Vibrações Mecânicas - Quarta Edição

SINGIRESU RAO VIBRAÇÕES MECÂNICAS QUARTA SINGIRESU RAO VIBRAÇÕES MECÂNICAS QUARTA EDIÇÃO Tradução Arlete Simille Marques Revisão técnica Prof Dr José Juliano de Lima Junior Professor do Instituto de Engenharia Mecânica e do Programa de Pósgraduação em Engenharia Mecânica da Universidade Federal de Itajubá PEARSON Prentice Hall São Paulo Brasil Argentina Colômbia Costa Rica Chile Espanha Guatemala México Peru Porto Rico Venezuela 2009 by Pearson Education do Brasil Todos os direitos reservados Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida ou transmitida de nenhum modo ou por algum outro meio eletrônico ou mecânico incluindo fotocópia gravação ou qualquer outro tipo de sistema de armazenamento e transmissão de informação sem prévia autorização por escrito da Pearson Education do Brasil Diretor editorial Roger Timer Gerente editorial Sabrina Cairo Supervisor de produção editorial Marcelo Françozo Editora sênior Tatiana Pavaneli Valsi Editora Renata de Paula Truyts Preparação Renata G V de Assunção Revisão Maria Alice da Costa Capa Rafael Mazzo sobre projeto original Diagramação Globalete Artes Gráficas Dados Internacionais de Catalogação na Publicação CIP Câmara Brasileira do Livro SP Brasil Rao Singiresu S Vibrações mecânicas Singiresu S Rao revisor técnico José Juliano de Lima Junior tradução Arlete Simille São Paulo Pearson Prentice Hall 2008 Título original Mechanical vibrations 4 ed americana ISBN 9788576052005 1 Vibração Modelos matemáticos I Título 0811377 Índice para catálogo sistemático 1 Vibrações mecânicas Engenharia 6203 CDD6203 2008 Direitos exclusivos para a língua portuguesa cedidos à Pearson Education do Brasil uma empresa do grupo Pearson Education Av Ermanno Marchetti 1435 CEP 05038001 São Paulo SP Fone 11 21788686 Fax 11 21788688 email vendaspearsonedcom Para Lord Sri Venkateswara Sumário Prefácio xvii Agradecimentos xx Controle de vibração 305 Isolamento da vibração 320 Absorvedores de vibração 327 CAPÍTULO 10 CAPÍTULO 11 Prefácio Para estudantes Exercícios adicionais Lista de programas de linguagem MATLAB C e FORTRAN Respostas às perguntas de revisão Capítulos 12 13 e 14 do livro Original em Inglês Esses capítulos encontramse protegidos Para acesso é necessário inserir a senha 345478 ou local indicado no Companion Website de livro Lista de Símbolos Símbolo Significado Unidades inglesas Unidades SI a a0 a1 a2 constantes comprimentos ay coeficiente de flexibilidade inlb mN A matriz de flexibilidade inlb mN A área in² m² b b1 b2 constantes comprimentos B B1 B2 peso de balanceamento c c1 c2 coeficiente de amortecimento viscoso c0 c1 c2 constantes c velocidade de onda insec ms c c crítico lbsecin Nsm c1 constante de amortecimento do iésimo amortecedor cij coeficiente de amortecimento lbsecin Nsm c matriz de amortecimento lbsecin Nsm C C1 C2 C1 C2 Constantes d diâmetro dimensão in m D diâmetro in m D matriz dinâmica sec² s² e base de logaritmos naturais in m e e y vetores unitários paralelos às direções x e y E Módulo de Young lbin² Pa Ex valor esperado de x f frequência linear Hz Hz f f força por unidade de comprimento lbin lb F Fd força lb N F0 amplitude de força Ft lb N F f força que age sobre a iésima massa lb N F vetor de força lb N g aceleração devido à gravidade insec² ms² gt função resposta a impulso lbin² Nm Lista de Símbolos Símbolo Significado Unidades inglesas Unidades SI n um inteiro lb n número de graus de liberdade lb R número total de passos de tempo lbin² Nm² ps função densidade de probabilidade de x função distribuição de probabilidade de x força tensão lb N q jjésima coordenada generalizada vetor de deslocamentos generalizados vetor de velocidades generalizadas jf força generalizada Qjjésima força generalizada razão de frequências ωωn in m Reτ parte real de τ função de autocorrelação resistência elétrica ohm R função de dissipação de Rayleigh lbins Nms s coeficiente exponencial raiz da equação espectro de aceleração deslocamento velocidade sec s t i i iésima etapa de tempo sec s T jjésima função de transferência lbin Nm Símbolo Significado Unidades inglesas Unidades SI Massas equivalentes Eixo oco sob torção l comprimento D diâmetro externo d diâmetro interno Imagem em branco sem texto Galileu Galilei Galileo Galilei 15641642 um astrônomo filósofo e professor de matemática italiano das Universidades de Pisa e Pádova tornouse em 1609 o primeiro homem a apontar um telescópio para o céu Ele escreveu o primeiro tratado de dinâmica moderna em 1590 e seu trabalho sobre as oscilações de um pêndulo simples e a vibração de cordas são de significância fundamental para a teoria de vibrações Fotografia por cortesia de Dirk J Struik A Concise history of mathematics 2ª edição revisada Nova York Dover Publications Inc 1948 em bronze fundido tinha um diâmetro de oito chi um chi é igual a 0237 m e o formato de uma jarra de vinho Figura 14 Dentro da jarra havia um mecanismo que consistia em pêndulos carregados por um grupo de oito mecanismos de alavanca apontados para outras direções Oito figuras de dragão cada uma com uma boca no banco estavam posicionadas ao redor do sismógrafo Embaixo de cada dragão havia sapos com a boca aberta Um forte terremoto em qualquer direção inclinaria o pêndulo nessa mesma direção e acionaria a alavanca na cabeça de dragão Isso abriria a boca do animal e levantaria a boca de bronze que caía dentro da boca do sapo com um som metálico Assim o sismógrafo permitia que o pessoal da monitorização soubesse a hora e a direção em que o terremoto ocorrer FIGURA 14 Pitágoras como musicista Reproduzido com a permissão de D E Smith History of Mathematics v I Nova York Dover Publications Inc 1958 FIGURA 15 Dispositivo de Coulomb para testes de vibração torcional Reproduzido com a permissão de S P Timoshenko History of strength of materials História da resistência dos materiais Nova York McGrawHill Book Company Inc 1953 FIGURA 16 Idealização do elemento finito da carroceria de um ônibus 116 Reproduzido com a permissão da 1974 Society of Automotive Engineers Inc FIGURA 17 Ponte Tacoma Narrows durante vibração induzida pelo vento A ponte foi inaugurada em 1º de julho de 1940 e caiu em 7 de novembro de 1940 Foto Farahurshan Historical Photography Collection University of Washington Libraries FIGURA 18 Teste de vibração do ônibus espacial Enterprise Cortesía da NASA FIGURA 19 Aborrecimento causado por vibração e ruído Reproduzido com a permissão de Sound and vibration fevereiro de 1997 Acoustical Publications Inc Se todos os componentes básicos de um sistema vibratório a mola a massa e o amortecedor comportamse linearmente a vibração resultante é conhecida como vibração linear Contudo se qualquer dos elementos se comportar não linearmente a vibração é denominada vibração não linear As equações diferenciais que comandam o comportamento de sistemas vibratórios lineares e não lineares são lineares e não lineares respectivamente Se a vibração for linear o princípio da superposição é válido e as técnicas matemáticas de análise são bem desenvolvidas Para vibração não linear o princípio da superposição não é válido e as técnicas de análise são menos conhecidas Uma vez que todos os sistemas vibratórios tendem a comportarse não linearmente com o aumento da amplitude de oscilação é bom conhecer vibrações não lineares ao lidar com sistemas vibratórios na prática Se você souber ou calcular sobre um sistema vibratório foi conhecido a qualquer duração a excitação é denominada determinística A vibração resultante é conhecida como vibração determinística Em alguns casos a excitação é não determinística ou aleatória o valor da excitação de modo instantâneo não pode ser previsto Nesses casos um grande número de registros de excitação pode exibir alguma regularidade estatística É possível estimar médias como os valores médios e valores médios ao quadrado da excitação Exemplos de excitações aleatórias são a velocidade do vento a aspereza de uma estrada e o movimento do solo durante terremotos Se a excitação for aleatória a vibração resultante é denominada vibração aleatória No caso de vibração aleatória a resposta vibratória do sistema também é aleatória só pode ser descrita em termos de quantidades estatísticas A Figura 116 mostra exemplos de excitações determinísticas e aleatórias A Figura 118a mostra uma motocicleta com um motociclista Desenvolva uma sequência de três modelos matemáticos de sistema para investigar vibrações no sentido vertical Considere a elasticidade dos pneus a elasticidade e o amortecimento das longarinas no sentido vertical as massas dos rodas da motocicleta e da massa do motociclista Solução Começamos com o modelo mais simples e o refinamos gradativamente Quando são conhecidos os valores equivalentes da massa rigidez e amortecimento do sistema obtemos um modelo com um único grau de liberdade da motocicleta com um motociclista como indicado na Figura 118b Neste modelo a rigidez equivalente keq inclui a rigidez dos pneus longarinas e motociclista A constante de amortecimento equivalente ceq engloba o amortecimento das longarinas e do motociclista A massa equivalente abrange as massas das rodas do corpo de veículo e do motociclista Esse modelo pode ser refinado representando as massas das rodas a elasticidade dos pneus e a elasticidade e amortecimento das longarinas em separado como mostra a Figura 118c Nesse modelo a massa do corpo de veículo mv e a massa do motociclista ms são consideradas uma massa única mc mv ms Quando são consideradas a elasticidade kc e o amortecimento cc proporcionalmente a como quantidades dinâmicas podese obter o modelo mostrado na Figura 118c em novo mostrado na Figura 118d Molas reais não lineares e seguem a Equação 11 apenas até certa deformação Quando a deformação ultrapassa certo valor após o ponto A na Figura 119 a tensão ultrapaso o limite de escoamento do material e a relação forçadeformação tornase não linear 123 124 Para muitas aplicações práticas admitimos que as deflexões são pequenas e usamos a relação linear na Equação 11 Ainda que a relação forçadeflexão de uma mola seja não linear como mostra a Figura 120 frequentemente nós aproximamos como linear usando um processo de linearização 124 125 Para ilustrar o processo de linearização admitimos que a carga de equilíbrio estático F que age sobre a mola causa uma deflexão x0 dest A nova força da mola F pode ser expressa usando expansões em série de Taylor ao redor da posição de equilíbrio estático x como F ΔF Fx Δx Fx 1 2 2Fx Δx2 Para valores pequenos de Δx os termos de derivadas de ordem superior podem ser desprezados para obter F ΔF Fx dF dx x Δx 14 Visto que F Fx podemos expressar ΔF como ΔF kΔx onde k é a constante elástica linearizada em x dada por k dF dx x Podemos usar a Equação 15 por simplicidade porém às vezes o erro envolvido na aproximação pode ser muito grande Elementos elásticos como também comportamse como molas Por exemplo consideremos uma viga em balanço com uma massa m na extremidade como mostrado na Figura 121 Admitimos por simplicidade que a massa da viga é desprezível em comparação com a massa m Pela resistência dos materiais 126 sabemos que a deflexão estática da viga na extremidade livre é dada por δs W3 3EI onde W mg é o peso da massa m E é o módulo de Young I é o momento de inércia da seção transversal da viga Como consequência a constante elástica é k W δs 3EI3 Resultados semelhantes podem ser obtidos para vigas com extremidades em diferentes condições As equações 18 e 19 resultam em keq k1 k2 W k1δt k2δt W k eq δst FIGURA 127 Guindaste suspendendo uma carga A energia potencial total U armazenada nas molas k1 e k2 pode ser expressa pela Equação 12 como U 12 k1α cos 45² 12 k2l²x cos90 θ² E1 onde k1 A1E1 100 10⁶207 10⁹ 123055 16822 10⁶ Nm e k2 A2E2 10 2500 10⁶207 10⁹ 51750 10⁷ Nm Uma vez que a mola equivalente na direção vertical sofre uma deformação x a energia potencial da mola equivalente Ueq é dada por Ueq 12 keqx² E2 e se fizermos U Ueq obtemos a constante elástica equivalente do sistema como keq 264304 10⁶ Nm FIGURA 128 Idealização de um edifício de vários andares como um sistema com múltiplos graus de liberdade Em vista das Equações 118 e 119 essa equação dá meq m1 l2l1²m2 l3l1²m3 121 Caso 2 Massas de translação e rotações acopladas Considere a massa m com velocidade de translação x acoplada a outra massa de momento de inércia de massa J0 com uma velocidade rotacional θ como no arranjo de cremalheira e pinhão mostrado na Figura 130 Essas duas massas podem ser associadas para obter 1 uma única massa equivalente de translação meq ou 2 uma única massa equivalente rotacional Jeq como mostrado 1 Massa equivalente de translação A energia cinética das duas massas é dada por T 12 m1x² 12 J0θ² 122 FIGURA 131 Sistema considerado para determinar massa equivalente Equação E1 pode ser pode ser reescrita como T 12 m2x² 12 Jprp² xrp² 12 m1l1²3xrp² 12 m2r1rp² i 12 mcr22xl1rp² Igualando a Equação E2 a energia cinética do sistema equivalente T 12 meqx² E3 obtemos a massa equivalente do sistema como meq m Jprp² m1l1²rp² m2l2²rp² diagrama tensãodeformação mostra um ciclo de histerese como indicado na Figura 133a A área desse ciclo denota a energia perdida por unidade de volume do corpo por ciclo devido ao amortecimento 3 191 Construção de amortecedores viscosos Um amortecedor viscoso pode ser construído usandose duas placas paralelas separadas por uma distância h com um fluido de viscosidade μ entre as placas Figura 134 Considerase que uma das placas fixa e a outra está movendose com uma velocidade v em seu próprio plano As camadas de fluido em contato com a placa em movimento movemse com uma velocidade v enquanto as que estão em contato com a placa fixa não se movem Admitese que as velocidades das camadas intermediárias do fluido variam linearmente entre 0 e v como mostra a Figura 134 Segundo a lei de Newton de fluxo viscoso a tensão de cisalhamento τ desenvolvida na camada de fluido a uma distância y da placa fixa é dada por τ μ du dy 126 Tensão força Ciclo de histerese Carregamento Descarregamento Deformação deslocamento Área a b FIGURA 133 Ciclo de histerese para materiais elásticos 3 Quando a carga aplicada a um corpo elástico é aumentada a tensão e a deformação do corpo também aumentam A área sob a curva dada por u σ da 126 onde dudy é o gradiente de velocidade A força de cisalhamento ou de resistência F desenvolvida na superfície inferior da placa em movimento é F τA μA v h c v 127 onde A é a área da superfície da placa em movimento e c μA h 128 é denominada constante de amortecimento Se um amortecedor for não linear normalmente é usado um procedimento de linearização ao redor da velocidade de operação v como no caso de uma mola não linear O processo de linearização fornece a constante de amortecimento equivalente como c dF dv v 129 192 Associação de amortecedores Quando amortecedores aparecem em associação eles podem ser substituídos por um amortecedor equivalente adotandose um procedimento semelhante ao descrito nas seções 17 e 18 Problema 135 EXEMPLO 18 Folga em um mancal Verificouse que um mancal que pode ser aproximado como duas placas planas separadas por uma fina película de lubrificante Figura 135 oferece uma resistência de 400 N quando é usado óleo SAE30 como lubrificante e a velocidade relativa entre as placas é 10 ms A área das placas A for 01 m² determine a folga entre as placas Suponha que a viscosidade absoluta do óleo SAE30 seja 50µ reyon ou 03445 Pas Solução Visto que a força de resistência F pode ser expressa como F cv onde c é a constante de amortecimento em t e v é a velocidade temos c F v 400 10 40 Nsm E1 Modelando o mancal como um amortecedor do tipo plana a constante de amortecimento é dada pela Equação 128 tensão e α dada por têndido e energia gasta trabalho realizado por unidade de volume do corpo Quando a carga aplicada ao corpo for diminuída a energia será recuperada Quando o caminho de descarregamento é diferente do caminho de carregamento a área ABC da Figura 133a denota a energia perdida por unidade de volume do corpo FIGURA 137 Fresadora horizontal FIGURA 138 Mecanismo Scotch Yoke FIGURA 139 Movimento harmônico como a projeção da extremidade de um vetor girante FIGURA 142 Adição vetorial de funções harmônicas FIGURA 143 Adição de movimentos harmônicos FIGURA 144 Diferença de fase entre dois vetores Uma função periódica Espectro de frequência de uma típica função periódica de tempo Funções pares e ímpares Expansões por série de Fourier de xt e xt são conhecidas como expansões de meiafaixa 137 Qualquer expansão de meiafaixa pode ser usada para determinar xt no intervalo 0 a τ FIGURA 152 Valores da função periódica xt em pontos discretos t₁ t₂ tₙ xt A τ2 sen ωt 12 sen 2ωt 13 sen 3ωt para 0 t τ Os seguintes resultados são gerados pelo programa zero a0 da Equação 197 at ab bi i 1 2 m onde ai e bi denotam os valores calculados de ai e bi dados pelas Equações 198 e 199 respectivamente Programa 1 Programa em C interativo denominado Program1cpp é dado para a análise de harmônicas de uma função xt Os parâmetros de entrada e de saída do programa são semelhantes aos do programa MATLAB dados no Exemplo 116 e também são descritos nas linhas de comentários do programa Program1cpp Please input the data Please input n 12 Please input m 12 Please input time 012 Please input the value of tj j 0 n1 340000 EXEMPLO 115 Representação gráfica de batimentos Uma massa está sujeita a dois movimentos harmônicos dados por x1t X cos ωt e x2t X cos ω δt com X 1 cm ω 20 rads e δ 1 rads Representa o movimento resultante da massa em gráfico usando MATLAB e identifique a frequência de batimento QUESTÕES DE REVISÃO Capítulo 1 Fundamentos de vibrações Vibrações mecânicas Capítulo 1 Fundamentos de vibrações 114 Determine o comprimento do eixo oco uniforme equivalente de diâmetro interno e e expresso t que tem a mesma constante elástica axial que o eixo cônico sólido mostrado na Figura 166 119 A relação força Fdeflexão x de uma mola não linear é dada por F ax bx³ onde a e b são constantes Determine a constante elástica linear equivalente quando a deflexão é 001 m com a 20000 Nm e b 40 x 10⁶ Nm³ Considera dois molas helicoidais com as seguintes características Mola 1 material aço número de espiras 10 diâmetro médio do enrolamento 10 in diâmetro do arame 2 in comprimento livre 15 in módulo de elasticidade transversal 12 X 106 psi Mola 2 material alumínio número de espiras 10 diâmetro médio do enrolamento 10 in diâmetro do arame 1 in comprimento livre 15 in módulo de elasticidade transversal 4 X 106 psi Determine a constante elástica equivalente quando a a mola 2 é colocada dentro da mola 1 e b a mola 2 é colocada sobre a mola 1 A lança AD da escavadeira mostrada na Figura 173 pode ser aproximada como um tubo de aço com diâmetro externo 10 in diâmetro interno 95 in e comprimento 100 in com um coeficiente de amortecimento viscoso de 04 A lança DE pode ser aproximada como um tubo de aço de diâmetro externo 7 in diâmetro interno 65 in e comprimento 75 in com um coeficiente de amortecimento viscoso de 03 Estime a constante elástica equivalente e o coeficiente de amortecimento equivalente da escavadeira admitindo que a base AC seja fixa O trocador de calor consiste em seis tubos de aço inoxidável idênticos conectados em paralelo como mostra a Figura 174 Se cada tubo tiver diâmetro externo de 030 in diâmetro interno de 029 in e comprimento de 50 in determine a rigidez axial e a rigidez torsional ao redor do eixo longitudinal do trocador de calor Capítulo 1 Fundamentos de vibrações 45 Vibrações mecânicas 46 Capítulo 1 Fundamentos de vibrações 47 191 O arranjo mostrado na Figura 198 é usado para regular o peso do material alimentado por uma tremonha e uma esteira transportadora A manivela impõe um movimento alternativo à haste atuadora no plano de cunha A amplitude do movimento conduzindo a haste atuadora pode ser variado elevando ou baixando a cunha Visto que a esteira transportadora é articulada no ponto O qualquer sobrecarga na esteira faz com que a alavanca da esteira se incline para baixo o que por consequência eleva a cunha Isso resulta na redução da amplitude da haste atuadora e portanto na taxa de alimentação Elabore o projeto de sistema de regulagem do peso como esse que mantenha um peso entre de 10 e 11 lb por minuto