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Geometria Analítica
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Produto Misto\n\nDefinição\nChama-se produto misto dos vetores u = x1 i + y1 j + z1 k, v = x2 i + y2 j + z2 k e w = x3 i + y3 j + z3 k, tomados nesta ordem, ao número real u . (v x w).\nO produto misto de u, v e w também é indicado por (u, v, w).\nTendo em vista que\n\nv x w = | i j k |\n | x2 y2 z2 |\n | x3 y3 z3 |\n= y2 z2 i - x2 z2 j + x2 y2 k\nvem u . (v x w) = x1 | y2 z2 - y1 z2 |\n | x3 z3 |\n | x3 y3 |\n\n, portanto,\n\nu . (v x w) = | x1 y1 z1 |\n | x2 y2 z2 |\n | x3 y3 z3 | (1) Exemplo\nCalcular o produto misto dos vetores u = 2 i + 3 j + 5 k, v = - i + 3 j + 3 k e w = 4 i - 3 j + 2 k.\n\nSolução\n\n(u, v, w) =\n | 2 3 5 |\n |-1 3 3 |\n | 4 -3 2|\n= 27\n\nPropriedades do Produto Misto\nAs propriedades do produto misto decorrem, em sua maioria, das propriedades dos determinantes.\nI) O produto misto (u, v, w) muda de sinal ao trocarmos a posição de dois vetores.\nEm relação ao exemplo anterior onde (u, v, w) = 27, teremos\n(v, u, w) = -27 (permuta de u e v)\n(w, v, u) = -27 (permuta de u e w)\n(u, w, v) = -27 (permuta de v e w)\nSe em qualquer um destes três últimos produtos efetuarmos nova permutação de dois vetores, o produto misto resultante volta a ser 27.\nÉ o que acontece com (v, w, u) = 27, onde no primeiro deles permutamos u e w.\nEntão, em relação ao produto misto (u, v, w) ocorrer\na) uma permutação - haverá troca de sinal;\nb) duas permutações - não altera o valor.\nResultado desta propriedade que os sinais e x podem ser permutados, isto é,\n\nu . (v x w) = (u x v) . w IV) (u, v, w) = 0 se, e somente se, os três vetores forem coplanares.\n\nAdmitindo-se que (u, v, w) = 0, ou seja,\nu . (v x w) = 0, conclui-se que (v x w) ⊥ u. Por outro lado, no estudo do produto vetorial vimos que o vetor v x w é também ortogonal a v e w. Assim sendo, como v x w é ortogonal aos três vetores u, v e w, estes são coplanares (Figura 4.1).\n\nReciprocamente, admitindo-se que u, v e w sejam coplanares, o vetor v x w, por ser ortogonal a v e w, é também ortogonal a u.\nOra, se u e v x w são ortogonais, o produto escalar deles é igual a zero, isto é,\nu . (v x w) = (u, v, w) = 0\n\nObservação\nA equivalência da propriedade IV continua válida em situações particulares, tais como:\na) se pelo menos um dos vetores é nulo (o determinante (1) é zero por ter uma fila de zeros e os três vetores são coplanares);\nb) se os diretores deles forem paralelos (o determinante (1) é zero por ter duas filas de elementos proporcionais ou iguais e os três vetores são coplanares).\n\nExemplos\n1) Verificar se são coplanares os vetores u = (2, -1, 1), v = (1, 0, -1) e w = (2, -1, 4).\n\nSolução\nComo\n(u, v, w) =\n | 2 -1 1 |\n | 1 0 -1 |\n | 2 -1 4 |\n= 3 ≠ 0\n\nos vetores não são coplanares.\n\n2) Qual deve ser o valor de m para que os vetores u = (2, m, 0), v = (1, -1, 2) e w = (-1, 3, -1) sejam coplanares?\n\nSolução\nPara que u, v, w sejam coplanares deve-se ter\n(u, v, w) = 0 96 Vetores e Geometria Analítica\n\nisto é,\n\n 2 m 0\n | 1 -1 2 |\n |-1 3 -1|\n\nou\n\n2 - 2m - 12 + m = 0\ne, portanto,\nm = -10\n\n3) Verificar se os pontos A(1, 2, 4), B(-1, 0, -2), C(0, 2, 2) e D(-2, 1, -3) estão no mesmo plano.\n\nSolução\nOs quatro pontos dados são coplanares se forem coplanares os vetores AB, AC e AD (Figura 4.2), e, para tanto, deve-se ter\n(AB, AC, AD) = 0\nComo\n(AB, AC) = | -2 -2 -6 |\n | -1 0 -2 |\n | -3 -1 -7 |\nos pontos dados são coplanares.\n\nInterpretação Geométrica do Módulo do Produto Misto\nGeometricamente, o produto misto u . (v × w) é igual, em módulo, ao volume do paralelepípedo das arestas determinadas pelos vetores não-coplanares u, v e w (Figura 4.3).\nA área da base do paralelepípedo é |v × w|.\n\nSeja θ o ângulo entre os vetores u e v × w. Sendo v × w um vetor ortogonal à base, a altura será paralela a ele, e, portanto,\nh = |u| | cos θ | Cap. 4 Produto Misto\n\n(É necessário considerar o valor absoluto |cos θ|, pois θ pode ser um ângulo obtuso). Então, o volume V do paralelepípedo é\n\nV = (área da base) (altura)\n = |v × w| |u| |cos θ|\n = |u| |(v × w)|\n\nonde a última igualdade decorre da relação (2) do Produto Escalar.\nPortanto,\nV = |(u, v, w)|\n\nExemplo\nSejam os vetores u = (3, m, -2), v = (1, -1, 0) e w = (2, -1, 2). Calcular o valor de m para que o volume do paralelepípedo determinado por u, v, e w seja 16 u.v. (unidades de volume).\n\nSolução\nO volume do paralelepípedo é dado por\nV = |(u, v, w)|\ne, no caso presente, deve-se ter\n|(u, v, w)| = 16\nSendo\n(u, v, w) = | 3 m -2 |\n | 1 -1 0 |\n | 2 -1 2 |\nvem\n| -2m - 8 | = 16,\nque, pela definição de módulo, implica duas hipóteses:\n-2m - 8 = 16 ou -2m - 8 = -16\ne, portanto,\nm = -12 ou m = 4 98 Vetores e Geometria Analítica\n\nVolume do Tetraedro\nSejam A, B, C e D pontos não-coplanares. Portanto, os vetores AB, AC e AD também são não-coplanares. Em consequência, estes vetores determinam um paralelepípedo (Figura 4.4) cujo volume é\nV = |(AB, AC, AD)|\nEste paralelepípedo, por sua vez, pode ser repartido em dois prismas triangulares de mesmo tamanho (conforme figura), e, portanto, o volume V de cada prisma é a metade do volume V do paralelepípedo (Vp = 1/2 V).\n\nPor outro lado, na Geometria Espacial sabemos que o prisma pode ser repartido em três pirâmides de mesmo volume, sendo uma delas o tetraedro ABCD. Assim, o volume\nVt do tetraedro é um terço do volume do prisma, isto é,\nVt = (1/3) Vp = (1/3)(1/2 V) = 1/6 V\nou\nVt = (1/6) (AB, AC, AD)\n\nExemplo\nSejam A(1, 2, -1), B(5, 0, 1), C(2, -1, 1) e D(6, 1, -3) vértices de um tetraedro. Calcular\na) o volume deste tetraedro;\nb) a altura do tetraedro relativa ao vértice D.\n\nSolução\na) O volume do tetraedro é dado por\nVt = (1/6) (AB, AC, AD)\nMas\n(AB, AC, AD) = | 4 -2 2 |\n | 1 -3 2 |\n | 5 -1 -2 |\nv = 36 Determinar o valor de k para que sejam coplanares os vetores\na) u = (2, -1, k), v = (1, 0, 2) e w = (k, 3, k)\nb) u = (2, k, 1), v = (1, 2, k) e w = (3, 0, 3)\n Verificar se são coplanares os pontos\na) A(1, 1, 0), B(2, 1, -6), C(1, 2, -1) e D(2, -1, -4)\nb) A(2, 1, 2), B(0, 1, -2), C(1, 0, -3) e D(3, 1, -2)\n Qual o volume do cubo determinado pelos vetores i, j e k ?\nUm paralelepípedo é determinado pelos vetores u = (3, -1, 4), v = (2, 0, 1) e w = (-2, 1, 5). Calcular seu volume e a altura relativa à base definida pelos vetores u = v.\nCalcular o valor de m para que o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores v1 = (1, 0, 2), v2 = (-4, 2, -1) e v3 = (3, m, -2) seja igual a 3.\nCalcular a altura deste paralelepípedo relativa à base definida por v1 e v2.\nO ponto A(1, -2, 3) é um dos vértices de um paralelepípedo e os três vértices adjacentes são B(2, -1, 4), C(0, 2, 0) e D(-1, m, 1). Determinar o valor de m para que o volume deste paralelepípedo seja igual a 20 u.v. (unidades de volume).\n
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Produto Misto\n\nDefinição\nChama-se produto misto dos vetores u = x1 i + y1 j + z1 k, v = x2 i + y2 j + z2 k e w = x3 i + y3 j + z3 k, tomados nesta ordem, ao número real u . (v x w).\nO produto misto de u, v e w também é indicado por (u, v, w).\nTendo em vista que\n\nv x w = | i j k |\n | x2 y2 z2 |\n | x3 y3 z3 |\n= y2 z2 i - x2 z2 j + x2 y2 k\nvem u . (v x w) = x1 | y2 z2 - y1 z2 |\n | x3 z3 |\n | x3 y3 |\n\n, portanto,\n\nu . (v x w) = | x1 y1 z1 |\n | x2 y2 z2 |\n | x3 y3 z3 | (1) Exemplo\nCalcular o produto misto dos vetores u = 2 i + 3 j + 5 k, v = - i + 3 j + 3 k e w = 4 i - 3 j + 2 k.\n\nSolução\n\n(u, v, w) =\n | 2 3 5 |\n |-1 3 3 |\n | 4 -3 2|\n= 27\n\nPropriedades do Produto Misto\nAs propriedades do produto misto decorrem, em sua maioria, das propriedades dos determinantes.\nI) O produto misto (u, v, w) muda de sinal ao trocarmos a posição de dois vetores.\nEm relação ao exemplo anterior onde (u, v, w) = 27, teremos\n(v, u, w) = -27 (permuta de u e v)\n(w, v, u) = -27 (permuta de u e w)\n(u, w, v) = -27 (permuta de v e w)\nSe em qualquer um destes três últimos produtos efetuarmos nova permutação de dois vetores, o produto misto resultante volta a ser 27.\nÉ o que acontece com (v, w, u) = 27, onde no primeiro deles permutamos u e w.\nEntão, em relação ao produto misto (u, v, w) ocorrer\na) uma permutação - haverá troca de sinal;\nb) duas permutações - não altera o valor.\nResultado desta propriedade que os sinais e x podem ser permutados, isto é,\n\nu . (v x w) = (u x v) . w IV) (u, v, w) = 0 se, e somente se, os três vetores forem coplanares.\n\nAdmitindo-se que (u, v, w) = 0, ou seja,\nu . (v x w) = 0, conclui-se que (v x w) ⊥ u. Por outro lado, no estudo do produto vetorial vimos que o vetor v x w é também ortogonal a v e w. Assim sendo, como v x w é ortogonal aos três vetores u, v e w, estes são coplanares (Figura 4.1).\n\nReciprocamente, admitindo-se que u, v e w sejam coplanares, o vetor v x w, por ser ortogonal a v e w, é também ortogonal a u.\nOra, se u e v x w são ortogonais, o produto escalar deles é igual a zero, isto é,\nu . (v x w) = (u, v, w) = 0\n\nObservação\nA equivalência da propriedade IV continua válida em situações particulares, tais como:\na) se pelo menos um dos vetores é nulo (o determinante (1) é zero por ter uma fila de zeros e os três vetores são coplanares);\nb) se os diretores deles forem paralelos (o determinante (1) é zero por ter duas filas de elementos proporcionais ou iguais e os três vetores são coplanares).\n\nExemplos\n1) Verificar se são coplanares os vetores u = (2, -1, 1), v = (1, 0, -1) e w = (2, -1, 4).\n\nSolução\nComo\n(u, v, w) =\n | 2 -1 1 |\n | 1 0 -1 |\n | 2 -1 4 |\n= 3 ≠ 0\n\nos vetores não são coplanares.\n\n2) Qual deve ser o valor de m para que os vetores u = (2, m, 0), v = (1, -1, 2) e w = (-1, 3, -1) sejam coplanares?\n\nSolução\nPara que u, v, w sejam coplanares deve-se ter\n(u, v, w) = 0 96 Vetores e Geometria Analítica\n\nisto é,\n\n 2 m 0\n | 1 -1 2 |\n |-1 3 -1|\n\nou\n\n2 - 2m - 12 + m = 0\ne, portanto,\nm = -10\n\n3) Verificar se os pontos A(1, 2, 4), B(-1, 0, -2), C(0, 2, 2) e D(-2, 1, -3) estão no mesmo plano.\n\nSolução\nOs quatro pontos dados são coplanares se forem coplanares os vetores AB, AC e AD (Figura 4.2), e, para tanto, deve-se ter\n(AB, AC, AD) = 0\nComo\n(AB, AC) = | -2 -2 -6 |\n | -1 0 -2 |\n | -3 -1 -7 |\nos pontos dados são coplanares.\n\nInterpretação Geométrica do Módulo do Produto Misto\nGeometricamente, o produto misto u . (v × w) é igual, em módulo, ao volume do paralelepípedo das arestas determinadas pelos vetores não-coplanares u, v e w (Figura 4.3).\nA área da base do paralelepípedo é |v × w|.\n\nSeja θ o ângulo entre os vetores u e v × w. Sendo v × w um vetor ortogonal à base, a altura será paralela a ele, e, portanto,\nh = |u| | cos θ | Cap. 4 Produto Misto\n\n(É necessário considerar o valor absoluto |cos θ|, pois θ pode ser um ângulo obtuso). Então, o volume V do paralelepípedo é\n\nV = (área da base) (altura)\n = |v × w| |u| |cos θ|\n = |u| |(v × w)|\n\nonde a última igualdade decorre da relação (2) do Produto Escalar.\nPortanto,\nV = |(u, v, w)|\n\nExemplo\nSejam os vetores u = (3, m, -2), v = (1, -1, 0) e w = (2, -1, 2). Calcular o valor de m para que o volume do paralelepípedo determinado por u, v, e w seja 16 u.v. (unidades de volume).\n\nSolução\nO volume do paralelepípedo é dado por\nV = |(u, v, w)|\ne, no caso presente, deve-se ter\n|(u, v, w)| = 16\nSendo\n(u, v, w) = | 3 m -2 |\n | 1 -1 0 |\n | 2 -1 2 |\nvem\n| -2m - 8 | = 16,\nque, pela definição de módulo, implica duas hipóteses:\n-2m - 8 = 16 ou -2m - 8 = -16\ne, portanto,\nm = -12 ou m = 4 98 Vetores e Geometria Analítica\n\nVolume do Tetraedro\nSejam A, B, C e D pontos não-coplanares. Portanto, os vetores AB, AC e AD também são não-coplanares. Em consequência, estes vetores determinam um paralelepípedo (Figura 4.4) cujo volume é\nV = |(AB, AC, AD)|\nEste paralelepípedo, por sua vez, pode ser repartido em dois prismas triangulares de mesmo tamanho (conforme figura), e, portanto, o volume V de cada prisma é a metade do volume V do paralelepípedo (Vp = 1/2 V).\n\nPor outro lado, na Geometria Espacial sabemos que o prisma pode ser repartido em três pirâmides de mesmo volume, sendo uma delas o tetraedro ABCD. Assim, o volume\nVt do tetraedro é um terço do volume do prisma, isto é,\nVt = (1/3) Vp = (1/3)(1/2 V) = 1/6 V\nou\nVt = (1/6) (AB, AC, AD)\n\nExemplo\nSejam A(1, 2, -1), B(5, 0, 1), C(2, -1, 1) e D(6, 1, -3) vértices de um tetraedro. Calcular\na) o volume deste tetraedro;\nb) a altura do tetraedro relativa ao vértice D.\n\nSolução\na) O volume do tetraedro é dado por\nVt = (1/6) (AB, AC, AD)\nMas\n(AB, AC, AD) = | 4 -2 2 |\n | 1 -3 2 |\n | 5 -1 -2 |\nv = 36 Determinar o valor de k para que sejam coplanares os vetores\na) u = (2, -1, k), v = (1, 0, 2) e w = (k, 3, k)\nb) u = (2, k, 1), v = (1, 2, k) e w = (3, 0, 3)\n Verificar se são coplanares os pontos\na) A(1, 1, 0), B(2, 1, -6), C(1, 2, -1) e D(2, -1, -4)\nb) A(2, 1, 2), B(0, 1, -2), C(1, 0, -3) e D(3, 1, -2)\n Qual o volume do cubo determinado pelos vetores i, j e k ?\nUm paralelepípedo é determinado pelos vetores u = (3, -1, 4), v = (2, 0, 1) e w = (-2, 1, 5). Calcular seu volume e a altura relativa à base definida pelos vetores u = v.\nCalcular o valor de m para que o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores v1 = (1, 0, 2), v2 = (-4, 2, -1) e v3 = (3, m, -2) seja igual a 3.\nCalcular a altura deste paralelepípedo relativa à base definida por v1 e v2.\nO ponto A(1, -2, 3) é um dos vértices de um paralelepípedo e os três vértices adjacentes são B(2, -1, 4), C(0, 2, 0) e D(-1, m, 1). Determinar o valor de m para que o volume deste paralelepípedo seja igual a 20 u.v. (unidades de volume).\n