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CIRCUITOS COMBINACIONAIS Funções e Portas Lógicas IFF Campus Macaé Prof Ricardo Machado Silva Álgebra de Boole George Boole George Boole 18151864 foi um matemático inglês criador da Álgebra Booleana trabalho fundamental para a posterior evolução dos computadores Tornouse amigo de De Morgan e baseado em uma controvérsia sobre lógica que o filósofo escocês Sir William Hamilton e De Morgan tinham iniciado em 1847 publicou o livro A Análise Matemática da Lógica Prof Ricardo Machado Silva Álgebra de Boole George Boole Em 1854 pulicou sua obra prima An Investigation of the Laws of Thought Uma Investigação das Leis do Pensamento em que se fundamentam as teorias matemáticas da lógica e probabilidades estabelecendo ao mesmo tempo a lógica formal e uma nova álgebra conhecida até hoje como Álgebra de Boole Em 1938 C E Shannon aplicou esta álgebra para mostrar que as propriedades de circuitos elétricos de chaveamento podem ser representadas por uma álgebra Booleana com dois valores Ele fez uma analogia entre os símbolos algébricos e os que representavam a lógica dando início à álgebra da lógica que posteriormente foi fundamental para a evolução dos computadores Prof Ricardo Machado Silva Funções e Portas Lógicas Digitais Variáveis lógicas Possui algumas propriedades distintas Só podem assumir um ou outro entre dois valores possíveis Os dois valores possíveis são mutuamente exclusivos como por exemplo verdadeiro e falso ligado e desligado aceso e apagado Dois eventos são mutuamente exclusivos se eles não podem ocorrer ao mesmo tempo Prof Ricardo Machado Silva Funções e Portas Lógicas Digitais Variáveis lógicas Na eletrônica digital os circuitos das portas lógicas recebem estímulos de tensão elétrica Estes estímulos são chamados de sinais digitais Estes sinais possuem níveis de tensão discretos definidos para serem associados aos valores lógicos da álgebra de Boole Verdadeiro Nível de tensão 5Vcc nível lógico Alto Álgebra de Boole 1 Falso Nível de tensão 0Vcc nível lógico Baixo Álgebra de Boole 0 Prof Ricardo Machado Silva Funções e Portas Lógicas Digitais Variáveis lógicas Estes valores de tensão podem ser por exemplo provenientes de dispositivos do tipo on off liga desliga que assumem estes dois estados em função de uma grandeza física como por exemplo nível dágua em um tanque ou a vazão de um líquido em uma tubulação Chave de nível Chave fechada tanque cheio 1 Chave aberta tanque vazio 0 Chave de fluxo Chave fechada há fluxo na tubulação 1 Chave aberta não há fluxo na tubulação 0 Prof Ricardo Machado Silva Funções e Portas Lógicas Digitais Função Lógica Básica Função da Álgebra de Boole em que para cada variável a qual esta função é dependente pode assumir um dentre dois valores possíveis Estes valores podem ser F V falso ou verdadeiro L D ligado ou desligado H L high and low ou ainda 0 1 binário Em se tratando da eletrônica digital os valores lógicos adotados seriam 0 1 Porta Lógica Circuito eletrônico digital que implementa uma função Lógica booleana básica A combinação de diversas portas lógicas tem se um circuito lógico combinacional Prof Ricardo Machado Silva Funções e Portas Lógicas Digitais Função Lógica Básica Funções básicas da Álgebra de Boole Função Not negação complemento inversora É a operação lógica em que o resultado é o complemento da variável dependente Na eletrônica digital devido ao fato de uma variável Booleana poder assumir um entre somente dois valores binários o valor complemento de 0 será 1 e o valor complemento de 1 será 0 Função AND A partir de dois ou mais valores lógicos de entrada o resultado de saída será Verdadeiro se e somente se todos os valores de entrada forem Verdadeiros Função OR A partir de dois ou mais valores lógicos de entrada o resultado de saída será Verdadeiro se ao menos um valor de entrada for Verdadeiro Prof Ricardo Machado Silva Funções e Portas Lógicas Digitais PORTAS LÓGICAS FUNÇÕES LÓGICAS Prof Ricardo Machado Silva Funções e Portas Lógicas Digitais Portas Lógicas Na eletrônica digital as funções booleanas básicas são implementadas por circuitos eletrônicos denominados de Portas Lógicas Circuito eletrônico típico que Implementa uma função lógica Not inversorao Circuito eletrônico típico que Implementa uma função lógica AND Fonte httpswwwibiblioorgkuphaldtelectricCircuitsDigitalDIGI3html Prof Ricardo Machado Silva Funções e Portas Lógicas Digitais Circuitos Integrados Os circuitos eletrônicos das portas lógicas são construídos em uma única pastilha de silício chip Estes chips são chamados de Circuitos Integrados ou simplesmente CI Fonte httpswebstanfordeduclasscs101hardware1html Pastilha de cilício típica de um circuito integrado ampliada algumas dezenas de vezes Prof Ricardo Machado Silva Funções e Portas Lógicas Digitais Circuitos Integrados Estas pastilhas são de dimensões muito reduzidas a pastilha da figura anterior possui cerca de 3mm x 5mm aproximadamente e para que possamos manipular de forma pratica seus terminais de ligação estas pastilhas são encapsuladas em blocos de plástico ou cerâmica Fontes httpscommonswikimediaorgwikiFileDIPzagotovkajpg httpsplayerslideplayercom9315375328slidesslide39jpg httpscommonswikimediaorgwikiFileDIPzagotovkajpg Encapsulamento de um CI Etapa final da construção de um circuito integrado Prof Ricardo Machado Silva Funções e Portas Lógicas Digitais Funções Lógicas Função lógica AND E Quando a lâmpada S irá acender Quando CH A E CH B estiverem fechadas CH A e CH B são duas variáveis de entrada mutuamente exclusivas ou seja só podem assumir os estados de Fechadas ou Abertas S é uma variável de saída também mutuamente exclusiva que só pode assumir os estados de Acesa ou Apagada em função dos estados de CH A e CH B CH A CH B S Aberta Aberta Apagada Aberta Fechada Apagada Fechada Aberta Apagada Fechada Fechada Acesa Fungoes e Portas Logicas Digitais Fungoes Logicas Na operagao AND o resultado de saida sera 0 se pelo mae logica aD menos o estado de uma das variaveis de entrada for 0 Por esta definigao podese deduzir que o resultado da A operagao AND sera 1 se e somente se o estado das S variaveis de entrada estiverem com nivel ldgico 1 B Na algebra de Boole a operagao AND é denominada de Simbolo da porta logica AND conjungao é representada por um ponto como na Cl MEClUETMETilclerCHmeilallees multiplicagao na algebra matematica mas nao se trata pelas variaveis A e B de multiplicagao algébrica mas multiplicagao ldogica as a S A operagao AND so pode se definida se houver duas ou HOO SOW po 4 oO ate ae SABAB S em funcao de A eB éigqualaAEB Tabela verdade Prof Ricardo Machado Silva Fungoes e Portas Logicas Digitais Fungoes Logicas Porta logica AND de trés entradas A B C S A poo to a po 4 4 0 Na operagao AND o pode ser suprimido como 4 o0 1 oo na multiplicagao na algebra matematica Pap a it it ee Tabela verdade Prof Ricardo Machado Silva Prof Ricardo Machado Silva Funções e Portas Lógicas Digitais Funções Lógicas Associação entre um circuito digital típico de uma porta AND e o seu símbolo lógico Prof Ricardo Machado Silva Funções e Portas Lógicas Digitais Funções Lógicas Função OR OU Quando a lâmpada S irá acender Quando CH A OU CH B estiverem fechadas CH A e CH B são duas variáveis de entrada mutuamente exclusivas ou seja só podem assumir os estados de Fechadas ou Abertas S é uma variável de saída mutuamente exclusiva que pode assumir os estados de Acesa ou Apagada em função de CH A e CH B CH A CH B S Aberta Aberta Apagada Aberta Fechada Acesa Fechada Aberta Acesa Fechada Fechada Acesa Prof Ricardo Machado Silva Funções e Portas Lógicas Digitais Funções Lógicas Porta lógica OR OU Tabela verdade Símbolo da porta lógica OR de duas entradas definidas pelas variáveis A e B A B S 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 Função lógica OR 𝑆 𝐴 𝐵 𝐴 𝐵 S em função de A e B é igual a A OU B Na operação OR o resultado de saída será 0 se e somente se o estado das variáveis de entrada estiverem em nível lógico 0 Por esta definição podese deduzir que o resultado da operação OR será 1 se pelo menos o estado de uma das variáveis de entrada estiverem com nível lógico 1 Na álgebra de Boole a operação OR é denominada de disjunção inclusiva é representada por como na soma na álgebra matemática mas não se trata de soma algébrica mas soma lógica A operação OR só pode se definida se houver duas ou mais variáveis Prof Ricardo Machado Silva Funções e Portas Lógicas Digitais Funções Lógicas Função NOT Inversora Quando a lâmpada S irá acender Quando CH A estiver aberta CH A é uma variável de entrada mutuamente exclusiva ou seja só pode assumir os estados de Fechadas ou Abertas S é uma variável de saída mutuamente exclusiva que pode assumir os estados de Acesa ou Apagada em função de CH A Quando CH A estiver aberta a corrente passa pelo resistor R e pela lâmpada S Quando CH A estiver fechada a corrente passa apenas pelo resistor R e pela chave A lâmpada foi curto circuitada CH A S Aberta Acesa Fechada Apagada Prof Ricardo Machado Silva Funções e Portas Lógicas Digitais Funções Lógicas Porta lógica NOT Negação Complemento Inversor Tabela verdade A porta lógica NOT só possui uma variável de entrada Note a presença de um círculo no símbolo Ele sempre vai indicar a inversão complemento e será usada em outras situações A S 0 1 1 0 Função NOT 𝑆 𝐴 𝐴 esta será a simbologia utilizada Na álgebra de Boole a operação lógica complemento é representada pelo operador sobre a variável Outras duas representações são utilizadas e S em função de A é igual a A negado Símbolo da porta lógica NOT 𝑆 𝐴 A 𝑆 𝐴 A Prof Ricardo Machado Silva Funções e Portas Lógicas Digitais Funções Lógicas Estas são as três portas lógicas que emulam as três funções lógicas booleanas básicas AND OR NOT Existem outras portas lógicas que são combinações entre estas portas lógicas básicas Fungoes e Portas Logicas Digitais Fungoes Logicas Combinadas Porta logica NAND Not AND A S A porta logica NAND 6 uma combinacao de B S uma porta NOT na saida de uma porta AND A B Sy SS Deducao da funcao ldgica ae Po to 1 a SAB AB ptt tt Tabela verdade Prof Ricardo Machado Silva Prof Ricardo Machado Silva Funções e Portas Lógicas Digitais Funções Lógicas Combinadas Porta lógica NAND Not AND Tabela verdade Símbolo da porta lógica NAND de duas entradas definidas pelas variáveis A e B Note na simbologia que o que foi herdado da porta lógica NOT foi apenas o círculo indicando a inversão Como esta porta lógica é derivada de uma porta lógica AND também pode ter mais de duas entradas A B S 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 Função NAND 𝑆 𝐴 𝐵 𝐴𝐵 Simbologia Prof Ricardo Machado Silva Funções e Portas Lógicas Digitais Funções Lógicas Combinadas Porta lógica NOR Not NOR Tabela verdade A porta lógica NOR é uma combinação de uma porta NOT na saída de uma porta OR A B S SS 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 𝑆 𝐴 𝐵 𝐴 𝐵 Dedução da função lógica 𝑆𝐴 𝐵 𝐴 𝐵 𝑆 𝑆 𝑆 S Prof Ricardo Machado Silva Funções e Portas Lógicas Digitais Funções Lógicas Combinadas Porta lógica NOR Not NOR Tabela verdade Símbolo da porta lógica NOR de duas entradas definidas pelas variáveis A e B Note na simbologia que o que foi herdado da porta lógica NOT foi apenas o círculo indicando a inversão Como esta porta lógica é derivada de uma porta lógica OR também pode ter mais de duas entradas A B S 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 Função NOR 𝑆 𝐴 𝐵 𝐴 𝐵 Simbologia Prof Ricardo Machado Silva Funções e Portas Lógicas Digitais CIRCUITOS LÓGICOS COMBINACIONAIS Prof Ricardo Machado Silva Funções e Portas Lógicas Digitais Circuitos Lógicos combinacionais São circuitos com diversas portas lógicas combinadas em que o nível lógico de saída depende única e exclusivamente dos níveis lógicos das variáveis de entrada 𝑆 𝐴 𝐵 𝐶 𝑛 𝑪𝒊𝒓𝒄𝒖𝒊𝒕𝒐 𝑪𝒐𝒎𝒃𝒊𝒏𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒍 Prof Ricardo Machado Silva Funções e Portas Lógicas Digitais Circuitos Lógicos combinacionais Codificadores Decodificadores Circuitos aritméticos Somadores Subtratores Geradores Detectores de paridade Exemplos Prof Ricardo Machado Silva Funções e Portas Lógicas Digitais Circuitos Lógicos combinacionais O projeto de um circuito digital combinacional para um determinado sistema é elaborado a partir de expressões lógicas que caracterizam o sistema onde a saída é função das variáveis de entrada Tais expressões são obtidas a partir de tabelas verdade que descrevem o comportamento completo do sistema Prof Ricardo Machado Silva Funções e Portas Lógicas Digitais Circuitos Lógicos combinacionais São tabelas onde são colocadas todas as possibilidades das variáveis de entrada do circuito e a partir da função lógica é determinado os valores lógicos de saída para cada combinação de entrada Tabelas verdade Prof Ricardo Machado Silva Funções e Portas Lógicas Digitais Desenvolvimento de circuitos combinacionais Análise Determinar a partir do problema as variáveis de entrada e saída pertinentes do sistema e transportar de forma lógica para uma tabela verdade os valores destas variáveis Projeto ao identificar a função a ser realizada por um circuito a álgebra de Boole pode ser aplicada para simplificar sua descrição e assim também sua implementação A álgebra de Boole é amplamente aplicada no desenvolvimento de circuitos digitas sejam os circuitos combinacionais ou circuitos sequenciais A grande vantagem da eletrônica digital estar fundamentada na álgebra de Boole é que é possível fazer uma análise do problema de forma lógica antes da elaboração do circuito digital Prof Ricardo Machado Silva Funções e Portas Lógicas Digitais Circuitos Lógicos combinacionais Fluxo do processo para elaboração de um circuito combinacional Análise do problema Definição das variáveis de entrada e saída Elaboração da tabela verdade Extração da função ou funções lógicas Simplificação das funções lógicas Elaboração do circuito lógico Prof Ricardo Machado Silva Funções e Portas Lógicas Digitais PRECEDÊNCIA DE OPERADORES LÓGICOS Prof Ricardo Machado Silva Funções e Portas Lógicas Digitais Precedência de operadores lógicos Quando várias operações OR AND NOT etc ocorrem em uma função lógica cada parte é avaliada e resolvida em uma ordem predeterminada chamada precedência de operadores A ordem de precedência segue os níveis descritos abaixo tendo os parênteses como nível mais alto 1º Parênteses colchetes e chaves ou simplesmente parênteses aninhados De dentro para fora ou 2º Operação NOT 3º Operação AND 4º Operação OR De uma forma geral os parênteses são utilizados para alterar a ordem de precedência e forçar algumas partes de ordem inferior de uma expressão a serem avaliadas antes de outras de níveis superiores As operações que estiverem dentro dos parênteses sempre serão realizadas antes das operações externas Entretanto as operações dentro dos parênteses sempre terão a ordem de precedência mantida Prof Ricardo Machado Silva Funções e Portas Lógicas Digitais Precedência de operadores lógicos Exemplo de utilização de parênteses Seja a função lógica 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 S1 A C B Pelo circuito podemos observar que a porta lógica AND deve ser avaliada primeiro e em seguida a porta lógica OR Prof Ricardo Machado Silva Funções e Portas Lógicas Digitais Precedência de operadores lógicos Exemplo de utilização de parênteses Vamos agora na função anterior acrescentar parênteses na operação OR para indicar que ela deve ser avaliada primeiro 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 Observe que agora a porta lógica OR vem antes da porta lógica AND Os resultados finais das tabelas verdade são diferentes A B S2 C Prof Ricardo Machado Silva Funções e Portas Lógicas Digitais Precedência de operadores lógicos Exemplo com NOT Em uma operação NOT em apenas uma variável não faz diferença Ela vai seguir as regras de precedência estabelecidas Mas quando esta operação está em duas ou mais variáveis ao mesmo tempo deve ser levada em consideração na avaliação das precedências da função Observe que neste circuito assim como o anterior a porta lógica NOR precede a porta lógica AND logo a priori a função deveria ter parênteses na operação NOR mas como o complemento NOT está implícito para as variáveis B e C ao mesmo tempo como mostrado na função neste caso a operação NOT substitui os parênteses S A B C Prof Ricardo Machado Silva Funções e Portas Lógicas Digitais Precedência de operadores lógicos Exemplo com NOT Uma operação NOT em uma função puramente AND ou puramente OR irá acontecer o acréscimo de portas lógicas Nos exemplos abaixo temos apenas uma porta AND e uma OR ambas de três entradas A S B C S A B C Prof Ricardo Machado Silva Funções e Portas Lógicas Digitais Precedência de operadores lógicos Exemplo com NOT Entretanto quando duas ou mais variáveis estão conjuntamente negadas é necessário o acréscimo de porta adicional Neste caso a ordem de precedência será mantida e o NOT será executado primeiro A C B S C S B A Prof Ricardo Machado Silva Funções e Portas Lógicas Digitais EQUIVALÊNCIA LÓGICA Prof Ricardo Machado Silva Funções e Portas Lógicas Digitais Equivalências lógicas A S2 B S1 A B 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 Associações específicas de determinadas portas lógicas será equivalente a outras portas lógicas Prof Ricardo Machado Silva Funções e Portas Lógicas Digitais Equivalências lógicas 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 S1 S2 B B A A Prof Ricardo Machado Silva Funções e Portas Lógicas Digitais Equivalências lógicas 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 Teorema de De Morgan A S2 A B B S1 Prof Ricardo Machado Silva Funções e Portas Lógicas Digitais Equivalências lógicas 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 Teorema de De Morgan B A S1 S2 B A Prof Ricardo Machado Silva Funções e Portas Lógicas Digitais Equivalências lógicas Inversores S S S A A A Prof Ricardo Machado Silva Funções e Portas Lógicas Digitais ELABORAÇÃO DE FUNÇÕES LÓGICAS A PARTIR DE CIRCUITOS LÓGICAS Prof Ricardo Machado Silva Funções e Portas Lógicas Digitais Extração de função a partir de circuito lógico Ex 1 Extrair a função lógica do circuito combinacional abaixo Este circuito possui três entradas uma saída e duas portas lógicas AND e NOR Prof Ricardo Machado Silva Funções e Portas Lógicas Digitais Extração de função a partir de circuito lógico Porta AND Possui as entradas A e B Para a saída associamos uma variável auxiliar S Porta NOR Uma entrada é a variável C A outra entrada está associada a saída da AND Como S foi associada a saída da AND ela também será a variável de entrada da NOR Funcgoes e Portas Logicas Digitais A Ss B Sj C 0D ew 05 SSC SC Ou simplesmente Prof Ricardo Machado Silva Funcgoes e Portas Logicas Digitais A Ss c soloit Oo o o pojtjo o fF 4 ot a soltja oo o o tjojo o Ff 4 4 Note que a sequencia dos valores das ftfoj1 o o o HET CS Cine tf oo oO Desta forma podemos determinar o numero de combinag6des possiveis das variaveis de entrada Prof Ricardo Machado Silva Funcgoes e Portas Logicas Digitais Extracgao de fungao a partir de circuito logico Ex 2 Extrair a fungao logica do circuito combinacional abaixo A A ABC eT Ds Prof Ricardo Machado Silva Prof Ricardo Machado Silva Funções e Portas Lógicas Digitais Tabela verdade 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 Prof Ricardo Machado Silva Funções e Portas Lógicas Digitais ELABORAÇÃO DE CIRCUITOS DIGITAIS A PARTIR DE FUNÇÕES LÓGICAS Prof Ricardo Machado Silva Funções e Portas Lógicas Digitais Elaboração de circuitos digitais a partir de funções lógicas OR SABC A B C B D OR AND Podemos observar que a saída final do circuito será uma porta AND de três entradas Para facilitar vamos atribuir para a primeira porta OR uma variável auxiliar X e para segunda Y C S B X B Y A D B X B Y A D C S X Y Unindo as três portas de acordo com a função Exemplo 1 SABCD ABCBD Funcgoes e Portas Logicas Digitais Elaboragao de circuitos digitais a partir de fungoes logicas Exemplo 1 SABCD ABCBD Circuito redesenhado em uma forma mais elegante A AB B C S SABCBD D BD Prof Ricardo Machado Silva Prof Ricardo Machado Silva Funções e Portas Lógicas Digitais Elaboração de circuitos digitais a partir de funções lógicas AND X SABC ABC A BC AND Z OR Y OR S A S A X Z Y B Z C X B Y C Exemplo 2 SABCABCABC Prof Ricardo Machado Silva Funções e Portas Lógicas Digitais Elaboração de circuitos digitais a partir de funções lógicas A S A X Z Y B Z C X B Y C A A S B Z C C B X Y Exemplo 2 SABCABCABC Funcgoes e Portas Logicas Digitais Elaboragao de circuitos digitais a partir de fungoes logicas Exemplo 2 SABCABCABC Circuito redesenhado em uma forma mais elegante i ABC y of A ee Downe C SABCABC Prof Ricardo Machado Silva Funcgoes e Portas Logicas Digitais Elaboragao de circuitos digitais a partir de fungoes logicas AND Como pode ser observado ABAC possui uma H NAND seguido por AND que devera possuir 7DAF trés entradas De acordo com as regras de Exemplo SF ita aC predominancia de operadores a NAND aa precede a AND por possuir na saida um NAND AND inversor A B C Ss Prof Ricardo Machado Silva Prof Ricardo Machado Silva Funções e Portas Lógicas Digitais FUNÇÕES LÓGICAS ESPECIAIS DISJUNÇÃO EXCLUSIVA EXCLUSIVE OR FUNÇÃO CONCIDÊNCIA EXCLUSIVE NOR Prof Ricardo Machado Silva Funções e Portas Lógicas Digitais DISJUNÇÃO EXCLUSIVA A disjunção exclusiva ou seja OU exclusivo Exclusive OR ou simplesmente XOR é uma função lógica da álgebra de Boole Considerando uma função de duas variáveis A e B a disjunção exclusiva é uma operação lógica que quando uma das variáveis A ou B na exclusão da outra tiver valor lógico 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 A tabela verdade mostra a operação disjunção exclusiva De acordo com o enunciado acima 𝑺 𝟏 se 𝑨 𝟏 ou 𝑩 𝟏 mas não ambos 𝑨 e 𝑩 forem ao mesmo tempo 1 Lêse A ou exclusivo B Prof Ricardo Machado Silva Funções e Portas Lógicas Digitais DISJUNÇÃO EXCLUSIVA Para a implementação da operação disjunção exclusiva a função com portas lógicas seria a seguinte 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 Abaixo a tabela verdade e a implementação do circuito lógico S A B Prof Ricardo Machado Silva Funções e Portas Lógicas Digitais DISJUNÇÃO EXCLUSIVA EXCLUSIVE OR OU EXCLUSIVO Por ser uma operação lógica da álgebra de Boole este circuito se tornou uma porta lógica XOR abreviação de exclusive OR B A S S A B Prof Ricardo Machado Silva Funções e Portas Lógicas Digitais FUNÇÃO COINCIDÊNCIA Considerando uma função de duas variáveis A e B a função coincidência é uma operação lógica que resultará em valor lógico 1 se e somente se as duas variáveis possuírem valores iguais 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 A tabela verdade mostra a operação coincidência De acordo com o enunciado acima 𝑺 𝟏 se 𝑨 𝟏 e 𝑩 𝟏 ou 𝑨 0 e 𝑩 0 Lêse A inclusive B Prof Ricardo Machado Silva Funções e Portas Lógicas Digitais FUNÇÃO COINCIDÊNCIA Para a implementação da operação coincidência a função com portas lógicas seria a seguinte 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 Abaixo a tabela verdade e a implementação do circuito lógico S A B Prof Ricardo Machado Silva Funções e Portas Lógicas Digitais FUNÇÃO COINCIDÊNCIA Podemos observar pela tabela verdade que o resultado da operação coincidência é inversa ao da operação XOR XOR COINCIDÊNCIA Podemos então dizer que a operação coincidência é uma operação exclusive NOR ou simplesmente XNOR 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 Prof Ricardo Machado Silva Funções e Portas Lógicas Digitais FUNÇÃO COINCIDÊNCIA XNOR Assim como a função XOR a função XNOR tornouse uma porta lógica Como a operação XNOR é inversa a operação XOR a simbologia será a XOR com um inversor na saída A S B S A B Prof Ricardo Machado Silva Funções e Portas Lógicas Digitais FUNÇÃO COINCIDÊNCIA XNOR Algumas considerações importantes Prof Ricardo Machado Silva Simplificação de Funções Lógicas Mapas de Karnaugh Prof Ricardo Machado Silva Simplificação de Funções Lógicas Mapas de Karnaugh Definição Técnica gráfica utilizando diagramas para simplificação de funções algébricas booleanas elaborada por Edward Veitch em 1952 A Chart Method for Simplifying Truth Functions e aperfeiçoado por Maurice Karnaugh Um mapa de Karnaugh é uma figura geométrica quadriculada tabela linha x coluna onde é feito uma associação entre cada linha de uma tabela verdade e um quadrículo do mapa Karnaugh Estes diagramas são denominados de mapas pois é feito um mapeamento biunívoco entre tabelas verdades e estas figuras geométricas Estes mapas recebem o nome de seus criadores ou seja Mapas de Veitch Karnaugh entretanto é comumente chamado apenas de Mapas de Karnaugh Prof Ricardo Machado Silva Simplificação de Funções Lógicas Mapas de Karnaugh Como os Mapas de Karnaugh são mapeamentos biunívocos entre tabelas verdade e os digramas teremos então mapas com dimensões específicas em função do número de variáveis A B S 0 0 S0 0 1 S1 1 0 S2 1 1 S3 Mapas com duas variáveis A B 0 0 1 1 S1 S0 S2 S3 Valores da variável A Valores da variável B Valores da variável de saída S Prof Ricardo Machado Silva Simplificação de Funções Lógicas Mapas de Karnaugh A B C S 0 0 0 S0 0 0 1 S1 0 1 0 S2 0 1 1 S3 1 0 0 S4 1 0 1 S5 1 1 0 S6 1 1 1 S7 Mapas com três variáveis A BC 0 00 1 S1 S0 S4 S5 11 01 10 Observe a ordem dos valores das variáveis BC Esta ordem é a mesma do código Gray em que a mudança de valor de um par BC para outro deve ser sempre de 1 bit apenas 1 bit 1 bit 1 bit S2 S3 S6 S7 Valores da variável A Valores das variáveis BC Valore da variável de saída S Prof Ricardo Machado Silva Simplificação de Funções Lógicas Mapas de Veitch Karnaugh Mapas de Karnaugh com três variáveis O processo de simplificação é feito por agrupamentos onde os valores são iguais a 1 e adjacentes entre si Os valores iguais a 0 são ignorados Em um mapa de Karnaugh será registrado os valores de S iguais a 1 e 0 Desta forma poderá se feito a análise para valores de S iguais a 1 soma de mintermos ou iguais a 0 produto de maxtermos Quanto maior o grupo formado maior a simplificação Para um mapa de Karnaugh de três variáveis os grupos devem seguir a seguinte sequência em ordem de máxima simplificação para a mínima simplificação Quadras Grupos de 4 bits teremos um termo com uma única variável Par Grupo de 2 bits teremos um termo com duas variáveis Unitário apenas 1 bit teremos um termo com três variáveis Não é permitido a formação de grupos com quantidade de bits diferentes e nem agrupamentos na diagonal Prof Ricardo Machado Silva Simplificação de Funções Lógicas Mapas de Karnaugh Sn A B C S 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 2 0 1 0 1 3 0 1 1 0 4 1 0 0 1 5 1 0 1 1 6 1 1 0 1 7 1 1 1 1 Mapas de Karnaugh com três variáveis soma de mintermos A BC 0 00 1 1 0 1 1 11 01 10 Os valores de S de cada linha da tabela verdade são transferidos para o mapa em suas respectivas posições 1 0 1 1 Exemplo 1 S0 S2 S1 S4 S3 S6 S5 S7 Prof Ricardo Machado Silva Simplificação de Funções Lógicas Mapas de Veitch Karnaugh A B C S 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 Mapas de Karnaugh com três variáveis soma de mintermos A BC 0 00 1 1 0 1 1 11 01 10 Fazendo os agrupamentos teremos 1 0 1 1 Exemplo 1 Uma quadra Par 2 Par 1 Obs Bits utilizados em um grupo podem ser utilizados para a formação de outros grupos Prof Ricardo Machado Silva Simplificação de Funções Lógicas Mapas de Veitch Karnaugh Mapas de Karnaugh com três variáveis soma de mintermos Cada grupo será um termo da soma de mintermos Exemplo 1 Para se determinar as variáveis de cada termo é analisado o estado de dos valores de cada variável do grupo em questão Para isso analisamos o valores das variáveis correspondente à área em que o grupo ocupa Prof Ricardo Machado Silva Simplificação de Funções Lógicas Mapas de Veitch Karnaugh A B C S 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 Mapas de Karnaugh com três variáveis soma de mintermos A BC 0 00 1 1 0 1 1 11 01 10 1 0 1 1 Exemplo 1 Quadra Ocupa a região onde a variável A 1 Ocupa a região onde a variável B 0 e B 1 ao mesmo tempo Ocupa a região onde a variável C 0 e C 1 ao mesmo tempo Prof Ricardo Machado Silva Simplificação de Funções Lógicas Mapas de Veitch Karnaugh A B C S 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 Mapas de Karnaugh com três variáveis soma de mintermos A BC 0 00 1 1 0 1 1 11 01 10 1 0 1 1 Exemplo 1 Ocupa a região onde a variável A 0 e A 1 ao mesmo tempo Ocupa a região onde a variável B 0 Ocupa a região onde a variável C 1 Par 1 Prof Ricardo Machado Silva Simplificação de Funções Lógicas Mapas de Veitch Karnaugh A B C S 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 Mapas de Karnaugh com três variáveis soma de mintermos A BC 0 00 1 1 0 1 1 11 01 10 1 0 1 1 Exemplo 1 Ocupa a região onde a variável A 0 e A 1 ao mesmo tempo Ocupa a região onde a variável B 1 Ocupa a região onde a variável C 0 Par 2 Prof Ricardo Machado Silva Simplificação de Funções Lógicas Mapas de Veitch Karnaugh A B C S 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 Mapas de Karnaugh com três variáveis soma de mintermos A BC 0 00 1 1 0 1 1 11 01 10 1 0 1 1 Exemplo 1 Quadra A 1 B 01 C 01 Par 2 A 01 B 1 C 0 Par 1 A 01 B 0 C 1 Prof Ricardo Machado Silva Simplificação de Funções Lógicas Mapas de Veitch Karnaugh Mapas de Karnaugh com três variáveis soma de mintermos Exemplo 1 O processo de simplificação com Mapas de Karnaugh se baseia no postulado da soma da álgebra de Boole Exemplo Neste ponto do processo de simplificação podemos dizer que temos ao mesmo tempo B 1 e B 0 S1 B B B Isto quer dizer que nas análises dos grupos no mapa de Karnaugh onde a variável é ao mesmo tempo 1 e 0 ela será uma constante igual a 1 Simplificagao de Fungdes Logicas BoC 000 0 001 17 010 17 ed ee 011 0 100 7 SSS 101 1 110 17 rs ifdyay a Prof Ricardo Machado Silva Simplificagao de Fungdes Logicas BoC 000 0 001 17 010 17 ed ee 011 0 100 7 101 1 110 17 ifdyay a Prof Ricardo Machado Silva Simplificagao de Fungdes Logicas AEs 000 0 001 1 ial in 010 17 a 011 0 100 17 101 17 110 7 111 1 Prof Ricardo Machado Silva Prof Ricardo Machado Silva Simplificação de Funções Lógicas Mapas de Veitch Karnaugh A B C S 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 Mapas de Karnaugh com três variáveis soma de mintermos A BC 0 00 1 1 1 1 1 11 01 10 1 0 1 0 Transferência dos valores da saída S da tabela verdade para o mapa de Karnaugh Exemplo 2 Prof Ricardo Machado Silva Simplificação de Funções Lógicas Mapas de Veitch Karnaugh A B C S 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 Mapas de Karnaugh com três variáveis soma de mintermos A BC 0 00 1 1 1 1 1 11 01 10 1 0 1 0 Agrupamento Podemos fazer uma quadra Exemplo 2 Podemos também fazer uma outra quadra Há casos em que os quadrículos não são geometricamente adjacentes mas os mintermos são como é o caso da segunda quadra Prof Ricardo Machado Silva Simplificação de Funções Lógicas Mapas de Veitch Karnaugh A B C S 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 Mapas de Karnaugh com três variáveis soma de mintermos A BC 0 00 1 1 1 1 1 11 01 10 1 0 1 0 Quadra 1 A 01 Exemplo 2 Análise dos grupos B 0 C 01 Quadra 2 A 01 C 0 B 01 Prof Ricardo Machado Silva Simplificação de Funções Lógicas Mapas de Veitch Karnaugh A B C S 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 Mapas de Karnaugh com três variáveis soma de mintermos A BC 0 00 1 1 1 1 1 11 01 10 1 0 1 0 Quadra 1 A 01 Exemplo 2 Ignoramos as variáveis onde são ao mesmo tempo 0 e 1 B 0 C 01 Quadra 2 A 01 C 0 B 01 Prof Ricardo Machado Silva Simplificação de Funções Lógicas Mapas de Veitch Karnaugh A B C D S 0 0 0 0 S0 0 0 0 1 S1 0 0 1 0 S2 0 0 1 1 S3 0 1 0 0 S4 0 1 0 1 S5 0 1 1 0 S6 0 1 1 1 S7 1 0 0 0 S8 1 0 0 1 S9 1 0 1 0 S10 1 0 1 1 S11 1 1 0 0 S12 1 1 0 1 S13 1 1 1 0 S14 1 1 1 1 S15 Mapas de Karnaugh com quatro variáveis soma de mintermos AB CD 00 00 01 S1 S0 S4 S5 11 01 10 S2 S3 S6 S7 10 11 S13 S12 S8 S9 S14 S15 S10 S11 Prof Ricardo Machado Silva Simplificação de Funções Lógicas Mapas de Veitch Karnaugh Mapas de Karnaugh com quatro variáveis soma de mintermos Para um mapa de Karnaugh com quatro variáveis os grupos devem seguir a seguinte sequência em ordem de máxima simplificação para a mínima simplificação Oitavas Grupos com 8 bits teremos um termo com uma única variável Quadras Grupos de 4 bits teremos um termo com duas variáveis Par Grupo de 2 bits teremos um termo com três variáveis Unitário Apenas 1 bit teremos um termo com quatro variáveis Prof Ricardo Machado Silva Simplificação de Funções Lógicas Mapas de Veitch Karnaugh Sn A B C D S 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 2 0 0 1 0 1 3 0 0 1 1 0 4 0 1 0 0 1 5 0 1 0 1 1 6 0 1 1 0 1 7 0 1 1 1 0 8 1 0 0 0 1 9 1 0 0 1 1 10 1 0 1 0 1 11 1 0 1 1 0 12 1 1 0 0 1 13 1 1 0 1 1 14 1 1 1 0 0 15 1 1 1 1 0 Mapas de Karnaugh com quatro variáveis soma de mintermos AB CD 00 00 01 1 1 1 1 11 01 10 1 0 1 0 10 11 1 1 1 1 0 0 1 0 Exemplo 4 S1 S0 S4 S5 S2 S3 S6 S7 S13 S12 S8 S9 S14 S15 S10 S11 Prof Ricardo Machado Silva Simplificação de Funções Lógicas Mapas de Veitch Karnaugh Mapas de Karnaugh com quatro variáveis soma de mintermos AB CD 00 00 01 1 1 1 1 11 01 10 1 0 1 0 10 11 1 1 1 1 0 0 1 0 Exemplo 4 Agrupamento Oitava Quadra 1 Há casos em que os quadrículos não são geometricamente adjacentes mas os mintermos são como é o caso das duas quadras Quadra 2 Prof Ricardo Machado Silva Simplificação de Funções Lógicas Mapas de Veitch Karnaugh Mapas de Karnaugh com quatro variáveis soma de mintermos AB CD 00 00 01 1 1 1 1 11 01 10 1 0 1 0 10 11 1 1 1 1 0 0 1 0 Exemplo 4 Análise dos grupos A 01 B 01 C 0 D 01 A 0 B 01 C 01 D 0 A 01 B 0 C 01 D 0 Prof Ricardo Machado Silva Simplificação de Funções Lógicas Mapas de Veitch Karnaugh Mapas de Karnaugh com quatro variáveis soma de mintermos AB CD 00 00 01 1 1 1 1 11 01 10 1 0 1 0 10 11 1 1 1 1 0 0 1 0 Exemplo 4 Variáveis ignoradas A 01 B 01 C 0 D 01 A 0 B 01 C 01 D 0 A 01 B 0 C 01 D 0 Prof Ricardo Machado Silva Simplificação de Funções Lógicas Mapas de Veitch Karnaugh Sn A B C D S 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 2 0 0 1 0 1 3 0 0 1 1 X 4 0 1 0 0 1 5 0 1 0 1 1 6 0 1 1 0 1 7 0 1 1 1 X 8 1 0 0 0 1 9 1 0 0 1 1 10 1 0 1 0 X 11 1 0 1 1 0 12 1 1 0 0 1 13 1 1 0 1 1 14 1 1 1 0 0 15 1 1 1 1 1 Mapas de Karnaugh com quatro variáveis soma de mintermos AB CD 00 00 01 1 1 1 1 11 01 10 1 X 1 X 10 11 1 1 1 1 0 1 X 0 Exemplo 5 Termos irrelevantes Quando em uma determinada análise de um problema é afirmado que os valores binários das variáveis de uma ou mais linhas da tabela verdade não irão ocorrer é dito que os valores de S é irrelevante Isto significa que não importa o valor de S podendo assumir 0 ou 1 Os termos irrelevantes são sinalizados na tabela verdade como X S1 S0 S4 S5 S2 S3 S6 S7 S13 S12 S8 S9 S14 S15 S10 S11 Prof Ricardo Machado Silva Simplificação de Funções Lógicas Mapas de Veitch Karnaugh Sn A B C D S 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 2 0 0 1 0 1 3 0 0 1 1 X 4 0 1 0 0 1 5 0 1 0 1 1 6 0 1 1 0 1 7 0 1 1 1 X 8 1 0 0 0 1 9 1 0 0 1 1 10 1 0 1 0 X 11 1 0 1 1 0 12 1 1 0 0 1 13 1 1 0 1 1 14 1 1 1 0 0 15 1 1 1 1 1 Mapas de Karnaugh com quatro variáveis soma de mintermos AB CD 00 00 01 1 1 1 1 11 01 10 1 1 1 1 10 11 1 1 1 1 0 1 0 0 Exemplo 5 Termos irrelevantes Ao fazer os agrupamentos os termos irrelevantes podem assumir 0 ou 1 dependendo da necessidade do grupo a ser formado Isto é possível pois já foi afirmado que os valores das variáveis das linhas correspondentes nunca irão ocorrer e desta forma os valores de S no mapa de Karnaugh podem assumir 1 ou 0 facilitando a elaboração de grupos Para formar a oitava em verde e a quadra em azul os valores irrelevantes de S3 e S7 assumiram o valor 1 e na linha S10 seria melhor assumir o valor 0 Prof Ricardo Machado Silva Simplificação de Funções Lógicas Mapas de Veitch Karnaugh Mapas de Karnaugh com quatro variáveis soma de mintermos AB CD 00 00 01 1 1 1 1 11 01 10 1 1 1 1 10 11 1 1 1 1 0 1 0 0 Exemplo 5 Análise dos grupos A 01 B 01 C 0 D 01 A 0 B 01 C 01 D 01 A 01 B 1 C 01 D 1 Prof Ricardo Machado Silva Simplificação de Funções Lógicas Mapas de Veitch Karnaugh Mapas de Karnaugh com quatro variáveis soma de mintermos AB CD 00 00 01 1 1 1 1 11 01 10 1 1 1 1 10 11 1 1 1 1 0 1 0 0 Exemplo 5 Análise dos grupos A 01 B 01 C 0 D 01 A 0 B 01 C 01 D 01 A 01 B 1 C 01 D 1
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CIRCUITOS COMBINACIONAIS Funções e Portas Lógicas IFF Campus Macaé Prof Ricardo Machado Silva Álgebra de Boole George Boole George Boole 18151864 foi um matemático inglês criador da Álgebra Booleana trabalho fundamental para a posterior evolução dos computadores Tornouse amigo de De Morgan e baseado em uma controvérsia sobre lógica que o filósofo escocês Sir William Hamilton e De Morgan tinham iniciado em 1847 publicou o livro A Análise Matemática da Lógica Prof Ricardo Machado Silva Álgebra de Boole George Boole Em 1854 pulicou sua obra prima An Investigation of the Laws of Thought Uma Investigação das Leis do Pensamento em que se fundamentam as teorias matemáticas da lógica e probabilidades estabelecendo ao mesmo tempo a lógica formal e uma nova álgebra conhecida até hoje como Álgebra de Boole Em 1938 C E Shannon aplicou esta álgebra para mostrar que as propriedades de circuitos elétricos de chaveamento podem ser representadas por uma álgebra Booleana com dois valores Ele fez uma analogia entre os símbolos algébricos e os que representavam a lógica dando início à álgebra da lógica que posteriormente foi fundamental para a evolução dos computadores Prof Ricardo Machado Silva Funções e Portas Lógicas Digitais Variáveis lógicas Possui algumas propriedades distintas Só podem assumir um ou outro entre dois valores possíveis Os dois valores possíveis são mutuamente exclusivos como por exemplo verdadeiro e falso ligado e desligado aceso e apagado Dois eventos são mutuamente exclusivos se eles não podem ocorrer ao mesmo tempo Prof Ricardo Machado Silva Funções e Portas Lógicas Digitais Variáveis lógicas Na eletrônica digital os circuitos das portas lógicas recebem estímulos de tensão elétrica Estes estímulos são chamados de sinais digitais Estes sinais possuem níveis de tensão discretos definidos para serem associados aos valores lógicos da álgebra de Boole Verdadeiro Nível de tensão 5Vcc nível lógico Alto Álgebra de Boole 1 Falso Nível de tensão 0Vcc nível lógico Baixo Álgebra de Boole 0 Prof Ricardo Machado Silva Funções e Portas Lógicas Digitais Variáveis lógicas Estes valores de tensão podem ser por exemplo provenientes de dispositivos do tipo on off liga desliga que assumem estes dois estados em função de uma grandeza física como por exemplo nível dágua em um tanque ou a vazão de um líquido em uma tubulação Chave de nível Chave fechada tanque cheio 1 Chave aberta tanque vazio 0 Chave de fluxo Chave fechada há fluxo na tubulação 1 Chave aberta não há fluxo na tubulação 0 Prof Ricardo Machado Silva Funções e Portas Lógicas Digitais Função Lógica Básica Função da Álgebra de Boole em que para cada variável a qual esta função é dependente pode assumir um dentre dois valores possíveis Estes valores podem ser F V falso ou verdadeiro L D ligado ou desligado H L high and low ou ainda 0 1 binário Em se tratando da eletrônica digital os valores lógicos adotados seriam 0 1 Porta Lógica Circuito eletrônico digital que implementa uma função Lógica booleana básica A combinação de diversas portas lógicas tem se um circuito lógico combinacional Prof Ricardo Machado Silva Funções e Portas Lógicas Digitais Função Lógica Básica Funções básicas da Álgebra de Boole Função Not negação complemento inversora É a operação lógica em que o resultado é o complemento da variável dependente Na eletrônica digital devido ao fato de uma variável Booleana poder assumir um entre somente dois valores binários o valor complemento de 0 será 1 e o valor complemento de 1 será 0 Função AND A partir de dois ou mais valores lógicos de entrada o resultado de saída será Verdadeiro se e somente se todos os valores de entrada forem Verdadeiros Função OR A partir de dois ou mais valores lógicos de entrada o resultado de saída será Verdadeiro se ao menos um valor de entrada for Verdadeiro Prof Ricardo Machado Silva Funções e Portas Lógicas Digitais PORTAS LÓGICAS FUNÇÕES LÓGICAS Prof Ricardo Machado Silva Funções e Portas Lógicas Digitais Portas Lógicas Na eletrônica digital as funções booleanas básicas são implementadas por circuitos eletrônicos denominados de Portas Lógicas Circuito eletrônico típico que Implementa uma função lógica Not inversorao Circuito eletrônico típico que Implementa uma função lógica AND Fonte httpswwwibiblioorgkuphaldtelectricCircuitsDigitalDIGI3html Prof Ricardo Machado Silva Funções e Portas Lógicas Digitais Circuitos Integrados Os circuitos eletrônicos das portas lógicas são construídos em uma única pastilha de silício chip Estes chips são chamados de Circuitos Integrados ou simplesmente CI Fonte httpswebstanfordeduclasscs101hardware1html Pastilha de cilício típica de um circuito integrado ampliada algumas dezenas de vezes Prof Ricardo Machado Silva Funções e Portas Lógicas Digitais Circuitos Integrados Estas pastilhas são de dimensões muito reduzidas a pastilha da figura anterior possui cerca de 3mm x 5mm aproximadamente e para que possamos manipular de forma pratica seus terminais de ligação estas pastilhas são encapsuladas em blocos de plástico ou cerâmica Fontes httpscommonswikimediaorgwikiFileDIPzagotovkajpg httpsplayerslideplayercom9315375328slidesslide39jpg httpscommonswikimediaorgwikiFileDIPzagotovkajpg Encapsulamento de um CI Etapa final da construção de um circuito integrado Prof Ricardo Machado Silva Funções e Portas Lógicas Digitais Funções Lógicas Função lógica AND E Quando a lâmpada S irá acender Quando CH A E CH B estiverem fechadas CH A e CH B são duas variáveis de entrada mutuamente exclusivas ou seja só podem assumir os estados de Fechadas ou Abertas S é uma variável de saída também mutuamente exclusiva que só pode assumir os estados de Acesa ou Apagada em função dos estados de CH A e CH B CH A CH B S Aberta Aberta Apagada Aberta Fechada Apagada Fechada Aberta Apagada Fechada Fechada Acesa Fungoes e Portas Logicas Digitais Fungoes Logicas Na operagao AND o resultado de saida sera 0 se pelo mae logica aD menos o estado de uma das variaveis de entrada for 0 Por esta definigao podese deduzir que o resultado da A operagao AND sera 1 se e somente se o estado das S variaveis de entrada estiverem com nivel ldgico 1 B Na algebra de Boole a operagao AND é denominada de Simbolo da porta logica AND conjungao é representada por um ponto como na Cl MEClUETMETilclerCHmeilallees multiplicagao na algebra matematica mas nao se trata pelas variaveis A e B de multiplicagao algébrica mas multiplicagao ldogica as a S A operagao AND so pode se definida se houver duas ou HOO SOW po 4 oO ate ae SABAB S em funcao de A eB éigqualaAEB Tabela verdade Prof Ricardo Machado Silva Fungoes e Portas Logicas Digitais Fungoes Logicas Porta logica AND de trés entradas A B C S A poo to a po 4 4 0 Na operagao AND o pode ser suprimido como 4 o0 1 oo na multiplicagao na algebra matematica Pap a it it ee Tabela verdade Prof Ricardo Machado Silva Prof Ricardo Machado Silva Funções e Portas Lógicas Digitais Funções Lógicas Associação entre um circuito digital típico de uma porta AND e o seu símbolo lógico Prof Ricardo Machado Silva Funções e Portas Lógicas Digitais Funções Lógicas Função OR OU Quando a lâmpada S irá acender Quando CH A OU CH B estiverem fechadas CH A e CH B são duas variáveis de entrada mutuamente exclusivas ou seja só podem assumir os estados de Fechadas ou Abertas S é uma variável de saída mutuamente exclusiva que pode assumir os estados de Acesa ou Apagada em função de CH A e CH B CH A CH B S Aberta Aberta Apagada Aberta Fechada Acesa Fechada Aberta Acesa Fechada Fechada Acesa Prof Ricardo Machado Silva Funções e Portas Lógicas Digitais Funções Lógicas Porta lógica OR OU Tabela verdade Símbolo da porta lógica OR de duas entradas definidas pelas variáveis A e B A B S 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 Função lógica OR 𝑆 𝐴 𝐵 𝐴 𝐵 S em função de A e B é igual a A OU B Na operação OR o resultado de saída será 0 se e somente se o estado das variáveis de entrada estiverem em nível lógico 0 Por esta definição podese deduzir que o resultado da operação OR será 1 se pelo menos o estado de uma das variáveis de entrada estiverem com nível lógico 1 Na álgebra de Boole a operação OR é denominada de disjunção inclusiva é representada por como na soma na álgebra matemática mas não se trata de soma algébrica mas soma lógica A operação OR só pode se definida se houver duas ou mais variáveis Prof Ricardo Machado Silva Funções e Portas Lógicas Digitais Funções Lógicas Função NOT Inversora Quando a lâmpada S irá acender Quando CH A estiver aberta CH A é uma variável de entrada mutuamente exclusiva ou seja só pode assumir os estados de Fechadas ou Abertas S é uma variável de saída mutuamente exclusiva que pode assumir os estados de Acesa ou Apagada em função de CH A Quando CH A estiver aberta a corrente passa pelo resistor R e pela lâmpada S Quando CH A estiver fechada a corrente passa apenas pelo resistor R e pela chave A lâmpada foi curto circuitada CH A S Aberta Acesa Fechada Apagada Prof Ricardo Machado Silva Funções e Portas Lógicas Digitais Funções Lógicas Porta lógica NOT Negação Complemento Inversor Tabela verdade A porta lógica NOT só possui uma variável de entrada Note a presença de um círculo no símbolo Ele sempre vai indicar a inversão complemento e será usada em outras situações A S 0 1 1 0 Função NOT 𝑆 𝐴 𝐴 esta será a simbologia utilizada Na álgebra de Boole a operação lógica complemento é representada pelo operador sobre a variável Outras duas representações são utilizadas e S em função de A é igual a A negado Símbolo da porta lógica NOT 𝑆 𝐴 A 𝑆 𝐴 A Prof Ricardo Machado Silva Funções e Portas Lógicas Digitais Funções Lógicas Estas são as três portas lógicas que emulam as três funções lógicas booleanas básicas AND OR NOT Existem outras portas lógicas que são combinações entre estas portas lógicas básicas Fungoes e Portas Logicas Digitais Fungoes Logicas Combinadas Porta logica NAND Not AND A S A porta logica NAND 6 uma combinacao de B S uma porta NOT na saida de uma porta AND A B Sy SS Deducao da funcao ldgica ae Po to 1 a SAB AB ptt tt Tabela verdade Prof Ricardo Machado Silva Prof Ricardo Machado Silva Funções e Portas Lógicas Digitais Funções Lógicas Combinadas Porta lógica NAND Not AND Tabela verdade Símbolo da porta lógica NAND de duas entradas definidas pelas variáveis A e B Note na simbologia que o que foi herdado da porta lógica NOT foi apenas o círculo indicando a inversão Como esta porta lógica é derivada de uma porta lógica AND também pode ter mais de duas entradas A B S 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 Função NAND 𝑆 𝐴 𝐵 𝐴𝐵 Simbologia Prof Ricardo Machado Silva Funções e Portas Lógicas Digitais Funções Lógicas Combinadas Porta lógica NOR Not NOR Tabela verdade A porta lógica NOR é uma combinação de uma porta NOT na saída de uma porta OR A B S SS 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 𝑆 𝐴 𝐵 𝐴 𝐵 Dedução da função lógica 𝑆𝐴 𝐵 𝐴 𝐵 𝑆 𝑆 𝑆 S Prof Ricardo Machado Silva Funções e Portas Lógicas Digitais Funções Lógicas Combinadas Porta lógica NOR Not NOR Tabela verdade Símbolo da porta lógica NOR de duas entradas definidas pelas variáveis A e B Note na simbologia que o que foi herdado da porta lógica NOT foi apenas o círculo indicando a inversão Como esta porta lógica é derivada de uma porta lógica OR também pode ter mais de duas entradas A B S 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 Função NOR 𝑆 𝐴 𝐵 𝐴 𝐵 Simbologia Prof Ricardo Machado Silva Funções e Portas Lógicas Digitais CIRCUITOS LÓGICOS COMBINACIONAIS Prof Ricardo Machado Silva Funções e Portas Lógicas Digitais Circuitos Lógicos combinacionais São circuitos com diversas portas lógicas combinadas em que o nível lógico de saída depende única e exclusivamente dos níveis lógicos das variáveis de entrada 𝑆 𝐴 𝐵 𝐶 𝑛 𝑪𝒊𝒓𝒄𝒖𝒊𝒕𝒐 𝑪𝒐𝒎𝒃𝒊𝒏𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒍 Prof Ricardo Machado Silva Funções e Portas Lógicas Digitais Circuitos Lógicos combinacionais Codificadores Decodificadores Circuitos aritméticos Somadores Subtratores Geradores Detectores de paridade Exemplos Prof Ricardo Machado Silva Funções e Portas Lógicas Digitais Circuitos Lógicos combinacionais O projeto de um circuito digital combinacional para um determinado sistema é elaborado a partir de expressões lógicas que caracterizam o sistema onde a saída é função das variáveis de entrada Tais expressões são obtidas a partir de tabelas verdade que descrevem o comportamento completo do sistema Prof Ricardo Machado Silva Funções e Portas Lógicas Digitais Circuitos Lógicos combinacionais São tabelas onde são colocadas todas as possibilidades das variáveis de entrada do circuito e a partir da função lógica é determinado os valores lógicos de saída para cada combinação de entrada Tabelas verdade Prof Ricardo Machado Silva Funções e Portas Lógicas Digitais Desenvolvimento de circuitos combinacionais Análise Determinar a partir do problema as variáveis de entrada e saída pertinentes do sistema e transportar de forma lógica para uma tabela verdade os valores destas variáveis Projeto ao identificar a função a ser realizada por um circuito a álgebra de Boole pode ser aplicada para simplificar sua descrição e assim também sua implementação A álgebra de Boole é amplamente aplicada no desenvolvimento de circuitos digitas sejam os circuitos combinacionais ou circuitos sequenciais A grande vantagem da eletrônica digital estar fundamentada na álgebra de Boole é que é possível fazer uma análise do problema de forma lógica antes da elaboração do circuito digital Prof Ricardo Machado Silva Funções e Portas Lógicas Digitais Circuitos Lógicos combinacionais Fluxo do processo para elaboração de um circuito combinacional Análise do problema Definição das variáveis de entrada e saída Elaboração da tabela verdade Extração da função ou funções lógicas Simplificação das funções lógicas Elaboração do circuito lógico Prof Ricardo Machado Silva Funções e Portas Lógicas Digitais PRECEDÊNCIA DE OPERADORES LÓGICOS Prof Ricardo Machado Silva Funções e Portas Lógicas Digitais Precedência de operadores lógicos Quando várias operações OR AND NOT etc ocorrem em uma função lógica cada parte é avaliada e resolvida em uma ordem predeterminada chamada precedência de operadores A ordem de precedência segue os níveis descritos abaixo tendo os parênteses como nível mais alto 1º Parênteses colchetes e chaves ou simplesmente parênteses aninhados De dentro para fora ou 2º Operação NOT 3º Operação AND 4º Operação OR De uma forma geral os parênteses são utilizados para alterar a ordem de precedência e forçar algumas partes de ordem inferior de uma expressão a serem avaliadas antes de outras de níveis superiores As operações que estiverem dentro dos parênteses sempre serão realizadas antes das operações externas Entretanto as operações dentro dos parênteses sempre terão a ordem de precedência mantida Prof Ricardo Machado Silva Funções e Portas Lógicas Digitais Precedência de operadores lógicos Exemplo de utilização de parênteses Seja a função lógica 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 S1 A C B Pelo circuito podemos observar que a porta lógica AND deve ser avaliada primeiro e em seguida a porta lógica OR Prof Ricardo Machado Silva Funções e Portas Lógicas Digitais Precedência de operadores lógicos Exemplo de utilização de parênteses Vamos agora na função anterior acrescentar parênteses na operação OR para indicar que ela deve ser avaliada primeiro 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 Observe que agora a porta lógica OR vem antes da porta lógica AND Os resultados finais das tabelas verdade são diferentes A B S2 C Prof Ricardo Machado Silva Funções e Portas Lógicas Digitais Precedência de operadores lógicos Exemplo com NOT Em uma operação NOT em apenas uma variável não faz diferença Ela vai seguir as regras de precedência estabelecidas Mas quando esta operação está em duas ou mais variáveis ao mesmo tempo deve ser levada em consideração na avaliação das precedências da função Observe que neste circuito assim como o anterior a porta lógica NOR precede a porta lógica AND logo a priori a função deveria ter parênteses na operação NOR mas como o complemento NOT está implícito para as variáveis B e C ao mesmo tempo como mostrado na função neste caso a operação NOT substitui os parênteses S A B C Prof Ricardo Machado Silva Funções e Portas Lógicas Digitais Precedência de operadores lógicos Exemplo com NOT Uma operação NOT em uma função puramente AND ou puramente OR irá acontecer o acréscimo de portas lógicas Nos exemplos abaixo temos apenas uma porta AND e uma OR ambas de três entradas A S B C S A B C Prof Ricardo Machado Silva Funções e Portas Lógicas Digitais Precedência de operadores lógicos Exemplo com NOT Entretanto quando duas ou mais variáveis estão conjuntamente negadas é necessário o acréscimo de porta adicional Neste caso a ordem de precedência será mantida e o NOT será executado primeiro A C B S C S B A Prof Ricardo Machado Silva Funções e Portas Lógicas Digitais EQUIVALÊNCIA LÓGICA Prof Ricardo Machado Silva Funções e Portas Lógicas Digitais Equivalências lógicas A S2 B S1 A B 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 Associações específicas de determinadas portas lógicas será equivalente a outras portas lógicas Prof Ricardo Machado Silva Funções e Portas Lógicas Digitais Equivalências lógicas 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 S1 S2 B B A A Prof Ricardo Machado Silva Funções e Portas Lógicas Digitais Equivalências lógicas 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 Teorema de De Morgan A S2 A B B S1 Prof Ricardo Machado Silva Funções e Portas Lógicas Digitais Equivalências lógicas 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 Teorema de De Morgan B A S1 S2 B A Prof Ricardo Machado Silva Funções e Portas Lógicas Digitais Equivalências lógicas Inversores S S S A A A Prof Ricardo Machado Silva Funções e Portas Lógicas Digitais ELABORAÇÃO DE FUNÇÕES LÓGICAS A PARTIR DE CIRCUITOS LÓGICAS Prof Ricardo Machado Silva Funções e Portas Lógicas Digitais Extração de função a partir de circuito lógico Ex 1 Extrair a função lógica do circuito combinacional abaixo Este circuito possui três entradas uma saída e duas portas lógicas AND e NOR Prof Ricardo Machado Silva Funções e Portas Lógicas Digitais Extração de função a partir de circuito lógico Porta AND Possui as entradas A e B Para a saída associamos uma variável auxiliar S Porta NOR Uma entrada é a variável C A outra entrada está associada a saída da AND Como S foi associada a saída da AND ela também será a variável de entrada da NOR Funcgoes e Portas Logicas Digitais A Ss B Sj C 0D ew 05 SSC SC Ou simplesmente Prof Ricardo Machado Silva Funcgoes e Portas Logicas Digitais A Ss c soloit Oo o o pojtjo o fF 4 ot a soltja oo o o tjojo o Ff 4 4 Note que a sequencia dos valores das ftfoj1 o o o HET CS Cine tf oo oO Desta forma podemos determinar o numero de combinag6des possiveis das variaveis de entrada Prof Ricardo Machado Silva Funcgoes e Portas Logicas Digitais Extracgao de fungao a partir de circuito logico Ex 2 Extrair a fungao logica do circuito combinacional abaixo A A ABC eT Ds Prof Ricardo Machado Silva Prof Ricardo Machado Silva Funções e Portas Lógicas Digitais Tabela verdade 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 Prof Ricardo Machado Silva Funções e Portas Lógicas Digitais ELABORAÇÃO DE CIRCUITOS DIGITAIS A PARTIR DE FUNÇÕES LÓGICAS Prof Ricardo Machado Silva Funções e Portas Lógicas Digitais Elaboração de circuitos digitais a partir de funções lógicas OR SABC A B C B D OR AND Podemos observar que a saída final do circuito será uma porta AND de três entradas Para facilitar vamos atribuir para a primeira porta OR uma variável auxiliar X e para segunda Y C S B X B Y A D B X B Y A D C S X Y Unindo as três portas de acordo com a função Exemplo 1 SABCD ABCBD Funcgoes e Portas Logicas Digitais Elaboragao de circuitos digitais a partir de fungoes logicas Exemplo 1 SABCD ABCBD Circuito redesenhado em uma forma mais elegante A AB B C S SABCBD D BD Prof Ricardo Machado Silva Prof Ricardo Machado Silva Funções e Portas Lógicas Digitais Elaboração de circuitos digitais a partir de funções lógicas AND X SABC ABC A BC AND Z OR Y OR S A S A X Z Y B Z C X B Y C Exemplo 2 SABCABCABC Prof Ricardo Machado Silva Funções e Portas Lógicas Digitais Elaboração de circuitos digitais a partir de funções lógicas A S A X Z Y B Z C X B Y C A A S B Z C C B X Y Exemplo 2 SABCABCABC Funcgoes e Portas Logicas Digitais Elaboragao de circuitos digitais a partir de fungoes logicas Exemplo 2 SABCABCABC Circuito redesenhado em uma forma mais elegante i ABC y of A ee Downe C SABCABC Prof Ricardo Machado Silva Funcgoes e Portas Logicas Digitais Elaboragao de circuitos digitais a partir de fungoes logicas AND Como pode ser observado ABAC possui uma H NAND seguido por AND que devera possuir 7DAF trés entradas De acordo com as regras de Exemplo SF ita aC predominancia de operadores a NAND aa precede a AND por possuir na saida um NAND AND inversor A B C Ss Prof Ricardo Machado Silva Prof Ricardo Machado Silva Funções e Portas Lógicas Digitais FUNÇÕES LÓGICAS ESPECIAIS DISJUNÇÃO EXCLUSIVA EXCLUSIVE OR FUNÇÃO CONCIDÊNCIA EXCLUSIVE NOR Prof Ricardo Machado Silva Funções e Portas Lógicas Digitais DISJUNÇÃO EXCLUSIVA A disjunção exclusiva ou seja OU exclusivo Exclusive OR ou simplesmente XOR é uma função lógica da álgebra de Boole Considerando uma função de duas variáveis A e B a disjunção exclusiva é uma operação lógica que quando uma das variáveis A ou B na exclusão da outra tiver valor lógico 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 A tabela verdade mostra a operação disjunção exclusiva De acordo com o enunciado acima 𝑺 𝟏 se 𝑨 𝟏 ou 𝑩 𝟏 mas não ambos 𝑨 e 𝑩 forem ao mesmo tempo 1 Lêse A ou exclusivo B Prof Ricardo Machado Silva Funções e Portas Lógicas Digitais DISJUNÇÃO EXCLUSIVA Para a implementação da operação disjunção exclusiva a função com portas lógicas seria a seguinte 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 Abaixo a tabela verdade e a implementação do circuito lógico S A B Prof Ricardo Machado Silva Funções e Portas Lógicas Digitais DISJUNÇÃO EXCLUSIVA EXCLUSIVE OR OU EXCLUSIVO Por ser uma operação lógica da álgebra de Boole este circuito se tornou uma porta lógica XOR abreviação de exclusive OR B A S S A B Prof Ricardo Machado Silva Funções e Portas Lógicas Digitais FUNÇÃO COINCIDÊNCIA Considerando uma função de duas variáveis A e B a função coincidência é uma operação lógica que resultará em valor lógico 1 se e somente se as duas variáveis possuírem valores iguais 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 A tabela verdade mostra a operação coincidência De acordo com o enunciado acima 𝑺 𝟏 se 𝑨 𝟏 e 𝑩 𝟏 ou 𝑨 0 e 𝑩 0 Lêse A inclusive B Prof Ricardo Machado Silva Funções e Portas Lógicas Digitais FUNÇÃO COINCIDÊNCIA Para a implementação da operação coincidência a função com portas lógicas seria a seguinte 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 Abaixo a tabela verdade e a implementação do circuito lógico S A B Prof Ricardo Machado Silva Funções e Portas Lógicas Digitais FUNÇÃO COINCIDÊNCIA Podemos observar pela tabela verdade que o resultado da operação coincidência é inversa ao da operação XOR XOR COINCIDÊNCIA Podemos então dizer que a operação coincidência é uma operação exclusive NOR ou simplesmente XNOR 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 Prof Ricardo Machado Silva Funções e Portas Lógicas Digitais FUNÇÃO COINCIDÊNCIA XNOR Assim como a função XOR a função XNOR tornouse uma porta lógica Como a operação XNOR é inversa a operação XOR a simbologia será a XOR com um inversor na saída A S B S A B Prof Ricardo Machado Silva Funções e Portas Lógicas Digitais FUNÇÃO COINCIDÊNCIA XNOR Algumas considerações importantes Prof Ricardo Machado Silva Simplificação de Funções Lógicas Mapas de Karnaugh Prof Ricardo Machado Silva Simplificação de Funções Lógicas Mapas de Karnaugh Definição Técnica gráfica utilizando diagramas para simplificação de funções algébricas booleanas elaborada por Edward Veitch em 1952 A Chart Method for Simplifying Truth Functions e aperfeiçoado por Maurice Karnaugh Um mapa de Karnaugh é uma figura geométrica quadriculada tabela linha x coluna onde é feito uma associação entre cada linha de uma tabela verdade e um quadrículo do mapa Karnaugh Estes diagramas são denominados de mapas pois é feito um mapeamento biunívoco entre tabelas verdades e estas figuras geométricas Estes mapas recebem o nome de seus criadores ou seja Mapas de Veitch Karnaugh entretanto é comumente chamado apenas de Mapas de Karnaugh Prof Ricardo Machado Silva Simplificação de Funções Lógicas Mapas de Karnaugh Como os Mapas de Karnaugh são mapeamentos biunívocos entre tabelas verdade e os digramas teremos então mapas com dimensões específicas em função do número de variáveis A B S 0 0 S0 0 1 S1 1 0 S2 1 1 S3 Mapas com duas variáveis A B 0 0 1 1 S1 S0 S2 S3 Valores da variável A Valores da variável B Valores da variável de saída S Prof Ricardo Machado Silva Simplificação de Funções Lógicas Mapas de Karnaugh A B C S 0 0 0 S0 0 0 1 S1 0 1 0 S2 0 1 1 S3 1 0 0 S4 1 0 1 S5 1 1 0 S6 1 1 1 S7 Mapas com três variáveis A BC 0 00 1 S1 S0 S4 S5 11 01 10 Observe a ordem dos valores das variáveis BC Esta ordem é a mesma do código Gray em que a mudança de valor de um par BC para outro deve ser sempre de 1 bit apenas 1 bit 1 bit 1 bit S2 S3 S6 S7 Valores da variável A Valores das variáveis BC Valore da variável de saída S Prof Ricardo Machado Silva Simplificação de Funções Lógicas Mapas de Veitch Karnaugh Mapas de Karnaugh com três variáveis O processo de simplificação é feito por agrupamentos onde os valores são iguais a 1 e adjacentes entre si Os valores iguais a 0 são ignorados Em um mapa de Karnaugh será registrado os valores de S iguais a 1 e 0 Desta forma poderá se feito a análise para valores de S iguais a 1 soma de mintermos ou iguais a 0 produto de maxtermos Quanto maior o grupo formado maior a simplificação Para um mapa de Karnaugh de três variáveis os grupos devem seguir a seguinte sequência em ordem de máxima simplificação para a mínima simplificação Quadras Grupos de 4 bits teremos um termo com uma única variável Par Grupo de 2 bits teremos um termo com duas variáveis Unitário apenas 1 bit teremos um termo com três variáveis Não é permitido a formação de grupos com quantidade de bits diferentes e nem agrupamentos na diagonal Prof Ricardo Machado Silva Simplificação de Funções Lógicas Mapas de Karnaugh Sn A B C S 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 2 0 1 0 1 3 0 1 1 0 4 1 0 0 1 5 1 0 1 1 6 1 1 0 1 7 1 1 1 1 Mapas de Karnaugh com três variáveis soma de mintermos A BC 0 00 1 1 0 1 1 11 01 10 Os valores de S de cada linha da tabela verdade são transferidos para o mapa em suas respectivas posições 1 0 1 1 Exemplo 1 S0 S2 S1 S4 S3 S6 S5 S7 Prof Ricardo Machado Silva Simplificação de Funções Lógicas Mapas de Veitch Karnaugh A B C S 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 Mapas de Karnaugh com três variáveis soma de mintermos A BC 0 00 1 1 0 1 1 11 01 10 Fazendo os agrupamentos teremos 1 0 1 1 Exemplo 1 Uma quadra Par 2 Par 1 Obs Bits utilizados em um grupo podem ser utilizados para a formação de outros grupos Prof Ricardo Machado Silva Simplificação de Funções Lógicas Mapas de Veitch Karnaugh Mapas de Karnaugh com três variáveis soma de mintermos Cada grupo será um termo da soma de mintermos Exemplo 1 Para se determinar as variáveis de cada termo é analisado o estado de dos valores de cada variável do grupo em questão Para isso analisamos o valores das variáveis correspondente à área em que o grupo ocupa Prof Ricardo Machado Silva Simplificação de Funções Lógicas Mapas de Veitch Karnaugh A B C S 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 Mapas de Karnaugh com três variáveis soma de mintermos A BC 0 00 1 1 0 1 1 11 01 10 1 0 1 1 Exemplo 1 Quadra Ocupa a região onde a variável A 1 Ocupa a região onde a variável B 0 e B 1 ao mesmo tempo Ocupa a região onde a variável C 0 e C 1 ao mesmo tempo Prof Ricardo Machado Silva Simplificação de Funções Lógicas Mapas de Veitch Karnaugh A B C S 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 Mapas de Karnaugh com três variáveis soma de mintermos A BC 0 00 1 1 0 1 1 11 01 10 1 0 1 1 Exemplo 1 Ocupa a região onde a variável A 0 e A 1 ao mesmo tempo Ocupa a região onde a variável B 0 Ocupa a região onde a variável C 1 Par 1 Prof Ricardo Machado Silva Simplificação de Funções Lógicas Mapas de Veitch Karnaugh A B C S 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 Mapas de Karnaugh com três variáveis soma de mintermos A BC 0 00 1 1 0 1 1 11 01 10 1 0 1 1 Exemplo 1 Ocupa a região onde a variável A 0 e A 1 ao mesmo tempo Ocupa a região onde a variável B 1 Ocupa a região onde a variável C 0 Par 2 Prof Ricardo Machado Silva Simplificação de Funções Lógicas Mapas de Veitch Karnaugh A B C S 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 Mapas de Karnaugh com três variáveis soma de mintermos A BC 0 00 1 1 0 1 1 11 01 10 1 0 1 1 Exemplo 1 Quadra A 1 B 01 C 01 Par 2 A 01 B 1 C 0 Par 1 A 01 B 0 C 1 Prof Ricardo Machado Silva Simplificação de Funções Lógicas Mapas de Veitch Karnaugh Mapas de Karnaugh com três variáveis soma de mintermos Exemplo 1 O processo de simplificação com Mapas de Karnaugh se baseia no postulado da soma da álgebra de Boole Exemplo Neste ponto do processo de simplificação podemos dizer que temos ao mesmo tempo B 1 e B 0 S1 B B B Isto quer dizer que nas análises dos grupos no mapa de Karnaugh onde a variável é ao mesmo tempo 1 e 0 ela será uma constante igual a 1 Simplificagao de Fungdes Logicas BoC 000 0 001 17 010 17 ed ee 011 0 100 7 SSS 101 1 110 17 rs ifdyay a Prof Ricardo Machado Silva Simplificagao de Fungdes Logicas BoC 000 0 001 17 010 17 ed ee 011 0 100 7 101 1 110 17 ifdyay a Prof Ricardo Machado Silva Simplificagao de Fungdes Logicas AEs 000 0 001 1 ial in 010 17 a 011 0 100 17 101 17 110 7 111 1 Prof Ricardo Machado Silva Prof Ricardo Machado Silva Simplificação de Funções Lógicas Mapas de Veitch Karnaugh A B C S 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 Mapas de Karnaugh com três variáveis soma de mintermos A BC 0 00 1 1 1 1 1 11 01 10 1 0 1 0 Transferência dos valores da saída S da tabela verdade para o mapa de Karnaugh Exemplo 2 Prof Ricardo Machado Silva Simplificação de Funções Lógicas Mapas de Veitch Karnaugh A B C S 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 Mapas de Karnaugh com três variáveis soma de mintermos A BC 0 00 1 1 1 1 1 11 01 10 1 0 1 0 Agrupamento Podemos fazer uma quadra Exemplo 2 Podemos também fazer uma outra quadra Há casos em que os quadrículos não são geometricamente adjacentes mas os mintermos são como é o caso da segunda quadra Prof Ricardo Machado Silva Simplificação de Funções Lógicas Mapas de Veitch Karnaugh A B C S 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 Mapas de Karnaugh com três variáveis soma de mintermos A BC 0 00 1 1 1 1 1 11 01 10 1 0 1 0 Quadra 1 A 01 Exemplo 2 Análise dos grupos B 0 C 01 Quadra 2 A 01 C 0 B 01 Prof Ricardo Machado Silva Simplificação de Funções Lógicas Mapas de Veitch Karnaugh A B C S 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 Mapas de Karnaugh com três variáveis soma de mintermos A BC 0 00 1 1 1 1 1 11 01 10 1 0 1 0 Quadra 1 A 01 Exemplo 2 Ignoramos as variáveis onde são ao mesmo tempo 0 e 1 B 0 C 01 Quadra 2 A 01 C 0 B 01 Prof Ricardo Machado Silva Simplificação de Funções Lógicas Mapas de Veitch Karnaugh A B C D S 0 0 0 0 S0 0 0 0 1 S1 0 0 1 0 S2 0 0 1 1 S3 0 1 0 0 S4 0 1 0 1 S5 0 1 1 0 S6 0 1 1 1 S7 1 0 0 0 S8 1 0 0 1 S9 1 0 1 0 S10 1 0 1 1 S11 1 1 0 0 S12 1 1 0 1 S13 1 1 1 0 S14 1 1 1 1 S15 Mapas de Karnaugh com quatro variáveis soma de mintermos AB CD 00 00 01 S1 S0 S4 S5 11 01 10 S2 S3 S6 S7 10 11 S13 S12 S8 S9 S14 S15 S10 S11 Prof Ricardo Machado Silva Simplificação de Funções Lógicas Mapas de Veitch Karnaugh Mapas de Karnaugh com quatro variáveis soma de mintermos Para um mapa de Karnaugh com quatro variáveis os grupos devem seguir a seguinte sequência em ordem de máxima simplificação para a mínima simplificação Oitavas Grupos com 8 bits teremos um termo com uma única variável Quadras Grupos de 4 bits teremos um termo com duas variáveis Par Grupo de 2 bits teremos um termo com três variáveis Unitário Apenas 1 bit teremos um termo com quatro variáveis Prof Ricardo Machado Silva Simplificação de Funções Lógicas Mapas de Veitch Karnaugh Sn A B C D S 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 2 0 0 1 0 1 3 0 0 1 1 0 4 0 1 0 0 1 5 0 1 0 1 1 6 0 1 1 0 1 7 0 1 1 1 0 8 1 0 0 0 1 9 1 0 0 1 1 10 1 0 1 0 1 11 1 0 1 1 0 12 1 1 0 0 1 13 1 1 0 1 1 14 1 1 1 0 0 15 1 1 1 1 0 Mapas de Karnaugh com quatro variáveis soma de mintermos AB CD 00 00 01 1 1 1 1 11 01 10 1 0 1 0 10 11 1 1 1 1 0 0 1 0 Exemplo 4 S1 S0 S4 S5 S2 S3 S6 S7 S13 S12 S8 S9 S14 S15 S10 S11 Prof Ricardo Machado Silva Simplificação de Funções Lógicas Mapas de Veitch Karnaugh Mapas de Karnaugh com quatro variáveis soma de mintermos AB CD 00 00 01 1 1 1 1 11 01 10 1 0 1 0 10 11 1 1 1 1 0 0 1 0 Exemplo 4 Agrupamento Oitava Quadra 1 Há casos em que os quadrículos não são geometricamente adjacentes mas os mintermos são como é o caso das duas quadras Quadra 2 Prof Ricardo Machado Silva Simplificação de Funções Lógicas Mapas de Veitch Karnaugh Mapas de Karnaugh com quatro variáveis soma de mintermos AB CD 00 00 01 1 1 1 1 11 01 10 1 0 1 0 10 11 1 1 1 1 0 0 1 0 Exemplo 4 Análise dos grupos A 01 B 01 C 0 D 01 A 0 B 01 C 01 D 0 A 01 B 0 C 01 D 0 Prof Ricardo Machado Silva Simplificação de Funções Lógicas Mapas de Veitch Karnaugh Mapas de Karnaugh com quatro variáveis soma de mintermos AB CD 00 00 01 1 1 1 1 11 01 10 1 0 1 0 10 11 1 1 1 1 0 0 1 0 Exemplo 4 Variáveis ignoradas A 01 B 01 C 0 D 01 A 0 B 01 C 01 D 0 A 01 B 0 C 01 D 0 Prof Ricardo Machado Silva Simplificação de Funções Lógicas Mapas de Veitch Karnaugh Sn A B C D S 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 2 0 0 1 0 1 3 0 0 1 1 X 4 0 1 0 0 1 5 0 1 0 1 1 6 0 1 1 0 1 7 0 1 1 1 X 8 1 0 0 0 1 9 1 0 0 1 1 10 1 0 1 0 X 11 1 0 1 1 0 12 1 1 0 0 1 13 1 1 0 1 1 14 1 1 1 0 0 15 1 1 1 1 1 Mapas de Karnaugh com quatro variáveis soma de mintermos AB CD 00 00 01 1 1 1 1 11 01 10 1 X 1 X 10 11 1 1 1 1 0 1 X 0 Exemplo 5 Termos irrelevantes Quando em uma determinada análise de um problema é afirmado que os valores binários das variáveis de uma ou mais linhas da tabela verdade não irão ocorrer é dito que os valores de S é irrelevante Isto significa que não importa o valor de S podendo assumir 0 ou 1 Os termos irrelevantes são sinalizados na tabela verdade como X S1 S0 S4 S5 S2 S3 S6 S7 S13 S12 S8 S9 S14 S15 S10 S11 Prof Ricardo Machado Silva Simplificação de Funções Lógicas Mapas de Veitch Karnaugh Sn A B C D S 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 2 0 0 1 0 1 3 0 0 1 1 X 4 0 1 0 0 1 5 0 1 0 1 1 6 0 1 1 0 1 7 0 1 1 1 X 8 1 0 0 0 1 9 1 0 0 1 1 10 1 0 1 0 X 11 1 0 1 1 0 12 1 1 0 0 1 13 1 1 0 1 1 14 1 1 1 0 0 15 1 1 1 1 1 Mapas de Karnaugh com quatro variáveis soma de mintermos AB CD 00 00 01 1 1 1 1 11 01 10 1 1 1 1 10 11 1 1 1 1 0 1 0 0 Exemplo 5 Termos irrelevantes Ao fazer os agrupamentos os termos irrelevantes podem assumir 0 ou 1 dependendo da necessidade do grupo a ser formado Isto é possível pois já foi afirmado que os valores das variáveis das linhas correspondentes nunca irão ocorrer e desta forma os valores de S no mapa de Karnaugh podem assumir 1 ou 0 facilitando a elaboração de grupos Para formar a oitava em verde e a quadra em azul os valores irrelevantes de S3 e S7 assumiram o valor 1 e na linha S10 seria melhor assumir o valor 0 Prof Ricardo Machado Silva Simplificação de Funções Lógicas Mapas de Veitch Karnaugh Mapas de Karnaugh com quatro variáveis soma de mintermos AB CD 00 00 01 1 1 1 1 11 01 10 1 1 1 1 10 11 1 1 1 1 0 1 0 0 Exemplo 5 Análise dos grupos A 01 B 01 C 0 D 01 A 0 B 01 C 01 D 01 A 01 B 1 C 01 D 1 Prof Ricardo Machado Silva Simplificação de Funções Lógicas Mapas de Veitch Karnaugh Mapas de Karnaugh com quatro variáveis soma de mintermos AB CD 00 00 01 1 1 1 1 11 01 10 1 1 1 1 10 11 1 1 1 1 0 1 0 0 Exemplo 5 Análise dos grupos A 01 B 01 C 0 D 01 A 0 B 01 C 01 D 01 A 01 B 1 C 01 D 1