Polinômio Interpolador de Lagrange - Aula 5 Unidade 3

aula 5 unidade 3 Polinômio interpolador de Lagrange Introdução Substituindo os pontos 𝑥𝑖 𝑦𝑖 na equação 1 𝑥 𝑥0 𝑥1 𝑥2 𝑥𝑛 𝑦 𝑓𝑥 𝑦0 𝑦1 𝑦2 𝑦𝑛 temos o sistema linear 𝑎0 𝑎1𝑥0 𝑎2𝑥0 2 𝑎3𝑥0 3 𝑎𝑛𝑥0 𝑛 𝑦0 𝑎0 𝑎1𝑥1 𝑎2𝑥1 2 𝑎3𝑥1 3 𝑎𝑛𝑥1 𝑛 𝑦1 𝑎0 𝑎1𝑥2 𝑎2𝑥2 2 𝑎3𝑥2 3 𝑎𝑛𝑥2 𝑛 𝑦2 𝑎0 𝑎1𝑥𝑛 𝑎2𝑥𝑛 2 𝑎3𝑥𝑛 3 𝑎𝑛𝑥𝑛 𝑛 𝑦𝑛 que na notação matricial seria 𝐴𝑋 𝑏 1 𝑥0 𝑥0 2 𝑥0 3 𝑥0 𝑛 1 𝑥1 𝑥1 2 𝑥1 3 𝑥1 𝑛 1 𝑥2 𝑥2 2 𝑥2 3 𝑥2 𝑛 1 𝑥𝑛 𝑥𝑛 2 𝑥𝑛 3 𝑥𝑛 𝑛 𝑎0 𝑎1 𝑎2 𝑎3 𝑎𝑛 𝑦0 𝑦1 𝑦2 𝑦𝑛 Teorema Dados 𝑛 1 pontos 𝑥0 𝑦0 𝑥1 𝑦1 𝑥𝑛 𝑦𝑛 com todos 𝑥𝑖 distintos existe um único polinômio 𝑃𝑥 de grau no máximo 𝑛 𝑃𝑛𝑥 𝑎0 𝑎1𝑥 𝑎2𝑥2 𝑎𝑛𝑥𝑛 1 que passa por esses pontos ou seja 𝑃𝑥𝑖 𝑦𝑖 𝑖 0 1 2 𝑛 A matriz dos coeficiente A é conhecida como matriz das potências ou matriz de Vandermonde com determinante det𝐴 𝑥𝑗 𝑥𝑖 0 𝑖 𝑗 𝑛 𝑥0 𝑥1𝑥0 𝑥2 𝑥𝑛1 𝑥𝑛 Como temos 𝑥𝑖 distintos ou seja 𝑥𝑖 𝑥𝑗 para 𝑖 𝑗 então o determinante da matriz A é 𝐝𝐞𝐭𝑨 𝟎 indicando que o sistema linear tem solução única e portanto um ÚNICO polinômio interpolador EXEMPLO Calcule o determinante da matriz de Vandermonde considerando os valores de x0 2 x1 4 x2 0 e x3 3 𝑉 1 2 22 23 1 4 42 43 1 0 02 03 1 3 32 33 1 2 4 8 1 4 16 64 1 0 0 0 1 3 9 27 O determinante é det𝑉 2 42 02 34 04 30 3 96 Polinômio Interpolador de Lagrange Apesar de ser simples a ideia de obter os coeficientes do polinômio interpolador pela resolução de sistema linear 𝑛 𝑛 os cálculos envolvem trabalhar com a matriz de Vandermonde que é uma matriz mal condicionada para grandes valores de 𝑛 o que pode levar a resultados inesperados devido à erros de arredondamento O matemático italiano Joseph Louis Lagrange 1736 1813 resolveu este problema propondo o seguinte polinômio Polinômio Interpolador de Lagrange 𝑷𝒏𝒙 𝒚𝟎𝑳𝟎𝒙 𝒚𝟏𝑳𝟏𝒙 𝒚𝒏𝑳𝒏𝒙 𝒚𝒊𝑳𝒊𝒙 2 𝒏 𝒊𝟏 onde 𝐿𝑘𝑥 𝑥 𝑥0 𝑥 𝑥𝑘1𝑥 𝑥𝑘1 𝑥 𝑥𝑛 𝑥𝑘 𝑥0 𝑥𝑘 𝑥𝑘1𝑥𝑘 𝑥𝑘1 𝑥𝑘 𝑥𝑛 𝑥 𝑥𝑗 𝑗0 𝑥𝑘 𝑥𝑗 𝑗𝑘 tendo a condição de 𝐿𝑘𝑥𝑖 1 se 𝑖 𝑘 0 se 𝑖 𝑘 𝑖 012 𝑛 Para grau 𝒏 𝟏 x x0 x1 y y0 y1 𝑃1𝑥 𝑦0𝐿0𝑥 𝑦1𝐿1𝑥 𝐿0𝑥 𝑥 𝑥1 𝑥0 𝑥1 𝐿1𝑥 𝑥 𝑥0 𝑥1 𝑥0 Para grau 𝒏 𝟐 x x0 x1 x2 y y0 y1 y2 𝑃2𝑥 𝑦0𝐿0𝑥 𝑦1𝐿1𝑥 𝑦2𝐿2𝑥 𝐿0𝑥 𝑥 𝑥1𝑥 𝑥2 𝑥0 𝑥1𝑥0 𝑥2 𝐿1𝑥 𝑥 𝑥0𝑥 𝑥2 𝑥1 𝑥0𝑥1 𝑥2 𝐿2𝑥 𝑥 𝑥0𝑥 𝑥1 𝑥2 𝑥0𝑥2 𝑥1 Para grau 𝒏 𝟑 x x0 x1 x2 x3 y y0 y1 y2 y3 𝑃2𝑥 𝑦0𝐿0𝑥 𝑦1𝐿1𝑥 𝑦2𝐿2𝑥 𝑦3𝐿3𝑥 𝐿0𝑥 𝑥 𝑥1𝑥 𝑥2𝑥 𝑥3 𝑥0 𝑥1𝑥0 𝑥2𝑥0 𝑥3 𝐿1𝑥 𝑥 𝑥0𝑥 𝑥2𝑥 𝑥3 𝑥1 𝑥0𝑥1 𝑥2𝑥1 𝑥3 𝐿2𝑥 𝑥 𝑥0𝑥 𝑥1𝑥 𝑥3 𝑥2 𝑥0𝑥2 𝑥1𝑥2 𝑥3 𝐿3𝑥 𝑥 𝑥0𝑥 𝑥1𝑥 𝑥2 𝑥3 𝑥0𝑥3 𝑥1𝑥3 𝑥2 Erro de truncamento Ao ajustar o polinômio interpolador de grau máximo 𝑛 para aproximar uma função 𝑓𝑥 o erro de truncamento 𝐸𝑇𝑥 pode ser calculado pela fórmula abaixo que é deduzida seguindo as mesmas ideias usadas na interpolação linear e quadrática 𝐸𝑇𝑥 𝑥 𝑥0𝑥 𝑥1 𝑥 𝑥𝑛 𝑓𝑛1 𝜖 𝑛 1 𝜖 𝑥0 𝑥𝑛 4 Como não sabemos o valor exato de 𝜖 na fórmula acima podemos considerar o valor de x que maximiza o módulo da função 𝑓𝑛1 𝑥 no intervalo 𝑥0 𝑥𝑛 EXEMPLO 1 Dados os pontos 1 4 0 1 e 2 1 obtidos de uma função 𝑦 𝑓𝑥 a Dê o valor aproximado do valor f03 usando o polinômio interpolador de Lagrange de grau 2 b Repetir a para f1 c Qual foi o polinômio de grau 2 obtido em a d Determine o valor aproximado da integral da função 𝑓𝑥 no intervalo 1 2 usando o polinômio obtido em c solução a 𝑥 1 0 2 𝑦 4 1 1 Como temos n 1 3 pontos o polinômio de Lagrange será de grau máximo 2 3 1 𝑃2𝑥 𝑦0𝐿0𝑥 𝑦1𝐿1𝑥 𝑦2𝐿2𝑥 𝑃2𝑥 4 𝐿0𝑥 1 𝐿1𝑥 1 𝐿2𝑥 Como queremos aproximar 𝑓03 𝑃203 𝑓03 𝑃203 4 𝐿003 1 𝐿103 1 𝐿203 𝐿003 𝑥2 2𝑥 3 032 203 3 023 𝐿103 𝑥2 𝑥 2 2 032 03 2 2 0805 𝐿203 𝑥2 𝑥 6 032 03 6 0035 Então 𝑓03 𝑃203 4 023 1 0805 1 0035 176 b 𝐿01 𝑥2 2𝑥 3 12 21 3 1 𝐿11 𝑥2 𝑥 2 2 12 1 2 2 0 𝐿21 𝑥2 𝑥 6 12 1 6 0 𝑓1 𝑃21 4 1 1 0 1 0 4 c Substituindo L0 L1 e L2 temos 𝑃2𝑥 4 𝑥2 2𝑥 3 1 𝑥2 𝑥 2 2 1 𝑥2 𝑥 6 2 3 𝑥2 7 3 𝑥 1 Note que 𝑓03 𝑃203 2 3 032 7 3 03 1 176 d 𝑓𝑥𝑑𝑥 2 1 𝑃2𝑥𝑑𝑥 2 1 2 3 𝑥2 7 3 𝑥 1 𝑑𝑥 2 1 2𝑥3 9 7𝑥2 6 𝑥 1 2 Note que o valor 1 é um dos valores das tabela x0 1 então L0x0 L01 1 L1x0 L11 0 L2x0 L21 0 que está de acordo com a definição do polinômio Lkx EXEMPLO 2 Seja função fx 1 x a Determine o valor aproximado do valor f3 usando o polinômio interpolador de Lagrange e os pontos x0 2 x1 25 e x2 4 b Repetir a para f4 c Qual foi o polinômio de grau 2 obtido em a d Determine o valor aproximado da integral da função 𝑓𝑥 no intervalo 2 4 usando o polinômio obtido em c Solução a 0325 b 025 c P2x 005x2 0425x 115 d 𝑓𝑥𝑑𝑥 4 2 𝑃2𝑥𝑑𝑥 4 2 005𝑥2 0425𝑥 115𝑑𝑥 4 2 06833 EXEMPLO 3 Seja a função 𝑓𝑥 𝑒𝑥 com os pontos na tabela a seguir 𝑥 13 14 15 𝑓𝑥 3669 4055 4482 a Dê o valor aproximado de f135 usando o polinômio interpolador de Lagrange de grau 2 b Determine o erro de truncamento máximo usando a fórmula do erro truncamento EXEMPLO 4 Seja a tabela com os pontos obtidos da função 𝑦 𝑒𝑥 2 𝑥 x 02 05 08 11 y 174 050 025 096 Determine o zero da função ou seja o valor de 𝑥 tal que 𝑓𝑥 0 nas seguintes situações a usando um interpolador polinomial de Lagrange de grau 1 b usando um interpolador polinomial de Lagrange com todos os pontos da tabela Solução a b 0693 Nos exemplos anteriores nós tínhamos o valor de x e queria encontrar o y Aqui vamos fazer o contrário Agora temos o y 0 e queremos encontrar o valor de x que corresponde a esse y 0 DICA Uma solução é trocar de posição as variáveis x e y na tabela x 1741 0497 0252 0957 y 02 05 08 11 Com os valores de x e y trocados de lugar o que queremos agora é encontrar y para x 0 Um pouco do Octave Voltando ao exemplo 1 com os pontos 1 4 0 1 e 2 1 obtivemos 𝐿0𝑥 𝑥2 2𝑥 3 𝐿1𝑥 𝑥2 𝑥 2 2 𝐿2𝑥 𝑥2 𝑥 6 𝑃2𝑥 2 3 𝑥2 7 3 𝑥 1 Usando o programa Octave close all xi 1 0 2 yi 4 1 1 mudar o pacote grafico o default costuma demorar muito graphicstoolkitfltk plotxiyi bo markersize 10 Customizando o gráfico axisxmin xmax ymin ymax axis3 4 2 8 xlabelx ylabelfx grid on continuando hold on comando para sobrepor graficos x 2013 p2 23x2 73x 1 L0 13x2 2x L1 12x2 x 2 L2 16x2 x plotxp2b grafico do interpolador plotxL0 xL1 xL2 hold off Customizando o gráfico axis3 4 2 8 axisxmin xmax ymin ymax xlabelx ylabelP2 titleInterpolador de Lagrangefontsize 16 legendxyP2L0L1L2 grid on Dispositivo prático Neste dispositivo um quadro é usado para reduzir a quantidade de operações soma multiplicação divisão na interpolação Supondo que temos os pontos 𝑥0 𝑦0 𝑥1 𝑦1 𝑥𝑛 𝑦𝑛 e que 𝑥 é o valor a ser interpolado 𝑥0 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥4 Produto 𝑥0 x x0 x0 x1 x0 x2 x0 x3 x0 x4 𝑤0 𝑥1 x1 x0 x x1 x1 x2 x1 x3 x1 x4 𝑤1 𝑥2 x2 x0 x2 x1 x x2 x2 x3 x2 x4 𝑤2 𝑥3 x3 x0 x3 x1 x3 x2 x x3 x3 x4 𝑤3 𝑥4 x4 x0 x4 x1 x4 x2 x4 x3 x x4 𝑤4 𝑃𝑛𝑥 𝑤𝑑 𝑦𝑖 𝑤𝑖 𝑛 𝑖0 𝑤𝑑 𝑦0 𝑤0 𝑦1 𝑤1 𝑦2 𝑤2 𝑦𝑛 𝑤𝑛 𝑤𝑑 produto dos valores na diagonal principal do quadro 𝑤0 produto dos valores na 1ª linha do quadro 𝑤𝑛 produto dos valores na nª linha do quadro EXEMPLO 5 Voltando ao exemplo 1 com os pontos 1 4 0 1 e 2 1 dê o valor aproximado do valor f03 usando dispositivo prático para o polinômio interpolador de Lagrange de grau 2 Então para x 03 queremos y 1 0 2 Produto 1 03 1 07 1 0 1 1 2 3 𝑤0 21 0 0 1 1 03 0 03 0 2 2 𝑤1 06 2 2 1 3 2 0 2 03 2 23 𝑤2 138 wd 070323 0483 𝑃𝑛𝑥 𝑤𝑑 𝑦0 𝑤0 𝑦1 𝑤1 𝑦2 𝑤2 0483 4 21 1 06 1 138 176 ANEXO A Demonstração do Polinômio de Lagrange Lagrange propôs polinômio ℓ𝑥 que satisfazem as seguintes propriedades ℓ𝑖𝑥 0 se 𝑥 𝑥𝑖 ℓ𝑖𝑥 0 se 𝑥 𝑥𝑖 Estes polinômios são da forma ℓ𝑖𝑥 𝑥 𝑥0 𝑥 𝑥𝑖1𝑥 𝑥𝑖1 𝑥 𝑥𝑛 𝑥 𝑥𝑗 𝑗0 𝑗𝑖 Por exemplo para 𝑥 2 5 8 9 os polinômios de Lagrange são ℓ3𝑥 𝑥 𝑥0𝑥 𝑥1𝑥 𝑥2 𝑥 2𝑥 5𝑥 8 ℓ2𝑥 𝑥 𝑥0𝑥 𝑥1𝑥 𝑥3 𝑥 2𝑥 5𝑥 9 ℓ1𝑥 𝑥 𝑥0𝑥 𝑥2𝑥 𝑥3 𝑥 2𝑥 8𝑥 9 ℓ0𝑥 𝑥 𝑥1𝑥 𝑥2𝑥 𝑥3 𝑥 5𝑥 8𝑥 9 Vamos ver as propriedades para ℓ2𝑥 ℓ2𝑥2 ℓ28 8 28 58 9 18 0 ℓ2𝑥3 ℓ29 9 29 5𝟗 𝟗 0 O polinômio interpolador 𝑃𝑛𝑥 proposto por Lagrange é uma combinação linear desses polinômios de Lagrange ℓ𝑥 𝑷𝒏𝒙 𝒃𝟎𝓵𝟎𝒙 𝒃𝟏𝓵𝟏𝒙 𝒃𝟐𝓵𝟐𝒙 𝒃𝒏𝓵𝒏𝒙 1 onde os coeficientes 𝑏𝑘 devem ser obtidos fazendo 𝒚𝒊 𝑷𝒏𝒙𝒊 acima e usando as propriedades dos polinômios ℓ𝑥 Por exemplo polinômio de Lagrange de ordem 𝑖 é igual ao produto de todas as diferenças de x em relação a cada 𝑥𝑘 𝑘 012 𝑛 exceto 𝑥 𝑥𝑖 para i 1 temos 𝑦1 𝑃𝑛𝑥1 𝑏0ℓ0𝑥1 𝒃𝟏𝓵𝟏𝒙𝟏 𝑏2ℓ2𝑥1 𝑏𝑛ℓ𝑛𝑥1 𝑦1 0 𝑏1ℓ1𝑥1 0 0 𝑏1 𝑦1 ℓ1𝑥1 Para i 2 temos 𝑦2 𝑃𝑛𝑥2 𝑏0ℓ0𝑥2 𝑏1ℓ1𝑥2 𝒃𝟐𝓵𝟐𝒙𝟐 𝑏𝑛ℓ𝑛𝑥2 𝑦2 0 0 𝑏2ℓ2𝑥2 0 𝑏2 𝑦2 ℓ2𝑥2 Generalizando temos 𝑏𝑖 𝑦𝑖 ℓ𝑖𝑥𝑖 2 Substituindo 2 em 1 temos o polinômio interpolador de Lagrange escrito como 𝑃𝑛𝑥 𝑦0 ℓ0𝑥 ℓ0𝑥0 𝑦1 ℓ1𝑥 ℓ1𝑥1 𝑦2 ℓ2𝑥 ℓ2𝑥2 𝑦𝑛 ℓ𝑛𝑥 ℓ𝑛𝑥𝑛 Fazendo 𝐿𝑖𝑥 ℓ𝑖𝑥 ℓ𝑖𝑥𝑖 𝑖 012 𝑛 Então Polinômio Interpolador de Lagrange 𝑷𝒏𝒙 𝒚𝟎𝑳𝟎𝒙 𝒚𝟏𝑳𝟏𝒙 𝒚𝒏𝑳𝒏𝒙 𝒚𝒊𝑳𝒊𝒙 3 𝒏 𝒊𝟏 onde 𝐿𝑘𝑥 𝑥 𝑥0 𝑥 𝑥𝑘1𝑥 𝑥𝑘1 𝑥 𝑥𝑛 𝑥𝑘 𝑥0 𝑥𝑘 𝑥𝑘1𝑥𝑘 𝑥𝑘1 𝑥𝑘 𝑥𝑛 𝑥 𝑥𝑗 𝑗0 𝑥𝑘 𝑥𝑗 𝑗𝑘