A expansão de Taylor de F em torno de xᵏ é FX FXᵏ FXᵏX Xᵏ EX Supondo FX FXᵏ FXᵏX Xᵏ e achando seu zero pela expressão linear ou seja fazendo FX 0 temos FXᵏ FXᵏX Xᵏ 0 Chamando FX JX a matriz Jacobiana e supondo que sua inversa existe JX JX f₁Xx₁ f₁Xx₂ f₁Xxₙ fₙXx₁ fₙXx₂ fₙXxₙ Assim como FX JX temos a expressão reescrita FXᵏ JXᵏX Xᵏ 0 Vamos isolar X que é o vetor solução X Xᵏ J¹XᵏFXᵏ Considerando que X Xᵏ¹ seja o novo zero solução atualizada temos Xᵏ¹ Xᵏ J¹XᵏFXᵏ que é a equação de iteração A sequência X0 X1 X2 X tal que FX0 dependendo de X0 e de algumas condições de convergência Resumindo Equação de iteração do Método de NewtonRaphson sistemas não lineares xᵏ¹ xᵏ J¹XᵏFXᵏ 48 Exemplo Resolver o sistema não linear Use E 0001 0 4 0 1 2 2 3 2 1 2 1 2 2 2 3 1 2 1 1 x x x x x f x x x x f Cálculo do Jacobiano 1 3 2 6 2 2 1 3 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 1 1 x x x x x x X f x X f x X f x X f J X JF X Resumo do desenvolvimento dos cálculos nas iterações Iteração X k F X 1 1 k k k k F X X J X X Erro 1 E X X k k Iteração 1 k 0 71 21 X 0 1956 0 0 4340 F X 0 1661 12349 X1 Iteração 2 k 1 661 1 1 2349 X 1 0 002 0 0075 F X 1 6618 1 1 2338 X 2 0 039 0 0349 0 1 X X Iteração 3 k 2 1 6615 1 2343 X 2 0 0005 0 0006 1 2 X X Condição de parada E Sim Podese manter o Jacobiano fixo por um certo número de iterações A forma como é feita a atualização do Jacobiano gera novos métodos chamados QuasiNewton Exercício Resolvido 1 Resolve o sistema não linear a seguir pelo Método de NewtonRaphson Utilize solução inicial x0 12 17ᵀ e precisão E 001 Resolução Primeiro devemos igualar todas as equações a zero x₁² x₂² 2 0 ex₁1 x₂² 2 0 Nesse caso temos 2 funções que formam o sistema não linear f₁ x₁² x₂² 2 0 f₂ ex₁1 x₂² 2 0 Cálculo do Jacobiano faz isso somente 1 vez antes da 1ª iteração JX f₁X f₁X x₁ x₂ 2x₁ 2x₂ f₂X f₂X x₁ x₂ ex₁1 3x₂² Iteração 1 k 0 Solução inicial x0 12 17ᵀ Cálculo principal xk1 xk J¹xkFxk x¹ x⁰ J¹x⁰Fx⁰ x¹ 12 17 05206 02041 233 x¹ 08308 12750 Cálculo do Erro xk1 xk 001 x¹ x⁰ 001 08308 12 001 12750 17 001 03629 001 0425 001 Falso ir para a próxima iteração Iteração 2 k 1 Solução corrente x¹ 08308 12750 Cálculo principal xk1 xk J¹xkFxk x² x¹ J¹x¹Fx¹ x² 08308 08196 04285 03159 12750 01419 02792 0917 x² 09648 10638 Cálculo do Erro xk1 xk 001 x² x¹ 001 09648 08308 001 10638 12750 001 0134 001 02112 001 Falso ir para a próxima iteração Iteração 3 k 2 Solução corrente x² 0964810638 Exercício 2 Resolva o sistema não linear a seguir pelo Método de NewtonRaphson Utilize solução inicial x0 08 08ᵀ e precisão E 001 Faça até no máximo 3 iterações se o sistema não convergir antes apresentando o vetor solução xk e o erro encontrado em cada iteração CAPÍTULO 5 APROXIMAÇÃO DE FUNÇÕES Resolução detalhada Como queremos encontrar um polinômio de grau 2 temos o polinômio na forma geral y ax² bx c Tomandose 3 pontos dados e substituindo no polinômio na forma geral temos ax² bx c y Para o ponto 1 4 a1² b1 c 4 Para o ponto 0 1 a0² b0 c 1 Para o ponto 2 1 a2² b2 c 1 Daí temse o sistema a1² b1 c 4 a0² b0 c 1 a2² b2 c 1 Que fica a b c 4 c 1 4a 2b c 1 Resolvendo esse sistema temos a 0666 b 2333 c 1 Substituindo no polinômio na forma geral y ax² bx c temos y 06667x² 23333x 1 Ou seja P₂ 23 x² 73 x 1 512 Interpolação por Polinômio de Lagrange Px ₖ₀ⁿ Lₖxyₖ e Lₖx ₕ₀ⁿx xⱼ ₖ₀ⁿxₖ xⱼ Exemplo Interpole um polinômio em A1 4 B0 1 e C2 1 Solução Nesse caso temse x y 1 4 x₀ 1 y₀ 4 0 1 x₁ 0 y₁ 1 2 1 x₂ 2 y₂ 1 Neste exemplo temos 3 pontos A B e C Com 3 pontos podemos interpolar um polinômio de grau 2 Lembrese que o grau do polinômio a ser interpolado é sempre o número de pontos n menos 1 ou seja será interpolado um polinômio Pₙ₁ Para um polinômio Pₙ₁ P₃₁ P₂ polinômio de grau 2 pois têmse 3 pontos as fórmulas ficam assim k 0 L₀x x x₁x x₂ x₀ x₁x₀ x₂ k 1 L₁x x x₀x x₂ x₁ x₀x₁ x₂ k 2 L₂x x x₀x x₁ x₂ x₀x₂ x₁ Px L₀xy₀ L₁xy₁ L₂xy₂ Resolvendo esse problema serão encontrados os seguintes resultados L₀x x² 2x 3 L₁x 2 x x² 2 L₂x x² x 6 Resposta final Polinômio interpolador Px 23 x² 73 x 1 58 52 MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS Como escolher o tipo de função para explicar determinado fenômeno observado Conforme Ruggiero p 269 Uma aplicação exemplo Ruggiero p 270 521 Método dos Mínimos Quadrados Caso Linear polinômio de grau 1 Aproximar uma função do tipo gx a1x a2 Sistema de Equações Normais Para resolver fazer um quadro xi fxi x²i fxixi ni1 Erro ni1 exi² onde exi² fxi gxi² Exemplo Ajuste os dados abaixo pelo método dos mínimos quadrados utilizando uma reta x 1 2 3 4 5 6 7 8 y 05 06 09 08 12 15 17 20 Solução Passo 1 Fazer o diagrama de dispersão para observar a distribuição dos dados Vemos que os pontos podem ser explicados por uma parábola Então queremos achar uma equação do tipo gx a1x a2 Passo 2 Completar o quadro xi fxi x²i fxixi 1 05 1 05 2 06 4 12 3 09 9 27 4 08 16 32 5 12 25 6 6 15 36 9 7 17 49 119 8 20 64 16 ni1 36 92 204 505 Passo 3 Montar o Sistema de Equações Normais Teremos então 204 36 a1 505 36 a2 92 Temos então o sistema 204a1 36a2 505 36a1 8a2 92 Resolvendo o sistema Octave Assim temos a1 021667 e a2 0175 Logo a função é gx 021667x 0175 Passo 4 Resíduos Podese ainda calcular os resíduos Erro do modelo obtido Resíduo ni1 exi² onde exi² fxi gtx² para isso fazemos gx é o valor obtido com a função encontrada no passo 3 x fx gx ex² fx gx² 1 05 039167 00117354 2 06 060834 00000696 3 09 082501 00056235 4 08 104168 00584092 5 12 125835 00034047 6 15 147502 00006240 7 17 169169 00000691 8 20 190836 00083979 Soma 0088333 Resíduo ε 008830 Gráfico fx e gx Passo 1 Fazer o diagrama de dispersão para observar a distribuição dos dados Vemos que os pontos podem ser explicados por uma reta Então queremos achar uma equação do tipo gx a1x² a2x a3 Passo 2 Completar o quadro xi x²i x³i x⁴i fxi fxixi fxix²i 1 1 1 1 205 205 205 075 05625 042188 0316406 1153 086475 0648563 06 036 0216 01296 045 027 0162 05 025 0125 00625 04 02 01 03 009 0027 00081 05 015 0045 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 004 0008 00016 02 004 0008 04 016 0064 00256 06 024 0096 05 025 0125 00625 0512 0256 0128 07 049 0343 02401 12 084 0588 1 1 1 1 205 205 205 ni1 03500 42025 02499 28464 91150 01088 58756 522 Método dos Mínimos Quadrados Caso Polinomial grau 2 Aproximar uma função do tipo gx a1x² a2x a3 Sistema de Equações Normais ni1 xi4 ni1 xi3 ni1 xi2 ni1 xi3 ni1 xi2 ni1 xi1 ni1 xi2 ni1 xi1 n a1 a2 a3 ni1 fxixi2 ni1 fxixi ni1 fxi Para resolver fazer um quadro xi x²i x³i x⁴i fxi fxixi fxix²i ni1 exi² onde exi² fxi gxi² Exemplo Ajuste os dados abaixo pelo método dos mínimos quadrados utilizando uma parábola polinômio de grau 2 a Seja a tabela Passo 3 Montar o Sistema de Equações Normais Passo 4 Resíduos 67 Exercício Considere novamente o exemplo 1 x 1 2 3 4 5 6 7 8 y 05 06 09 08 12 15 17 20 Ajuste os dados abaixo pelo método dos mínimos quadrados utilizando uma parábola e compare com os resultados obtidos para uma reta CAPÍTULO 6 INTEGRAÇÃO E DIFERENCIAÇÃO NUMÉRICA 612 Regra dos Trapézios Repetida Podese notar graficamente que se o intervalo de integração é grande a Fórmula dos Trapézios fornece resultados distantes do verdadeiro valor da integral a ser calculada Uma forma de contornar esse problema é subdividir o intervalo de integração aplicando assim a regra dos Trapézios repetidas vezes dentro do intervalo de integração a b Sendo assim chamando os xi os pontos de subdivisão de a b sendo xi tais que xi1 xi h para i 0 1 m 1 temos ba fxdx m1i0 xi1xi fxdx m1i0 h2fxi fxi1 h³12 fe ou seja o valor aproximado da integral é dado por ba fxdx m1i0 h2fxi fxi1 613 Regra 13 de Simpson x2x0 fxdx h3fx0 4fx1 fx2 h⁵90 f⁴e ou seja o valor aproximado da integral é dado por x2x0 fxdx h3fx0 4fx1 fx2 614 Fórmula de NewtonCotes para n 3 x3x0 fxdx 3h8fx0 3fx1 3fx2 fx3 3h⁵80 f⁴e ou seja o valor aproximado da integral é dado por x3x0 fxdx 3h8fx0 3fx1 3fx2 fx3 615 Fórmula de NewtonCotes para n 4 x4x0 fxdx 2h45fx0 32fx1 12fx2 32fx3 7fx4 8h⁷945 f⁶e ou seja o valor aproximado da integral é dado por x4x0 fxdx 2h45fx0 32fx1 12fx2 32fx3 7fx4 EXERCÍCIOS Sabese que 21 1x dx lnx ²₁ ln2 ln1 069314718 Pedese Calcular 21 1x dx utilizando as fórmulas de NewtonCotes calculando o erro relativo ao valor representado acima Sendo assim fazer Resoluções detalhadas a partir da próxima página b Cálculo de 2 1 x dx pela fórmula 13 de Simpson Solução Erro c Cálculo de 2 1 x dx pela fórmula de NewtonCotes n 3 Solução d Cálculo de 2 1 x dx pela fórmula de NewtonCotes n 4 Solução 73 MÉTODO DE EULER Também chamado de método de Taylor de ordem 1 Seja o PVI y fx y yx0 y0 Dada a Série de Taylor fx n0 fan xan fa fa1xa fa2xa2 fa3xa3 Considera a Série de Taylor da função yx em torno do ponto xn yx yxn yxnxxn yxnxxn2 2 Considerando somente até o termo com derivada primeira e ajustando ao problema yn1 yn hyn Mas yn fxnyn conforme a definição de PVI Logo yn1 yn hfxnyn Estimativa para o erro ver Arenales 2015 p 264 Algoritmo Arenales 2015 p 265 Considera o PVI y fx y yx0 y0 1 Declarar a Função fx y b Condição inicial yx0 y0 c Intervalo a b em que x0 a d Número de subintervalos N e calcule h baN 2 Para n 0 N1 faça Calcule Início xn1 xn h yn1 yn hfxn yn Fim p 77 Resolver o Problema de Valor Inicial PVI y fxy y x yx0 y0 2 x a b 0 1 e N 4 SOLUÇÃO pelo método de Euler a Função fx y y x b Condição inicial y0 2 c Intervalo a b em que x0 a 0 1 d Número de subintervalos N N 4 Cálculo do h h ba N h 10 4 h 025 Assim temos 0 025 05 075 1 x0 x1 x2 x3 x4 Calculando os valores y para cada x utilizar as expressões a seguir xn1 xn h yn1 yn hfxn yn Cálculo para cada ponto n 0 y1 y0 hfx0 y0 y1 2 025 f02 y1 2 025 2 y1 25 n 1 y2 y1 hfx1y1 y2 25 025 f025 25 y2 25 025 225 y2 30625 n 2 y3 y2 hfx2y2 y3 30625 025 f05 30625 y3 30625 025 25625 y3 37031 n 3 y4 y3 hfx3y3 y4 37031 025 f075 37031 y4 37014 025 28531 y4 44414 Resultados x0 0 y0 2 cond Inicial x1 025 y1 25 x2 05 y2 30625 x3 075 y3 37031 x4 1 y4 44414 podese fazer um gráfico xy Plotando a Solução Analítica x Numérica Sol Numérica Sol Analítica 0 2 20000 025 25 25340 05 30625 31487 075 37031 38670 1 44414 47183 74 MÉTODOS DE RUNGE KUTTA Apresentam precisão equivalente aos Métodos de Taylor porém com a vantagem de evitar o cálculo de derivadas de ordem elevada os quais exigem alto esforço computacional bem como complexidade analítica em alguns casos 741 Método de Runge Kutta de Ordem 1 Coincide com o Método de Euler de ordem 1 742 Método de Runge Kutta de Ordem 2 Chamado também de Método de Euler Aperfeiçoado Passos h xN x0 N xn1 xn h yn1 yn h 2 k1 k2 onde k1 fxn yn k2 fxn h yn hk1 Algoritmo Arenales 2015 p 274 Considere o PVI yx fxy yx0 y0 1 Declare a Função Fxy b Condição inicial yx0 y0 c Intervalo ab em que x0 a d Número de subintervalos N e calcule h ba N 2 Para n 0123N 1 faça Calcule Início xn1 xn h k1 fxnyn k2 fxn1yn hk1 yn1 yn h 2 k1 k2 Fim Exemplo Arenales 2015 p 275 Resolver o Problema de Valor Inicial PVI y fxy x y 2 yx0 y0 2 x a b 0 1 e N 5 Solução pelo método de Runge Kutta de ordem 2 Resultados x0 0 y0 2 cond inicial x1 02 y1 202 x2 04 y2 20724 x3 06 y3 21514 x4 08 y4 22522 x5 1 y5 23738 podese fazer um gráfico xy 743 Método de Runge Kutta de Ordem 3 744 Método de Runge Kutta de Ordem 4 CAPÍTULO 8 SISTEMAS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Exemplo 82 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE ORDEM SUPERIOR Em algumas aplicações precisamos resolver equações diferenciais de ordem m da forma ym fx y y y ym1 Com valores iniciais yx0 α1 yx0 α2 yx0 α3 ym1x0 αm Uma equação diferencial de ordem m pode ser reescrita como um sistema de equações diferenciais de primeira ordem com valores iniciais considerando novas variáveis como a seguir y1x yx y2x yx y3x yx ymx ym1x Assim escrevemos a equação diferencial em termos das variáveis y1x y2x ymx e temos ymx ymx fx y1x y2x ymx yx ym1x Com essas novas variáveis conseguimos escrever um sistema de equações diferenciais de primeira ordem com as devidas condições iniciais que equivale a equação diferencial de ordem m com as condições iniciais 87 88 Exemplo 1 Exemplo 2 90 BIBLIOGRAFIA ARENALES Selma DAREZZO Artur Cálculo numérico aprendizagem com apoio de software 2 ed São Paulo SP Cengage Learning 2015 471 p ISBN 9788522112876 RUGGIERO Márcia A Gomes LOPES Vera Lúcia da Rocha Cálculo numérico aspectos teóricos e computacionais 2 ed São Paulo Pearson Makron Books 1996 406 p il Inclui bibliografia e índice ISBN 9788534602044 em que Y y1 y2 y3 y4 FxY y2 y3 y4 y42y23x Tomando h 01 temos os pontos os discretização x0 0 x1 01 x2 02 Assim Y1 Y0 hFx0Y0 Y1 1 2 3 4 01 2 23 34 42230 12 Y1 Y2 Y1 hFx1Y1 Y2 12 23 34 40 01 12 23 34 40 14300 Portanto temos Y0 1 Y01 Y1 12 23 34 40 Y02 Y2 14300 26400 38000 39700 assim sucessivamente nos pontos de discretização Desta forma y01 12 y01 23 y01 34 y01 40 y02 14300 y02 26400 y02 3800 y02 39700