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Cursos Gerais ·
Lógica Matemática
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Instituto Federal de Educação Ciência e Técnologia do Maranhão Professor Wilian Rocha Disciplina Teoria dos Números Estudante Turma LEDOCMAT 2023 Atividade Individual LEDOCMAT Tempo de comunidade Sobre critérios de divisibilidade 1 Para um número natural de 6 dígitos n abcdef prove os critérios de divisibilidade desse número por 2 3 4 5 6 7 8 9 e 10 2 Apresente um exemplo e um contra exemplo para cada critério de divisibilidade provado no exercício anterior 3 Com as suas palavras enuncie cada critério de divisibilidade do modo que dissertariam aos seus alunos 4 Durante uma aula sobre critério de divisibilidade numa turma do LEDOC no IFMA um aluno fez a seguinte afirmação Então professor podemos afirmar que um número é divisível por 4 quando a soma de seus dois últimos dígitos também for divisível por 4 O professor percebendo que o aluno cometeu um erro indicou onde estava este erro enunciou do modo correto e mostrou o motivo pelo qual o aluno se equivocou enquanto provava o criitério de divisibilidade por 4 Caso fosse você oa professora disserte como você indicaria enunciaria e mostraria provando o motivo pelo qual o aluno cometeu este equívoco 5 Durante uma aula sobre critério de divisibilidade numa turma de ensino médio uma aluna fez a seguinte afirmação Então professor pelo mesmo motivo que o senhor nos mostrou que um número é divisível por 6 quando este número for divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo podemos afirmar que um número é divisível por 15 quando o mesmo for divisível por 3 e por 5 ao mesmo tempoDisserte como seria a sua resposta à aluna e como justificaria a resposta correta ou incorreta da mesma O sucesso é a soma de pequenos esforços repetidos dia após dia 1 6 Discorra em um texto livre como foram os aprendizados e conhecimentos que teve ao longo da disciplina de Teoria dos Números Fique a vontade para também apontar aspectos positivos e negativos que sirvam de melhorias construtivas para as próximas turmas do LEDOC que terão aulas sobre esta disciplina Qual nota você daria para evolução que teve de acordo com seus conhecimentos do início ao final da disciplina Por fim você se sente mais mais preparada ou mais preparado para aplicar alguns dos conhecimentos que aprendeu numa sala de aula com alunos Reforço sobre esta última questão discorra livremente Materiais de estudo complementares Assistam aos vídeos que foram e que serão postados na plataforma Google Classroom sobre a disciplina Teora dos Números e sobre conceitos elementares de matemática Além disso estudem também os materiais digitais complementares que foram postados Tudo no tempo de vocês Organizemse e façam ótimo proveito de todos conhecimentos Foi um prazer compartilhar conhecimentos e também aprender com vocês ao longo dessa disciplina Abraços Prof Wilian 2 1 Dado nabcdef podemos representar em sua expansão decimal por n a105 b104 c103 d102 e10 f O número n é divisível por 2 se o termo das unidades f for um nº par ou seja f 02468 note que 2 divide todos os outros termos em razão das potências de 10 O número n é divisível por 3 se a soma dos dígitos for divisível por 3 para ver note que n a105 b104 c103 d102 e10 f a a99999 b b9999 c999 c d d99 e e9 f a b c d e f a99999 b9999 c999 d99 e9 o nº 3 divide 999999 então para dividir n deve necessariamente dividir a soma dos dígitos O número n é divisível por 4 se o número formado pelos dois dígitos for divisível por 4 pois n a105 b104 c103 d102 e10 f 102 a103 b102 c10 d e10 f o nº 4 divide 102 100 então para 4 dividir n deve necessariamente dividir 10e f o nº formado pelos 2 últimos dígitos O número n é divisível por 5 se o último dígito for divisível por 5 ou seja f 05 Olhando a expansão decimal vemos que 5 divide as potências de 10 e portanto deve dividir f ou seja f0 ou f5 O número n é divisível por 6 se for divisível por 2 e 3 pois 623 mdc23 1 ou seja os critérios de divisibilidade de 2 e 3 se aplicam simultaneamente O número n é divisível por 7 se tomarmos o último dígito de n multiplicarmos por 2 e subtrair do restante do número o resultado ser um número divisível por 7 Simbolicamente temos que fazer abcde 2f e verificar se esse número é divisível por 7 Em geral pode ocorrer que não seja nessa primeira etapa sendo necessário a repetição do algoritmo Um exemplo primeiramente tome 581 Pelo processo descrito acima tomamos o último dígito 1 e multiplicamos por 2 e subtraímos do restante 58 21 58 2 56 o nº resultante 56 nesse caso é divisível por 7 pois 56 78 Portanto 581 é divisível por 7 Pode ocorrer de ser necessário repetir o processo Uma justificação possível é n 105a b104 c103 d102 e10 f 105a b104 c103 d102 e10 f 20f 20f 10104a b103 c102 d10 e 2f 21f o termo 21f é divisível por 7 para 7 dividir n deve dividir o termo 10104a b103 c102 d10 e 2f Como 7 é um número primo então 7 divide 10 ou 7 divide a104 b103 c102 d10 e 2f A primeira opção não é possível então resta a segunda opção O número n é divisível por 8 se o número formado pelos 3 últimos dígitos for divisível por 8 n a105 b104 c103 d102 e10 f 103 a102 b10 c d102 e10 f note que 8 divide 103 1000 então para que 8 divida n deve necessariamente dividir d102 e10 f O número n é divisível por 9 se o número formado pela soma dos dígitos for divisível por 9 n a105 b 104 c103 d102 e10 f como em 5 a b c d e f a99999 b9999 c999 d99 e9 o nº 9 divide 999999 então para 9 dividir n deve dividir a b c d e f também E por fim o n é divisível por 10 se o último dígito for 0 n a105 b104 c103 d102 e10 f note que 10 divide todas as potências de 10 então para que n seja divisível por 10 devemos ter que 10 divide f a única maneira disso ocorrer é se f0 2 Para 2 considere Exemplo E 200002 é divisível por 2 pois termina com dígito par 2 contraexemplo CE 100001 não é divisível por 2 pois seu último dígito não é par Para 3 considere E 101001 é divisível por 3 pois 1010013 que é divisível por 3 CE 101002 não é divisível por 3 pois 1010024 que não é um múltiplo de 3 Para 4 considere E 100012 é divisível por 4 pois 12 últimos dígitos é divisível por 4 CE 100011 não é divisível por 4 pois 11 não é divisível por 4 Para 5 considere E 300005 é divisível por 5 pois termina em 5 CE 300206 não é divisível pois não termina em 0 ou 5 Para 6 considere E 210006 é divisível por 6 pois é divisível por 2 em razão do último dígito e 2 1 0 0 0 6 9 portanto é divisível por 3 CE 200006 não é divisível por 6 pois a soma dos seus dígitos não é múltiplo do 3 Para 7 considere E 100009 é divisível por 7 pois 100009 29 9982 998 4 994 99 8 91 137 CE 100001 não é divisível por 7 pois 100001 2 99999 9999 18 99981 9998 2 9996 999 12 987 98 14 84 84 não é divisível por 7 Para 8 considere E 100064 é divisível por 8 pois 06464 é divisível por 8 CE 100065 não é divisível pois 06565 não é Para 9 considere E 126000 é divisível por 9 pois 1260009 CE 127000 não é divisível por 9 pois 12700010 Para 10 considere E 357120 é divisível por 10 pois termina em 0 CE 357361 não é divisível por 10 pois não termina em 0 3 Para 2 o último dígito deve terminar em um número par Para 3 a soma dos dígitos deve ser um múltiplo de 3 Para 4 os dois últimos dígitos devem formar um número divisível por 4 Para 5 o número deve terminar em 0 ou 5 Para 6 o número deve ter o último dígito par e a soma de todos os dígitos ser um múltiplo de 3 Para 7 a mesma explicação dada em 1 exercicio Para 8 os últimos três dígitos devem formar um número divisível por 8 Para 9 a soma dos dígitos deve ser um múltiplo de 9 Para 10 o último dígito deve terminar em 0 4 O aluno se equivocou ao dizer que um para um número ser divisível por 4 os dois últimos dígitos ao serem somados devem resultar num múltiplo de 4 O verdadeiro critério de divisibilidade por 4 pode ser enunciado como Dado um número natural este é divisível por 4 se ao número formado por seus dois últimos dígitos for divisível por 4 Por exemplo o número 732 seus dois últimos dígitos formam 32 que é divisível por 4 portanto 732 é divisível por 4 Um contra exemplo a afirmação do aluno é 71 a soma de seus dígitos é 8 que é divisível por 4 mas 71 não é 5 Sim a afirmação da aluna está correta pois basta observar que 15 3 5 assim qualquer número que seja divisível por 15 também será por 3 e 5 simultaneamente
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Instituto Federal de Educação Ciência e Técnologia do Maranhão Professor Wilian Rocha Disciplina Teoria dos Números Estudante Turma LEDOCMAT 2023 Atividade Individual LEDOCMAT Tempo de comunidade Sobre critérios de divisibilidade 1 Para um número natural de 6 dígitos n abcdef prove os critérios de divisibilidade desse número por 2 3 4 5 6 7 8 9 e 10 2 Apresente um exemplo e um contra exemplo para cada critério de divisibilidade provado no exercício anterior 3 Com as suas palavras enuncie cada critério de divisibilidade do modo que dissertariam aos seus alunos 4 Durante uma aula sobre critério de divisibilidade numa turma do LEDOC no IFMA um aluno fez a seguinte afirmação Então professor podemos afirmar que um número é divisível por 4 quando a soma de seus dois últimos dígitos também for divisível por 4 O professor percebendo que o aluno cometeu um erro indicou onde estava este erro enunciou do modo correto e mostrou o motivo pelo qual o aluno se equivocou enquanto provava o criitério de divisibilidade por 4 Caso fosse você oa professora disserte como você indicaria enunciaria e mostraria provando o motivo pelo qual o aluno cometeu este equívoco 5 Durante uma aula sobre critério de divisibilidade numa turma de ensino médio uma aluna fez a seguinte afirmação Então professor pelo mesmo motivo que o senhor nos mostrou que um número é divisível por 6 quando este número for divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo podemos afirmar que um número é divisível por 15 quando o mesmo for divisível por 3 e por 5 ao mesmo tempoDisserte como seria a sua resposta à aluna e como justificaria a resposta correta ou incorreta da mesma O sucesso é a soma de pequenos esforços repetidos dia após dia 1 6 Discorra em um texto livre como foram os aprendizados e conhecimentos que teve ao longo da disciplina de Teoria dos Números Fique a vontade para também apontar aspectos positivos e negativos que sirvam de melhorias construtivas para as próximas turmas do LEDOC que terão aulas sobre esta disciplina Qual nota você daria para evolução que teve de acordo com seus conhecimentos do início ao final da disciplina Por fim você se sente mais mais preparada ou mais preparado para aplicar alguns dos conhecimentos que aprendeu numa sala de aula com alunos Reforço sobre esta última questão discorra livremente Materiais de estudo complementares Assistam aos vídeos que foram e que serão postados na plataforma Google Classroom sobre a disciplina Teora dos Números e sobre conceitos elementares de matemática Além disso estudem também os materiais digitais complementares que foram postados Tudo no tempo de vocês Organizemse e façam ótimo proveito de todos conhecimentos Foi um prazer compartilhar conhecimentos e também aprender com vocês ao longo dessa disciplina Abraços Prof Wilian 2 1 Dado nabcdef podemos representar em sua expansão decimal por n a105 b104 c103 d102 e10 f O número n é divisível por 2 se o termo das unidades f for um nº par ou seja f 02468 note que 2 divide todos os outros termos em razão das potências de 10 O número n é divisível por 3 se a soma dos dígitos for divisível por 3 para ver note que n a105 b104 c103 d102 e10 f a a99999 b b9999 c999 c d d99 e e9 f a b c d e f a99999 b9999 c999 d99 e9 o nº 3 divide 999999 então para dividir n deve necessariamente dividir a soma dos dígitos O número n é divisível por 4 se o número formado pelos dois dígitos for divisível por 4 pois n a105 b104 c103 d102 e10 f 102 a103 b102 c10 d e10 f o nº 4 divide 102 100 então para 4 dividir n deve necessariamente dividir 10e f o nº formado pelos 2 últimos dígitos O número n é divisível por 5 se o último dígito for divisível por 5 ou seja f 05 Olhando a expansão decimal vemos que 5 divide as potências de 10 e portanto deve dividir f ou seja f0 ou f5 O número n é divisível por 6 se for divisível por 2 e 3 pois 623 mdc23 1 ou seja os critérios de divisibilidade de 2 e 3 se aplicam simultaneamente O número n é divisível por 7 se tomarmos o último dígito de n multiplicarmos por 2 e subtrair do restante do número o resultado ser um número divisível por 7 Simbolicamente temos que fazer abcde 2f e verificar se esse número é divisível por 7 Em geral pode ocorrer que não seja nessa primeira etapa sendo necessário a repetição do algoritmo Um exemplo primeiramente tome 581 Pelo processo descrito acima tomamos o último dígito 1 e multiplicamos por 2 e subtraímos do restante 58 21 58 2 56 o nº resultante 56 nesse caso é divisível por 7 pois 56 78 Portanto 581 é divisível por 7 Pode ocorrer de ser necessário repetir o processo Uma justificação possível é n 105a b104 c103 d102 e10 f 105a b104 c103 d102 e10 f 20f 20f 10104a b103 c102 d10 e 2f 21f o termo 21f é divisível por 7 para 7 dividir n deve dividir o termo 10104a b103 c102 d10 e 2f Como 7 é um número primo então 7 divide 10 ou 7 divide a104 b103 c102 d10 e 2f A primeira opção não é possível então resta a segunda opção O número n é divisível por 8 se o número formado pelos 3 últimos dígitos for divisível por 8 n a105 b104 c103 d102 e10 f 103 a102 b10 c d102 e10 f note que 8 divide 103 1000 então para que 8 divida n deve necessariamente dividir d102 e10 f O número n é divisível por 9 se o número formado pela soma dos dígitos for divisível por 9 n a105 b 104 c103 d102 e10 f como em 5 a b c d e f a99999 b9999 c999 d99 e9 o nº 9 divide 999999 então para 9 dividir n deve dividir a b c d e f também E por fim o n é divisível por 10 se o último dígito for 0 n a105 b104 c103 d102 e10 f note que 10 divide todas as potências de 10 então para que n seja divisível por 10 devemos ter que 10 divide f a única maneira disso ocorrer é se f0 2 Para 2 considere Exemplo E 200002 é divisível por 2 pois termina com dígito par 2 contraexemplo CE 100001 não é divisível por 2 pois seu último dígito não é par Para 3 considere E 101001 é divisível por 3 pois 1010013 que é divisível por 3 CE 101002 não é divisível por 3 pois 1010024 que não é um múltiplo de 3 Para 4 considere E 100012 é divisível por 4 pois 12 últimos dígitos é divisível por 4 CE 100011 não é divisível por 4 pois 11 não é divisível por 4 Para 5 considere E 300005 é divisível por 5 pois termina em 5 CE 300206 não é divisível pois não termina em 0 ou 5 Para 6 considere E 210006 é divisível por 6 pois é divisível por 2 em razão do último dígito e 2 1 0 0 0 6 9 portanto é divisível por 3 CE 200006 não é divisível por 6 pois a soma dos seus dígitos não é múltiplo do 3 Para 7 considere E 100009 é divisível por 7 pois 100009 29 9982 998 4 994 99 8 91 137 CE 100001 não é divisível por 7 pois 100001 2 99999 9999 18 99981 9998 2 9996 999 12 987 98 14 84 84 não é divisível por 7 Para 8 considere E 100064 é divisível por 8 pois 06464 é divisível por 8 CE 100065 não é divisível pois 06565 não é Para 9 considere E 126000 é divisível por 9 pois 1260009 CE 127000 não é divisível por 9 pois 12700010 Para 10 considere E 357120 é divisível por 10 pois termina em 0 CE 357361 não é divisível por 10 pois não termina em 0 3 Para 2 o último dígito deve terminar em um número par Para 3 a soma dos dígitos deve ser um múltiplo de 3 Para 4 os dois últimos dígitos devem formar um número divisível por 4 Para 5 o número deve terminar em 0 ou 5 Para 6 o número deve ter o último dígito par e a soma de todos os dígitos ser um múltiplo de 3 Para 7 a mesma explicação dada em 1 exercicio Para 8 os últimos três dígitos devem formar um número divisível por 8 Para 9 a soma dos dígitos deve ser um múltiplo de 9 Para 10 o último dígito deve terminar em 0 4 O aluno se equivocou ao dizer que um para um número ser divisível por 4 os dois últimos dígitos ao serem somados devem resultar num múltiplo de 4 O verdadeiro critério de divisibilidade por 4 pode ser enunciado como Dado um número natural este é divisível por 4 se ao número formado por seus dois últimos dígitos for divisível por 4 Por exemplo o número 732 seus dois últimos dígitos formam 32 que é divisível por 4 portanto 732 é divisível por 4 Um contra exemplo a afirmação do aluno é 71 a soma de seus dígitos é 8 que é divisível por 4 mas 71 não é 5 Sim a afirmação da aluna está correta pois basta observar que 15 3 5 assim qualquer número que seja divisível por 15 também será por 3 e 5 simultaneamente