Eletrodinâmica - 3ª Edição

DAVID J GRIFFITHS ELETRODINÂMICA 3ª edição PEARSON 3ª edição DAVID J GRIFFITHS ELETRODINÂMICA 3ª edição Tradução Heloisa Coimbra de Souza Revisão técnica Antonio Manoel Mansanares Instituto de Física Gleb Watghin Universidade Estadual de Campinas Unicamp PEARSON São Paulo Brasil Argentina Colômbia Costa Rica Chile Espanha Guatemala México Peru Porto Rico Venezuela 2011 by Pearson Education do Brasil 1999 1989 1981 by PrenticeHall Inc Tradução autorizada a partir da edição original em inglês Introduction to Electrodynamics 3ª edição publicada pela Pearson Education Inc sob o selo Prentice Hall Todos os direitos reservados Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida ou transmitida de qualquer modo ou por qualquer outro meio eletrônico ou mecânico incluindo fotocópia gravação ou qualquer outro tipo de sistema de armazenamento e transmissão de informação sem prévia autorização por escrito da Pearson Education do Brasil Diretor editorial Roger Trimer Gerente editorial Sabrina Cairo Supervisor de produção editorial Marcelo Franço Franco Editora plena Thelma Babaoka Editora de texto Sabrina Levensetinas Revisão Geisa Oliveira Capa Alexandre Mieda Composição e diagramação em L TEX Figurativa Editorial Dados Internacionais de Catalogação na Publicação CIP Câmara Brasileira do Livro SP Brasil Griffiths David J Eletrodinâmica David J Griffiths tradução Heloisa Coimbra de Souza revisão técnica Antonio Manoel Mansanares 3 ed São Paulo Pearson Addison Wesley 2011 Título original Introduction to electrodynamics ISBN 9788576058861 1 Eletrodinâmica I Título 1011464 CDD530 Índices para catálogo sistemático 1 Eletrodinâmica Física 530 2010 Direitos exclusivos para a língua portuguesa cedidos à Pearson Education do Brasil Ltda uma empresa do grupo Pearson Education Rua Nelson Francisco 26 Limão CEP 02712100 São Paulo SP Brasil Tel 11 21788686 Fax 11 21788688 email vendaspearsoncom Sumário Eletrodinâmica Magnetostática 734 Carga magnética 227 735 Equações de Maxwell na matéria 228 736 Condições de contorno 230 Prefácio Este é um livro texto sobre eletricidade e magnetismo destinado aos alunos de penúltimo e último ano de faculdade Ele pode ser totalmente estudado com tranquilidade em dois semestres talvez até com tempo de folga para tópicos especiais circuitos de corrente alternada métodos numéricos física dos plasmas linhas de transmissão teoria das antenas etc Um curso de um semestre pode razoavelmente chegar até o Capítulo 7 Diferente da mecânica quântica e da termodinâmica por exemplo existe um consenso bastante generalizado em relação ao ensino da eletrodinâmica os assuntos a serem incluídos e até mesmo sua ordem de apresentação não são particularmente controversos e os livros textuais diferem entre si principalmente quanto ao estilo e ao tom Minha abordagem é talvez mais informal que a maioria acredito que isso torna ideias difíceis mais interessantes e acessíveis Para a terceira edição fiz um grande número de pequenas mudanças a fim de tornar o texto mais claro e gracioso Modifiquei também parte da notação para evitar inconsistências e ambiguidades Assim os vetores unitários cartesianos hati hatj e hatk foram substituídos por mathbfx mathbfy e mathbfz de forma que todos os vetores estão em negrito e todos os vetores unitários herdam a letra da coordenada correspondente Isso também libera k para ser o vetor de propagação das ondas eletromagnéticas Sempre me incomodou usar a mesma letra mathbfx para coordenada esférica distância r origem e coordenada cilíndrica distância ao eixo z Uma alternativa comum para a segunda mathbfr que no entanto tem funções mais importantes na eletrodinâmica Portanto após uma busca exaustiva optei pela letra mathbfs que é pouco utilizada Espero que esse uso não ortodoxo não cause confusão Alguns leitores me pediram que abandonasse a letra manuscrita o vetor de um ponto fonte r para o ponto de observação mathbfr em favor de mathbfr mathbfr mathbfr que é mais explícito Assim visto como muitas equações perturbadoras enfadonas principalmente quando o vetor unitário hate está envolvido Sei por minha própria experiência como professor que alguns desatentos têm tentados a mathbfr como a integrais mais fáceis Acrescento uma seção ao Capítulo 1 explicando essa notação e espero que ela ajude Se você é aluno por favor anote mathbfs mathbfr mathbfr que não é a mesma coisa que r Se você é professor por favor avise seus alunos para que apresentem atenção ao significado de mathbfs Acredito que é uma boa notação mas me der sem maus cuidados A minha mudança estrutural é que retirei as leis de conservação do Capítulo 7 dividindo dos novos capítulos curtos 8 e 10 Isso deve oferecer os cursos de um semestre e proporcionar um enfoque mais compacta ao Capítulo 7 Acrescentei alguns problemas e exemplos e retirei outros que não eram eficientes Incluí mais referências a literatura de fácil acesso particularmente a American Journal of Physics Sei é claro que a maioria dos leitores não terá tempo ou intenção de consultar esses recursos Mas isso deve de qualquer forma vale a pena nem que seja apenas para enfatizar que a eletrodinâmica apesar de sua ideia venerável está bem viva com descobertas novas e interessantes acontecendo o tempo todo Espero que ocasionalmente um dos problemas acite a sua curiosidade e que você fique inspirado a consultar a referência algumas delas são verdadeiras joias xi Eletrodinâmica Polytechnic Walther N Spjeldvik Weber State Larry Tankersley Naval Academy e Dudley Towne Amherst Praticamente tudo o que sei sobre eletrodinâmica com certeza tudo sobre o ensino da eletrodinâmica eu devo a Edward Purcell David J Griffiths Site de apoio do livro No Companion Website deste livro wwwprenhallcomgriffithsbr professores podem acessar os seguintes materiais adicionais 24 horas por dia apresentações em PowerPoint e manual de soluções em inglês Esse material é de uso exclusivo para professores e está protegido por senha Para ter acesso a ele os professores que adotam o livro devem entrar em contato com seu representante Pearson ou enviar email para universitariospearsoncom Mensagem O que é eletrodinâmica e como ela se encaixa no esquema geral da física Os quatro campos da mecânica No diagrama abaixo esbocei os quatro grandes campos da mecânica Mecânica clássica Newton Mecânica quântica Bohr Heisenberg Schrödinger et al Relatividade especial Einstein Teoria quântica de campo Dirac Pauli Feynman Schwinger et al A mecânica newtoniana foi considerada inadequada no início deste século ela serve para o dia a dia mas para objetos que se movem com altas velocidades próximos à velocidade da luz ela é incorreta e deve ser substituída pela relatividade especial introduzida por Einstein em 1905 para objetos extremamente pequenos aproximadamente do tamanho dos átomos ela é falha por vários motivos sendo substituída pela mecânica quântica desenvolvida por Bohr Schrödinger Heisenberg e muitos outros principalmente na década de 1920 Para objetos que são ambos muito rápidos e muito pequenos como é comum na moderna física de partículas requerse uma mecânica que combine a relatividade e os princípios quânticos essa mecânica quântica relativística é conhecida como a teoria quântica de campo ela foi elaborada nas décadas de 1930 e 1940 mas até hoje não se pode dizer que seja um sistema completamente satisfatório Neste livro exceto pelo último capítulo iremos trabalhar exclusivamente no domínio da mecânica clássica embora a eletrodinâmica se estenda com simplicidade singular aos outros três campos De fato a teoria é na maioria dos aspectos automaticamente consistente com a relatividade especial para qual foi historicamente o principal estímulo Quatro tipos de força A mecânica nos diz como um sistema irá se comportar quando estiver sujeito a uma determinada força Existem apenas quatro forças fundamentais conhecidas atualmente na física você listálas pela ordem de intensidade decrescente 1 Forte 2 Eletromagnética 3 Fraca 4 Gravitacional A brevidade desta lista pode surpreendêlo Onde está o atrito Onde está a força normal que nos deixa atravessar o chão Onde estão as forças químicas que mantêm as moléculas unidas Onde está a força de impacto entre duas bolas de bilhar que colidem A resposta é que todas essas forças são eletromagnéticas De fato não é exagero dizer que vivemos em um mundo eletromagnético pois praticamente todas as forças que sentimos no nosso dia a dia com exceção da gravidade têm origem eletromagnética As forças fortes que mantêm prótons e nêutrons unidos nos núcleos atômicos tem alcance extremamente curto e portanto não as sentimos apesar de serem em vezes mais fortes do que as forças elétricas As forças fracas que respondem por certos tipos de decaimento radioativo não são tãos curto alcance como antes da mais nada muito mais fracas do que as eletromagnéticas Quanto a gravidade ela é tão desprezivelmente fraca em comparação com as outras que é somente em virtude das grandes concentrações de massa como a da Terra e o Sol que podemos seu percebêla A repulsão elétrica entre dois elétrons é 10¹⁴ vezes maior que sua atração gravitacional e se os átomos fossem mantidos juntos por forças gravitacionais em vez de elétricas um único átomo de hidrogênio seria menor do que o universo conhecido A unificação das teorias da física No início eletricidade e magnetismo eram assuntos totalmente separados A primeira lidava com hastes de vidro e pelo de gato bolinhas de sabugo baterias correntes eletricidade e relâmpagos o outro com barras magnéticas limalha de ferro agulhas de bússola e o Polo Norte Mas em 1820 Ørsted percebeu que uma corrente elétrica podia alterar a agulha magnética de uma bússola Pouco tempo depois Ampère corretamente postulou que todos os fenômenos magnéticos são decretos de movimentos de cargas elétricas E então em 1831 Faraday descobriu que um ímã em movimento gera uma corrente elétrica Quando Maxwell e Lorentz deram os toques finais à teoria eletricidade e magnetismo já estavam indissoluvelmente entrelaçados Não poderiam mais ser considerados assuntos separados mas sim dois aspectos de um único assunto eletromagnetismo Além de serem preponderantemente dominantes no dia a dia as forças eletromagnéticas são as únicas totalmente compreendidas Existe é claro uma teoria clássica para a gravidade a lei da gravitação universal de Newton e outra que é relativística a teoria da relatividade geral de Einstein mas nenhuma teoria de mecânica quântica foi construída para a gravidade embora muita gente esteja trabalhando nisso Atualmente existe uma teoria muito bemsucedida embora excessivamente complicada para as interações fracas e uma antecipada extraordinariamente arcaica chamada eromodinâmica para as interações fortes Todas essas teorias tiram sua inspiração da eletrodinâmica nenhuma delas pode alegar verificação experimental conclusiva no estágio atual Portanto a eletrodinâmica uma teoria maravilhosamente completa e bemsucedida tornouse uma espécie de paradigma dos físicos um modelo ideal com o qual as outras teorias lutam para rivalizar As leis da eletrodinâmica clássica foram descobertas aos fragmentos por Franklin Coulomb Ampère Faraday e outros Mas a pessoa que completou a tarefa e empacotou tudo na forma compacta e consistente que ela tem hoje foi James Clerk Maxwell A teoria ultimamente tem pouco mais de cem anos O tópico da eletrodinâmica é determinado por sistemas de unidades concorrentes entre si e que às vezes tornam difícil para os físicos comunicaremse entre si O problema é múltiplo e não de uma só maneira em que os Neandertais ainda fariam livros e pés pois pelo menos na mecânica todas as equações têm a mesma aparência seja qual for a unidade usada na medição das grandezas A segunda lei de Newton continua sendo F ma seja em péslibrassegundos quilogramasmetrossegundos ou o que for Mas não é assim no eletromagnetismo onde a lei de Coulomb pode aparecer de formas variadas como fracq1 q2r2 Gaussiano ou frac14 pi epsilon0 fracq1 q2r2 SI ou frac14 pi fracq1 q2r2 HL Capítulo 1 Análise vetorial 11 Álgebra vetorial 111 Operações com vetores Se você caminhar 4 milhas para o norte e depois 3 milhas para o leste Figura 11 terá percorrido um total de 7 milhas mas não estará a 7 milhas de distância de onde saiu apenas 5 Precisamos de uma aritmética para descrever quantidades como essa que evidentemente não se somam da forma usual O motivo pelo qual elas não se somam assim portanto é que os deslocamentos segmentos de linha reta que vão de um ponto a outro têm direção além de magnitude comprimento sendo necessário que ambas sejam levadas em consideração quando eles são combinados Tais objetos são chamados de vetores velocidade aceleração força e momentum são outros exemplos Em contraste quantidades que têm magnitude mas não têm direção são chamadas de escalares alguns exemplos são massa carga densidade e temperatura Será usado negrito A B e assim por diante para os vetores e o tipo comum para os escalares A magnitude de um vetor A é escrita como A ou de forma mais simplificada A Nos diagramas os vetores são denotados pelas setas o comprimento da seta é proporcional à magnitude do vetor e a ponta da seta indica sua direção e sentido Menos A é um vetor com a mesma magnitude de A em sentido oposto Figura 11 Observe que os vetores têm magnitude direção e sentido mas não localização um deslocamento de 4 milhas para o norte a partir de Washington é representado pelo mesmo vetor que um deslocamento de 4 milhas a partir de Baltimore negligenciandose é claro a curvatura da Terra Em um diagrama portanto podese mover a seta à vontade desde que não se mude seu comprimento ou sua direção Definimos quatro operações vetoriais soma e três tipos de multiplicação i Soma de dois vetores Coloque a extremidade inicial de B na ponta de A a soma de A B é o vetor da extremidade inicial de A à ponta de B Figura 13 Esta regra generaliza o procedimento óbvio para combinar dois deslocamentos A soma é comutativa A B B A 3 milhas para o leste seguidas de 4 milhas para o norte vai leválo ao mesmo lugar que 4 milhas para o norte seguidas de 3 milhas para o leste A soma é também associativa A B C A B C Para subtrair um vetor Figura 14 some seu oposto A B A B ii Multiplicação por um escalar A multiplicação de um vetor por um escalar positivo a multiplica a magnitude mas deixa a direção inalterada Figura 15 Se a for negativo o sentido é invertido A multiplicação por um escalar é distributiva aA B aA aB iii Produto interno ou produto escalar de dois vetores O produto interno de dois vetores é definido por A B AB cos θ onde θ é o ângulo que eles formam quando colocados cauda a cauda Figura 16 Note que A B é em si um escalar dá o nome alternativo de produto escalar O produto interno é comutativo A B B A e distributivo A B C A B A C Geometricamente A B é o produto de A vezes a projeção de B ao longo de A ou o produto de B vezes a projeção de A ao longo de B Se os dois vetores forem paralelos então A B AB Em particular para qualquer vetor A A A A² Se A e B forem perpendiculares então A B 0 onde ê é um vetor unitário vetor de comprimento 1 apontando perpendicularmente para o plano de A e B O acento circunflexo será usado para designar os vetores unitários É claro que há duas direções perpendiculares a qualquer plano entrando no plano e saindo do plano A ambiguidade se resolve com a regra da mão direita aponte seus dedos da direção do primeiro vetor e vireos pelo menor ângulo em direção ao segundo seu polegar indicará a direção de ê Na Figura 18 A B aponta para dentro da página B A aponta para fora da página Observe que A B é em si um vetor dá o nome alternativo de produto vetorial O produto vetorial é distributivo A B C A B A C mas não comutativo De fato B A A B Geometricamente A B é a área do paralelogramo gerado por A e B Figura 18 Se dois vetores são paralelos seu produto vetorial é 0 Em particular A A 0 para qualquer vetor A Regra para somar vetores some componentes semelhantes Encontre o ângulo entre as diagonais das faces de um cubo Como o produto vetorial de dois vetores é em si um vetor ele pode ser multiplicado através do produto escalar ou do produto vetorial com um terceiro vetor para formar um produto triplo é a distância a partir da origem e f r r x x y y z z x² y² z² é um vetor unitário que aponta radialmente para fora O vetor deslocamento infinitesimal de x y z a x dx y dy z dz é dl dx x dy y dz z Poderíamos chamálo de dr já que é isto que o vetor infinitesimal é mas é útil reservar uma letra especial para deslocamentos infinitesimais Em eletrodinâmica frequentemente encontramos problemas que envolvem dois pontos tipicamente um ponto fonte r onde uma carga elétrica está localizada e um ponto de observação r no qual se está calculando o campo elétrico ou magnético Figura 114 Vale a pena adotar desde o início algum tipo de notação abreviada para o vetor separação entre o ponto fonte e o ponto de observação Usaremos para esse fim a letra manuscrita z z r r Sua magnitude é z r r e um vetor unitário na direção de r r é z z z Em coordenadas cartesianas z x x x y y y z z z z x x² y y² z z² z x x x y y y z z z x x² y y² z z² a partir do que você pode começar a apreciar a vantagem da notação zmanuscrito 115 Como vetores transformamse A definição de um vetor como uma quantidade com magnitude direção e sentido não é totalmente satisfatória O que precisamente significa direção e sentido A questão pode parecer pedante mas em breve encontraremos uma espécie de derivada que se parece com um vetor e então vamos querer saber com certeza o que é Podese sentir tentado a dizer que um vetor é qualquer coisa que tem três componentes que se combinam adequadamente em uma soma Bem que tal isto temos um barril de frutas que contém N x peras N y maçãs e N z bananas Será N N x N y N z um vetor Tem três componentes e quando você soma outro barril com M x peras M y maçãs e M z bananas o resultado é N x M x peras N y M y maçãs N z M z bananas Portanto somase como um vetor No entanto obviamente não é um vetor no sentido que a física dá a palavra porque na realidade não tem uma direção O que exatamente está errado aqui A resposta é que não se transforma apropriadamente quando você troca de coordenadas O sistema de coordenadas que usamos para descrever as posições no espaço é portanto totalmente arbitrário Mas existe uma lei específica de transformação geométrica que transforma as componentes de um vetor de um sistema para outro Suponha por exemplo que o sistema x y z sofre uma rotação de um ângulo θ em relação a x y z em torno dos eixos comuns x x A partir da Figura 115 Ay A cos θ Az A sen θ enquanto Ay A cos θ A cosθ φ Acos θ cos φ sen θ sen φ cos φAy sen φAz Az A sen θ A senθ φ Asen θ cos φ cos θ sen φ sen φAy cos φAz Podemos expressar esse resultado em notação matricial Ay Az Az cos φ sen φ sen φ cos φAy Az Em sentido mais amplo para uma rotação em torno de um eixo arbitrário em três dimensões a lei de transformação assume a forma Ax Ay Az Rxx Rxy Rxz Ay Az Ryx Ryy Ryz Ay Az Rzx Rzy Rzz Ay Az ou de forma mais compacta Ai Σ3 j1 RijAj onde o índice 1 representa x 2 representa y e 3 representa z Para uma rotação dada os elementos da matriz R podem ser encontrados pelo mesmo tipo de argumentos geométricos que usamos para a rotação em torno do eixo x Agora como os componentes de N transformamse assim É claro que não Não importa quais as coordenadas usadas para representar as posições no espaço haverá o mesmo número de maçãs no barril Não se pode converter uma pera em uma banana escolhendo um conjunto diferente de eixos mas podese sim transformar Az em Ay Portanto formalmente um vetor é qualquer conjunto de três componentes que se transforma da mesma maneira que um deslocamento quando se mudam as coordenadas Como sempre o deslocamento é o modelo para o comportamento de todos os vetores O gradiente aponta na direção do aumento máximo da função T Além disso a magnitude T fornece a inclinação taxa de aumento ao longo dessa direção maximizada Encontre o gradiente de r x² y² z² a magnitude do vetor posição Solução r rx x ry y rz z 12x²y²z² 2x x 2y y 2z z rr O operador O gradiente tem a aparência formal de um vetor multiplicando um escalar T T k x j y k z T Para variar os vetores unitários foram escritos na esquerda para que ninguém pense que isto significa kx e assim por diante o que seria zero já que k é constante O termo entre parênteses chamase operador del Suponha que as funções na Figura 118 sejam mathbfva r x hati y hatj z hatk mathbfvb hati mathbfvc hatk z hatk Calcule seus divergentes abla cdot mathbfva fracpartialpartial xx fracpartialpartial yy fracpartialpartial zz 1 1 1 3 Como previsto esta função tem um divergente positivo abla cdot mathbfvb fracpartialpartial x0 fracpartialpartial y0 fracpartialpartial z1 0 0 0 0 abla cdot mathbfvc fracpartialpartial x0 fracpartialpartial y0 fracpartialpartial zz 0 0 1 1 Problema 120 Demonstre as regras de produtos i iv e v Este é um fato importante que iremos usar repetidamente ele pode ser facilmente provado a partir da definição de Equação 139 Cuidado você pode pensar que a Equação 144 é obviamente verdadeira ela não é apenas T e também não é o produto vetorial de qualquer vetor neste caso consigo mesmo nulo este raciocínio é sugestivo fato e se apoia na igualdade das derivadas cruzadas Tyx Txy A cada ponto do caminho fazemos o produto escalar de v tomado naquele ponto com o deslocamento dl até o próximo ponto do caminho Para um físico o exemplo mais familiar de uma integral de linha é o trabalho feito por uma força F W F dl então iv y 0 da dx dz ȳ v da x 2 dx dz então Problema 128 Calcule a integral de linha da função v x² ȳ 2y z y² z² da origem ao ponto 111 através de três rotas diferentes 133 Teorema fundamental para gradientes Suponha que temos uma função escalar com três variáveis Tx y z Começando no ponto a nos movemos a uma pequena distância dl Figura 126 Segundo a Equação 137 a função T será alterada por uma quantidade dT T dl Agora avançamos um pouco mais com um pequeno deslocamento adicional dl2 o incremento em T será T dl2 Dessa forma avançando em passos infinitesimais fazemos a jornada até o ponto b A cada passo calculamos o gradiente de T nquarto ponto e fazemos a multiplicação escalar com o deslocamento dl o que nos dá a variação de T Evidentemente a alteração total de T no trajeto de a até b ao longo do caminho escolhido é b a T dl Tb Ta Este é o chamado teorema fundamental para gradientes como o teorema fundamental ordinário ele diz que a integral no caso um integral de linha de uma derivada no caso o gradiente é dada pelo valor da função nos extremos a e b Interpretação geométrica suponha que você queira determinar a altura da Torre Eiffel Você pode subir as escadas usar uma régua para medir a altura de cada degrau e somar tudo esse é o lado esquerdo da Equação 155 ou você pode colocar altímetros no topo e na base e fazer a diferença das duas leituras esse é o lado direito A resposta de uma maneira ou de outra deve ser a mesma esse é o teorema fundamental Aliás como constatamos no Exemplo 16 as integrais de linha geralmente dependem do caminho tomado de a a b Mas o lado direito da Equação 155 não faz qualquer referência ao caminho somente aos pontos extremos Evidentemente os gradientes têm a propriedade especial de que suas integrais de linha são independentes do caminho Corolário 1 b a T dl é independente do caminho tomado de a a b Corolário 2 T dl 0 já que os pontos de inicial e final são idênticos e portanto Tb Ta 0 Exemplo 19 Seja T xy2 tome o ponto a como a origem 0 0 0 e b como o ponto 2 1 0 Verifique o teorema fundamental para gradientes Solução embora a integral seja independente do caminho precisamos escolher um determinado caminho para poder calculála Vamos partir ao longo do eixo x passo i e depois subir passo ii Como sempre dl dx x dy y dz z i y 0 dl dx x T dl y2 dx 0 portanto i T dl 0 ii x 2 dl dy y T dl 2xy dy 4y dy portanto ii T dl 1 0 4y dy 2y²10 2 iii y 12 x dy 12 dx T dl y2 dx 2xy dy 34 x² dx portanto iii T dl 2 0 34 x² dx 14 x³ 20 2 Problema 131 Verifique o teorema fundamental para gradientes usando T x² 4xy 2y³ os pontos a 0 0 0 b 1 1 1 e os três caminhos da Figura 128 a 0 0 0 1 0 0 1 1 1 b 0 0 0 0 0 1 1 1 1 c o caminho parabólico z x² y x 134 Teorema fundamental para divergentes O teorema fundamental para divergentes diz que V v dr S v da Em honra creio eu da sua grande importância este teorema tem pelo menos três nomes especiais teorema de Gauss teorema de Green ou simplesmente teorema do divergente Como os outros teoremas fundamentais ele diz que a integral de uma derivada no caso o divergente sobre uma região no caso um volume é igual ao valor da função no contorno neste caso a superfície que limita o volume Observe que o termo relativo ao contorno é em sua integral especificamente uma integral de superfície Isso é razoável o contorno de uma linha são apenas seus dois pontos extremos mas o contorno de um volume é a superfície fechada Interpretação geométrica se v representa o fluxo de um fluido incompressível então v o lado direito da Equação 156 é a quantidade total de líquido que passa pela superfície por unidade de tempo Agora o divergente mede a dispersão dos vetores a partir de um ponto um lugar ao lado divergente é como uma torneira derramando líquido Se Capítulo 1 Análise vetorial 25 26 Eletrodinâmica 27 Capítulo 1 Análise vetorial Exemplo 112 Calcule a integral 0 xexdx Solução a exponencial pode ser expressa como a derivada ex ddxex nesse caso então fx x gx ex e dfdx 1 portanto 0 xexdx 0 exdx xex0 ex0 1 Problema 135 a Mostre que S f A da S A f da C fA dl 160 b Mostre que V B A dt V A B dt S fA da 161 Exemplo 113 Encontre o volume de uma esfera de raio R Solução V dr R0 2π0 r2senθdrdθdφ R0 r2drsenθdθ2π0 dφ R3322π ⅗ πR3 Não é uma grande surpresa Coordenadas cilíndricas Coordenadas cilíndricas A função delta de Dirac A função delta unidimensional δx pode ser ilustrada como um pico infinitamente alto e infinitesimalmente estreito com área 1 Figura 145 Ou seja δx 0 se x 0 se x 0 e δx dx 1 Tecnicamente δx não é de forma alguma uma função já que seu valor não é finito em x 0 Na literatura matemática ela é conhecida como função generalizada ou distribuição A Equação 188 tornase fxδx a faδx a e a Equação 189 generalizase para fxδx a dx fa Exemplo 114 Calcule a integral 03 2 δx 2 dx Solução a função delta escolhe o valor de x³ no ponto x 2 portanto a integral é 2³ 8 Observe porém que se o limite superior fosse 1 em vez de 3 a resposta seria 0 porque o pico nesse caso ficaria fora do domínio de integração A função delta tridimensional é fácil generalizar a função delta para três dimensões δ³r δx δy δz Sua integral de volume é 1 todo o espaço δ³r dτ δx δy δz dx dy dz 1 E generalizando a Equação 192 todo o espaço frδ³r a dτ fa Problema 113 seguese que 16 A teoria dos campos vetoriais Teorema 2 Campos sem divergente ou solenoides As seguintes condições são equivalentes Problema 156 Calcule a integral de linha de v r cos² θ ŷ r cos θ sen θ θ 3r φ através do caminho mostrado na Figura 150 os pontos estão identificados por suas coordenadas cartesianas Use coordenadas cilíndricas ou esféricas Verifique sua resposta usando o teorema de Stokes Resposta 3π2 Problema 157 Verifique o teorema de Stokes para a função v y ŷ usando a superfície triangular mostrada na Figura 151 Resposta a² Problema 158 Verifique o teorema do divergente para a função v r² sen θ ŷ r² cos θ θ r² tg θ φ usando o volume do cone de sorvete mostrado na Figura 152 a superfície superior é esférica com raio R e centrada na origem Resposta πR²122π 33 212 Lei de Coulomb Qual é a força incidente em uma carga de prova Q devida a uma única carga pontual q que está em repouso a uma distância r A resposta com base na experimentação é dada pela lei de Coulomb F frac14piepsilon0 fracqQr2 hatr A constante epsilon0 é chamada de permissividade do espaço livre Em unidades SI com força em newtons N distância em metros m e carga em coulombs C epsilon0 885 imes 1012 fracC2N cdot m2 Em palavras a força é proporcional ao produto das cargas e é inversamente proporcional ao quadrado da distância de separação Como sempre Seção 114 hatr é o vetor separação entre r a localização de q e r a localização de Q vecr vecr vecr hatr é a sua magnitude e é a sua direção A força aponta ao longo da linha que vai de q até Q ela será repulsiva se q e Q tiverem o mesmo sinal e atrativa se seus sinais forem opostos A lei de Coulomb e o princípio da superposição são os ingredientes físicos da eletrostática o restante exceto por algumas propriedades especiais da matéria é a elaboração matemática dessas regras fundamentais 213 O campo elétrico Se tivermos várias cargas pontuais q1 q2 ldots qn às distâncias r1 r2 ldots rn de Q a força total sobre Q será evidentemente F F1 F2 ldots frac14piepsilon0 left fracq1Qr12 hatr1 fracq2Qr22 hatr2 ldots right ou F Q vecE onde vecEr frac14piepsilon0 sumi1n fracqiri2 hatri vecE é chamado de campo elétrico das cargas fonte Observe que ele é uma função da posição r porque os vetores de separação vecri dependem da localização do ponto de observação P Figura 23 Mas ele não faz qualquer referência à carga de prova Q O campo elétrico é uma quantidade vetorial que varia de um ponto a outro e é determinada pela configuração das cargas fontes em termos físicos vecEr é a força por unidade de carga que seria exercida sobre uma carga de prova que fosse colocada em P 214 Distribuições contínuas de carga Nossa definição do campo elétrico Equação 24 assume que a fonte do campo é uma série de cargas pontuais discretas qi Se em vez disso a carga for distribuída continuamente sobre uma determinada região a soma tornase uma integral Figura 25a vecEr frac14piepsilon0 int frac1r2 dvecq Se a carga se espalhar ao longo de uma linha Figura 25b com cargaporunidadedecomprimento lambda então dvecq lambda dell onde dell é um elemento de comprimento ao longo da linha Se a carga for espalhada sobre uma superfície Figura 25c com cargaporunidadedeárea sigma então dvecq sigma dA onde dA é um elemento de área da superfície E se a carga preencher um volume Figura 25d com cargaporunidadedevolume rho então dvecq rho dV onde dV é um elemento de volume Para pontos distantes da linha z L este resultado assume uma forma mais simples E 14πε₀ 2λLz² o que faz sentido de longe a linha parece uma carga pontual q 2λL de forma que o campo se reduz ao de uma carga pontual q4πε₀z² No limite L obtemos o campo de um fio reto infinito E 14πε₀ 2λz ou mais genericamente E 14πε₀ 2λs onde s é a distância do fio 22 Divergente e rotacional de campos eletrostáticos 221 Linhas de campo fluxo e lei de Gauss Em princípio concluímos o assunto de eletrostática A Equação 28 nos mostra como calcular o campo de uma distribuição de carga e a Equação 23 nos diz qual será a força sobre uma carga q colocada nesse campo Infelizmente como pode ter descoberto resolvendo o Problema 27 as integrais envolvidas no cálculo de E podem ser complicadas até mesmo para distribuições de carga razoavelmente simples Boa parte do restante de eletrostática se dedica a encontrar um conjunto de ferramentas e truques para evitar essas integrais O fluxo através de uma superfície S é então E da S E da onde ΦE S E da é uma medida do número de linhas de campo que passam através de S Isso foi colocado entre aspas porque é claro que só podemos desenhar uma amostra representativa das linhas de campo o número total seria infinito Mas para uma dada taxa de amostragem o fluxo Φ é proporcional ao número de linhas desenhadas porque a intensidade do campo lembrese é 1r² Para qualquer superfície fechada então E da 1ε₀ Qenc onde Qenc é a carga total encerrada pela superfície Esta é a forma quantitativa da lei de Gauss Embora ela não contenha qualquer informação que já não esteja presente na lei de Coulomb e no princípio da superposição tem um poder quase mágico como você verá na Seção 223 Observe que o pivô de tudo isso é o caráter 1r² da lei de Coulomb sem isso o cancelamento crucial dos r na Equação 212 não aconteceria e o fluxo total de E dependeria da superfície escolhida e não apenas da carga total no interior Outras forças que dependem de 1r² estou pensando particularmente na lei da gravitação universal de Newton obedecerão suas próprias leis de Gauss e as aplicações que desenvolvermos aqui podem ser adotadas diretamente Tal como é a lei de Gauss é uma equação integral mas podemos prontamente transformála em uma equação diferencial aplicando o teorema do divergente E da E dt Reescrevendo Qenc em termos da densidade de carga ρ temos Qenc ρ dt Portanto a lei de Gauss tornase E dt ρε₀ dt E como isso é verdadeiro para qualquer volume os integrandos devem ser iguais E 1ε₀ ρ A Equação 214 traz a mesma mensagem que a Equação 213 é a lei de Gauss na forma diferencial A versão diferencial é mais ajeitada mas a forma integral tem a vantagem de acomodar cargas pontuais distribuições lineares e superficiais com mais naturalidade 222 O divergente de E Agora vamos voltar e calcular o divergente de E diretamente da Equação 28 Er 14πε₀ ρr r² dr Originalmente a integração seria sobre o volume ocupado pela carga mas posso muito bem estendêla para todo o espaço já que de qualquer forma ρ 0 na região exterior Observando que a dependência em r está contida em h r r temos E 14πε₀ 1r² ρr dr Este é exatamente o divergente que calculamos na Equação 1100 1r² 4πδ³z Assim E 14πε₀ 4πδ³r r ρr dr 1ε₀ ρr que a lei de Gauss na forma diferencial 214 Para voltar à forma integral 213 aplicamos o argumento anterior ao contrário integrando sobre um volume e aplicando o teorema do divergente V E dr S E da 1ε₀ ρ dt 1ε₀ Qenc 223 Aplicações da lei de Gauss É preciso interromper o desenvolvimento teórico neste ponto para mostrar o extraordinário poder da lei de Gauss na forma integral Quando a simetria o permite ela oferece de longe a maneira mais rápida e fácil de calcular campos elétricos O método será ilustrado através de uma série de exemplos Exemplo 22 Encontre o campo externo a uma esfera sólida uniformemente carregada de raio R e carga total q Solução desenhe uma superfície esférica com raio r R Figura 218 no nosso meio esta é a chamada superfície gaussiana A lei de Gauss diz que para essa superfície como para qualquer outra E da 1ε₀ Qenc e a magnitude de E é constante sobre a superfície gaussiana de forma que ela sai da integral E da E da E 4πr² Assim E 4πr² 1ε₀ q ou E 14πε₀ qr² r Observe uma característica deste resultado que é digna de nota o campo externo à esfera é exatamente o mesmo que teríamos se toda a carga estivesse concentrada no centro A lei de Gauss é sempre válida mas nem sempre é útil Se ρ não fosse uniforme ou de qualquer forma se não fosse esfericamente simétrico ou se eu tivesse escolhido qualquer outra forma para a minha superfície gaussiana ainda seria verdadeiro que o fluxo de E 1ε₀q mas eu não teria certeza de que E estaria na mesma direção que q e que ele teria magnitude constante sobre a superfície E sem isso eu não poderia retirar E da integral A simetria é crucial para esta aplicação da lei de Gauss Até onde sei há apenas três tipos de simetria que funcionam 1 Simetria esférica Faça uma superfície gaussiana como uma esfera concêntrica 2 Simetria cilíndrica Faça uma superfície gaussiana um cilindro coaxial Figura 219 3 Simetria plana Use uma superfície gaussiana na forma de caixa de pílulas ancorada na superfície plana Figura 220 Figura 221 Figura 222 Figura 225 Consequentemente b a E dl 1 4πε0 b a q dr r2 1 4πε0 q rb ra 1 4πε0 q ra q rb 218 onde ra é a distância da origem ao ponto a e rb é a distância da origem até b A integral em torno de um caminho fechado é evidentemente zero porque então ra rb E dl 0 219 e então aplicando o teorema de Stokes E 0 220 Aqui provamos as equações 219 e 220 apenas para o campo de uma única carga pontual na origem mas estes resultados não fazem referência ao que afinal de contas é uma escolha perfeitamente arbitrária de coordenadas eles continuam valendo independentemente de onde a carga está localizada Além do mais se tivermos muitas cargas o princípio da superposição diz que o campo total é a soma vetorial dos campos individuais E E1 E2 então E E1 E2 E1 E2 0 Assim as equações 219 e 220 valem para qualquer que seja a distribuição de carga estática Problema 219 Calcule E diretamente a partir da Equação 28 pelo método da Seção 222 Consulte o Problema 162 se tiver dificuldade 23 Potencial elétrico 231 Introdução ao potencial O campo elétrico E não é uma função vetorial qualquer ele é um tipo de função vetorial especial cujo rotacional é sempre zero E yxk por exemplo não poderia de forma alguma ser um campo eletrostático nenhum conjunto de cargas sejam quais forem seus tamanhos e posições poderia produzir um campo assim Nesta seção vamos explorar esta propriedade especial dos campos elétricos para reduzir um problema vetorial encontrar E a um problema escalar bem mais simples O primeiro teorema da Seção 162 diz que qualquer vetor cujo rotacional é zero é igual ao gradiente de alguma escalar O que faremos agora consiste em uma prova dessa alegação no contexto da eletrostática Como E 0 a integral de linha de E em torno de qualquer caminho fechado é nula isso decorre do teorema de Stokes Como E dl 0 a integral de linha de E em torno da linha de E de ponto a ponto b é a mesma para todos os caminhos caso contrário