Transformada de Fourier da Função Gaussiana

𝑠𝑡 𝛼 𝜋 𝑒 𝑊𝑡 𝜔 1 𝜋 𝑒 843 Sabemos que 𝑊𝑡 𝜔 1 2𝜋 6 𝑠 7𝑡 1 2 𝜏 𝑠 7𝑡 1 2 𝜏 𝑒𝑑𝜏 1 Substituindo 𝑠𝑡 𝑒 em 1 obtemos o seguinte 𝑊𝑡 𝜔 1 2𝜋 6 𝑠 7𝑡 1 2 𝜏 𝑠 7𝑡 1 2 𝜏 𝑒𝑑𝜏 1 𝑊𝑡 𝜔 1 2𝜋 6 𝛼 𝜋 𝑒 1 2 1 23 𝛼 𝜋 𝑒 1 2 1 23 𝑒𝑑𝜏 𝑊𝑡 𝜔 1 2𝜋 𝛼 𝜋 𝛼 𝜋 6 𝑒 1 2 1 2 1 2 1 23 𝑑𝜏 𝑊𝑡 𝜔 1 2𝜋 𝛼 𝜋 𝛼 𝜋 6 𝑒 1 2 1 2 1 21 23 𝑑𝜏 𝑊𝑡 𝜔 1 2𝜋 𝛼 𝜋 𝛼 𝜋 6 𝑒 71 2 1 2 8 91 21 2 𝑑𝜏 𝑊𝑡 𝜔 1 2𝜋 𝛼 𝜋 𝛼 𝜋 6 𝑒 9 1 2 1 2 𝑑𝜏 𝑊𝑡 𝜔 1 2𝜋 𝛼 𝜋 𝛼 𝜋 6 𝑒 9 1 2 𝑑𝜏 𝑊𝑡 𝜔 1 2𝜋 𝛼 𝜋 𝛼 𝜋 6 𝑒 𝑑𝜏 𝑊𝑡 𝜔 1 2𝜋 𝛼 𝜋 6 𝑒 𝑑𝜏 𝑊𝑡 𝜔 1 2𝜋 𝛼 𝜋 6 𝑒 71 2 8𝑒 𝑑𝜏 𝑊𝑡 𝜔 1 2𝜋 𝛼 𝜋 6 𝑒 71 2 8 𝑒 𝑑𝜏 𝑊𝑡 𝜔 1 2𝜋 𝛼 𝜋 6 𝑒 71 2 8 𝑒 𝑑𝜏 O integrando pode ser reescrito da seguinte forma 𝑒 1 2 𝑒 A B 1 2 CD 1 2 1 2E Assim a transformada de Fourier será 𝑊𝑡 𝜔 1 2𝜋 𝛼 𝜋 6 𝑒 A B 1 2 CD 1 2 1 2E 𝑑𝜏 𝑊𝑡 𝜔 1 2𝜋 𝛼 𝜋 6 𝑒 A B 1 2 CD 𝑒 1 2 1 2𝑑𝜏 𝑊𝑡 𝜔 1 2𝜋 𝛼 𝜋 𝑒 1 2 1 2 6 𝑒 A B 1 2 CD 𝑑𝜏 Sabemos que Provar httpswwwyumpucomptdocumentread51361816calculodatransformadadefourier dafuncaogaussiana 6 𝑒FG𝑑𝑥 𝜋 𝛽 Então 𝑊𝑡 𝜔 1 2𝜋 𝛼 𝜋 𝑒 1 2 1 2 𝜋 𝛼 𝑊𝑡 𝜔 1 2𝜋 𝛼 𝜋 𝜋 𝛼 𝑒 1 2 1 2 𝑊𝑡 𝜔 1 2𝜋 𝜋 𝛼 𝑒 H 1 2 I 𝑊𝑡 𝜔 1 2𝜋 𝛼 𝜋 𝜋 𝛼 𝑒 H 1 2 I 𝑊𝑡 𝜔 1 2𝜋 𝑒J KLM 𝑊𝑡 𝜔 1 2𝜋 𝑒J M 𝑊𝑡 𝜔 1 2𝜋 𝑒J M 𝑊𝑡 𝜔 1 2𝜋 𝑒J M 𝑊𝑡 𝜔 1 2𝜋 𝑒J M 𝑊𝑡 𝜔 1 2𝜋 𝑒 H I 𝑊𝑡 𝜔 1 2𝜋 𝑒 𝑊𝑡 𝜔 1 2𝜋 𝑒 𝑊𝑡 𝜔 1 2𝜋 𝑒