Estática - Momento de Inércia de Área e Teorema dos Eixos Paralelos

1 388 Estática definido como dJo r2 dA onde r é a distância perpendicular do polo eixo 2 até o elemento dA Para a área inteira o momento de inércia polar é Jo r2 dA Ix Iy 102 Essa relação entre Jo e Ix Iy é possível porque r2 x2 y2 Figura 102 Por essas formulações vemos que Ix Iy e Jo sempre serão positivos pois envolve o produto da distância ao quadrado e área Além do mais as unidades para momento de inércia envolvem o comprimento elevado à quarta potência por exemplo m4 mm4 102 Teorema dos eixos paralelos para uma área O teorema dos eixos paralelos pode ser usado para determinar o momento de inércia de uma área em relação a qualquer eixo que seja paralelo a um eixo passando pelo centroide e em relação ao momento de inércia é conhecido Para desenvolver esse teorema vamos considerar a determinação do momento de inércia da área sombreada mostrada na Figura 103 em relação ao eixo x Para começar escolhemos um elemento diferencial dA localizado a uma distância qualquer y do eixo centroidal x Se a distância entre os eixos paralelos x e x for dy então o momento de inércia de dA em relação ao eixo x é dIx y dy2 dA Para a área inteira Ix A y dy2 dA A y2 dA 2dy A y dA dy2 dA A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A Aplicação 102 Figura 103 Para prever a resistência e deflexão dessa viga é necessário calcular o momento de inércia da seção transversal da viga A primeira integral representa o momento de inércia da área em relação ao eixo centroidal Ix A segunda integral é zero pois o eixo x passa pelo centroide C da área ou seja y dA y dA 0 pois y 0 Como a terceira integral representa a área total A o resultado final é portanto Ix Ix Ad2y 103 Uma expressão semelhante pode ser escrita para Iy ou seja Iy Iy Ad2x 104 E finalmente para o momento de inércia polar como JC Ix Iy e d2 d2x d2y temos Jo JC Ad2 105 A forma de cada uma dessas três equações indica que o momento de inércia para uma área em relação a um eixo é igual ao seu momento de inércia em relação a um eixo paralelo passando pelo centroide da área mais o produto da área e o quadrado da distância perpendicular entre os eixos 103 Raio de giração de uma área O raio de giração de uma área em relação a um eixo tem unidades de comprimento e é uma quantidade normalmente usada para projetos de colunas na mecânica estrutural Se as áreas e momentos de inércia forem conhecidos os raios de giração serão determinados pelas fórmulas