Prova Matematica Discreta - Transformacoes Lineares e Rotacoes

INSTITUTO FEDERAL Rio Grande do Sul Campus Farroupilha Peso 50 Nota 3ª AVALIAÇÃO Curso Análise e Desenvolvimento de Sistemas Componente Curricular Matemática Discreta Professor Vinícius Weide Rodrigues Nome AnoSemestre 20222 Prazo de entrega 011222 Orientações não é necessário imprimir esta avaliação você pode resolver as questões à mão ou digitar como preferir resolva as questões de forma clara objetiva e legível apresente o máximo de detalhes possível do seu raciocínio questões sem justificativas não serão pontuadas as respostas devem ser enviadas através do Moodle ou entregues em aula entrega fora do prazo não será aceita 1 Considere o polígono formado pelos pontos A B C D e E onde A 0 0 B xB 0 onde xB é o número de letras do seu primeiro nome C xC yC onde xC é o número de letras do seu último sobrenome e yC é o número de letras do seu primeiro nome D 2 2 E 0 yE onde yE é o número de letras do seu último sobrenome Desenhe figura formada pelos pontos A B C D e E num sistema de coordenadas cartesianas e utilizando a matriz de rotação a obtenha os pontos correspondentes à rotação dessa figura em θ 90 Desenhe a figura obtida em um sistema de coordenadas cartesianas b obtenha os pontos correspondentes à rotação dessa figura em θ 180 Desenhe a figura obtida em um sistema de coordenadas cartesianas 2 Considere o triângulo formado pelos pontos A 1 2 B 0 0 e C 1 2 e a transformação x y a 0 0 bx y a Considere a 2 e b 1 Aplique os vértices do triângulo ABC nessa transformação e descreva geometricamente o seu efeito em relação ao triângulo original b Considere a 1 e b 2 Aplique os vértices do triângulo ABC nessa transformação e descreva geometricamente o seu efeito em relação ao triângulo original 3 Considere as seguintes transformações lineares do plano no plano Dilatação D no fator α 2 Rotação R de 60 no sentido antihorário Reflexão E em torno do eixo x a Determine as matrizes associadas às transformações D E e R b Determine a matriz que representa a transformacao de rotacao dilatacao e reflexao nessa respectiva ordem c Considere um triˆangulo de vertices 00 20 e 11 Usando a matriz encontrada no item anterior esboce o triˆangulo e sua imagem quando aplicado a composicao das trˆes transformacoes Use o quadriculado no verso desta folha para fazer os esbocos 4 A translacao e uma transformacao que desloca uma figura se alterar sua forma e suas dimensoes Esse deslocamento pode ser vertical horizontal ou segundo outra direcao a Determine a transformacao que translada uma figura horizontalmente em a unidades b Determine a transformacao que translada uma figura verticalmente dem b unidades c Generalize os itens anteriores para determinar a transformacao que que translada uma figura hori zontalmente em a unidades e verticalmente em b unidades d Crie uma figura no plano para exemplificar as transformacoes criadas nos itens anteriores 2 Resolução 6 de dezembro de 2022 Capítulo 1 Questões Exercício 11 A translação é uma transformação que desloca uma figura sem alterar sua forma e suas dimensões Esse deslocamento pode ser vertical horizontal ou segundo outra direção a Determine a transformação que translada uma figura horizontalmente em a unidades b Determine a transformação que translada uma figura verticalmente em b uni dades c Generalize os itens anteriores para determinar a transformação que que trans lada uma figura horizontalmente em a unidades e verticalmente em b unidades d Crie uma figura no plano para exemplificar as transformações criadas nos itens anteriores Resolução a Ao transladar um ponto x y em a unidades na horizontal estaremos aumentando a coordenada x em a unidades Seja Ta a translação horizontal por a unidades então esta pode ser escrita como Tax y x a y para todo x y no plano Ao fazer esta translação se a 0 estaremos deslocando o ponto horizontalmente para a unidades à direita Se a 0 o movimento será para a esquerda b Ao transladar um ponto x y em b unidades na vertical estaremos aumen tando a coordenada y em b unidades análogo a translação horizontal Seja Tb a translação vertical por b unidades então podemos escrevêla como Tbx y x y b para todo x y no plano Ao fazer esta translação se b 0 estaremos deslocando o ponto verticalmente para a unidades acima Se b 0 o movimento será para baixo 1 Capítulo 1 Questões 2 c Agora se quisermos transladar um ponto com a unidades horizontalmente e b unidades verticalmente temos a translação Tx y x a y b para todo x y no plano Veja que T pode ser interpretada como a composição de Ta e Tb Ta Tbx y Tax y b x a y b Tx y e com uma conta simples veja que Ta Tb Tb Ta T d Um exemplo Considere o triângulo com vértices A 0 0 B 0 2 e C 2 2 sendo transladado 2 unidades horizontalmente e 2 unidades verticalmente