Dimensionamento de Peças Retangulares de Concreto Armado Solicitadas à Flexão

UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE ESTRUTURAS DIMENSIONAMENTO DE PEÇAS RETANGULARES DE CONCRETO ARMADO SOLICITADAS À FLEXÃO RETA WILSON SÉRGIO VENTURINI ROGÉRIO DE OLIVEIRA RODRIGUES São Carlos 1987 REIMPRESSÃO2000 ÍNDICE 1 INTRODUÇÃO 1 2 HIPÓTESES DE CÁLCULO ESTADO LIMITE ÚLTIMO 2 3 COMPATIBILIDADE DE DEFORMAÇÕES 6 4 EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO SEÇÃO RETANGULAR 12 5 CÁLCULO SIMPLIFICADO SEÇÕES RETANGULARES 14 6 EQUAÇÕES ADIMENSIONAIS 18 7 ÁBACOS DE DIMENSIONAMENTO 24 8 EXEMPLOS 31 81 Exemplo de verificação 32 82 Exemplo de dimensionamento 33 1 INTRODUÇÃO Este texto faz parte do material bibliográfico utilizado nas disciplinas de concreto armado oferecidas pelo Departamento de Estruturas da Escola de Engenharia de São Carlos USP para os alunos do curso de engenharia civil As notações aqui utilizadas já foram definidas em textos anteriormente mostrados Nos casos de novos símbolos estes serão definidos à medida que forem utilizados O assunto aqui tratado é sobre o dimensionamento de peças de concreto armado solicitadas à flexão reta Notese que até essa fase do curso sobre resistência do concreto armado as hipóteses básicas do estado limite último para o cálculo de peças fle tidas já foram estudadas tendo sido mostrado o dimensionamento de peças solicitadas à flexão simples apenas Para o dimensionamento de peças de concreto armado submetidas à flexão composta reta ou oblíqua a resultan te das tensões resistentes na seção considerada N R não é nula Neste caso devese igualar essa resultante à força nor mal de cálculo N d permitindose estabelecer assim uma das condições de equilíbrio Com relação ao momento fletor a equação de equilíbrio a ser imposta na resolução do pro blema é a mesma utilizada para o caso da flexão simples ou seja M R M d isto é momento solicitante de cálculo igual a momento resistente Na flexão normal composta caso que se pretende abran ger neste texto as grandezas M R e M d ficam definidas por apenas uma das componentes já que neste caso particu lar o plano do momento já está definido e coincide com o eixo de simetria da peça Assim essas grandezas serão sem pre referidas como M R e M d O objetivo do equacionamento a ser mostrado é a presentar uma maneira simples de encontrar a solução para o sistema de duas equações não lineares resultantes da imposi ção do equilíbrio entre esforços resistentes e atuantes le vandose em conta as hipóteses relativas a deformações e as relações tensãodeformação dos dois materiais É ainda oportuno salientar que neste texto varia ções dos esforços solicitantes nas peças de concreto ar mado decorrentes da mudança de forma da peça não serão estu dadas O estado limite último de instabilidade dever á ser tratado em ocasião oportuna 2 HIPÓTESES DE CÁLCULO ESTADO LIMITE ÚLTIMO As hipóteses básicas para o estudo das peças de concreto armado com relação a sua capacidade resistente re ferentes a solicitações normais abrangem os limites de de formação já anteriormente descritos e os diagramas conven cionais tensãodeformação para o concreto e o aço Admitemse para o concreto no estado limite úti mo uma relação tensãodeformação de cálculo biunívoca onde o valor das tensões é dado por um diagrama parábolaretâ ngo fig 21 na região onde as deformações são de compre são e é nulo na região de deformações positivas uma vez que qualquer resistência do concreto a tração é desprezada Algebricamente essa relação pode ser expressa na seguinte forma σc 085 fcd para 0002 εc 00035 σc 850 fcd 1250 εc para 0 εc 0002 21 σc 0 para εc 0 Fig 21 Diagrama tensãodeformação de cálculo para o con creto σc 085 fcd para 0002 εc 00035 σc 850 fcd 1250 εc para 0 εc 0002 21 σc 0 para εc 0 O sinal menos é mantido aqui para caracteri zar tensões e deformações de compressão de modo que as equa ções decorrentes do equacionamento a ser mostrado sejam con sistentes evitandose assim análises particulares para a tribuir sinal aos esforços resultantes Para o aço Classe A o diagrama tensãodeforma ção indica material elastoplástico perfeito A tensão va ria linearmente até o limite de escoamento e é constante pa ra valores de deformação superior a esse ponto A simetria indicada no diagrama da figura 22 é outra característica do comportamento desse aço tanto para tração como para com pressão o início do escoamento é dado pelos mesmos valores absolutos da tensão e da deformação Entretanto para valo res de ε inferiores a 00035 o uso do diagrama perde sen tido uma vez que a solidariedade entre os materiais é admi tida perfeita para a existência do concreto armado não po dendo portanto os valores da deformação ultrapassar o limi te estabelecido para o concreto No caso do aço Classe B obtidos por encuramento a frio o diagrama adotado para a relação tensãodeformação de cálculo é apresentado na figura 23 Diferentemente do caso anterior o diagrama tensãodeformação apresenta um tre cho com encuramento cuja representação analítica é dada por uma parábola do 2º grau εs σs Es 1 45 σs fy d 07 2 σs σs 22 ou em sua forma inversa σs εs εs fy 07 y yd Es 225fy ydEs 07²45cs049 33 Como no caso anterior tensões e deformações de compressão têm sinal negativo para facilitar a elaboração dos algoritmos numéricos utilizados na montagem dos ábacos mostrados no final deste texto Com relação aos limites estabelecidos para as deformações os domínios de deformação já amplamente discutidos caracterizamse pelos valores máximos permitidos Para o concreto esses limites são 00035 e 0002 e para o aço 001 É entretanto oportuno mostrar que os seis domínios de finidos podem ser enquadrados em apenas três regiões bem caracterizadas Note que o estado limite último é caracterizado por uma deformação limite sendo sempre os valores das tensões decorrentes do estado de deformação da peça A partir dos valores limites 001 00035 e 0002 definemse as regiões I II e III indicadas na figura 24 A região I é definida pelo limite de deformação 001 na armadura mais tracionada abrangendo portanto os domínios 1 e 2 Nesta região a fibra de concreto menos tracionada tem deformação entre os valores 00035 e 001 A segunda região é caracterizada pelo valor 00035 de deformação na região mais comprimida da peça podendo a parte tracionada variar de uma deformação máxima igual a 001 na barra mais tracionada a uma deformação nula na fibra mais tracionada da peça Assim a região II engloba os domínios 3 4 e 4a A região III é também aqui reservada para peças totalmente comprimidas coincidindo portanto com o domínio 5 e é caracterizada pela deformação igual a 0002 para o ponto distante 37h da borda mais comprimida da peça Fig 24 Regiões de deformação 3 COMPATIBILIDADE DE DEFORMAÇÕES Assumindo válida a hipótese da conservação da seção plana e considerando que uma das deformações limites de finidas para as regiões I II ou III no item anterior de va ser imposta deformações em quaisquer outros pontos da seção fica automaticamente conhecidos em função apenas da posição do eixo neutro da peça já que para a definição de uma reta seçãodeformada basta a fixação de dois valores Para facilitar o entendimento apresentamse abaixo as expressões das deformações ao longo de uma seção qualquer para cada uma das regiões descritas anteriormente Região I Considerando o valor último εs 001 para a armadura tracionada podese escrever a seguinte relação para a deformação ε de um ponto genérico distante y do centro geométrico da peça Fig 31 Deformações da região I ε εsu y yo h d x 31 Lembrando que tradicionalmente a posição do eixo neutro é indicada pelo parâmetro ξξxh e que x h2 yo 32 a relação 31 fica ε εsu ξβy 05 ξ1δ 33 onde δ dh βy yh 34 A relação 33 dá os valores das deformações no aço e no concreto para qualquer posição βy desde que coincidida a posição do eixo neutro ξ É importante observar que a deformação do ponto y h2 ou βy 12 εc2 deve obedecer os limites descritos para a região I isto é εc2 001 e εc2 00035 Substituindo a primeira dessas desigualdades em 33 observase que essa condição significa ξ pertencente ao campo real Só não seria verificada se fosse admitido deformações na borda superior maiores que as da borda inferior Introduzindose a segunda desigualdade em 33 obtémse 001 ξ ξδ1 00035 A expressão da deformação para qualquer ponto y fica novamente expressa pela equação de uma reta que neste caso é dada por ε 0002 yy0 x37 h Substituindose o valor de y0 de acordo com 32 e dividindose numerador e denominador por h vem ε ε cu3 ξβy12 ξ37 Para que o estado de deformação da peça pertença à região III basta que se verifique a seguinte condição εcl 0 O valor de ε acima deverá obedecer os seguintes limites εS 001 εcl 0 Quando a primeira dessas condições não for atendida o caso em análise pertence a região I caso seja a segunda condição que esteja sendo violada o problema deve ser equacionado com as relações da região III Substituindose em 38 βy 05δ e 1 e utilizando as expressões 39 obtémse o seguinte intervalo de variação para ξ dentro da região II 02591δ ξ 1 As equações 33 38 e 312 representam as condições de compatibilidade para as três regiões de deformações utilizadas Lembrando que essas equações na verdade representam equações de retas podese facilmente alterar as formas apresentadas de maneira a serem expressas por uma única equação que depende de apenas dois valores características da região Escolhendose como parâmetros indicadores da região o valor da deformação última εu 001 00035 ou 0002 respectivamente para região I II ou III e uma constante adimensional ξo obtida a partir da distância do ponto do valor último até a borda mais comprimida dividida por h a seguinte fórmula para ε pode ser escrita ε εu ξ05βy ξξo Considerandose as três regiões os valores assumidos por εu e ξo são Região I εu εsu 001 ξo 1δ Região II εu εcu2 00035 ξo 0 Região III εu εcu3 0002 ξo 37 4 EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO SEÇÃO RETANGULAR No item anterior foram mostradas as expressões para o cálculo da deformação em um ponto genérico de uma peça qualquer de concreto armado a partir dos valores limites estabelecidos pela Norma Brasileira NBR178 Sendo os valores das tensões calculados sempre em função das deformações para se ter a distribuição das tensões resistentes em uma peça qualquer de concreto armado basta a utilização das relações tensãodeformação 21 22 e 23 A partir dos valores das tensões assim calculados obtémse os esforços resistentes da seção No caso particular de seção retangular considerandose o eixo neutro perpendicular ao plano de simetria da peça para se ter flexão composta reta os esforços resistentes NR e MR são dados pelas seguintes expressões ver figura 41 NR Rc Σ Rsi N i1 MR Mc Σ Rsiysi N i1 Onde N é o número de barras da armadura e Rc e Mc são resultantes de tensão da seção comprimida de concreto armado relativas à força normal e ao momento fletor é Nc σc dA Mc y σc dA Escrevendose as resultantes de tensão na armadura em função da tensão σsi e da área de cada barra Asi obtémse NR σc dA Σ σsi Asi N i1 MR y σc dA Σ yisi σsi Asi N i1 Sendo a seção retangular as integrais de área passam a ser apenas função da variável y ficando 43 dada por NR yo h2 b w σc dy Σ σsi Asi N i1 MR yo h2 b w y σc dy Σ yisi σsi Asi N i1 As equações 44 permitem avaliar os esforços resistentes NR e MR em uma seção de concreto armado com geometria e características dos materiais definidas Devese notar que os valores dos esforços são apenas função da posição do eixo neutro yo e das tensões σc e σsi ficando portanto os valores de NR e MR independentes Cada um deles depende apenas da posição deformada a ser imposta a peça Assim a equação 44 permite o cálculo de verificação de uma peça de concreto armado obtendose pares NRMR para qualquer que seja a posição do eixo neutro Notese que no caso de flexão simples o problema de verificação permite calcular um único valor de MR entretanto neste caso a condição adicional NR 0 está sendo imposta fazendo com que a posição do eixo neutro fique determinada Em problemas de dimensionamento determinação da ar madura para uma solicitação dada o equilíbrio é imposto fazendo esforços solicitantes de cálculo iguais a esforços resistentes isto é Nd NR Md MR Com essa condição a equação para o dimensionamento de peças retangulares fica Nd bw yo σc dy Aisiσsi i1 h2 h2 Md bw yo y σc dy yisiAisi i1 h2 h2 armadura constituída de barras localizadas em apenas duas posições próximas as bordas superior e inferior da seção transversal Desta forma as somatórias indicadas em 46 passam a ter no máximo dois termos existindo também a possibilidade de uma das armaduras ser eliminada ficando a seção com armadura simples Outra simplificação usual que pode ser adotada é a substituição do diagrama tensãodeformação no concreto constituído por um trecho parabólico e outro retangular por uma distribuição constante de tensões Introduzindose essas duas simplificações indicadas esquematicamente na figura 51 as equações de equilíbrio 46 podem ser reescritas Nd 08xh2 h2 085fcd bwydy As1σs1 As2σs2 Md 08xh2 h2 085fcd bwydy As105hdσs1 As205hdσs2 Fazendose as integrais indicadas obtémse Nd 068fcd b x A s1 σ s1 A s2 σ s2 Md 034fcd b xh08x 05hdAs1σs1As2σs2 Nas equações acima o valor de x é sempre positivo e nunca maior que 125h Nos casos onde a posição do eixo neutro levaria a valores fora desse intervalo o valor de x na equação 52 deverá ser tomado igual a zero quando a seção está totalmente tracionada e igual a 125h quando totalmente comprimida O dimensionamento de peças de concreto armado submetidas à flexão composta é sempre feito com base em 52 e levando em conta a equação de compatibilidade 315 para que as tensões nas barras fiquem definidas Em geral no dimensionamento a geometria da seção é previamente estabelecida ficando como incógnitas as variáveis As1 As2 e x Assim o sistema tem infinitas soluções Portanto para se ter uma solução do sistema uma dessas variáveis deve ser necessária e arbitrada Fixandose a linha neutra as incógnitas do problema ficam sendo as armaduras Se ao contrário for fixada uma armadura ou a relação entre elas as incógnitas neste caso ficam sendo a posição do eixo neutro x e o valor de uma das armaduras Embora pelo descrito acima pareça que a solução seja muito simples bastando adotar uma das variáveis é importante lembrar que a fixação desse valor deve obedecer características impostas pela solicitação A coerência em relação ao parâmetro adotado pode ser verificada pelo significado dos valores obtidos Assim se uma das áreas da armadura calculada for negativa fica claro que a imposição feita está incompatível com a solicitação e outro valor para o parâmetro deve ser adotado para reanalisar o problema Para ilustrar o dito acimatomase um tirante solicitado por uma força normal N d e com momento M d nulo É óbvio que o parâmetro adotado é x acarretando σ s1 σ s2 f y d Das equações 52 obtemse A s1 A s2 12 N d f y d Se outra condição diferente fosse impostaalgum absurdo resultaria dos valores calculados Por exemplofazendose x obtemse duas armaduras iguais e negativas Exemplo Numérico Dados geometria h 50cm b w 20cm d 3cm materiais aço CA50A concreto C18 solicitação N d 1029kN M d 1582kNm Pedese calcular as armaduras Impondo A s A s1 A s2 restam como incógnitas do problema x e A s podendose escrever 52 na seguinte forma N d 068f c d b w x A s σ s1 σ s2 M d 034f c d b w h08x A s 05hdσ s1 σ s2 O sistema acima deve ser resolvido sempre levandose em conta a equação de compatibilidade 315 Uma das maneiras de se obter a área A s desejada é através de tentativas Adotandose x obtemse a partir da primeira equação de 54 o valor de A s Com os valores de x e A s verificase a segunda equação Assim fazendose x 50cm domínio 5 obtemse σ s1 441kNcm² e σ s2 435kNcm² podendose portanto calcular A s para a primeira tentativa A s1 688cm² Substituindose esse valor na segunda equação estimase o valor do momento M d M1 d 9413kNm M d O procedimento acima deve ser repetido para outros valores de x até encontrar M1 d M d dentro de uma tolerância aceitável No exercício proposto chegase a x 625cm e A s 260cm² 6 EQUAÇÕES ADIMENSIONAIS As integrais do diagrama de tensão indicadas em 44 podese por facilidade de entendimento ser separadas em dois termos que correspondem as partes parabólica e retangular do diagrama de tensão Assumindose que o trecho parabólico é definido entre os valores y1 e y2 e o trecho retangular é válido de y2 e y3 e substituindo o valor de σ c de acordo com 21 obtêmse N R 850f c d b w y c1 y c2 1250ε c ε c dy085f c d b w y2 y3 N Σ σ si A si M R 850f c d b w y1 y2 y1250ε c ε c dy0425f c d b w y2² y3² N Σ y si σ si A si As expressões 61 permitem a avaliação dos esforços resistentes N R e M R para um seção retangular Os limites de integração e a relação entre σ e y são sempre dadas em função da posição da linha neutra ξ É importante observar que os valores limites y1 y2 e y3 não devem em módulo ser maiores que h2 para se ter integração apenas sobre as dimensões reais da peça Para o estudo de seções de concreto armado é conveniente escrever as relações 61 independentes das dimensões da peça h e b w e da tensão de cálculo f c d Para isso definemse agora os valores adimensionais da força normal e do momento fletor resistentes ω f yd A s f cd A c η si é relação entre a área de uma barra e a área total η si A si A s e β si são as coordenadas adimensionais das posições das barras β si y si h As expressões 63 podem ser transformadas substituindose o valor de ε c pela equação de compatibilidade dada em 35 obtendose v 850 β 1 ξ 05β 1250ε u ξ 05β ξ ξ 0 dβ y β 2 085β 2 β 3 ω f yd N i1 σ si η si 67a μ 850 β 1 β y 1250ε u ξ 05β ξ ξ 0 y ε u ξ ξ 0 dβ y β 2 0425β 2 β 3 ω f yd N i1 σ si β si η si 67b Integrandose 67 e substituindo os limites β 1 e β 2 chegase a ξ 05 2 β 1 β 2 β 2 1 β 2 2 2 ξ 05 β 1 β 2 085β 2 β 3 ω f yd N i1 σ si η si 68a μ 850ε u ξ ξ 0 β 1 3 β 2 2 3 ξ 05 β 2 1 β 2 2 2 250ε u ξ ξ 0 2 ξ 05 β 1 3 β 2 3 3 ξ 05 2 β 1 1 β 2 2 2 β 4 1 β 4 2 4 0425β 2 2 β 2 2 ω f yd N i1 σ si β si η si 68b As expressões acima permitem a determinação dos esforços adimensionais em uma seção retangular de concreto ar mado Para o dimensionamento de uma seção devese procurar fazer o par de esforço resistente ser igual aos valores dos esforços adimensionais de cálculo garantindose portanto o equilíbrio no estado limite último Considerandose em 68 v e μ de cálculo obtémse um sistema não linear que resolvi rá fornecerá o valor da taxa mecânica de armadura ω para uma disposição de barras previamente fixada Na resolução desse sistema será também determinada o parâmetro ξ que ape nas indica a posição do eixo neutro e portanto o domínio em que o estado limite ocorre Notese que esse sistema assim apresentado tem solução única uma vez que as relações entre os diversos valores de A si foram fixados pelos valores η si com todas as demais variáveis que aparecem em 68 β si σ si η si para ξ Ficam também fixados o valor ξ 0 37 e deformações para qualquer ponto iguais a 0002 Calculandose o limite de 68 para ξ obtémse v 850ε u β 1 β 2 1250ε u 085β 2 β 3 N i1 σ si η si μ 425ε u β 2 1 β 2 2 1250ε u 0425β 2 2 β 2 3 ω f yd N i1 β si η si 69 Agora com a posição da linha neutra definida os de mais parâmetros dependentes de ξ ficam também definidos Assim têmse para ξ ε u 0002 β 1 12 β 2 114 β 3 12 σ si σ s valor da tensão na armadura para ε s 0002 Substituindose esses valores em 69 vem madura dupla as relações η₁ e η₂ ficam sendo incógnitas do sistema Sabendose que η₁ η₂ 1 as equações 610 podem ser escritas na seguinte forma v 085 ωσₛfₑd μ ωfₑσₛ05δ2η₁1 da primeira obtémse ω v085fₑσₛ podendose calcular a partir desse valor η₁ e η₂ η₁ 12 112δμv085 η₂ 12 112δμv085 Lembrandose da definição de taxa mecânica de armadura 64 obtémse Aₛ v085Aₕfₐfₛ com armadura inferior dada por Aₛ₁ Aₐ fₐcₕv085 μ05δ e armadura superior igual a Aₛ₂ Aₐ fₐcₕv085 μ05δ Assim como as equações 68 foram particularizadas para o caso de peças com força normal predominante onde é possível a imposição de ξ outras particularizações também podem ser feitas Recomendase no entanto que qualquer particularização seja feita com a fixação de ξ ficando sem pre como incógnitas parâmetros relativos a armadura O equacionamento mostrado acima entretanto não é usual Para o cálculo direto da armadura o emprego do diagrama aproximado de tensões já mostrado no item 5 leva a um sistema relativamente mais simples sendo portanto recomendado O objetivo do equacionamento proposto é ter uma formulação que permita avaliar esforços resistentes v e μ em uma peça com disposição e taxa mecânica da armadura definidos para qualquer que seja a deformação imposta Esse esquema permite a construção de ábacos de esforços resistentes que uma vez elaborados podem ser utilizados no dimensionamento de peças de concreto armado desde adotada previamente a disposição das barras no interior da seção 7 ÁBACOS DE DIMENSIONAMENTO Como foi discutido no final do item anterior às equações 68 permitem avaliar os esforços dimensionais v e μ quando os parâmetros posição do eixo neutro ξ taxa mecânica de armadura ω disposição das barras na seção e tipo de aço estão definidos Para ilustrar o descrito acima um exemplo é analisado mostrando diversos pares v μ calculados a partir de valores de ξ e mantendo fixo o valor de ω Na figura 71 é indicada a posição adotada para as armaduras Embora a seção esteja descrita com dimensões o cálculo a ser feito é independente uma vez que é baseado em esforços dimensionais e válido portanto para qualquer que sejam as dimensões da peça desde que as relações fixas sejam mantidas empregando a equação 315 calculamse as deformações nas armaduras εs1 00035 1005045 10 175x104 εs2 00035 1005045 10 333x103 A partir desses valores das deformações as tensões nas armaduras podem ser avaliadas σs1 175x104 x21x105 36kNcm² σs2 435kNcm² εs2 εyd Com esses parâmetros fixados podese calcular os valores de ν e μ a partir de 68 Para um melhor entendimento dessa operação é me lhor avaliar separadamente as influências do concreto e da armadura nos valores de ν e μ assim podese escrever μ νc νs μ μc μs Desta forma considerando que nas equações 68 as parcelas νs e μs são os termos que contêm ω e νc e μc o restante da expressão obtémse νc 0688 νs 0193 μc 0055 μs 0063 Somandose as partes referentes ao concreto e à armadura vem ν 0881 μ 0118 Note que os valores calculados para o concreto são bastante próximos dos valores obtidos com o uso do diagrama de tensões aproximado Neste caso o retângulo de tensões te ria uma altura igual a 08 com a resultante aplicada a 01 do CG da peça figura 72 podendose avaliar νc e μc com as seguintes expressões νcapr 085 x 08 068 μcapr 085 x 08 x 01 0068 Sendo portanto bastante próximos dos valores calculados sem a simplificação do diagrama 085 Tabela 71 valores de esforços adimensionais resistentes em função da posição do eixo neutro ξ Os valores de ν e μ dados na tabela 21 podem ser lançados em diagramas adimensionais ν μ conforme indicada na figura 73 Embora apenas pontos discretos tenham sido calculados é fácil perceber que uma curva contínua relacionada os valores de μ e ν pode ser obtida A continuidade dessa cur va é garantida pelas equações 68 onde todos os termos são contínuos uma vez que estão baseados nas relações tensão de formação dos materiais e na equação de compatibilidade A curva obtida também pode ser interpretada como um critério de resistência da peça Pares νμ na região interna obedecem ao critério estabelecido enquanto que pares sobre a curva estão no limite último de resistência Para pares νμ fora da área determinada pela curva não é possível encontrar uma posição deformada da peça que produza esforços resistentes necessários ao equilíbrio satisfaham o equilíbrio Isto é sabendose que valores de cálculo e esforços resistentes devem ser iguais entrase com ν e µ no ábaco obtendose ω e interpolandose quando necessário A relação entre esforços adimensionais últimos em uma seção retangular com ω 05 e aço CA50A Escolhendose o ábaco a partir do tipo de aço adotado e do valor da relação δδ dh entrase com o par νµ e obtêmse a taxa mecânica ω 81 Exemplo de verificação Dada uma seção retangular com 50cm de altura 25cm de base e armadura de 388cm2 fig 81 disposta apenas próximo às faces inferior e superior e com d 5cm pedese a força normal que a peça resiste para uma relação µv 04 e considerando ainda concreto com resistência característica f cd 18 MPa e aço CA50A Fig 81 Seção transversal Geometria e disposição da armadura Valores necessários a resolução do problema δ 550 01 ω A s f y d A c f cd 05 Resolução Escolhendose o gráfico A2 em função do aço e de δ 01 marcase a partir da origem uma reta µ 04v fig 82 Do ponto de interseção dessa reta com a curva ω 05 obtémse v 063 e µ 024 Utilizandose a definição de v µ equação obtémse os seguintes valores de cálculo Valores dimensionais necessários δ 550 01 v 14x800 50251814 070 µ 14x10000 50x25x50x1814 017 Entrandose com esses valores no ábaco obtémse ω 046 A partir desse valor a armadura da peça pode ser determinada u f cd A c f y d A s 046 18x115x50x25 500x14 1700cm² A armadura necessária para a peça é 1700cm² isto é 85cm² 3 barras de 20mm para cada lado Fig 82 Interseção da reta µ 04v e o diagrama ω 05 N d v f cd A c 063 18 14 x 50 x 25 10125kN M d µ f cd A h 024 18 14 x 50 x 25 x 50 19286kNm Considerandose γ f 14 os esforços característicos correspondentes são N k 101214 7232kN M k 1928614 13775kNm 82 Exemplo de dimensionamento A partir da geometria da seção de concreto e da posição da armadura indicada na figura 81 determinar a armadura da peça para resistir a uma solicitação N k 800kN e M k 100kNm para o concreto C18 e aço CA50A Ābaco A1 CA50A Ys 115 dh 005 Ābaco A2 CA50A Ys 115 dh 010 Ābacos para o dimensionamento de peças retangulares de concreto armado CA50A ÁBACO A3 CA50A Ys 115 dh 015 ÁBACO A4 CA50A Ys 115 dh 020 ÁBACO A5 CA50A Ys 115 dh 025 ÁBACO A6 CA50A Ys 115 dh 005 Nd d e h2 3As 6 h1 b d COMPRESSÃO 43 ÁBACO A7 CA50A Ys 115 dh 010 Nd d e h2 3As 6 h1 b d COMPRESSION 44 ÁBACO A8 CA50A Y 115 dh 015 Nd d e h2 3As 6 h1 b d COMPRESSÃO ÁBACO A9 CA50A γ 115 dh 020 Nd d e r n 3As 6 z 2 h 1 b COMRESSÃO DOMÍNIO 5 DOMÍNIO 4 DOMÍNIO 4 DOMÍNIO 3 DOMÍNIO 2 TRAÇÃO V Nd Ac fcd μ Md Ac h fcd ω As fyd Ac fcd ÁBACO A10 CA50A γS 115 dh 005 Nd d e r n 4As 8 z 2 h 1 b COMPRESSÃO DOMÍNIO 5 DOMÍNIO 4 DOMÍNIO 4 DOMÍNIO 2 DOMÍNIO 1 TRAÇÃO V Nd Ac fcd μ Md Ac h fcd ω As fyd Ac fcd ÁBACO A11 CA50A γS 115 dh 010 Nd d e r n 4As 8 z 2 h 1 b COMRESSÃO DOMÍNIO 5 DOMÍNIO 4 DOMÍNIO 4 DOMÍNIO 2 DOMÍNIO 1 TRAÇÃO V Nd Ac fcd μ Md Ac h fcd ω As fyd Ac fcd ÁBACO A12 CA50A Ys 115 dh 015 ÁBACO A13 CA50A Ys 115 dh 020 ÁBACO A14 CA50A Ys 115 dh 005 ÁBACO A15 CA50A Ys 115 dh 010 Nd l d h e h 2 l b d DOMÍNIO 5 DOMÍNIO 4 DOMÍNIO 3 DOMÍNIO 2 DOMÍNIO 1 V Nd Ac fcd μ Md Ac h fcd ω As fy Ac fcd COMPRESSÃO TRAÇÃO ÁBACO A16 CA50A Ys 115 dh 015 Nd l d h e h 2 l b d DOMÍNIO 5 DOMÍNIO 4 DOMÍNIO 3 DOMÍNIO 2 DOMÍNIO 1 V Nd Ac fcd μ Md Ac h fcd ω As fy Ac fcd COMPRESSÃO TRAÇÃO ÁBACO A17 CA50A Ys 115 dh 005 Nd l d h e h 2 l b d DOMÍNIO 5 DOMÍNIO 4 DOMÍNIO 3 DOMÍNIO 2 DOMÍNIO 1 V Nd Ac fcd μ Md Ac h fcd ω As fy Ac fcd COMPRESSÃO TRAÇÃO ÁBACO A18 CA50A 𝑦𝑆 115 dh 010 ÁBACO A19 CA50A 𝑦𝑆 115 dh 015 ÁBACO A20 CA50A 𝑦𝑆 115 dh 005 ÁBACO A21 CA50A Ys 115 dh 010 Nd d e h 2 l1 l2 b as 8 As 16 DOMÍNIO 5 DOMÍNIO 4 c1180 c1180 c1180 c1980 c1966 c1980 c1980 c1000 c1000 c1000 c1000 c1000 c1000 c1000 c1000 c1000 c1000 DOMÍNIO 4 DOMÍNIO 3 DOMÍNIO 2 DOMÍNIO 1 ÁBACO A22 CA50A Ys 115 dh 005 Nd d e h 2 l1 l2 b as 10 As 20 DOMÍNIO 5 DOMÍNIO 4 c1180 c1150 c1120 c1950 c1240 c1030 c1360 c1000 DOMÍNIO 4 DOMÍNIO 3 DOMÍNIO 2 DOMÍNIO 1 ÁBACO A23 CA50A Ys 115 dh 010 Nd d e h 2 l1 l2 b as 10 As 20 DOMÍNIO 5 DOMÍNIO 4 c1180 c1580 c1120 c1950 c1260 c1060 c1080 c1000 DOMÍNIO 4 DOMÍNIO 3 DOMÍNIO 2 DOMÍNIO 1 ÁBACO A24 CA50A YS 115 dh 005 ÁBACO A25 CA50A YS 115 dh 010 ÁBACO A26 CA50A YS 115 dh 005 ÁBACO A27 CA50A γ 115 dh 010 Nd d e h2 3 As 8 b h2 DOMÍNIO 5 DOMÍNIO 4 DOMÍNIO 4o COMPRRESSÃO TRAÇÃO µ V Nd Ac fcd µ Md Ach fcd ω As fy d Ac fcd ÁBACO A28 CA50A γs 115 dh 015 Nd d e h2 3 As 8 b h2 DOMÍNIO 5 DOMÍNIO 4 DOMÍNIO 4o COMPRRESSÃO TRAÇÃO µ V Nd Ac fcd µ Md Ach fcd ω As fy d Ac fcd ÁBACO A29 CA50A γs 115 dh 020 Nd d e h2 3 As 8 b h2 DOMÍNIO 5 DOMÍNIO 4 DOMÍNIO 4o COMPRRESSÃO TRAÇÃO µ V Nd Ac fcd µ Md Ach fcd ω As fy d Ac fcd ÁBACO A30 CA50A Ys 115 dh 005 ÁBACO A31 CA50A Ys 115 dh 010 ÁBACO A32 CA50A Ys 115 dh 015 ÁBACO A33 CA50A Ys 115 dh 020 DOMÍNO 5 4 As I0 DOMÍNO 4 DOMÍNO 4 DOMÍNO 3 DOMÍNO 2 COMPRESSÃO TRAÇÃO v N d Ac fcd μ M d Ac h fcd ω A s f y d Ac f cd