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Engenharia Química ·
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Quando aproximamos duas cargas elétricas elas vão se repelir ou se atrair devido à força elétrica entre elas Porém como é possível que essas cargas interajam à distância Se você vai empurrar uma mesa por exemplo você precisa encostar nela Ou seja é necessário que haja um contato entre vocês Por muito tempo os cientistas filósofos e pensadores tiveram dificuldade de aceitar a ideia de força à distância Entretanto esta não é a primeira vez que você está lidando com esse tipo de situação Se soltarmos uma maçã de uma altura ela vai cair por causa da força de atração da Terra sobre a maçã que é uma força à distância Da mesma forma a Terra orbita em torno do Sol por causa da força de atração entre os dois Explicamos essa força introduzindo o conceito de campo gravitacional A Terra o Sol e qualquer corpo que possua massa cria em torno de si um campo gravitacional Esse campo gravitacional por sua vez ao entrar em contato com outros corpos exerce uma força Da mesma forma dizemos que uma carga elétrica cria um campo elétrico em seu redor Quando esse campo elétrico entra em contato com outras cargas surge uma força elétrica Apesar de ter sido criado como uma solução para o problema da força sem contato o campo elétrico acabou adquirindo uma importância bem maior no estudo do Eletromagnetismo Ondas eletromagnéticas por exemplo são explicadas em termos de campos elétricos e magnéticos que oscilam no tempo e no espaço A Terra possui um campo gravitacional em torno dela 𝑔 Considere um corpo de massa 𝑚 20 kg próximo à superfície terrestre sujeito à ação do campo gravitacional 𝑔 10 ms2 Sobre esse corpo atuará sobre uma força gravitacional que chamamos de peso 𝑃 O peso é dado por 𝑃 𝑚𝑔 20 10 20 N Considere agora um corpo com o dobro de massa 𝑚 40 kg sujeito também à gravidade terrestre 𝑔 10 ms2 Nesse caso o peso do corpo também será duas vezes maior ou seja 𝑃 𝑚𝑔 40 10 40 N Observe que mesmo dobrando a massa do corpo o valor do campo gravitacional permaneceu o mesmo Em outras palavras o campo gravitacional não depende da massa do objeto que está sujeito a ele Agora imagine que você leva o primeiro objeto de massa 𝑚 20 kg para a Lua Lá ele estará sujeito a um campo gravitacional diferente cujo valor é 𝑔𝐿 16 ms2 O valor da gravidade mudou porque a massa e o raio da Lua são diferentes da Terra Assim o campo gravitacional depende apenas do corpo que gera esse campo Suponha que você esteja em um planeta cujo módulo do campo gravitacional é desconhecido Você poderia determinar o valor da gravidade medindo a força peso 𝑃 que atua sobre um corpo de massa 𝑚 e calculando 𝑔 𝑃 𝑚 Ou seja o campo gravitacional é a razão entre a força peso e a massa do objeto que sofre essa força Considere um ponto 𝑃 próximo à superfície da Terra Note que o campo gravitacional nesse ponto existe independente de termos ou não um objeto nesse ponto O efeito do campo só será percebido se houver um objeto em 𝑃 pois atuará uma força sobre ele Entretanto o campo existe independente da existência de uma força Considere um objeto carregado como o bastão de vidro mostrado na figura Colocamos uma carga pequena e positiva no ponto 𝑃 próximo ao objeto carregado Essa carga é chamada de carga de prova ou carga de teste 𝑞0 A carga de prova 𝑞0 sofre uma força elétrica Ԧ𝐹𝐸 Definimos o módulo do campo elétrico 𝐸 no ponto 𝑃 como 𝐸 𝐹𝐸 𝑞0 Unidade de 𝐸 newton por coulomb NC Repare a semelhança com a definição do campo gravitacional 𝑔 𝑃 𝑚 Ex Uma carga de 40 μC é colocada próxima a um bastão eletricamente carregado e fica sujeito a uma força de 26 mN Determine o módulo do campo elétrico no ponto onde a carga foi posicionada Ex Uma carga de 40 μC é colocada próxima a um bastão eletricamente carregado e fica sujeito a uma força de 26 mN Em seguida a carga é aumentada para 80 μC Qual é o valor final do campo elétrico sobre a carga Se dobrarmos o valor da carga de prova a força elétrica sobre ela também dobra e o campo não muda Portanto o campo elétrico só depende da carga que o gera Como a força elétrica é um vetor então o campo também é uma grandeza vetorial e podemos reescrever a definição como 𝐸 Ԧ𝐹𝐸 𝑞0 Observe que o campo elétrico em um ponto pode existir independente de haver ou não uma carga de prova nesse ponto Como a carga de prova é positiva o campo elétrico vai ter a mesma direção e sentido da força elétrica mas seus módulos são diferentes Se o objeto tiver carga positiva ele vai repelir a carga de prova e o campo vai apontar para fora do objeto Se o objeto carregado for negativo ele vai atrair a carga de prova e o campo vai apontar para dentro do objeto Ex Por que a carga de prova é definida como uma carga pequena Ex Por que a carga de prova é definida como uma carga positiva Uma forma de visualizar o campo elétrico é através das linhas de campo elétrico O campo elétrico em qualquer ponto é tangente às linhas de campo possui o mesmo sentido que as linhas e é proporcional à densidade de linhas nesse ponto As linhas de campo saem de cargas positivas e entram em cargas negativas como mostrado na figura Figura Linhas de campo para cargas pontuais Figura Linhas de campo para uma placa carregada Figura Linhas de campo para duas cargas positivas Figura Linhas de campo para configurações de duas cargas Figura Visualização das linhas de campo Ex A figura mostra um esboço das linhas de campo de duas cargas pontuais 2𝑞 e 𝑞 Você concorda com a forma como as linhas foram desenhadas Justifique Sim pois o número de linhas que sai da carga positiva é o dobro do número de linhas que entra na carga negativa Considere uma carga pontual 𝑄 fixa no espaço Se colocarmos uma carga de prova 𝑞0 a uma distância 𝑟 ela vai sofrer uma força de módulo 𝐹 𝑘 𝑄𝑞0 𝑟2 Podemos calcular o campo elétrico gerado pela carga pontual usando 𝐸 𝐹 𝑞0 𝑘 𝑄𝑞0 𝑟2 𝑞0 Portanto 𝐸 𝑘 𝑄 𝑟2 Este é o campo gerado por uma carga pontual 𝑄 Observe que o campo só depende da carga que gera o campo 𝑄 Ex Uma carga 𝑄 80 mC está fixa na origem de um eixo de coordenadas Qual é o módulo do campo elétrico que ela cria sobre uma carga 𝑞 50 μC que está em 𝑥 20 cm Ex Uma carga 𝑄 gera um campo de módulo 54 GNC em um ponto que está a 50 cm de distância dela Qual é o valor da carga 𝑄 Uma carga 𝑄 984 mC está fixa em 𝑥1 137 m Determine o campo elétrico em 𝑥 279 m Campo elétrico de um conjunto de cargas na reta Considere duas cargas 𝑞1 e 𝑞2 fixas ao longo de uma reta O campo elétrico total em um ponto 𝑃 que também está sobre a reta é dado pela combinação dos campos de cada uma das cargas Entretanto devemos primeiramente analisar o sentido do campo de cada carga para determinar se os campos se somam ou se subtraem Assim é importante analisar não apenas o módulo do campo de cada carga mas também sua direção e sentido Ex Uma carga 𝑞1 50 μC está fixa em 𝑥1 0 enquanto uma carga 𝑞2 20 μC está fixa em 𝑥2 10 m Qual é o campo elétrico gerado em 𝑥 15 m Ex Uma carga 𝑞1 50 μC está fixa em 𝑥1 0 enquanto uma carga 𝑞2 20 μC está fixa em 𝑥2 10 m Qual é o campo elétrico gerado em 𝑥 15 m Ex Uma carga 𝑞1 50 μC está fixa em 𝑥1 0 enquanto uma carga 𝑞2 20 μC está fixa em 𝑥2 10 m Qual é o campo elétrico gerado em 𝑥 06 m Ex Uma carga 𝑞1 45 μC está fixa em 𝑥1 0 enquanto uma carga 𝑞2 20 μC está fixa em 𝑥2 10 m Em que ponto o campo elétrico é nulo Ex Uma carga 𝑞1 45 μC está fixa em 𝑥1 0 enquanto uma carga 𝑞2 20 μC está fixa em 𝑥2 10 m Em que ponto o campo elétrico é nulo Campo elétrico de um conjunto de cargas no plano Se tivermos um conjunto de 𝑁 cargas distribuídas em uma certa região o campo elétrico total em um ponto 𝑃 será a combinação do campo gerado por cada carga Assim o campo total será a soma vetorial dos campos 𝐸 𝐸1 𝐸2 𝐸3 𝐸𝑁 A soma é feita vetorialmente pois a direção e o sentido do campo de cada carga é importante A figura mostra três partículas de cargas 𝑞1 2𝑄 𝑞2 2𝑄 e 𝑞3 4𝑄 todas situadas a uma distância 𝑑 da origem Determine o campo elétrico total produzido na origem pelas três partículas Dados 𝑞1 2𝑄 𝑞2 2𝑄 𝑞3 4𝑄 𝐸 𝐸1 𝑘 𝑞1 𝑑2 2𝑘 𝑄 𝑑2 𝐸2 2𝑘 𝑄 𝑑2 𝐸3 4𝑘 𝑄 𝑑2 𝐸 𝐸1 𝐸2 𝐸3 𝐸𝑥 𝐸3 cos 30 𝐸1 𝐸2 cos 30 𝐸𝑥 2𝐸3 cos 30 𝐸𝑥 2 4𝑘 𝑄 𝑑2 0866 693𝑘 𝑄 𝑑2 𝐸𝑦 0 Uma configuração bastante importante é a de duas cargas de mesmo módulo 𝑞 e sinais contrários separadas por uma pequena distância 𝑑 Essa configuração é chamada de dipolo elétrico A figura mostra a configuração de linhas de campo para um dipolo elétrico Chamamos o eixo que passa pelas duas cargas e vai da carga negativa para a positiva de eixo 𝑧 Figura Linhas de campo para cargas pontuais Definimos Ԧ𝑝 como o vetor dipolo elétrico que tem módulo 𝑝 𝑞𝑑 e que vai da carga negativa para a positiva Unidade de Ԧ𝑝 coulomb vezes metro C m O campo gerado em um ponto 𝑃 que está no eixo do dipolo a uma distância 𝑧 do centro do dipolo é dado pela expressão 𝐸 2𝑘 𝑞𝑑 𝑧3 1 2𝜋𝜀0 𝑝 𝑧3 Ex Um dipolo elétrico é formado por um próton e um elétron que estão afastados de 430 nm Determine o campo gerado por esse dipolo a uma distância de 712 μm do centro do dipolo 𝐸 1 2𝜋𝜀0 𝑝 𝑧3 𝑝 𝑞𝑑 𝑝 160 1019 430 109 688 1028 C m 𝐸 1 2𝜋 885 1012 688 1028 712 106 3 𝐸 343 102 NC Demonstração da equação do campo de um dipolo Considere que as distâncias das cargas positiva e negativa do dipolo até o ponto 𝑃 são respectivamente 𝑟 e 𝑟 Da mesma forma o campo criado pelas cargas positiva e negativa no ponto 𝑃 são respectivamente 𝐸 e 𝐸 Observe que os campos 𝐸 e 𝐸 têm sentidos contrários já que as cargas possuem sinais contrários Assim o campo no ponto 𝑃 é 𝐸 𝐸 𝐸 𝑘 𝑞 𝑟 2 𝑞 𝑟2 Temos que 𝑟 𝑧 𝑑 2 e 𝑟 𝑧 𝑑 2 logo 𝐸 𝑘 𝑞 𝑧 𝑑 2 2 𝑞 𝑧 𝑑 2 2 Colocando 𝑞 e 𝑧 em evidência temos 𝐸 𝑘𝑞 𝑧2 1 1 𝑑 2𝑧 2 1 1 𝑑 2𝑧 2 logo 𝐸 𝑘𝑞 𝑧2 1 𝑑 2𝑧 2 1 𝑑 2𝑧 2 Pelo teorema do binômio de Newton temos que 1 𝑥 𝑛 1 𝑛𝑥 desde que 𝑥 1 Dessa forma podemos fazer 𝑑 𝑧 ou seja pegamos apenas pontos cuja distância seja muito maior que o tamanho do dipolo Assim 1 𝑑 2𝑧 2 1 𝑑 𝑧 Dessa forma 𝐸 𝑘𝑞 𝑧2 1 𝑑 𝑧 1 𝑑 𝑧 ou seja 𝐸 𝑘𝑞 𝑧2 2𝑑 𝑧 2𝑘 𝑞𝑑 𝑧3 1 2𝜋𝜀0 𝑝 𝑧3 Até aqui tratamos apenas de um conjunto finito de cargas pontuais Imagine agora que você tenha uma barra de comprimento 𝐿 e que essa barra tenha uma grande quantidade de cargas distribuídas uniformemente por ela Nesse caso como o comprimento da barra não é desprezível nós não podemos dizer que se trata de uma carga pontual Em vez disso estamos lidando com um corpo extenso Assim faz muito mais sentido falar de uma densidade de carga elétrica Quando a carga está distribuída por um corpo em que uma das dimensões é muito maior do que as outras como um bastão temos uma densidade linear de carga 𝜆 A densidade linear de carga é dada por 𝜆 𝑞 𝐿 Sua unidade é o coulomb por metro Cm Ex Uma carga de 𝑞 20 mC é distribuída uniformemente sobre um bastão de 𝐿 50 cm de comprimento Qual é a densidade linear de carga do bastão 𝜆 𝑞 𝐿 𝜆 20 103 005 𝜆 04 Cm Poderíamos também escrever 𝜆 40 mCcm ou ainda 𝜆 400 mCm Ex Um bastão de comprimento 𝐿 10 m possui densidade linear de carga uniforme de 𝜆 75 μCm Qual é a carga contida em um pedaço de Δ𝑥 80 cm do bastão 𝜆 𝑞 𝐿 Δ𝑞 Δ𝑥 Δ𝑞 𝜆Δ𝑥 Δ𝑞 75 106 008 Δ𝑞 60 106 C Δ𝑞 60 μC Quando a carga está distribuída em uma superfície temos a densidade superficial de carga 𝜎 com 𝜎 𝑞 𝐴 e quando a carga está distribuída em um volume temos a densidade volumétrica de carga 𝜌 com 𝜌 𝑞 𝑉 As unidades são respectivamente Cm² e Cm³ Vimos até aqui como configurações de carga geram campos elétricos Vamos agora focar em como cargas interagem com campos Considere um campo elétrico 𝐸 em uma determinada região Observe que não estamos interessados em saber como esse campo é criado apenas sabemos que ele existe O que acontece se colocarmos uma carga 𝑞 nessa região A carga 𝑞 sofrerá uma força elétrica 𝐹𝐸 cujo módulo é dado por 𝐹𝐸 𝑞𝐸 Como força e campo são vetores podemos ainda escrever Ԧ𝐹𝐸 𝑞𝐸 Se a carga for positiva a força e o campo vão ter a mesma direção e sentido Por outro lado se a carga for negativa a força e o campo terão mesma direção mas sentidos contrários Ԧ𝐹 Ԧ𝐹 𝐸 Figura Cargas em um campo elétrico Ex Um equipamento utilizado para defesa antimíssil dispara um feixe de prótons que podem tornar um míssil inofensivo Esses feixes de prótons são acelerados a partir do repouso por campos elétricos produzidos pelo equipamento Qual a aceleração que um próton experimenta se o campo elétrico é de 215 104 NC 𝐹 𝑞𝐸 𝑚𝑎 𝑎 𝑞𝐸 𝑚 𝑎 160 1019 215 104 167 1027 𝑎 206 1012 ms Ex Halliday A figura mostra as placas defletoras de uma impressora eletrostática de jato de tinta com eixos de coordenadas superpostos Uma gota de tinta com massa 𝑚 de 13 1010 kg e carga negativa de valor absoluto 𝑞 15 1013 C penetra na região entre as placas movendose inicialmente na direção do eixo 𝑥 com uma velocidade 𝑣𝑥 18 ms O comprimento 𝐿 de cada placa é 16 cm As placas estão carregadas e portanto produzem um campo elétrico em todos os pontos da região entre elas Suponha que esse campo esteja dirigido verticalmente para baixo seja uniforme e tenha um módulo de 14 106 NC Qual é a deflexão vertical da gota ao deixar a região entre as placas Dados 𝑚 13 1010 kg 𝑞 15 1013 C 𝑣𝑥 18 ms 𝐿 16 cm 𝐸 14 106 NC Δ𝑦 𝐿 𝑣𝑥𝑡 𝑡 0016 18 𝑡 889 104 s 𝐹 𝑞𝐸 𝑚𝑎 𝑎 𝑞𝐸 𝑚 𝑎 15 1013 14 106 13 1010 𝑎 162 103 ms² Δ𝑦 𝑣0𝑦𝑡 1 2 𝑎𝑡2 Δ𝑦 1 2 162 103 889 104 2 Δ𝑦 638 104 m 0638 mm
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Quando aproximamos duas cargas elétricas elas vão se repelir ou se atrair devido à força elétrica entre elas Porém como é possível que essas cargas interajam à distância Se você vai empurrar uma mesa por exemplo você precisa encostar nela Ou seja é necessário que haja um contato entre vocês Por muito tempo os cientistas filósofos e pensadores tiveram dificuldade de aceitar a ideia de força à distância Entretanto esta não é a primeira vez que você está lidando com esse tipo de situação Se soltarmos uma maçã de uma altura ela vai cair por causa da força de atração da Terra sobre a maçã que é uma força à distância Da mesma forma a Terra orbita em torno do Sol por causa da força de atração entre os dois Explicamos essa força introduzindo o conceito de campo gravitacional A Terra o Sol e qualquer corpo que possua massa cria em torno de si um campo gravitacional Esse campo gravitacional por sua vez ao entrar em contato com outros corpos exerce uma força Da mesma forma dizemos que uma carga elétrica cria um campo elétrico em seu redor Quando esse campo elétrico entra em contato com outras cargas surge uma força elétrica Apesar de ter sido criado como uma solução para o problema da força sem contato o campo elétrico acabou adquirindo uma importância bem maior no estudo do Eletromagnetismo Ondas eletromagnéticas por exemplo são explicadas em termos de campos elétricos e magnéticos que oscilam no tempo e no espaço A Terra possui um campo gravitacional em torno dela 𝑔 Considere um corpo de massa 𝑚 20 kg próximo à superfície terrestre sujeito à ação do campo gravitacional 𝑔 10 ms2 Sobre esse corpo atuará sobre uma força gravitacional que chamamos de peso 𝑃 O peso é dado por 𝑃 𝑚𝑔 20 10 20 N Considere agora um corpo com o dobro de massa 𝑚 40 kg sujeito também à gravidade terrestre 𝑔 10 ms2 Nesse caso o peso do corpo também será duas vezes maior ou seja 𝑃 𝑚𝑔 40 10 40 N Observe que mesmo dobrando a massa do corpo o valor do campo gravitacional permaneceu o mesmo Em outras palavras o campo gravitacional não depende da massa do objeto que está sujeito a ele Agora imagine que você leva o primeiro objeto de massa 𝑚 20 kg para a Lua Lá ele estará sujeito a um campo gravitacional diferente cujo valor é 𝑔𝐿 16 ms2 O valor da gravidade mudou porque a massa e o raio da Lua são diferentes da Terra Assim o campo gravitacional depende apenas do corpo que gera esse campo Suponha que você esteja em um planeta cujo módulo do campo gravitacional é desconhecido Você poderia determinar o valor da gravidade medindo a força peso 𝑃 que atua sobre um corpo de massa 𝑚 e calculando 𝑔 𝑃 𝑚 Ou seja o campo gravitacional é a razão entre a força peso e a massa do objeto que sofre essa força Considere um ponto 𝑃 próximo à superfície da Terra Note que o campo gravitacional nesse ponto existe independente de termos ou não um objeto nesse ponto O efeito do campo só será percebido se houver um objeto em 𝑃 pois atuará uma força sobre ele Entretanto o campo existe independente da existência de uma força Considere um objeto carregado como o bastão de vidro mostrado na figura Colocamos uma carga pequena e positiva no ponto 𝑃 próximo ao objeto carregado Essa carga é chamada de carga de prova ou carga de teste 𝑞0 A carga de prova 𝑞0 sofre uma força elétrica Ԧ𝐹𝐸 Definimos o módulo do campo elétrico 𝐸 no ponto 𝑃 como 𝐸 𝐹𝐸 𝑞0 Unidade de 𝐸 newton por coulomb NC Repare a semelhança com a definição do campo gravitacional 𝑔 𝑃 𝑚 Ex Uma carga de 40 μC é colocada próxima a um bastão eletricamente carregado e fica sujeito a uma força de 26 mN Determine o módulo do campo elétrico no ponto onde a carga foi posicionada Ex Uma carga de 40 μC é colocada próxima a um bastão eletricamente carregado e fica sujeito a uma força de 26 mN Em seguida a carga é aumentada para 80 μC Qual é o valor final do campo elétrico sobre a carga Se dobrarmos o valor da carga de prova a força elétrica sobre ela também dobra e o campo não muda Portanto o campo elétrico só depende da carga que o gera Como a força elétrica é um vetor então o campo também é uma grandeza vetorial e podemos reescrever a definição como 𝐸 Ԧ𝐹𝐸 𝑞0 Observe que o campo elétrico em um ponto pode existir independente de haver ou não uma carga de prova nesse ponto Como a carga de prova é positiva o campo elétrico vai ter a mesma direção e sentido da força elétrica mas seus módulos são diferentes Se o objeto tiver carga positiva ele vai repelir a carga de prova e o campo vai apontar para fora do objeto Se o objeto carregado for negativo ele vai atrair a carga de prova e o campo vai apontar para dentro do objeto Ex Por que a carga de prova é definida como uma carga pequena Ex Por que a carga de prova é definida como uma carga positiva Uma forma de visualizar o campo elétrico é através das linhas de campo elétrico O campo elétrico em qualquer ponto é tangente às linhas de campo possui o mesmo sentido que as linhas e é proporcional à densidade de linhas nesse ponto As linhas de campo saem de cargas positivas e entram em cargas negativas como mostrado na figura Figura Linhas de campo para cargas pontuais Figura Linhas de campo para uma placa carregada Figura Linhas de campo para duas cargas positivas Figura Linhas de campo para configurações de duas cargas Figura Visualização das linhas de campo Ex A figura mostra um esboço das linhas de campo de duas cargas pontuais 2𝑞 e 𝑞 Você concorda com a forma como as linhas foram desenhadas Justifique Sim pois o número de linhas que sai da carga positiva é o dobro do número de linhas que entra na carga negativa Considere uma carga pontual 𝑄 fixa no espaço Se colocarmos uma carga de prova 𝑞0 a uma distância 𝑟 ela vai sofrer uma força de módulo 𝐹 𝑘 𝑄𝑞0 𝑟2 Podemos calcular o campo elétrico gerado pela carga pontual usando 𝐸 𝐹 𝑞0 𝑘 𝑄𝑞0 𝑟2 𝑞0 Portanto 𝐸 𝑘 𝑄 𝑟2 Este é o campo gerado por uma carga pontual 𝑄 Observe que o campo só depende da carga que gera o campo 𝑄 Ex Uma carga 𝑄 80 mC está fixa na origem de um eixo de coordenadas Qual é o módulo do campo elétrico que ela cria sobre uma carga 𝑞 50 μC que está em 𝑥 20 cm Ex Uma carga 𝑄 gera um campo de módulo 54 GNC em um ponto que está a 50 cm de distância dela Qual é o valor da carga 𝑄 Uma carga 𝑄 984 mC está fixa em 𝑥1 137 m Determine o campo elétrico em 𝑥 279 m Campo elétrico de um conjunto de cargas na reta Considere duas cargas 𝑞1 e 𝑞2 fixas ao longo de uma reta O campo elétrico total em um ponto 𝑃 que também está sobre a reta é dado pela combinação dos campos de cada uma das cargas Entretanto devemos primeiramente analisar o sentido do campo de cada carga para determinar se os campos se somam ou se subtraem Assim é importante analisar não apenas o módulo do campo de cada carga mas também sua direção e sentido Ex Uma carga 𝑞1 50 μC está fixa em 𝑥1 0 enquanto uma carga 𝑞2 20 μC está fixa em 𝑥2 10 m Qual é o campo elétrico gerado em 𝑥 15 m Ex Uma carga 𝑞1 50 μC está fixa em 𝑥1 0 enquanto uma carga 𝑞2 20 μC está fixa em 𝑥2 10 m Qual é o campo elétrico gerado em 𝑥 15 m Ex Uma carga 𝑞1 50 μC está fixa em 𝑥1 0 enquanto uma carga 𝑞2 20 μC está fixa em 𝑥2 10 m Qual é o campo elétrico gerado em 𝑥 06 m Ex Uma carga 𝑞1 45 μC está fixa em 𝑥1 0 enquanto uma carga 𝑞2 20 μC está fixa em 𝑥2 10 m Em que ponto o campo elétrico é nulo Ex Uma carga 𝑞1 45 μC está fixa em 𝑥1 0 enquanto uma carga 𝑞2 20 μC está fixa em 𝑥2 10 m Em que ponto o campo elétrico é nulo Campo elétrico de um conjunto de cargas no plano Se tivermos um conjunto de 𝑁 cargas distribuídas em uma certa região o campo elétrico total em um ponto 𝑃 será a combinação do campo gerado por cada carga Assim o campo total será a soma vetorial dos campos 𝐸 𝐸1 𝐸2 𝐸3 𝐸𝑁 A soma é feita vetorialmente pois a direção e o sentido do campo de cada carga é importante A figura mostra três partículas de cargas 𝑞1 2𝑄 𝑞2 2𝑄 e 𝑞3 4𝑄 todas situadas a uma distância 𝑑 da origem Determine o campo elétrico total produzido na origem pelas três partículas Dados 𝑞1 2𝑄 𝑞2 2𝑄 𝑞3 4𝑄 𝐸 𝐸1 𝑘 𝑞1 𝑑2 2𝑘 𝑄 𝑑2 𝐸2 2𝑘 𝑄 𝑑2 𝐸3 4𝑘 𝑄 𝑑2 𝐸 𝐸1 𝐸2 𝐸3 𝐸𝑥 𝐸3 cos 30 𝐸1 𝐸2 cos 30 𝐸𝑥 2𝐸3 cos 30 𝐸𝑥 2 4𝑘 𝑄 𝑑2 0866 693𝑘 𝑄 𝑑2 𝐸𝑦 0 Uma configuração bastante importante é a de duas cargas de mesmo módulo 𝑞 e sinais contrários separadas por uma pequena distância 𝑑 Essa configuração é chamada de dipolo elétrico A figura mostra a configuração de linhas de campo para um dipolo elétrico Chamamos o eixo que passa pelas duas cargas e vai da carga negativa para a positiva de eixo 𝑧 Figura Linhas de campo para cargas pontuais Definimos Ԧ𝑝 como o vetor dipolo elétrico que tem módulo 𝑝 𝑞𝑑 e que vai da carga negativa para a positiva Unidade de Ԧ𝑝 coulomb vezes metro C m O campo gerado em um ponto 𝑃 que está no eixo do dipolo a uma distância 𝑧 do centro do dipolo é dado pela expressão 𝐸 2𝑘 𝑞𝑑 𝑧3 1 2𝜋𝜀0 𝑝 𝑧3 Ex Um dipolo elétrico é formado por um próton e um elétron que estão afastados de 430 nm Determine o campo gerado por esse dipolo a uma distância de 712 μm do centro do dipolo 𝐸 1 2𝜋𝜀0 𝑝 𝑧3 𝑝 𝑞𝑑 𝑝 160 1019 430 109 688 1028 C m 𝐸 1 2𝜋 885 1012 688 1028 712 106 3 𝐸 343 102 NC Demonstração da equação do campo de um dipolo Considere que as distâncias das cargas positiva e negativa do dipolo até o ponto 𝑃 são respectivamente 𝑟 e 𝑟 Da mesma forma o campo criado pelas cargas positiva e negativa no ponto 𝑃 são respectivamente 𝐸 e 𝐸 Observe que os campos 𝐸 e 𝐸 têm sentidos contrários já que as cargas possuem sinais contrários Assim o campo no ponto 𝑃 é 𝐸 𝐸 𝐸 𝑘 𝑞 𝑟 2 𝑞 𝑟2 Temos que 𝑟 𝑧 𝑑 2 e 𝑟 𝑧 𝑑 2 logo 𝐸 𝑘 𝑞 𝑧 𝑑 2 2 𝑞 𝑧 𝑑 2 2 Colocando 𝑞 e 𝑧 em evidência temos 𝐸 𝑘𝑞 𝑧2 1 1 𝑑 2𝑧 2 1 1 𝑑 2𝑧 2 logo 𝐸 𝑘𝑞 𝑧2 1 𝑑 2𝑧 2 1 𝑑 2𝑧 2 Pelo teorema do binômio de Newton temos que 1 𝑥 𝑛 1 𝑛𝑥 desde que 𝑥 1 Dessa forma podemos fazer 𝑑 𝑧 ou seja pegamos apenas pontos cuja distância seja muito maior que o tamanho do dipolo Assim 1 𝑑 2𝑧 2 1 𝑑 𝑧 Dessa forma 𝐸 𝑘𝑞 𝑧2 1 𝑑 𝑧 1 𝑑 𝑧 ou seja 𝐸 𝑘𝑞 𝑧2 2𝑑 𝑧 2𝑘 𝑞𝑑 𝑧3 1 2𝜋𝜀0 𝑝 𝑧3 Até aqui tratamos apenas de um conjunto finito de cargas pontuais Imagine agora que você tenha uma barra de comprimento 𝐿 e que essa barra tenha uma grande quantidade de cargas distribuídas uniformemente por ela Nesse caso como o comprimento da barra não é desprezível nós não podemos dizer que se trata de uma carga pontual Em vez disso estamos lidando com um corpo extenso Assim faz muito mais sentido falar de uma densidade de carga elétrica Quando a carga está distribuída por um corpo em que uma das dimensões é muito maior do que as outras como um bastão temos uma densidade linear de carga 𝜆 A densidade linear de carga é dada por 𝜆 𝑞 𝐿 Sua unidade é o coulomb por metro Cm Ex Uma carga de 𝑞 20 mC é distribuída uniformemente sobre um bastão de 𝐿 50 cm de comprimento Qual é a densidade linear de carga do bastão 𝜆 𝑞 𝐿 𝜆 20 103 005 𝜆 04 Cm Poderíamos também escrever 𝜆 40 mCcm ou ainda 𝜆 400 mCm Ex Um bastão de comprimento 𝐿 10 m possui densidade linear de carga uniforme de 𝜆 75 μCm Qual é a carga contida em um pedaço de Δ𝑥 80 cm do bastão 𝜆 𝑞 𝐿 Δ𝑞 Δ𝑥 Δ𝑞 𝜆Δ𝑥 Δ𝑞 75 106 008 Δ𝑞 60 106 C Δ𝑞 60 μC Quando a carga está distribuída em uma superfície temos a densidade superficial de carga 𝜎 com 𝜎 𝑞 𝐴 e quando a carga está distribuída em um volume temos a densidade volumétrica de carga 𝜌 com 𝜌 𝑞 𝑉 As unidades são respectivamente Cm² e Cm³ Vimos até aqui como configurações de carga geram campos elétricos Vamos agora focar em como cargas interagem com campos Considere um campo elétrico 𝐸 em uma determinada região Observe que não estamos interessados em saber como esse campo é criado apenas sabemos que ele existe O que acontece se colocarmos uma carga 𝑞 nessa região A carga 𝑞 sofrerá uma força elétrica 𝐹𝐸 cujo módulo é dado por 𝐹𝐸 𝑞𝐸 Como força e campo são vetores podemos ainda escrever Ԧ𝐹𝐸 𝑞𝐸 Se a carga for positiva a força e o campo vão ter a mesma direção e sentido Por outro lado se a carga for negativa a força e o campo terão mesma direção mas sentidos contrários Ԧ𝐹 Ԧ𝐹 𝐸 Figura Cargas em um campo elétrico Ex Um equipamento utilizado para defesa antimíssil dispara um feixe de prótons que podem tornar um míssil inofensivo Esses feixes de prótons são acelerados a partir do repouso por campos elétricos produzidos pelo equipamento Qual a aceleração que um próton experimenta se o campo elétrico é de 215 104 NC 𝐹 𝑞𝐸 𝑚𝑎 𝑎 𝑞𝐸 𝑚 𝑎 160 1019 215 104 167 1027 𝑎 206 1012 ms Ex Halliday A figura mostra as placas defletoras de uma impressora eletrostática de jato de tinta com eixos de coordenadas superpostos Uma gota de tinta com massa 𝑚 de 13 1010 kg e carga negativa de valor absoluto 𝑞 15 1013 C penetra na região entre as placas movendose inicialmente na direção do eixo 𝑥 com uma velocidade 𝑣𝑥 18 ms O comprimento 𝐿 de cada placa é 16 cm As placas estão carregadas e portanto produzem um campo elétrico em todos os pontos da região entre elas Suponha que esse campo esteja dirigido verticalmente para baixo seja uniforme e tenha um módulo de 14 106 NC Qual é a deflexão vertical da gota ao deixar a região entre as placas Dados 𝑚 13 1010 kg 𝑞 15 1013 C 𝑣𝑥 18 ms 𝐿 16 cm 𝐸 14 106 NC Δ𝑦 𝐿 𝑣𝑥𝑡 𝑡 0016 18 𝑡 889 104 s 𝐹 𝑞𝐸 𝑚𝑎 𝑎 𝑞𝐸 𝑚 𝑎 15 1013 14 106 13 1010 𝑎 162 103 ms² Δ𝑦 𝑣0𝑦𝑡 1 2 𝑎𝑡2 Δ𝑦 1 2 162 103 889 104 2 Δ𝑦 638 104 m 0638 mm