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ENG 1205 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I 20212 Prof Deane Roehl Monitor Marcello Congro Gabarito e Critério de Correção PF 06122021 Valor 100 pontos 1 OBS Este gabarito apresenta de forma algébrica o desenvolvimento das equações e cálculos para cada um dos itens que compõem o teste Observe que ao final da solução de cada item uma tabela é fornecida com os valores numéricos solicitados na questão Estes valores foram obtidos a partir da aplicação direta dos dados de enunciado considerando as diversas versões de teste elaboradas 1ª QUESTÃO Três hastes de alumínio E 70 GPa A 1000 mm² α 23106 1ºC com comprimentos L1 L2 e L3 estão fixadas a um suporte rígido ABD em formato de L conforme indica a Figura 1 Supondo que a rotação do suporte é pequena e que todas as hastes estão livres de forças quando o sistema é montado determine as forças axiais em cada uma das três hastes se a haste 3 sofrer uma variação de temperatura ΔT Adote a 125m b 100m c 250m 20 pontos Figura 1 Sistema estrutural composto pelas hastes de alumínio e um suporte rígido BD Parâmetros para cada versão de prova Versão 1L m 2 L m 3 L m T m A 125 200 125 50 B 150 220 150 30 C 140 210 140 20 D 140 210 140 20 ENG 1205 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I 20212 Prof Deane Roehl Monitor Marcello Congro Gabarito e Critério de Correção PF 06122021 Valor 100 pontos 2 Resolução Diagrama de corpo livre Os DCLs são gerados supondo uma variação térmica positiva na barra 3 Entretanto o sistema de equações obtido também é valido para o caso de uma variação térmica negativa Neste caso a solução do sistema de equações indicará o sentido oposto das cargas o Barras 1 2 e 3 Figura 2 Diagramas de corpo livre para as barras Destaque para as forças e deslocamentos o Barra rígida Figura 3 Diagrama de corpo livre para a barra rígida ENG 1205 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I 20212 Prof Deane Roehl Monitor Marcello Congro Gabarito e Critério de Correção PF 06122021 Valor 100 pontos 3 Equações de equilíbrio Observase que se trata de um sistema estaticamente indeterminado Eq 11 1 0 x x F F R Eq 12 2 3 0 y y F F F R Eq 13 1 2 3 0 MB F a F b F c Equações de compatibilidade A barra rígida terá uma rotação em torno do suporte Figura 4 Rotação que ocorre na barra rígida Destaque para os ângulos que a barra faz com a vertical e a horizontal Sabese que 1 2 Supondo que a rotação do suporte é pequena obtemos duas equações Eq 14 1 2 a b Eq 15 3 1 1 T F a c a c Usando a relação cargadeslocamento F FL EA e a expressão de deslocamento por variação de temperatura para elementos lineares T TL as equações 14 e 15 assumem a forma Eq 16 1 1 2 2 F L F L AEa AEb Eq 17 3 3 3 1 1 F L L T F L AE AEa c ENG 1205 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I 20212 Prof Deane Roehl Monitor Marcello Congro Gabarito e Critério de Correção PF 06122021 Valor 100 pontos 4 A solução simultânea das equações 11 12 13 16 e 17 tem como resposta 2 3 2 2 2 1 2 1 3 2 3 1 3 2 2 2 2 1 2 1 3 2 3 2 2 1 3 2 3 3 2 2 2 1 2 1 3 2 3 2 3 2 2 2 1 2 1 3 2 3 2 2 1 3 1 3 2 3 2 2 1 1 2 1 3 x y F AEL L Ta c L L c L L b L L a AEL L T bc F L L c L L b L L a AEL L T b AEL L Ta F L L c L L b L L a AEL L Ta c R L L c L L b L L a AEL L T b AEL L T bc AEL L Ta R L L c L L b 2 2 3 L L a Aplicando os valores do enunciado para cada tipo de prova PROVA 1F kN 2 F kN 3 F kN x R kN y R kN A 2981 1491 2087 2981 596 B 1777 969 1276 1777 307 C 1187 633 847 1187 214 D 1187 633 847 1187 214 ENG 1205 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I 20212 Prof Deane Roehl Monitor Marcello Congro Gabarito e Critério de Correção PF 06122021 Valor 100 pontos 5 A D T 2ª QUESTÃO Um eixo de seção transversal circular maciça composto por dois segmentos e engastado em A é representado na Figura 2a abaixo O primeiro segmento tem diâmetro de 80 mm e comprimento L1 15 m enquanto que o segundo trecho tem diâmetro de 60 mm e comprimento L2 08 m Um eixo vazado feito do mesmo material e com comprimento L3 23 m está representado na Figura 2b A espessura t do eixo vazado é t d10 em que d é o diâmetro externo do tubo Considere que ambos os eixos são elásticos e estão submetidos ao mesmo torque T na extremidade livre do eixo Com base nestas informações determine 20 pontos a O diâmetro externo d do eixo vazado de modo que ambos os eixos produzam a mesma rotação da extremidade devido a T em sua extremidade livre b A distribuição de tensões cisalhantes na seção de máxima tensão cisalhante para o eixo de seção maciça Para este item adote T 1 kNm Figura 5a Eixo de seção circular maciça Figura 5b Eixo de seção vazada Parâmetros para cada versão de prova Versão 1L m 2 L m 3 L m A 150 080 230 B 120 090 210 C 160 100 260 D 160 120 280 T A B C ENG 1205 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I 20212 Prof Deane Roehl Monitor Marcello Congro Gabarito e Critério de Correção PF 06122021 Valor 100 pontos 6 Resolução a Valor Total deste Item 15 pontos Propriedades geométricas da seção transversal o Trecho 1 da seção maciça 4 4 6 1 1 4021 10 32 m d J o Trecho 2 da seção maciça 4 4 6 2 2 1272 10 32 m d J o Seção vazada Eq 21 4 4 4 3 3 3 3 4 369 2 2 10 20000 d d d J Para um eixo submetido a vários torques diferentes ou área da seção transversal diferentes podese obter o valor do ângulo de torção entre duas extremidades de referência pela seguinte equação Para o trecho AC do eixo maciço temse 2 1 2 1 maciço TL TL J G J G A rotação do eixo vazado 3 3 vazado TL J G A rotação do eixo vazado deve ser igual a rotação do eixo maciço maciço vazado 3 2 1 2 1 3 TL TL TL J G J G J G Eq 22 1 2 3 3 1 2 2 1 J J L J J L J L ENG 1205 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I 20212 Prof Deane Roehl Monitor Marcello Congro Gabarito e Critério de Correção PF 06122021 Valor 100 pontos 7 Igualando as equações 21 e 22 4 3 1 2 3 1 2 2 1 369 20000 d J J L J L J L 1 2 3 4 3 1 2 2 1 20000 369 J J L d J L J L Aplicando os valores do enunciado para cada tipo de prova PROVA 3 J m4 3 d mm A 2296 106 793 B 2088 106 775 C 2196 106 785 D 2088 106 775 b Valor Total deste Item 05 ponto A seção de máxima tensão cisalhante para o eixo de seção maciça é a que possui menor diâmetro 2 3 2 2 16 2 máx d T T J d ENG 1205 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I 20212 Prof Deane Roehl Monitor Marcello Congro Gabarito e Critério de Correção PF 06122021 Valor 100 pontos 8 150mm 20 mm 20 mm 20 mm 75 mm 50 mm 50 mm 3ª QUESTÃO Considere a viga da figura com os diagramas de momento fletor e esforço cortante dados abaixo Se a seção transversal da viga é em duplo T conforme a figura abaixo determine a máxima tensão de tração e a máxima tensão de compressão atuante na seção transversal da viga 20 pontos Figura 6 Versão A da prova O centróide da seção transversal em duplo T está localizado a 1105 mm medido a partir do fundo da viga Figura 7 Versão B da prova O centróide da seção transversal em duplo T está localizado a 595 mm medido a partir do fundo da viga ENG 1205 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I 20212 Prof Deane Roehl Monitor Marcello Congro Gabarito e Critério de Correção PF 06122021 Valor 100 pontos 9 Resolução Valor Total deste Item 20 pontos Propriedades geométricas da seção transversal O momento de inércia em torno de Z é o mesmo para as versões A e B 3 3 2 2 0215 0020 0020 0150 0215 0020 00495 2 0020 0150 00355 12 12 zI 5 2949 10 m4 zI Altura das fibras superior e inferior máximas Figura 8 Altura das fibras superior e inferior máximas para a versão A e B da prova A verificação das tensões máximas de compressão e tração devem ser realizadas nas seções críticas ou seja aquelas que apresentam os valores extremos de momento fletor o Momento negativo máximo max 45 kN m M neg As tensões de tração e compressão para este caso são max inf neg comp z M neg y I sup max neg tração z M neg y I ENG 1205 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I 20212 Prof Deane Roehl Monitor Marcello Congro Gabarito e Critério de Correção PF 06122021 Valor 100 pontos 10 o Momento positivo máximo max 25 kN m M pos As tensões de tração e compressão para este caso são max sup pos comp z M pos y I inf max pos tração z M pos y I As máximas tensão de tração e compressão atuante na seção transversal da viga é dada por max max comp neg pos comp comp max max tração neg pos tração tração Resultados para cada tipo de prova PROVA neg comp MPa neg tração MPa pos comp MPa pos tração MPa max comp MPa max tração MPa A 1686 908 504 937 1686 937 B 908 1686 937 504 937 1686 ENG 1205 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I 20212 Prof Deane Roehl Monitor Marcello Congro Gabarito e Critério de Correção PF 06122021 Valor 100 pontos 11 4ª QUESTÃO Uma viga de madeira está submetida a uma carga concentrada no ponto A e um carregamento uniformemente distribuído no trecho BC conforme ilustra a Figura 4a Considere que a viga da Figura 4a possui seção transversal em formato de um perfil I duplamente simétrico conforme aponta a Figura 4b Sabendo que o momento de inércia em relação ao eixo neutro é igual a 𝐼 2091 108 𝑚𝑚4 faça o que se pede 20 pontos Figura 9a Viga de madeira e carregamentos Figura 9b Detalhes da seção transversal a Considere que a ligação mesaalma é dada por meio de uma linha de parafusos espaçados de s XXX mm entre si Determine o valor da força de resistência ao corte necessária aos parafusos da ligação b Represente graficamente a distribuição de tensões cisalhantes na seção transversal da viga Calcule e indique na figura os valores notáveis de tensão Parâmetros para cada versão de prova Versão s mm A 180 B 220 C 250 D 220 s tf 25 mm ENG 1205 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I 20212 Prof Deane Roehl Monitor Marcello Congro Gabarito e Critério de Correção PF 06122021 Valor 100 pontos 12 Resolução a Valor Total deste Item 10 ponto Equações de equilíbrio Observase que se trata de um sistema estaticamente indeterminado Eq 41 3 3 20 10 40 10 2 0 y B C F R R Eq 42 3 3 20 10 3 40 10 2 1 2 0 C B M R expressões no SI de unidades A solução simultânea das equações 41 e 42 tem como resposta 700 kN R 300 kN B C R Diagrama de esforço cortante DEC Figura 10 Diagrama de esforço cortante para a viga A força de resistência ao corte necessária aos parafusos deve ser determinada para o máximo valor de cortante max 500 kN V Os pregos fixam a parte superior da aba à alma de modo que o fluxo de cisalhamento é suportado pelos pregos Desta forma ENG 1205 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I 20212 Prof Deane Roehl Monitor Marcello Congro Gabarito e Critério de Correção PF 06122021 Valor 100 pontos 13 o Momento de primeira ordem da área A Figura 11 Área considerada no cálculo de Q 4 3 01375 0200 0025 6875 10 m Q o Cálculo da força resistente max z V Q q I max res z F V Q s I 5 max 1644 10 res z V Q F s s I expressão no SI de unidades Aplicando os valores do enunciado para cada tipo de prova PROVA Fres kN A 296 B 362 C 411 D 362 ENG 1205 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I 20212 Prof Deane Roehl Monitor Marcello Congro Gabarito e Critério de Correção PF 06122021 Valor 100 pontos 14 b Valor Total deste Item 10 ponto A aba e a alma são elementos retangulares Desta forma a distribuição da tensão de cisalhamento será parabólica e irá variar da seguinte forma Figura 12 Distribuição de tensões cisalhantes na seção transversal da viga Valores notáveis em destaque Sabese que a tensão cisalhante é dada pela expressão VQ Ib Devido à simetria apenas as tensões de cisalhamento nos pontos M N e O devem ser determinadas P N e Q M o Ponto M O momento de primeira ordem Q é o mesmo do item anterior Figura 11 A tensão é portanto 3 4 4 50 10 6875 10 0821 MPa 2091 10 0200 M o Ponto N O momento de primeira ordem Q é o mesmo do item anterior Figura 11 A tensão é portanto 3 4 4 50 10 6875 10 1096 MPa 2091 10 0015 N XX ENG 1205 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I 20212 Prof Deane Roehl Monitor Marcello Congro Gabarito e Critério de Correção PF 06122021 Valor 100 pontos 15 o Ponto O O momento de primeira ordem Q é calculado conforme a figura a seguir Figura 13 Áreas usadas no cálculo do momento de inércia de primeira ordem Q 4 3 01375 0200 0025 003125 0015 00625 7168 10 m Q Q A tensão é portanto 3 4 4 50 10 6875 10 1143 MPa 2091 10 0015 O ENG 1205 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I 20212 Prof Deane Roehl Monitor Marcello Congro Gabarito e Critério de Correção PF 06122021 Valor 100 pontos 16 5ª QUESTÃO Considere um estado de tensão atuante no ponto P da seção transversal conforme indicam os esquemas da Figura 5 Com base no círculo de tensões de Mohr faça o que se pede 20 pontos a Construa o círculo de tensões de Mohr para o ponto P b Utilizando a solução gráfica do Círculo de Tensões de Mohr para o ponto P determine as tensões principais e os planos onde atuam A seguir represente graficamente o estado de tensões principal neste ponto c Determine o valor da tensão cisalhante máxima e mínima e os planos onde atuam represente graficamente o estado de tensões correspondente neste ponto d Determine o valor das tensões que atuam num plano que forma um ângulo de 30º com o eixo horizontal x Figura 14 Seção transversal da viga e estado de tensões no ponto P Parâmetros para cada versão de prova Versão x MPa y MPa xy MPa A 450 00 230 B 00 300 200 C 200 400 150 D 100 80 150 15 mm 15 mm 200 mm 175 mm 10 mm ENG 1205 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I 20212 Prof Deane Roehl Monitor Marcello Congro Gabarito e Critério de Correção PF 06122021 Valor 100 pontos 17 Resolução a Valor Total deste Item 05 ponto Centro do círculo de Mohr 2 x y med Raio do círculo de Mohr 2 2 2 2 2 2 2 x y x y xy xy R R Aplicando os valores do enunciado para cada tipo de prova PROVA med MPa R MPa A 2250 3218 B 1500 2500 C 3000 1803 D 900 1503 ENG 1205 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I 20212 Prof Deane Roehl Monitor Marcello Congro Gabarito e Critério de Correção PF 06122021 Valor 100 pontos 18 Figura 15 Círculo de Mohr para o ponto P considerando as diferentes versões da prova ENG 1205 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I 20212 Prof Deane Roehl Monitor Marcello Congro Gabarito e Critério de Correção PF 06122021 Valor 100 pontos 19 b Valor Total deste Item 05 ponto Tensões principais veja Figura 15 1 med R 2 med R Determinação do plano que atua as tensões principais veja Figura 15 1 tan 2 2 arctan 2 2 p p x y x y Aplicando os valores do enunciado para cada tipo de prova PROVA 1 MPa 2 MPa p A 5468 968 2281 B 4000 1000 2657 C 4803 1197 2815 D 2403 603 4309 Figura 16 Representação gráfica do estado de tensões principais para o ponto P considerando as diferentes versões da prova ENG 1205 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I 20212 Prof Deane Roehl Monitor Marcello Congro Gabarito e Critério de Correção PF 06122021 Valor 100 pontos 20 c Valor Total deste Item 05 ponto Tensão cisalhante máxima e mínima veja Figura 15 max min R Determinação do plano que atua as tensões cisalhantes máximas veja Figura 15 2 2 90 45 p c c p Aplicando os valores do enunciado para cada tipo de prova PROVA med MPa max min MPa c A 2250 3218 2219 B 1500 2500 1843 C 3000 1803 1685 D 900 1503 191 Figura 17 Representação gráfica do estado de tensões cisalhantes máximas para o ponto P considerando as diferentes versões da prova ENG 1205 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I 20212 Prof Deane Roehl Monitor Marcello Congro Gabarito e Critério de Correção PF 06122021 Valor 100 pontos 21 d Valor Total deste Item 05 ponto As tensões em um plano com inclinação em relação à horizontal pode ser determinado pelas seguintes expressões cos 2 cos 2 90 sin 2 x med y med x y R R R onde p deve ser calculado considerando os ângulos de forma orientada sentido horário ou antihorário Considerando 30 e aplicando os valores do enunciado para cada tipo de prova PROVA x MPa y MPa x y MPa A 719 5367 867 799 B 3343 2482 518 2299 C 3185 3799 2201 1616 D 1309 2249 449 663 Figura 18 Representação gráfica do estado de tensões para um plano que forma um ângulo de 30º com o eixo horizontal
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ENG 1205 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I 20212 Prof Deane Roehl Monitor Marcello Congro Gabarito e Critério de Correção PF 06122021 Valor 100 pontos 1 OBS Este gabarito apresenta de forma algébrica o desenvolvimento das equações e cálculos para cada um dos itens que compõem o teste Observe que ao final da solução de cada item uma tabela é fornecida com os valores numéricos solicitados na questão Estes valores foram obtidos a partir da aplicação direta dos dados de enunciado considerando as diversas versões de teste elaboradas 1ª QUESTÃO Três hastes de alumínio E 70 GPa A 1000 mm² α 23106 1ºC com comprimentos L1 L2 e L3 estão fixadas a um suporte rígido ABD em formato de L conforme indica a Figura 1 Supondo que a rotação do suporte é pequena e que todas as hastes estão livres de forças quando o sistema é montado determine as forças axiais em cada uma das três hastes se a haste 3 sofrer uma variação de temperatura ΔT Adote a 125m b 100m c 250m 20 pontos Figura 1 Sistema estrutural composto pelas hastes de alumínio e um suporte rígido BD Parâmetros para cada versão de prova Versão 1L m 2 L m 3 L m T m A 125 200 125 50 B 150 220 150 30 C 140 210 140 20 D 140 210 140 20 ENG 1205 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I 20212 Prof Deane Roehl Monitor Marcello Congro Gabarito e Critério de Correção PF 06122021 Valor 100 pontos 2 Resolução Diagrama de corpo livre Os DCLs são gerados supondo uma variação térmica positiva na barra 3 Entretanto o sistema de equações obtido também é valido para o caso de uma variação térmica negativa Neste caso a solução do sistema de equações indicará o sentido oposto das cargas o Barras 1 2 e 3 Figura 2 Diagramas de corpo livre para as barras Destaque para as forças e deslocamentos o Barra rígida Figura 3 Diagrama de corpo livre para a barra rígida ENG 1205 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I 20212 Prof Deane Roehl Monitor Marcello Congro Gabarito e Critério de Correção PF 06122021 Valor 100 pontos 3 Equações de equilíbrio Observase que se trata de um sistema estaticamente indeterminado Eq 11 1 0 x x F F R Eq 12 2 3 0 y y F F F R Eq 13 1 2 3 0 MB F a F b F c Equações de compatibilidade A barra rígida terá uma rotação em torno do suporte Figura 4 Rotação que ocorre na barra rígida Destaque para os ângulos que a barra faz com a vertical e a horizontal Sabese que 1 2 Supondo que a rotação do suporte é pequena obtemos duas equações Eq 14 1 2 a b Eq 15 3 1 1 T F a c a c Usando a relação cargadeslocamento F FL EA e a expressão de deslocamento por variação de temperatura para elementos lineares T TL as equações 14 e 15 assumem a forma Eq 16 1 1 2 2 F L F L AEa AEb Eq 17 3 3 3 1 1 F L L T F L AE AEa c ENG 1205 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I 20212 Prof Deane Roehl Monitor Marcello Congro Gabarito e Critério de Correção PF 06122021 Valor 100 pontos 4 A solução simultânea das equações 11 12 13 16 e 17 tem como resposta 2 3 2 2 2 1 2 1 3 2 3 1 3 2 2 2 2 1 2 1 3 2 3 2 2 1 3 2 3 3 2 2 2 1 2 1 3 2 3 2 3 2 2 2 1 2 1 3 2 3 2 2 1 3 1 3 2 3 2 2 1 1 2 1 3 x y F AEL L Ta c L L c L L b L L a AEL L T bc F L L c L L b L L a AEL L T b AEL L Ta F L L c L L b L L a AEL L Ta c R L L c L L b L L a AEL L T b AEL L T bc AEL L Ta R L L c L L b 2 2 3 L L a Aplicando os valores do enunciado para cada tipo de prova PROVA 1F kN 2 F kN 3 F kN x R kN y R kN A 2981 1491 2087 2981 596 B 1777 969 1276 1777 307 C 1187 633 847 1187 214 D 1187 633 847 1187 214 ENG 1205 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I 20212 Prof Deane Roehl Monitor Marcello Congro Gabarito e Critério de Correção PF 06122021 Valor 100 pontos 5 A D T 2ª QUESTÃO Um eixo de seção transversal circular maciça composto por dois segmentos e engastado em A é representado na Figura 2a abaixo O primeiro segmento tem diâmetro de 80 mm e comprimento L1 15 m enquanto que o segundo trecho tem diâmetro de 60 mm e comprimento L2 08 m Um eixo vazado feito do mesmo material e com comprimento L3 23 m está representado na Figura 2b A espessura t do eixo vazado é t d10 em que d é o diâmetro externo do tubo Considere que ambos os eixos são elásticos e estão submetidos ao mesmo torque T na extremidade livre do eixo Com base nestas informações determine 20 pontos a O diâmetro externo d do eixo vazado de modo que ambos os eixos produzam a mesma rotação da extremidade devido a T em sua extremidade livre b A distribuição de tensões cisalhantes na seção de máxima tensão cisalhante para o eixo de seção maciça Para este item adote T 1 kNm Figura 5a Eixo de seção circular maciça Figura 5b Eixo de seção vazada Parâmetros para cada versão de prova Versão 1L m 2 L m 3 L m A 150 080 230 B 120 090 210 C 160 100 260 D 160 120 280 T A B C ENG 1205 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I 20212 Prof Deane Roehl Monitor Marcello Congro Gabarito e Critério de Correção PF 06122021 Valor 100 pontos 6 Resolução a Valor Total deste Item 15 pontos Propriedades geométricas da seção transversal o Trecho 1 da seção maciça 4 4 6 1 1 4021 10 32 m d J o Trecho 2 da seção maciça 4 4 6 2 2 1272 10 32 m d J o Seção vazada Eq 21 4 4 4 3 3 3 3 4 369 2 2 10 20000 d d d J Para um eixo submetido a vários torques diferentes ou área da seção transversal diferentes podese obter o valor do ângulo de torção entre duas extremidades de referência pela seguinte equação Para o trecho AC do eixo maciço temse 2 1 2 1 maciço TL TL J G J G A rotação do eixo vazado 3 3 vazado TL J G A rotação do eixo vazado deve ser igual a rotação do eixo maciço maciço vazado 3 2 1 2 1 3 TL TL TL J G J G J G Eq 22 1 2 3 3 1 2 2 1 J J L J J L J L ENG 1205 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I 20212 Prof Deane Roehl Monitor Marcello Congro Gabarito e Critério de Correção PF 06122021 Valor 100 pontos 7 Igualando as equações 21 e 22 4 3 1 2 3 1 2 2 1 369 20000 d J J L J L J L 1 2 3 4 3 1 2 2 1 20000 369 J J L d J L J L Aplicando os valores do enunciado para cada tipo de prova PROVA 3 J m4 3 d mm A 2296 106 793 B 2088 106 775 C 2196 106 785 D 2088 106 775 b Valor Total deste Item 05 ponto A seção de máxima tensão cisalhante para o eixo de seção maciça é a que possui menor diâmetro 2 3 2 2 16 2 máx d T T J d ENG 1205 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I 20212 Prof Deane Roehl Monitor Marcello Congro Gabarito e Critério de Correção PF 06122021 Valor 100 pontos 8 150mm 20 mm 20 mm 20 mm 75 mm 50 mm 50 mm 3ª QUESTÃO Considere a viga da figura com os diagramas de momento fletor e esforço cortante dados abaixo Se a seção transversal da viga é em duplo T conforme a figura abaixo determine a máxima tensão de tração e a máxima tensão de compressão atuante na seção transversal da viga 20 pontos Figura 6 Versão A da prova O centróide da seção transversal em duplo T está localizado a 1105 mm medido a partir do fundo da viga Figura 7 Versão B da prova O centróide da seção transversal em duplo T está localizado a 595 mm medido a partir do fundo da viga ENG 1205 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I 20212 Prof Deane Roehl Monitor Marcello Congro Gabarito e Critério de Correção PF 06122021 Valor 100 pontos 9 Resolução Valor Total deste Item 20 pontos Propriedades geométricas da seção transversal O momento de inércia em torno de Z é o mesmo para as versões A e B 3 3 2 2 0215 0020 0020 0150 0215 0020 00495 2 0020 0150 00355 12 12 zI 5 2949 10 m4 zI Altura das fibras superior e inferior máximas Figura 8 Altura das fibras superior e inferior máximas para a versão A e B da prova A verificação das tensões máximas de compressão e tração devem ser realizadas nas seções críticas ou seja aquelas que apresentam os valores extremos de momento fletor o Momento negativo máximo max 45 kN m M neg As tensões de tração e compressão para este caso são max inf neg comp z M neg y I sup max neg tração z M neg y I ENG 1205 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I 20212 Prof Deane Roehl Monitor Marcello Congro Gabarito e Critério de Correção PF 06122021 Valor 100 pontos 10 o Momento positivo máximo max 25 kN m M pos As tensões de tração e compressão para este caso são max sup pos comp z M pos y I inf max pos tração z M pos y I As máximas tensão de tração e compressão atuante na seção transversal da viga é dada por max max comp neg pos comp comp max max tração neg pos tração tração Resultados para cada tipo de prova PROVA neg comp MPa neg tração MPa pos comp MPa pos tração MPa max comp MPa max tração MPa A 1686 908 504 937 1686 937 B 908 1686 937 504 937 1686 ENG 1205 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I 20212 Prof Deane Roehl Monitor Marcello Congro Gabarito e Critério de Correção PF 06122021 Valor 100 pontos 11 4ª QUESTÃO Uma viga de madeira está submetida a uma carga concentrada no ponto A e um carregamento uniformemente distribuído no trecho BC conforme ilustra a Figura 4a Considere que a viga da Figura 4a possui seção transversal em formato de um perfil I duplamente simétrico conforme aponta a Figura 4b Sabendo que o momento de inércia em relação ao eixo neutro é igual a 𝐼 2091 108 𝑚𝑚4 faça o que se pede 20 pontos Figura 9a Viga de madeira e carregamentos Figura 9b Detalhes da seção transversal a Considere que a ligação mesaalma é dada por meio de uma linha de parafusos espaçados de s XXX mm entre si Determine o valor da força de resistência ao corte necessária aos parafusos da ligação b Represente graficamente a distribuição de tensões cisalhantes na seção transversal da viga Calcule e indique na figura os valores notáveis de tensão Parâmetros para cada versão de prova Versão s mm A 180 B 220 C 250 D 220 s tf 25 mm ENG 1205 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I 20212 Prof Deane Roehl Monitor Marcello Congro Gabarito e Critério de Correção PF 06122021 Valor 100 pontos 12 Resolução a Valor Total deste Item 10 ponto Equações de equilíbrio Observase que se trata de um sistema estaticamente indeterminado Eq 41 3 3 20 10 40 10 2 0 y B C F R R Eq 42 3 3 20 10 3 40 10 2 1 2 0 C B M R expressões no SI de unidades A solução simultânea das equações 41 e 42 tem como resposta 700 kN R 300 kN B C R Diagrama de esforço cortante DEC Figura 10 Diagrama de esforço cortante para a viga A força de resistência ao corte necessária aos parafusos deve ser determinada para o máximo valor de cortante max 500 kN V Os pregos fixam a parte superior da aba à alma de modo que o fluxo de cisalhamento é suportado pelos pregos Desta forma ENG 1205 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I 20212 Prof Deane Roehl Monitor Marcello Congro Gabarito e Critério de Correção PF 06122021 Valor 100 pontos 13 o Momento de primeira ordem da área A Figura 11 Área considerada no cálculo de Q 4 3 01375 0200 0025 6875 10 m Q o Cálculo da força resistente max z V Q q I max res z F V Q s I 5 max 1644 10 res z V Q F s s I expressão no SI de unidades Aplicando os valores do enunciado para cada tipo de prova PROVA Fres kN A 296 B 362 C 411 D 362 ENG 1205 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I 20212 Prof Deane Roehl Monitor Marcello Congro Gabarito e Critério de Correção PF 06122021 Valor 100 pontos 14 b Valor Total deste Item 10 ponto A aba e a alma são elementos retangulares Desta forma a distribuição da tensão de cisalhamento será parabólica e irá variar da seguinte forma Figura 12 Distribuição de tensões cisalhantes na seção transversal da viga Valores notáveis em destaque Sabese que a tensão cisalhante é dada pela expressão VQ Ib Devido à simetria apenas as tensões de cisalhamento nos pontos M N e O devem ser determinadas P N e Q M o Ponto M O momento de primeira ordem Q é o mesmo do item anterior Figura 11 A tensão é portanto 3 4 4 50 10 6875 10 0821 MPa 2091 10 0200 M o Ponto N O momento de primeira ordem Q é o mesmo do item anterior Figura 11 A tensão é portanto 3 4 4 50 10 6875 10 1096 MPa 2091 10 0015 N XX ENG 1205 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I 20212 Prof Deane Roehl Monitor Marcello Congro Gabarito e Critério de Correção PF 06122021 Valor 100 pontos 15 o Ponto O O momento de primeira ordem Q é calculado conforme a figura a seguir Figura 13 Áreas usadas no cálculo do momento de inércia de primeira ordem Q 4 3 01375 0200 0025 003125 0015 00625 7168 10 m Q Q A tensão é portanto 3 4 4 50 10 6875 10 1143 MPa 2091 10 0015 O ENG 1205 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I 20212 Prof Deane Roehl Monitor Marcello Congro Gabarito e Critério de Correção PF 06122021 Valor 100 pontos 16 5ª QUESTÃO Considere um estado de tensão atuante no ponto P da seção transversal conforme indicam os esquemas da Figura 5 Com base no círculo de tensões de Mohr faça o que se pede 20 pontos a Construa o círculo de tensões de Mohr para o ponto P b Utilizando a solução gráfica do Círculo de Tensões de Mohr para o ponto P determine as tensões principais e os planos onde atuam A seguir represente graficamente o estado de tensões principal neste ponto c Determine o valor da tensão cisalhante máxima e mínima e os planos onde atuam represente graficamente o estado de tensões correspondente neste ponto d Determine o valor das tensões que atuam num plano que forma um ângulo de 30º com o eixo horizontal x Figura 14 Seção transversal da viga e estado de tensões no ponto P Parâmetros para cada versão de prova Versão x MPa y MPa xy MPa A 450 00 230 B 00 300 200 C 200 400 150 D 100 80 150 15 mm 15 mm 200 mm 175 mm 10 mm ENG 1205 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I 20212 Prof Deane Roehl Monitor Marcello Congro Gabarito e Critério de Correção PF 06122021 Valor 100 pontos 17 Resolução a Valor Total deste Item 05 ponto Centro do círculo de Mohr 2 x y med Raio do círculo de Mohr 2 2 2 2 2 2 2 x y x y xy xy R R Aplicando os valores do enunciado para cada tipo de prova PROVA med MPa R MPa A 2250 3218 B 1500 2500 C 3000 1803 D 900 1503 ENG 1205 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I 20212 Prof Deane Roehl Monitor Marcello Congro Gabarito e Critério de Correção PF 06122021 Valor 100 pontos 18 Figura 15 Círculo de Mohr para o ponto P considerando as diferentes versões da prova ENG 1205 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I 20212 Prof Deane Roehl Monitor Marcello Congro Gabarito e Critério de Correção PF 06122021 Valor 100 pontos 19 b Valor Total deste Item 05 ponto Tensões principais veja Figura 15 1 med R 2 med R Determinação do plano que atua as tensões principais veja Figura 15 1 tan 2 2 arctan 2 2 p p x y x y Aplicando os valores do enunciado para cada tipo de prova PROVA 1 MPa 2 MPa p A 5468 968 2281 B 4000 1000 2657 C 4803 1197 2815 D 2403 603 4309 Figura 16 Representação gráfica do estado de tensões principais para o ponto P considerando as diferentes versões da prova ENG 1205 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I 20212 Prof Deane Roehl Monitor Marcello Congro Gabarito e Critério de Correção PF 06122021 Valor 100 pontos 20 c Valor Total deste Item 05 ponto Tensão cisalhante máxima e mínima veja Figura 15 max min R Determinação do plano que atua as tensões cisalhantes máximas veja Figura 15 2 2 90 45 p c c p Aplicando os valores do enunciado para cada tipo de prova PROVA med MPa max min MPa c A 2250 3218 2219 B 1500 2500 1843 C 3000 1803 1685 D 900 1503 191 Figura 17 Representação gráfica do estado de tensões cisalhantes máximas para o ponto P considerando as diferentes versões da prova ENG 1205 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I 20212 Prof Deane Roehl Monitor Marcello Congro Gabarito e Critério de Correção PF 06122021 Valor 100 pontos 21 d Valor Total deste Item 05 ponto As tensões em um plano com inclinação em relação à horizontal pode ser determinado pelas seguintes expressões cos 2 cos 2 90 sin 2 x med y med x y R R R onde p deve ser calculado considerando os ângulos de forma orientada sentido horário ou antihorário Considerando 30 e aplicando os valores do enunciado para cada tipo de prova PROVA x MPa y MPa x y MPa A 719 5367 867 799 B 3343 2482 518 2299 C 3185 3799 2201 1616 D 1309 2249 449 663 Figura 18 Representação gráfica do estado de tensões para um plano que forma um ângulo de 30º com o eixo horizontal