Elementos da Teoria da Amostragem: População e Amostra

TEMA 5 ELEMENTOS DA TEORIA DA AMOSTRAGEM TEMAS DE ESTUDO POPULAÇÃO VERSUS AMOSTRA POPULAÇÃO Conjunto Universo Espaço Amostral Finita ou Infinita Informações Reais Resumos mais Precisos Custo Elevado para o acesso t e Pode ser unitária único elemento A população é definida e única O infinito é limitado pelo custo ao seu acesso AMOSTRA Subconjuntos Eventos Finita Informações Estimadas Contêm erros Metodológicos Sistemáticos Aleatórios Nível de Significância Erro não Controlável Arbitrado Grau de Liberdade Escolha Aleatória Não existe amostra unitária Existe uma combinação infinita de amostras possíveis O tamanho da amostra é vinculado a seu custo Amostra e Amostragem POPULAÇÃO VERSUS AMOSTRA Na dúvida Se é população ou amostra é amostra Se a população é finita ou infinita é infinita Se o processo de amostragem é com ou sem reposição é com reposição Se não existem garantias que o processo é aleatório o processo é viciado ou com viés Se o tamanho da amostra é pequeno ou grande sempre é menor que o desejável Se a amostra contêm erros certamente Amostragem A1 A2 A4 Ak A3 nkn pk Xk s2 k N p Processo de Indução Inferência Estatística CONCEITO DE ERRO AMOSTRAL É a diferença absoluta entre o parâmetro e a estatística ε θθ CONCEITO DE GRAU DE LIBERDADE É o novo tamanho que amostra deve assumir para que a escolha dos elementos permaneça aleatória φ n1 CONCEITO DE NÍVEL DE SIGNIFICÂNCIA Consiste na ocorrência definida de uma probabilidade aonde variamse os intervalos de existência para garantir tal probabilidade Pθcal θtab α Segundo a maioria dos autores podemos considerar α1 Teste altamente significativo α5 Teste provavelmente significativo uso universal α10 Teste empiricamente significativo CONCEITO DE ESTIMAÇÃO É o processo que usa os resultados extraídos da amostra para produzir inferências sobre a população da qual foi extraída aleatoriamente a amostra Estim ação por ponto Quando a partir da amostra procurase obter um único valor de um certo parâmetro populacional Estim ação por intervalo Quando a partir da amostra procurase construir um intervalo de variação θ1 θ2 com a probabilidade de conter o verdadeiro parâmetro populacional θ Estimador θ de um parâmetro populacional θ é uma variável aleatória função dos elementos amostrais xi 1in isto é θ fx1x2x3xn Estimativa é o valor numérico obtido pelo estimador ou estatística numa certa amostra Estimação Estimador e Estimativa Exemplo a θ1 θ2 e θ3 são justos pois E θ1 E θ2 E θ3 θ b θ4 é viesado pois E θ4 θ c θ1 tem variância mínima pois de todos os estimadores justos de θ θ1 θ2 e θ3 ele é que tem menor variância d θ3 tem a maior variância e θ1 deve ser escolhido pois é o estimador justo de variância mínima Teorema do Limite Central Seja X₁X₂X₃Xn uma sequência de variáveis aleatórias independentes com EXᵢμ e V arXᵢσ² Façamos X X₁ X₂ X₃ Xn Então sob condições bastante gerais X tem Distribuição Normal de média ni1μᵢ e Variância ni1σᵢ² e a variável normal produzida será dada por Zᵢ X ni1μᵢ ni1σᵢ² Distribuição por Amostragem 1 BASE Conhecimento pleno sobre os parâmetros característicos da População ou de uma distribuição de probabilidade que possa definir a população θN μX σ²X pX onde θ Nμ₀σ²₀ z θ μ₀ σ₀ Uma vez definida a população todas as amostras possíveis seguem o comportamento da distribuição normal o que garante que distribuições das estatísticas Amostras θNn μXX σ²Xs²X pX onde θ Nμₗσ²ₗ z θ μₗ σₗ Distribuição por Amostragem 2 QUANTIDADE DE AMOSTRAS POSSÍVEIS Seja uma população constituída de N elementos da qual se quer extrair todas as possíveis amostras de tamanho n Processo de retirada é executado com reposição podem ser obtidas Q Nⁿ amostras Processo de retirada é executado sem reposição podem ser obtidas Q N n amostras Distribuição por Amostragem das Médias Amostrais Distribuição por Amostragem das Médias Amostrais Uma população consiste de cinco números 236811 Consideremos todas as amostras possíveis de 2 elementos que dela podemos retirar com reposição Determinar a A média e o desvio padrão da população b O número de amostras possíveis c Uma representação de todas as amostras rol d Um conjunto de médias aritméticas de cada amostra e Usando a definição de média e de variância populacional determinar a média e a variância do conjunto de médias amostrais f A média e o desvio padrão da distribuição amostral das médias g O real intervalo entre P25X95 e quantas amostras pertencem a este intervalo Quais h O intervalo teórico entre PμX175σXXμX175σX e quantas amostras pertencem a este intervalo Quais A média e o desvio padrão da população O número de amostras possíveis Resolução c Uma representação de todas as amostras rol a1 22 a2 32 a3 62 a4 82 a5 112 a6 23 a7 33 a8 63 a9 83 a10 113 a11 26 a12 36 a13 66 a14 86 a15 116 a16 28 a17 38 a18 68 a19 88 a20 118 a21 211 a22 311 a23 611 a24 811 a25 1111 Resolução d Um conjunto de médias aritméticas de cada amostra Médias amostrais barx1 2 barx2 25 barx3 4 barx4 5 barx5 65 barx6 25 barx7 3 barx8 45 barx9 55 barx10 7 barx11 4 barx12 45 barx13 6 barx14 7 barx15 85 barx16 5 barx17 55 barx18 7 barx19 8 barx20 95 barx21 65 barx22 7 barx23 85 barx24 95 barx25 11 Resolução e Usando a definição de média e de variância populacional determinar a média e a variância do conjunto de médias amostrais barxi fi barxi fi barx2i fi 20 1 20 40 25 2 50 125 30 1 30 90 40 2 80 320 45 2 90 405 50 2 100 500 55 2 110 605 60 1 60 360 65 2 130 845 70 4 280 1960 80 1 80 640 85 2 170 1445 95 2 190 1805 110 1 110 1210 25 150 1035 Resolução Resolução f A média e o desvio padrão da distribuição amostral das médias Resolução g O real intervalo entre P25 x 95 e quantas amostras pertencem a este intervalo Quais P25 x 95 23 092 Todas as amostras exceto a1 e a25 Resolução h O intervalo teórico entre PμX175σXXμX175σX e quantas amostras pertencem a este intervalo Quais Pk1μX175σX617554193 Pk2μX175σX6175541007 zPkμXσX PE193X100709198 1 amostra errada α1 em 25 amostras possíveis 25004 portanto devemos assumir que existe erro que não podemos controlar Justificamos teoricamente pelo nível de significância α5