Circuitos Magnéticos e Grandezas Magnéticas

PONTIFICIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS INSTITUTO POLITÉCNICO CURSO DE ENGENHARIA ELÉTRICA DISCIPLINA MÁQUINAS ELÉTRICAS I PROF MÁRCIO JOSÉ DA SILVA 1 CIRCUITOS MAGNÉTICOS 11 GRANDEZAS MAGNÉTICAS DEFINIÇÕES 111 Campo Magnético Dizemos que numa região há um campo magnético quando sobre uma carga elétrica que se move nessa região atua uma força de natureza não eletrostática Seja uma carga móvel q movendose numa velocidade V em uma região onde há um campo magnético Esta carga ficará sujeita a uma força F a qual será proporcional ao valor da carga à velocidade da carga no sentido perpendicular ao campo e ao campo magnético F qV B ou F F qVB sen α 1 O campo magnético é representado por linha chamadas de LINHAS DE FORÇA DO CAMPO MAGNÉTICO Para uma carga de prova positiva a regra prática de descobrirmos o sentido de força é fazer o uso da REGRA DA MÃO ESQUERDA onde com os dedos POLEGAR INDICADOR e MÉDIO fazendo entre si um ângulo reto 90o teremos INDICADOR indica o sentido do campo magnético MÉDIO indica o sentido da velocidade da carga Ou corrente elétrica POLEGAR indica o sentido da força 112 Circuito Magnético Entendese por circuito magnético como sendo a trajetória seguida ou descrita pela linha de força magnética ou pelo fluxo de energia magnética O meio que constitui o circuito magnético pode ser muito permeável ou pouco permeável às linhas de força magnética 2 Na Fig 3 temos alguns exemplos de meios indicando a trajetória e o sentido das linhas de força de campos magnéticos produzidos por a Bobina Solenóide imersa no ar e campo magnético produzido por corrente elétrica b Campo magnético produzido por imã permanente com meio constituído por imã material ferromagnético e ar c Campo magnético produzido por eletroímã com meio constituído por material ferromagnético em sua grande parte 113 Força Magnetomotriz F ou fmm A fmm tende a impelir o fluxo de energia magnética através do circuito magnético Desta forma comportase como a fem do circuito elétrico fmm fem E A fmm é dada pelo produto do número de espiras N de um condutor e a corrente elétrica i que o percorre isto é N i 114 Fluxo Magnético φ É o número total de linhas de força existente num determinado circuito magnético Comportase como a corrente elétrica no circuito elétrico I 115 Relutância ℜ É a resistência oferecida pelo circuito magnético à passagem do fluxo magnético Corresponde à resistência R no circuito elétrico ℜ R A relutância varia de maneira direta com o comprimento do circuito magnético e de maneira inversa com a área da seção transversal através da qual o fluxo está passando e com a permeabilidade do meio isto é ℜ 1 µ l A onde comprimento do circuito magnético l A seção transversal µ permeabilidade magnética do meio 3 116 Permeabilidade Magnética µ É a capacidade que possui cada meio em deixar fluir com maior ou menor facilidade as linhas de forças do campo magnético É uma característica intrínseca do meio Para um determinado meio a permeabilidade pode variar de acordo com a intensidade do campo magnético ou com a força magnetomotriz A permeabilidade do vácuo é tomada como a unidade padrão e com exceção do ferro aço níquel oxigênio liquefeito e certos óxidos de ferro a maioria das substâncias como o cobre o alumínio e o ar podem ser considerados como tendo uma permeabilidade igual à do vácuo Permeabilidade Relativa µ r É definida por r O µ µ µ onde µ permeabilidade do material µo permeabilidade do vácuo ar µr permeabilidade relativa A permeabilidade relativa dos materiais utilizados na construção de equipamentos elétricos possui valores típicos de 2000 e 210000 117 Indução Magnética ou Densidade de Fluxo Magnético B Diz respeito sobre a concentração de linhas de força em uma dada região É a razão entre o fluxo magnético e a área da seção transversal A atravessada pelo fluxo B dA S 4 No caso B de ser constante em módulo e em qualquer lugar ser perpendicular à superfície da área A a equação acima reduzse a BA ou B A 118 Intensidade de Campo Magnético H É a razão entre a fmm e o comprimento médio do circuito magnético isto é H F l Pode também ser definido como H d i l Lei de Ampère e significa que a integral da componente tangencial de H ao longo do caminho fechado é igual a corrente total envolvida pelo caminho Quando ao caminho fechado é atravessado pela corrente N vezes como na fig 6 a integral tornase H d Ni l F 5 12 LEIS DOS CIRCUITOS MAGNÉTICOS a Em alguns aspectos um circuito magnético é análogo a um circuito elétrico resistivo de cc como mostrado no quadro abaixo CIRCUITO ELÉTRICO CIRCUITO MAGNÉTICO Tensão V Volt FMM Ampèreespira Corrente I Ampère Fluxo Weber lei de Ohm I V R R Resistência R A lσ Ohm ou Ω Relutância ℜ lµA Densidade de corrente J Am2 Densidade de fluxo indução magnética β Wb m2 ou Tesla Condutividade σ Permeabilidade µ WbAem ou Hm Condutância G 1R Permeância 1ℜ Intensidade de campo elétrico ε Vm Intensidade de campo magnético H Aem No quadro l é o comprimento e A é a área da seção transversal do caminho ou para a corrente no circuito elétrico ou para o fluxo magnético no circuito magnético Porque é análogo a I e R é análogo a ℜ as leis para resistores em série ou paralelo também valem para as relutâncias A diferença básica entre a resistência elétrica R e a resistência magnética ℜ é que a primeira está associada a uma perda de energia Pj R I² enquanto a última não Além disso o fluxo magnético apresenta caminhos de dispersão enquanto que as correntes elétricas normalmente não o fazem b Relações entre as Grandezas 1 F Ni ℜ 2 BA ou B A 3 B µH 4 H Ni l 5 ℜ lµA 6 c Semelhanças e Diferenças entre CE e CM do Ponto de Vista de Cálculo Semelhanças 1 0 2 R Ni Diferenças Maior dispersão Relutância de um ramo de CM função do fluxo neste ramo conforme o fluxo aumenta o circuito tende a saturar Não existe perda do tipo ℜ ² Existem perdas histerese e correntes parasitas só quando existe fluxo variável no tempo 1110 Conversão de Unidades Símbolo Significado Unidades SI Unidades CGS Unidades Inglesas φ Fluxo Magnético Wb Weber 108 Maxwells 108 linhas β Densidade de Campo Magnético T Tesla 1T 1wbm2 104 Gauss 6452 x 104 linhapol2 H Intensidade de Campo Magnético Aem 4π x 103 Oersteds 00254 Amperespol FMM Ae 4π x 101 GILBERT Ae 7 12 Funcionamento em CA 121 Histerese Magnética Uma curva de magnetização exprime a relação entre a densidade de fluxo B e a corresponde intensidade de campo H desde que a substância esteja inicialmente desmagnetizada e a corrente seja aumentada gradualmente a partir de zero a Se H for aumentado gradativamente a partir de zero teremos a curva ascendente 0 a b onde Para H oe teremos B ae Para H of teremos B bf b Se H for diminuído gradativamente a partir de f teremos a curva decrescente b c d onde Para H oe teremos B oe Para H zero teremos B do 0 Para a condição de H zero e B do 0 zero dizemos que o material é dotado de uma MEMÓRIA MAGNÉTICA se recorda de ter sido magnetizado até o ponto b Quando atinge o ponto d o material transformase num imã permanente O fato da curva B f H crescente não coincidir com a curva decrescente é denominado HISTERESE Se variarmos o corrente i de zero até um valor máximo positivo depois reduzirmos a zero em seguida aumentar até um valor máximo negativo e novamente reduzir a zero e se isto acontecer ciclicamente a curva de magnetização descreverá a trajetória abcdefa denominada de CICLO DE HISTERESE 8 Pontos a e d H 0 e B Br onde Br é a indução remanente ou residual Pontos b e e H Hc e B 0 onde Hc é a intensidade de campo coercitivo Devido ao fato da curva de magnetização ascendente ser diferente da curva descendente adotase como CURVA NORMAL DE MAGNETIZAÇÃO curva foc ao lugar geométrico dos vértices dos vários ciclos de histerese Os materiais utilizados para confecção de imãs permanentes devem possuir 1 Alto Br faz com que o imã seja potente 2 Alto Hc para que a magnetização não seja destruída por eventuais campos externos A área do ciclo de histerese pode ser expressa em função de Bmáx 122 Perdas por Histerese Uma das conseqüências do ciclo de histerese é a produção de calor no interior das substâncias ferromagnéticas Esse calor provém de uma espécie de atrito interno entre os domínios magnéticos quando estes mudam de sentido Verificase que o calor desenvolvido por unidade de volume ou massa em cada ciclo é proporcional a área limitada pelo ciclo de histerese Por esse motivo desejase que as peças de máquinas elétricas em que o fluxo é alternativo ou variável tenham um ciclo de histerese bastante estreito pequena área Seja o anel de substância ferromagnética da figura abaixo onde l comprimento médio em metros A área da seção reta em metros quadrados N número de espiras do solenóide i corrente no enrolamento magnetizante em Ampère l A para que não haja dispersão e a indução seja uniforme na seção 9 Quando a chave é fechada e a corrente i começa a fluir estabelece um fluxo no anel Á medida em que o fluxo cresce haverá o surgimento de uma fcem que se opõe a fem aplicada pela bateria A potência fornecida pela bateria ao circuito magnético é p e i Watt joule s onde e N d dt A energia acumulada no campo magnético é joule 121 W t p t 1 2 dt Considerando que a e N d dt b BA campo magnético uniforme c i H N l a equação de energia fica w t e i dt t N A dB dt H l N dt B B 1 2 1 2 122 w B H dB B 1 2 energia acumulada de B1 e B2 W Vol B H dB B 1 2 Vol Volume do núcleo HdB Densidade de energia magnética no núcleo A integração da equação 122 deve ser feito por processos gráficos conhecendo a curva de histerese da substância em questão Para o ciclo a equação da energia perdida é W Vol HdB 123 10 Se a corrente i for alternativa H também o será e assim HdB área do ciclo A perda de energia por unidade de volume por ciclo é w H d B joulem3ciclo onde B Wbm2 e H Aem A perda de energia por histerese é diretamente proporcional a freqüência f da corrente i e ao volume do material ferromagnético para uma dada indução máxima Não existe lei teórica que determine essa variação Não obstante como resultado de uma prolongada série de testes STEIMETZ obteve uma equação empírica cuja expressão para ciclos simétricos é P K fB max H H X 10 7 123 PH perda por histerese em Watt m3 ou Watt Kg Bmáx amplitude da indução magnética em Wb m2 f freqüência de oscilação de B em Hz KH coeficiente de perdas por histerese Depende de cada material x expoente que depende do material e de Bmáx Varia de 15 a 25 Normalmente o valor usado é x 2 123 Perdas por Corrente de Foucault Lei FaradyLenz Um fluxo alternativo chamado INDUTOR variando na direção da seta da figura abaixo induz tensões em uma espira fictícia Esta espira sendo fechada circulará uma corrente no material originando um fluxo chamado INDUZIDO que se opões a variação do fluxo indutor Esta corrente circulando através da resistência do material ferromagnético provoca aquecimento do núcleo 11 P R I F F F 0 3 perda por Foucault A fórmula empírica obtida por STEIMTZ é P abc p a f max F B π 2 2 2 2 6 Watts abc Vol volume em m3 A perda por unidade de volume fica P a f max F B π 2 2 6 Watts m3 125 onde PF perdas por Foucault em Watts m3 Bmáx amplitude da indução em Wb m2 f freqüência da chapa do material em m ρ resistividade do material em Ω x m Notamos pela fórmula 125 que a perda PF é proporcional ao quadrado da espessura da chapa da indução máxima e de freqüência e é inversamente proporcional a resistividade do material Por isso as chapas para confecção de peças para máquinas que irão trabalhar com fluxo magnético variável devem ter pequena espessura finas e com grande resistividade O ferro silício se adapta bem a estas condições Na prática a espessura de laminação varia de 025 a 065 mm Não compensa diminuir mais a espessura pois o custo da laminação começa a ficar anteeconômico e diminui o fator de empacotamento femp já que as lâminas são isoladas entre si emp Seç ão ú til do ferro Seç ão bruta f 123 Perda Total no Núcleo ou no Ferro Os catálogos de fabricantes de chapas ou material magnético trazem curvas de perdas totais do material ou perdas por histerese mais perdas por Foucault PHF por unidade de massa ou peso para uma dada freqüência e substância 12 13 Cálculo de Indutâncias A indutância é definida como sendo a razão entre fluxo magnético concatena λ e corrente elétrica i i N i L φ λ 1 onde L é dado em Henry λ em Weberespiras Wbe e i em A Consideremos um toróide magnético envolvido com n bobinas distintas conforme mostrado na figura abaixo Cada bobina possui a propriedade de apresentar uma indutância própria e indutâncias mútuas Para simplificação de análise nos sempre nos referimos às indutâncias mútuas definidas entre pares de bobinas Deste modo n2 indutâncias podem ser definidas se cada bobina possuir algum grau de interação magnética com as outras No toróide de substância ferromagnética temos l comprimento médio em metros A área da seção reta em metros quadrados l A para que não haja dispersão e a indução seja uniforme na seção Sejam p e q duas bobinas quaisquer Aplicandose a definição de indutância a estas duas bobinas fica ésima bobina Corrente na q ésima bobina ésima bobina devido à corrente na q Fluxo enlaçando a p Lpq 13 q q pq p pq i k N L φ 2 onde o termo entre parênteses referese à parcela do fluxo produzido pela bobina q φq que envolve a bobina p iq é a corrente na bobina q Nq é o número de espiras da bobina p e kpq é o coeficiente de acoplamento de fluxo magnético entre as duas bobinas kpq determina o grau de acoplamento magnético entre as duas bobinas ou seja ele é a relação entre fluxo parcial da bobina q que envolve a bobina p e o fluxo total da bobina q Fluxo Total k pq Fluxo Parcial 3 que conseqüentemente Isto é duas bobinas podem estar no máximo 100 acopladas 01 pq k Como exemplo considere que neste circuito tivéssemos três bobinas e que cada uma delas fosse percorrida por uma corrente elétrica i A bobina 1 gera um fluxo magnético que envolve ela própria e parte dele envolvendo as espiras das bobinas 2 e 3 produzindo a indutância própria da bobina 1 L11 e as indutâncias mútuas entre as bobinas 2 L21 e 3 L31 Da mesma forma a bobina 2 gera um fluxo magnético que envolve ela própria L22 e parte dele envolvendo as bobinas 1 L12 e 3 L32 O mesmo raciocínio pode ser feito para a bobina 3 que possui uma indutância própria L33 e duas indutâncias mútuas com as bobinas 1 L13 e 2 L23 Quando os índices p e q são iguais a indutância é chamada de auto indutância ou indutância própria Lqq e quando eles forem diferentes a indutância é chamada de indutância mútua As indutâncias mútuas são iguais Lpq Lqp Para expressar em função dos parâmetros do circuito magnético vamos substituir a expressão do fluxo pq L e equivalent q q q i N ℜ φ e equivalent q pq p pq N k N L ℜ 4 onde é a relutância equivalente do circuito magnético à passagem do fluxo equivalente ℜ qφ Desta expressão podem notar que a indutância é um parâmetro do circuito Ela independe da bobina ser ou não percorrida por corrente No caso da indutância própria a expressão 4 fica 14 e equivalent q qq N L ℜ 2 5 Exemplo O circuito magnético heterogêneo da figura abaixo é constituído por um núcleo de aço cuja permeabilidadeµn é considerada infinitamente maior que a do ar µo As dimensões dos entreferros laterais são c mm g g 2 2 2 1 d 2 2 1 10 4 cm A A e Ae m Wb o 4π 107 µ e o número de espiras das bobinas são espiras N 1 1 000 espiras N 2 500 espiras N 3 800 Pedese Determinar as indutâncias próprias e mútuas das bobinas N3 N1 e N2 Solução De acordo com o enunciado a relutância do núcleo de aço é infinitamente pequena já que sua permeabilidade é infinitamente alta Ou seja 0 1 ℜ ℜ n n n µ 6 As relutâncias dos entreferros laterais não podem ser desprezadas pois a permeabilidade do ar é muito baixa 1 1 1 A g o g ℜ µ 7 2 2 2 A g o g ℜ µ 8 15 Com dispomos das relações das dimensões dos entreferros podemos fazer uma comparação entre elas 2 4 2 2 2 2 1 1 1 ℜ ℜ A g A g o o µ µ 9 Ou seja o entreferro1 à direita da perna central do núcleo possui uma relutância duas vezes menor que a do entreferro à esquerda Os valores destas relutâncias são Wb Ae Ae m Wb g m m 1 59154943 10 10 10 4 10 2 2 4 7 3 1 ℜ π 10 Wb Ae Ae m Wb g m m 3 18309886 10 52 10 4 10 1 2 4 7 3 2 ℜ π 11 a Determinação da indutância própria da bobina 3 e das indutâncias mútuas entre as bobinas 3 e 1 e 3 e 2 33 L L13 23 L Para determinarmos tais indutâncias imaginem que a bobina 3 fosse percorrida por uma corrente entrando no terminal superior O fluxo magnético total 3i 3 φ criado pela fmm 3 3 3 ℑ N i percorre o trecho uv No ponto v as linhas de força se dividem originando os fluxos parciais 31 φ e φ32 que são inversamente proporcionais às relutâncias dos caminhos que terão que percorrer Como a relutância do entreferro 1 é a metade da do entreferro 2 o fluxo 31 φ é o dobro do fluxo φ32 Isto que acabamos de descrever pode ser demonstrado a partir do circuito equivalente mostrado abaixo 32 31 3 φ φ φ 12 3 3 32 2 31 1 3 φ φ φ ℜ ℜ ℜ ℑ eq g g 13 Da expressão 13 tiramos a relação entre os fluxos 31 φ e φ32 32 32 1 2 31 2 φ φ φ ℜ ℜ g g 14 Substituindo 14 em 12 obtemos 32 31 3 3 51 φ φ φ 15 Podemos calcular a indutância própria da bobina 3 utilizando a expressão 5 onde o índice q é igual a 3 e eq3 equivalente ℜ ℜ 16 Wb Ae g g g g g g eq 1 06103295 3 1 3 2 2 1 2 1 2 1 3 ℜ ℜ ℜ ℜ ℜ ℜ ℜ 16 Substituindo os valores em 5 obtemos H N L eq 0 603186 1 06203295 8002 3 2 3 33 ℜ mH L 33 60319 Para calcularmos a indutância mútua entre as bobinas 3 e 1 usaremos a expressão 4 onde os índices q e p são iguais a 3 e 2 respectivamente e o fator de acoplamento magnéticos entre as bobinas 3 e 1 é igual a 31 L 13 k 0 667 51 31 31 3 31 13 φ φ φ φ k significando que 667 do fluxo gerado pela bobina 3 enlaça ou concatena a bobina 1 e os outros 333 concatenam a bobina 2 isto é mH L 31 50265 333 0 3 32 23 φ φ k Assim temos H N k N L eq 0 502654 1 06103295 0 6667 800 000 1 3 3 13 1 31 ℜ mH L 50265 31 H N k N L eq 0125664 1 06103295 0 3333 800 500 3 3 23 2 32 ℜ mH L 32 12565 b Determinação da indutância própria da bobina 1 e das indutâncias mútuas entre as bobinas 1 e 2 e 1 e 3 11 L L21 31 L Vamos agora imaginar que a bobina 1 fosse percorrida por uma corrente entrando no terminal superior O fluxo magnético total 1i 1φ criado pela fmm percorre o trecho xw No ponto v as linhas de força se dividem originando os fluxos parciais 1 1 1 N i ℑ 12 φ e 13 φ que são inversamente proporcionais às relutâncias dos caminhos que terão que percorrer Como a relutância da perna central do núcleo ℜn 0 então o fluxo 1 12 φ φ e φ13 0 Isto que acabamos de descrever pode ser demonstrado a partir do circuito equivalente mostrado abaixo 17 As expressões que tiramos do circuito equivalente são 13 12 1 φ φ φ 17 12 2 1 1 13 1 1 1 1 1 φ φ φ φ ℜ ℜ ℜ ℜ ℑ g g n g i N 18 12 2 13 φ φ ℜ ℜ g n 19 2 2 1 1 g n g n g eq ℜ ℜ ℜ ℜ ℜ ℜ 20 As relutâncias e estão em paralelo e como ℜn ℜg 2 ℜn 0 e φ13 0 então as expressões acima ficam 13 12 1 φ φ φ 17 1 1 1 1 1 φ ℜ ℑ g i N 18 0 12 2 13 ℜ ℜ φ φ g n 19 1 1 g eq ℜ ℜ 20 Passemos então ao cálculo da indutância própria da bobina 1 usando a expressão 5 onde o índice q é igual a 1 H N L eq 0 628319 1 51954943 1 000 2 1 2 1 11 ℜ mH L 11 62832 Para o cálculo da indutância mútua entre as bobinas 3 e 1 vamos usar a expressão 4 onde os índices q e p são iguais a 1 e 3 respectivamente e o fator de acoplamento magnéticos entre as bobinas 1 e 3 é igual a 31 L 31 k 01 1 13 13 φ φ k significando que 100 do fluxo gerado pela bobina 1 enlaça ou concatena a bobina 3 e nenhum fluxo 0 concatena a bobina 2 isto é 0 1 12 12 φ φ k Assim temos H N k N L eq 0 502655 1 59154943 1 000 01 800 1 1 31 3 31 ℜ mH L 31 50266 que é o mesmo valor de 31 calculada no item a L Agora para o cálculo da indutância mútua entre as bobinas 2 e 1 vamos usar novamente a expressão 4 onde os índices q e p são iguais a 1 e 2 respectivamente e o fator de acoplamento magnéticos entre as bobinas 1 e 2 é igual a 21 L 21 k 0 1 12 12 φ φ k Como nenhuma linha de força gerada pela bobina 1 enlaça a bobina 3 concluímos que a indutância mútua entre elas é zero Ou seja 18 0 1 59154943 1 000 0 800 1 1 21 2 21 ℜ eq N k N L L21 0 c Determinação da indutância própria da bobina 2 e das indutâncias mútuas entre as bobinas 2 e 1 e 2 e 3 22 L L12 32 L Os cálculos para a determinação das indutâncias podem ser feitos de maneira semelhante ao item b Confira se os resultados são mH L 22 7854 mH L 32 12565 e 12 0 L Como observação final as indutâncias se manifestam no circuito magnético do Exemplo acima quando elas forem percorridas por correntes elétricas variáveis no tempo Se por exemplo a bobina 3 for percorrida pela corrente 3i o fluxo magnético 3 φ irá induzir nela própria uma fem dada por dt d i L dt N d e 3 33 3 3 33 φ onde a indutância própria 33 é considerada constante L Os fluxos magnéticos parciais 31 φ e φ32 também variáveis no tempo irão induzir nas bobinas 1 e 2 as forças eletromotrizes dt di L dt N d e 3 31 31 1 13 φ e dt di L dt N d e 3 32 32 2 23 φ Da mesma forma se a bobina 1 for percorrida pela corrente o fluxo magnético 1i 1φ irá induzir nela própria uma fem dada por dt L di dt N d e 1 11 1 1 11 φ Note que na bobina 1 estão presentes as tensões e sendo que poderá se somar ou subtrair de dependendo se os fluxos 11 e e13 13 e 11 e 1φ e 31 φ estão no mesmo sentido aditivos ou em sentidos opostos subtrativos Também na bobina 3 estarão presentes as tensões própria a mútua e a mútua e33 31 e 19 se a bobina 2 for percorrida pela corrente A mesma análise pode ser feita para a bobina 2 e32 2i Bibliografia FITZGERALD A E KINGSLEY JR Charles UMANS D Stephen Electric Machinery 6a Edição Mc GrawHill New York 2003 E E STAFF MIT Circuitos Magnéticos y Transformadores Editorial Reverte Buenos Aires Belo Horizonte Agosto de 2004 20