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M004 CADERNO DE EXERCÍCIOS 2021 1A - SÉRIE DE EXERCÍCIOS: FUNÇÃO 1) Determine o domínio de cada função a duas variáveis. a) ( ) y x f x y + = , Resp: Reais. b) ( ) 6 3 2 , + − = y x f x y Resp: Reais. c) ( ) 2 2 4 , y x f x y − − = Resp: Real, .tal que 4 2 2 x + y ≤ . d) ( ) 2 2 9 3 , y x f x y − − + = Resp: Real, .tal que 9 2 2 x + y ≤ . e) ( ) 2 2 1 , y x f x y + + = Resp: Reais. 2) Calcule cada expressão usando as funções f,g e h, definidas por: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 h x, y,z g x,y 7 5 , z y x z xy xy xy x f x y − + + = = + = a) ( ,3 −4) f Resp: - 39. b) ( ) 3,2,1 h Resp: -7/4. c) ( a b) f , Resp: ab a 5 + 7 . d) ( sen ,cos 0, ) t t h Resp: 2sent.cost. e) ( ) ( g x y) f x y , , + Resp: xy xy x + + 7 5 2 . gf) ( h x, y 0, ) Resp: 2 2 2 y x xy + . 3) Especifique o domínio da função e calcule f(x,y) para os valores dados de x e y. a) ( ) 16 -4,y 4 , x , = = − + = y x f x y Resp: (a)Todos os pares ordenados tais que x + y ≥ 4 .(b) 8 b) ( ) 4 1 y , x 1 , 2 2 = = − − = y x x f x y Resp: (a)região limitada por uma circunferência de raio igual a 1.(b)0,23. c) ( ) -1 4, y ,x 2 4 , 2 2 = = − − = y x y x f x y Resp: (a)Todos os pares ordenados tais que x y ≠ 2 .(b)7. 4) Desenhe o mapa de contorno do gráfico de z = f(x,y) mostrando as linhas de contorno correspondentes aos valores de z dados: a) ( ) 2 1, z 0, z -1, z 1 z 2 3 , = = = = − + = y x f x y b) ( ) 40 30, z 20, z 10, z 0, z 0. z 20 para x , 2 2 = = = = = ≥ + − = y x f x y c) ( ) 3 2, z 1, z 0, z z 9 , 2 2 = = = = − − = y x f x y 5) Encontre o domínio ou região de definição das seguintes funções: a) y x z = 2 − Resp : Reais. b) 2 2 1 y x z − − = Resp: circunferência de raio igual a um. c) ) ln( y x z + = Resp: semi-plano além da linha y = - x. d) .sen( ) x y z = Resp: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )π π π π 2 2 1 2 0 sen 1 2 2 0 sen + ≤ ≤ + ≤ + ≤ ≤ ≥ k x k para x k x k para x e) 2 2 ( , ) y x f x y − = Resp: Reais. 6) Determine nos exercícios o valor das funções nos pontos indicados: a) ),( 0,2 ) 3,1( 2 ; ( 1,3 ), ( , ) x y f x y + = Resp: 1,5,1. b) )1,0 4,1 ),( 2 ; ( 3,2 ),( ( , ) − − = v u uv f u v Resp: -3/2,4/9,0. c) ) 2,0,3 2,2 ),( ,1( ; 25 ( , , ) 2 2 2 − − − − − = z y x f x y z Resp: 4, 2 3 . d) ,1 4 , ) .4 . .ln( ) ; ( ,3 . ( ) . ( , , , ) 2 e p s v r s tg v f r s v p − π + = Resp: 3-π. 7) Para a expressão h f x y h y f x ( , ) , ) ( − + com h ≠ 0 determinar: a) 2 2 ( , ) y x f x y + = Resp: 2x+h. b) 1 ( , ) 2 2 − + = y x f x y Resp: 2x+h. 8) Determine o domínio da função f(x,y). c) 2 2 4 4 ( , ) y x f x y − + − = Resp : 2 2 2 , 2 2 2 , 0 ≤ ≤ − ≤ ≤ ≤ − ≥ ≥ y x y x z 9) Esboce as curvas de nível associada à função f. a) 2 2 ( , ) x y f x y − = b) y x f x y + ( , ) = c) 2 2 ( , ) y x f x y + = d) sen( ) ( , ) x y f x y − = REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 1. Thomas, George B., Weir, Maurice D., Giordano, Frank R., Finney, Ross L. - Cálculo - Vol. 2, 10a Edição, Editora Addison Wesley - Pearson, São Paulo - 2003. 2. Matlab - www.Mathworks.com/books. _________________________________________________________________________ 2A - SÉRIE DE EXERCÍCIOS – LIMITE / CONTINUIDADE 1) Calcule os limites: a) ( ) ( )( xy) x x y 3 5 lim 2 2 ,1 , + → − Resp: -1 b) ( ) ( y) x x y sen 2 sen 2 lim 4 , , + → π π Resp: 1 c) ( ) ( ) ( ) ( xy) e y x x y sec5 lim 3 cos ,0 0 , + + → Resp: e+1 d) ( ) ( ) ( ) → x xy x y sen lim ,0 2 , Resp: 2 e) ( ) ( ) x K x y x y + → ∞ 1 lim , , Resp: ek f) 4 lim 2 2 2 0 2 1 − + + − + − → → →− z y x z y x xyz z y x Resp: 3 g) ( ) ( ) + − → 3 ,1 2 , 3 1 7 lim y x x y Resp: -13/3 h) ( ) ( ) y x y xy x x y − + − → 2 2 1,1 , 2 lim Resp: 0 i) ( ) ( ) y x y x x y − − → 2 2 ,lim 1,1 Resp: 2 j) ( ) ( ) 1 1 lim ,4 3 , − − + − → y x y x x y Resp: 1/4 k) ( ) ( ) ( ) sen x y y x y − + → 1 cos( ) lim 0,2 / , π Resp: -2 2) Calcule o limite de f(x,y), se existir, quando (x,y) tende a (0,0) ao longo de cada um dos caminhos indicados: a) ( ) 2 2 2 5 , y x xy f x y + = i) ao longo do eixo dos x. Resp: 0 ii) ao longo do eixo dos y. Resp: 0 iii) ao longo da reta y = 5x. Resp: 0 iv) ao longo da parábola y = x2. Resp: 0 Resposta: limite existe e vale zero. b) ( ) 2 2 , y x xy f x y + = i) ao longo do eixo dos x. Resp: 0 ii) ao longo do eixo dos y. Resp: 0 iii) ao longo da reta y = 5x. Resp: 5/26 iv) ao longo da reta y = mx. Resp: m/(m2+1) Resposta: não existe limite, caminhos diferentes o valor do limite não é o mesmo. 3) Encontre os pontos de descontinuidade das funções: a) y x xy z − + = 2 1 Resp: pontos sobre a parábola y=x2 b) y x z − = 1 Resp: pontos sobre a reta y=x c) ( ) 2 2 2 1 2 , y x y x f x y − − − = Resp: circunferência de raio unitário d) ( ) y x y x f x y − − = 2 4 , 2 2 Resp: todos os pontos (x,y) tais que y = 2x. e) f (x,y) = ln(xy-2) Resp: todos os pontos (x,y) tais que x y > 2/ . REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA 1. Thomas, George B., Weir, Maurice D., Giordano, Frank R., Finney, Ross L. - Cálculo - Vol. 2, 10a Edição, Editora Addison Wesley - Pearson, São Paulo - 2003. 3A - SÉRIE DE EXERCÍCIOS: DERIVADA PARCIAL 1) Resolva as derivadas parciais a) Se ( ) 2 3 , , z e x y z f xy = , calcule fz(x,y,z). b) Se ( ) ( 2 ) 2 tan , y x f x y − = , calcule fx(x,y) e fy(x,y). c) Se w = exy, calcule y e x ∂ ∂ ∂ ∂ ω ω . 2) Calcule a derivada parcial aplicando a definição formal. a) ( ) ( ) 2 2 1 8 7 , , 2,1 xy x f x y onde f − = − − Resp:18 b) ( ) ( ) 11 6 5 , 1 , ,1 2 3 2 + + = − x xy f x y onde f Resp: 15 3) Calcule a derivada parcial aplicando as regras de diferenciação. a) ( ) ( ) 2 5 7 , , 2 2 + + = ∂ ∂ x y x f x y onde x f x y Resp: 14x+10xy b) 2 2 2 2 x y y x w x onde w − + = ∂ ∂ Resp: ( 2 ) 2 2 4 x y xy − c) ( ) ( ) θ θ θ cos7 , , , 2 1 r f r onde f r = Resp: 2r.cos7θ d) ( ) ( ) z x y xyz f x y z onde f z x y z 7 3 6 , , , , , 2 + + = Resp: 6xy+7 e) x y yz xy w x onde w 2 2 2 + + = ∂ ∂ Resp: 2xy+y2 f) xy2z3 w onde y w = ∂ ∂ Resp: 2xyz3 g) ( ) ( ) 2 2 1 , , y x y x para f x y x y f + + = Resp: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 2 , y x x xy y x y f + − − = . h) ( ) ( ) 2 2 2 , , y x y x x y para f x y f + + = Resp: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 , y x y xy x x y f + − − = . i) ( ) ( x y z) f calcule z e x y z f z xy , , , , , 2 3 = Resp: 2 2 3 exy z j) , xy z z z x y x y ∂ ∂ = + ∂ ∂ Resp: ( ) ( )2 2 2 2 , y x x y x y + + k) , xy z z z xe x y ∂ ∂ = ∂ ∂ Resp: ( ) xy xy x e xy e 2 , 1+ l) ( ) , sen xy z z z e x y ∂ ∂ = ∂ ∂ Resp: xy xy xy e x xy e y sen sen . cos , . cos 4) Encontre cada derivada usando a regra da cadeia. a) 2 3 2 y x u e u w x onde w + = = ∂ ∂ Resp: ( ) 1/ 2 2 3 2 3 x x + y − b) 3 2 4 7 ln y x u e u w x onde w + = = ∂ ∂ Resp: 3 2 4 7 14 y x x + c) 3/ 2 2 2 2 ) ( − + + = ∂ ∂ z y x w x onde w Resp: ( ) 5/ 2 2 2 2 3 − + + − z y x x e) ( ) ( ) [ xy ] xz y z .cos .sen ∂ ∂ Resp: ( ) ( xz sen xz sen xy) . . − f) 2 2 1 y x w onde x w − − = ∂ ∂ Resp: 2 2 1 y x x − − − g) 2 2 1 y x w onde y w − − = ∂ ∂ Resp: 2 2 1 y x y − − − 5) Dado que 3 2 4 3 2 3 2 x y xy x y w + − = , verifique se a expressão é verdadeira: w y y w x x w = 5 ∂ ∂ + ∂ ∂ 6) Calcule o coeficiente angular da reta tangente à curva de interseção entre a superfície e o plano nos pontos dados: a) A superfície 7 5 3 + − = y x z e o plano y = 2 no ponto (1,2,0) Resp: 3 b) A superfície 2 2 3 2 31 y x z − − = e o plano y = 2 no ponto (3,2,1) Resp: -6 c) A superfície y e z x 3 sen = − 2 e o plano x = 1 no ponto (1,0,0) Resp: 3/e d) A superfície 2 2 2 y x xy z + = e o plano y = 4 no ponto (3,4,24/25) Resp: 56/625 7) Use a aproximação linear para estimar ( y) x y f x + ∆ + ∆ 0 0 , para cada função f e para os valores indicados de y x x y ,0 0,∆ ,∆ . a) ( ) .0 02 .0 07, ,2 ,1 ; 6 5 , 0 0 2 3 ∆ = ∆ = = − = + − = y x y xy x x x f x y Resp: -17,21 b) ( ) .0 02 .0 01, ,1 ,1 ln ; ln , 0 0 ∆ = ∆ = = = − = y x y x x y y x f x y Resp: 0.01 8) Calcule as derivadas parciais da função 2 2 y x z − = : a) Aplicando a regra da derivação: Resp: 2x, -2y b) Aplicando a definição Resp: 2x, -2y 9) Encontre cada diferencial total. a) ( ) 3 2 3 2 4 5 , y x y x df se f x y − + = Resp: ( ) ( y )dy x xy dx x df 2 2 2 6 4 8 15 − + + = b) df se ( ) 2 2 2 3 2 , , xyz zx xy f x y z + − = Resp: ( ) ( ) ( x )dz xyz xz dy xy yz dx xz y 2 2 2 2 2 6 3 2 3 4 − + + + + − 10) A potência P consumida por uma resistência elétrica é dada por R E P 2 / = watts, onde E é a força eletromotriz em volts e R é a resistência em ohms. Se, um dado instante, E = 100 volts e R = 5 ohms, aproximadamente de quanto irá variar a potência se E decrescer de 2 volts e R decrescer de 0.3 ohms? Resp: 40 Watts 11) Três resistências de x ohms, y ohms, z ohms, são conectadas em paralelo para dar uma resistência equivalente de ω dada por yz xz xy xyz + + ω = . Cada resistência é de 300 ohms, mas está sujeita a 1 por cento de erro. Qual é o erro máximo aproximado no valor de ω ? Resp: 1 % 12) O volume V de um cone circular reto de altura h e raio da base r é dado por h r V 2 1/ 3 π = . Se a altura é aumentada de 5 cm para 5,01 cm, enquanto o raio da base é diminuído de 4 cm para 3,98 cm, encontre uma aproximação da variação V ∆ no volume. 13) Use a primeira regra da cadeia para calcular cada derivada a seguir: a) 2 2 3 2 6 2 , , 3 , t t y x y xy x y onde z dt dz = = + − = Resp: b) 3 2, ), cos( sen , x v x v u u v u onde w dx dw = = − + = Resp: c) = 3 2 2 4 ln z x y ω , ( ) ( )t z t y e x t cot , sec , = = = , encontre dt dω Resp: 14) Use a segunda regrada cadeia para calcular cada derivada parcial a seguir: a) v u uv e y x y x v onde z z u e z sen cos , , 4 3 , 2 2 + = = − = ∂ ∂ ∂ ∂ Resp: v y xu u y xv 8 cos ; 6 8 sen 6 − + b) u v v e y u x x y x v onde z z u e z sen cos , , 3 4 , 2 2 3 = = − = ∂ ∂ ∂ ∂ Resp: ( ) u x yv v xy x cos 6 cos 6 12 2 2 2 − − 15) Seja a função ω = u2.v3 , onde 2 2 3y x u + = , 2 2 2 y x v − = calcule ∂x∂y ∂ ω 2 . 16) Seja a função ( sen xy) x y z + = 4 2 ω faça o cálculo para verificar se: z y x x y z ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ω ω 3 3 17) Se ( ) 2 2 18 13 . 7 , y x y x f x y + − = calcule: a) f11 b) f12 c) f21 d) f22 REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA 1. Thomas, George B., Weir, Maurice D., Giordano, Frank R., Finney, Ross L. - Cálculo - Vol. 2, 10a Edição, Editora Addison Wesley - Pearson, São Paulo - 2003. 4A - SÉRIE DE EXERCÍCIOS – INTEGRAL 1) Calcule as integrais a seguir: a) ( ) sen xy dx Resp: ( ) ( ) c y y − cos xy + b) ( ) = = 3 2 2 sen y x x x dx y π Resp: − y2 cos y3 c) 2 0 2 4 1 0 x y dydx Resp: 15 8 d) 1 0 3 0 dydx xe x y Resp: e3 − 4 e) 1 0 2 2 / 0 cos dy dx xy xy π Resp: 2 1 f) y dxdy x 0 3 2 0 Resp: 3 2 g) x x dy dx x 3 5 1 1 Resp: 8701 ,1 h) − 2 0 3 2 2 1 x y dydx Resp: 12 i) 2 ln y y y exydx Resp: y y y e 3 − j) 3 2 2 1 96 1 x y dydx Resp: 128 5 k) y dxdy y / 2 1 1 / 2 1 1 Resp: ( ) ( 2 1 ln 2 ) 1 − 2) Calcular as integrais duplas: a) + u u u v dvdu e 6 4 1 0 Resp: 35 1 5 7 5 7 − e + e b) ( ) ( ) φ θ θ φ θ π d d cos 2 0 2 / 0 cos Resp: 3 4 c) 2 0 / 2 1 x y x dy dx e Resp: 2 3 2 e2 − d) ( ) − x y x dydx e sen 0 4 / 0 cos 4 π Resp: 4 2 2 4 2 2 − + e− 3) Faça o solicitado. a) Desenhe a região R; b) decida se R é do tipo I ou do tipo II (ou de ambos os tipos) c) calcule cada integral dupla utilizando o método de iteração: 3.1) ( ) ≤ ≤ ≤ ≤ R y x xy dxdy R x 1 ,0 : 0 , sen π Resp: π 3.2) ( ) ≤ ≤ ≤ ≤ R x y x y dxdy R x ,0 : 0 , sen π Resp: 2 π 2 + 4 3.3) ( ) ≤ + − R y y dxdy R x x 1 : , 3 2 2 2 Resp: 0 4) Calcule cada integral iterada pela reversão da ordem de integração: a) − 1 2 3 1 0 y x dx dy e Resp: − −3 6 1 1 e b) 6 3 2 2 0 6 sen y dxdy πx Resp: 0 c) y y dxdy x x sen 1 0 Resp: 1− sen( )1 5) Utilize as coordenadas polares para calcular cada integral dupla sobre a região indicada: a) 0 0 4, : ; 4 2 2 2 2 ≥ ≥ ≤ + − − e y x y y dxdy R x x R Resp: 3 4π b) θ π θ sen r dxdy R x R 2 4 ,0 :0 ; 2 ≤ ≤ ≤ ≤ Resp: 2 1 c) 2 2 ,0 :0 ; 3 ≤ ≤ ≤ ≤ r dxdy R xy R π θ Resp: 6 6) Calcule cada integral pela mudança para coordenadas polares: a) − − − − − − 2 2 2 2 9 9 3 3 x x y x dy dx e Resp: ( 9 ) 1 − e− π b) − − − − 2 2 4 4 2 0 2 y y x dxdy Resp: π 2 c) − 2 9 2 3 0 y y xdxdy Resp: 2 9 2 REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA 1. Thomas, George B., Weir, Maurice D., Giordano, Frank R., Finney, Ross L. - Cálculo - Vol. 2, 10a Edição, Editora Addison Wesley - Pearson, São Paulo - 2003. _________________________________________________________________________ 5A SÉRIE DE EXERCÍCIOS – FUNÇÕES VETORIAIS – VETORES Exercícios 9.3 – Pg: 133 1, 2, 3, 5, 9, 11, 15, 17, 19, 21. REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA 1. Thomas, George B., Weir, Maurice D., Giordano, Frank R., Finney, Ross L. - Cálculo - Vol. 2, 10a Edição, Editora Addison Wesley - Pearson, São Paulo - 2003. _________________________________________________________________________ 6A SÉRIE DE EXERCÍCIOS – FUNÇÕES VETORIAIS Exercícios 10.5 – Pg: 217 1, 3, 11, 13, 15, 19, 23. REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA 1. Thomas, George B., Weir, Maurice D., Giordano, Frank R., Finney, Ross L. - Cálculo - Vol. 2, 10a Edição, Editora Addison Wesley - Pearson, São Paulo - 2003. _________________________________________________________________________ 7A SÉRIE DE EXERCÍCIOS – GRADIENTE / DIVERGENTE / ROTACIONAL 1) Calcule o gradiente das seguintes funções no ponto dado. Depois esboce o gradiente junto com a curva de nível que passa pelo ponto. a) ( ) ( )1,2 , , P x y f x y − = b) ( ) ( 0,1 ) , , 2 − − = P x y g x y 2) Calcule o gradiente das seguintes funções no ponto dado. a) ( ) ( )1,1,1 , ln 2 , 2 2 2 P x z z y x f x y + − + = b) ( ) ( ) ( ) ( 2) ,2,1 , ln , 1/ 2 2 2 2 − − + + + = − P x y z z y x f x y 3) Calcule o Divergente das seguintes funções vetoriais: a) z k x y j x z i F r r r r − − = 2 b) ( ) ( ) ( x)k y y j z x i y F r r r r − + − + − = c) z k j y x i F r r r r 2 2 2 + + = d) z k x z j x i F r r r r 3 2 + + = 4) Calcule o Rotacional das seguintes funções vetoriais: a) x z k x y j x z i F r r r r +3 + = b) ( ) x k z j y i x F r r r r 2 2 4 + + − = c) z k x j x i F r r r r 2 2 2 + + = d) y k x j z i F r r r r 5 3 2 + + = REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA 1. Thomas, George B., Weir, Maurice D., Giordano, Frank R., Finney, Ross L. - Cálculo - Vol. 2, 10a Edição, Editora Addison Wesley - Pearson, São Paulo - 2003. 8A SÉRIE DE EXERCÍCIOS – INTEGRAÇÃO VETORIAL Exercícios 13.1 – pg 434 3, 5, 9, 11, 19. Exercícios 13.2 – pg 444 1, 3, 7, 9, 13, 17, 21, 25. Exercícios 13.4 – pg 464 5, 7, 9, 17, 19. Exercícios 13.5 – pg 475 1, 19, 31. Exercícios 13.7 – pg 494 1, 3, 5. REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA 1. Thomas, George B., Weir, Maurice D., Giordano, Frank R., Finney, Ross L. - Cálculo - Vol. 2, 10a Edição, Editora Addison Wesley - Pearson, São Paulo - 2003. ________________________________________________________________________
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M004 CADERNO DE EXERCÍCIOS 2021 1A - SÉRIE DE EXERCÍCIOS: FUNÇÃO 1) Determine o domínio de cada função a duas variáveis. a) ( ) y x f x y + = , Resp: Reais. b) ( ) 6 3 2 , + − = y x f x y Resp: Reais. c) ( ) 2 2 4 , y x f x y − − = Resp: Real, .tal que 4 2 2 x + y ≤ . d) ( ) 2 2 9 3 , y x f x y − − + = Resp: Real, .tal que 9 2 2 x + y ≤ . e) ( ) 2 2 1 , y x f x y + + = Resp: Reais. 2) Calcule cada expressão usando as funções f,g e h, definidas por: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 h x, y,z g x,y 7 5 , z y x z xy xy xy x f x y − + + = = + = a) ( ,3 −4) f Resp: - 39. b) ( ) 3,2,1 h Resp: -7/4. c) ( a b) f , Resp: ab a 5 + 7 . d) ( sen ,cos 0, ) t t h Resp: 2sent.cost. e) ( ) ( g x y) f x y , , + Resp: xy xy x + + 7 5 2 . gf) ( h x, y 0, ) Resp: 2 2 2 y x xy + . 3) Especifique o domínio da função e calcule f(x,y) para os valores dados de x e y. a) ( ) 16 -4,y 4 , x , = = − + = y x f x y Resp: (a)Todos os pares ordenados tais que x + y ≥ 4 .(b) 8 b) ( ) 4 1 y , x 1 , 2 2 = = − − = y x x f x y Resp: (a)região limitada por uma circunferência de raio igual a 1.(b)0,23. c) ( ) -1 4, y ,x 2 4 , 2 2 = = − − = y x y x f x y Resp: (a)Todos os pares ordenados tais que x y ≠ 2 .(b)7. 4) Desenhe o mapa de contorno do gráfico de z = f(x,y) mostrando as linhas de contorno correspondentes aos valores de z dados: a) ( ) 2 1, z 0, z -1, z 1 z 2 3 , = = = = − + = y x f x y b) ( ) 40 30, z 20, z 10, z 0, z 0. z 20 para x , 2 2 = = = = = ≥ + − = y x f x y c) ( ) 3 2, z 1, z 0, z z 9 , 2 2 = = = = − − = y x f x y 5) Encontre o domínio ou região de definição das seguintes funções: a) y x z = 2 − Resp : Reais. b) 2 2 1 y x z − − = Resp: circunferência de raio igual a um. c) ) ln( y x z + = Resp: semi-plano além da linha y = - x. d) .sen( ) x y z = Resp: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )π π π π 2 2 1 2 0 sen 1 2 2 0 sen + ≤ ≤ + ≤ + ≤ ≤ ≥ k x k para x k x k para x e) 2 2 ( , ) y x f x y − = Resp: Reais. 6) Determine nos exercícios o valor das funções nos pontos indicados: a) ),( 0,2 ) 3,1( 2 ; ( 1,3 ), ( , ) x y f x y + = Resp: 1,5,1. b) )1,0 4,1 ),( 2 ; ( 3,2 ),( ( , ) − − = v u uv f u v Resp: -3/2,4/9,0. c) ) 2,0,3 2,2 ),( ,1( ; 25 ( , , ) 2 2 2 − − − − − = z y x f x y z Resp: 4, 2 3 . d) ,1 4 , ) .4 . .ln( ) ; ( ,3 . ( ) . ( , , , ) 2 e p s v r s tg v f r s v p − π + = Resp: 3-π. 7) Para a expressão h f x y h y f x ( , ) , ) ( − + com h ≠ 0 determinar: a) 2 2 ( , ) y x f x y + = Resp: 2x+h. b) 1 ( , ) 2 2 − + = y x f x y Resp: 2x+h. 8) Determine o domínio da função f(x,y). c) 2 2 4 4 ( , ) y x f x y − + − = Resp : 2 2 2 , 2 2 2 , 0 ≤ ≤ − ≤ ≤ ≤ − ≥ ≥ y x y x z 9) Esboce as curvas de nível associada à função f. a) 2 2 ( , ) x y f x y − = b) y x f x y + ( , ) = c) 2 2 ( , ) y x f x y + = d) sen( ) ( , ) x y f x y − = REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 1. Thomas, George B., Weir, Maurice D., Giordano, Frank R., Finney, Ross L. - Cálculo - Vol. 2, 10a Edição, Editora Addison Wesley - Pearson, São Paulo - 2003. 2. Matlab - www.Mathworks.com/books. _________________________________________________________________________ 2A - SÉRIE DE EXERCÍCIOS – LIMITE / CONTINUIDADE 1) Calcule os limites: a) ( ) ( )( xy) x x y 3 5 lim 2 2 ,1 , + → − Resp: -1 b) ( ) ( y) x x y sen 2 sen 2 lim 4 , , + → π π Resp: 1 c) ( ) ( ) ( ) ( xy) e y x x y sec5 lim 3 cos ,0 0 , + + → Resp: e+1 d) ( ) ( ) ( ) → x xy x y sen lim ,0 2 , Resp: 2 e) ( ) ( ) x K x y x y + → ∞ 1 lim , , Resp: ek f) 4 lim 2 2 2 0 2 1 − + + − + − → → →− z y x z y x xyz z y x Resp: 3 g) ( ) ( ) + − → 3 ,1 2 , 3 1 7 lim y x x y Resp: -13/3 h) ( ) ( ) y x y xy x x y − + − → 2 2 1,1 , 2 lim Resp: 0 i) ( ) ( ) y x y x x y − − → 2 2 ,lim 1,1 Resp: 2 j) ( ) ( ) 1 1 lim ,4 3 , − − + − → y x y x x y Resp: 1/4 k) ( ) ( ) ( ) sen x y y x y − + → 1 cos( ) lim 0,2 / , π Resp: -2 2) Calcule o limite de f(x,y), se existir, quando (x,y) tende a (0,0) ao longo de cada um dos caminhos indicados: a) ( ) 2 2 2 5 , y x xy f x y + = i) ao longo do eixo dos x. Resp: 0 ii) ao longo do eixo dos y. Resp: 0 iii) ao longo da reta y = 5x. Resp: 0 iv) ao longo da parábola y = x2. Resp: 0 Resposta: limite existe e vale zero. b) ( ) 2 2 , y x xy f x y + = i) ao longo do eixo dos x. Resp: 0 ii) ao longo do eixo dos y. Resp: 0 iii) ao longo da reta y = 5x. Resp: 5/26 iv) ao longo da reta y = mx. Resp: m/(m2+1) Resposta: não existe limite, caminhos diferentes o valor do limite não é o mesmo. 3) Encontre os pontos de descontinuidade das funções: a) y x xy z − + = 2 1 Resp: pontos sobre a parábola y=x2 b) y x z − = 1 Resp: pontos sobre a reta y=x c) ( ) 2 2 2 1 2 , y x y x f x y − − − = Resp: circunferência de raio unitário d) ( ) y x y x f x y − − = 2 4 , 2 2 Resp: todos os pontos (x,y) tais que y = 2x. e) f (x,y) = ln(xy-2) Resp: todos os pontos (x,y) tais que x y > 2/ . REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA 1. Thomas, George B., Weir, Maurice D., Giordano, Frank R., Finney, Ross L. - Cálculo - Vol. 2, 10a Edição, Editora Addison Wesley - Pearson, São Paulo - 2003. 3A - SÉRIE DE EXERCÍCIOS: DERIVADA PARCIAL 1) Resolva as derivadas parciais a) Se ( ) 2 3 , , z e x y z f xy = , calcule fz(x,y,z). b) Se ( ) ( 2 ) 2 tan , y x f x y − = , calcule fx(x,y) e fy(x,y). c) Se w = exy, calcule y e x ∂ ∂ ∂ ∂ ω ω . 2) Calcule a derivada parcial aplicando a definição formal. a) ( ) ( ) 2 2 1 8 7 , , 2,1 xy x f x y onde f − = − − Resp:18 b) ( ) ( ) 11 6 5 , 1 , ,1 2 3 2 + + = − x xy f x y onde f Resp: 15 3) Calcule a derivada parcial aplicando as regras de diferenciação. a) ( ) ( ) 2 5 7 , , 2 2 + + = ∂ ∂ x y x f x y onde x f x y Resp: 14x+10xy b) 2 2 2 2 x y y x w x onde w − + = ∂ ∂ Resp: ( 2 ) 2 2 4 x y xy − c) ( ) ( ) θ θ θ cos7 , , , 2 1 r f r onde f r = Resp: 2r.cos7θ d) ( ) ( ) z x y xyz f x y z onde f z x y z 7 3 6 , , , , , 2 + + = Resp: 6xy+7 e) x y yz xy w x onde w 2 2 2 + + = ∂ ∂ Resp: 2xy+y2 f) xy2z3 w onde y w = ∂ ∂ Resp: 2xyz3 g) ( ) ( ) 2 2 1 , , y x y x para f x y x y f + + = Resp: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 2 , y x x xy y x y f + − − = . h) ( ) ( ) 2 2 2 , , y x y x x y para f x y f + + = Resp: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 , y x y xy x x y f + − − = . i) ( ) ( x y z) f calcule z e x y z f z xy , , , , , 2 3 = Resp: 2 2 3 exy z j) , xy z z z x y x y ∂ ∂ = + ∂ ∂ Resp: ( ) ( )2 2 2 2 , y x x y x y + + k) , xy z z z xe x y ∂ ∂ = ∂ ∂ Resp: ( ) xy xy x e xy e 2 , 1+ l) ( ) , sen xy z z z e x y ∂ ∂ = ∂ ∂ Resp: xy xy xy e x xy e y sen sen . cos , . cos 4) Encontre cada derivada usando a regra da cadeia. a) 2 3 2 y x u e u w x onde w + = = ∂ ∂ Resp: ( ) 1/ 2 2 3 2 3 x x + y − b) 3 2 4 7 ln y x u e u w x onde w + = = ∂ ∂ Resp: 3 2 4 7 14 y x x + c) 3/ 2 2 2 2 ) ( − + + = ∂ ∂ z y x w x onde w Resp: ( ) 5/ 2 2 2 2 3 − + + − z y x x e) ( ) ( ) [ xy ] xz y z .cos .sen ∂ ∂ Resp: ( ) ( xz sen xz sen xy) . . − f) 2 2 1 y x w onde x w − − = ∂ ∂ Resp: 2 2 1 y x x − − − g) 2 2 1 y x w onde y w − − = ∂ ∂ Resp: 2 2 1 y x y − − − 5) Dado que 3 2 4 3 2 3 2 x y xy x y w + − = , verifique se a expressão é verdadeira: w y y w x x w = 5 ∂ ∂ + ∂ ∂ 6) Calcule o coeficiente angular da reta tangente à curva de interseção entre a superfície e o plano nos pontos dados: a) A superfície 7 5 3 + − = y x z e o plano y = 2 no ponto (1,2,0) Resp: 3 b) A superfície 2 2 3 2 31 y x z − − = e o plano y = 2 no ponto (3,2,1) Resp: -6 c) A superfície y e z x 3 sen = − 2 e o plano x = 1 no ponto (1,0,0) Resp: 3/e d) A superfície 2 2 2 y x xy z + = e o plano y = 4 no ponto (3,4,24/25) Resp: 56/625 7) Use a aproximação linear para estimar ( y) x y f x + ∆ + ∆ 0 0 , para cada função f e para os valores indicados de y x x y ,0 0,∆ ,∆ . a) ( ) .0 02 .0 07, ,2 ,1 ; 6 5 , 0 0 2 3 ∆ = ∆ = = − = + − = y x y xy x x x f x y Resp: -17,21 b) ( ) .0 02 .0 01, ,1 ,1 ln ; ln , 0 0 ∆ = ∆ = = = − = y x y x x y y x f x y Resp: 0.01 8) Calcule as derivadas parciais da função 2 2 y x z − = : a) Aplicando a regra da derivação: Resp: 2x, -2y b) Aplicando a definição Resp: 2x, -2y 9) Encontre cada diferencial total. a) ( ) 3 2 3 2 4 5 , y x y x df se f x y − + = Resp: ( ) ( y )dy x xy dx x df 2 2 2 6 4 8 15 − + + = b) df se ( ) 2 2 2 3 2 , , xyz zx xy f x y z + − = Resp: ( ) ( ) ( x )dz xyz xz dy xy yz dx xz y 2 2 2 2 2 6 3 2 3 4 − + + + + − 10) A potência P consumida por uma resistência elétrica é dada por R E P 2 / = watts, onde E é a força eletromotriz em volts e R é a resistência em ohms. Se, um dado instante, E = 100 volts e R = 5 ohms, aproximadamente de quanto irá variar a potência se E decrescer de 2 volts e R decrescer de 0.3 ohms? Resp: 40 Watts 11) Três resistências de x ohms, y ohms, z ohms, são conectadas em paralelo para dar uma resistência equivalente de ω dada por yz xz xy xyz + + ω = . Cada resistência é de 300 ohms, mas está sujeita a 1 por cento de erro. Qual é o erro máximo aproximado no valor de ω ? Resp: 1 % 12) O volume V de um cone circular reto de altura h e raio da base r é dado por h r V 2 1/ 3 π = . Se a altura é aumentada de 5 cm para 5,01 cm, enquanto o raio da base é diminuído de 4 cm para 3,98 cm, encontre uma aproximação da variação V ∆ no volume. 13) Use a primeira regra da cadeia para calcular cada derivada a seguir: a) 2 2 3 2 6 2 , , 3 , t t y x y xy x y onde z dt dz = = + − = Resp: b) 3 2, ), cos( sen , x v x v u u v u onde w dx dw = = − + = Resp: c) = 3 2 2 4 ln z x y ω , ( ) ( )t z t y e x t cot , sec , = = = , encontre dt dω Resp: 14) Use a segunda regrada cadeia para calcular cada derivada parcial a seguir: a) v u uv e y x y x v onde z z u e z sen cos , , 4 3 , 2 2 + = = − = ∂ ∂ ∂ ∂ Resp: v y xu u y xv 8 cos ; 6 8 sen 6 − + b) u v v e y u x x y x v onde z z u e z sen cos , , 3 4 , 2 2 3 = = − = ∂ ∂ ∂ ∂ Resp: ( ) u x yv v xy x cos 6 cos 6 12 2 2 2 − − 15) Seja a função ω = u2.v3 , onde 2 2 3y x u + = , 2 2 2 y x v − = calcule ∂x∂y ∂ ω 2 . 16) Seja a função ( sen xy) x y z + = 4 2 ω faça o cálculo para verificar se: z y x x y z ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ω ω 3 3 17) Se ( ) 2 2 18 13 . 7 , y x y x f x y + − = calcule: a) f11 b) f12 c) f21 d) f22 REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA 1. Thomas, George B., Weir, Maurice D., Giordano, Frank R., Finney, Ross L. - Cálculo - Vol. 2, 10a Edição, Editora Addison Wesley - Pearson, São Paulo - 2003. 4A - SÉRIE DE EXERCÍCIOS – INTEGRAL 1) Calcule as integrais a seguir: a) ( ) sen xy dx Resp: ( ) ( ) c y y − cos xy + b) ( ) = = 3 2 2 sen y x x x dx y π Resp: − y2 cos y3 c) 2 0 2 4 1 0 x y dydx Resp: 15 8 d) 1 0 3 0 dydx xe x y Resp: e3 − 4 e) 1 0 2 2 / 0 cos dy dx xy xy π Resp: 2 1 f) y dxdy x 0 3 2 0 Resp: 3 2 g) x x dy dx x 3 5 1 1 Resp: 8701 ,1 h) − 2 0 3 2 2 1 x y dydx Resp: 12 i) 2 ln y y y exydx Resp: y y y e 3 − j) 3 2 2 1 96 1 x y dydx Resp: 128 5 k) y dxdy y / 2 1 1 / 2 1 1 Resp: ( ) ( 2 1 ln 2 ) 1 − 2) Calcular as integrais duplas: a) + u u u v dvdu e 6 4 1 0 Resp: 35 1 5 7 5 7 − e + e b) ( ) ( ) φ θ θ φ θ π d d cos 2 0 2 / 0 cos Resp: 3 4 c) 2 0 / 2 1 x y x dy dx e Resp: 2 3 2 e2 − d) ( ) − x y x dydx e sen 0 4 / 0 cos 4 π Resp: 4 2 2 4 2 2 − + e− 3) Faça o solicitado. a) Desenhe a região R; b) decida se R é do tipo I ou do tipo II (ou de ambos os tipos) c) calcule cada integral dupla utilizando o método de iteração: 3.1) ( ) ≤ ≤ ≤ ≤ R y x xy dxdy R x 1 ,0 : 0 , sen π Resp: π 3.2) ( ) ≤ ≤ ≤ ≤ R x y x y dxdy R x ,0 : 0 , sen π Resp: 2 π 2 + 4 3.3) ( ) ≤ + − R y y dxdy R x x 1 : , 3 2 2 2 Resp: 0 4) Calcule cada integral iterada pela reversão da ordem de integração: a) − 1 2 3 1 0 y x dx dy e Resp: − −3 6 1 1 e b) 6 3 2 2 0 6 sen y dxdy πx Resp: 0 c) y y dxdy x x sen 1 0 Resp: 1− sen( )1 5) Utilize as coordenadas polares para calcular cada integral dupla sobre a região indicada: a) 0 0 4, : ; 4 2 2 2 2 ≥ ≥ ≤ + − − e y x y y dxdy R x x R Resp: 3 4π b) θ π θ sen r dxdy R x R 2 4 ,0 :0 ; 2 ≤ ≤ ≤ ≤ Resp: 2 1 c) 2 2 ,0 :0 ; 3 ≤ ≤ ≤ ≤ r dxdy R xy R π θ Resp: 6 6) Calcule cada integral pela mudança para coordenadas polares: a) − − − − − − 2 2 2 2 9 9 3 3 x x y x dy dx e Resp: ( 9 ) 1 − e− π b) − − − − 2 2 4 4 2 0 2 y y x dxdy Resp: π 2 c) − 2 9 2 3 0 y y xdxdy Resp: 2 9 2 REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA 1. Thomas, George B., Weir, Maurice D., Giordano, Frank R., Finney, Ross L. - Cálculo - Vol. 2, 10a Edição, Editora Addison Wesley - Pearson, São Paulo - 2003. _________________________________________________________________________ 5A SÉRIE DE EXERCÍCIOS – FUNÇÕES VETORIAIS – VETORES Exercícios 9.3 – Pg: 133 1, 2, 3, 5, 9, 11, 15, 17, 19, 21. REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA 1. Thomas, George B., Weir, Maurice D., Giordano, Frank R., Finney, Ross L. - Cálculo - Vol. 2, 10a Edição, Editora Addison Wesley - Pearson, São Paulo - 2003. _________________________________________________________________________ 6A SÉRIE DE EXERCÍCIOS – FUNÇÕES VETORIAIS Exercícios 10.5 – Pg: 217 1, 3, 11, 13, 15, 19, 23. REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA 1. Thomas, George B., Weir, Maurice D., Giordano, Frank R., Finney, Ross L. - Cálculo - Vol. 2, 10a Edição, Editora Addison Wesley - Pearson, São Paulo - 2003. _________________________________________________________________________ 7A SÉRIE DE EXERCÍCIOS – GRADIENTE / DIVERGENTE / ROTACIONAL 1) Calcule o gradiente das seguintes funções no ponto dado. Depois esboce o gradiente junto com a curva de nível que passa pelo ponto. a) ( ) ( )1,2 , , P x y f x y − = b) ( ) ( 0,1 ) , , 2 − − = P x y g x y 2) Calcule o gradiente das seguintes funções no ponto dado. a) ( ) ( )1,1,1 , ln 2 , 2 2 2 P x z z y x f x y + − + = b) ( ) ( ) ( ) ( 2) ,2,1 , ln , 1/ 2 2 2 2 − − + + + = − P x y z z y x f x y 3) Calcule o Divergente das seguintes funções vetoriais: a) z k x y j x z i F r r r r − − = 2 b) ( ) ( ) ( x)k y y j z x i y F r r r r − + − + − = c) z k j y x i F r r r r 2 2 2 + + = d) z k x z j x i F r r r r 3 2 + + = 4) Calcule o Rotacional das seguintes funções vetoriais: a) x z k x y j x z i F r r r r +3 + = b) ( ) x k z j y i x F r r r r 2 2 4 + + − = c) z k x j x i F r r r r 2 2 2 + + = d) y k x j z i F r r r r 5 3 2 + + = REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA 1. Thomas, George B., Weir, Maurice D., Giordano, Frank R., Finney, Ross L. - Cálculo - Vol. 2, 10a Edição, Editora Addison Wesley - Pearson, São Paulo - 2003. 8A SÉRIE DE EXERCÍCIOS – INTEGRAÇÃO VETORIAL Exercícios 13.1 – pg 434 3, 5, 9, 11, 19. Exercícios 13.2 – pg 444 1, 3, 7, 9, 13, 17, 21, 25. Exercícios 13.4 – pg 464 5, 7, 9, 17, 19. Exercícios 13.5 – pg 475 1, 19, 31. Exercícios 13.7 – pg 494 1, 3, 5. REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA 1. Thomas, George B., Weir, Maurice D., Giordano, Frank R., Finney, Ross L. - Cálculo - Vol. 2, 10a Edição, Editora Addison Wesley - Pearson, São Paulo - 2003. ________________________________________________________________________