·
Cursos Gerais ·
Outros
Envie sua pergunta para a IA e receba a resposta na hora
Texto de pré-visualização
by Ivan Chueiri Pontifícia Universidade Católica do Paraná Escola Politécnica Análise de Circuitos Elétricos by Ivan Chueiri Pontifícia Universidade Católica do Paraná Escola Politécnica 9 Senoides e Fasores ijC2021 Até agora todas as análises realizadas a circuitos se limitaram a corrente continua DC o que significa circuitos alimentados por fontes de tensão ou corrente constantes ou seja que não variam com o tempo Neste capítulo iniciaremos a análise de circuitos elétricos variantes no tempo ou seja as fontes de tensão ou corrente variam no tempo Senoide é um sinal que possui a forma da função seno ou cosseno ijC2021 91 Introdução O primeiro gerador de corrente alternada foi construído pelo fabricante de instrumentos Hippolyte Pixxii em 1832 na cidade de Paris baseado no princípio da indução eletromagnética descoberta por Michael Faraday Anos depois Heinrich Rudolf Hertz demonstrou que as ondas eletromagnéticas obedecem às mesmas leis fundamentais da luz Seu trabalho confirmou a teoria predita por James Clerk Maxwell de que tais ondas existiam Em sua homenagem a unidade de frequência Hz leva o seu sobrenome 91 Introdução ijC2021 Em 1822 o matemático Joseph Fourier descobriu que ondas senoidais podem ser usadas como blocos para construir ou descrever qualquer onda periódica incluindo ondas quadradas Fourier usou isto como uma ferramenta analítica no estudo das ondas e dos fluxos de calor Atualmente séries de Fourier são usadas em processamento de sinais DSPs e análise estatísticas de séries temporais Qualquer forma de onda não senoidal tais como ondas quadradas ou triangulares são um conjunto de ondas senoidais de diferente períodos e frequências associadas A técnica para se transformar uma forma de onda complexa em suas componentes sinusoidais é chamada de transformadas de Fourier 91 Introdução ijC2021 Como informação duas são as formas de se trabalhar com as transformadas de Fourier I FFT Fast Fourier Transform FFT permite converter sinais no domínio do tempo para o domínio da frequência 91 Introdução ijC2021 Como informação duas são as formas de se trabalhar com as transformadas de Fourier II DFT Discrete Fourier Transform Análise comparativa de desempenho de duas buchas capacitivas utilizando DFT 91 Introdução ijC2021 Considerando uma tensão senoidal 92 Senóides ijC2021 Considerando uma tensão senoidal teremos vt Vm sen ωt Onde Vm amplitude do sinal senoidal V ω frequência angular em radianoss rads ωt argumento da senoide ω 2πf Assim podemos visualizar o sinal senoidal no domínio da frequência e no domínio do tempo Percebese que a senoide se repete a cada T segundos portanto T é chamado de período da senoide Então um sinal senoidal é descrito como um sinal contínuo periódico e simétrico 92 Senoides ijC2021 Uma vez que ωT 2π podemos definir período como Uma vez que vt repetese a cada T segundos é demonstrado substituindose t por t T onde se tem 92 Senoides ijC2021 Ou seja v terá o mesmo valor em t T que aquele em t de forma que vt é um sinal periódico Por definição Função Periódica é aquela que satisfaz ft ft nT para todo o t e para todos os inteiros de n Uma vez que o período T da função periódica sinal senoidal é o tempo de um ciclo completo ou o número de segundos por ciclo o inverso desse valor é o número de ciclos por segundo conhecido como frequência da senoide a partir da expressão da frequência e da expressão de período temos 92 Senoides ijC2021 Tomando a expressão genérica para uma senoide que é Onde ωt Φ é o argumento e Φ é a fase A partir de duas senoides teremos 92 Senoides ijC2021 O ponto de partida de referência será v2 consequentemente dizemos que v2 está adiantado de v1 em Φ dizemos que v1 está atrasado em relação a v2 Se Φ 0 dizemos que v1 está em fase com v2 Se Φ 0 dizemos que v1 está defasado de v2 92 Senoides ijC2021 Como já vimos que um sinal ou forma de onda senoidal pode ser expressa em termos de seno ou cosseno é indicado que sejam expressadas ambas como seno ou cosseno principalmente em resoluções de exercícios Assim um conjunto de tensões ou correntes podem ser expressos como seno ou então cosseno com amplitudes positivas Isto é conseguido usandose as identidades 92 Senoides ijC2021 Usando estas relações podemos transformar uma senoide na forma de seno em uma senoide na forma de cosseno ou viceversa Usando o método gráfico para relacionar sinais senoidais como uma alternativa em relação ao emprego de identidades trigonométricas A primeira figura mostra no eixo das ordenadas o seno e nas abcissas o cosseno Os ângulos são medidos positivamente no sentido antihorário à partir da função cosseno Esta técnica é utilizada para relacionar duas senoides Neste caso subtrair 90º do argumento de cos ωt em sen ωt resulta em sen ωt ou cos ωt 90º sen ωt 92 Senoides ijC2021 De forma similar somandose 180º ao argumento de sen ωt resulta em sen ωt ou sen ωt 180º que vem a ser igual a sen ωt 92 Senoides ijC2021 A técnica gráfica pode ser usada para somar duas senoides de mesma frequência quando uma encontrase na forma de seno e a outra na forma de cosseno Para somar A cos ωt e B sen ωt onde A é a magnitude de cos ωt e B a magnitude de sen ωt mostrado ao lado A magnitude e o argumento do sinal senoidal resultante na forma de cosseno é obtida através do triângulo portanto 92 Senoides ijC2021 Como exemplo somar 3 cos wt e 4 sem wt ijC012020 92 Senoides 49 Determinar a Amplitude a Fase o Período e a Frequência da senoide Vt 127 cos377t 12º V 92 Senoides ijC2021 50 Determinar a Amplitude a Fase a Frequência Angular o Período e a Frequência da senoide Vt 220 sen9πt 32º V 92 Senoides ijC2021 51 Uma fonte de Corrente em um circuito linear é de iS 15 cos25πt 25º A a Qual a amplitude da Corrente b Qual a frequência angular c Qual a frequência da corrente d Calcular iS para t 3ms 92 Senoides ijC2021 52 Dada uma tensão senoidal vt 110 cos 60t 20º V determinar a A tensão b O período T c A frequência f d Calcular vt para t 10ms 92 Senoides ijC2021 53 Dada a tensão v1t 20 senωt 60º V e v2t 60 cosωt 10º V determinar o ângulo de fase entre as duas senoides e indicar qual delas está atrasada em relação à outra 92 Senoides ijC2021 FASOR é um número complexo que representa a AMPLITUDE e a fase de uma SENOIDE Na aula anterior aprendemos como representar o valor de uma tensão ou corrente senoidal no domínio do tempo agora veremos a sua representação na forma fasorial Representação no Representação no domínio do tempo domínio dos fasores Esta técnica foi introduzida pelo engenheiro e matemático Charles Proteus Steinmetz 18651923 de origem austrogermânica Seu trabalho de grande importância veio a facilitar os cálculos utilizados em AC principalmente no setor elétrico onde hoje a medição sincrofasorial é uma das áreas como o nome já diz a utilizar fasores para cálculos de flutuações tensão corrente e frequências Monitorar potência perdas monitoramento de equipamentos entre outros PMU Phasor Measurement Unit 93 Fasores ijC2021 MEDIÇÃO SINCROFASORIAL PMU Em 1893 Charles Proteus Steinmetz apresentou um artigo sobre descrição matemática simplificada das formas de ondas da eletricidade em corrente alternada Chamou sua representação de fasor Com a invenção das unidades de medição fasorial PMU em 1988 pelos pesquisadores Arun G Phadke e James S Thorp da Virginia Tech a técnica de cálculo fasorial de Steinmetz evoluiu para o cálculo de medidas fasorial em tempo real que são sincronizadas com um valor absoluto referência de tempo fornecida pelo Sistema de Posicionamento Global através de uma estampa de tempo chamada IRIGB Portanto nos referimos às medições fasoriais sincronizadas como sincrofasores Os primeiros protótipos da PMU foram construídos na Virginia Tech e a empresa Macrodyne construiu a primeira PMU modelo 1690 em 1992 IRIG InterRange Instrumentation Group 93 Fasores ijC2021 IRIG InterRange Instrumentation Group Os códigos do Grupo de Instrumentação de InterAlcance conhecidos como IRIG existem desde 1960 quando foram introduzidos pela primeira vez como parte de um padrão do exército americano Desde então eles passaram por diversas atualizações que incluíram várias designações tendo sido atribuído letras do alfabeto para diferenciar as formas de informação de sincronização transmitida IRIGB opera a uma taxa de 100 PPS Pacotes por segundo em intervalos de 10ms permitindo fazer o sincronismo de relés de proteção em usinas e subestações auxilia também na sincronização entre usinas juntamente com as PMUs Assim as PMUs utilizam o sistema IRIG para funcionarem de modo sincronizado 93 Fasores ijC2021 IRIG InterRange Instrumentation Group RESUMO O protocolo IRIGB é amplamente utilizado por serviços públicos e outros para garantir o sincronismo de tempo dos dispositivos de energia elétrica tais como relés de proteção disjuntores de subestações e usinas e medidores de energia principalmente os do tipo Classe A Referência TN102 May2016 IRIG STANDARD 20004 93 Fasores ijC2021 Com o incremento crescente dos recursos energéticos distribuídos na rede elétrica torna se necessário o uso de sistemas mais precisos para observação e controle para monitorar com precisão o fluxo de energia elétrica Historicamente a energia elétrica sempre foi distribuída de modo unidirecional onde consumidores passivos ou seja clientes e concessionárias distribuidoras de energia se utilizam da mesma Com o evento da geração distribuída com a chegada dos painéis fotovoltaicos e principalmente a geração eólica este cenário começou a mudar e exigir maior monitoramento das redes elétricas No Brasil este gerenciamento é realizado pelo ONS Operador Nacional do Sistema que controla o SIM Sistema Interligado Nacional e a maior preocupação é com as geradoras eólicas pois estas não são sincronizadas e causam grandes perturbações no sistema integrado podendo causar blackouts Dada esta situação a frequência da rede a tensão e a corrente elétrica devem ser medidas e reguladas para garantir a qualidade e o padrão que o consumidor necessita 93 Fasores ijC2021 Como vimos então o uso de fasores iniciase com o trabalho de Charles Proteus Steinmetz em 1893 e continua até os dias hoje A partir deste resumo podemos ver a importâcia da utilização de FASORES na disciplina Análise de Circuitos Elétricos na sua parte AC Desta forma os fasores constituemse de maneira simples para analisar circuitos lineares excitados por fontes senoidais onde encontrar a solução para circuitos desse tipo seria impraticável de outra maneira Fasores utilizase de números complexos para executar seus cáculos e obter os resultados a partir de uma tensão e uma corrente Um número complexo pode ser escrito inicialmente na forma retangular como 93 Fasores ijC2021 Aproximadamente no ano de 850 AC o matemático Mahavira afirmava como na natureza das coisa um negativo não é um quadrado ele não tem portanto raiz quadrada 93 Fasores Em 1629 Albert Girard utiliza efetivamente o símbolo 1 quando enuncia as relações entre raízes e coeficientes de uma equação O símbolo foi usado pela primeira vez em 1794 por Leonard Euler para representar 1 tornandose aceito após o seu uso por Carl Gauss em 1801 Os termos real e imaginário foram empregados pela primeira vez em 1637 por René Descartes A expressão número complexo foi introduzida por Carl Gauss em 1832 ijC2021 Logo j 2 1 onde x é a parte real e y a parte imaginária de um número complexo isto é Números complexos podem ser representados de três maneiras Onde a forma usual é a polar 93 Fasores ijC2021 A relação entre a forma retangular e a forma polar é mostrada na figura ao lado onde a parte real está representada no eixo x abcissas e a parte imaginário no eixo y ordenadas A partir dos valores de x e y podese obter r e Φ como mostrado abaixo onde Deste modo z será 93 Fasores ijC2021 As operações com números complexos com intuito de facilitar a forma de resolver é feita da seguinte forma As operações de Adição e Subtração de números complexos são realizadas na forma retangular ADIÇÃO SUBTRAÇÃO 93 Fasores ijC2021 Já as operações de Multiplicação e Divisão de números complexos tornamse mais fáceis na forma polar MULTIPLICAÇÃO DIVISÃO INVERSO No modo inverso 93 Fasores ijC2021 RAIZ QUADADA CONJUGADO COMPLEXO 93 Fasores ijC2021 A ideia da representação de um fasor baseiase na identidade de Euler que é dada por Onde é demonstrado que podemos considerar cos Φ e sen Φ como as partes real e imaginária de e jΦ e poder ser representada da seguinte forma Onde Re e Im significam a parte Real e Imaginária de e jΦ assim Tomando a tensão senoidal no domínio do tempo 93 Fasores ijC2021 Que resulta em Onde a expressão de tensão será E a representação fasorial de tensão ou corrente será 93 Fasores ijC2021 V é portanto a representação fasorial da senoide vt como dito anteriormente Em outras palavras fasor é uma representação complexa da magnitude e fase de uma senoide Um fasor é considerado o equivalente matemático de uma senoide sem a dependência do tempo 93 Fasores ijC2021 A partir do gráfico do seno Ve jωt Vm ejωt Φ no plano complexo podemos ver que à medida que o tempo cresce esse seno gira em um círculo de raio Vm em uma velocidade angular ω no sentido antihorário Considerando vt como a projeção do seno no modo fasorial Ve jωt no eixo real visto na senoide abaixo representada O valor do seno no modo fasorial no instante t0 e o fasor V da senoide vt O seno fasorial é considerado um fasor rotacional consequentemente toda vez que uma senoide for expressa como fasor o termo e jωt estará implicitamente presente Assim é importante ao trabalhar com fasores ter em mente a frequência ω do fasor caso contrário cometeremos erros de cálculo 93 Fasores ijC2021 A figura ao lado mostra um diagrama fasorial onde temos tensão e corrente representadas neste diagrama E utilizando a relação abaixo Assim dado uma senoide Obtemos o fasor correspondente 93 Fasores ijC2021 A tabela abaixo mostra representação no domínio do tempo e no domínio da frequência 93 Fasores ijC2021 A partir das expressões Derivando a tensão em função do tempo teremos 93 Fasores ijC2021 Isto mostra que a derivada de vt é transformada no domínio dos fasores como jωV A expressão dvdt possibilita a substituição de uma derivada em relação ao tempo com a multiplicação de jω no domínio de fasores Da mesma forma a integral de vt é transformada no domínio dos fasores como V jω A expressão vdt possibilita a substituição de uma integral em relação ao tempo pela divisão por jω no domínio de fasores 93 Fasores ijC2021 Diferenças entre domínio do tempo e fasor 93 Fasores ijC2021 54 Calcular a expressão abaixo e mostrar o resultado na forma fasorial ou polar Números Complexos ijC2021 55 Calcular a expressão abaixo e mostrar o resultado na forma retangular Números Complexos ijC2021 56 Calcular a expressão abaixo e mostrar o resultado na forma retangular Números Complexos ijC2021 Uma vez que já se tem conhecimento de como representar a tensão e corrente no domínio da frequência ou fasores a próxima etapa é entender e aplicar este conceito em circuitos AC contendo os componentes ou dispositivos R L e C Para isto é necessária a transformação a relação tensãocorrente do domínio do tempo para o domínio da frequência em cada um destes componentes 94 Relação entre Fasores ijC2021 94 Relação entre Fasores RESISTORES Se a corrente através de um resistor for i Im cosωt Φ a queda de tensão sobre ele será dada pela Lei de Ohm e o fasor desta tensão será porém a representação fasorial da corrente é I Im Φ logo ijC2021 94 Relação entre Fasores INDUTORES Se a corrente através de um indutor for i Im cosωt Φ a queda de tensão sobre ele será Como seno A cosA 90º teremos o fasor desta tensão será Porém I Im Φ logo Uma vez que a fase é Φ 90º a tensão e a corrente estarão fora de fase em 90º e a corrente atrasada em relação a tensão ijC2021 94 Relação entre Fasores CAPACITORES Se a tensão através de um capacitor for v Vm cosωt Φ a corrente através dele será Como cos A seno A 90º teremos o fasor desta corrente será Porém V Vm Φ logo Uma vez que a fase é Φ 90º a tensão e a corrente estarão fora de fase em 90º e a tensão atrasada em relação a corrente ijC2021 94 Relação entre Fasores Resumo das relações tensãocorrente ijC2021 57 Transformar as senoides abaixo em fasores 94 Relação entre Fasores ijC2021 58 Obter os valores senoidais correspondentes a cada um dos fasores abaixo 94 Relação entre Fasores ijC2021 59 Obter os valores senoidais correspondentes a cada um dos fasores abaixo 94 Relação entre Fasores ijC2021 95 Impedância e Admitância Na tabela anterior vimos as relações tensãocorrente para os três dispositivos passivos que são Esta equações podem ser escritas em termos da razão entre a tensão e a corrente no modo fasorial que são Das expressões acima obtemos a Lei de Ohm na forma fasorial para qualquer tipo de componente onde Z é Impedância ijC2021 95 Impedância e Admitância A impedância representa a oposição que um circuito oferece ao fluxo de corrente senoidal Embora seja a razão entre dois fasores sua resposta não é um fasor pois não corresponde a uma quantidade que varia como um sinal senoidal ijC2021 95 Impedância e Admitância Observase da tabela que Considerando dois casos extremos da frequência angular Quando ω 0 e quando ω teremos os seguintes comportamentos para o capacitor e o indutor tanto em DC ω 0 como em AC ω O capacitor em DC é um circuito aberto e para AC como um curto circuito Um capacitor descarregado comporta se como um curtocircuito Ao ser carregado em DC tornase um circuito aberto Já em AC comportase como um curto circuito em função da sua reatância capacitiva XC ijC2021 95 Impedância e Admitância O indutor por sua vez em DC é um curtocircuito para AC como um circuito aberto Em AC comportase como um circuito aberto em função da sua reatância indutiva XL Sendo um valor complexo a impedância pode ser expressa na forma retangular Onde R ReZ é a resistência e X ImZ é a reatância A reatância X pode ser positiva ou negativa ijC2021 95 Impedância e Admitância A reatância X pode ser positiva ou negativa Uma Reatância Indutiva será positiva e uma Reatância Capacitiva será negativa Reatância Indutiva ou atrasada porque a corrente está atrasada em relação à tensão Reatância Capacitiva ou avançada porque a corrente está adiantada em relação à tensão Impedância resistência e reatância são todas medidas em Ohms A impedância pode ser expressa na forma polar como ijC2021 95 Impedância e Admitância ijC2021 Comparando as expressões Temos Onde E 95 Impedância e Admitância Em algumas situações principalmente na resolução de problemas é mais conveniente trabalhar com o inverso da Impedância conhecida como Admitância Isto vai depender da topologia do circuito ijC2021 95 Impedância e Admitância Sendo também um valor complexo a admitância Y pode ser escrita na forma abaixo Onde G ReY é chamada de Condutância e B ImY é chamada de Susceptância Admitância Condutância e Susceptância são expressas em Siemens ou Mhos onde a partir de ijC2021 95 Impedância e Admitância Por racionalização teremos Demonstrando que G 1R como acontece em circuitos resistivos logo se X 0 então G 1R ijC2021 60 Determinar o valor da corrente i quando vst 50 cos200t V ijC2021 95 Impedância e Admitância 61 Dado o circuito abaixo determinar a tensão v0t sobre o indutor Dar a resposta no domínio do tempo ijC2021 95 Impedância e Admitância 62 Dado o circuito abaixo determinar a tensão vt e it Dar as respostas no domínio do tempo ijC2021 95 Impedância e Admitância 63 Dado o circuito abaixo determinar a admitância ijC2021 95 Impedância e Admitância 64 Dada a fonte de corrente com iS 5 cos10t 40º calcular o valor da corrente i0 Dar a resposta no domínio do tempo ijC2021 95 Impedância e Admitância No domínio da frequência ou então circuitos AC para analisarmos os circuitos se faz necessária a utilização das Leis de Kirchhoff tal qual já as utilizamos em circuitos DC Para circuito no domínio do tempo ou frequência cada componente será representado por uma impedância Z 96 Leis de Kirchhoff no domínio da frequência ijC2021 Para Lei de Kirchhoff para Tensões KVL temos v1 v2 v3 vn como tensões de um laço fechado então No regime estacionário senoidal steady state as tensões escritas na forma de cosseno serão Podendo serem escritas como fasores Onde Vk Vmk e jϴk Uma vez que e jωt 0 logo 96 Leis de Kirchhoff no domínio da frequência ijC2021 Para Lei de Kirchhoff para Correntes KCL temos i1 i2 i3 in como correntes que entram e saem em um circuito então No regime estacionário senoidal steady state as tensões escritas na forma de cosseno serão Podendo serem escritas como fasores Onde Ik Imk e jϴk Uma vez que e jωt 0 logo 96 Leis de Kirchhoff no domínio da frequência ijC2021 65 Dado o circuito abaixo determinar a impedância total ZT e a corrente I Dar a resposta no modo fasorial ijC2021 96 Leis de Kirchhoff no domínio da frequência Considerandose N impedâncias associadas em série onde a mesma corrente flui através destas impedâncias e aplicandose a LKT teremos Conforme o circuito abaixo a impedância equivalente será dada pela soma das impedâncias ou a impedância equivalente será 97 Associações de Impedâncias ijC2021 Um exemplo simples é o circuito abaixo onde N 2 Neste caso a corrente total que circula pelo circuito será Uma vez que V1 Z1 I e V2 Z2 I teremos ijC2021 97 Associações de Impedâncias Considerandose N impedâncias associadas em paralelo onde a tensão em cada uma das impedâncias possui o mesmo valor e aplicandose a LKC teremos Conforme o circuito abaixo a impedância equivalente será dada pela soma das impedâncias em paralelo Onde a Admitância equivalente será ijC2021 97 Associações de Impedâncias O exemplo simples é o circuito abaixo onde N 2 Neste caso a impedância equivalente do circuito será Uma vez que ijC2021 97 Associações de Impedâncias As transformações EstrelaTriângulo e TriânguloEstrela descritas no Capítulo 2 27 também são válidas para impedâncias conversão Y Δ ijC2021 97 Associações de Impedâncias As transformações EstrelaTriângulo e TriânguloEstrela descritas no Capítulo 2 27 também são válidas para impedâncias conversão Δ Y ijC2021 97 Associações de Impedâncias As transformações EstrelaTriângulo e TriânguloEstrela descritas no Capítulo 2 27 também são válidas para impedâncias conversão Y Δ conversão Δ Y ijC2021 97 Associações de Impedâncias Em circuitos AC podemos afirmar que um circuito triângulo ou estrela está em equilíbrio se este possuir impedâncias iguais em todos os três ramos Onde e ijC2021 97 Associações de Impedâncias 66 Dado o circuito abaixo determinar a impedância de entrada ZIN Dar a resposta no modo retangular ijC2021 97 Associações de Impedâncias 98 Comutadores de fases Comutadores de fases são utilizados para gerar defasamentos entre sinais harmônicos ou corrigir deslocamentos indesejados que aparecem em circuitos São utilizados em correções de circuitos que utilizam filtros RL RC ou RLC sendo que os componentes L e C sempre causam defasagens Comutadores de fases são utilizados para gerar defasamentos entre sinais harmônicos ou corrigir deslocamentos indesejados que aparecem em circuitos São utilizados em correções de circuitos que utilizam filtros RL RC ou RLC sendo que os componentes L e C sempre causam defasagens ijC2021 98 Comutadores de fases No primeiro circuito a corrente I está adiantada em relação a tensão VIN aplicada ao ângulo ϴ onde este ângulo varia de 0 ϴ 90º dependendo dos valores de R e C Dado que XC 1ω C logo a impedância será Z R j XC e o deslocamento será ϴ tg1 XC R Neste caso VOUT estará adiantada em relação à entrada VIN e teremos um deslocamento de fase positivo ijC2021 98 Comutadores de fases No segundo circuito a tensão VOUT é medida sobre o capacitor O avanço da corrente I em relação à entrada VIN é dado por ϴ porém a tensão de saída VOUT sobre o capacitor está atrasada em relação a tensão de entrada VIN Isto configura um deslocamento de fase positivo ijC2021 98 Comutadores de fases No segundo circuito a tensão VOUT é medida sobre o capacitor O avanço da corrente I em relação à entrada VIN é dado por ϴ porém a tensão de saída VOUT sobre o capacitor está atrasada em relação a tensão de entrada VIN Isto configura um deslocamento de fase positivo Devese levar em conta que em função da reatância os circuitos acima podem se transformar em divisores de tensão atenuando o sinal de saída ijC2021 Próximo assunto ijC2021 10 Análise em Regime Estacionário Senoidal
Envie sua pergunta para a IA e receba a resposta na hora
Texto de pré-visualização
by Ivan Chueiri Pontifícia Universidade Católica do Paraná Escola Politécnica Análise de Circuitos Elétricos by Ivan Chueiri Pontifícia Universidade Católica do Paraná Escola Politécnica 9 Senoides e Fasores ijC2021 Até agora todas as análises realizadas a circuitos se limitaram a corrente continua DC o que significa circuitos alimentados por fontes de tensão ou corrente constantes ou seja que não variam com o tempo Neste capítulo iniciaremos a análise de circuitos elétricos variantes no tempo ou seja as fontes de tensão ou corrente variam no tempo Senoide é um sinal que possui a forma da função seno ou cosseno ijC2021 91 Introdução O primeiro gerador de corrente alternada foi construído pelo fabricante de instrumentos Hippolyte Pixxii em 1832 na cidade de Paris baseado no princípio da indução eletromagnética descoberta por Michael Faraday Anos depois Heinrich Rudolf Hertz demonstrou que as ondas eletromagnéticas obedecem às mesmas leis fundamentais da luz Seu trabalho confirmou a teoria predita por James Clerk Maxwell de que tais ondas existiam Em sua homenagem a unidade de frequência Hz leva o seu sobrenome 91 Introdução ijC2021 Em 1822 o matemático Joseph Fourier descobriu que ondas senoidais podem ser usadas como blocos para construir ou descrever qualquer onda periódica incluindo ondas quadradas Fourier usou isto como uma ferramenta analítica no estudo das ondas e dos fluxos de calor Atualmente séries de Fourier são usadas em processamento de sinais DSPs e análise estatísticas de séries temporais Qualquer forma de onda não senoidal tais como ondas quadradas ou triangulares são um conjunto de ondas senoidais de diferente períodos e frequências associadas A técnica para se transformar uma forma de onda complexa em suas componentes sinusoidais é chamada de transformadas de Fourier 91 Introdução ijC2021 Como informação duas são as formas de se trabalhar com as transformadas de Fourier I FFT Fast Fourier Transform FFT permite converter sinais no domínio do tempo para o domínio da frequência 91 Introdução ijC2021 Como informação duas são as formas de se trabalhar com as transformadas de Fourier II DFT Discrete Fourier Transform Análise comparativa de desempenho de duas buchas capacitivas utilizando DFT 91 Introdução ijC2021 Considerando uma tensão senoidal 92 Senóides ijC2021 Considerando uma tensão senoidal teremos vt Vm sen ωt Onde Vm amplitude do sinal senoidal V ω frequência angular em radianoss rads ωt argumento da senoide ω 2πf Assim podemos visualizar o sinal senoidal no domínio da frequência e no domínio do tempo Percebese que a senoide se repete a cada T segundos portanto T é chamado de período da senoide Então um sinal senoidal é descrito como um sinal contínuo periódico e simétrico 92 Senoides ijC2021 Uma vez que ωT 2π podemos definir período como Uma vez que vt repetese a cada T segundos é demonstrado substituindose t por t T onde se tem 92 Senoides ijC2021 Ou seja v terá o mesmo valor em t T que aquele em t de forma que vt é um sinal periódico Por definição Função Periódica é aquela que satisfaz ft ft nT para todo o t e para todos os inteiros de n Uma vez que o período T da função periódica sinal senoidal é o tempo de um ciclo completo ou o número de segundos por ciclo o inverso desse valor é o número de ciclos por segundo conhecido como frequência da senoide a partir da expressão da frequência e da expressão de período temos 92 Senoides ijC2021 Tomando a expressão genérica para uma senoide que é Onde ωt Φ é o argumento e Φ é a fase A partir de duas senoides teremos 92 Senoides ijC2021 O ponto de partida de referência será v2 consequentemente dizemos que v2 está adiantado de v1 em Φ dizemos que v1 está atrasado em relação a v2 Se Φ 0 dizemos que v1 está em fase com v2 Se Φ 0 dizemos que v1 está defasado de v2 92 Senoides ijC2021 Como já vimos que um sinal ou forma de onda senoidal pode ser expressa em termos de seno ou cosseno é indicado que sejam expressadas ambas como seno ou cosseno principalmente em resoluções de exercícios Assim um conjunto de tensões ou correntes podem ser expressos como seno ou então cosseno com amplitudes positivas Isto é conseguido usandose as identidades 92 Senoides ijC2021 Usando estas relações podemos transformar uma senoide na forma de seno em uma senoide na forma de cosseno ou viceversa Usando o método gráfico para relacionar sinais senoidais como uma alternativa em relação ao emprego de identidades trigonométricas A primeira figura mostra no eixo das ordenadas o seno e nas abcissas o cosseno Os ângulos são medidos positivamente no sentido antihorário à partir da função cosseno Esta técnica é utilizada para relacionar duas senoides Neste caso subtrair 90º do argumento de cos ωt em sen ωt resulta em sen ωt ou cos ωt 90º sen ωt 92 Senoides ijC2021 De forma similar somandose 180º ao argumento de sen ωt resulta em sen ωt ou sen ωt 180º que vem a ser igual a sen ωt 92 Senoides ijC2021 A técnica gráfica pode ser usada para somar duas senoides de mesma frequência quando uma encontrase na forma de seno e a outra na forma de cosseno Para somar A cos ωt e B sen ωt onde A é a magnitude de cos ωt e B a magnitude de sen ωt mostrado ao lado A magnitude e o argumento do sinal senoidal resultante na forma de cosseno é obtida através do triângulo portanto 92 Senoides ijC2021 Como exemplo somar 3 cos wt e 4 sem wt ijC012020 92 Senoides 49 Determinar a Amplitude a Fase o Período e a Frequência da senoide Vt 127 cos377t 12º V 92 Senoides ijC2021 50 Determinar a Amplitude a Fase a Frequência Angular o Período e a Frequência da senoide Vt 220 sen9πt 32º V 92 Senoides ijC2021 51 Uma fonte de Corrente em um circuito linear é de iS 15 cos25πt 25º A a Qual a amplitude da Corrente b Qual a frequência angular c Qual a frequência da corrente d Calcular iS para t 3ms 92 Senoides ijC2021 52 Dada uma tensão senoidal vt 110 cos 60t 20º V determinar a A tensão b O período T c A frequência f d Calcular vt para t 10ms 92 Senoides ijC2021 53 Dada a tensão v1t 20 senωt 60º V e v2t 60 cosωt 10º V determinar o ângulo de fase entre as duas senoides e indicar qual delas está atrasada em relação à outra 92 Senoides ijC2021 FASOR é um número complexo que representa a AMPLITUDE e a fase de uma SENOIDE Na aula anterior aprendemos como representar o valor de uma tensão ou corrente senoidal no domínio do tempo agora veremos a sua representação na forma fasorial Representação no Representação no domínio do tempo domínio dos fasores Esta técnica foi introduzida pelo engenheiro e matemático Charles Proteus Steinmetz 18651923 de origem austrogermânica Seu trabalho de grande importância veio a facilitar os cálculos utilizados em AC principalmente no setor elétrico onde hoje a medição sincrofasorial é uma das áreas como o nome já diz a utilizar fasores para cálculos de flutuações tensão corrente e frequências Monitorar potência perdas monitoramento de equipamentos entre outros PMU Phasor Measurement Unit 93 Fasores ijC2021 MEDIÇÃO SINCROFASORIAL PMU Em 1893 Charles Proteus Steinmetz apresentou um artigo sobre descrição matemática simplificada das formas de ondas da eletricidade em corrente alternada Chamou sua representação de fasor Com a invenção das unidades de medição fasorial PMU em 1988 pelos pesquisadores Arun G Phadke e James S Thorp da Virginia Tech a técnica de cálculo fasorial de Steinmetz evoluiu para o cálculo de medidas fasorial em tempo real que são sincronizadas com um valor absoluto referência de tempo fornecida pelo Sistema de Posicionamento Global através de uma estampa de tempo chamada IRIGB Portanto nos referimos às medições fasoriais sincronizadas como sincrofasores Os primeiros protótipos da PMU foram construídos na Virginia Tech e a empresa Macrodyne construiu a primeira PMU modelo 1690 em 1992 IRIG InterRange Instrumentation Group 93 Fasores ijC2021 IRIG InterRange Instrumentation Group Os códigos do Grupo de Instrumentação de InterAlcance conhecidos como IRIG existem desde 1960 quando foram introduzidos pela primeira vez como parte de um padrão do exército americano Desde então eles passaram por diversas atualizações que incluíram várias designações tendo sido atribuído letras do alfabeto para diferenciar as formas de informação de sincronização transmitida IRIGB opera a uma taxa de 100 PPS Pacotes por segundo em intervalos de 10ms permitindo fazer o sincronismo de relés de proteção em usinas e subestações auxilia também na sincronização entre usinas juntamente com as PMUs Assim as PMUs utilizam o sistema IRIG para funcionarem de modo sincronizado 93 Fasores ijC2021 IRIG InterRange Instrumentation Group RESUMO O protocolo IRIGB é amplamente utilizado por serviços públicos e outros para garantir o sincronismo de tempo dos dispositivos de energia elétrica tais como relés de proteção disjuntores de subestações e usinas e medidores de energia principalmente os do tipo Classe A Referência TN102 May2016 IRIG STANDARD 20004 93 Fasores ijC2021 Com o incremento crescente dos recursos energéticos distribuídos na rede elétrica torna se necessário o uso de sistemas mais precisos para observação e controle para monitorar com precisão o fluxo de energia elétrica Historicamente a energia elétrica sempre foi distribuída de modo unidirecional onde consumidores passivos ou seja clientes e concessionárias distribuidoras de energia se utilizam da mesma Com o evento da geração distribuída com a chegada dos painéis fotovoltaicos e principalmente a geração eólica este cenário começou a mudar e exigir maior monitoramento das redes elétricas No Brasil este gerenciamento é realizado pelo ONS Operador Nacional do Sistema que controla o SIM Sistema Interligado Nacional e a maior preocupação é com as geradoras eólicas pois estas não são sincronizadas e causam grandes perturbações no sistema integrado podendo causar blackouts Dada esta situação a frequência da rede a tensão e a corrente elétrica devem ser medidas e reguladas para garantir a qualidade e o padrão que o consumidor necessita 93 Fasores ijC2021 Como vimos então o uso de fasores iniciase com o trabalho de Charles Proteus Steinmetz em 1893 e continua até os dias hoje A partir deste resumo podemos ver a importâcia da utilização de FASORES na disciplina Análise de Circuitos Elétricos na sua parte AC Desta forma os fasores constituemse de maneira simples para analisar circuitos lineares excitados por fontes senoidais onde encontrar a solução para circuitos desse tipo seria impraticável de outra maneira Fasores utilizase de números complexos para executar seus cáculos e obter os resultados a partir de uma tensão e uma corrente Um número complexo pode ser escrito inicialmente na forma retangular como 93 Fasores ijC2021 Aproximadamente no ano de 850 AC o matemático Mahavira afirmava como na natureza das coisa um negativo não é um quadrado ele não tem portanto raiz quadrada 93 Fasores Em 1629 Albert Girard utiliza efetivamente o símbolo 1 quando enuncia as relações entre raízes e coeficientes de uma equação O símbolo foi usado pela primeira vez em 1794 por Leonard Euler para representar 1 tornandose aceito após o seu uso por Carl Gauss em 1801 Os termos real e imaginário foram empregados pela primeira vez em 1637 por René Descartes A expressão número complexo foi introduzida por Carl Gauss em 1832 ijC2021 Logo j 2 1 onde x é a parte real e y a parte imaginária de um número complexo isto é Números complexos podem ser representados de três maneiras Onde a forma usual é a polar 93 Fasores ijC2021 A relação entre a forma retangular e a forma polar é mostrada na figura ao lado onde a parte real está representada no eixo x abcissas e a parte imaginário no eixo y ordenadas A partir dos valores de x e y podese obter r e Φ como mostrado abaixo onde Deste modo z será 93 Fasores ijC2021 As operações com números complexos com intuito de facilitar a forma de resolver é feita da seguinte forma As operações de Adição e Subtração de números complexos são realizadas na forma retangular ADIÇÃO SUBTRAÇÃO 93 Fasores ijC2021 Já as operações de Multiplicação e Divisão de números complexos tornamse mais fáceis na forma polar MULTIPLICAÇÃO DIVISÃO INVERSO No modo inverso 93 Fasores ijC2021 RAIZ QUADADA CONJUGADO COMPLEXO 93 Fasores ijC2021 A ideia da representação de um fasor baseiase na identidade de Euler que é dada por Onde é demonstrado que podemos considerar cos Φ e sen Φ como as partes real e imaginária de e jΦ e poder ser representada da seguinte forma Onde Re e Im significam a parte Real e Imaginária de e jΦ assim Tomando a tensão senoidal no domínio do tempo 93 Fasores ijC2021 Que resulta em Onde a expressão de tensão será E a representação fasorial de tensão ou corrente será 93 Fasores ijC2021 V é portanto a representação fasorial da senoide vt como dito anteriormente Em outras palavras fasor é uma representação complexa da magnitude e fase de uma senoide Um fasor é considerado o equivalente matemático de uma senoide sem a dependência do tempo 93 Fasores ijC2021 A partir do gráfico do seno Ve jωt Vm ejωt Φ no plano complexo podemos ver que à medida que o tempo cresce esse seno gira em um círculo de raio Vm em uma velocidade angular ω no sentido antihorário Considerando vt como a projeção do seno no modo fasorial Ve jωt no eixo real visto na senoide abaixo representada O valor do seno no modo fasorial no instante t0 e o fasor V da senoide vt O seno fasorial é considerado um fasor rotacional consequentemente toda vez que uma senoide for expressa como fasor o termo e jωt estará implicitamente presente Assim é importante ao trabalhar com fasores ter em mente a frequência ω do fasor caso contrário cometeremos erros de cálculo 93 Fasores ijC2021 A figura ao lado mostra um diagrama fasorial onde temos tensão e corrente representadas neste diagrama E utilizando a relação abaixo Assim dado uma senoide Obtemos o fasor correspondente 93 Fasores ijC2021 A tabela abaixo mostra representação no domínio do tempo e no domínio da frequência 93 Fasores ijC2021 A partir das expressões Derivando a tensão em função do tempo teremos 93 Fasores ijC2021 Isto mostra que a derivada de vt é transformada no domínio dos fasores como jωV A expressão dvdt possibilita a substituição de uma derivada em relação ao tempo com a multiplicação de jω no domínio de fasores Da mesma forma a integral de vt é transformada no domínio dos fasores como V jω A expressão vdt possibilita a substituição de uma integral em relação ao tempo pela divisão por jω no domínio de fasores 93 Fasores ijC2021 Diferenças entre domínio do tempo e fasor 93 Fasores ijC2021 54 Calcular a expressão abaixo e mostrar o resultado na forma fasorial ou polar Números Complexos ijC2021 55 Calcular a expressão abaixo e mostrar o resultado na forma retangular Números Complexos ijC2021 56 Calcular a expressão abaixo e mostrar o resultado na forma retangular Números Complexos ijC2021 Uma vez que já se tem conhecimento de como representar a tensão e corrente no domínio da frequência ou fasores a próxima etapa é entender e aplicar este conceito em circuitos AC contendo os componentes ou dispositivos R L e C Para isto é necessária a transformação a relação tensãocorrente do domínio do tempo para o domínio da frequência em cada um destes componentes 94 Relação entre Fasores ijC2021 94 Relação entre Fasores RESISTORES Se a corrente através de um resistor for i Im cosωt Φ a queda de tensão sobre ele será dada pela Lei de Ohm e o fasor desta tensão será porém a representação fasorial da corrente é I Im Φ logo ijC2021 94 Relação entre Fasores INDUTORES Se a corrente através de um indutor for i Im cosωt Φ a queda de tensão sobre ele será Como seno A cosA 90º teremos o fasor desta tensão será Porém I Im Φ logo Uma vez que a fase é Φ 90º a tensão e a corrente estarão fora de fase em 90º e a corrente atrasada em relação a tensão ijC2021 94 Relação entre Fasores CAPACITORES Se a tensão através de um capacitor for v Vm cosωt Φ a corrente através dele será Como cos A seno A 90º teremos o fasor desta corrente será Porém V Vm Φ logo Uma vez que a fase é Φ 90º a tensão e a corrente estarão fora de fase em 90º e a tensão atrasada em relação a corrente ijC2021 94 Relação entre Fasores Resumo das relações tensãocorrente ijC2021 57 Transformar as senoides abaixo em fasores 94 Relação entre Fasores ijC2021 58 Obter os valores senoidais correspondentes a cada um dos fasores abaixo 94 Relação entre Fasores ijC2021 59 Obter os valores senoidais correspondentes a cada um dos fasores abaixo 94 Relação entre Fasores ijC2021 95 Impedância e Admitância Na tabela anterior vimos as relações tensãocorrente para os três dispositivos passivos que são Esta equações podem ser escritas em termos da razão entre a tensão e a corrente no modo fasorial que são Das expressões acima obtemos a Lei de Ohm na forma fasorial para qualquer tipo de componente onde Z é Impedância ijC2021 95 Impedância e Admitância A impedância representa a oposição que um circuito oferece ao fluxo de corrente senoidal Embora seja a razão entre dois fasores sua resposta não é um fasor pois não corresponde a uma quantidade que varia como um sinal senoidal ijC2021 95 Impedância e Admitância Observase da tabela que Considerando dois casos extremos da frequência angular Quando ω 0 e quando ω teremos os seguintes comportamentos para o capacitor e o indutor tanto em DC ω 0 como em AC ω O capacitor em DC é um circuito aberto e para AC como um curto circuito Um capacitor descarregado comporta se como um curtocircuito Ao ser carregado em DC tornase um circuito aberto Já em AC comportase como um curto circuito em função da sua reatância capacitiva XC ijC2021 95 Impedância e Admitância O indutor por sua vez em DC é um curtocircuito para AC como um circuito aberto Em AC comportase como um circuito aberto em função da sua reatância indutiva XL Sendo um valor complexo a impedância pode ser expressa na forma retangular Onde R ReZ é a resistência e X ImZ é a reatância A reatância X pode ser positiva ou negativa ijC2021 95 Impedância e Admitância A reatância X pode ser positiva ou negativa Uma Reatância Indutiva será positiva e uma Reatância Capacitiva será negativa Reatância Indutiva ou atrasada porque a corrente está atrasada em relação à tensão Reatância Capacitiva ou avançada porque a corrente está adiantada em relação à tensão Impedância resistência e reatância são todas medidas em Ohms A impedância pode ser expressa na forma polar como ijC2021 95 Impedância e Admitância ijC2021 Comparando as expressões Temos Onde E 95 Impedância e Admitância Em algumas situações principalmente na resolução de problemas é mais conveniente trabalhar com o inverso da Impedância conhecida como Admitância Isto vai depender da topologia do circuito ijC2021 95 Impedância e Admitância Sendo também um valor complexo a admitância Y pode ser escrita na forma abaixo Onde G ReY é chamada de Condutância e B ImY é chamada de Susceptância Admitância Condutância e Susceptância são expressas em Siemens ou Mhos onde a partir de ijC2021 95 Impedância e Admitância Por racionalização teremos Demonstrando que G 1R como acontece em circuitos resistivos logo se X 0 então G 1R ijC2021 60 Determinar o valor da corrente i quando vst 50 cos200t V ijC2021 95 Impedância e Admitância 61 Dado o circuito abaixo determinar a tensão v0t sobre o indutor Dar a resposta no domínio do tempo ijC2021 95 Impedância e Admitância 62 Dado o circuito abaixo determinar a tensão vt e it Dar as respostas no domínio do tempo ijC2021 95 Impedância e Admitância 63 Dado o circuito abaixo determinar a admitância ijC2021 95 Impedância e Admitância 64 Dada a fonte de corrente com iS 5 cos10t 40º calcular o valor da corrente i0 Dar a resposta no domínio do tempo ijC2021 95 Impedância e Admitância No domínio da frequência ou então circuitos AC para analisarmos os circuitos se faz necessária a utilização das Leis de Kirchhoff tal qual já as utilizamos em circuitos DC Para circuito no domínio do tempo ou frequência cada componente será representado por uma impedância Z 96 Leis de Kirchhoff no domínio da frequência ijC2021 Para Lei de Kirchhoff para Tensões KVL temos v1 v2 v3 vn como tensões de um laço fechado então No regime estacionário senoidal steady state as tensões escritas na forma de cosseno serão Podendo serem escritas como fasores Onde Vk Vmk e jϴk Uma vez que e jωt 0 logo 96 Leis de Kirchhoff no domínio da frequência ijC2021 Para Lei de Kirchhoff para Correntes KCL temos i1 i2 i3 in como correntes que entram e saem em um circuito então No regime estacionário senoidal steady state as tensões escritas na forma de cosseno serão Podendo serem escritas como fasores Onde Ik Imk e jϴk Uma vez que e jωt 0 logo 96 Leis de Kirchhoff no domínio da frequência ijC2021 65 Dado o circuito abaixo determinar a impedância total ZT e a corrente I Dar a resposta no modo fasorial ijC2021 96 Leis de Kirchhoff no domínio da frequência Considerandose N impedâncias associadas em série onde a mesma corrente flui através destas impedâncias e aplicandose a LKT teremos Conforme o circuito abaixo a impedância equivalente será dada pela soma das impedâncias ou a impedância equivalente será 97 Associações de Impedâncias ijC2021 Um exemplo simples é o circuito abaixo onde N 2 Neste caso a corrente total que circula pelo circuito será Uma vez que V1 Z1 I e V2 Z2 I teremos ijC2021 97 Associações de Impedâncias Considerandose N impedâncias associadas em paralelo onde a tensão em cada uma das impedâncias possui o mesmo valor e aplicandose a LKC teremos Conforme o circuito abaixo a impedância equivalente será dada pela soma das impedâncias em paralelo Onde a Admitância equivalente será ijC2021 97 Associações de Impedâncias O exemplo simples é o circuito abaixo onde N 2 Neste caso a impedância equivalente do circuito será Uma vez que ijC2021 97 Associações de Impedâncias As transformações EstrelaTriângulo e TriânguloEstrela descritas no Capítulo 2 27 também são válidas para impedâncias conversão Y Δ ijC2021 97 Associações de Impedâncias As transformações EstrelaTriângulo e TriânguloEstrela descritas no Capítulo 2 27 também são válidas para impedâncias conversão Δ Y ijC2021 97 Associações de Impedâncias As transformações EstrelaTriângulo e TriânguloEstrela descritas no Capítulo 2 27 também são válidas para impedâncias conversão Y Δ conversão Δ Y ijC2021 97 Associações de Impedâncias Em circuitos AC podemos afirmar que um circuito triângulo ou estrela está em equilíbrio se este possuir impedâncias iguais em todos os três ramos Onde e ijC2021 97 Associações de Impedâncias 66 Dado o circuito abaixo determinar a impedância de entrada ZIN Dar a resposta no modo retangular ijC2021 97 Associações de Impedâncias 98 Comutadores de fases Comutadores de fases são utilizados para gerar defasamentos entre sinais harmônicos ou corrigir deslocamentos indesejados que aparecem em circuitos São utilizados em correções de circuitos que utilizam filtros RL RC ou RLC sendo que os componentes L e C sempre causam defasagens Comutadores de fases são utilizados para gerar defasamentos entre sinais harmônicos ou corrigir deslocamentos indesejados que aparecem em circuitos São utilizados em correções de circuitos que utilizam filtros RL RC ou RLC sendo que os componentes L e C sempre causam defasagens ijC2021 98 Comutadores de fases No primeiro circuito a corrente I está adiantada em relação a tensão VIN aplicada ao ângulo ϴ onde este ângulo varia de 0 ϴ 90º dependendo dos valores de R e C Dado que XC 1ω C logo a impedância será Z R j XC e o deslocamento será ϴ tg1 XC R Neste caso VOUT estará adiantada em relação à entrada VIN e teremos um deslocamento de fase positivo ijC2021 98 Comutadores de fases No segundo circuito a tensão VOUT é medida sobre o capacitor O avanço da corrente I em relação à entrada VIN é dado por ϴ porém a tensão de saída VOUT sobre o capacitor está atrasada em relação a tensão de entrada VIN Isto configura um deslocamento de fase positivo ijC2021 98 Comutadores de fases No segundo circuito a tensão VOUT é medida sobre o capacitor O avanço da corrente I em relação à entrada VIN é dado por ϴ porém a tensão de saída VOUT sobre o capacitor está atrasada em relação a tensão de entrada VIN Isto configura um deslocamento de fase positivo Devese levar em conta que em função da reatância os circuitos acima podem se transformar em divisores de tensão atenuando o sinal de saída ijC2021 Próximo assunto ijC2021 10 Análise em Regime Estacionário Senoidal