Apostila de Exercícios de Análise Estrutural I - Prova I

EES023 Analise Estrutural I Apostila de Exercıcios Versao 10 Curso de Graduacao em Engenharia Civil UFMG Prof Ramon P Silva e Prof Felıcio B Barros Com a inestimavel contribuicao de Ana Clara Pedras Bueno Ana Luiza Caldeira Karla Fernanda dos Santos Lorena Leocadio Thaianne Simonetti de Oliveira Universidade Federal de Minas Gerais Departamento de Engenharia de Estruturas Av Antˆonio Carlos 6627 31270901 Belo Horizonte MG Brasil Capıtulo 1 Grau de Indeterminacao Estatica 11 Prova I 022017 1 Para as estruturas abaixo pedese para classificalas quanto ao equilıbrio estatico e quando for o caso indicar o grau de indeterminacao estatica aVınculos V Vınculos externos 3 provenientes dos apoios Vınculos internos 3 provenientes do quadro fechado Graus de Liberdade GL Graus de liberdade externos 3 Graus de liberdade internos 3 provenientes das 3 rotulas cada uma entre duas barras 6V 6GL 0 Estrutura isostatica Figura 11 Questao 11a bVınculos V Vınculos externo 9 provenientes dos apoios Vınculos internos 3 provenientes do quadro fechado Graus de Liberdade GL Graus de liberdade externos 3 Graus de liberdade internos 0 12V 3GL 9 Estrutura hiperestatica grau 9 Figura 12 Questao 11b 1Ana Luiza Caldeira 1 cVınculos V Vınculos externos 3 provenientes dos apoios Vınculos internos 0 Graus de Liberdade GL Graus de liberdade externos 3 Graus de liberdade internos 2 provenientes das duas rotulas cada uma entre duas barras 3V 5GL 2 Estrutura hipostatica Figura 13 Questao 11c 12 Prova I 012018 2 Para as estruturas abaixo pedese para classificalas quanto ao equilıbrio estatico e quando for o caso indique o grau de indeterminacao estatica aVınculos V Vınculos externos 4 provenientes dos apoios Vınculos internos 6 provenientes dos 2 quadros fechados Graus de Liberdade GL Graus de liberdade externos 3 Graus de liberdade internos 3 provenientes das trˆes rotulas cada uma entre duas barras 10V 6GL 4 Estrutura hiperestatica grau 4 Figura 14 Questao 12a bVınculos V Vınculos externos 4 provenientes dos apoios Vınculos internos 0 Graus de Liberdade GL Graus de liberdade externos 3 Graus de liberdade internos 1 provenientes da rotula entre duas barras 4V 4GL 0 Estrutura isostatica Figura 15 Questao 12b 2Ana Luiza Caldeira 2 c Vinculos V Vinculos externos 4 provenientes dos apoios Vinculos internos 0 Graus de Liberdade GL Graus de liberdade externos 3 Graus de liberdade internos 2 provenientes das duas rotulas cada uma entre duas barras LS LS 4V 5GL1 Figura 16 Questao 12c Estrutura hipostatica 13 Prova II 012018 3 Para as estruturas abaixo pedese para classificdlas quanto ao equilfbrio estdtico e quando for o caso indique o grau de indeterminagao estatica aCaso critico apoios alinhados Pa Estrutura hipostatica coals Fi 17 tao 13 b Trelicga bidimensional d2 eure Questao 13a Numero de reagées de apoio r 3 Numero de barras b 33 Numero de nés n 18 br3343 36 nda tbe an op Db ET Nx Estrutura Isostatica Figura 18 Questao 13b cTrelica bidimensional d2 Numero de reagoes de apoio r 4 Numero de barras b 9 Numero de nés n 6 9413 sae nade bu2u inp POET nxd Estrutura Hiperestatica grau 1 Figura 19 Questao 13c 14 Prova I 022018 4 Para as estruturas abaixo pedese para classificdlas quanto ao equilibrio estatico e quando for o caso indicar o grau de indeterminacaéo estatica 3Lorena Leocadio 4 Ana Luiza Caldeira 3 aCaso Crıtico apoios alinhados Estrutura hipostatica Figura 110 Questao 14a bVınculos V Vınculos externos 4 provenientes dos apoios Vınculos internos 0 Graus de Liberdade GL Graus de liberdade externos 3 Graus de liberdade internos 1 proveniente da rotula entre duas barras 4V 4GL 0 Estrutura isostatica B C A E A Figura 111 Questao 14b cVınculos V Vınculos externos 7 provenientes dos apoios Vınculos internos 18 provenientes dos 6 quadros fecha dos Graus de Liberdade GL Graus de liberdade externos 3 Graus de liberdade internos 0 25V 3GL 22 Estrutura hiperestatica grau 22 Figura 112 Questao 14c 15 Prova II 022018 5 Para as estruturas abaixo pedese para classificalas quanto ao equilıbrio estatico e quando for o caso indicar o grau de indeterminacao estatica 5Lorena Leocadio 4 a Treliga bidimensional d2 Numero de reagoes de apoio r 4 Numero de barras b 25 Numero de nés n 14 br2544 29 Figura 113 Questao 15a vn dado any 2Otr end Estrutura hiperestatica grau 1 b Trelicga bidimensional d2 Numero de reagées de apoio r 3 Numero de barras b 12 Numero de nés n 8 br124315 ie sadeiey eben nxd Estrutura Hipostatica i 14 ao l cTrelica bidimensional d2 Figura 114 Questao 15 Numero de reagées de apoio r 3 Numero de barras b 14 Numero de nés n 8 br144317 re sazeiey 2otrnxd Estrutura hiperestatica grau 1 Figura 115 Questao 15 16 Prova I 012022 Para as estruturas representadas abaixo apresente a classificacdéo segundo o equilibrio estatico e o grau de indeterminacao estatica quando houver a Vinculos V Vinculos externos 5 provenientes dos apoios Vinculos internos 0 Graus de Liberdade GL Graus de liberdade externos 3 Graus de liberdade internos 2 provenientes das duas rétulas cada uma entre duas barras 5V 5GL0 Estrutura isostatica Figura 116 Questao 16a Ana Clara Pedras Bueno 5 bVınculos V Vınculos externo 6 provenientes dos apoios Vınculos internos 3 provenientes do quadro fechado Graus de Liberdade GL Graus de liberdade externos 3 Graus de liberdade internos 2 provenientes das duas rotulas cada uma entre duas barras 9V 5GL 4 Estrutura hiperestatica grau 4 Figura 117 Questao 16b cVınculos V Vınculos externos 5 provenientes dos apoios Vınculos internos 0 Graus de Liberdade GL Graus de liberdade externos 3 Graus de liberdade internos 2 provenientes das duas rotulas cada uma entre duas barras 5V 5GL 0 Estrutura hipoestatica de forma crıtica Embora o numero de vınculos seja igual ao numero de graus de liberdade o apoio movel alinhado a rotula na extremidade direita produz hipoestaticidade de forma crıtica a estrutura Figura 118 Questao 16c 6 Capitulo 2 Vigas 21 Prova I 012018 Para a viga indicada na Figura 21 pedese a As reagoes de apoio b Os diagramas dos esforgos solicitantes c As equagoes dos esforgos solicitantes pokN 40 kNm 45 Ne a Ls Figura 21 Questao 2la a Reagées de apoio So Fy 0 Ha 0 YM 0 45 40 x 55 x y Re x40 Rp 140kNt S Fy 0 60 40x 55RatM400 Ra 140kNt b Diagramas de esforos solicitantes 1AnaLuiza Caldera 7 Figura 22 Questao 21b c Equacoes Cortante x 4 m V x 140 60 40x V x 80 40x kN x 4 m V x 140 60 140 40x V x 220 40x kN Momento fletor x 4 m Mx 45 60x 140x 40 2 x2 Mx 45 80x 20x2 kNm x 4 m Mx 45 60x 140x 140x 4 40 2 x2 Mx 605 220x 20x2 kNm 22 Prova I 022017 2 Para a viga da Figura 23 que e uma estrutura hiperestatica foi informado o valor da reacao nos apoios A e B Pedese a As demais reacoes de apoio b Os diagramas e equacoes de esforcos solicitantes de toda a viga 2Ana Luiza Caldeira 8 A0KN w 20 kNm Mo A B t 20kN th 80kN Figura 23 Questao 22 a Reagées no apoio C YoM 0 20 x 108 40 x 84 80 x 6 20 x 6 x 3 Mc 0 a Mo 0 S Fy 0 20404 80 20x 6 Ro 0 Ro 60kN 1 b Diagramas de esforcos solicitantes e equacées y 20 Y c B h DM kNm z 1p Yo Bl 99 Figura 24 Questao 22b Cortante x24m Va 20 kN 24m 248m Vx 2040 Va 20KkN x 48m Vx 20 40 80 20x 48 Va 20x 156 KN Momento fletor x24m M a 20x kNm 9 2 4 m x 4 8 m Mx 20x 40x 2 4 Mx 20x 96 kNm x 4 8 m Mx 20x 40x 2 4 80x 4 8 20x 4 82 2 Mx 10x2 156x 518 4 kNm 23 Prova I 012018 3 Apresentamse na Figura 25 trechos do relatorio do Programa INSANE referente a uma viga Gerber Pedese a Desenho completo do modelo com a geometria vinculacoes articulacoes e carregamentos ativos b Esforcos de extremidade de todos os elementos c Diagrama de cortante e momento fletor de todos elementos d Decomposicao do modelo em vigas isostaticas o mais simples possıvel e a descricao do processo de calculo das reacoes de apoio representar as forcas transferidas entre as vigas sem calculalas Figura 25 Questao 23 Unidades m e kN a Desenho completo do modelo Para o desenho da viga os nos devem ser posicionados de acordo com as coordenadas da lista Nodal Coordinates and Angle Em seguida e possıvel tracar os elementos de barra unindo os nos de acordo segundo a lista Elements Attributes Neste caso sao dados 4 nos que formam 3 elementos de barra conforme mostra a Figura 26 3Ana Luiza Caldeira 10 1 2 3 4 10 m 10 m 5 m Figura 26 Questao 23a geometria Os apoios sao definidos na lista Nodal Restraints que define as restricoes dos nos do modelo Neste caso o no 1 possui restricoes ao deslocamento em y e a rotacao em torno do eixo z Sabendo que o sistema INSANE nao define graus de liberdade para o deslocamento horizontal no modelo de viga esta configuracao equivale a um engaste no no 1 Alem disso a restricao ao deslocamento em y do no 3 corresponde a um apoio articulado movel neste ponto Na lista Liberations at Elements Extremities sao especificadas as liberacoes das barras definindo possıveis rotulas Neste caso o elemento 12 possui liberacao para rotacao em torno do eixo z em seu no final o que equivale a uma rotula no no 2 conforme ilustrado na Figura 27 1 2 3 4 10 m 10 m 5 m Figura 27 Questao 23a apoios e rotulas Os carregamentos que atuam na estrutura sao definidos nas listas Nodal Loads e Distribuited Loads on Elements Ressaltase que as cargas nodais sao definidas de acordo com o sistema global de coordenadas As acoes sobre os elementos por sua vez sao definidas pelo sistema local de cada elemento eixo x com origem no no inicial apontando para o no final do elemento Neste caso existe uma carga concentrada na direcao y do no 4 negativa portanto para baixo Alem disso ha uma carga distribuıda no elemento 23 Os valores de A e B na lista Distribuited Loads on Elements indicam distˆancias em relacao ao no inicial do elemento para os quais se definem valores de forcas Force at A e Force at B No presente exemplo como o elemento 23 possui comprimento igual a 10 existe uma carga distribuıda constante atuando em toda a sua extensao O desenho completo do modelo e apresentado na figura a seguir 1 2 3 4 20 kNm 100 kN 10 m 10 m 5 m Figura 28 Questao 23a desenho completo do modelo b Esforcos de extremidade de todos os elementos Os esforcos de extremidade sao indicados na lista Action at Elements Extremities Para cada elemento sao informados os esforcos atuantes nos nos inicial e final de acordo com o sistema de coordenadas local Tomando por exemplo o elemento 12 verificase uma forca vertical de 50 kN positiva portanto para cima e um momento de 500 kNm positivo portanto no sentido antihorario atuando no no 1 No no 2 atua apenas uma forca de 50 kN negativa portanto para baixo 11 Os demais elementos seguem raciocınio analogo resultando nos esforcos a seguir 50 kN 500 kNm 50 kN 500 kNm 50 kN 150 kN 100 kN 100 kN 500 kNm 1 2 2 3 3 4 Figura 29 Questao 23b A inspecao de todos os elementos da Figura 29 juntamente com as reacoes de apoio fornecidas na lista Reactions on Inelastic Supports referentes ao sistema global de coordenadas permite verificar o equilıbrio da estrutura c Diagrama de cortante e momento de flexao de todos elementos 50 50 150 100 500 500 125 m 1 10m 10m 5m 4 3 2 20 kNm 100 kN 625 DV kN DM kNm pl 2 8 Figura 210 Questao 23c diagramas 12 d Decomposicao do modelo em vigas isostaticas o mais simples possıvel e a descricao do processo de calculo das reacoes de apoio representar as forcas transferidas entre as vigas sem calculalas A separacao da viga Gerber em vigas isostaticas mais simples e feita atraves das rotulas do modelo Neste caso separase o elemento 12 do trecho 234 Feita a divisao do modelo devese verificar qual elemento precisa receber os chamados apoios fictıcios resultantes da separacao da estrutura no no 2 Neste caso verificase que o elemento 12 e isostatico em razao do engaste Logo um apoio fictıcio fixo deve ser adicionado ao no 2 do elemento 23 Finalmente verificase que o trecho 234 e isostatico garantindo a decomposicao da estrutura em vigas isostaticas mais simples O calculo das reacoes de apoio deve ser iniciado no trecho 234 no qual sao obtidas as reacoes dos apoios 2 e 3 Na sequˆencia as reacoes do apoio 2 sao transferidas com sentidos contrarios para o trecho 12 Por fim calculamse as reacoes no apoio 1 conforme ilustra a Figura 211 Figura 211 Questao 23d decomposicao em vigas isostaticas mais simples 24 Prova I 012022 4 Para a viga Gerber representada abaixo pedese a Decompor a viga no conjunto mais simples possıvel de vigas isostaticas b Utilizando a decomposicao apresentada na letra a calcular as reacoes em todos os apoios B C D E A 2m 2m 1m 2 m 2 m 20kNm 25kNm 2 m 2 m 50kN Figura 212 Questao 24 a Decomposicao da viga Gerber em vigas isostaticas A decomposicao da viga Gerber em vigas isostaticas mais simples e feita atraves das rotulas do modelo Assim a partir da viga Gerber apresentada em Figura 212 obtemse as trˆes vigas isostaticas representadas abaixo 4Ana Clara Pedras Bueno 13 D 25kNm ta ee 20kNm St ts Oo 50kN yoy A B 2m 2m 2m 2m yim 2m 2m Figura 213 Questao 24 b CaAlculo das reagdes em todos os apoios Iniciando o cdlculo das reacgdes de apoio pela viga 1 da Figura 213 temse SS Mp 0 25 3 x Rp 0 Rp 8333kNt So Fy 0 Rp Rg 0 Rg Rp Rg 8333kN 1 Obtidas as reacoes de apoio nos nos D ec E transferemse as reacdes do né D com sentidos contrarios para a viga isostatica 2 conforme Figura 214 25kNm p ty AL E 4 R 20kNm vy bBo 2m 2m yim 2m 2m Figura 214 Questao 24 Assim calculando as reacdes de apoio da viga 2 temse SS Mp 0 2x Re 20 x 4 x 2 4x Rp 0 Ro 96 667K 1 S 0 Fy 0 Rpt Ro 20 x 4 Rp 0 Rg 8 333kN J Transferindo finalmente as reagdes do né B com sentidos contrarios para a viga isostatica 3 Figura 215 obtémse ao calcular as reagdes de apoio da viga 3 14 D 25kNm thr Gy ee tr 20kNm VR 6 k Ht D Sc rR 50kN J tR A B 2m 2m 2m 2m yim 2m 2m YY Figura 215 Questao 24 So Fy 0 50 Rg R 0 Ra 41667kKNt S Ma 0 4x Rp 50 x 2 Ma 0 Ma 66 668kNm 15 Capıtulo 3 Porticos 31 Prova I 012018 1 Para o portico da Figura 31 pedese a As reacoes de apoio b Abrindo o quadro fechado na rotula H cal cular os esforcos nesta secao c Sem utilizar o equilıbrio de barras e nos determinar os esforcos solicitantes na secao transversal S da barra CE indi cando a natureza dos mesmos normal compressao ou tracao cortante positiva ou negativa momento tracionando ou comprimindo o lado interno do quadro d O equilıbrio de barras e nos e Os diagramas de esforcos das barras EG e CD Figura 31 Questao 31 a O calculo das reacoes pode ser iniciado em diversos pontos Neste exemplo sera considerado o somatorio de momentos no no C conforme mostra o diagrama de corpo livre DCL ao lado Na sequˆencia e possıvel determinar os valores das reacoes atraves das equacoes de equilıbrio Figura 32 Questao 31a DCL 1Ramon P Silva 16 AC 3 youl 0 3H420x3x50 Ha30KN So Fy 0 20x 350HaHp0 Hg 80kN Ss M 0 B 3 5 5R 20 x 3 x 5 40 60 3 x 50 30 x 5 x 3 0 Ra 47kN ft So Fy 0 4 Ra t Rp 305 0 Rp 103kN 1 30 kNm g E F G b Observando 0 DCL da Figura 33 pode S 25 m a se notar que a rotula A ja foi substituida por 5 H 4 esforcos de acordo com a sugestao do exercicio oa V S H Para descobrir os esforcos em Vy e Nz serao lm utilizadas as equacoes de equilfbrio das rétulas V Choy Ny CeF C Ne 5 m Figura 33 Questao 31b Esforgos em H HGF 25 oa 0 25Nu 15Vin 30 x 25 x 0 HGFEC 5 yo 0 50Ny 15Vi 30 x 5 x 5 60 0 25Ny 15Vy 9375 2 kN wl 50Ny 15Vy4 315 vo Ny 545 KN te Vy 833 31 30 kNm c Obtidos os valores de Vy e Ny é possivel encontrar os esforcos na secao S Neste t E F G exercicio a dica é pegar os valores em H e n 15m levalos até S descontando ou adicionando foo A 4 7 SE 05m 2833 KN os carregamentos externos de acordo com o sty sentido deles Na Figura 34 Vs Ns e Ms Vs S 545 kN foram arbitrados no sentido positivo para os Ns esforcos em S Sm Figura 34 Questao 31c Equilibrio da segao S Fy 0 28 33 Vs 0 Vg 2833kN Fy 0 545 30 x 5 Ns 0 Ng 955KN t 5 iM 0 545 x 5 2833 x 05 30x 5x 5 60 Ms 0 Ms 2833kNm 4 17 A correta representacao dos esforcos na secao S e apresentada na Figura 35 NS 95 5 kN compressao VS 28 33 kN negativa MS 28 33 kNm comprime o lado de referˆencia S 9555 kN 955 kN 2833 kNm 2833 kN 2833 kN 2833 kNm Figura 35 Questao 31c Esforcos em S d Equilıbrio de barras e nos Figura 36 Questao 31d e Diagramas das barras EG e CD 18 Figura 37 Questao 31e barra EG Figura 38 Questao 31e barra CD 32 Prova I 022017 2 Para o portico da Figura 39 ja foram informadas as reacoes de apoio Pedese para fazer o equilıbrio de barras e nos explicitando o equilıbrio dos nos C e D 2Ana Luiza Caldeira 19 Figura 39 Questao 32 Enunciado Figura 310 Questao 32a Equilıbrio de barras e nos 33 Prova I 022017 3 A Figura 311 contem trechos de um relatorio do Programa INSANE referente a um portico composto Pedese 3Ana Luiza Caldeira 20 a O desenho completo do modelo com a geometria vinculacoes articulacoes e carregamentos ativos b A representacao do sistema de eixos locais e dos esforcos de extremidade do elemento 3 4 c Diagramas e equacoes de esforcos solicitantes do elemento 3 4 d Decomposicao do modelo em estruturas isostaticas o mais simples possıvel e descricao do pro cesso de calculo das reacoes de apoio representar as forcas transferidas entre as estruturas sem calculalas e Abrir o quadro fechado na rotula 4 e calcular os esforcos atuantes em uma secao logo abaixo e logo a direita da mesma indicando os sinais conforme a convencao f Utilizando os resultados obtidos na letra e calcular os esforcos solicitantes que atuam em uma secao localizada nas coordenadas globais x 4 m e y 5 m indicando os sinais conforme a convencao Figura 311 Questao 33 Unidades kN e m a Para o desenho do portico os nos devem ser posicionados de acordo com as coordenadas da lista Nodal Coordinates and Angle Em seguida e possıvel tracar os elementos de barra unindo os nos de acordo com a lista Elements Attributes Neste caso sao dados 8 nos que formam 8 elementos No caso do portico plano atencao especial deve ser dada aos sistema de coordenadas local de cada 21 barra x y Tal sistema tem origem no no inicial de cada elemento com eixo x paralelo a direcao da barra Ja o sentido do eixo y e determinado pelo triedro positivo Os eixos locais de cada elemento sao ilustrados na Figura 312 6 5 4 3 2 7 1 8 3 m 3 m 4 m 4 m x y y x y x y xxx x y y x x y y x Figura 312 Questao 33a Nos elementos e sistemas de eixos locais Por conveniˆencia os eixos locais sao indicados na metade de cada elemento Os apoios sao definidos na lista Nodal Restraints que define as restricoes dos nos do modelo Neste caso os nos 1 e 6 tˆem deslocamentos impedidos nas direcoes x e y o que equivale a um apoio articulado fixo Ja o no 8 tem deslocamento impedido apenas na direcao y o que equivale a um apoio articulado movel Na lista Liberations at Elements Extremities sao especificadas as liberacoes das barras definindo possıveis rotulas No caso do portico plano as rotulas devem ser verificadas elemento a elemento com atencao especial aos nos que unem mais de duas barras Neste exemplo as rotulas estao localizadas nos seguintes pontos Nos 2 e 3 do elemento 23 No 4 do elemento 34 No 5 do elemento 45 No 7 do elemento 73 Ressaltase que as rotulas localizadas nos nos 7 e 5 sao excˆentricas ou seja nao separam as trˆes barras que concorrem no respectivo no Apenas 1 grau de liberdade interno e adicionado em razao de cada uma dessas rotulas Logo a barra 32 tem liberdade de giro em relacao ao conjunto 437 Analogamente a barra 45 tem liberdade de giro em relacao ao conjunto 657 A correta definicao das rotulas e mostrada na Figura 313 22 6 4 3 1 8 3 m 4 m 4 m 2 7 5 3 m Figura 313 Questao 33a Apoios e rotulas Os carregamentos que atuam na estrutura sao definidos nas listas Nodal Loads Concentrated Loads on Elements e Distribuited Loads on Elements Ressaltase que as cargas nodais sao definidas de acordo com o sistema global de coordenadas As acoes sobre os elementos por sua vez sao definidas pelo sistema local de cada elemento No presente exemplo existe uma carga concentrada de 40 kN na direcao x no no 5 positiva portanto para a direita indicada na lista Nodal Loads Alem disso ha um momento concentrado no elemento 34 conforme indicado na lista Concentrated Loads on Elements O valor em A corresponde a distˆancia do ponto de aplicacao do momento em relacao ao no inicial do elemento Logo existe uma momento concentrado de 50 kNm positivo portanto antihorario na metade da barra 34 Ha tambem cargas distribuıdas em 5 elementos conforme indicado na lista Distribuited Loads on Elements Todas elas correspondem a forcas distribuıdas na direcao y sendo necessaria atencao especial aos eixos locais de cada elemento Os valores de A e B na lista Distribuited Loads on Elements indicam distˆancias em relacao ao no inicial do elemento para os quais se definem valores de forcas Force at A e Force at B Logo existem cargas distribuıdas constantes nos elementos 23 e 34 agindo sobre toda a extensao das barras Ja nos elementos 12 45 e 56 existem cargas distribuıdas triangulares Cabe ressaltar que o sistema INSANE define uma carga distribuıda linear caso os valores informados para Force at A e Force at B sejam diferentes entre si O desenho completo do modelo e apresentado na Figura 314 6 5 4 3 1 8 3 m 3 m 4 m 4 m 2 7 2 m 40 kN 45 kNm 50 kNm 30 kNm 30 kNm Figura 314 Questao 33a Desenho completo do modelo 23 b Os esforcos de extremidade sao informados na lista Actions at Elements Extremities definidos de acordo com o sistema local de cada elemento Logo obtemse o seguinte esquema para o elemento 34 4 3 x y 119375 kN 60625 kN 675 kNm 75 kN 75 kN 50 kNm 45 kNm 2 m 2 m Figura 315 Questao 33b c Diagramas do elemento 3 4 3 4 60625 14875 1084 9875 675 119375 4 3 4 3 75 DM kNm DV kN DN kN 265 Figura 316 Questao 33c Cortante V x 60 625 45x kN 24 Momento fletor x 2 m Mx 67 5 60 625x 22 5x2 kNm x 2 m Mx 67 5 60 625x 22 5x2 50 117 5 60 625x 22 5x2 kNm d A separacao do portico em estruturas isostaticas mais simples se inicia com a inspecao das rotulas do modelo Neste caso separase o elemento 23 do trecho 437 Da mesma forma separase o elemento 87 do trecho 573 e o elemento 45 do trecho 657 Em seguida devese verificar qual elemento precisa receber os chamados apoios fictıcios re sultantes da separacao da estrutura nas rotulas Neste caso verificase que o trecho 123 tornase isostatico com a colocacao de um apoio fixo fictıcio no no 3 Na sequˆencia o trecho 5437 tornase isostatico com um apoio fixo fictıcio no no 5 mantendose a rotula no no 4 Finalmente o trecho 6578 e isostatico sem a adicao de nenhum apoio O processo de solucao e ilustrado na Figura 317 O calculo das reacoes de apoio se inicia na estrutura I na qual sao calculadas as reacoes nos apoios 1 e 3 Em seguida as reacoes do apoio 3 sao transferidas com sentidos contrarios para a estrutura II na qual sao obtidas as reacoes nos apoios 5 e 7 Por fim transferemse as reacoes nos apoios 5 e 7 com sentidos contrarios para a estrutura III na qual sao calculadas as reacoes nos nos 6 e 8 II I III V5 H5 H5 H6 V6 V8 V1 H1 H3 V3 V3 H7 H7 H3 V7 V7 V5 Figura 317 Questao 33d e Observando o DCL da Figura 318 e possıvel notar que a rotula 4 ja foi substituıda por esforcos na barra 45 Neste caso os esforcos V4 e N4 serao calculados atraves das equacoes de momento nulo nas rotulas 5 e 7 25 45 15x 3 Vx 3S x10 Vi 75KNH 45687 6 o 725 x 4 100 x 3 30x 5 x 1 75 x 3Nyx40 v Ng 119375KN J Ng Ty g 40 kN 5 5 5 6 8 30 kNm 100kN B ths kN Toons kN 4m Figura 318 Questao 33e A correta representacao dos esforcos logo abaixo e logo a direita da rotula 4 é apresentada na Figura 319 Barra 45 N4 119375 kN compresséo e V4 75 kN negativa Barra 43 Ny 75 kN compressao e V4 119375 kN positiva 119375 kN 119375 kN A T5kN V 4 1 4 3 75 KN 5 Figura 319 Questao 33e Esforgos na rétula 4 f Obtidos os valores de V4 e N4 é possivel encontrar os esforgos na secdo S solicitada Neste exercicio optouse por utilizar o trecho 45687 levando os carregamentos externos com o devido sinal até a secao S Na Figura 320 Vs Ns e Mg foram arbitrados no sentido positivo para os esforgos em 8 26 Fy 0 Ng 119375 725 1975 0 Ns 150625 kN J 30 x 6 So Fr 0 4 Vs 7540 J 100 0 Vg 22 5 KN 30 x 6 Yo M 0 Ms 119375 x 475 x 1 40 x 2 5 x 3100 x 5725x40 v Ms 45kNm 4 Ny Ty 40 kN 5 7 6 8 30kNm 44 100 KN 4 Tes kN Piss kN 4m Figura 320 Questao 33f A correta representacao dos esforgos em S é apresentada na Figura 321 Ng 150625 kN compressao Vg 225 kN negativa Ms 45 kNm comprime o lado de referéncia 150625 kN v ry 4s kNm 225 KN S 45 kNm A 150625 kN Figura 321 Questao 33f Esforgos em S 34 Prova I 022018 4 Dado o relatério do programa INSANE apresentado na Figura 322 pedese apenas para a barra 12 Karla Fernanda dos Santos 27 a Fazer o desenho da barra indicando os carregamentos esforcos de extremidade e sistema de eixos local b Tracar os diagramas dos esforcos normal cortante e momento fletor Nos diagramas de cortante e momento indicar o grau da curva e representar trˆes pontos No diagrama de momento indicar se houver o ponto de tangente nula c Escrever a equacao do momento fletor Figura 322 Questao 34 28 Figura 323 Questao 34 continuacao a Para a representacao da barra 12 devem ser seguidos os mesmos passos da Questao 33 Dessa forma obtemse o desenho completo mostrado na Figura 324 x y 1 2 5 20 120 25833 25833 4 m 50 Figura 324 Questao 34a b Diagramas da barra 12 29 Diagrama de Normal 25833 Diagrama de Cortante 2º grau 0 x2 V325 50 Diagrama de Momento 3º grau tg 0 em x4 x2M35 120 Figura 325 Questao 34b c Momento fletor Mx 10 ˆx2 0 625 ˆx3 35 Prova I 022018 5 Para o portico da Figura 326 pedese a Sem realizar calculos apresentar a decomposicao do portico em estruturas isostaticas o mais sim ples possıvel e indicar o processo de calculo das reacoes de apoio b Sem realizar a decomposicao da estrutura abrir a malha DBC na rotula D e calcular os esforcos atuantes na extremidade D da barra DC e da barra DB c Com base no resultado obtido na letra b calcu lar os esforcos atuantes na secao S d Fazer o equilıbrio de barras e nos e Tracar os diagramas de esforcos solicitantes nor mal cortante e momento fletor das barras DC e CB Dadas as Reacoes de Apoio RA 45 kN RB 75 kN e HB 160 kN 4 m A B 30 kNm D 3 m 3 m C S 20 kNm 15 m 2 m 40 kN Figura 326 Questao 35 5Karla Fernanda dos Santos 30 a A decomposigao do pértico em estruturas C isostaticas é feita através da inspecao das rotulas do modelo Apds analisar a adequada D separacao das rotulas devese verificar qual barra precisa receber apoios ficticios resul tantes da separagao da estrutura D B Neste caso ressaltase que a rotula localizada em D é excéntrica ou seja a barra CD tem Hy H liberdade de giro em relacgéo ao conjunto ADB Separando a barra CD do trecho R A AR ADB observase que o trecho DCB tornase D 8 isostatico com a adicgaéo de um apoio ficticio fixo em D mantendose a rotula em C Em seguida verificase que o trecho ADB é isostatico sem a adicao de nenhum apoio Cabe ressaltar que R R o apoio em B no qual concorrem duas barras HY H continua presente tanto no trecho DCB quanto 40 B 8 no trecho ADB D A decomposigéo e o processo de calculo das Il reacoes de apoio sao ilustrados na Figura 327 II O calculo das reag6es deve ser iniciado na estru tura I na qual sao obtidas as reagdes em D e B Na sequéncia as reacdes em D e B sao transfe A ridas com sentidos contrarios para a estrutura II Finalmente so calculadas as reagdes em A e B na estrutura II Figura 327 Questao 35 a 30 kNm C A b Observando o trecho DBC na Figura 328 podese notar que AON n a rotula D ja foi substituida por esforgos na extremidade da barra 1 DC Os esforcos Vp e Np serao calculados através das equacdes de 3 momento nulo nas réotulas C e B D V B De D NY 4m Figura 328 Questao 35 b DC yo 0320x3x15440x15Vpx30 Vp 50kN2 DCB ou 05 Np x 440 1520x3x15430x4x20 Np 225kNt 31 225 kN M SOKNV D N i Vs c Obtidos os valores de Vp e Np é possivel encontrar os esforgos na secao S A F g estratégia mais simples consiste em partir do apoio A e levar todos os esforgos até S fa zendo o caminho ADS conforme indicado A na Figura 329 A 45 kN Figura 329 Questao 35 c S 0 Fy 0 45 225 Vs 0 Vg 22 5 KN J Fy 0 20 x 350 Ns 0 Ng 110 kN iM 0 45 x 2420x 3x 154 225 x 2 Ms 0 Mg 45kNm x A correta representacaéo dos esforcos em S é ilustrada na Figura X Ng 110 kN compressao Vg 225 kN positiva Ms 45 kNm traciona o lado de referéncia 45 kNm A 225 KN 110 kN a C S q 110 kN Vo 45kNm 225 kN Figura 330 Questao 35 c Esforgos em S d Equilibrio de barras e nés 32 4m A B 30 D 3m 3m 20 15 m 40 D 45 45 60 90 D B 110 110 90 225 225 4m C 50 225 975 50 20 15 m 225 50 225 50 D 90 90 60 45 225 225 110 50 B 975 50 110 225 160 75 C C 225 225 50 50 Figura 331 Questao 35 d e Diagramas das barras DC e CB D C 20 15 m 40 15 m 225 50 225 50 C 225 DN kN 20 20 50 50 DV kN 525 DM kNm Figura 332 Questao 35 e Barra DC 33 B 30 3m 4m C 50 225 975 50 C B a cos 08 sen 06 a a a 40 50 30 a 225 135 18 265 48 975 50 a 585 78 30 a 40 985 48 30x4 5 24 24 a 192 144 DNkN 265 985 DVkN 48 48 DMkNm 60 Figura 333 Questao 35 e Barra CB 36 Prova II 012018 6 Para a estrutura da Figura 334 pedese a Decomposicao em estruturas isostaticas o mais simples possıvel b Descrever o processo de solucao a partir da de composicao indicando a sequˆencia e os esforcos transferidos A D E F P C B G Figura 334 Questao 36 a A decomposicao do portico em estruturas isostaticas e feita atraves da inspecao das rotulas do modelo e adicao de apoios fictıcios conforme apresentado nas Questoes 33 e 35 Para o presente exemplo obtemse a seguinte decomposicao 6Lorena Leocadio 34 D E F P C A D C A C B RC I HC I RD I HD I HD I RD I RC II HC II HA II RA II RA II HA II RA III HA III RC I RC II HC I HC II RB III HB III I II III G Figura 335 Questao 36a b O processo de solucao e iniciado na estrutura I na qual sao calculadas as reacoes nos apoios C e D Em seguida resolvese a estrutura II que recebe as reacoes do apoio D calculadas na estrutura I Na sequˆencia calculamse as reacoes nos apoios A e C Finalmente a solucao e encerrada na estrutura III Neste caso as reacoes do apoio C calculadas nas estruturas I e II sao somadas e transferidas para a estrutura III Alem disso as reacoes do apoio A da estrutura II tambem sao transferidas para essa estrutura Finalmente calculamse as reacoes nos apoios A e B 37 Prova I 012022 7 Para o portico representado na Figura 336 cujas reacoes de apoio ja sao conhecidas pedese 7Ana Clara Pedras Bueno 35 a Abrir o quadro CDFE em uma secao trans versal localizada na rétula E e calcular os 20 kNim esforcos internos atuantes tye yy yeti i E F b Equilfbrio de barras e nds da estrutura E 7 10kNm c Tracar os diagramas dos esforgos normal cortante e momento na barra FD E 25kNm d Tracar os diagramas dos esforgos normal 0kNim cortante e momento na barra CA L PP pee ae tea gy O e Obter as equacgées do esforgo cortante e do t Cc D esforco momento na barra CA Dadas as Reagoes de Apoio E o Ra 9625 kNt Ha 30 kN 40kN Rp 6375 kNt e Hp 5 kN a a Observagao Em cada diagrama deve ser A informada uma ordenada e sua respectiva 3OkNm H30kN H5KkN B posicaéo no eixo local da barra caso seja uma A R 9625kN R 63 aint fungaéo constante duas ordenadas e suas ca Am posicgdes caso seja uma fungao linear e trés ordenadas e suas posicdes para fungdes Figura 336 Questo 37 quadraticas e ctibicas 6 20 kNm A H F a Abrindo o quadro CDFE em uma segaéo ne E E LOkNm transversal na rétula E e adicionando as corres i pondentes esforcos internos temse o DCL apre 25kNm i sentado na Figura 337 Aplicando o equilfbrio i de momento fletor nas rétulas dos nos C e D i obtémse Cc D 4m i Figura 337 Questao 37 EC Yo Mel 0 3x H250 H 8333kN EFD My 0 3x H20x4x2 10x 2x 14x V 0 V 5125kN f 36 b Equilıbrio de barras e nos 25kNm C E F 10kNm 30kNm 20 kNm 5125 kN 833 kN 2875 kN 833 kN 45 kNm E 833 kN 5125 kN 833 kN 5125 kN 833 kN 5125 kN 833 kN 5125 kN F 2875 kN 833 kN 2875 kN 833 kN 45 kNm 45 kNm 2875 kN 833 kN E C 2875 kN D F 20 kNm C D 45 kN 35 kN 2833 kN 2833 kN 20 kNm 2833 kN D 2875 kN 2875 kN 2875 kN 2833 kN 2833 kN 35 kN 20 kNm 6375 kN 5 kN C 5125 kN 833 kN 9625 kN 15 kN 2833 kN 45 kN A C 9625 kN 30 kN 9625 kN 15 kN D B 10kNm 40kN 6375 kN 5 kN 5 kN 6375 kN 20 kNm 45 kNm 20 kNm Figura 338 Questao 37 37 c Diagramas dos esforcos normal cortante e momento da barra FD 10kNm 2875 kN 833 kN 2875 kN D F 2833 kN DN kN 2875 DV kN 2833 833 DM kNm 45 3666 5 Figura 339 Questao 37 d Diagramas dos esforcos normal cortante e momento da barra CA 30 kN DN kN 9625 DV kN DM kNm C 30kNm A 9625 kN 9625 kN 15 kN 103 30 15 3 eq 2 grau eq 3 grau Figura 340 Questao 37 38 e Tomando x igual a zero na extremidade do no Cconforme Figura 341 a equacao do esforco cortante da barra CA e dada por V x 15 10x2 2 V x 15 5x2 Fazendo Vx igual a zero obtemse V x 0 15 5x2 0 x2 3 x 3 C 9625 kN 15 kN S y10x x Figura 341 Questao 37 Do mesmo modo temse que a equacao do momento fletor da barra CA e Mx 15x 10x2 2 x 3 Mx 15x 5x3 3 Assim tomando x 3 temse que o momento fletor maximo na barra CA e dado por Mmax M 3 15 3 5 33 3 Mmax 10 3 38 Prova II 012022 8 Para o portico composto representado na Figura 342 apresente a decomposicao nas formas mais simples possıveis e indique o procedimento de solucao para o correto calculo das reacoes de apoio A decomposicao do portico em estruturas isostaticas e feita atraves da inspecao das rotulas do modelo e da adicao de apoios fictıcios con forme ja apresentado em questoes anteriores O presente portico tem a seguinte decomposicao conforme Figura 343 A B C D H G E F Figura 342 Questao 38 8Ana Clara Pedras Bueno 39 E F G E D H I II D A H III IV G C B H HE I RE I RE I HE I HG I RG I HH II RH II HD II RD II RD II HD II HH III RH III RG I HG I RH II RH III HH IIHH III Figura 343 Questao 38 O processo de solucao iniciase pela estrutura I na qual sao calculadas as reacoes nos apoios E e G Pos teriormente resolvese a estrutura II que recebe as reacoes do apoio E calculadas na estrutura I e transferidas com sentido contrario Assim calculamse as reacoes nos apoios D e H As reacoes obtidas para o apoio D na estrutura II sao transferidas para a estrutura III com sentido contrario Em seguida as reacoes dos apoios A e H sao calculadas Por fim calculamse as reacoes dos apoios B e C da estrutura IV que recebe as reacoes do apoio G obti das na estrutura I e da soma das reacoes do apoio H obtidas nas es truturas II e III 40 Capitulo 4 Arcos 41 Prova II 012018 Para o arco apresentado na Figura 43 cuja geometria é dada pela Equacdo 41 pedese o cdlculo dos esforgos solicitantes na secéo S momento fletor cortante e normal indicando os sinais de acordo com a convengéo Para o momento fletor considerar como referéncia o lado interno do arco y0 le 2 41 20 kNm s C y 16 nf A x B ts Be RES el Hy A A Vy Vp 1m 1m 6m lm in Figura 41 Questao 41 A solugao se inicia com o calculo das reacdes de apoio 20 x 8 BC oe 0 80x220x1x05Hgpx160 Hp 9375kN Fy 0 Ha 93 75kN Na sequéncia é feito o equilibrio na secao 5 conforme mostra a Figura 42 Lorena Leocddio Al 20 N M 9375 s 5 oH 7 S Qa 9375 oo V A 9375 cos a 60 a 60 cos a q 60 NX 80 201 60 9375 y I 1m 1 lm Figura 42 Questao 41 Equilfbrio Os valores de sen a e cosa sao obtidos através da equacaéo do arco dy te a 2 02r 1 gla a 2a sena 0514 t 02x241 8Ylr2 2x24 06 en 0 857 De posse dos valores de sena e cosa obtémse os esforgos na seao solicitada So Fer 0 60 x sena 9375 x cosa Ng 0 Ng 11118kN compressao Ss Fy 0 60 x cosa 9375 x sena Vg 0 Vj 3 23 kN positiva S M 0 80 x 2 9375 x 1620x 1x 05Ms 0 Ms 0 42 Prova II 022018 Para o arco apresentado na Figura 43 cuja geometria é dada pela Equacdo 42 pedese o cdlculo dos esforgos solicitantes na secéo S momento fletor cortante e normal indicando os sinais de acordo com a convencgao Para o momento fletor considerar como referéncia o lado interno do arco Dadas as reacdes de apoio Ra 54 kN f Rp 66 kN t H 4125 kN 4 5 8 a 42 Y 95v 5 42 Lorena Leocadio 42 H ry 10kNm 20 kN C 40kN S 4m A B 5m sly Sm Figura 43 Questao 42 Os esforcos sao obtidos a partir do equilibrio da segéo S conforme mostra a Figura 44 10 M wN G 4125 sena y 20 S 0 4125 Vv A 4125 cos a 24 sen qs 24 cos a 24 336m N 54 20 101 24 4125 a y sd Leg 2m pa im Figura 44 Questao 42 Equiltbrio Os valores de sen a e cosa sao obtidos através da equacaéo do arco tg a 8 8 a24 25 5 sena 0539 t 0 64 8 Or3 0 64 pee 0 842 A coordenada y na secgéo S é dada por 4x9 8x3 336m YS 95 5 43 Finalmente de posse dos valores de sena e cos obtémse os esforgos na secao solicitada So Fy 0 24 x sena 4125 x cosa Ng 0 Ng 47 67 kN compressao So Fy 0 24 x cosa 4125 x sena Vg 0 Vg 2 03 KN negativa S Mz 0 54x 3420x1410 1x 054 4125 x 336 Ms 0 v Mg 160kNm comprime o lado de referéncia 43 Prova II 012022 3 Determinar a forma do arco correspondente a linha de pressdes para o carregamento e a geometria da Figura 45 Considere a simetria do arco e lembrese que a presenca da forga concentrada define uma mudanga na descricéo da geometria do arco 5OkKN 5OkKN 10kNm oO 4 C E A B Dy 1 ib lm 4m pla 4m ilm Figura 45 Questao 43 Para determinacéo da forma do arco podese partir do esquema apresentado na 45 onde A B e C representam pontos das extremidades e do centro do arco respectivamente Assim a solucdo se inicia pelo calculo das reacdes de apoio verticais V4 Vp 10 x 5 50 100k N 7 Em seguida como o ponto C esta situado na linha de pressao do arco para determinar a reacao de apoio horizontal podese fazer equilibrio de momento fletor em C temse portanto AC yo Mel 0 100 x 5 10 x 5 x 25 50 x 4 A x 3 0 H 5833kN Assim a expresséo geral de momento fletor pode ser escrita como 10x M 58 33y 1002 50 1esim 9 2 x0 3 Ana Clara Pedras Bueno 44 Finalmente para determinar as expressoes que descrevem a geometria do arco devese isolar y na expressao acima Avaliando x 1m da esquerda para direita temse y 1 58 335x2 100x 0 0875x2 1 714x Avaliando agora 1m x 5m da esquerda para direita temse y 1 58 335x2 50x 50 0 0875x2 0 857x 0857 45 Capitulo 5 Grelhas 51 Prova II 012018 Para a grelha apresentada na Figura 51 pedese a As reagoes de apoio b O equilibrio de barras e nos c Os diagramas de esforgos solicitantes de todas as barras 2 1 y 4kNmm 80kN q q 80 kN 4kNmm x C f y A Db x 15kNm 40 KN D 15kNm 2m 40 kN Cc 3m A 2m A 4 12kNm q 15kNm 12kNm B 15kNm B xv S 2m 2m 4m Figura 51 Questao 51 a Calculo das reagées de apoio Yo Me 0 Ra x 4415 x 5x 280 x4120 Jo Ra 4550kN YIM 9 Re x 44455 x 1 15 x5 x 2540x24x4150 Re 305kN F 0 Rat Rp t Ro 15x 540800 J Ro 130kN b Equilibrio de barras e nés Lorena Leocadio 46 D B A C 264 12 455 kN 15kNm B 1205 90 249 305 15 320 320 1205 C 130 16 16 80 320 320 50 320 80 16 C 50 16 320 320 90 320 249 α α α 1992 1494 256 192 B A 455 1205 96 72 B 264 4054 72 80 4 40 Figura 52 Questao 51b c Diagramas de todas as barras 47 72 AB BC 320 320 264 DT kNm DM kNm DV kN CD 16 1205 90 80 455 50 1606 4054 151 84 16 Figura 53 Questao 51c 52 Prova II 022018 2 Para a grelha apresentada na Figura 54 pedese a As reacoes de apoio b O equilıbrio de barras e nos c Os diagrama de esforcos solicitantes de todas as barras Dados cosθ 0 8 senθ 0 6 Figura 54 Questao 52 2Lorena Leocadio 48 a Calculo das reagées de apoio Yo Mr 0 80 x 5415 x 4x5 40 x 25 10 x 08 Ro x 54x80 Ro 800kN 51 YIM 0 80 x 2 15 x 4x 4440 x 4 10x 06 Rp x 88 x6 0 Rp 2475kNO 52 SF 0 8 2475 40 80 15 x 4 Ry 0 Ra 1275kNO 53 b Equilibrio de barras e nés 4 4 A 1275 2475 B O 16 16 1275 2475 51 99 51 16 1275 Or D 16 99 9475 e 7 150 O 12 150 32 rr 0 12 6 40 2 0 a 028 fa 4 130 28O t F 15 50 t TL 22 15 80 50 22 C 130 14 Figura 55 Questao 52b 49 c Diagramas de todas as barras 16 DT kNm AD DM kNm DV kN 51 1275 16 99 2475 150 144 32 70 62 12 28 zero 50 80 130 725 zero 8 22 05 1467 m 75 213 1467 m 14 DB DE FE EC Figura 56 Questao 52c 50 53 Prova II 012022 3 Para a grelha representada na Figura 57 pedese a Equilıbrio de barras e nos b Diagramas de esforcos solicitantes da barra EF indicando um dois e trˆes valo res para diagramas constantes lineares e quadraticos respectivamente Observacoes A barra EF esta submetida a uma forca distribuıda de valor 15kNm e a um momento de torcao distribuıdo de valor 30kNmm Reacoes de apoio fornecidas todas positivas segundo eixo z RC 88 125 kNRD 62 5 kNe RF 21 875 kN x y z D A B E F C 30kNmm 30kN 15kNm 15kN 30kNm 15kNm 15kNm 2 m 2 m 15 m 2 m 30kN 15 m 075 m Figura 57 Questao 53 a Equilıbrio de barras e nos 5125 kNm 14625 kNm D A E F C 30kNmm 30kN 15kNm 15kN 15kNm 15kNm 88125 kN B 58125 kN 30 kNm B 15625 kN 553125 kNm 5125 kNm 30625 kN B 30kN 5125 kNm 60 kNm 60 kNm B 3250kN 95 kNm 6250kN E 553125 kNm 15625 kN 15625 kN 5125 kNm 553125 kNm 21875 kN E 15625 kN 5125 kNm 553125 kNm B 58125 kN 3250kN 95 kNm 14625 kNm 30kN 30kN 60 kNm 30625kN 5125 kNm 60 kNm Figura 58 Questao 53 3Ana Clara Pedras Bueno 51 b Para facilitar o desenvolvimento dos diagramas de esforcos solicitantes da barra EF devese decompor os esforcos nas extremidades da barra das coordenadas globais para as coordenadas locais da barra Assim temse 2 m 15 m x y x y α 553125 cos α 331875 x y x y α 5125 sen α 41 5125 cos α 3075 F 30kNmm 15kNm 21875 kN E 15625 kN 5125 kNm 553125 kNm 553125 553125 sen α 4425 5125 F 30kNmm 15kNm 21875 kN E 15625 kN 75 kNm 78125 kNm 2 m 15 m Figura 59 Questao 53 Representando a barra EF e suas solicitacoes no plano XY temse DV kN DM kNm DT kNm 15 kNm 30 kNm E F 75 kNm 78125 kNm 15625 kN 21875 kN 21875 15625 78125 1595 75 10417m 15625 Figura 510 Questao 53 52 Capıtulo 6 Trelicas 61 Prova II 012018 1 Para a trelica apresentada na Figura 61 pedese a Utilizando o metodo das secoes calcular o esforco normal na barra CD b Preencher a tabela a seguir calculando os esforcos nas demais barras pelo metodo dos nos Figura 61 Questao 61 Barra Esforco CompTracao AB BC CD DE DF AG GH HI IJ GB BH HC HN IN CN NJ 1Lorena Leocadio 53 a J Ny O I Nyy 4m Fazendo um corte nas barras IJ NJ e CD apresentado N ao lado é possivel calcular o valor de Ncp da seguinte forma A a a S My 0 Nep x 440 x 55 20x 150 t 61 40 kN 20 kN Nop 475kN 62 4m 15 m Figura 62 Questao 6la b Analisando o no G ilustrado na Figura 63 verificase a presenca de uma barra GB naocolinear a duas barras colineares AG e GH Neste caso as normais Ney e N4g sao iguais entre sie Neg é nula x y So Fy 0 New 0 Nou S0 Fy 0 Neu Nac 0 G oe Nou Nag Nes Procedendo de maneira andloga na metade esquerda da estrutura temos N ac Nes Nea Nac Nnu Nin 0 Figura 63 Questao 61b N6 G Nac New Nar Nis Nuno Nn Nap Ncw Desse modo as demais barras solicitadas no enunciado podem ser calculadas utilizando apenas o equilibrio dos nés C e A N Fazendo o equilibrio do né C CN N ec 4 a sena 0936 cos 0351 Cc 47 SkN S Fy 0 Non x sena 20 0 Now 21368 kN 20 kN S Fy 0 Now x cosa 475 Ngo 0 Figura 64 Questao 61b N6 C Nec 550kN 54 N ac Oo Fazendo o equilibrio do né A sen 0588 cos 0 809 A Nec 0 0 So Fy 0 Nag x senO 40 0 40 kN Nag 68027kN Figura 65 Questao 61b N6 A Os esforcos de todas barras solicitadas no enunciado so apresentados na tabela a seguir Esforgo kN ComprTragao 3007 8027 8027 58007 ce BH THC HN 0 TINT 0 31308 31368 55 62 Prova II 012022 2 Para a trelica representada na Figura 66 pedese a Marque na folha da prova as barras com esforco nulo b Usando o metodo das secoes calcular os esforcos nas barras JH HI e GE Indicar se o esforco e de tracao ou compressao c Usando o metodo dos nos calcular os esforcos nas barras ON e OM Indicar se o esforco e de tracao ou compressao A B D C E F G H 4 m 4 m 4 m 4 m 4 m 20 kN 20 kN 20 kN J K I 3 m M L 30 kN 30 kN 3 m 3 m 3 m N O Q P R 4 m 30 kN 200 kN 120 kN 1120 kN 920 kN Figura 66 Questao 62 a Barras que possuem esforco normal nulo Como as barras QR e QORO e RP PO e PN sao barras nao colineares sem forca aplicadaem seus respectivos nos o esforco normal destas barras e nulo R Q O O P R N O P nulo nulo nulo nulo nulo nulo Figura 67 Questao 62 Como no no M ha duas barras colineares MO e MI e uma barra nao colinear MN sem forca aplicada a barra nao colinear MN possui esforco normal nulo De modo analogo temse respecti vamente para os nos G C e K as barras GH CD e KI com esforco normal nulo 2Ana Clara Pedras Bueno 56 N M I O nulo E G I H D C E A nulo nulo nulo K I N L Figura 68 Questao 62 Ao analisar o no B temse um apoio articulado movel e por isso nao ha reacao horizontal Como a reacao vertical do apoio e colinear com a barra BD temse esforco normal nulo na barra AB A B D 920 kN nulo Figura 69 Questao 62 Portanto as barras QR QO RO RP PO PN MN NI GH CD e AB possuem esforco normal nulo b Fazendo um corte horizontal nas barras GE HE e HF como representado na Figura 610 e possıvel calcular o esforco normal na barra GE J K G I H 4 m 4 m 4 m 3 m 20 kN M L 30 kN 30 kN 3 m 3 m 3 m N O Q P R 4 m 200 kN E F Figura 610 Questao 62 Assim aplicando o equilıbrio de momento fletor no no H temse 57 SS Mu 0 Naw x 3 30 x 4 30 x 8 200 x 9 0 Neg 720kNC Fazendo agora um novo corte horizontal na barras GI HI e HF conforme Figura 611 é possivel determinar do esforgo normal na barra JH K A R 6 It 30 KN A Ee st t 30kN I Q Oo M J E st 200 kN v O G H Figura 611 Questao 62 Aplicando o equilibrio de momento fletor no né I temse S Mr 0Nun x 3 30 x 4 200 x 6 0 Nyx 440kNT Finalmente para determinacgaéo do esforgo normal na barra HI aplicase o equilibrio de forcga horizontal Obtémse entéo S Fy 0 Nuy1cosa 30 30 0 Nutr 100kNT c Fazendo o equilibrio do né O lembrando que os esforgos normais nas barras QO QR e OP sao nulos temse N S Fy 0 Nonsena 200 0 como sena 08 0 Non 250kNT O M So Fr 0 Now Noncosa 0 200 kN como cosa 06 Non 150kNC Figura 612 Questao 62 58 Capıtulo 7 Linhas de Influˆencia 71 Prova III 012018 1 Para a trelica apresentada na Figura 71 considerando o carregamento vindo por cima pedese 3 16 9 16 9 16 LI de NFE Figura 71 Questao 71 a A linha de influˆencia para o esforco normal da barra BF b Dada a linha de influˆencia do esforco normal da barra FE calcular os valores maximo e mınimo para esse esforco considerando o tremtipo fornecido e uma forca permanente de 20 kNm a Utilizando o metodo das secoes com o corte apresentado na Figura 72 e possıvel calcular o valor de NBF em funcao da reacoes de apoio RG e RE 1Thaianne Simonetti de Oliveira 59 A B Nuc N fe C D a Noe Noe Nor Nor oi R F R x 3m 3m 3m 3m 3m 3m y Figura 72 Questaéo 7la Corte para o célculo de Ngrp Sabendo que cosa 06 e sena 08 temos Para x 6 m utilizando o lado direito do corte sem a presenga da carga unitdria S 0 Fy 0 Nee x 08 Re 0 Neer 125Re 71 Para x 12 m utilizando o lado esquerdo do corte sem a presenga da carga unitdria Fy 0 Ngr x08 Re 0 Ner 125Re 72 Na sequéncia é necessdrio tracar as linhas de influéncia das reacgdes Rg e Re 125 Li deR oo G E J 025 125 Tl Li deR a 0252 G E 3m 12m 3m Figura 73 Questao 71a Linhas de influéncia das reagdes Rg e Rp 60 Finalmente a linha de influˆencia de NBF e tracada utilizando as Equacoes 71 e 72 e as linhas de influˆencia de RG e RE F B RG RE 03125 03125 03125 03125 125 125 LI de NBF Figura 74 Questao 71a Linha de influˆencia de NBF b Os valores extremos do esforco desejado neste caso o esforco normal em uma barra de trelica sao dados pela superposicao das acoes do peso proprio forca permanente com as acoes do tremtipo forcas acidentais moveis A forca distribuıda permanente deve ser imposta sobre toda a extensao da linha de influˆencia Ja as forcas moveis sao aplicadas de forma a minimizar ou maximizar o esforco analisado definindo posicoes crıticas para o tremtipo Essas posicoes sao escolhidas tendo em vista que o valor resultante e dado pelas seguintes contribuicoes Soma dos produtos de cada forca concentrada pela correspondente ordenada da linha de in fluˆencia Soma dos produtos de cada forca distribuıda pela correspondente area da linha de influˆencia Para obter a parcela relativa ao peso proprio calculamse as areas da linha de influˆencia fornecida A1 3 16 3 1 2 3 32 0 28125 triˆangulo de altura 316 A2 9 16 12 1 2 54 16 3 375 triˆangulo de altura 916 A3 9 16 3 1 2 27 32 0 84375 triˆangulo de altura 916 Area total AT A1 A2 A3 2 25 De posse da area total e do valor da forca distribuıda permanente qPP obtemse o esforco normal devido ao peso proprio 61 NPP qpp x Ap 20x 225 NPP 45 kN Na sequéncia é necessdrio calcular os esforgos extremos minimo e méximo provocados pelas forcas méveis As posicoes criticas do tremtipo devem seguir as seguintes orientacées e As distaéncias entre as cargas concentradas relacionadas ao veiculotipo devem ser mantidas fixas e Considerando a acao do tremtipo nos dois sentidos do percurso horizontal a posicéo das forgas concentradas pode ser espelhada caso necessario Nocaso do tremtipo apresentado na Figura 71 existe uma unica magnitude de forca distribuida relacionada a carga de multidaéo Neste caso tal forga pode ser estendida ou interrompida o tanto quanto desejado quando se buscam as condicdes mais desfavordveis para o esforco em questao Dito isso o esforco normal minimo devido as forgas méveis NMoxel é obtido na configuracaéo da Figura 75 A posicao do tremtipo é tal que a maior forca concentrada é aplicada sobre a menor ordenada da linha de influéncia com a forca distribuida imposta sobre todas as areas negativas a2m 3m 30kN 30kN 10 kN 15 kNm Y Y vy YoY y ISkNiny y y 916 316 916 01875 3m 3m 3m 3m 3m 3m Figura 75 Questaéo 71b Configuracéo para o esforco normal minimo 9 NMevel 30 x 30 x 0 1875 15 x 0 84375 0 28125 39 375 kN 73 De maneira andloga definese a posigéo do tremtipo para o esforgo normal maximo devido as forcas moveis NMove 62 916 316 3 m 3 m 3 m 3 m 3 m 3 m 916 30 kN 2 m 30 kN 3 m 10 kN 04375 025 15 kNm Figura 76 Questao 71b Configuracao para o esforco normal maximo NMovel MAX 30 9 16 30 0 4375 10 0 25 15 3 375 83 125 kN 74 Finalmente os valores extremos do esforco normal sao dados pela soma do resultado da forca permanente com os resultados das forcas moveis NMAX NMovel MAX NPP 83 125 45 128 125 kN NMIN NMovel MIN NPP 39 375 45 5 625 72 Prova II 022018 2 Tracar as linhas de influˆencia indicando pelo menos duas ordenadas em cada segmento de reta para a Momento fletor na secao S da viga Gerber abaixo Figura 77 Questao 72a b Esforco normal da barra HD da trelica abaixo 2Lorena Leocadio 63 Figura 78 Questao 72b a A solucao se inicia com a decomposicao da viga Gerber em estruturas isostaticas mais simples conforme mostra a Figura 79 Verificase que as vigas V2 e V3 transferem esforcos para a viga V1 na qual esta localizada a secao de interesse para a linha de influˆencia do momento fletor S A B S C D E F F E D C A B S G G V2 V3 V1 Figura 79 Questao 72a Decomposicao da viga Gerber Feita a separacao da viga Gerber e possıvel construir a linha de influˆencia analisando as vigas V1 V2 e V3 lembrando sempre que estamos interessados no momento fletor na secao S 1 Primeiramente analisamos a forca unitaria percorrendo a viga V1 Uma vez que a secao S se encontra nessa propria viga podemos obter a linha de influˆencia de MS a partir das reacoes de apoio RA e RB 64 A B S 1 1 2 m 2 m 2 m V1 1 05 1 15 LI de RA LI de RB LI de MS x 2 Ms 2 RB x 2 Ms 2 RA 3 05 05 2 x Figura 710 Questao 72a LI de MS viga V1 2 Em seguida analisamos a forca unitaria percorrendo a viga V2 Neste caso basta analisar a transferˆencia dos esforcos de V2 para V1 feita por meio do apoio fictıcio em C Caso a reacao em C seja nula nenhuma forca sera transmitida para a viga V1 o que resultara em MS igual a zero Uma vez que V2 e uma viga biapoiada sabemos que a reacao em C sera nula quando a forca unitaria for aplicada sobre o apoio D conforme mostra a Figura 711 Logo podemos simplesmente ligar a linha de influˆencia ate zero no ponto correspondente ao apoio D e prolongar a reta ate a extremidade de V2 65 A B S 2 m 2 m 2 m 2 m 2 m V2 C D E 1 1 0 0 1 1 MS 0 1 1 1 V1 Figura 711 Questao 72a LI de MS viga V2 3 Finalmente analisamos a forca unitaria percorrendo a viga V3 para construir o trecho final da linha de influˆencia Como os esforcos sao transferidos de V3 para V2 por meio do apoio fictıcio em E podemos usar o mesmo procedimento do item anterior a reacao no apoio E e nula quando a forca unitaria e aplicada sobre o apoio F Neste caso nenhuma forca sera transmitida para V2 e consequentemente para V1 implicando em MS igual a zero Desse modo basta ligar a linha de influˆencia ate zero no ponto correspondente ao apoio F e prolongar a reta ate a extremidade de V3 66 F E D C A B S G 1 1 1 V3 1 0 0 0 0 0 MS 0 1 1 1 1 2 m 2 m 2 m 2 m 2 m 2 m 2 m V2 V1 Figura 712 Questao 72a LI de MS viga V3 b Utilizando o metodo das secoes com o corte representado na Figura 719 e possıvel calcular o valor da normal NHD em funcao das reacoes RB e RD 67 F G HN Ny I J F Nav o Nup A B Nop Nop D E 4m 4m 4m 7 4m Figura 713 Questao 72b Corte para o calculo de Nyp Sabendo que cosa 08 e sena 06 temos Para x 8 m utilizando o lado direito do corte sem a presenga da carga unitdria oR S Fy 04 Nup x 06 Rp 0 Nup 75 Para x 12 m utilizando o lado esquerdo do corte sem a presenga da carga unitdria oR So Fy 0 Nup x 06 Rg 0 Qs Nup 76 Na sequéncia é necessario tracar as linhas de influéncia das reacoes Rg e Rp 15 1 05 15 Li deR 05 4m 4m 4m pi 4m Figura 714 Questao 72b Linhas de influéncia das reagdes Rp e Rp Finalmente obtémse a linha de influéncia de Nyp a partir das Equacoes 75 e 76 e das linhas de influéncia de Rp e Rp 68 E D B A 3 m 4 m 4 m 4 m 4 m F G H I J C 5 6 5 6 5 6 5 3 5 3 Figura 715 Questao 72b Linha de influˆencia de NHD 73 Prova II 022018 3 Para a linha de influˆencia representada abaixo referente ao momento fletor em uma certa secao de uma viga Gerber calcular os valores extremos deste esforco considerando o tremtipo e o carregamento permanente fornecidos Figura 716 Questao 73 tremtipo 05 1 2 4 m 4 m 2 m 2 m 2 m 1 m Figura 717 Questao 73 linha de influˆencia Primeiramente calculamse as areas da linha de influˆencia fornecida A1 2 8 2 8 triˆangulo de altura 2 A2 1 4 2 2 triˆangulo de altura 1 A3 0 5 3 2 0 75 triˆangulo de altura 0 5 Area total AT 8 2 0 75 6 75 De posse da area total e possıvel calcular a parcela do momento fletor relativa ao carregamento permanente MPP qPP AT 10 6 75 67 5 kNm 3Lorena Leocadio 69 Na sequˆencia definemse os carregamento moveis que levam aos momentos fletores mınimo e maximo Mmovel MIN e Mmovel MAX Seguindo os mesmos passos da Questao 71 obtemse 05 1 2 4 m 4 m 2 m 2 m 2 m 1 m 40 kN 80 kN 3 m 20 kNm Figura 718 Questao 73 Configuracao para o momento fletor mınimo Mmovel MIN Mmovel MIN 80 1 40 0 5 20 2 100kNm 05 1 2 4 m 4 m 2 m 2 m 2 m 1 m 40 kN 80 kN 20 kNm 3 m 20 kNm 05 Figura 719 Questao 73 Configuracao para o momento fletor maximo Mmovel MAX Mmovel MAX 80 2 40 0 5 20 8 0 75 355kNm Finalmente os valores extremos do momento fletor sao dados pela soma do resultado da forca permanente com os resultados das forcas moveis MMIN 67 5 100 32 5kNm MMAX 67 5 355 422 5kNm 70 74 Prova III 022016 a Para a viga Gerber da Fig 720 tracar a linha de influˆencia do momento fletor na secao C A B C D E F G H I J 2 m 5 m 2 m 5 m 2 m 5 m Figura 720 Questao 720 b Dada a linha de influˆencia da forca normal de uma determinada barra de trelica pedese para calcular a forca normal maxima e mınima segundo o trem tipo apresentado na Fig 721 067 067 0333 p 20 kNm q 30 kNm 40 kN 100 kN 2 m Força acidental Força permanente 32 m 32 m 64 m 64 m Figura 721 Questao 720b a Seguindo os mesmos passos da Questao 72 obtemse a seguinte linha de influˆencia A B C D E G H J 1 125 1 04 2 m 25 m 25 m 2 m 5 m 2 m 5 m Figura 722 Questao 720a Linha de influˆencia do momento fletor na secao C 71 b Seguindo os mesmos passos das Questoes 71b e 73 a solucao se inicia com o calculo das areas da linha de influˆencia A1 0 333 3 2 2 0 5328 triˆangulo de altura 0 333 A2 0 67 9 6 2 3 216 triˆangulo de altura 0 67 A3 0 67 6 4 2 2 144 triˆangulo de altura 0 67 Area total AT A1 A2 A3 1 6048 De posse da area total calculase a parcela relativa ao carregamento permanente NPP qPP AT 20 1 6048 32 1 kN Em seguida definemse os carregamentos moveis para os esforcos normais mınimo e maximo NMovel MIN e NMovel MAX posicionando corretamente o tremtipo sobre a linha de influˆencia 067 067 0333 32 m 32 m 64 m 64 m 100 kN 40 kN 30 kNm 2 m 0461 Figura 723 Questao 720a Carregamento movel para o esforco normal mınimo NMovel MIN 100 0 67 40 0 461 30 0 5328 3 216 197 9 72 067 067 32 m 32 m 64 m 64 m 40 kN 30 kNm 2 m 0461 100 kN Figura 724 Questao 720a Carregamento movel para o esforco normal maximo NMovel MAX 100 0 67 40 0 461 30 2 144 149 8 kN Finalmente os valores extremos do esforco normal sao dados pela soma do resultado da forca permanente com os resultados das forcas moveis NMIN 32 1 197 9 230 kN NMAX 32 1 149 8 117 7 kN 75 Prova III 012022 4 Pedese a A linha de influˆencia do esforco momento de flexao na secao S da viga Gerber re presentada na Figura 725 indicar duas ordenadas por segmento A B D E H G S C F 1 m 2 m 2 m 2 m 2 m 1 m 1 m 1 m Figura 725 Questao 75 b A linha de influˆencia do esforco normal da barra EH da trelica representada na fi gura ao lado indicar duas ordenadas por segmento Considere o carregamento no banzo inferior A B C E G D H I K 4 m 4 m 4 m 4 m 4 m 3 m J L F Figura 726 Questao 75 4Ana Clara Pedras Bueno 73 c O intervalo de variacao do esforco cor respondente momento a linha de in fluˆencia representada na Figura 727 considerandose o carregamento acidental Trem Tipo e o carregamento permanente indicados 2m 2m 2m 2m 2m 2m 2m 10 10 10 10 Figura 727 Questao 75 20 kNm 40 kN 80 kN Trem Tipo 3 m Figura 728 Questao 75 Carregamento permanente p 10 kNm Figura 729 Questao 75 a Inicialmente devese realizar a decomposicao da viga Gerber em vigas isostaticas mais simples conforme apresentado na Figura 730 Verificase assim que as vigas V1 e V3 transferem esforcos para a viga V2 na qual esta localizada a secao de interesse para a linha de influˆencia do momento fletor 2m 2m 2m 1m 1m 1m 2m 1m H G F S E F C D B C A V1 V2 V3 C B A D E F G H S Figura 730 Questao 75 Feita a decomposicao da viga Gerber e possıvel construir a linha de influˆencia do momento fletor na secao S analisando as vigas V1 V2 e V3 da seguinte forma 1 Devese primeiramente analisar a forca unitaria percorrendo a viga V2 uma vez que a secao S esta localizada nesta viga podese entao obter a linha de influˆencia de MS a partir das reacoes de apoio RD e RE 74 D E F 2m 1m 2m 1m S C 125 1 05 025 125 05 1 025 LI de RD LI de RE x2 MS 2RE x2 MS 2RD 05 1 05 LI de MS V2 x Figura 731 Questao 75 2 Em seguida devese analisar a forca unitaria percorrendo a viga V1 Neste caso basta analisar a transferˆencia dos esforcos de V2 para V1 por meio do apoio fictıcio em C Caso a reacao em C seja nula nenhuma forca sera transmitida para a viga V1 o que resultara em MS igual a zero Como V2 e uma viga biapoiada sabese que a reacao em C sera nula quando a forca unitaria for aplicada sobre o apoio B conforme mostra a Figura 732 Assim podese simplesmente ligar a linha de influˆencia ate zero no ponto correspondente ao apoio B e prolongar a reta ate a extremidade A de V2 75 A D E F 2m 2m 1m 1m 2m 1m S C LI de MS 05 1 05 V2 V1 B C MS0 0 0 1 05 1 05 025 Figura 732 Questao 75 3 Finalmente para analisar a forca unitaria percorrendo a viga V3 para construir o trecho final da linha de influˆencia devese transferir os esforcos da viga V2 para a viga V3 por meio do apoio fictıcio F Para tal podese usar o mesmo procedimento descrito no passo anterior a reacao no apoio F e nula quando a forca unitaria e aplicada sobre o apoio G Neste caso nenhuma forca sera transmitida para V2 implicando em MS igual a zero Desse modo basta ligar a linha de influˆencia ate zero no ponto correspondente ao apoio G e prolongar a reta ate a extremidade H de V3 76 1 FE ORE Brae N z fo 0 0 ct D E f tr Se A Bo C M0 2 77 ue 0 0 05 05 a TN 1 025 Nt te I i 05 05 PN Llde M 025 Nt Ee 025 1 im 2m yim 2m yy 2m yim 2m yim Figura 733 Questao 75 b Fazendo um corte na treliga como representado na Figura 734 e aplicando o Método das Secoes é possivel calcular o valor da normal Ney em fungao das reacoes Ro e Ry B D F Net Nee H J L A a a y A C E No Ne G K 4m 4m 4m 4m 4m Figura 734 Questao 75 Como cosa 08 e sena 06 temse Para x 8 m utilizando o lado direito do corte sem a presenga da carga unitdria R 5R So Fy 0 Ry New x sena 0 Nev 06 Para x 12 m utilizando o lado esquerdo do corte sem a presenga da carga unitdria 77 R oR So Fy 05 Rot Neu x sena 0 Ney OG Na sequéncia fazse necessdrio tracar as linhas de influéncia das reagoes Ro e Ry B D F H J L A E G 1K 4 id 2 3 1 ee LiideR ee 1 1 13 I 1 I I 1 I 14 2 1 3 er L Lide R a 4m 4m 4m 4m 4m yy Figura 735 Questao 75 Finalmente a partir das equag6des anteriores e das linhas de influéncia de Rc e R obtémse a linha de influéncia de Ney 78 A B C E G D H I K 4 m 4 m 4 m 4 m 4 m J L F 5 9 5 9 5 9 5 9 5 3 5 3 Figura 736 Questao 75 c Devese inicialmente calcular as areas da linha de influˆencia da Figura 727 conforme indicado na Figura 737 A1 1 4 2 2 A2 1 4 2 2 A3 1 4 2 2 A4 1 2 2 1 AT 2 2 2 1 1 2m 2m 2m 2m 2m 2m 2m 10 10 10 10 A1 A2 A3 A4 Figura 737 Questao 75 De posse da area total e possıvel calcular a parcela do momento fletor relativo ao carregamento permanente MPP qPP AT 10 1 10 kNm Na sequˆencia definemse os carregamentos moveis que levam os momentos fletores mınimo e maximo Mmovel MIN e Mmovel MAX Seguindo os mesmos passos da Questao 71 obtemse 79 2m 2m 2m 2m 2m 2m 2m 10 10 10 10 20 kNm 40 kN 80 kN 20 kNm 80 kN 40 kN 20 kNm 20 kNm Figura 738 Questao 75 Mmovel MIN 80 1 20 1 2 140 kNm Mmovel MAX 80 1 20 2 2 160 kNm Finalmente os valores extremos do momento fletor sao dados pela soma do momento fletor devido ao carregamento permanente com a dos momentos fletores devido aos carregamento moveis MMIN 10 140 130 kNm MMAX 10 160 170 kNm E portanto 130 kNm M 170 kNm 80 Capıtulo 8 Princıpio dos Trabalhos Virtuais 81 Prova III 012018 1 Para o portico apresentado na Figura 81 cujas reacoes de apoio sao informadas pedese a Os diagramas de momento fletor e es forco normal de todas as barras para o carregamento dado b A rotacao da secao transversal no ponto E desprezando o efeito das deformacoes de cisalhamento e apre sentando as contribuicoes referentes aos esforcos normal e de flexao Dados EA 2 106kN EI 4 105 kN m2 RA 7 65 kN HA 108 kN RB 217 35 kN Figura 81 Questao 81 a De posse das reacoes de apoio fornecidas podese efetuar o equilıbrio de barras e nos conforme ilustrado na Figura 82 1Thaianne Simonetti de Oliveira 81 Figura 82 Questao 81a Equilıbrio de barras e nos Com base no equilıbrio de barras e nos obtˆemse os diagrama dos esforcos solicitantes requeridos 765 21735 Zero Zero 486 486 1875 Zero Figura 83 Questao 81a Diagrama de esforco normal e momento fletor b Para a obtencao da rotacao requerida e necessario determinar o diagrama dos esforcos solicitantes forca normal e momento fletor da Fase U quando e aplicada a acao unitaria 82 Figura 84 Questao 81b Fase U A partir do Figura 84 podese realizar o equilıbrio de barras e nos da estrutura na fase U Figura 85 Questao 81b Equilıbrio de barras e nos fase U Em seguida obtˆemse os diagrama de esforcos solicitantes para a fase U 83 1 Y Me 7 zero 7 zero Mb Yi VA ZG Hi y Zero Zero 01 Li a Dn KN Dm kNm Figura 86 Questao 81b Diagrama de esforgo normal e momento fletor fase U Finalmente calculase a rotagéo no ponto F relativa ao esforgo normal y e ao momento fletor Om On sr 7 65 x 01 x 9 21735 x 0 1 x 6 et Poa On 00000617625 rad 7 81 i 1 0 aD 1 1875 M7518 feos OK Sw dada Oy me tj x 1 x 2 x 33675 1875 x 10 5 x 1 x 187 5 x sf EE 810 3125 Oy 0 00124375 rad 82 Valor final da rotagao no ponto E 660ny Oy 0 0001182 rad 4 83 84 82 Prova III 012018 Para a grelha indicada na Figura 87 cujas reacdes de apoio foram informadas considerando que além do carregamento existe uma variacaéo de temperatura AT 30C na face superior e AT 20C na face inferior pedese a Os diagramas do momento fletor e de torgao de todas as barras para o car regamento dado b A rotacao na diregao do eixo CD da secéo transversal D considerando 5 kKNmm separadamente os efeitos das de co pd r formagées de flexdo e de torcao de vido a apenas o carregamento dado c A rotagao na diregao do eixo CD da 20 kN P 50 kNm secao transversal D considerando o efeito da variacéo de temperatura tO kWm B v Dados EI 4 x 10kNm 7p AL eeeea GJ 2 10kN m 4mm m a1x10C x Altura da secao transversal igual a 05 m Figura 87 Questio 82 Reacoes de apoio Ra 20 kN 1 Rp 45 KN t Ro 5 KN J nN mM tT fsuV AT AT a ma ant mr ant az tet fee aet nodToa de ma dx est EA est EI est GJ est GA est est h a De posse das reagdes de apoio fornecidas podese efetuar o equilibrio de barras e nés conforme ilustrado na Figura 88 25 Cl 25 5 So Cc 9 5 5 20 ng p 2 ep ee 20 5025 D ome eee ee ee 20 B oO 20 2 2 oO 45 Figura 88 Questao 82a Equilfbrio de barras e nos fase L Thaianne Simonetti de Oliveira 85 Com base no equilıbrio de barras e nos obtˆemse os diagramas dos esforcos solicitantes requeridos momento de flexao e de torcao Figura 89 Questao 82a Diagramas de momentos fletor e torsor fase L b Para obtencao da rotacao requerida e necessario determinar os diagramas de esforcos solicitantes momentos fletor e torsor da Fase U quando e aplicada a acao unitaria Figura 810 Questao 82b Fase U A partir do Figura 810 podese realizar o equilıbrio de barras e nos da estrutura na fase U 86 Figura 811 Questao 82b Equilıbrio de barras e nos fase U E em seguida obter os diagramas de esforcos solicitantes Figura 812 Questao 82b Diagrama de momentos fletor e torsor fase U Finalmente calculase a rotacao na secao transversal D sentido do eixo CD devido ao momento fletor θM e ao momento de torcao θT 87 Cc i 4 x 10 LE 125 cq dx 05 B 05 625 1 25 1 05 x 625 x 2544 x 2x 05 x 125 1 x 25 405 x 25 41x 125 4 x 105 3 d d d 6 a 26 0417 36 4583 629 0 000015625 rad 84 r 4x 105 4x108 7M 1 1 7 ZO 25 Op Vy dx 2x 105 Vy Cc 1 1 625 ox 108 x5 x 1 x 25 x 5 Ix 105 O7 00003125 rad 85 c Neste caso definese mesma fase U do item a Para calcular a rotagaéo considerando o efeito da temperatura 047 empregase 0 momento fletor da fase U e as temperaturas nas faces supeior e inferior AT AT gat ma dx est h Cc gat x o 20 30 30 dx 05 B 1 10 1x5 10 x x AT 00005 rad 86 05 2 83 Prova III 022016 3 Na Figura 813 encontrase um relatério do programa INSANE para uma grelha isostatica Pedese para calcular usando o Método da Carga Unitaria o deslocamento vertical no ponto 4 devido as deformacées da barra 23 oriundas dos esforgos de flexao e torgéo Indicar se 0 deslocamento ocorre no sentido positivo ou negativo do eixo y 3Thaianne Simonetti de Oliveira 88 Figura 813 Questao 83 Relatorio do programa INSANE para uma grelha isostatica A partir do relatorio apresentado podese tracar a grelha isostatica em analise Ressaltase que para o modelo de grelha o eixo y global e positivo no sentido 89 1 4 10 5 2 3 4 15 z x 4 m 3 m 3 m y Figura 814 Questao 83 Grelha isostatica E possıvel ainda obter os esforcos nas extremidades da barra 23 o que por sua vez permite determinar o diagrama dos esforcos solicitantes momentos fletor e torcor da fase L Figura 815 Questao 83 Diagrama dos esforcos solicitantes da barra 23 Fase L As caracterısticas do material tambem podem ser obtidas a partir do relatorio GJ 15000 kNm2 EI 52000 kNm2 Iz 2 6 103 m4 J 1 8 103 m4 Para a fase U definese a seguinte acao unitaria 90 Figura 816 Questao 83 Fase U A partir da Figura 816 sao obtidos os diagrama dos esforcos solicitantes da barra 23 na fase U Figura 817 Questao 83 Diagrama dos esforcos solicitantes da barra 23 Fase U Finalmente e possıvel calcular o deslocamento vertical 4 no no 4 devido as deformacoes da barra 23 oriundas dos esforcos de flexao e torcao 4 1 15000 1 2 3 34 5 22 5 3 1 52000 1 3 45 3 3 265 15000 135 52000 0 0171 0 00256 4 0 0197 m 87 91 84 Prova III 022016 4 Para o portico indicado na Figura 818 pedese 10 kNm A B Cc A a Os diagramas de momento fletor de todas as barras 25m 2m b A rotacao do né C utilizandose 5 kN v do Método da Carga Unitaria y 90 kN A considerando apenas os efei A tos das deformagG6es oriun 2m das da flexao Informar se é hordria ou antihordaria 25m D l Dados EI 50000kNm oe 1m v v A WITTL 4m Figura 818 Questao 84 a A solugao se inicia com o calculo das reagées de apoio AB Hx550x250 Ha 25kN M Ra x 4410 x 4x 250 x 15 25 x 150 Ra 625kN J SOF 2550Hp0 Hp 25kN a SOF 62510x4Rp0 Rp 4625 kN t y Em seguida efetuase o equilibrio de barras e nos Thaianne Simonetti de Oliveira 92 Figura 819 Questao 84 Equilıbrio de barras e nos do portico da Fig 818 fase L A partir do equilıbrio de barras e nos obtemse o diagrama de momento fletor 625 50 55 105 105 DM kNm qL2 8 20 Figura 820 Questao 84 Diagramas de momento fletor das barras do portico da Fig 818 fase L 93 b Para o calculo da rotacao do no C definese a seguinte acao unitaria para a Fase U Figura 821 Questao 84 Fase U Em seguida obtemse o diagrama de momento fletor da fase U Figura 822 Questao 84 Diagramas de momento fletor das barras do portico da Fig 821 fase U Finalmente e possıvel calular a rotacao θC no no C relativa as deformacoes oriundas dos esforcos de flexao 94 4 105 otf f a oe EI 1 0 4 105 cf Sy EI 0 20 1 0 x 105 x 1x442x20x14 140 26 67 CEI 3 3 EI 113 33 2267 x 10 rad 88 50000 7 rad 88 85 Prova III 022016 Para a trelica representada na Figura 823 pedese para calcular utilizando 0 Método da Carga Unitaria o deslocamento vertical no ponto B para uma variacéo de temperatura uniforme em todas as barras de 20C Informar se ocorre para baixo ou para cima Cc J G ai os E 4 H F D B L L r L Figura 823 Questao 85 Dados do problema L 1 m E 2 x 10 kNm A 25 x 1073 m a 1 x 1079C nN mM tT fsuV AT AT a yan ae aye hee ac noAToa de ma dx est EA est EI est GJ est GA est est h A acao unitdria na fase U corresponde a uma forca vertical aplicada sobre o né B Desse modo é Thaianne Simonetti de Oliveira 95 possivel definir previamente os seguintes esforgos normais Nog Ner Neo New Nuc Nac 0 Nepp Nor Neu Nua Nee Nec Nea Logo para a solucéo da fase U basta efetuar o equilibrio do né B N pg cos 08 sen 6 06 0 B N pp SOF Nge xsend10 Nez 1667 1 y SOF Ngp 1667 x cos 0 Ngp 1334 x Figura 824 Questao 85 Fase U Para o calculo do deslocamento vertical Ag devido a variacgaéo de temperatura aplicase a seguinte integral sobre toda a estrutura Ap naAToag dx est Uma vez que os trechos BC e BA possuem esforgos normais constantes iguais a 1667 e 1334 kN respectivamente obtémse Ap 1667 x a x AT x Leo 1334 x ax AT x Lea 1667 x 107 x 20 x 5 1334 x 107 x 20 x 4 5998x 104m Ag 06 mm 1 96 86 Prova III 012022 6 Para o portico representado na Figura 825pedese a O deslocamento vertical em B considerando 25C 15kNm apenas o carregamento dado TTtyyd b O deslocamento vertical em B considerando apenas a variacéo de temperatura indi B Cc E A De cada D c O deslocamento vertical total em B con siderando o carregamento e a variacaéo de 25C 15C LO temperatura indicados ObservacG6es A Desconsiderar o efeito das deformacées oriun das do cisalhamento 2m 4m 2m A variagéo de temperatura indicada so mente ocorre nas barras AC e CD Figura 825 Questao 86 Dados h 030 m segao transversal EI 4 x 10kNm EA 2 x 10KN a 107C nN mM tT fsuV AT AT a maar rant az e fer aet nodTea de ma dz est EA est EI est GJ est GA est est h a Para calcular o deslocamento vertical em B devese aplicar o Método da Carga Unitaria MCU Assim determinando inicialmente os diagramas de esforcos internos no sistema real temse Sistema real Calculo das reagdes de apoio Fr 0 Hy 0 S Mp 0 Va x 4 15 x 6 x 1 0 Va 22 BRN t S Fy 0 225 15 x 6 Vp 0 Vp 67 5KNt Ana Clara Pedras Bueno 97 Equilıbrio de barras e nos 15kNm A B C E C C 675 kN 225 kN 225 kN 225 kN C 225 kN 225 kN Figura 826 Questao 86 Diagramas de esforcos internos DN kN 225 DM kNm 30 Figura 827 Questao 86 98 Sistema virtual para determinagao do sistema virtual devese aplicar uma carga unitdria em B conforme Figura 828 1 BC E 4 D E LO A v 2m 4 4m p em Figura 828 Questao 86 Calculo das reagdes de apoio Fy 0 Ha 0 3 SS Mp 0 Va x 4 1x 6 06 Va skN 3 1 So Fy 5 1 Rp 0 Rp skNt Equilfbrio de barras e nés kN kN 1kN 05 kN 05 kN t 1 C tlelt t go 2kNm J 2KNm cE 2 kKNm 15 kN 2kNm 05 kN 15 kN t Chi AL 15 kN Figura 829 Questao 86 99 Diagrama de esforcos internos DN kN 15 DM kNm 2 Figura 830 Questao 86 Assim atraves da aplicacao do Princıpio dos Trabalhos Virtuais PTV podese finalmente calcular B fazendo 8 ql2 ΔB 1 EI c D 15 30 2 dx 1 EA A C 225 15 dx B 1 EI 1 6 2 2 15 0 4 1 EA22 5 1 5 5 B 40 EI 160 75 EI B 1 104 8 4375 105 B 1 5625 105m b A variacao de temperatura indicada no problema deve ser decomposta em suas respectivas parcelas constante e linear conforme ilustrado na Figura 831 15 C 25 C 20 C 5 C 5 C Figura 831 Questao 86 Assim temse uma parcela de deformacao normal e uma parcela de deforcamacao de flexao dadas como apresentado abaixo 100 dδ α T dx α 20C dx α20dx dθ T2 T1 α dx h 5C 5C α dx 0 3 α10dx 0 3 Por fim a partir dos resultados para o sistema virtual obtido no interior anterior Figura 830 podese fazer ΔB c D 2 α10dx A C 15 03 α20dx B 1 333 103 1 5 103 B 1 667 104 m c O deslocamento vertical total em B considerando o carregamento e a variacao de tempetura indicados no problema pode ser obtido atraves da superposicao do deslocamento devido somente ao carregamento com o deslocamento devido apenas a variacao de tempetura Ou seja o deslocamento vertical total e obtido da soma do deslocamento obtido no item a com o deslocamento obtido no item b temse assim BT otal C B T B 1 5625 105 1 667 104 BT otal 1 823 104 m 87 Prova III 012022 7 Considerando que no mesmo portico da Questao 86 seja introduzido um apoio articulado movel em B temse uma estrutura hiperestatica Fi gura 832 Calcule para os mesmos dados da Questao 86 a reacao de apoio em B 15kNm 2m 4m 2m 5m 15 C 15 C 25 C 25 C A B C D E Figura 832 Questao 87 7Ana Clara Pedras Bueno 101 Resolvendo a estrutura hiperestatica temse como sistema principal Sistema principal 15kNm 2m 4m 2m 5m 15 C 15 C 25 C 25 C A B C D E X1 Figura 833 Questao 87 Para a estrutura apresentada na Figura 833 temse a seguinte equacao que impoe o deslocamento nulo no apoio articulado B 0 δ10 δ11 X1 Onde X1 VB sendo VB a reacao de apoio que desejase calcular Assimutilizando o resultado obtido da Questao 86 que corresponde ao δ10 que e o deslocamento da estrutura em B se nao houvesse o apoio basta determinar δ11 Ainda como δ11 e obtido do produto CASO 1 CASO 1 e o CASO 1 e idˆentico a situacao do Sistema Virtual da Questao 86 podese utilizar os resultados obtidos anteriormente e fazer simplemente δ11 1 EI B C 2 dx 1 EA A C 15 dx 2 dx 2 1 EI C D 2 2 δ11 1 EI 1 3 22 2 1 3 22 4 1 EA1 52 5 δ11 8 EI 11 25 EA δ11 5 625 105 2 105 2 5625 105 m Finalmente podese obter VB equacionando 0 2 5625 105 VB 1 823 104 VB 7 11 kN 102