Aproximação do Trabalho da Força e Integral de Linha

Conforme explicado o somatório apresentado anteriormente é apenas uma aproximação para o trabalho da força mathbfF Sendo assim restanos uma questão como melhorar a qualidade dessa aproximação Perceba que o somatório não pode ser considerado como igual ao trabalho por dois motivos a força mathbfFr não é constante ao longo de cada trecho Delta ri O vetor mathbfF representa o deslizamento total no respectivo trecho A parte apainhada da figura 22 mostra que este deslocamento nãoiésimo trecho representa fielmente o caminho Isso se deve ao fato de que os trechos não são limitados ao passo que o vetor deslizamento representa um pequeno relévio Diante da opção somar e vedar o cálculo para uma melhor aproximação no cálculo do trabalho devemos dividir o caminho mathbfR nas maiores quantidades de caminhos intermediários possíveis Na ilustração da figura 22 onde a força pode entrar no cálculo de cada trecho foi dada a força no início de cada trecho Delta ri Contudo podemos melhorar a aproximação tomando o valor da força em um ponto intermediário do caminho Delta ri de modo que este ponto seja mais representativo que suas extremidades Dessa forma Wr sumi intriri1 mathbfFr cdot dmathbfr sendo r um vetor cuja extremidade se encontra no trecho dado ri Ora a melhor aproximação possível seria então cada força possível dividir o caminho em n infinitos trechos e somar as diferentes forças infinitos resultados Salvemos que isto é possível Nas mais formas conscientes isso nos fornece uma forma talvez para possíveis resultados de uma infinidade pares desde que passagens sejam exatas e extremas E estando isto em curso existem pelas divisões do caminho mathbfrt ternos então a combinação de cada trecho Assim podemos tomar igual o número de trechos diferentes indeterminadamente e termos o valor exato não mais uma aproximação do trabalho da força F ao longo do caminho dado O limite acima é conhecido como uma integral de linha portanto o trabalho de uma força mathbfF ao longo de um caminho qualquer C é dado por Wr limN o infty sumi mathbfFri cdot Delta ri intC mathbfF cdot dmathbfr Ressaltamos que o símbolo intC mathbfF cdot dmathbfr é meramente um notação ou seja não nos indica um método para o cálculo do trabalho Ou melhor o símbolo intC mathbfF cdot dmathbfr indica que o trabalho deve ser realizado através de limite apresentado na equação 21 Embora o cálculo de uma integral de linha não seja como de uma integral simples aprendido nas disciplinas do cálculo podemos dizer que a integral simples em caso particular de linha quando o caminho for uma linha reta Essas formas consideram em termos uma interpretação geométrica do trabalho da força variável ao longo do caminho reto Imaginemos um corpo que movimente em um corpo em movimento linear A figura abaixo ilustra esta situação A notação vetorial pode ser suprimida uma vez que a força atua em uma linha reta Uma aproximação para o trabalho desta força pode ser dado por r x1 y1 Delta A1 x2 y2 Delta A2 dots xn yn Delta An sum mathbfFri cdot Delta ri