·
Engenharia de Software ·
Cálculo 1
Send your question to AI and receive an answer instantly
Preview text
QUESTÕES DE PROVA 1o Semestre 2020 1a Questão 24 pontos A função de 4o grau definida por dx cx bx ax f x 2 3 4 possui três pontos críticos de coordenadas 00 1P 51 2P e 3 3 27 P a 16 pontos Determine os valores de a b c e d b 8 pontos Especifique os intervalos de crescimento e decrescimento da função f x 2a Questão 15 pontos Um recipiente cilíndrico com tampa deve ter a capacidade de 320π cm3 O custo do material usado para a base e para a tampa do recipiente é de R 015 por cm2 e o custo do material usado na lateral é de R 006 por cm2 Se não há perda de material determine as dimensões que minimizam o custo do material para contruílo e o valor do custo mínimo 3a Questão 15 pontos Um cabo redondo de transmissão subaquático compõese de um núcleo de fios de cobre envolto em um material isolante não condutor como mostrado na figura ao lado Se x representa a razão entre o raio do núcleo e a espessura do material isolante sabese que a velocidade do sinal de transmissão é dada pela equação ln 2 2 x x v Determine a velocidade média de transmissão do sinal para x 1 e 4a Questão 20 pontos No gráfico abaixo estão representadas três funções 3 2 2 1 x x f x 6 4 2 2 x x x f e 2 3 3 3 x x f Determine o valor da área total indicada 5a Questão 26 pontos Determine o que se pede a 7 pontos ln 1 3 2 lim 7 x x x b 7 pontos Se sec3 log2 tg 2x x y determine dx dy c 12 pontos 3 3 2 2 4 8 dx x x Fazer a substituição x 2 senθ 2o Semestre 2020 1a Questão 30 pontos Faça o que se pede a 8 pontos Calcule 2 8 2 4 lim 8 x x x x b 12 pontos A reta de equação y x é tangente à curva de equação 3 6 2 8 y x x x em um ponto P Determine a abscissa e a ordenada de P c 10 pontos Determine a derivada implícita da função sen 1 x y x y y 2a Questão 20 pontos O trabalho das abelhas na polinização de flores nas monoculturas de frutas é de extrema importância principalmente na cultura da maçã As estatísticas de um determinado local têm mostrado que a quantidade de milhares de abelhas que pertencem a uma colméia pode ser aproximada pela função 2 192 16 Q t t π no intervalo 0 4 t semanas Determine o número médio de abelhas que pertencem a esta colméia no período de 4 semanas 3a Questão 20 pontos Determine a área entre a reta e a parábola destacada na figura ao lado As equações das funções representadas são 2 8 y x e 2 2 4 y x x 4a Questão 30 pontos Resolva as integrais a seguir a 10 pontos 2 5 4 x dx x b 10 pontos 3 2 cos5 x x dx c 10 pontos 3 2 2 5 7 5 2 1 x x x dx x 1o Semestre 2021 1a Questão 20 pontos Faça o que se pede OBS Mostre todos os passos para a solução a 8 pontos Calcule 2 0 2 2cos 2 lim 3 3cos2 x x x b 12 pontos Determine a derivada implícita da função 2 sen 3 4 5 5 y x xy e y 2a Questão 20 pontos Considere o polinômio de 3o grau dado por 3 2 48 9 f x ax bx x a 8 pontos Determine os valores de a e b para que as abscissas dos pontos críticos de f x sejam 1 4 x e 2 x 2 b 6 pontos Faça o estudo de concavidade de f x Especifique o intervalo em que a concavidade é para cima e o intervalo em que a concavidade é para baixo c 6 pontos Determine a equação reduzida da reta tangente à função f x no ponto de abscissa x 1 3a Questão 22 pontos Resolva as integrais a seguir OBS Mostre todos os passos para a solução a 10 pontos 2 7 3 1 x x dx Usar a substituição 2 1 t x b 12 pontos 3 2 2 3 3 4 12 x dx x x x 4a Questão 18 pontos Uma partícula se move ao longo do eixo x de acordo com a equação de velocidade dada por 2 t v t t e em ms Um estudante afirmou que a velocidade média desta partícula nos 5 segundos iniciais de movimento era menor que 4 kmh A afirmação está correta JUSTIFIQUE Mostre todos os passos para a solução 5a Questão 20 pontos Determine a área total formada pelas parábolas de equação 2 1 4 f x x e 2 2 2 f x x x conforme representação na figura a seguir 2o Semestre 2021 1a Questão 20 pontos Determine a área total indicada no gráfico da figura abaixo formada pelas parábolas de equação 2 1 4 f x x 2 2 2 f x x x e a reta 3 2 f x x 2a Questão 10 pontos Podemos afirmar que as retas tangentes às curvas 3 2 4 5 0 x x y x y e 4 4 3 5 0 x y x y são ortogonais na origem do sistema de coordenadas Justifique 3a Questão 20 pontos Um recipiente com a forma de um paralelepípedo de base quadrada deve ter um volume de 2000 cm3 O custo do material para a base e a tampa do recipiente é de 2 reais por cm2 E o custo do material para as paredes laterais é de 1 real por cm2 Encontre as dimensões do recipiente de menor custo 4a Questão 50 pontos Determine o que se pede a seguir OBS As soluções dadas usando aplicativosite matemático serão desconsideradas a 10 pontos 4 2 lim 2 4 12 x x x b 10 pontos Se 2 11 2 ln 0 lim e p x x x e sabendo que p 0 determine o valor de p c 15 pontos 2 2 x ln x dx d 15 pontos dt t t t 2 3 2 1 2 2 1o Semestre 2022 1a Questão 15 pontos Determine os pontos da curva 4 3 2 3 4 12 20 y x x x nos qualis a reta tangente é horizontal 2a Questão 15 pontos A corrente elétrica em um circuito é definida por 2 sen60 cos120 t I t t π π em que It é medida em ampères e t é medido em segundos Calcule o valor médio da corrente elétrica no intervalo 1 0 240 t segundos 3a Questão 18 pontos O gráfico abaixo representa as derivadas de 1ª e 2ª ordem de uma função desconhecida Utilizando os conceitos de estudo do comportamento de uma função analise as afirmações abaixo e assinale V para verdadeiro e F para falso f x a O ponto de abscissa x 0 representa um máximo local da função f x b O ponto de abscissa x 3 representa um mínimo local da função f x c A função f x é decrescente no intervalo 02 d A função f x é crescente no intervalo 2 e A função f x muda de concavidade no ponto de abscissa 1 x f No intervalo 02 a função f x tem concavidade para cima g A função f x muda de comportamento apenas no ponto de abscissa x 3 h A função f x muda de concavidade três vezes i A função f x não possui ponto de máximo local 4a Questão 20 pontos Determine o valor da área indicada sabendo as funções representadas são 2 1 6 4 f x x x 2 2 3 f x x e 3 2 7 3 x f x 5a Questão 32 pontos Determine o que se pede a seguir a 8 pontos 25 5 lim 2 14 6 x x x x b 12 pontos 2 ln x dx c 12 pontos 2 2 1 1 x dx x x RESPOSTAS 1o Semestre 2020 1 a Os valores são 0 18 e 16 3 d c b a b A função é crescente nos intervalos e 3 10 A função é decrescente nos intervalos 31 0 e 2 As dimensões são 20 m 4 320 4 m e 2 h R O custo mínimo é de 4524 14 4 π R 3 133 uv m v 4 247 205833 ua S 12 5 a 2e b 3 sec 6 tg3 tglog2 sec3 2 ln10 2sec3 1 sec log2 2 2 2 2 2 2 x x x x x x x x y x c 4 3 3 2o Semestre 2020 1 a 0 b P3 3 c cos sen cos x y y y x x x x x y y y 2 3 milhares de abelhassemana m Q 3 16 533 ua A 3 4 a 2 5 4 4 x C b 3 2 6 6 sen5 cos5 sen5 C 5 25 125 x x x x x c 5 2 7 5arctg 2 x x x C 1o Semestre 2021 1 a 43 b 2 2 3 cos 3 4 5 5 3 cos 3 4 2 5 5 y x y y y y x x x x e y y 2 a 2 e 6 a b b Concavidade para baixo 1 Concavidade para cima 1 c 30 1 y x 3 a 2 9 2 8 1 1 18 16 x x C b 2 9 1 9 ln 4 arctg ln 3 C 26 26 2 13 x x x 4 035 ms 126 kmh m v Sim a afirmação está correta 5 38 1267 ua A 3 2o Semestre 2021 1 27 ua S 6 2 São ortogonais 3 As dimensões do recipiente são 10 cm x 10 cm x 20 cm 4 a 12 3 4 2 b p 3 c 2 2 2 2 ln 2 2 ln 4 x x x x x C d 2 3 1 ln ln 2 2 5 5 t t C 1o Semestre 2022 1 Os pontos serão 1 2 3 020 2 12 115 P P P 2 10 4 2 mI π ampères 3 F V V F F F V F V 4 44 3 A u a 5 a 3 b ln 2 2 ln x x x x x C c 2 1 ln ln 1 2arctg 2 x x x C Ponto crítico Derivada igual a zero Crescimento Derivada positiva Decrescimento Derivada negativa 2a Questão 15 pontos Um recipiente cilíndrico com tampa deve ter a capacidade de 320π cm3 O custo do material usado para a base e para a tampa do recipiente é de R 015 por cm2 e o custo do material usado na lateral é de R 006 por cm2 Se não há perda de material determine as dimensões que minimizam o custo do material para construílo e o valor do custo mínimo V 320π Abh πR2h logo πR2h 320π h 320R2 I Custo 1 base tampa 015 por cm2 base πR2 cm2 tampa πR2 cm2 Área do círculo Custo1 2015πR2 03 π R2 Custo 2 lateral 006 por cm2 Lateral 2πRh Lateral de cilindro logo custo2 2πRh006 012 π R h Custo total custo1 custo2 03 π R2 012 π Rh Mas por I Custo total 03 π R2 012πR320R2 CR π 03 R3 384 R CR π 09 R2 R 03 R3 384 R2 Velocidade média integral divida pelo tamanho do intervalo Para calcular I usamos integração por partes e from 1 to 12 x2 lnx dx u lnx du 1x dx dv x2 v x33 u dv uv v dn x33 lnx x331x dx x33 lnx 13 x2 c aplicando os limites 12 from 1 to e x2 lnx dx 12 e33 lne 19 e3 133 ln1 19 12 e33 e39 19 12 2 e3 19 2 e3 118 logo vmedia 2 e3 1 18 1e 1 133 Área entre curvas Integral no intervalo da função de cima menos a função debaixo Mas perceba que nessa região a função de cima muda de acordo com onde estou então vou dividir em 2 integrais Vamos achar os intervalos de integração geralmente são as in terseções das curvas 32 from 1 to 1 x 1 dx from 1 to 1 x2 2x 3 dx 32 x22 x from 1 to 1 x33 x2 3x from 1 to 1 32 12 1 122 1 13 1 3 133 12 31 32 32 12 113 13 1 3 322 113 53 3 163 253 II from 1 to 92 x2 4x 6 x2 2x 3 dx from 1 to 92 2x 9 dx x2 9x from 1 to 92 814 812 1 9 814 8 494 logo Área I II 253 494 24712 5ª Questão 26 pontos Determine o que se pede a 7 pontos lim x 7 3x²1lnx Indeterminação y 7 3x²1lnx lny 1lnx ln7 3x² lim x lny lim x ln7 3 x² lnx Aplico LHopital lim x 17 3x² 6x 1x lim x 6x 3x² 7 x 1 lim x 6x² 3x² 7 lim x 6x² x²3 7x² 2 logo se lim x lny 2 lim x y e² b 7 pontos Se y tglog2x sec3x² determine dydx dydx fg gf g² f sec²log2x 12x ln10 2 g tg3x² sec3x² 6x log base 10 ln base e dydx sec²log2x 12x ln10 2 sec²3x² tg3x² sec3x² 6x tglog2x I sec²3x² c 12 pontos from 3 to 3 8x² 4 x² dx Fazer a substituição x 2 senθ x 2 senθ π3 θ π3 dx 2 cosθ dθ from 2π3 to π3 8 2 cosθ 4 sen²θ 4 4 sen²θ dθ from 2π3 to π3 16 cosθ dθ 4 sen²θ 41sen²θ from 2π3 to π3 4 cosθ dθ sen²θ 2 cosθ 2 from 2π3 to π3 1sen²θ dθ 2 cotθ from 2π3 to π3 2 cotπ3 cot2π3 2 33 33 433 2º Semestre 2020 1ª Questão 30 pontos Faça o que se pede a 8 pontos Calcule lim x8 2x 4 x² 8x Indeterminação LHopital lim x8 1 22x 2 12x² 8x 2x 8 lim x8 x² 8x 2x x 4 0 b 12 pontos A reta de equação y x é tangente à curva de equação y x3 6x2 8x em um ponto P Determine a abscissa e a ordenada de P Reta tangente tem a fórmula No ponto x0fx0 y fx0x x0 fx0 y fx0x fx0x0 fx0 x Logo fx0 1 fx0 fx0x0 0 Como fx x3 6x2 8x fx 3x2 12x 8 fx0 3x02 12 x0 8 Quero fx0 1 3x02 12x0 8 1 3x02 12x0 9 0 x0 1 x0 3 Mas quero fx0 x0 0 e isso só acontece Se x0 3 logo abscissa 3 ordenada f3 3 Derivando implicitamente Média Integrar no intervalo e dividir pelo tamanho do inter valo I 0t 192 πt2 16 dt 192π 04 1 t2 16 dt 192 π 04 1 16 t42 1 dt 192 π 1 16 04 1 t42 1 dt Com μ t4 dμ dt 4 dt 4 dμ I 192 π 1 16 01 1 μ2 1 4 dμ 192 π 116 4 01 1 μ2 1 dμ 192 4π arctanμ01 192 4π π4 0 192 16 12 Logo Q média 12 4 3 milharessem Faremos integral da função de cima menos função debaixo mas precisamos achar o ponto de interseção da direita para termos o limite de integração 4ª Questão 30 pontos Resolva as integrais a seguir a 10 pontos x 5 4x2 dx x 5 4x2 dx μ 5 4x2 dμ 8x dx x dx 18 dμ 18 1μ dμ 18 μ12 dμ 18 2μ12 C 14 μ12 C 5 4x212 4 C b 10 pontos 3x2 cos5x dx Por partes μ 3x2 dμ 6x dν cos5x v sen5x5 μ dν μv v dμ 3x2 sen5x5 65 x sen5x dx partes novamente μ x dμ dx dν sen5x v cos5x5 3x2 sen5x5 65 x cos5x5 cos5x5 dx 3x2 sen5x5 6x cos5x25 65 sen5x25 c c 10 pontos 5x3 7x2 5x 2 x2 1 dx Dividindo os polinômios 5x3 7x2 5x 2 x2 1 5x 7 5x3 5x 7x2 2 7x2 7 5 logo 5x3 7x2 5x 2x2 1 dx x2 15x 7 x2 1 5 dx 5x 7 5x2 1 dx 5x2 2 7x 5 1x2 1 dx 5x2 2 7x 5 arctanx c 1o Semestre 2021 1a Questão 20 pontos Faça o que se pede a 8 pontos Calcule lim x0 2 2 cos22x 3 3 cos2x lim x0 21 cos22x 31 cos2x fatorando lim x0 21 cos22x1 cos2x 31 cos2x lim x0 21 cos2x 3 223 43 b 12 pontos Determine a derivada implícita da função sen3x5y 4xy 5 e2y Derivando implicitamente dos dois lados cos3x5y 35y 5y 3x 25y2 4 1y xy 2e2yy y 3x 5y2 cos3x5y 4x 2e2y 4y 35y cos3x5y logo y 4y 35y cos3x5y 3x 5y2 cos3x5y 4x 2e2y 2a Questão 20 pontos Considere o polinômio de 3 grau dado por fx ax3 bx2 48x 9 a 8 pontos Determine os valores de a e b para que as abscissas dos pontos críticos de fx sejam x1 4 e x2 2 Ponto crítico Derivada igual a zero fx 3ax2 2bx 48 f4 0 3a42 2b4 48 0 Concavidade para cima Segunda derivada positiva Concavidade para baixo Segunda derivada negativa c 6 pontos Determine a equação reduzida da reta tangente à função fx no ponto de abscissa x 1 Reta tangente em x x0 y fx0 x x0 fx0 Em x0 1 y f1x1 f1 f1 612 21 48 6 12 48 30 f1 213 612 481 9 f1 2 6 48 9 f1 31 logo y 30x1 31 y 30x 30 31 y 30x 1 3a Questão 22 pontos Resolva as integrais a seguir a 10 pontos x2 17 x3 dx Usar a substituição t x2 1 t x2 1 x2 t 1 dt 2xdx xdx 12 dt x2 17 x3 dx x2 17 x2 xdx t7 t1 12 dt 12 t8 t7 dt 12 t9 9 t8 8 c x2 19 18 x2 18 16 c b 12 pontos 2x3x3 3x2 4x 12 dx 3 é raiz do polinômio debaixo posso dividir ele por x3 x3 3x2 4x 12 x3 x3 3x2 4x 12 4x 12 0 2x3x3x2 4 dx frações parciais 2x3x3x2 4 Ax3 BxCx2 4 AB0 3B C2 4A 3C3 A 913 B 913 C 113 2x3x3x2 4 dx 913 1x3 dx 113 9x1x2 4 dx 913 lnx3 1139 xx2 4 dx 1x2 4 dx 913 lnx3 1139 lnx2 42 12 arctanx2 c 913 lnx3 926 lnx2 4 126 arctanx2 c Velocidade média integral no intervalo dividido pelo tamanho do intervalo Vmédia 035 x 36 126 kmh Afirmação correta 5ª Questão 20 pontos Determine a área total formada pelas parábolas de equação f₁x x² 4 e f₂x x² 2x conforme representação na figura a seguir Área I II I from 3 to 2 x² 4 x² 2x dx from 3 to 2 2x² 2x 4 dx 2 x³3 x²2 2x from 3 to 2 2 83 42 4 273 92 6 2 9 83 92 2 193 92 2 116 113 II from 2 to 1 x² 2x x² 4 dx from 2 to 1 2x² 2x 4 dx 2 x³3 x²2 2x from 2 to 0 Achando os limites de integração fazendo as interseções x³3 x²2 2x from 2 to 0 2³3 2²2 22 83 42 4 83 6 103 II from 0 to 1 x² 2x x 2 dx from 0 to 1 x² x 2 dx x³3 x²2 2x from 0 to 1 13 12 2 56 2 76 Área 103 76 276 2ª Questão 10 pontos Podemos afirmar que as retas tangentes às curvas 4x³ x² y x 5y 0 e x4 4y³ 5x y 0 são ortogonais na origem do sistema de coordenadas Justifique Derivando implicitamente ambas 12x² 2xy x² y 1 5y 0 em x0 origem 0 0 0 1 5y 0 y 15 coef da reta tangente 4x³ 4 3 y² y 5 y 0 em x0 0 0 5 y 0 y 5 coef da reta tangente 15 5 1 Logo as retas são perpendiculares 3ª Questão 20 pontos Um recipiente com a forma de um paralelepípedo de base quadrada deve ter um volume de 2000 cm³ O custo do material para a base e a tampa do recipiente é de 2 reais por cm² E o custo do material para as paredes laterais é de 1 real por cm² Encontre as dimensões do recipiente de menor custo Custo 1 base tampa 2 l² 2 4 l² Custo 2 lateral 4 l h 1 4 l h Custo total 4 l² 4 l h 4 l² 4 l h Cl 4 l² 4 l 2000 l² 4 l² 8000 l 4 l³ 8000 l Cl 12 l² l 4 l³ 8000 l² 8 l³ 8000 l² Cl 0 8 l³ 8000 0 l³ 1000 0 l³ 1000 l 10 Cl 0 l 10 Em l 10 há mínimo Logo l 10 h 2000 100 20 4ª Questão 50 pontos Determine o que se pede a seguir a 10 pontos lim x4 sqrtx2 sqrt2x4 sqrt12 lim x4 sqrtx 2 sqrtx 2 sqrt2x 4 12 sqrt2x 4 12 lim x4 x 4 sqrt2 sqrtx 2 2 sqrt3 2 sqrtx 2 x 4 sqrt12 2 sqrt3 8 b 10 pontos Se lim x0 xp² 11 ln x e2 e sabendo que p 0 determine o valor de p y xp² 11 ln x ln y p² 11 ln x ln x lim x0 ln y ln e2 p² 11 2 p² 9 p 3 pois p 0 d 15 pontos integral from 0 to 1240 of 2t 1 2t² 3t 2 dt Reta tangente horizontal Derivada igual a zero Valor médio integral no intervalo dividido pelo tamanho do intervalo Iméd 240 integral from 0 to 1240 of 2 sen 60 π t cos 120 π t dt 2 h0 2 cos 60 π t 60 π sen 120 π t 120 π01240 240 cos 22 π 4240 π sen 120 π 1 2 240 1 30 π 240 2 60 π 1 120 π 1 30 π 240 2 2 1 4 120 π 2 5 2 2 π 3ª Questão 18 pontos O gráfico abaixo representa as derivadas de 1ª e 2ª ordem de uma função fx desconhecida Utilizando os conceitos de estudo do comportamento de uma função analise as afirmações abaixo e assinale V para verdadeiro e F para falso a Falso pois apesar da derivada zerar ela não troca de sinal o que é necessário para ser máximo b Verdadeiro pois além da derivada trocar de sinal ela troca de negativo para positivo caracterizando um ponto de mínimo local c Verdadeiro pois nesse intervalo a derivada está abaixo do eixo x logo é negativa logo f decresce d Falso pois há partes nesse intervalo em que f0 pelo gráfico logo não é crescente nesse intervalo e Falso pois a segunda derivada não troca de sinal nesse ponto f Falso pois a segunda derivada nesse intervalo é negativa logo a função tem concavidade para baixo g Verdadeiro pois só em x3 a derivada troca de sinal h Falso ela muda apenas 2 vezes em x 0 e x2 onde f troca de sinal i Verdadeiro pois em nenhum momento a derivada troca de sinal de positivo para negativo 4ª Questão 20 pontos Determine o valor da área indicada sabendo as funções representadas são f1x x2 6x 4 f2x 2x 3 e f3x 2x 73 Achando a interseção 1 2x 3 2x 73 x 2 2 x2 6x 4 2x 3 x 1 ou x 7 3 x2 6x 4 2x 73 x 13 ou x 5 1 to 2 2x 3 x2 6x 4 dx x33 4x2 7x 1 to 2 83 2 to 5 2x 73 x2 6x 4 dx 83x2 53x x33 2 to 5 12 Área 83 12 443 5ª Questão 32 pontos Determine o que se pede a seguir a 8 pontos lim x 25 5x x2x 14 6 lim x 25 5x x2x 14 6 5x x5x x 2x 14 62x 14 6 lim x 25 2x 7 6x 252x 25x 5x lim x 25 2x 7 6 x 2x 5x 3 b 12 pontos ln2x dx Partes com u lnx2 du 2lnxx dx dv 1 v x ln2x x ln2x x 2lnxx dx x ln2x 2 lnx dx x ln2x 2x lnx 2x c c 12 pontos 2x 1x x2 1 dx Frações Parciais 2x 1xx2 1 dx Ax dx Bx Cx2 1 dx A B 0 C 2 A 1 A 1 B 1 C 2 1x dx xx2 1 dx 2x2 1 dx lnx 12 lnx2 1 2 arctanx c
Send your question to AI and receive an answer instantly
Preview text
QUESTÕES DE PROVA 1o Semestre 2020 1a Questão 24 pontos A função de 4o grau definida por dx cx bx ax f x 2 3 4 possui três pontos críticos de coordenadas 00 1P 51 2P e 3 3 27 P a 16 pontos Determine os valores de a b c e d b 8 pontos Especifique os intervalos de crescimento e decrescimento da função f x 2a Questão 15 pontos Um recipiente cilíndrico com tampa deve ter a capacidade de 320π cm3 O custo do material usado para a base e para a tampa do recipiente é de R 015 por cm2 e o custo do material usado na lateral é de R 006 por cm2 Se não há perda de material determine as dimensões que minimizam o custo do material para contruílo e o valor do custo mínimo 3a Questão 15 pontos Um cabo redondo de transmissão subaquático compõese de um núcleo de fios de cobre envolto em um material isolante não condutor como mostrado na figura ao lado Se x representa a razão entre o raio do núcleo e a espessura do material isolante sabese que a velocidade do sinal de transmissão é dada pela equação ln 2 2 x x v Determine a velocidade média de transmissão do sinal para x 1 e 4a Questão 20 pontos No gráfico abaixo estão representadas três funções 3 2 2 1 x x f x 6 4 2 2 x x x f e 2 3 3 3 x x f Determine o valor da área total indicada 5a Questão 26 pontos Determine o que se pede a 7 pontos ln 1 3 2 lim 7 x x x b 7 pontos Se sec3 log2 tg 2x x y determine dx dy c 12 pontos 3 3 2 2 4 8 dx x x Fazer a substituição x 2 senθ 2o Semestre 2020 1a Questão 30 pontos Faça o que se pede a 8 pontos Calcule 2 8 2 4 lim 8 x x x x b 12 pontos A reta de equação y x é tangente à curva de equação 3 6 2 8 y x x x em um ponto P Determine a abscissa e a ordenada de P c 10 pontos Determine a derivada implícita da função sen 1 x y x y y 2a Questão 20 pontos O trabalho das abelhas na polinização de flores nas monoculturas de frutas é de extrema importância principalmente na cultura da maçã As estatísticas de um determinado local têm mostrado que a quantidade de milhares de abelhas que pertencem a uma colméia pode ser aproximada pela função 2 192 16 Q t t π no intervalo 0 4 t semanas Determine o número médio de abelhas que pertencem a esta colméia no período de 4 semanas 3a Questão 20 pontos Determine a área entre a reta e a parábola destacada na figura ao lado As equações das funções representadas são 2 8 y x e 2 2 4 y x x 4a Questão 30 pontos Resolva as integrais a seguir a 10 pontos 2 5 4 x dx x b 10 pontos 3 2 cos5 x x dx c 10 pontos 3 2 2 5 7 5 2 1 x x x dx x 1o Semestre 2021 1a Questão 20 pontos Faça o que se pede OBS Mostre todos os passos para a solução a 8 pontos Calcule 2 0 2 2cos 2 lim 3 3cos2 x x x b 12 pontos Determine a derivada implícita da função 2 sen 3 4 5 5 y x xy e y 2a Questão 20 pontos Considere o polinômio de 3o grau dado por 3 2 48 9 f x ax bx x a 8 pontos Determine os valores de a e b para que as abscissas dos pontos críticos de f x sejam 1 4 x e 2 x 2 b 6 pontos Faça o estudo de concavidade de f x Especifique o intervalo em que a concavidade é para cima e o intervalo em que a concavidade é para baixo c 6 pontos Determine a equação reduzida da reta tangente à função f x no ponto de abscissa x 1 3a Questão 22 pontos Resolva as integrais a seguir OBS Mostre todos os passos para a solução a 10 pontos 2 7 3 1 x x dx Usar a substituição 2 1 t x b 12 pontos 3 2 2 3 3 4 12 x dx x x x 4a Questão 18 pontos Uma partícula se move ao longo do eixo x de acordo com a equação de velocidade dada por 2 t v t t e em ms Um estudante afirmou que a velocidade média desta partícula nos 5 segundos iniciais de movimento era menor que 4 kmh A afirmação está correta JUSTIFIQUE Mostre todos os passos para a solução 5a Questão 20 pontos Determine a área total formada pelas parábolas de equação 2 1 4 f x x e 2 2 2 f x x x conforme representação na figura a seguir 2o Semestre 2021 1a Questão 20 pontos Determine a área total indicada no gráfico da figura abaixo formada pelas parábolas de equação 2 1 4 f x x 2 2 2 f x x x e a reta 3 2 f x x 2a Questão 10 pontos Podemos afirmar que as retas tangentes às curvas 3 2 4 5 0 x x y x y e 4 4 3 5 0 x y x y são ortogonais na origem do sistema de coordenadas Justifique 3a Questão 20 pontos Um recipiente com a forma de um paralelepípedo de base quadrada deve ter um volume de 2000 cm3 O custo do material para a base e a tampa do recipiente é de 2 reais por cm2 E o custo do material para as paredes laterais é de 1 real por cm2 Encontre as dimensões do recipiente de menor custo 4a Questão 50 pontos Determine o que se pede a seguir OBS As soluções dadas usando aplicativosite matemático serão desconsideradas a 10 pontos 4 2 lim 2 4 12 x x x b 10 pontos Se 2 11 2 ln 0 lim e p x x x e sabendo que p 0 determine o valor de p c 15 pontos 2 2 x ln x dx d 15 pontos dt t t t 2 3 2 1 2 2 1o Semestre 2022 1a Questão 15 pontos Determine os pontos da curva 4 3 2 3 4 12 20 y x x x nos qualis a reta tangente é horizontal 2a Questão 15 pontos A corrente elétrica em um circuito é definida por 2 sen60 cos120 t I t t π π em que It é medida em ampères e t é medido em segundos Calcule o valor médio da corrente elétrica no intervalo 1 0 240 t segundos 3a Questão 18 pontos O gráfico abaixo representa as derivadas de 1ª e 2ª ordem de uma função desconhecida Utilizando os conceitos de estudo do comportamento de uma função analise as afirmações abaixo e assinale V para verdadeiro e F para falso f x a O ponto de abscissa x 0 representa um máximo local da função f x b O ponto de abscissa x 3 representa um mínimo local da função f x c A função f x é decrescente no intervalo 02 d A função f x é crescente no intervalo 2 e A função f x muda de concavidade no ponto de abscissa 1 x f No intervalo 02 a função f x tem concavidade para cima g A função f x muda de comportamento apenas no ponto de abscissa x 3 h A função f x muda de concavidade três vezes i A função f x não possui ponto de máximo local 4a Questão 20 pontos Determine o valor da área indicada sabendo as funções representadas são 2 1 6 4 f x x x 2 2 3 f x x e 3 2 7 3 x f x 5a Questão 32 pontos Determine o que se pede a seguir a 8 pontos 25 5 lim 2 14 6 x x x x b 12 pontos 2 ln x dx c 12 pontos 2 2 1 1 x dx x x RESPOSTAS 1o Semestre 2020 1 a Os valores são 0 18 e 16 3 d c b a b A função é crescente nos intervalos e 3 10 A função é decrescente nos intervalos 31 0 e 2 As dimensões são 20 m 4 320 4 m e 2 h R O custo mínimo é de 4524 14 4 π R 3 133 uv m v 4 247 205833 ua S 12 5 a 2e b 3 sec 6 tg3 tglog2 sec3 2 ln10 2sec3 1 sec log2 2 2 2 2 2 2 x x x x x x x x y x c 4 3 3 2o Semestre 2020 1 a 0 b P3 3 c cos sen cos x y y y x x x x x y y y 2 3 milhares de abelhassemana m Q 3 16 533 ua A 3 4 a 2 5 4 4 x C b 3 2 6 6 sen5 cos5 sen5 C 5 25 125 x x x x x c 5 2 7 5arctg 2 x x x C 1o Semestre 2021 1 a 43 b 2 2 3 cos 3 4 5 5 3 cos 3 4 2 5 5 y x y y y y x x x x e y y 2 a 2 e 6 a b b Concavidade para baixo 1 Concavidade para cima 1 c 30 1 y x 3 a 2 9 2 8 1 1 18 16 x x C b 2 9 1 9 ln 4 arctg ln 3 C 26 26 2 13 x x x 4 035 ms 126 kmh m v Sim a afirmação está correta 5 38 1267 ua A 3 2o Semestre 2021 1 27 ua S 6 2 São ortogonais 3 As dimensões do recipiente são 10 cm x 10 cm x 20 cm 4 a 12 3 4 2 b p 3 c 2 2 2 2 ln 2 2 ln 4 x x x x x C d 2 3 1 ln ln 2 2 5 5 t t C 1o Semestre 2022 1 Os pontos serão 1 2 3 020 2 12 115 P P P 2 10 4 2 mI π ampères 3 F V V F F F V F V 4 44 3 A u a 5 a 3 b ln 2 2 ln x x x x x C c 2 1 ln ln 1 2arctg 2 x x x C Ponto crítico Derivada igual a zero Crescimento Derivada positiva Decrescimento Derivada negativa 2a Questão 15 pontos Um recipiente cilíndrico com tampa deve ter a capacidade de 320π cm3 O custo do material usado para a base e para a tampa do recipiente é de R 015 por cm2 e o custo do material usado na lateral é de R 006 por cm2 Se não há perda de material determine as dimensões que minimizam o custo do material para construílo e o valor do custo mínimo V 320π Abh πR2h logo πR2h 320π h 320R2 I Custo 1 base tampa 015 por cm2 base πR2 cm2 tampa πR2 cm2 Área do círculo Custo1 2015πR2 03 π R2 Custo 2 lateral 006 por cm2 Lateral 2πRh Lateral de cilindro logo custo2 2πRh006 012 π R h Custo total custo1 custo2 03 π R2 012 π Rh Mas por I Custo total 03 π R2 012πR320R2 CR π 03 R3 384 R CR π 09 R2 R 03 R3 384 R2 Velocidade média integral divida pelo tamanho do intervalo Para calcular I usamos integração por partes e from 1 to 12 x2 lnx dx u lnx du 1x dx dv x2 v x33 u dv uv v dn x33 lnx x331x dx x33 lnx 13 x2 c aplicando os limites 12 from 1 to e x2 lnx dx 12 e33 lne 19 e3 133 ln1 19 12 e33 e39 19 12 2 e3 19 2 e3 118 logo vmedia 2 e3 1 18 1e 1 133 Área entre curvas Integral no intervalo da função de cima menos a função debaixo Mas perceba que nessa região a função de cima muda de acordo com onde estou então vou dividir em 2 integrais Vamos achar os intervalos de integração geralmente são as in terseções das curvas 32 from 1 to 1 x 1 dx from 1 to 1 x2 2x 3 dx 32 x22 x from 1 to 1 x33 x2 3x from 1 to 1 32 12 1 122 1 13 1 3 133 12 31 32 32 12 113 13 1 3 322 113 53 3 163 253 II from 1 to 92 x2 4x 6 x2 2x 3 dx from 1 to 92 2x 9 dx x2 9x from 1 to 92 814 812 1 9 814 8 494 logo Área I II 253 494 24712 5ª Questão 26 pontos Determine o que se pede a 7 pontos lim x 7 3x²1lnx Indeterminação y 7 3x²1lnx lny 1lnx ln7 3x² lim x lny lim x ln7 3 x² lnx Aplico LHopital lim x 17 3x² 6x 1x lim x 6x 3x² 7 x 1 lim x 6x² 3x² 7 lim x 6x² x²3 7x² 2 logo se lim x lny 2 lim x y e² b 7 pontos Se y tglog2x sec3x² determine dydx dydx fg gf g² f sec²log2x 12x ln10 2 g tg3x² sec3x² 6x log base 10 ln base e dydx sec²log2x 12x ln10 2 sec²3x² tg3x² sec3x² 6x tglog2x I sec²3x² c 12 pontos from 3 to 3 8x² 4 x² dx Fazer a substituição x 2 senθ x 2 senθ π3 θ π3 dx 2 cosθ dθ from 2π3 to π3 8 2 cosθ 4 sen²θ 4 4 sen²θ dθ from 2π3 to π3 16 cosθ dθ 4 sen²θ 41sen²θ from 2π3 to π3 4 cosθ dθ sen²θ 2 cosθ 2 from 2π3 to π3 1sen²θ dθ 2 cotθ from 2π3 to π3 2 cotπ3 cot2π3 2 33 33 433 2º Semestre 2020 1ª Questão 30 pontos Faça o que se pede a 8 pontos Calcule lim x8 2x 4 x² 8x Indeterminação LHopital lim x8 1 22x 2 12x² 8x 2x 8 lim x8 x² 8x 2x x 4 0 b 12 pontos A reta de equação y x é tangente à curva de equação y x3 6x2 8x em um ponto P Determine a abscissa e a ordenada de P Reta tangente tem a fórmula No ponto x0fx0 y fx0x x0 fx0 y fx0x fx0x0 fx0 x Logo fx0 1 fx0 fx0x0 0 Como fx x3 6x2 8x fx 3x2 12x 8 fx0 3x02 12 x0 8 Quero fx0 1 3x02 12x0 8 1 3x02 12x0 9 0 x0 1 x0 3 Mas quero fx0 x0 0 e isso só acontece Se x0 3 logo abscissa 3 ordenada f3 3 Derivando implicitamente Média Integrar no intervalo e dividir pelo tamanho do inter valo I 0t 192 πt2 16 dt 192π 04 1 t2 16 dt 192 π 04 1 16 t42 1 dt 192 π 1 16 04 1 t42 1 dt Com μ t4 dμ dt 4 dt 4 dμ I 192 π 1 16 01 1 μ2 1 4 dμ 192 π 116 4 01 1 μ2 1 dμ 192 4π arctanμ01 192 4π π4 0 192 16 12 Logo Q média 12 4 3 milharessem Faremos integral da função de cima menos função debaixo mas precisamos achar o ponto de interseção da direita para termos o limite de integração 4ª Questão 30 pontos Resolva as integrais a seguir a 10 pontos x 5 4x2 dx x 5 4x2 dx μ 5 4x2 dμ 8x dx x dx 18 dμ 18 1μ dμ 18 μ12 dμ 18 2μ12 C 14 μ12 C 5 4x212 4 C b 10 pontos 3x2 cos5x dx Por partes μ 3x2 dμ 6x dν cos5x v sen5x5 μ dν μv v dμ 3x2 sen5x5 65 x sen5x dx partes novamente μ x dμ dx dν sen5x v cos5x5 3x2 sen5x5 65 x cos5x5 cos5x5 dx 3x2 sen5x5 6x cos5x25 65 sen5x25 c c 10 pontos 5x3 7x2 5x 2 x2 1 dx Dividindo os polinômios 5x3 7x2 5x 2 x2 1 5x 7 5x3 5x 7x2 2 7x2 7 5 logo 5x3 7x2 5x 2x2 1 dx x2 15x 7 x2 1 5 dx 5x 7 5x2 1 dx 5x2 2 7x 5 1x2 1 dx 5x2 2 7x 5 arctanx c 1o Semestre 2021 1a Questão 20 pontos Faça o que se pede a 8 pontos Calcule lim x0 2 2 cos22x 3 3 cos2x lim x0 21 cos22x 31 cos2x fatorando lim x0 21 cos22x1 cos2x 31 cos2x lim x0 21 cos2x 3 223 43 b 12 pontos Determine a derivada implícita da função sen3x5y 4xy 5 e2y Derivando implicitamente dos dois lados cos3x5y 35y 5y 3x 25y2 4 1y xy 2e2yy y 3x 5y2 cos3x5y 4x 2e2y 4y 35y cos3x5y logo y 4y 35y cos3x5y 3x 5y2 cos3x5y 4x 2e2y 2a Questão 20 pontos Considere o polinômio de 3 grau dado por fx ax3 bx2 48x 9 a 8 pontos Determine os valores de a e b para que as abscissas dos pontos críticos de fx sejam x1 4 e x2 2 Ponto crítico Derivada igual a zero fx 3ax2 2bx 48 f4 0 3a42 2b4 48 0 Concavidade para cima Segunda derivada positiva Concavidade para baixo Segunda derivada negativa c 6 pontos Determine a equação reduzida da reta tangente à função fx no ponto de abscissa x 1 Reta tangente em x x0 y fx0 x x0 fx0 Em x0 1 y f1x1 f1 f1 612 21 48 6 12 48 30 f1 213 612 481 9 f1 2 6 48 9 f1 31 logo y 30x1 31 y 30x 30 31 y 30x 1 3a Questão 22 pontos Resolva as integrais a seguir a 10 pontos x2 17 x3 dx Usar a substituição t x2 1 t x2 1 x2 t 1 dt 2xdx xdx 12 dt x2 17 x3 dx x2 17 x2 xdx t7 t1 12 dt 12 t8 t7 dt 12 t9 9 t8 8 c x2 19 18 x2 18 16 c b 12 pontos 2x3x3 3x2 4x 12 dx 3 é raiz do polinômio debaixo posso dividir ele por x3 x3 3x2 4x 12 x3 x3 3x2 4x 12 4x 12 0 2x3x3x2 4 dx frações parciais 2x3x3x2 4 Ax3 BxCx2 4 AB0 3B C2 4A 3C3 A 913 B 913 C 113 2x3x3x2 4 dx 913 1x3 dx 113 9x1x2 4 dx 913 lnx3 1139 xx2 4 dx 1x2 4 dx 913 lnx3 1139 lnx2 42 12 arctanx2 c 913 lnx3 926 lnx2 4 126 arctanx2 c Velocidade média integral no intervalo dividido pelo tamanho do intervalo Vmédia 035 x 36 126 kmh Afirmação correta 5ª Questão 20 pontos Determine a área total formada pelas parábolas de equação f₁x x² 4 e f₂x x² 2x conforme representação na figura a seguir Área I II I from 3 to 2 x² 4 x² 2x dx from 3 to 2 2x² 2x 4 dx 2 x³3 x²2 2x from 3 to 2 2 83 42 4 273 92 6 2 9 83 92 2 193 92 2 116 113 II from 2 to 1 x² 2x x² 4 dx from 2 to 1 2x² 2x 4 dx 2 x³3 x²2 2x from 2 to 0 Achando os limites de integração fazendo as interseções x³3 x²2 2x from 2 to 0 2³3 2²2 22 83 42 4 83 6 103 II from 0 to 1 x² 2x x 2 dx from 0 to 1 x² x 2 dx x³3 x²2 2x from 0 to 1 13 12 2 56 2 76 Área 103 76 276 2ª Questão 10 pontos Podemos afirmar que as retas tangentes às curvas 4x³ x² y x 5y 0 e x4 4y³ 5x y 0 são ortogonais na origem do sistema de coordenadas Justifique Derivando implicitamente ambas 12x² 2xy x² y 1 5y 0 em x0 origem 0 0 0 1 5y 0 y 15 coef da reta tangente 4x³ 4 3 y² y 5 y 0 em x0 0 0 5 y 0 y 5 coef da reta tangente 15 5 1 Logo as retas são perpendiculares 3ª Questão 20 pontos Um recipiente com a forma de um paralelepípedo de base quadrada deve ter um volume de 2000 cm³ O custo do material para a base e a tampa do recipiente é de 2 reais por cm² E o custo do material para as paredes laterais é de 1 real por cm² Encontre as dimensões do recipiente de menor custo Custo 1 base tampa 2 l² 2 4 l² Custo 2 lateral 4 l h 1 4 l h Custo total 4 l² 4 l h 4 l² 4 l h Cl 4 l² 4 l 2000 l² 4 l² 8000 l 4 l³ 8000 l Cl 12 l² l 4 l³ 8000 l² 8 l³ 8000 l² Cl 0 8 l³ 8000 0 l³ 1000 0 l³ 1000 l 10 Cl 0 l 10 Em l 10 há mínimo Logo l 10 h 2000 100 20 4ª Questão 50 pontos Determine o que se pede a seguir a 10 pontos lim x4 sqrtx2 sqrt2x4 sqrt12 lim x4 sqrtx 2 sqrtx 2 sqrt2x 4 12 sqrt2x 4 12 lim x4 x 4 sqrt2 sqrtx 2 2 sqrt3 2 sqrtx 2 x 4 sqrt12 2 sqrt3 8 b 10 pontos Se lim x0 xp² 11 ln x e2 e sabendo que p 0 determine o valor de p y xp² 11 ln x ln y p² 11 ln x ln x lim x0 ln y ln e2 p² 11 2 p² 9 p 3 pois p 0 d 15 pontos integral from 0 to 1240 of 2t 1 2t² 3t 2 dt Reta tangente horizontal Derivada igual a zero Valor médio integral no intervalo dividido pelo tamanho do intervalo Iméd 240 integral from 0 to 1240 of 2 sen 60 π t cos 120 π t dt 2 h0 2 cos 60 π t 60 π sen 120 π t 120 π01240 240 cos 22 π 4240 π sen 120 π 1 2 240 1 30 π 240 2 60 π 1 120 π 1 30 π 240 2 2 1 4 120 π 2 5 2 2 π 3ª Questão 18 pontos O gráfico abaixo representa as derivadas de 1ª e 2ª ordem de uma função fx desconhecida Utilizando os conceitos de estudo do comportamento de uma função analise as afirmações abaixo e assinale V para verdadeiro e F para falso a Falso pois apesar da derivada zerar ela não troca de sinal o que é necessário para ser máximo b Verdadeiro pois além da derivada trocar de sinal ela troca de negativo para positivo caracterizando um ponto de mínimo local c Verdadeiro pois nesse intervalo a derivada está abaixo do eixo x logo é negativa logo f decresce d Falso pois há partes nesse intervalo em que f0 pelo gráfico logo não é crescente nesse intervalo e Falso pois a segunda derivada não troca de sinal nesse ponto f Falso pois a segunda derivada nesse intervalo é negativa logo a função tem concavidade para baixo g Verdadeiro pois só em x3 a derivada troca de sinal h Falso ela muda apenas 2 vezes em x 0 e x2 onde f troca de sinal i Verdadeiro pois em nenhum momento a derivada troca de sinal de positivo para negativo 4ª Questão 20 pontos Determine o valor da área indicada sabendo as funções representadas são f1x x2 6x 4 f2x 2x 3 e f3x 2x 73 Achando a interseção 1 2x 3 2x 73 x 2 2 x2 6x 4 2x 3 x 1 ou x 7 3 x2 6x 4 2x 73 x 13 ou x 5 1 to 2 2x 3 x2 6x 4 dx x33 4x2 7x 1 to 2 83 2 to 5 2x 73 x2 6x 4 dx 83x2 53x x33 2 to 5 12 Área 83 12 443 5ª Questão 32 pontos Determine o que se pede a seguir a 8 pontos lim x 25 5x x2x 14 6 lim x 25 5x x2x 14 6 5x x5x x 2x 14 62x 14 6 lim x 25 2x 7 6x 252x 25x 5x lim x 25 2x 7 6 x 2x 5x 3 b 12 pontos ln2x dx Partes com u lnx2 du 2lnxx dx dv 1 v x ln2x x ln2x x 2lnxx dx x ln2x 2 lnx dx x ln2x 2x lnx 2x c c 12 pontos 2x 1x x2 1 dx Frações Parciais 2x 1xx2 1 dx Ax dx Bx Cx2 1 dx A B 0 C 2 A 1 A 1 B 1 C 2 1x dx xx2 1 dx 2x2 1 dx lnx 12 lnx2 1 2 arctanx c