Trabalho de Álgebra Linear - Cálculo de Posto Nulidade Cofatores e Determinantes

Instituto Federal do Norte de Minas Gerais Sistemas de Informação Álgebra Linear Trabalho Observações Apresente todos os cálculos utilizados Passagens feitas somente na sua mente não contam como parte da resolução estruture bem seu raciocínio e escreva tudo que puder da forma mais CLARA possível pois isso será útil para você assim como destacar a resposta final colocandoa à caneta ou circulandoa por exemplo Envie um único arquivo no formato pdf Não se esqueça de verificar a qualidade da imagem da resolução de sua prova e de colocar todas as páginas verticalmente isto é como se você fosse ler o seu próprio caderno segurando na mão Nome Data 1 4 pontos Determine o posto e a nulidade da matriz A 1 1 0 2 3 2 1 2 2 2 Considere a matriz B 1 0 2 1 1 4 2 2 4 a 4 pontos Calcule os cofactores correspondentes aos elementos da primeira coluna de B b 4 pontos Calcule o determinante de B utilizando o desenvolvimento de Laplace e a primeira coluna de B 3 6 pontos Resolva o sistema linear utilizando o método de Gauss 1x 2y 5z 8 2x 5y 10z 10 3x 6y 16z 25 4 Dada a matriz A 2 1 3 0 2 1 5 1 3 calcule a 3 pontos adj A b 1 pontos det A c 3 pontos A1 Vamos escalonar a matriz A para obtermos a forma escalonada Então temos que 1 1 0 2 3 2 1 2 2 L2 L12 L1 L3 L1 L3 1 1 0 0 1 2 0 1 2 L3 L2 L3 1 1 0 0 1 2 0 0 0 Logo a forma reduzida por linha é dada por 1 1 0 0 1 2 0 0 0 Então segue que o posto pA 2 e logo a nulidade é nA 3 pA 3 2 1 nA 1 a Os cofactores associados a primeira coluna são c1 b11 121 det Bb11 b11 det Bb11 c2 b21 121 det Bb21 b21 det Bb21 c3 b31 131 det Bb31 b31 det Bb31 onde Bbij denota a matriz que é o menor complementar associado ao elemento bij da matriz B Então veja que esses são tais que Bb11 1 4 2 4 c1 b11 det Bb11 1 4 2 4 4 8 4 Bb21 0 2 2 4 c2 b21 det Bb21 0 2 2 4 4 4 Bb31 0 2 1 4 c3 b31 det Bb31 2 0 2 1 4 22 4 E os cofactores são c1 4 c2 4 c3 4 b Aqui temos usando o método de Laplace aplicado a primeira coluna o seguinte cálculo para o determinante det B 1 0 2 1 1 4 2 2 4 c1 c2 c3 4 4 4 4 6 pontos Resolva o sistema linear utilizando o método de Gauss 1x 2y 5z 8 2x 5y 10z 10 3x 6y 16z 25 Usando o método de Gauss vamos realizar a eliminação gaussiana na matriz aumentada 1 2 5 18 2 5 10 20 3 6 16 25 1 2 5 8 0 1 20 6 0 0 1 1 L22L1L2 L33L2L3 1 2 5 8 0 1 20 6 0 0 1 1 1 2 5 8 0 1 20 6 0 0 1 1 L31 L3 Com isso obtemos a matriz escalonada Logo em forma de sistema linear temos 1x 2y 5z 8 i 1y 20z 6 ii 1z 1 iii Logo z 1 por iii Em ii y 6 20z 6 20 14 y 14 Em i x 28 5 8 x 8 33 25 Então a solução do sistema é x 25 y 14 e z 1 4 Dada a matriz A 2 1 3 0 2 1 5 1 3 calcule a 3 pontos adjA b 1 ponto detA c 3 pontos A1 a A matriz adjunta é adj A Mt onde M é a matriz dos cofatores de A Logo os cofatores usando a notação da questão 2 é C11 2 12 detAa11 2 2 1 1 3 261 10 C21 0 13 detAa21 0 C31 5 14 detAa31 5 1 3 2 1 516 35 C12 1 13 detAa12 0 1 5 3 5 5 C22 2 14 det Aa22 2 2 3 5 3 26 15 42 C32 1 15 detAa32 2 3 0 1 2 C13 3 14 detAa13 3 0 2 5 1 3 10 30 C23 1 15 detAa23 2 1 5 4 25 3 C33 3 16 detAa33 3 2 0 0 2 34 12 Logo a matriz M dos cofatores é M C11 C12 C13 C21 C22 C23 C31 C32 C33 10 5 30 0 42 3 35 2 12 E portanto adj A Mt 10 0 35 5 42 2 30 3 12 b Escolhendo a coluna 3 temos que det A 2 1 3 0 2 1 5 1 3 C13 C23 C33 30 3 12 45 det A 45 c A matriz inversa A1 é dada por A1 1detA adj A Logo temos que A1 1detA adj A 145 10 0 35 5 42 2 30 3 12 1045 0 3545 545 4245 245 3045 345 1245 A1 1045 0 3545 545 4245 245 3045 345 1245