·
Cursos Gerais ·
Álgebra 3
Send your question to AI and receive an answer instantly
Preview text
70 Seja f N x N N dada pela lei fxy mdc xy a Determine f23 f05 e f2436 f23 mdc 23 1 f05 mdc 05 5 f2436 mdc 2436 12 b f é injetora Para que a função seja injetora ela não pode apresentar imagens iguais para diferentes elementos Podemos concluir então que a função não é injetora pois com um simples exemplo concluímos que temos o mesmo mdc para diferentes números f23 mdc 23 1 f54 mdc 54 1 Como f23 f54 logo a função não é injetora c f é sobrejetora Para a função ser sobrejetora todos os elementos do conjunto aplicado devem ser preenchidos dessa forma como existem infinitos mdc todo o conjunto dos números naturais a é preenchido Portanto a função é sobrejetora 71 Dê um argumento razoável para justificar que toda aplicação injetora de um conjunto finito E em si mesmo é também sobrejetora Dado um conjunto finito de elementos seus elementos serão distintos somente se os elementos distintos do domínio tiverem imagens distintas ou seja se a b fa fb Por exemplo dada a função f A B tal que fx 3 x a representação desse conjunto é A 1 0 1 3 B 3 0 3 9 A função é sobrejetora se e somente se todo elemento do contradomínio é imagem de pelos menos um elemento do domínio Portanto uma vez que para uma função ser injetora cada elemento do domínio deve ter uma imagem exclusiva temos que em se ela também é sobrejetora pois cada item no domínio terá como imagem um item no contradomínio sendo assim já imagem é o contradomínio da função 72 Dê um argumento razoável para justificar que Toda aplicação sobrejetora de um conjunto finito E em si mesmo é também injetora Para que a função seja sobrejetora é necessário que todo elemento do contradomínio seja correspondente de pelo menos um elemento do domínio Então se precisarmos de pelo menos um elemento do domínio e a imagem será o contradomínio logo a aplicação do conjunto finito E também será injetora visto que esta função permite a relação de elementos distintos do domínio com elementos distintos do contradomínio e estes serão a imagem Ex x y Todos os elementos do domínio estão associados a todos os elementos do contradomínio de forma um para um e exclusiva CD I IFTO Instituto Federal do Estado do Tocantins campus Palmeiras Aluna Lavínia Santos da Silva Rocha Atividade de Algebra 6 Sobre aplicações 64 seja f N x IN dada pela lei fxy xy a f02 02 0 b f30 30 1 c f34 34 81 d f1 16 x e NxN fxy e 16 Para este que temos fxy 16 devemos ter os seguintes pares 24 42 161 f1 16 24 42 161 e f1 625 x e NxN fxy e 625 Para que fxy 625 devemos ter os seguintes pares 54 252 6251 Assim f1 625 54 252 6251 f f1 1 Para fxy 1 devemos ter f1 1 1y y e N U x0 x e N g f1α α e N f1α 1α 1 h f1 p p primo f1 p p1 i f1 0 f1 0 0y y e N 75 Mostre que a aplicação f Z Z dada pela lei fn 2n n Z é injetora mas não é sobrejetora fx é injetora se e somente x1 x2 Z k Z x1 x2 0 fx1 fx2 ou ainda é equivalente dizer que x1 x2 Z k Z x1 x2 Z fx1 fx2 x1 x2 Aplicando na lei fn 2n tem que fx1 2x1 fx2 2x2 Igualando as duas imagens temos fx1 fx2 2x1 2x2 x1 x2 Isto significa que temos uma mesma imagem para um mesmo elemento caracterizando uma função injetora Para que a função seja sobrejetora temos que fx Z Z Imf Z fx é sobrejetora se e somente se y y Z x x Z fx y É fácil notar que a respectiva função engloba todos os múltiplos de dois ou seja exclui todos os números ímpares portanto a função não pode ser sobrejetora 11 Dois conjuntos A e B não são equipotentes quando A ou existe f A B bijetora Mostre em cada caso seguinte que os conjuntos A e B não são equipotentes 1ª A N e B N Um exemplo para uma aplicação é f12 x 1 Assim a função nunca será zero e ela é bijetora Logo equipotentes 2ª A Z e B N Nesse caso devemos ter uma parte negativa pois A Z Assim podemos representar essa situação usando uma função com sentinças Ex fx 2x se x 0 2x 1 se x 0 Dessa forma a função está bem definida para todo o domínio dos naturais e portanto A e B são equipotentes 3ª A R e B R Como a função não poderá ser negativa pois B R ainda que os valores do domínio sejam negativos a imagem deverá ser positiva Assim um exemplo para este caso é fx 2x Logo A e B não são equipotentes 4ª A 1 1 e B ab com ab reais a b Para este caso podemos notar que a metade da média dos limites sempre estarão dentro do intervalo assim como a metade da diferença Temos escrever isso fx ba2 x ab2 Dessa forma teremos uma função bijetora respeitando os limites por exemplo caso x por 1 f1 ba2 1 ab2 a E caso for 1 f1 ba2 1 ab2 b
Send your question to AI and receive an answer instantly
Preview text
70 Seja f N x N N dada pela lei fxy mdc xy a Determine f23 f05 e f2436 f23 mdc 23 1 f05 mdc 05 5 f2436 mdc 2436 12 b f é injetora Para que a função seja injetora ela não pode apresentar imagens iguais para diferentes elementos Podemos concluir então que a função não é injetora pois com um simples exemplo concluímos que temos o mesmo mdc para diferentes números f23 mdc 23 1 f54 mdc 54 1 Como f23 f54 logo a função não é injetora c f é sobrejetora Para a função ser sobrejetora todos os elementos do conjunto aplicado devem ser preenchidos dessa forma como existem infinitos mdc todo o conjunto dos números naturais a é preenchido Portanto a função é sobrejetora 71 Dê um argumento razoável para justificar que toda aplicação injetora de um conjunto finito E em si mesmo é também sobrejetora Dado um conjunto finito de elementos seus elementos serão distintos somente se os elementos distintos do domínio tiverem imagens distintas ou seja se a b fa fb Por exemplo dada a função f A B tal que fx 3 x a representação desse conjunto é A 1 0 1 3 B 3 0 3 9 A função é sobrejetora se e somente se todo elemento do contradomínio é imagem de pelos menos um elemento do domínio Portanto uma vez que para uma função ser injetora cada elemento do domínio deve ter uma imagem exclusiva temos que em se ela também é sobrejetora pois cada item no domínio terá como imagem um item no contradomínio sendo assim já imagem é o contradomínio da função 72 Dê um argumento razoável para justificar que Toda aplicação sobrejetora de um conjunto finito E em si mesmo é também injetora Para que a função seja sobrejetora é necessário que todo elemento do contradomínio seja correspondente de pelo menos um elemento do domínio Então se precisarmos de pelo menos um elemento do domínio e a imagem será o contradomínio logo a aplicação do conjunto finito E também será injetora visto que esta função permite a relação de elementos distintos do domínio com elementos distintos do contradomínio e estes serão a imagem Ex x y Todos os elementos do domínio estão associados a todos os elementos do contradomínio de forma um para um e exclusiva CD I IFTO Instituto Federal do Estado do Tocantins campus Palmeiras Aluna Lavínia Santos da Silva Rocha Atividade de Algebra 6 Sobre aplicações 64 seja f N x IN dada pela lei fxy xy a f02 02 0 b f30 30 1 c f34 34 81 d f1 16 x e NxN fxy e 16 Para este que temos fxy 16 devemos ter os seguintes pares 24 42 161 f1 16 24 42 161 e f1 625 x e NxN fxy e 625 Para que fxy 625 devemos ter os seguintes pares 54 252 6251 Assim f1 625 54 252 6251 f f1 1 Para fxy 1 devemos ter f1 1 1y y e N U x0 x e N g f1α α e N f1α 1α 1 h f1 p p primo f1 p p1 i f1 0 f1 0 0y y e N 75 Mostre que a aplicação f Z Z dada pela lei fn 2n n Z é injetora mas não é sobrejetora fx é injetora se e somente x1 x2 Z k Z x1 x2 0 fx1 fx2 ou ainda é equivalente dizer que x1 x2 Z k Z x1 x2 Z fx1 fx2 x1 x2 Aplicando na lei fn 2n tem que fx1 2x1 fx2 2x2 Igualando as duas imagens temos fx1 fx2 2x1 2x2 x1 x2 Isto significa que temos uma mesma imagem para um mesmo elemento caracterizando uma função injetora Para que a função seja sobrejetora temos que fx Z Z Imf Z fx é sobrejetora se e somente se y y Z x x Z fx y É fácil notar que a respectiva função engloba todos os múltiplos de dois ou seja exclui todos os números ímpares portanto a função não pode ser sobrejetora 11 Dois conjuntos A e B não são equipotentes quando A ou existe f A B bijetora Mostre em cada caso seguinte que os conjuntos A e B não são equipotentes 1ª A N e B N Um exemplo para uma aplicação é f12 x 1 Assim a função nunca será zero e ela é bijetora Logo equipotentes 2ª A Z e B N Nesse caso devemos ter uma parte negativa pois A Z Assim podemos representar essa situação usando uma função com sentinças Ex fx 2x se x 0 2x 1 se x 0 Dessa forma a função está bem definida para todo o domínio dos naturais e portanto A e B são equipotentes 3ª A R e B R Como a função não poderá ser negativa pois B R ainda que os valores do domínio sejam negativos a imagem deverá ser positiva Assim um exemplo para este caso é fx 2x Logo A e B não são equipotentes 4ª A 1 1 e B ab com ab reais a b Para este caso podemos notar que a metade da média dos limites sempre estarão dentro do intervalo assim como a metade da diferença Temos escrever isso fx ba2 x ab2 Dessa forma teremos uma função bijetora respeitando os limites por exemplo caso x por 1 f1 ba2 1 ab2 a E caso for 1 f1 ba2 1 ab2 b