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Engenharia de Controle e Automação ·
Cálculo 2
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Estudantes Prontuários Curso Disciplina Cálculo Diferencial e Integral 2 Data Atividade Atividade 1 Professor Renato Mello renatomelloifspedubr 1 Considere a função seguinte 𝑓𝑥 𝑦 𝑥𝑦 ln 𝑥 a Determine as derivadas parciais primeiras de 𝑓 b Determine o gradiente de 𝑓 no ponto 1 3 c Determine as derivadas parciais segundas de 𝑓 d Determine a matriz hessiana de 𝑓 no ponto 1 3 2 Equação do plano tangente a uma superfície de nível Seja 𝐹𝑥 𝑦 𝑧 𝑘 uma superfície de nível da função 𝐹 que é diferenciável no ponto 𝑥0 𝑦0 𝑧0 O plano tangente à superfície nesse ponto é dado por 𝐹𝑥𝑥0 𝑦0 𝑧0𝑥 𝑥0 𝐹𝑦𝑥0 𝑦0 𝑧0𝑦 𝑦0 𝐹𝑧𝑥0 𝑦0 𝑧0𝑧 𝑧0 0 Utilizando a fórmula acima determine a equação do plano tangente à superfície definida pela equação dada no ponto especificado a 𝑥2 𝑦2 𝑧2 17 no ponto 2 2 3 b 𝑧𝑥2 𝑥𝑦2 𝑦𝑧2 18 no ponto 0 2 3 O Cálculo é a arma de pensamento mais poderosa já criada pela inteligência do homem Wallace B Smith Mais questões na próxima página 3 Estimativa de erros Seja 𝑤 𝑓𝑥 𝑦 𝑧 uma grandeza que dependa dos valores de 𝑥 𝑦 e 𝑧 obtidos por meio de algum tipo de medição com erro Δ𝑥 Δ𝑦 e Δ𝑧 respectivamente O erro Δ𝑤 no cálculo de 𝑤 pode ser estimado por d𝑤 que por sua vez é dado pela fórmula d𝑤 𝑤 𝑥 d𝑥 𝑤 𝑦 d𝑦 𝑤 𝑧 d𝑧 De um modo geral teremos estimativas para os módulos dos erros assim podemos estimar o erro no cálculo de 𝑤 pela seguinte expressão 𝑤 𝑥 d𝑥 𝑤 𝑦 d𝑦 𝑤 𝑧 d𝑧 a Estime o erro no cálculo do volume em m3 de uma caixa retangular cujas dimensões são 10 5 e 4 m respecti vamente medidas com precisão de 1 cm b Estime o erro no cálculo da área de uma coroa circular cujos raios externo e interno medem respectivamente 10 cm e 5 cm com erro possível de 01 cm em cada medida 4 A altura de um cilindro circular reto está decrescendo a uma taxa de 10 cmmin e o raio crescendo a uma taxa de 4 cmmin No instante em que a altura é 50 cm e o raio é 16 cm calcule a A taxa de variação do volume b A taxa de variação da área de sua superfície 5 A temperatura é 𝑇𝑥 𝑦 𝑧 graus Celsius em qualquer ponto 𝑥 𝑦 𝑧 de certo sólido no espaço tridimensional sendo 𝑇𝑥 𝑦 𝑧 100 𝑥2 𝑦2 𝑧2 4 A distância é medida em centímetros a Calcule a taxa de variação da temperatura no ponto 2 1 1 na direção e sentido do vetor 2 𝑖 2 𝑗 𝑘 b Encontre a direção e sentido e o valor máximo da taxa de variação de 𝑇 em 2 1 1 O Cálculo é o resultado de uma dramática luta intelectual que durou dois mil e quinhentos anos Richard Courant Bons estudos
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Estudantes Prontuários Curso Disciplina Cálculo Diferencial e Integral 2 Data Atividade Atividade 1 Professor Renato Mello renatomelloifspedubr 1 Considere a função seguinte 𝑓𝑥 𝑦 𝑥𝑦 ln 𝑥 a Determine as derivadas parciais primeiras de 𝑓 b Determine o gradiente de 𝑓 no ponto 1 3 c Determine as derivadas parciais segundas de 𝑓 d Determine a matriz hessiana de 𝑓 no ponto 1 3 2 Equação do plano tangente a uma superfície de nível Seja 𝐹𝑥 𝑦 𝑧 𝑘 uma superfície de nível da função 𝐹 que é diferenciável no ponto 𝑥0 𝑦0 𝑧0 O plano tangente à superfície nesse ponto é dado por 𝐹𝑥𝑥0 𝑦0 𝑧0𝑥 𝑥0 𝐹𝑦𝑥0 𝑦0 𝑧0𝑦 𝑦0 𝐹𝑧𝑥0 𝑦0 𝑧0𝑧 𝑧0 0 Utilizando a fórmula acima determine a equação do plano tangente à superfície definida pela equação dada no ponto especificado a 𝑥2 𝑦2 𝑧2 17 no ponto 2 2 3 b 𝑧𝑥2 𝑥𝑦2 𝑦𝑧2 18 no ponto 0 2 3 O Cálculo é a arma de pensamento mais poderosa já criada pela inteligência do homem Wallace B Smith Mais questões na próxima página 3 Estimativa de erros Seja 𝑤 𝑓𝑥 𝑦 𝑧 uma grandeza que dependa dos valores de 𝑥 𝑦 e 𝑧 obtidos por meio de algum tipo de medição com erro Δ𝑥 Δ𝑦 e Δ𝑧 respectivamente O erro Δ𝑤 no cálculo de 𝑤 pode ser estimado por d𝑤 que por sua vez é dado pela fórmula d𝑤 𝑤 𝑥 d𝑥 𝑤 𝑦 d𝑦 𝑤 𝑧 d𝑧 De um modo geral teremos estimativas para os módulos dos erros assim podemos estimar o erro no cálculo de 𝑤 pela seguinte expressão 𝑤 𝑥 d𝑥 𝑤 𝑦 d𝑦 𝑤 𝑧 d𝑧 a Estime o erro no cálculo do volume em m3 de uma caixa retangular cujas dimensões são 10 5 e 4 m respecti vamente medidas com precisão de 1 cm b Estime o erro no cálculo da área de uma coroa circular cujos raios externo e interno medem respectivamente 10 cm e 5 cm com erro possível de 01 cm em cada medida 4 A altura de um cilindro circular reto está decrescendo a uma taxa de 10 cmmin e o raio crescendo a uma taxa de 4 cmmin No instante em que a altura é 50 cm e o raio é 16 cm calcule a A taxa de variação do volume b A taxa de variação da área de sua superfície 5 A temperatura é 𝑇𝑥 𝑦 𝑧 graus Celsius em qualquer ponto 𝑥 𝑦 𝑧 de certo sólido no espaço tridimensional sendo 𝑇𝑥 𝑦 𝑧 100 𝑥2 𝑦2 𝑧2 4 A distância é medida em centímetros a Calcule a taxa de variação da temperatura no ponto 2 1 1 na direção e sentido do vetor 2 𝑖 2 𝑗 𝑘 b Encontre a direção e sentido e o valor máximo da taxa de variação de 𝑇 em 2 1 1 O Cálculo é o resultado de uma dramática luta intelectual que durou dois mil e quinhentos anos Richard Courant Bons estudos