Aplicações de Derivação e Análise Gráfica

Copyright Cengage Learning Todos os direitos reservados 4 Aplicações de Derivação Copyright Cengage Learning Todos os direitos reservados 43 Como as Derivadas Afetam a Forma de um Gráfico O Que f Diz sobre f 4 O Que f Diz sobre f Para ver como a derivada de f pode nos dizer onde uma função é crescente ou decrescente observe a Figura 1 Entre A e B e entre C e D as retas tangentes têm inclinação positiva e portanto f x 0 Figura 1 5 Entre B e C as retas tangentes têm inclinação negativa e portanto f x 0 Assim parece que f cresce quando f x é positiva e decresce quando f x é negativa Para demonstrar que isso é sempre válido vamos usar o Teorema do Valor Médio O Que f Diz sobre f 6 Exemplo 1 Encontre onde a função f x 3x4 4x3 12x2 5 é crescente e onde ela é decrescente SOLUÇÃO f x 12x3 12x2 24x 12xx 2x 1 Para usarmos o Teste CD devemos saber onde f x 0 e onde f x 0 Isso depende dos sinais dos três fatores de f x isto é 12x x 2 e x 1 Dividimos a reta real em intervalos cujas extremidades são os números críticos 1 0 e 2 e dispomos o que fizemos em uma tabela Um sinal de mais indica que a expressão dada é positiva e um sinal de menos indica que é negativa A última coluna da tabela mostra a conclusão baseada no teste CD 7 Exemplo 1 Solução Por exemplo f x 0 para 0 x 2 de modo que f é decrescente em 0 2 Também seria verdade dizer que f é decrescente no intervalo fechado 0 2 continuação 8 Exemplo 1 Solução O gráfico de f mostrado na Figura 2 confirma a informação dada na tabela continuação Figura 2 9 O Que f Diz sobre f Você pode ver a partir da Figura 2 que f 0 5 é um valor máximo local de f pois f cresce em 1 0 e decresce em 0 2 Ou em termos derivados f x 0 para 1 x 0 e f x 0 para 0 x 2 Em outras palavras o sinal de f x muda de positivo para negativo em 0 Essa observação é a base do teste a seguir 10 O Que f Diz sobre f O Teste da Primeira Derivada é uma consequência do Teste CD Na parte a por exemplo uma vez que o sinal de f x muda de positivo para negativo em c f é crescente à esquerda de c decrescente à direita de c A consequência é que f tem um máximo local em c É fácil memorizar o Teste da Primeira Derivada visualizando diagramas como os da Figura 3 Máximo local Mínimo local Figura 3a Figura 3b 11 O Que f Diz sobre f Nem máximo nem mínimo Nem máximo nem mínimo Figura 3c Figura 3d 12 Exemplo 3 Encontre os valores de máximos e mínimos locais da função gx x 2 sen x 0 x 2 SOLUÇÃO Para achar os números críticos de g derivamos g x 1 2 cos x Logo g x 0 quando cos As soluções desta equação são 2 3 e 4 3 13 Exemplo 3 Solução Como g é derivável em toda parte os únicos números críticos são 2 3 e 4 3 e portanto analisamos g na tabela a seguir continuação 14 Exemplo 3 Solução Como o sinal de g x muda de positivo para negativo em 2 3 o Teste da Primeira Derivada nos diz que há um máximo local em 2 3 e o valor máximo local é 383 Da mesma forma o sinal de g x muda de negativo para positivo em 4 3 então 246 é um valor mínimo local continuação 15 Exemplo 3 Solução O gráfico de g na Figura 4 confirma nossa conclusão continuação g x x 2 sen x Figura 4 O que f Nos Diz sobre f 17 O que f Nos Diz Sobre f A Figura 5 mostra os gráficos de duas funções crescentes em a b Ambos os gráficos unem o ponto A ao B mas eles são diferentes pois se inclinam em direções diferentes Figura 5a Figura 5b 18 O que f Nos Diz Sobre f Na Figura 6 as tangentes a essas curvas foram traçadas em vários pontos Na parte a a curva fica acima das tangentes e f é chamada côncava para cima em a b Em b a curva está abaixo das tangentes g e é chamada côncava para baixo em a b Côncava para cima Côncava para baixo Figura 6b Figura 6a 19 O que f Nos Diz Sobre f A Figura 7 mostra o gráfico de uma função que é côncava para cima abreviase CC nos intervalos b c d e e e p e côncava para baixo CB nos intervalos a b c d e p q Figura 7 20 O que f Nos Diz Sobre f Vamos observar como a segunda derivada nos ajuda a determinar os intervalos de concavidade Olhando para a Figura 6a você pode ver que indo da esquerda para a direita a inclinação da tangente cresce Côncava para cima Figura 6a 21 O que f Nos Diz Sobre f Isso significa que a derivada f é uma função crescente e consequentemente sua derivada f é positiva Da mesma forma na Figura 6b a inclinação da tangente decresce da esquerda para a direita logo f decresce e portanto f é negativa Côncava para baixo Figura 6b 22 O que f Nos Diz Sobre f Esse raciocínio pode ser invertido e sugere que o teorema a seguir é verdadeiro 23 Exemplo 4 A Figura 8 mostra um gráfico da população de abelhas cipriotas criadas em um apiário Como cresce a taxa populacional Quando essa taxa é mais alta Sobre quais intervalos P é côncavo para cima ou côncavo para baixo Figura 8 24 Exemplo 4 Solução Examinando a inclinação da curva quando t cresce vemos que a taxa de crescimento populacional é inicialmente muito pequena então se torna maior até atingir o máximo em cerca de t 12 semanas e decresce até a população se estabilizar À medida que a população tende a seu valor máximo de cerca de 75000 chamada capacidade de suporte a taxa de crescimento P t tende a 0 A curva parece ser côncava para cima em 0 12 e côncava para baixo em 1218 O que f Nos Diz Sobre f Definição Um ponto P na curva y fx é chamado ponto de inflexão se f é contínua no ponto e a curva mudar de côncava para cima ou côncava para baixo ou viceversa em P Teste da Segunda Derivada Suponha que f seja contínua na proximidade de c a Se fc 0 e fc 0 então f tem um mínimo local em c b Se fc 0 e fc 0 então f tem um máximo local em c 26 Exemplo 6 Examine a curva y x4 4x3 em relação à concavidade aos pontos de inflexão e mínimos e máximos locais Use essa informação para esboçar a curva SOLUÇÃO Se f x x4 4x3 então f x 4x3 12x2 4x2x 3 f x 12x2 24x 12xx 2 27 Exemplo 6 Solução Para acharmos os números críticos fazemos f x 0 e obtemos x 0 e x 3 Para usar o Teste da Segunda Derivada calculamos f nesses pontos críticos f 0 0 f 3 36 0 Uma vez que f 3 0 e f 3 0 f 3 27 é um mínimo local Uma vez que f 0 0 o Teste da Segunda Derivada não fornece informações sobre o número crítico 0 continuação 28 Exemplo 6 Solução Mas uma vez que f x 0 para x 0 e também para 0 x 3 o Teste da Primeira Derivada nos diz que f não tem um máximo ou mínimo local em 0 De fato a expressão para f x mostra que f decresce à esquerda de 3 e cresce à direita de 3 Como f x 0 quando x 0 ou 2 dividimos a reta real em intervalos com esses números como extremidades e completamos a seguinte tabela continuação 29 Exemplo 6 Solução O ponto 00 é um ponto de inflexão uma vez que a curva muda de côncava para cima para côncava para baixo aí Também 2 16 é um ponto de inflexão uma vez que é ali que a curva muda de côncava para baixo para côncava para cima Usando o mínimo local os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão esboçamos a curva na Figura 11 continuação Figura 11 30 O que f Nos Diz Sobre f OBSERVAÇÃO O Teste da Segunda Derivada é inconclusivo quando f c 0 Em outras palavras esse ponto pode ser um máximo um mínimo ou nenhum dos dois como no Exemplo 6 Esse teste também falha quando f c não existe Em tais casos o Teste da Primeira Derivada deve ser usado De fato mesmo quando ambos os testes são aplicáveis o Teste da Primeira da Derivada é frequentemente mais fácil de aplicar 31 Exemplo 7 Esboce o gráfico da função f x x236 x13 SOLUÇÃO O cálculo das duas primeiras derivadas dá Uma vez que f x 0 quando x 4 e f x não existe quando x 0 ou x 6 os números críticos são 0 4 e 6 32 Exemplo 7 Solução Para encontramos os valores extremos locais usamos o Teste da Primeira Derivada Uma vez que o sinal de f muda de negativo para positivo em 0 f0 0 é um mínimo local Já que o sinal de f muda de positivo para negativo em 4 f4 253 é um máximo local O sinal de f não muda em 6 logo não há nem mínimo nem máximo aí O Teste de Segunda Derivada poderia ser usado em 4 mas não em 0 ou 6 uma vez que f não existe aí continuação 33 Exemplo 7 Solução Examinando a expressão f x para e observamos que x43 0 para todos x temos f x 0 para x 0 e para 0 x 6 e f x 0 para x 6 Logo f é côncava para baixo em 0 e 0 6 côncava para cima em 6 e o único ponto de inflexão é 6 0 continuação 34 Exemplo 7 Solução O gráfico está esboçado na Figura 12 Observe que a curva tem tangentes verticais em 00 e 60 pois f x quando x 0 e quando x 6 continuação Figura 12