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Sistemas de Informação ·
Cálculo 1
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Cálculo Aplicado 1 Funções Funções função f x f x x f f x x f y y f x variável independente argumento f variável dependente f x x y f função real de uma variável real f f xy y f x xy a b a c y f x f f a b f a c Cálculo Aplicado I 30 Cálculo Aplicado I f f Teste da Reta Vertical Uma curva no plano xy é o gráfico de alguma função f se e somente se nenhuma reta vertical intersecta a curva mais de uma vez Figura 1 Teste da Reta Vertical x y y f x x domínio f y x imagem f y x 2 y x y x x 0 y 1 x x 0 f y f x Funções Figura 2 Domínio e Imagem de uma função Exemplo 1 O domínio natural da função x2 4 f x x 2 11 consiste em todos os números reais x exceto x 2 Contudo fatorando o numerador e cancelando o fator comum ao numerador e ao denominador obtemos x 2 x 2 f x x 2 x 2 12 Como o lado direito de 12 tem um valor de f 2 4 mas f 2 não está definido em x 2 vemos que a simplificação algébrica alterou a função Geometricamente o gráfico de 12 é a reta da Figura 3a enquanto o gráfico de 11 é a mesma reta mas com um buraco em x 2 já que a função não está definida nesse ponto Figura 3b Resumindo o efeito geométrico do cancelamento algébrico foi eliminar um buraco do gráfico original Figura 3 Gráfico da função f x O domínio da função será D x x 2 Cálculo Aplicado I Nos exercícios de 1 a 8 determine o domínio e a imagem das funções a seguir Construa o gráfico para confirmar sua resposta 1 1 f x x 3 2 2 f x x 3 3 sen 1 f x 1 x 4 2 f x x 2x 5 5 x2 4 f x x 2 6 f x 3 x 7 2 f x 4 x 8 f x 3 x 9 Conforme mostra a figura abaixo uma caixa aberta deve ser construída de uma folha retangular de metal com 8 por 15 cm cortando fora os quadrados com lados de comprimento x de cada canto e dobrando os lados a Expresse o volume V como uma função de x b Encontre o domínio de V f g f g f g fg f g f g f g x f x g x f g f g f g f g x f g f g Funções f g x f x g x f g x f x g x fg x f x g x f g x f x g x f g f g fg f g f g f g g x 0 Exemplo 2 Sejam f x 1 x 2 g x x 3 Encontre a fórmula e o domínio das funções f g f g fg f g e 7 f Solução f g x f x g x 1 x 2 x 3 x 2 x 2 f g x f x g x 1 x 2 x 3 4 x x 2 fg x f x g x 1 x 2 x 3 1 x 2 f g x f x g x x 3 7 f x 7 1 x 2 7 7 x 2 Os domínios de f e g são respectivamente D x x 2 ou D 2 ou D Para f g f g e fg os domínios são a interseção entre os domínios de f e g D 2 2 Para f g o domínio é a interseção dos domínios excluindose os pontos onde g x 0 isto é excluindo o ponto x 3 assim D 2 3 3 x x 2 e x 3 O domínio de 7 f é o mesmo de f Cálculo Aplicado I f g g f f g f g f g x f g x f g x g g x f f g f g x x f g f g g f x g f g x x f g x f g f x x y f x x y x g y 3 y x 1 y f x x y 3 x y 1 x g y y x x y Figura 4 Gráfico de f x e g y f g y f x x g y 3 f x x 1 3 g y y 1 3 3 3 3 3 3 g f x f x 1 x 1 1 x f g y g y 1 y 1 1 y Funções g f x x x f f g y y y g f g f g g f g f 1 g x f x injetora invertível 1 2 1 2 f x f x x x Teorema 1 Uma função tem uma inversa se e somente se f é injetora O Teste da Reta Horizontal Uma função tem uma inversa se e somente se seu gráfico é cortado no máximo uma única vez por qualquer reta horizontal f g g f y x Teorema 2 Se f tiver uma inversa então os gráficos de y f x e 1 y f x são reflexões um do outro em relação à reta y x isto é cada um é a imagem espelhada do outro em relação àquela reta Figura 5 Teste da Reta Horizontal Cálculo Aplicado I Figura 6 Gráfico de funções inversas Nos exercícios de 10 a 13 determine f g e g f para as funções a seguir e determine o domínio da função resultante 10 2 f x x e g x 1 x 11 2 f x x 3 e g x x 3 12 1 x x f x e g x 1 x 1 x 13 2 x 1 f x e g x x 1 x Nos exercícios de 14 a 16 encontre uma fórmula para f 1 x e dê o seu domínio 14 4 f x x 2 15 f x x 3 16 f x 3 2x y f x f x f x x y f Figura 7 Função simétrica em relação ao eixo y Funções f x f x x Figura 8 Função simétrica em relação à origem 17 Para cada gráfico a seguir classifique a função como par ou ímpar ou nenhum desses casos Nos exercícios de 18 a 23 verifique se as funções a seguir são pares ímpares ou nenhum dos casos 18 2 f x x 19 f x x 20 3 f x x 21 f x x 1 22 5 2 x x f x 1 x 23 f x 2 1x x2 f f 1 2 f x f x 1 2 x x f 1 2 f x f x 1 2 x x Cálculo Aplicado I Figura 9 Função crescente e função decrescente 2 n 1 n o 1 2 n 1 n f x a a x a x a x a x n o 1 2 n a a a a função polinomial an 0 n o f x a o 1 f x a a x a1 0 f x x x Figura 10 Exemplos de polinômios f x p x q x p x q x q x função racional f x p x q x q x 0 Funções Figura 11 Funções Racionais 3 f x x 2 x f x x 4 3 5 2 x 2 x f x x 2 2x a n n n fatores 1 0 n n para n 1 a a a a a para n 1 a a para n 0 a 1 1 a para a 0 a n a m n n n m n m n 1 4 n m n m n m m n 2 5 n n n n n m 3 6 a a P a a a P para b 0 b b a P a para a 0 P a a a P a b a b P a a Cálculo Aplicado I b b 0 e b 1 b x f x b x Figura 12 Função exponencial e e 2 718282 b e x y b P y P x f x e função exponencial natural Figura 13 Função Exponencial Natural b a x a b log x a b x b a b 0 e a 0 e a 1 Funções log log log log log log log log log log log log log a 1 a 5 a a a 2 a 6 a a a m 3 a a 7 a a b 4 P 1 0 P b c b c b P a 1 P b c c P b c b c P b m b P a b 0 a 1 log10 x log x e 2 71828182818 loge x L x ln x a 0 e a 1 loga f x x Figura 14 Função Logarítmica y x Cálculo Aplicado I Figura 15 Simetria entre função exponencial e logarítmica Figura 16 Triângulo Retângulo sen cos cotg a b a b tg c c b a Figura 17 Triângulo Retângulo Funções sen cos a b c c sen cos c a c b sen cos sen cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c c c c c c c sen cos 2 2 1 sen cos a a c tg b b a sen cos tg cos cotg sen b b c a a c cos cotg sen 1 tg 180 90 90 e sen sen cos cos sen sen cos cos a c a c b c b c cotg cotg cotg cotg a tg b a tg b b tg a b tg a 12 2 2 3 2 3 2 2 2 12 3 3 3 3 3 3 Cálculo Aplicado I xOy O r 1 2 Figura 18 Circunferência Trigonométrica OA Figura 19 Eixos Trigonométricos Funções x 0 2 P Figura 20 Medidas Trigonométrica do Cosseno Seno Tangente e Cotangente de um número x sen x 1 OP cos x 2 OP tg x AT x 2 3 x 2 cot g x BD x 0 x Figura 21 Medidas Trigonométricas da Secante e Cossecante de um número x sec x OS csc x OC sen cos 2 2 a a 1 sen cos a tg a a cos cot sen a g a a cot 1 tg a g a sec cos 1 a a cos sen 1 ec a a sec2 2 a tg a 1 cos cot 2 2 ec a g a 1 Cálculo Aplicado I sen sen cos sen cos a b a b b a sen sen cos sen cos a b a b b a cos cos cos sen sen a b a b a b cos cos cos sen sen a b a b a b tg a tg b tg a b 1 tg a tg b tg a tg b tg a b 1 tg a tg b cot cot cot cot cot g a g b 1 g a b g a g b cot cot cot cot cot g a g b 1 g a b g a g b cos cos sen sen cos 2 2 2 2 2a a a 1 2 a 2 a 1 sen sen cos 2a 2 a a 2 2tg a tg 2a 1 tg a cos sen a 2 a 2 a 2 se esta no quadrante I ou II 1 a 2 se esta no quadrante III ou IV cos cos a 2 a 2 a 2 se esta no quadrante I ou IV 1 a 2 se esta no quadrante II ou III cos cos cos cos cot sen a 2 a 2 a 2 se esta no quadrante I ou II 1 a tg 1 a se esta no quadrante III ou IV sen a 1 a ec a g a 1 cos a a sen sen sen cos 1 1 2 2 a b 2 a b a b sen sen cos sen 1 1 2 2 a b 2 a b a b cos cos cos cos 1 1 2 2 a b 2 a b a b cos cos sen sen 1 1 2 2 a b 2 a b a b sen sen cos cos 1 a b a b a b 2 cos cos cos cos 1 a b a b a b 2 sen cos sen sen 1 a b a b a b 2 Funções f sen x sen f x x Figura 22 Função Seno f cos x cos f x x Figura 23 Função Cosseno f D x k 2 tg x f x tg x Cálculo Aplicado I Figura 24 Função Tangente f D x k cot g x cot f x g x Figura 25 Função Cotangente Funções 24 cot cos 2 2 1 g x 1 x 1 para todo x real x k 25 sec cossec cossec 1 1 2 x tg x x 1 x 1 para todo x real x k 2 26 cot sec cossec 2 2 2 1 tg x 1 g x x x para todo x real k x 2 27 cos cos sen sen cos 1 x 1 x x tg x x x tg x para todo x real k x 2 28 cos sen sen cos 2 4 4 x x 2 x x 1 29 sen cos cossec sec x x 1 x x 30 cot sec cossec tg x g x x x 31 cot sec cos cossec sen tg x g x x x x x 1 32 sec cossec sec cossec 2 2 2 2 x x x x 33 cot cos cot 2 2 2 g x x 1 g x 34 sen cos sen cos sen cos 3 3 x x 1 x x x x 35 cossec sec cot 2 2 2 2 x tg x x g x 36 sen cos cot sen cos 2 2 x tg x x g x 1 x x 37 cot cot cossec 2 2 2 1 g x 1 g x 2 x 38 cos cos sen sen 2 4 4 2 4 1 2 x x tg x 1 2 x x 39 cot cos sen cossec 2 2 2 g x x 1 x 1 x
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Cálculo Aplicado 1 Funções Funções função f x f x x f f x x f y y f x variável independente argumento f variável dependente f x x y f função real de uma variável real f f xy y f x xy a b a c y f x f f a b f a c Cálculo Aplicado I 30 Cálculo Aplicado I f f Teste da Reta Vertical Uma curva no plano xy é o gráfico de alguma função f se e somente se nenhuma reta vertical intersecta a curva mais de uma vez Figura 1 Teste da Reta Vertical x y y f x x domínio f y x imagem f y x 2 y x y x x 0 y 1 x x 0 f y f x Funções Figura 2 Domínio e Imagem de uma função Exemplo 1 O domínio natural da função x2 4 f x x 2 11 consiste em todos os números reais x exceto x 2 Contudo fatorando o numerador e cancelando o fator comum ao numerador e ao denominador obtemos x 2 x 2 f x x 2 x 2 12 Como o lado direito de 12 tem um valor de f 2 4 mas f 2 não está definido em x 2 vemos que a simplificação algébrica alterou a função Geometricamente o gráfico de 12 é a reta da Figura 3a enquanto o gráfico de 11 é a mesma reta mas com um buraco em x 2 já que a função não está definida nesse ponto Figura 3b Resumindo o efeito geométrico do cancelamento algébrico foi eliminar um buraco do gráfico original Figura 3 Gráfico da função f x O domínio da função será D x x 2 Cálculo Aplicado I Nos exercícios de 1 a 8 determine o domínio e a imagem das funções a seguir Construa o gráfico para confirmar sua resposta 1 1 f x x 3 2 2 f x x 3 3 sen 1 f x 1 x 4 2 f x x 2x 5 5 x2 4 f x x 2 6 f x 3 x 7 2 f x 4 x 8 f x 3 x 9 Conforme mostra a figura abaixo uma caixa aberta deve ser construída de uma folha retangular de metal com 8 por 15 cm cortando fora os quadrados com lados de comprimento x de cada canto e dobrando os lados a Expresse o volume V como uma função de x b Encontre o domínio de V f g f g f g fg f g f g f g x f x g x f g f g f g f g x f g f g Funções f g x f x g x f g x f x g x fg x f x g x f g x f x g x f g f g fg f g f g f g g x 0 Exemplo 2 Sejam f x 1 x 2 g x x 3 Encontre a fórmula e o domínio das funções f g f g fg f g e 7 f Solução f g x f x g x 1 x 2 x 3 x 2 x 2 f g x f x g x 1 x 2 x 3 4 x x 2 fg x f x g x 1 x 2 x 3 1 x 2 f g x f x g x x 3 7 f x 7 1 x 2 7 7 x 2 Os domínios de f e g são respectivamente D x x 2 ou D 2 ou D Para f g f g e fg os domínios são a interseção entre os domínios de f e g D 2 2 Para f g o domínio é a interseção dos domínios excluindose os pontos onde g x 0 isto é excluindo o ponto x 3 assim D 2 3 3 x x 2 e x 3 O domínio de 7 f é o mesmo de f Cálculo Aplicado I f g g f f g f g f g x f g x f g x g g x f f g f g x x f g f g g f x g f g x x f g x f g f x x y f x x y x g y 3 y x 1 y f x x y 3 x y 1 x g y y x x y Figura 4 Gráfico de f x e g y f g y f x x g y 3 f x x 1 3 g y y 1 3 3 3 3 3 3 g f x f x 1 x 1 1 x f g y g y 1 y 1 1 y Funções g f x x x f f g y y y g f g f g g f g f 1 g x f x injetora invertível 1 2 1 2 f x f x x x Teorema 1 Uma função tem uma inversa se e somente se f é injetora O Teste da Reta Horizontal Uma função tem uma inversa se e somente se seu gráfico é cortado no máximo uma única vez por qualquer reta horizontal f g g f y x Teorema 2 Se f tiver uma inversa então os gráficos de y f x e 1 y f x são reflexões um do outro em relação à reta y x isto é cada um é a imagem espelhada do outro em relação àquela reta Figura 5 Teste da Reta Horizontal Cálculo Aplicado I Figura 6 Gráfico de funções inversas Nos exercícios de 10 a 13 determine f g e g f para as funções a seguir e determine o domínio da função resultante 10 2 f x x e g x 1 x 11 2 f x x 3 e g x x 3 12 1 x x f x e g x 1 x 1 x 13 2 x 1 f x e g x x 1 x Nos exercícios de 14 a 16 encontre uma fórmula para f 1 x e dê o seu domínio 14 4 f x x 2 15 f x x 3 16 f x 3 2x y f x f x f x x y f Figura 7 Função simétrica em relação ao eixo y Funções f x f x x Figura 8 Função simétrica em relação à origem 17 Para cada gráfico a seguir classifique a função como par ou ímpar ou nenhum desses casos Nos exercícios de 18 a 23 verifique se as funções a seguir são pares ímpares ou nenhum dos casos 18 2 f x x 19 f x x 20 3 f x x 21 f x x 1 22 5 2 x x f x 1 x 23 f x 2 1x x2 f f 1 2 f x f x 1 2 x x f 1 2 f x f x 1 2 x x Cálculo Aplicado I Figura 9 Função crescente e função decrescente 2 n 1 n o 1 2 n 1 n f x a a x a x a x a x n o 1 2 n a a a a função polinomial an 0 n o f x a o 1 f x a a x a1 0 f x x x Figura 10 Exemplos de polinômios f x p x q x p x q x q x função racional f x p x q x q x 0 Funções Figura 11 Funções Racionais 3 f x x 2 x f x x 4 3 5 2 x 2 x f x x 2 2x a n n n fatores 1 0 n n para n 1 a a a a a para n 1 a a para n 0 a 1 1 a para a 0 a n a m n n n m n m n 1 4 n m n m n m m n 2 5 n n n n n m 3 6 a a P a a a P para b 0 b b a P a para a 0 P a a a P a b a b P a a Cálculo Aplicado I b b 0 e b 1 b x f x b x Figura 12 Função exponencial e e 2 718282 b e x y b P y P x f x e função exponencial natural Figura 13 Função Exponencial Natural b a x a b log x a b x b a b 0 e a 0 e a 1 Funções log log log log log log log log log log log log log a 1 a 5 a a a 2 a 6 a a a m 3 a a 7 a a b 4 P 1 0 P b c b c b P a 1 P b c c P b c b c P b m b P a b 0 a 1 log10 x log x e 2 71828182818 loge x L x ln x a 0 e a 1 loga f x x Figura 14 Função Logarítmica y x Cálculo Aplicado I Figura 15 Simetria entre função exponencial e logarítmica Figura 16 Triângulo Retângulo sen cos cotg a b a b tg c c b a Figura 17 Triângulo Retângulo Funções sen cos a b c c sen cos c a c b sen cos sen cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c c c c c c c sen cos 2 2 1 sen cos a a c tg b b a sen cos tg cos cotg sen b b c a a c cos cotg sen 1 tg 180 90 90 e sen sen cos cos sen sen cos cos a c a c b c b c cotg cotg cotg cotg a tg b a tg b b tg a b tg a 12 2 2 3 2 3 2 2 2 12 3 3 3 3 3 3 Cálculo Aplicado I xOy O r 1 2 Figura 18 Circunferência Trigonométrica OA Figura 19 Eixos Trigonométricos Funções x 0 2 P Figura 20 Medidas Trigonométrica do Cosseno Seno Tangente e Cotangente de um número x sen x 1 OP cos x 2 OP tg x AT x 2 3 x 2 cot g x BD x 0 x Figura 21 Medidas Trigonométricas da Secante e Cossecante de um número x sec x OS csc x OC sen cos 2 2 a a 1 sen cos a tg a a cos cot sen a g a a cot 1 tg a g a sec cos 1 a a cos sen 1 ec a a sec2 2 a tg a 1 cos cot 2 2 ec a g a 1 Cálculo Aplicado I sen sen cos sen cos a b a b b a sen sen cos sen cos a b a b b a cos cos cos sen sen a b a b a b cos cos cos sen sen a b a b a b tg a tg b tg a b 1 tg a tg b tg a tg b tg a b 1 tg a tg b cot cot cot cot cot g a g b 1 g a b g a g b cot cot cot cot cot g a g b 1 g a b g a g b cos cos sen sen cos 2 2 2 2 2a a a 1 2 a 2 a 1 sen sen cos 2a 2 a a 2 2tg a tg 2a 1 tg a cos sen a 2 a 2 a 2 se esta no quadrante I ou II 1 a 2 se esta no quadrante III ou IV cos cos a 2 a 2 a 2 se esta no quadrante I ou IV 1 a 2 se esta no quadrante II ou III cos cos cos cos cot sen a 2 a 2 a 2 se esta no quadrante I ou II 1 a tg 1 a se esta no quadrante III ou IV sen a 1 a ec a g a 1 cos a a sen sen sen cos 1 1 2 2 a b 2 a b a b sen sen cos sen 1 1 2 2 a b 2 a b a b cos cos cos cos 1 1 2 2 a b 2 a b a b cos cos sen sen 1 1 2 2 a b 2 a b a b sen sen cos cos 1 a b a b a b 2 cos cos cos cos 1 a b a b a b 2 sen cos sen sen 1 a b a b a b 2 Funções f sen x sen f x x Figura 22 Função Seno f cos x cos f x x Figura 23 Função Cosseno f D x k 2 tg x f x tg x Cálculo Aplicado I Figura 24 Função Tangente f D x k cot g x cot f x g x Figura 25 Função Cotangente Funções 24 cot cos 2 2 1 g x 1 x 1 para todo x real x k 25 sec cossec cossec 1 1 2 x tg x x 1 x 1 para todo x real x k 2 26 cot sec cossec 2 2 2 1 tg x 1 g x x x para todo x real k x 2 27 cos cos sen sen cos 1 x 1 x x tg x x x tg x para todo x real k x 2 28 cos sen sen cos 2 4 4 x x 2 x x 1 29 sen cos cossec sec x x 1 x x 30 cot sec cossec tg x g x x x 31 cot sec cos cossec sen tg x g x x x x x 1 32 sec cossec sec cossec 2 2 2 2 x x x x 33 cot cos cot 2 2 2 g x x 1 g x 34 sen cos sen cos sen cos 3 3 x x 1 x x x x 35 cossec sec cot 2 2 2 2 x tg x x g x 36 sen cos cot sen cos 2 2 x tg x x g x 1 x x 37 cot cot cossec 2 2 2 1 g x 1 g x 2 x 38 cos cos sen sen 2 4 4 2 4 1 2 x x tg x 1 2 x x 39 cot cos sen cossec 2 2 2 g x x 1 x 1 x