Derivadas em Cálculo I - Notas de Aula Detalhadas

CÁLCULO I Tópico 3 Derivadas Notas de Aula 2 Tópico 3 Derivadas 31 A DERIVADA Inclinação de uma curva em um ponto A reta tangente à uma curva em um ponto é a que mais se parece com a curva em uma vizinhança próxima do ponto A inclinação de uma curva em um ponto 𝑃 é definida como sendo a inclinação ou coeficiente angular da reta tangente à curva nesse ponto Geralmente é possível obter uma fórmula que fornece a inclinação de uma curva 𝑦 𝑓𝑥 em cada ponto Essa fórmula para a inclinação é chamada de derivada de 𝑓 e é denotada por 𝑦 𝑜𝑢 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑜𝑢 𝐷𝑥𝑦 Para cada valor de 𝑥 a função derivada 𝑓 fornece a inclinação do gráfico de 𝑓 no ponto de abscissa 𝑥 3 O processo para o cálculo de 𝑓𝑥 para uma dada função 𝑓𝑥 é chamado de diferenciação ou derivação Exemplo 1 Considere a função 𝑓𝑥 𝑥2 e sabendo que sua derivada é 𝑓𝑥 2𝑥 calcule a inclinação de 𝑓 em a 𝑥 1 b 𝑥 0 c 𝑥 2 Exemplo 2 Observe o gráfico da função 𝑦 𝑔𝑥 e coloque em ordem crescente os números 𝑔2 𝑔0 𝑔1 e 𝑔4 4 O cálculo da derivada por limites Como obter a inclinação de uma função 𝑓 no ponto 𝑃 de abscissa 𝑥 ❶ Atribuímos um acréscimo ℎ para 𝑥 e construímos o ponto 𝑄 de abscissa 𝑥 ℎ ❷ Calculamos a inclinação ou coeficiente angular da reta secante que passa por 𝑃 e 𝑄 ❸ Quando ℎ se aproxima de 0 temos que a reta secante se aproxima da reta tangente Assim temos que Exemplo 3 Calcule a derivada das seguintes funções por limites 𝑎 𝑓𝑥 𝑥2 𝑏 𝑓𝑥 2𝑥 1 𝑓𝑥 𝑎𝑡𝑔 5 DIFERENCIABILIDADE Dizemos que uma função é diferenciável sempre que ela tiver derivada Vejamos três situações em que a derivada de 𝑓 não existe em 𝑥 𝑎 a uma quina ou bico b uma descontinuidade c uma tangente vertical TAXA MÉDIA DE VARIAÇÃO E TAXA DE VARIAÇÃO INSTANTÂNEA Seja 𝑦 𝑓𝑥 uma função real de variável real A taxa média de variação da função 𝑓 no intervalo 𝑥 𝑥 ℎ é dada por 𝑡 𝑚 𝑣 𝑓𝑥 ℎ 𝑓𝑥 ℎ A derivada de 𝑓 em um ponto 𝑥 denotada por 𝑓 representa a taxa de variação instantânea de 𝑦 em relação a 𝑥 no ponto 𝑥 e é definida por 𝑓𝑥 lim ℎ0 𝑓𝑥 ℎ 𝑓𝑥 ℎ 6 ATIVIDADES 1 Sendo 𝑓 a função abaixo coloque em ordem crescente os números 𝑓1 𝑓4 𝑒 𝑓7 2 Calcule a derivada de cada uma das funções por limites a 𝑓𝑥 5𝑥 1 b 𝑓𝑥 𝑥2 2 c 𝑓𝑥 𝑥2 4𝑥 d 𝑓𝑥 3𝑥 1 3 Observe o gráfico da 𝑓 e determine a em quais pontos do domínio 𝑓 não é contínua b em quais pontos do domínio 𝑓 não é diferenciável Respostas das atividades 1 ordem crescente 𝑓4 𝑓1 𝑒 𝑓7 2 a 𝑓𝑥 5 b 𝑓𝑥 2𝑥 c 𝑓𝑥 2𝑥 4 d 𝑓𝑥 3 3 a 𝑥 1 b 𝑥 1 e 𝑥 2 7 32 ALGUMAS REGRAS DE DERIVAÇÃO E DERIVADAS SUCESSIVAS D1 Derivada da função constante 𝒚 𝒄 𝒚 𝟎 Exemplo 1 Calcule a derivada das funções a 𝑦 3 b 𝑓𝑥 2 c 𝑦 0 D2 Derivada da função potência 𝒚 𝒙𝒑 𝒚 𝒑 𝒙𝒑𝟏 Exemplo 2 Determine a derivada das funções 𝑎 𝑦 𝑥6 𝑏 𝑦 𝑥2 𝑐 𝑓𝑥 𝑥3 𝑑 𝑓𝑥 1 𝑥2 𝑒 𝑦 𝑥5 3 𝑓 𝑓𝑥 𝜋2 8 D3 Derivada de constante vezes uma função 𝒚 𝐜 𝒇𝒙 𝒚 𝐜 𝒇𝒙 Exemplo 3 Calcule 𝒂 𝑫𝒙𝟒 𝒙𝟓 𝒃 𝑫𝒙𝝅 𝒙𝟐 𝒄 𝒅 𝒅𝒙 𝒙𝟑 𝟑 D4 Derivada de somas e diferenças de funções 𝒚 𝒇𝒙 𝒈𝒙 𝒚 𝒇𝒙 𝒈𝒙 Exemplo 4 Encontre 𝑑𝑦 𝑑𝑥 em cada caso 𝑎 𝑦 𝑥4 𝑥2 1 𝑏 𝑦 3𝑥2 11𝑥 5 9 Exemplo 5 Sendo 𝑓𝑥 𝑥2 4𝑥 3 determine a a inclinação da reta tangente ao gráfico de 𝑓 em 𝑥 4 b a equação da reta tangente ao gráfico de 𝑓 em 𝑥 4 c a coordenada 𝑥 do ponto do gráfico de 𝑓 em que a reta tangente é horizontal DERIVADAS SUCESSIVAS Seja 𝑓𝑥 a derivada de 𝑓𝑥 Se calcularmos a função derivada de 𝑓𝑥 essa função será chamada de derivada segunda de 𝑓𝑥 e será denotada por 𝑓𝑥 De modo análogo podemos definir a derivada terceira a derivada quarta e assim sucessivamente A notação para as derivadas sucessivas é a seguinte o 𝑓𝑥 ou dx dy para a 1ª derivada de 𝑓 em relação a 𝑥 o 𝑓𝑥 ou 2 2 d dy d y dx dx dx para a 2ª derivada de 𝑓 em relação a 𝑥 o 𝑓𝑥 ou 3 3 d d dy d y dx dx dx dx para a 3ª derivada de 𝑓 em relação a 𝑥 e assim por diante Exemplo 6 Obtenha as sucessivas derivadas da função 𝑓𝑥 3𝑥4 𝑥2 10 ATIVIDADES 1 Usando as regras de derivação estudadas determine a derivada das funções 𝑎 𝑦 8 𝑏 𝑦 𝑥6 𝑐 𝑓𝑥 𝑥5 𝑑 𝑓𝑥 1 𝑥10 𝑒 𝑓𝑥 𝑥 𝑓 𝑓𝑥 𝑥6 5 𝑔 𝑦 1 𝑥 3 ℎ 𝑦 2 2 Usando as regras de derivação estudadas determine a derivada das funções 𝑎 𝑦 8𝑥2 𝑏 𝑦 9𝑥 𝑐 𝑦 𝑥4 2 𝑑 𝑦 2𝑥 𝑒 𝑦 3 𝑥2 𝑓 𝑦 2 3𝑥 3 Usando as regras de derivação estudadas derive as seguintes funções 𝑎 𝑦 𝑥4 3𝑥3 2𝑥2 𝑥 3 𝑏 𝑦 1 𝑥 1 𝑥2 1 𝑥3 𝑐 𝑦 𝑥2 12 𝑥 𝑑 𝑦 2 𝑥 3 𝑥 3 𝑒 𝑦 2𝑥2 3𝑥 𝑥 𝑓 𝑦 3 𝑥 3 2 3𝑥 𝑔 𝑦 3𝑥 12 4 Considere a função 𝑓𝑥 3𝑥2 𝑥3 e determine a a inclinação da curva em 𝑥 1 b a equação da reta tangente em 𝑥 1 5 Dada a função 𝑓𝑥 2 3 𝑥3 3 2 𝑥2 2𝑥 pedese a abscissa dos pontos do gráfico de 𝑓 em que a reta tangente é horizontal 6 Determine a coordenada dos 𝑥 pontos do gráfico de 𝑓𝑥 1 𝑥 em que a inclinação da curva é igual a 1 4 7 Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função 𝑦 𝑓𝑥 sabendo que 𝑓1 2 e 𝑓1 4 11 8 Uma piscina está sendo drenada para limpeza Se o volume 𝑡 horas após o início da drenagem é dado por 𝑣𝑡 90000 2500𝑡2 determine a o tempo necessário para esvaziar completamente a piscina b a taxa média de escoamento no intervalo de tempo 25 c a taxa de escoamento duas horas após o início do processo 9 Encontre a terceira derivada de 𝑓𝑥 𝑥5 2𝑥4 𝑥3 40𝑥 18 Respostas das atividades 1 𝑎 𝑦 0 𝑏 𝑦 6𝑥5 𝑐 𝑓𝑥 5𝑥6 𝑑 𝑓𝑥 10𝑥11 𝑒 𝑓𝑥 1 2 𝑥1 2 𝑓 𝑓𝑥 6 5 𝑥 1 5 𝑔 𝑦 1 3 𝑥4 3 ℎ 𝑦 0 2 𝑎 𝑦 16𝑥 𝑏 𝑦 9 𝑐 𝑦 2𝑥3 𝑑 𝑦 𝑥1 2 𝑒 𝑦 6𝑥3 𝑓 𝑦 2 3 𝑥2 3 𝑎 𝑦 4𝑥3 9𝑥2 4𝑥 1 𝑏 𝑦 𝑥2 2 𝑥3 3𝑥4 𝑐 𝑦 3𝑥2 4𝑥 1 𝑑 𝑦 𝑥12 𝑥23 𝑒 𝑦 2 𝑓 𝑦 2 3 𝑥2 𝑥4 3 𝑔 𝑦 18𝑥 6 4 a 𝑓1 3 b 𝑦 3𝑥 1 5𝑥 2 𝑒 𝑥 1 2 6 𝑥 2 7 𝑦 2𝑥 6 8 a 6 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 b 17500 𝑙ℎ c 10000 𝑙ℎ 9 𝑓𝑥 60𝑥2 48𝑥 6 EXERCÍCIOS ANTON H BIVENS I DAVIS S CÁLCULO VOLUME 1 10ª ED Exercícios 23 P161 1 3 5 7 9 11 15 17 21 29 31 37 e 39 12 D5 Derivada da função exponencial natural e da função logaritmo natural 𝑫𝒙𝒆𝒙 𝒆𝒙 𝑫𝒙𝐥𝐧 𝒙 𝟏 𝒙 Exemplo 7 Determine a 𝐷𝑥2 𝑒𝑥 b 𝐷𝑥2 𝑒𝑥 c 𝑑 𝑑𝑥 𝑥5 3 ln 𝑥 Exemplo 8 A igualdade 𝑥2 𝑥3 𝑥2 𝑥3 é verdadeira ou falsa Justifique D6 Regra do produto 𝑫𝒙𝒇𝒙 𝒈𝒙 𝒇𝒙 𝒈𝒙 𝒈𝒙 𝒇𝒙 Exemplo 9 Calcule a 𝐷𝑥𝑥5 𝑒𝑥 b 𝐷𝑥𝑥2 ln 𝑥 13 D7 Regra do quociente 𝑫𝒙 𝒇𝒙 𝒈𝒙 𝒈𝒙 𝒇𝒙 𝒇𝒙 𝒈𝒙 𝒈𝒙𝟐 Exemplo 10 Calcule a derivada das funções 𝑎 𝑦 𝑥2 1 𝑥4 1 𝑏 𝑦 1 𝑥2 5𝑥 D8 Derivada das funções trigonométricas 𝑫𝒙𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝑫𝒙𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝑫𝒙𝒕𝒈 𝒙 𝒔𝒆𝒄𝟐𝒙 𝑫𝒙𝒄𝒐𝒕𝒈 𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒔𝒆𝒄𝟐𝒙 𝑫𝒙𝒔𝒆𝒄 𝒙 𝐬𝐞𝐜 𝒙 𝒕𝒈𝒙 𝑫𝒙𝒄𝒐𝒔𝒔𝒆𝒄 𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒔𝒆𝒄 𝒙 𝒄𝒐𝒕𝒈𝒙 Exemplo 11 Determine a derivada de 𝑦 𝑥2 𝑠𝑒𝑛𝑥 3 𝑐𝑜𝑠𝑥 Exemplo 12 Calcule 𝑑2𝑦 𝑑𝑥2 sendo 𝑦 𝑠𝑒𝑐𝑥 14 ATIVIDADES 1 Aplicando as regras de derivação estudadas encontre a derivada de 𝑎 𝑦 𝑥 ln 𝑥 𝑏 𝑦 3𝑥2 𝑒𝑥 𝑐 𝑦 2 3𝑥 1 𝑥 𝑑 𝑦 𝑥2 2 1 2𝑥 𝑒 𝑦 𝑒𝑥 ln 𝑥 𝑓 𝑦 𝑒𝑥 2𝑥 2 Encontre dx dy em cada um dos seguintes casos a 𝑦 2𝑐𝑜𝑠𝑥 3𝑠𝑒𝑛𝑥 b sen x y x c 𝑦 𝑥3𝑠𝑒𝑛𝑥 5𝑐𝑜𝑠𝑥 d 𝑦 𝑠𝑒𝑐𝑥 2 𝑡𝑔𝑥 e 𝑦 𝑥2 𝑡𝑔𝑥 f 1 cos sen x y x Respostas das atividades 1 a x y ln 1 b x x xe x e y 6 3 2 ou 2 3 x xe y x c 2 1 1 x y d 2 2 2 1 4 2 2 x x x y e x e x e y x x ln 1 ou x x e y x ln 1 f 2 2 2 2 x e xe y x x ou 2 4 1 2 x x e y x 2 a 𝑦 2𝑠𝑒𝑛𝑥 3𝑐𝑜𝑠𝑥 b 2 cos x x sen x y x c 𝑦 𝑥3𝑐𝑜𝑠𝑥 3𝑥2 5𝑠𝑒𝑛𝑥 d 𝑦 𝑠𝑒𝑐𝑥 𝑡𝑔𝑥 2 𝑠𝑒𝑐2𝑥 e 𝑦 𝑥2𝑠𝑒𝑐2𝑥 2𝑥𝑡𝑔𝑥 f 1 1 cos y x EXERCÍCIOS ANTON H BIVENS I DAVIS S CÁLCULO VOLUME 1 10ª ED Exercícios 24 P168 1 3 5 11 13 27 e 31 Exercícios 25 P172 1 3 5 7 9 11 15 19 21 15 33 A DERIVADA DA FUNÇÃO COMPOSTA REGRA DA CADEIA Regra da Cadeia se 𝑦 𝑓𝑢 e 𝑢 𝑔𝑥 então a derivada de 𝑦 em relação a 𝑥 é dada por 𝒅𝒚 𝒅𝒙 𝒅𝒚 𝒅𝒖 𝒅𝒖 𝒅𝒙 𝒐𝒖 𝒚 𝒇𝒖 𝒖 Exemplo 1 Derive as seguintes funções compostas 𝑎 𝑦 𝑠𝑒𝑛 𝑥2 1 𝑏 𝑦 𝑠𝑒𝑛 3𝑥 𝑐 𝑦 cos 𝑒𝑥 𝑑 𝑦 ln 5𝑥 1 𝑒 𝑦 ln𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑓 𝑦 𝑒4𝑥7 𝑔 𝑦 3x 110 ℎ 𝑦 4 3𝑥2 1 16 Fórmulas generalizadas de derivação Sendo 𝑢 𝑓𝑥 temos que ① 𝑥𝑝 𝑝 𝑥𝑝1 𝑢𝑝 ② 𝑙𝑛 𝑥 1 𝑥 𝑙𝑛 𝑢 ③ 𝑒𝑥 𝑒𝑢 ④ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 cos 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑢 ⑤ 𝑐𝑜𝑠 𝑥 sen 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑢 Exemplo 2 Determine a derivada das seguintes funções 𝑎 𝑦 𝑠𝑒𝑛4𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥4 𝑏 𝑦 cos32𝑥 EXERCÍCIOS ANTON H BIVENS I DAVIS S CÁLCULO VOLUME 1 10ª ED Exercícios de compreensão 26 3 e 4 Exercícios 26 7 9 11 15 17 23 27 29 31 33 e 49 Exercícios 32 1 3 5 7 9 11 13 19 23 Exercícios de compreensão 33 3a 3c e 3d Exercícios 33 15 17 19 21 17 ATIVIDADES 1 Determine a derivada das seguintes funções a 𝑦 𝑥2 𝑥 123 b 𝑦 𝑥5 3𝑥4 c 𝑦 𝑥2 2500 d 𝑦 𝑠𝑒𝑛2𝑥 e 𝑦 4𝑐𝑜𝑠𝑥3 f 𝑦 𝑡𝑔𝑥2 1 g 𝑦 𝑠𝑒𝑛3𝑥 h 𝑦 𝑐𝑜𝑠𝑥2 9 i 𝑦 𝑥2 5 j 𝑦 3 2𝑥24𝑥2 k 𝑦 2 31𝑥2 l 𝑦 𝑠𝑒𝑛32𝑥 m 𝑦 𝑙𝑛3𝑥 1 n 𝑦 𝑒5𝑥1 2 Obtenha a derivada segunda das funções a 𝑓𝑥 𝑙𝑛𝑥2 1 b 𝑓𝑥 𝑐𝑜𝑠3𝑥 3 Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função 𝑦 𝑥2 3 no ponto 𝑥 2 Respostas das atividades 1 a 𝑦 23 𝑥2 𝑥 122 2𝑥 1 b 𝑦 4 𝑥5 3𝑥3 5𝑥4 3 c 𝑦 1000𝑥 𝑥2 2499 d 𝑦 2𝑐𝑜𝑠2𝑥 e 𝑦 12𝑥2𝑠𝑒𝑛𝑥3 f 𝑦 2𝑥𝑠𝑒𝑐2𝑥2 1 g 𝑦 3𝑠𝑒𝑛2𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 h 𝑦 2𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥2 9 i 2 5 x y x j 2 3 6 12 4 x y x x k 2 3 2 3 1 x y x l 𝑦 6𝑠𝑒𝑛22𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥 m 𝑦 3 3𝑥1 n 𝑦 5𝑒5𝑥1 2 𝑎 𝑓𝑥 2𝑥2 2 𝑥2 12 𝑏 𝑓𝑥 9 cos3𝑥 3 𝑦 2𝑥 3