Fundamentos Básicos da Engenharia

FUNDAMENTOS BÁSICOS DA ENGENHARIA PROF DR RICARDO CARDOSO DE OLIVEIRA PROF DR RODRIGO DE SOUZA RUZZI Reitor Prof Me Ricardo Benedito de Oliveira PróReitoria Acadêmica Maria Albertina Ferreira do Nascimento Diretoria EAD Profa Dra Gisele Caroline Novakowski PRODUÇÃO DE MATERIAIS Diagramação Alan Michel Bariani Thiago Bruno Peraro Revisão Textual Fernando Sachetti Bomfim Marta Yumi Ando Produção Audiovisual Adriano Vieira Marques Márcio Alexandre Júnior Lara Osmar da Conceição Calisto Gestão de Produção Aliana de Araújo Camolez Direitos reservados à UNINGÁ Reprodução Proibida Rodovia PR 317 Av Morangueira n 6114 Prezado a Acadêmico a bemvindo a à UNINGÁ Centro Universitário Ingá Primeiramente deixo uma frase de Sócrates para reflexão a vida sem desafios não vale a pena ser vivida Cada um de nós tem uma grande re sponsabilidade sobre as escolhas que fazemos e essas nos guiarão por toda a vida acadêmica e profissional refletindo diretamente em nossa vida pessoal e em nossas relações com a socie dade Hoje em dia essa sociedade é exigente e busca por tecnologia informação e conhec imento advindos de profissionais que possuam novas habilidades para liderança e sobrevivên cia no mercado de trabalho De fato a tecnologia e a comunicação têm nos aproximado cada vez mais de pessoas diminuindo distâncias rompendo fronteiras e nos proporcionando momentos inesquecíveis Assim a UNINGÁ se dispõe através do Ensino a Distância a proporcionar um ensino de quali dade capaz de formar cidadãos integrantes de uma sociedade justa preparados para o mer cado de trabalho como planejadores e líderes atuantes Que esta nova caminhada lhes traga muita experiência conhecimento e sucesso Prof Me Ricardo Benedito de Oliveira REITOR 3 WWWUNINGABR U N I D A D E 01 SUMÁRIO DA UNIDADE INTRODUÇÃO 4 1 AS OPERAÇÕES ELEMENTARES 5 2 FATORAÇÃO FATOR COMUM E AGRUPAMENTOS 18 3 NOTAÇÃO CIENTÍFICA 20 4 REGRA DE TRÊS SIMPLES E COMPOSTA 26 5 GRÁFICOS E TABELAS 30 6 ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 36 7 EQUAÇÕES POLINOMIAIS DE 1O E 2O GRAUS 38 8 INTERPOLAÇÃO 41 NÚMEROS E A ENGENHARIA PROF DR RICARDO CARDOSO DE OLIVEIRA PROF DR RODRIGO DE SOUZA RUZZI ENSINO A DISTÂNCIA DISCIPLINA FUNDAMENTOS BÁSICOS DA ENGENHARIA 4 WWWUNINGABR FUNDAMENTOS BÁSICOS DA ENGENHARIA UNIDADE 1 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA INTRODUÇÃO Caroa alunoa seja bemvindoa à primeira unidade do curso de Fundamentos Básicos da Engenharia Esta unidade tem por objetivo revisar as operações básicas e alguns conceitos que usaremos ao longo do curso de Engenharia O objetivo também é apresentar a você algumas aplicações simples de matemática básica no curso de Engenharia Nesta unidade você será encorajadoa a pesquisar a solução de algumas situações problema envolvendo Engenharia Esperamos que você por meio da leitura e das vídeoaulas desenvolva raciocínio lógico para a resolução de problemas Focaremos bastante nas operações matemáticas básicas leitura de gráf cos e tabelas uso da interpolação e uso da calculadora científ ca no dia a dia da Engenharia Serão apresentadas algumas soluções utilizando a calculadora científ ca Vale ressaltar que ela não substitui a capacidade de raciocínio lógico o conhecimento matemático tampouco a criatividade do engenheiro A correta utilização da calculadora otimiza o tempo e facilita a solução de problemas Nesta apostila será utilizada a calculadora CASIO fx82MS que é uma calculadora básica mas que realiza todas as operações fundamentais matemáticas Calculadoras programáveis e que realizam derivadas e integrais não serão permitidas no curso Lembrese de que a matemática é fundamental na formação dos engenheiros seja qual for o seu ramo Assim desejamos a você bons estudos 5 WWWUNINGABR FUNDAMENTOS BÁSICOS DA ENGENHARIA UNIDADE 1 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA 1 AS OPERAÇÕES ELEMENTARES Os números que usamos no cotidiano são denominados de números reais De acordo com Gomes 2018 esses números são divididos em diversos conjuntos cada qual com origem e emprego específ cos Uma das características mais importantes dos seres humanos é a capacidade de abstração Você como futuro engenheiro deverá ter essa capacidade ainda mais aguçada pois constantemente no exercício da prof ssão depararseá com situações que exigirão tal capacidade de abstração em particular na resolução de problemas usando a linguagem matemática Foge do objetivo deste texto a def nição formal das operações aritméticas elementares as quais supomos conhecidas por você Entretanto deternosemos nas propriedades dessas operações e suas aplicações na Engenharia O que faremos será analisar e aplicar essas propriedades Admita que x y e z sejam números reais quaisquer Para eles são válidas as seguintes propriedades Comutatividade da soma Associatividade da soma Comutatividade da multiplicação Associatividade da multiplicação Distributividade Exemplo 1 A Figura 1 apresenta informações acerca do número de empregos formais criados em um semestre em um país Com base nessas informações resolva os itens a seguir Figura 1 Número de empregos formais Fonte O autor a Quantas vagas de empregos formais no semestre foram criadas pelos setores indústria de transformações serviços e indústria extrativa Solução Para calcular o número de vagas criadas no semestre pelos setores indústria de transformações serviços e indústria extrativa necessitamos efetuar a seguinte soma numérica Logo foram criadas 128001 vagas pelos setores indústria de transformações serviços e indústria extrativa 6 WWWUNINGABR FUNDAMENTOS BÁSICOS DA ENGENHARIA UNIDADE 1 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA b Quantas vagas de empregos formais o setor da construção civil ofereceu a mais do que o setor de serviços de água luz e gás Solução Para calcular o número de vagas que o setor da construção civil ofereceu a mais do que o setor de serviços de água luz e gás devemos efetuar a seguinte diferença subtração Logo o setor de construção civil criou 51792 vagas a mais do que o setor de serviços de água luz e gás Exemplo 2 CESGRANRIO adaptado No Brasil são consumidos 340 milhões de botijões de GLP por ano Se todos esses botijões fossem do tipo P13 que contém 13 kg de GLP quantos milhões de quilogramas de GLP seriam consumidos anualmente no Brasil Solução Para determinar a quantidade em quilograma de GLP utilizada devemos efetuar a multiplicação entre o número de botijões consumidos e a massa de cada botijão Assim ou seja são consumidos no Brasil 4420 milhões de quilogramas de GPL por ano Exemplo 3 ENADE adaptado Na construção civil um dos ensaios mais conhecidos e aplicados ao controle tecnológico do concreto é o ensaio de compressão axial de corpos de prova cilíndricos que são normalmente moldados no recebimento do concreto em obra a f m de se verif car o atendimento da resistência característica do concreto A tabela a seguir apresenta os resultados de resistência à compressão axial aos 28 dias de idade de três corpos de prova coletados em uma obra Corpo de prova Tensão MPa CP1 25 CP2 22 CP3 28 Calcule a média aritmética da resistência à compressão axial dos três corpos de provas testados Solução Do Ensino Médio você deve se lembrar que a média aritmética é a soma de vários valores dividida pelo total deles Isto é o resultado dessa divisão equivale a um valor médio entre todos os valores Dessa forma a média aritmética da resistência à compressão axial dos três corpos de provas testados é Logo a média aritmética da resistência à compressão axial dos corpos de prova é igual a 25 MPa Solução pela calculadora As operações entre parênteses têm a prioridade na solução Para obter o resultado correto você deve digitar os números da seguinte maneira 7 WWWUNINGABR FUNDAMENTOS BÁSICOS DA ENGENHARIA UNIDADE 1 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Exemplo 4 Um combustível de massa específ ca 800 kgm3 preenche completamente um tanque de 05 m3 Considerando a aceleração gravitacional igual a 98 ms2 determine o peso desse combustível em N Solução Das aulas de química do Ensino Médio você deve se recordar de que a massa específ ca é calculada pela razão entre a massa e o volume ocupado por uma substância e das aulas de física deve se recordar de que o peso é o produto da massa com a aceleração gravitacional Assim a massa do combustível é calculada como segue Assim o peso do combustível é Portanto o peso desse combustível é igual a 3920 N Exemplo 5 ENADE adaptado O consumo de água de um município varia signif cativamente ao longo das horas do dia Com o avanço tecnológico e o surgimento de modernos medidores de consumo inclusive os digitais com transmissão de dados online para as centrais de saneamento tem sido possível estabelecer parâmetros mais precisos sobre a variação do consumo de água ao longo do dia Essa variação precisa ser corrigida no dimensionamento da rede de distribuição de água Para tanto é comum fazer uso do coef ciente da hora de maior consumo k2 def nido como a razão entre o consumo máximo e o consumo médio ao longo do dia O gráf co da Figura 2 exibe o consumo de água ao longo do dia em um município Figura 2 Consumo de água Fonte ENADE 2019 A massa específi ca de uma substância é defi nida como a razão entre a massa de uma porção compacta e homogênea dessa substância e o volume ocupado por ela 8 WWWUNINGABR FUNDAMENTOS BÁSICOS DA ENGENHARIA UNIDADE 1 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA A partir da análise do gráf co qual o coef ciente da hora de maior consumo k2 Solução Note que segundo o enunciado o coef ciente da hora de maior consumo k2 é def nido como a razão entre o consumo máximo e o consumo médio ao longo do dia Assim por inspeção segue que Portanto é igual a 15 A seguir elencamos as principais propriedades numéricas envolvendo frações Para tal considere que x y z e w sejam números reais quaisquer com e Assim Propriedade 1 Propriedade 2 Propriedade 3 Propriedade 4 Propriedade 5 Propriedade 6 Propriedade 7 com Exemplo 6 Um engenheiro recebeu uma tarefa para cumprir Pela manhã ele fez da tarefa e à tarde do total Determine a fração da tarefa que esse engenheiro precisa realizar Solução Primeiramente vamos determinar a fração da tarefa realizada pelo engenheiro ou seja Agora vamos determinar a fração que falta isto é Solução pela calculadora A fração da tarefa realizada pelo engenheiro pode ser calculada pela função da calculadora Para tanto deve ser digitado O mesmo é realizado na fração que falta 9 WWWUNINGABR FUNDAMENTOS BÁSICOS DA ENGENHARIA UNIDADE 1 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Exemplo 7 CESGRANRIO Existem no País 292 áreas concedidas para minério de ferro Cerca de 23 destas áreas encontramse paralisadas por motivos diversos como dif culdade de escoamento falta de mercado localizado áreas com pesquisa insuf ciente minério de baixa qualidade pendências judiciais restrições ambientais etc Mas a evolução da produção comercial no período de 1988 a 2000 mostra um crescimento a uma taxa anual de 3 Balanço mineral brasileiro 2001 disponível em httpwwwdnpmgovbr O número aproximado de áreas concedidas para minério de ferro que se encontra em atividade é A 97 B 123 C 154 D 178 E 194 Solução Segue do enunciado que 2 das 292 áreas concedidas para minério de ferro 23 delas encontramse paralisadas ou seja Assim o número aproximado de áreas concedidas para minério de ferro que se encontram em atividade é Símbolos da vírgula decimal e separador Por padrão de fábrica a calculadora utiliza o ponto como separador decimal e a vírgula como separador de milhares Se um número grande for digitado na calculadora como 178549875 e então o botão de igual for pressionado aparecerá no visor 178549875 Verifi que que a vírgula separa os milhares Esse número se lê como cento e setenta e oito milhões quinhentos e quarenta e nove mil e oitocentos e setenta e cinco Se esse número for dividido por 2 o resultado será 892749375 O ponto separa a parte inteira da decimal O número se lê como oitenta e nove milhões duzentos e setenta e quatro mil novecentos e trinta e sete e cinco décimos Essa representação não é convencional na Língua Portuguesa e pode ser confusa ao usuário Para alterar o padrão é necessário clicar em MODE quatro vezes quando aparecer Disp na tela clicar em 1 e então no botão replay apertar a seta para a direita As opções Dot ponto e Comma vírgula vão aparecer A opção 1 mantém o padrão de fábrica da calculadora e a opção 2 alterará para vírgula que é o comum na Língua Portuguesa A ordem é apresentada na Figura 3 10 WWWUNINGABR FUNDAMENTOS BÁSICOS DA ENGENHARIA UNIDADE 1 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Exemplo 8 CESGRANRIO Uma central de tratamento de resíduos transforma resíduos da construção civil entulho de obras em areia e pedra prontos para serem reaproveitados reciclando ao todo 18 mil toneladas de entulho por mês Se desse total 23 correspondem à areia e o restante a pedras quantos milhares de toneladas de areia reciclada são produzidos em três meses por essa central Solução Note que em um mês são recicladas 18 mil toneladas de entulho pela central de tratamento de resíduos Assim em três meses são tratadas 54 mil toneladas Desse total 23 correspondem à areia ou seja Logo correspondem à areia 36 mil toneladas Exemplo 9 CESPE adaptado O valor numérico da expressão é igual a Solução Quando resolvemos expressões numéricas devemos lembrar que primeiramente resolvemos as operações dentro dos parênteses seguidas das que estão dentro dos colchetes e por f m das chaves Assim Figura 3 Mudando de separador decimal Fonte O autor Alterando para vírgula se o número 178549875 for digitado na calculadora ele aparecerá da seguinte forma 178549875 E dividindo esse valor por dois o resultado será 892749375 11 WWWUNINGABR FUNDAMENTOS BÁSICOS DA ENGENHARIA UNIDADE 1 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Solução pela Calculadora A calculadora não apresenta colchetes e chaves somente os parênteses Portanto ela sempre resolverá os parênteses mais internos da expressão Para solucionar o problema devese digitar a expressão da seguinte forma Exemplo 10 CESGRANRIO Quando um estudo de sustentabilidade de usinas hidrelétricas é realizado diversos fatores são levados em consideração Um desses fatores é o indicador de área alagada i que corresponde à razão entre a área em km2 alagada na formação do reservatório de água da usina e a potência instalada da mesma em MW O valor encontrado deve ser situado nas classes estabelecidas para esse indicador Essas classes são apresentadas na tabela seguinte Classes do indicador de área alagada Classes Intervalo das classes km2MW Muito alta i025 Alta 025i050 Média 050i075 Baixa 075i10 Muito baixa i10 Disponível em httpwwwepegovbr adaptado Uma usina hidrelétrica cuja área alagada é de 2600 km2 e a potência instalada é de 8400 MW apresenta indicador de área alagada i na classe A Muito Alta B Alta C Média D Baixa E Muito Baixa Solução Segue do enunciado que o indicador de área alagada é calculado como Assim com o valor de indicador de área alagada calculado na tabela verif camos que a classe desse indicador é Alta 12 WWWUNINGABR FUNDAMENTOS BÁSICOS DA ENGENHARIA UNIDADE 1 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Exemplo 11 FGV adaptado Para realizar um reboco de 5 cm de espessura em um metro quadrado de parede temos as seguintes necessidades 050 hora de pedreiro R 1500h 040 hora de ajudante de pedreiro R 1200h 0006 m3 de areia f na R 5000 m3 14 kg de cal hidratada R 05kg Determine o valor do custo unitário por m2 deste serviço Solução O custo do serviço por m2 é a soma dos custos individuais insumos e mãode obra apresentados anteriormente Assim i 050 hora de pedreiro R 1500h ii 040 hora de ajudante de pedreiro R 1200h iii 0006 m3 de areia f na R 5000 m3 iv 14 kg de cal hidratada R 05kg Daí o custo unitário por m2 desse serviço é Exemplo 12 Um projeto de engenharia possui três fases consecutivas X Y e Z Inicialmente as fases X e Y têm custos estimados correspondentes a 40 e 30 do custo total da obra respectivamente Durante a execução do projeto os custos das fases X Y e Z sofreram acréscimos de 10 15 e 10 respectivamente Nessas condições determine o acréscimo percentual do custo total do projeto Solução De acordo com o enunciado as três fases do projeto têm custo previsto de X 40 Y 30 e Z 30 o que faltou para completar o total No entanto as fases de execução sofreram acréscimos de 10 15 e 10 respectivamente Assim os novos valores são X 44 Y 345 e Z 33 ou seja o projeto custa agora 4434533 1115 ou seja 115 a mais que o valor original 13 WWWUNINGABR FUNDAMENTOS BÁSICOS DA ENGENHARIA UNIDADE 1 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Exemplo 13 Duas membranas permeáveis que distam d 004 m separam as regiões 1 2 e 3 de um líquido como mostra a Figura 4 As concentrações de certo corante nas regiões 1 e 3 são respectivamente 20 kgm3 e 40 kgm3 Dado que o coef ciente de difusão do corante no f uido é 50 1011 m2s qual é em kgm2s o f uxo estacionário de massa por unidade de área das membranas Figura 4 Transferência de massa Fonte O autor Solução Segue do enunciado que m2s kgm3 kgm3 e l 004 m Assim pela lei de Fick A lei da difusão de Fick é uma lei quantitativa que descreve diversos casos de difusão de massa em um meio no qual inicialmente não existe equilíbrio químico A difusão está associada ao transporte de massa que ocorre em um sistema em que haja gradiente de concentração química Essa lei é escrita como em que mX é a taxa kgs de transferência de massa da substância X A é área m2 da seção transversal em que ocorre a transferência de massa é o coefi ciente de difusividade m2s de X em Y l é a espessura da região onde ocorre a difusão C2 e C1 são as concentrações das regiões menos e mais concentradas respectivamente O sinal negativo na lei de Fick indica que o fl uxo ocorre de uma região de alta concentração para uma de baixa concentração 14 WWWUNINGABR FUNDAMENTOS BÁSICOS DA ENGENHARIA UNIDADE 1 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA A ideia de porcentagem foi empregada em épocas distantes como a do antigo Império Romano O imperador Augusto cobrava um imposto de sobre o preço da venda de todos os bens No século XV manuscritos italianos utilizavam expressões como 20 p100 e XX p cento para indicar vinte por cento Em 1650 o sinal per era utilizado para indicar porcentagem Posteriormente esse sinal se perdeu no tempo e f cou o sinal que se utiliza atualmente Diversos assuntos ligados à Engenharia requerem o uso de porcentagem Exemplo 14 ENADE adaptado Entendendo a importância do planejamento para o melhor desempenho empresarial uma empresa realizou uma reunião para revisar o planejamento do terceiro trimestre Na reunião o diretor de Marketing informou que a projeção de vendas para o mês de julho agosto e setembro era R10000000 R12000000 e R20000000 Esclareceu que 50 das vendas são realizadas à vista e as demais a prazo sendo metade para 30 dias e a outra parte para 60 dias O diretor f nanceiro informou que nos meses de maio e junho a empresa realizou vendas de R 16000000 e R 14000000 e que há recebimentos acerca de outros rendimentos no valor de R 2000 por mês Para dar continuidade ao planejamento f nanceiro é necessário conhecer o total de recebimentos do período Com base nas informações dadas na reunião determine os recebimentos totais projetados para os meses de julho agosto e setembro Solução Segue do enunciado que as vendas e projeções de vendas são as seguintes Mês Valor R Maio 160000 Junho 140000 Julho 100000 Agosto 120000 Setembro 20000 Mas os recebimentos são 50 à vista 25 para 30 dias e 25 para 60 dias Além de existirem recebimentos de R 200000 ao longo dos meses Daí Maio Junho Julho Agosto Setembro Out Nov 160000 80000 40000 40000 140000 70000 35000 35000 100000 50000 25000 25000 120000 60000 30000 30000 200000 100000 50000 50000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 Total 127000 122000 157000 Portanto os recebimentos em julho agosto e setembro são respectivamente iguais a R 12700000 R 12200000 e R 15700000 15 WWWUNINGABR FUNDAMENTOS BÁSICOS DA ENGENHARIA UNIDADE 1 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Exemplo 15 O número de Reynolds Re é uma quantidade adimensional para um f uido em movimento e amplamente empregado em Mecânica dos Fluidos Ele é obtido pela combinação da viscosidade da massa específ ca do f uido ρ de uma velocidade típica V e um comprimento típico em geral o diâmetro D de uma tubulação Assim o número de Reynolds é escrito como Considere que a viscosidade do f uido aumente em 10 enquanto que a massa específ ca diminui em 10 sendo mantidas as demais grandezas Nessas condições qual a variação percentual sofrida pelo número de Reynolds Solução Para um f uido em escoamento que apresenta viscosidade massa específ ca ρ velocidade V e tubulação com diâmetro D o número de Reynolds é Para a nova condição a viscosidade aumentou em 10 ou seja seu valor passou a ser igual a ao passo que a massa específ ca diminuiu em 10 isto é seu valor é igual a Nessas condições o novo número de Reynolds é Assim concluímos que o novo número de Reynolds é aproximadamente igual a 82 do valor original Sejam x e y números reais não nulos e m e n números racionais temos as seguintes propriedades Propriedade 8 Propriedade 9 Propriedade 10 Propriedade 11 Propriedade 12 Exemplo 16 Determine a terça parte do número real Solução Note que e Daí Logo a terça parte do número é 16 WWWUNINGABR FUNDAMENTOS BÁSICOS DA ENGENHARIA UNIDADE 1 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Exemplo 17 Dado que e Determine a diferença entre x e y nessa ordem Solução Do ensino básico você deve se lembrar das prioridades de resolução de operações matemáticas Assim Temos ainda que Logo Considerando que tal que e Considerando ainda que com e e que n e o produto nm seja par são válidas as seguintes propriedades Propriedade 13 Propriedade 14 Propriedade 15 com Propriedade 16 Propriedade 17 Propriedade 18 As propriedades de 13 a 18 também são válidas quando n e o produto nm são ímpares e nessa condição podemos ter 17 WWWUNINGABR FUNDAMENTOS BÁSICOS DA ENGENHARIA UNIDADE 1 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Exemplo 18 Determine o valor de Solução Do ensino básico você deve se lembrar das prioridades de resolução de operações matemáticas Assim Solução na calculadora A raiz pode ser resolvida diretamente basta separar as operações de forma adequada Exemplo 19 Determine o valor de Solução Do ensino básico você deve se lembrar de que Assim Assim é igual a 05 ou 50 Solução na calculadora Utilizando a ideia de porcentagem Exemplo 20 Determine a soma de todos os dígitos do número real Solução Segue que Daí a soma dos dígitos do número é 409619 18 WWWUNINGABR FUNDAMENTOS BÁSICOS DA ENGENHARIA UNIDADE 1 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA 2 FATORAÇÃO FATOR COMUM E AGRUPAMENTOS Neste tópico relembraremos tópicos de fatoração e produtos notáveis Quando dominamos esses assuntos diversos cálculos matemáticos em Engenharia f cam mais simples Acompanhe a situação matemática descrita a seguir Nessa identidade o membro foi escrito na forma da multiplicação de dois fatores e Nessas condições efetuamos a fatoração de e que é o fator comum Observe que aparece como fator que é comum a cada parte do membro De fato Existem situações em que a fatoração pode ser feita empregando agrupamento dos termos de uma expressão como foi feito na expressão a seguir Acompanhe o exemplo As identidades expostas apresentam produtos de expressões algébricas que são conhecidos como produtos notáveis A Tabela 1 apresenta os principais e que merecem sua atenção pois você fará uso deles em muitas situações em Engenharia Aconselhamos que você os memorize Diferença de quadrados Quadrado da soma Quadrado da diferença Cubo da soma Cubo da diferença Soma de cubos Diferença de cubos Tabela 1 Os principais produtos notáveis Fonte O autor 19 WWWUNINGABR FUNDAMENTOS BÁSICOS DA ENGENHARIA UNIDADE 1 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Exemplo 21 Simplif que as expressões que seguem A B com C com D com Nesse exemplo observe que f zemos uso de um artifício matemático para tornar a fatoração possível 20 WWWUNINGABR FUNDAMENTOS BÁSICOS DA ENGENHARIA UNIDADE 1 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Exemplo 22 Sem usar calculadora determine Solução Aplicando a fatoração da diferença de quadrados temos que 3 NOTAÇÃO CIENTÍFICA Considere os textos a seguir Difícil imaginar o quão complicado é desenvolver algo nesse ambiente Então apanhe uma régua e em um papel trace uma linha de dez centímetros Agora pegue essa reta e a divida em nada menos que 10000000 de partes Pronto agora você já sabe o que é 1 nanômetro ou seja 1 nm 0000000001 m Observáveis em vários aspectos da natureza como em alguns animais que têm a habilidade de andar na parede devido a forças adesivas ou nas superfícies hidrofóbicas capazes de repelir água como as folhas da f or de lótus as nanoestruturas passaram a ser sintetizadas pelo homem e aplicadas nos mais diversos segmentos Seu potencial é tão amplo e promissor que muitos especialistas consideram a nanotecnologia uma nova revolução industrial PINELLI 2016 E ainda Astrônomos anunciaram em março de 2016 que o Telescópio Espacial Hubble operado pela Nasa identif cou a galáxia mais distante já vista posicionada a 13400000000 de anosluz de distância da Terra A chamada GNz11 se formou apenas 400000000 de anos depois do Big Bang e do nascimento do Universo A descoberta feita por especialistas americanos será publicada na semana que vem na revista científ ca T e Astrophysical Journal A galáxia que foi avistada na direção da Ursa Maior tem cerca de 1000000000 de vezes a massa do Sol A análise foi feita com uma das câmeras do Hubble Adaptado de VEJA 2016 Ao efetuar a leituras desses dois textos deparamonos com números cuja leitura é complicada pois alguns deles são ou muito grandes ou muito próximos de zero Isso é um tormento para quem trabalha com a notação decimal Para contornar essas situações fazemos uso da notação científ ca Dizemos que um número está em notação científ ca quando ele é escrito como em que x é o coef ciente com tal que e n é o expoente tal que Para trabalhar em notação científ ca o futuro engenheiro precisa saber lidar com potências de 10 Na Tabela 2 estão sumarizadas algumas dessas potências de base 10 21 WWWUNINGABR FUNDAMENTOS BÁSICOS DA ENGENHARIA UNIDADE 1 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Forma decimal Forma de produto Forma de potência 00001 0001 001 01 1 10 100 1000 10000 Tabela 2 Algumas representações em potências de base 10 Fonte O autor A maioria das calculadoras admite a representação de números na notação científi ca Entretanto em muitas delas o expoente aparece depois da letra E que também pode aparecer na forma minúscula e Assim 314153104 por exemplo pode aparecer no visor da calculadora na forma 314153E4 ou 314153e4 22 WWWUNINGABR FUNDAMENTOS BÁSICOS DA ENGENHARIA UNIDADE 1 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Exemplo 23 Escreva em notação científ ca os números seguintes A Solução na calculadora No modo normal da calculadora qualquer número decimal abaixo de 001 será automaticamente apresentado em notação cientif ca B Solução pela calculadora Para apresentar esse valor em notação científ ca será utilizada a tecla ENG Essa tecla transforma o valor utilizando notação de Engenharia que são as potências múltiplas de 3 Se o valor for digitado e a tecla ENG for pressionada o resultado será Exemplo 24 Escreva em notação decimal os números seguintes A Solução na calculadora Para apresentar esse valor em decimal será utilizada primeiro a tecla EXP que é a representação da notação científ ca Devese digitar o número da seguinte forma E o número é apresentado em notação científ ca Para transformálo em decimal é necessário pressionar SHIFT e então ENG Cada vez que for realizado esse processo o valor será representado em uma base maior na primeira vez o resultado será Se o procedimento for realizado mais duas vezes o resultado será Há uma perda de dados pois a calculadora só tem resolução de 9 dígitos 23 WWWUNINGABR FUNDAMENTOS BÁSICOS DA ENGENHARIA UNIDADE 1 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA B Solução na calculadora Para números entre 001 e 9999999999 se forem digitados na calculadora não serão apresentados na forma de notação científ ca digitando No visor aparecerá o número Exemplo 25 Efetue os cálculos a seguir A Solução Note que as potências de base 10 possuem expoentes distintos Assim devemos converter o número com menor potência de 10 deixandoo com o mesmo expoente do outro Solução na calculadora basta digitar o valor de forma direta e organizada da seguinte maneira O resultado será B Solução Reagrupando os termos do produto segue que Solução pela calculadora Novamente o cálculo é realizado de forma direta Basta digitar O resultado seria exatamente o mesmo sem os parênteses porém para uma melhor organização dos dados é recomendado utilizálos O resultado é C Solução Para dividir números na notação científ ca seguimos as regras usuais das frações Daí Solução na calculadora O calculo é análogo à multiplicação Sendo assim Isso será igual a 24 WWWUNINGABR FUNDAMENTOS BÁSICOS DA ENGENHARIA UNIDADE 1 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Exemplo 26 Energia elétrica é gerada pela instalação de um conjunto geradorturbina hidráulica em um local 90 m abaixo de um grande reservatório de superfície livre que pode fornecer água à vazão de 2000 kgs como ilustrado pela Figura 5 Com base nessas informações estime a potência elétrica produzida pela usina em W Figura 5 Instalação de uma hidroelétrica Fonte O autor Solução Das aulas de física do Ensino Médio você deve se recordar de que a energia mecânica é a soma da energia potencial gravitacional com a energia cinética isto é Note na Figura 5 que no ponto 1 a energia potencial é máxima e a energia cinética é nula pois nessa região a água está parada Daí no ponto 1 temos que O quociente entre a quantidade de energia e o tempo def ne a potência Assim na região 1 temos que ou ainda Mas a razão entre a massa que atravessa uma seção reta de tubo pelo tempo é em Engenharia conhecida como vazão mássica que aqui denotaremos por Assim a potência a ser desenvolvida pela hidroelétrica é Logo a potência elétrica dessa usina é de 25 WWWUNINGABR FUNDAMENTOS BÁSICOS DA ENGENHARIA UNIDADE 1 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Solução na calculadora Para solucinar essa multiplicação primeiramente deverá ser realizada a seguinte multiplicação Após o resultado 1765800 aparecer basta pressionar a tecla ENG e então o resultado é dado por Ao realizar as operações em matemática temos que nos recordar da prioridade de resolução O vídeo disponível em httpswwwyoutubecom watchvEliV1RvhrY produzido pela Khan Academy ilustra essas situações A calculadora tem um modo próprio para trabalhar com notação científi ca Para isso você deve pressionar a tecla MODE três vezes e então deve ser escolhida a opção SCI 2 Após isso devem ser informados os números dígitos que serão apresentados as opções são de 0 a 9 indo de 1 dígito para o número 1 e 10 dígitos para o número 0 Nanopartículas são partículas cujo tamanho está na faixa de medida entre 1 e 100 nanômetros Um nanômetro é igual a 10109m O artigo que segue é uma revisão acerca da aplicação de nanotecnologia em alimentos O artigo intitulado Características de nanopartículas e potenciais aplicações em alimentos é de autoria Letícia Marques de Assis Elessandra da Rosa Zavareze Carlos Prentice Hernández e Leonor Almeida de Souza Soares e está disponível em httpwwwscielobrpdfbjftv15n2aop0711pdf 26 WWWUNINGABR FUNDAMENTOS BÁSICOS DA ENGENHARIA UNIDADE 1 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA 4 REGRA DE TRÊS SIMPLES E COMPOSTA A regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvem quatro valores dos quais três são conhecidos Portanto determinase um valor com base nos outros três já conhecidos Para resolver uma regra de três usase o seguinte roteiro 1 Construir uma tabela agrupandose as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo em linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência 2 Verif car se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais 3 Montar a proporção e resolver a equação Exemplo 27 ENADE adaptado Um produtor rural de soja aplicará um inseticida para controle de pragas cuja bula recomenda a dosagem de 2 lha1 litro por hectare do produto comercial Ele possui um pulverizador com capacidade de 400 litros devidamente regulado para distribuir esse volume em 4 ha Considerandose essas informações qual quantidade do produto comercial deve ser adicionada ao tanque de pulverização utilizando o seu volume total Solução Segue do enunciado que a bula recomenda a dosagem de 2 lha1 litro por hectare do produto comercial Daí x 8 litros Portanto serão necessários 8 litros do inseticida Duas grandezas são ditas diretamente proporcionais quando a razão entre os valores da primeira é igual à razão entre os valores correspondentes da segunda Ou seja são grandezas que crescem juntas e diminuem juntas Dessa forma dobrandose uma delas a outra também dobra triplicandose uma delas a outra também triplica e assim por diante Por outro lado duas grandezas são ditas inversamente proporcionais quando a razão entre os valores da primeira é igual ao inverso da razão entre os valores correspondentes da segunda Ou seja são grandezas em que variandose uma delas a outra varia na razão inversa da outra Dessa forma dobrandose uma delas a outra se reduz pela metade triplicandose uma delas a outra se reduz para a terça parte e assim por diante 27 WWWUNINGABR FUNDAMENTOS BÁSICOS DA ENGENHARIA UNIDADE 1 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Exemplo 28 O gráf co da Figura 6 aponta a produção de um insumo produzido por uma empresa nas diversas regiões do País Em valores absolutos essas estimativas indicam que as duas maiores regiões produtoras produziram juntas um total de 120 mil de toneladas em 2019 Figura 6 Produção de insumo Fonte O autor Nessas condições determine a produção estimada desse insumo em mil de tonelada na Região Nordeste do País Solução As duas maiores regiões produtoras do insumo são Sul e CentroOeste as quais produziram juntas 322 382 705 o que corresponde a uma produção de 120 mil toneladas Assim a região Nordeste produziu x 1770213 toneladas Portanto a região Nordeste produziu aproximadamente 17702 toneladas do insumo Exemplo 29 ENEM adaptado A energia solar vai abastecer parte da demanda de energia do campus de uma universidade painéis solares na área dos estacionamentos e na cobertura do hospital pediátrico será aproveitada nas instalações universitárias e também ligada na rede da companhia elétrica distribuidora de energia O projeto possui 100 m2 de painéis solares que f carão instalados nos estacionamentos produzindo energia elétrica e proporcionando sombra para os carros Sobre o hospital pediátrico serão colocados aproximadamente 300 m2 de painéis sendo 100 m² para gerar energia elétrica utilizada no campus e 200 m2 para geração de energia térmica produzindo aquecimento de água utilizada nas caldeiras do hospital Suponha que cada metro quadrado de painel solar para obter energia elétrica gere uma economia de 1 kWh por dia e cada metro quadrado produzindo energia térmica permita economizar 07 kWh por dia para a universidade Em uma segunda fase do projeto será aumentada em 75 a área coberta pelos painéis solares que geram energia elétrica Nessa fase também deverá ser ampliada a área de cobertura com painéis para a geração de energia térmica Disponível em httpagenciabrasilebccombr Acesso em 30 out 2013 adaptado 28 WWWUNINGABR FUNDAMENTOS BÁSICOS DA ENGENHARIA UNIDADE 1 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Determine a área total dos painéis que geram energia térmica em metro quadrado para obter o dobro da quantidade de energia economizada diariamente em relação à primeira fase Solução Depreendese do enunciado que há 200 m2 de painéis solares para produção de energia elétrica e outros 200 m2 para produção de energia térmica Assim a economia de energia para i produção de energia elétrica será ii produção de energia térmica será No f nal da primeira fase do projeto temos uma economia de energia igual a Na segunda fase de acordo com o enunciado haverá aumento de 75 na área coberta pelos painéis no que diz respeito à produção de energia elétrica Assim a área passa a ser igual a 200 175 350 m2 e a economia de energia elétrica nessas condições é de O dobro da quantidade de energia economizada na primeira fase é igual a Como já temos a economia na produção de energia elétrica de referente à ampliação da segunda fase restanos de economia para ser realizada com a produção de energia térmica Assim a área de painel necessária é A regra de três composta é um processo prático para resolver problemas que envolvem N valores dos quais são conhecidos N 1 desses valores Portanto determinase um valor com base nos outros N1 já conhecidos Exemplo 30 FCC adaptado Suponha que 8 máquinas de terraplanagem todas com a mesma capacidade operacional sejam capazes de nivelar uma superfície de 8000 metros quadrados em 8 dias se funcionarem ininterruptamente 8 horas por dia Nas mesmas condições quantos metros quadrados poderiam ser nivelados por 16 daquelas máquinas em 16 dias de trabalho e 16 horas por dia de funcionamento ininterrupto Solução Montemos uma tabela colocando em cada coluna as grandezas de mesma espécie 8 máquinas 8 horasdia 8 dias 8000 m2 16 máquinas 16 horasdia 16 dias X 29 WWWUNINGABR FUNDAMENTOS BÁSICOS DA ENGENHARIA UNIDADE 1 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA O aumento no número de máquinas aumenta a área de terraplanagem logo as grandezas são diretamente proporcionais O aumento no número de horas diárias trabalhadas aumenta a área de terraplanagem logo as grandezas são diretamente proporcionais O aumento no número de dias trabalhados aumenta a área de terraplanagem logo as grandezas são diretamente proporcionais Assim a tabela é a mesma Daí 512 8000 m2 4096 x Logo serão nivelados 64000 m2 Exemplo 31 Três máquinas produzem 180 peças em três horas Admitindose que todas as máquinas sejam igualmente ef cientes e que todas as peças demandam o mesmo tempo de fabricação determine o tempo necessário para que cinco máquinas produzam 300 peças Solução Montemos uma tabela colocando em cada coluna as grandezas de mesma espécie Na tabela a seguir Y é o tempo necessário para que cinco máquinas produzam as 300 vacinas Assim Número de peças Número de máquinas Tempo h 180 3 3 300 5 Y Observe que com o aumento do número de peças a serem produzidas o tempo gasto será maior logo temos grandezas diretamente proporcionais Por outro lado o aumento no número de máquinas reduz o tempo de produção das peças ou seja temos grandezas inversamente proporcionais e daí invertemos essa coluna na tabela Logo Número de peças Número de máquinas Tempo h 180 5 3 300 3 Y Agora montamos a proporção e resolvemos a equação Logo o tempo gasto será de 3 horas 8 máquinas 8 horasdia 8 dias 8000 m2 16 máquinas 16 horasdia 16 dias X 30 WWWUNINGABR FUNDAMENTOS BÁSICOS DA ENGENHARIA UNIDADE 1 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA 5 GRÁFICOS E TABELAS Atualmente estar informado tem grande relevância As informações que podem ser lidas todos os dias nos mais diferentes meios de comunicação vêm acompanhadas muitas vezes de tabelas e gráf cos de vários tipos Em Engenharia não é diferente Ao longo do curso e na vida prof ssional você futuroa engenheiroa será expostoa a diversos gráf cos e tabelas Efetuar a correta leitura e interpretação deles será uma de suas responsabilidades Citemos como exemplo a leitura de propriedades termodinâmicas como entalpia entropia energia livre de Gibbs fator de atrito para escoamento etc O objetivo deste tópico é que você futuroa engenheiroa resolva alguns exercícios de diversas áreas interpretando e fazendo uso de gráf cos e tabelas Destacamos as seguintes dicas para leitura de gráf cos No momento em que resolver um exercício 1 Conf ra se as informações do gráf co ou tabela batem com as do enunciado do exercício 2 Entenda qual tipo de informação está destacada no eixo vertical e qual está no eixo horizontal no caso de gráf cos e no corpo no caso de tabelas 3 Interprete com calma pois geralmente as questões são contextualizadas Exemplo 32 ENEM adaptado Dispositivos eletrônicos que utilizam materiais de baixo custo como polímeros semicondutores têm sido desenvolvidos para monitorar a concentração de amônia em granjas avícolas A polianilina é um polímero semicondutor que tem o valor de sua resistência elétrica nominal quadriplicado quando exposta em altas concentrações de amônia Na ausência de amônia a polianilina se comporta como um resistor ôhmico e sua resposta elétrica é apresenta na Figura 7 Figura 7 Resposta da poliamida à exposição de amônia Fonte ENEM 2017 31 WWWUNINGABR FUNDAMENTOS BÁSICOS DA ENGENHARIA UNIDADE 1 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Nessas condições determine o valor da resistência elétrica da polianilina na presença de altas concentrações de amônia em ohm Solução Você deve se recordar das aulas de Ensino Médio de que para um resistor ôhmico é válida a seguinte equação em que R é a resistência U a diferença de potencial e i a corrente elétrica A análise gráf ca nos permite af rmar que temos um resistor ôhmico pois o gráf co é uma reta Observe ainda que para quaisquer valores de diferença de potencial e corrente elétrica temos o mesmo valor de resistência De fato No entanto no enunciado é dito que o valor da resistência quadriplica sob altas concentrações de amônia Assim o valor da resistência elétrica da polianilina na presença de altas concentrações de amônia é Exemplo 33 A profundidade do nível em um tanque de combustível foi registrada num período de 4 horas como ilustrado na Figura 8 Nela a profundidade de nível h registrada às 13 h não foi anotada pelo engenheiro e a partir de h cada unidade sobre o eixo vertical corresponde a 05 m Figura 8 Registro de nível do tanque Fonte O autor O engenheiro observou que entre as 15 e 16 horas a altura h do nível de combustível foi reduzida em 25 Nessas condições determine a altura h do nível de combustível em metro às 16h Solução Seja h o valor em metros do nível de combustível no interior do tanque às 13 h Assim por inspeção concluímos que o nível de combustível no tanque às 15 h é igual a e às 16 h é igual a Do enunciado depreendese que o nível de combustível diminuiu em 25 entre as 15 e 16 h o que implica que o nível de combustível às 16 h corresponde a 75 do valor às 15 h que aqui denominaremos de 100 Daí usando regra de três segue que Ou seja às 13 h o nível de combustível no tanque era de 10 m e às 16 h era de 30 metros 32 WWWUNINGABR FUNDAMENTOS BÁSICOS DA ENGENHARIA UNIDADE 1 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Exemplo 34 CESGRANRIO adaptado A Figura 9 apresenta o relatório sintetizado com a discriminação das despesas de uma empresa nos anos de 2012 e 2013 Considere que a última linha nessa f gura expressa o total das despesas em cada ano Determine o valor do aumento percentual das despesas totais em 2013 na comparação com 2012 Figura 9 Relatório sintetizado Fonte CESGRANRIO 2018 Solução Observe no gráf co que o aumento das despesas foi de e esse total representa um aumento de aproximadamente 892 em relação ao ano de 2012 De fato Exemplo 35 ENADE adaptado A relação intrínseca entre o aumento do consumo de energia e o desenvolvimento social de uma região é consequência do aprimoramento da infraestrutura para oferta de serviços essenciais como educação saúde atividades culturais e entretenimento podendo inf uenciar na elevação do padrão de vida da população Nesse contexto o aproveitamento da energia eólica para geração de eletricidade é um importante vetor de desenvolvimento social principalmente se utilizado para o atendimento de comunidades isoladas de modo a favorecer a universalização do uso da energia a custos menores a geração de empregos e consequentemente a redução do êxodo rural A energia eólica no Brasil passou de uma participação inexpressiva para uma posição de destaque na matriz elétrica nacional ao longo da última década No que diz respeito à def nição da localização de parques eólicos além dos aspectos f nanceiros e técnicos é necessário que sejam avaliados os aspectos socioambientais que possam restringir a área disponível e gerar conf itos associados ao processo de implantação desses parques AZEVEDO J P M NASCIMENTO R S SCHRAM I B Energia eólica e os impactos ambientais um estudo de revisão Revista Uningá v 51 n 1 2018 adaptado A Figura 10 mostra a evolução e previsão da geração de energia elétrica em usinas eólicas no Brasil de 2005 a 2024 33 WWWUNINGABR FUNDAMENTOS BÁSICOS DA ENGENHARIA UNIDADE 1 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Figura 10 Previsão e geração de energia Fonte ENADE 2019 A partir das informações apresentadas avalie as af rmações a seguir IO maior incremento de energia eólica nova ocorrerá em 2022 para o período analisado IIO incremento da capacidade instalada entre 2014 e 2018 ocorreu de forma mais acelerada com previsão de redução desse crescimento para o período entre 2019 e 2021 IIIO número de parques eólicos instalados no estado do Rio Grande do Sul supera em 53 unidades o número do estado da Bahia IVA capacidade instalada no estado do Rio Grande do Norte supera o do estado do Ceará em mais de 1899 MW É correto apenas o que se af rma em A I e II B I e III C II e IV D I III e IV E II III e IV Solução Analisemos em separado cada af rmação como segue i Por inspeção no gráf co contatase que o maior incremento de energia eólica nova ocorreu em 2014 De fato o incremento de 2013 para 2014 foi de 59723 34768 24955 MW ao passo que a previsão de 2021 para 2022 é de 13996 Logo a af rmação é FALSA ii Observe no gráf co que de 2014 até 2019 houve um aumento nos incrementos em cada ano Por outro lado a previsão é que entre 2019 e 2021 haja diminuição nesses incrementos Fica a cargo doa futuroa engenheiroa efetuar essas operações de diferença ano a ano Logo a af rmação é VERDADEIRA iii O número de parques eólicos instalados no estado da Bahia supera em 53 unidades o número do estado do Rio Grande do Sul Logo a af rmação é FALSA iv A capacidade instalada no estado do Rio Grande do Norte supera o do estado do Ceará em mais de 1899 MW A af rmação é VERDADEIRA De fato 39493 2049 18994 MW Portanto são verdadeiras as af rmações II e IV 34 WWWUNINGABR FUNDAMENTOS BÁSICOS DA ENGENHARIA UNIDADE 1 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Exemplo 36 ENADE O gráf co da Figura 11 apresenta o número de acidentes de trabalho ocorridos entre os anos de 2001 e 2014 visando ao entendimento da gestão de riscos dentro das indústrias Figura 11 Acidentes de Trabalho Fonte ENADE 2019 Com base nas informações apresentadas no gráf co assinale a opção correta A Entre dois anos consecutivos a maior taxa de variação ocorreu entre 2002 e 2003 B Entre dois anos consecutivos a maior variação absoluta foi de 587 acidentes de trabalho C Entre 2010 e 2013 percebese um crescimento contínuo do número de acidentes de trabalho D Entre 2007 e 2012 houve redução de aproximadamente 10 no número de acidentes de trabalho E Entre dois anos quaisquer no período apresentado a maior amplitude encontrada foi de 2 004 acidentes de trabalho Solução A inspeção do gráf co nos permite concluir que entre os anos de 2001 e 2003 ocorreram 700 1458 758 acidentes de trabalho o que faz desse período aquele com o maior incremento no número de acidentes de trabalho Observamos ainda que entre 2007 e 2012 houve redução de aproximadamente 5 no número de acidentes de trabalho Já entre 2010 e 2013 não é observado um crescimento contínuo do número de acidentes de trabalho pois houve redução entre 2011 e 2012 Logo responde à questão a alternativa A 35 WWWUNINGABR FUNDAMENTOS BÁSICOS DA ENGENHARIA UNIDADE 1 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Exemplo 37 ENADE Figura 12 Infográf co Fonte ENADE 2018 Considerando o infográf co apresentado avalie as af rmações a seguir I A distribuição da área plantada com transgênicos no mundo ref ete o nível de desenvolvimento econômico dos países II Os Estados Unidos da América possuem a maior área plantada de algodão transgênico no mundo III O hemisfério norte concentra a maior área de produção transgênica IV A área de produção de soja transgênica é maior no Brasil que na Argentina É correto apenas o que se af rma em A I e II B I e IV C III e IV D I II e III E II III e IV Solução Analisemos as af rmações de forma independente I FALSA pois países como o Brasil Argentina e Índia que ocupam respectivamente o 2º 3º e 5º lugares em área de transgênicos plantados não são países desenvolvidos economicamente II FALSA pois os EUA possuem 6 de 75 mil hectares 45 mil hectares de área plantada de algodão Note que a Índia tem 114 mil hectares 36 WWWUNINGABR FUNDAMENTOS BÁSICOS DA ENGENHARIA UNIDADE 1 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA III VERDADEIRA Observe que EUA Canadá e Índia estão localizados no Hemisfério Norte e juntos possuem uma área plantada de transgênicos igual a 995 mil hectares restando 1898 995 903 hectares para os demais países IV VERDADEIRA pois a área de soja transgênica no Brasil é igual a 33634 mil hectares 67 de 502 mil hectares ao passo que a Argentina 18054 mil hectares Portanto responde à questão a alternativa C 6 ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS O número de algarismos signif cativos é o número mínimo de dígitos necessários para escrever um número em notação científ ca sem a perda da exatidão HARRIS 2001 O número 2718 tem quatro algarismos signif cativos uma vez que pode ser escrito em notação científ ca como Se você o escrever como ele passa a ter cinco dígitos signif cativos e subentendese que você conhece o valor após o dígito 8 o que não procede para o número 2718 O número 0000000314 possui três algarismos signif cativos pois em notação científ ca pode ser escrito como De acordo com Harris 2001 o zero é signif cativo quando se encontra i no meio de um número como em que apresenta três algarismos signif cativos ii no f nal de um número do lado direito da vírgula decimal como em que apresenta quatro algarismos signif cativos O último algarismo signif cativo o mais afastado à direita é aquele que apresenta a incerteza associada a si Essa incerteza deverá ser de no mínimo nesse dígito Agora tratemos do número de algarismos signif cativos em operações aritméticas Lembrandose de que o arredondamento deve ser feito somente na resposta f nal a f m de evitar os erros de arredondamentos Nas operações de adição e de subtração se os números a serem somados ou subtraídos apresentarem igual número de dígitos signif cativos a resposta f cará com o mesmo número de casas decimais do número individual Por outro lado se os números a serem somados ou subtraídos não apresentarem igual número de dígitos signif cativos a resposta f cará limitada pelo de menor número 37 WWWUNINGABR FUNDAMENTOS BÁSICOS DA ENGENHARIA UNIDADE 1 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Exemplo 38 A B Nas operações acima ns subscrito denota não signif cativo Note que o número 543139 deverá ser reescrito como 5431 assim como o número será reescrito como Por outro lado número 71596 deverá ser arredondado para 716 como resposta f nal Para o arredondamento que realizamos no número 71596 usouse a regra segundo a qual quando o primeiro dígito não signif cativo for maior ou igual a 5 acrescentamos uma unidade no último dígito signif cativo Por outro lado se o primeiro dígito não signif cativo fosse um número inferior a 5 manteríamos o último dígito signif cativo Observe que no caso de operações com número em notação científ ca todos os números foram convertidos primeiramente ao mesmo expoente Solução na calculadora É possível realizar as operações de números com algarismos signif cativos f xos Para isso é necessário mudar a função da calculadora Essa mudança é realizada pressionandose a tecla MODE três vezes e então escolhese a opção FIX 1 Selecionandose essa opção é informado o número de algarismos signif cativos de 0 a 9 Verif que que a própria calculadora realizará o arredondamento do número Em problemas de notação científ ca a função SCI 2 pode ser utilizada Apenas preste atenção à seleção de 0 a 9 pois representa o número de dígitos presentes na tela no caso 0 representa 10 dígitos Nas operações de multiplicação e de divisão estamos limitados ao número de dígitos contidos no número com menos algarismos signif cativos 38 WWWUNINGABR FUNDAMENTOS BÁSICOS DA ENGENHARIA UNIDADE 1 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Exemplo 39 Observe e calcule as operações a seguir Note que o resultado de é escrito como e o resultado de é escrito como 1405 O subscrito nas operações anteriores indica que os dígitos são não signif cativos Sejam com e O logaritmo do número a em uma base b é um número real n tal que em que a é denominado de logaritmando e b é base Assim o logaritmo de 8 na base 2 é igual a 3 De fato O logaritmo é composto de uma característica e uma mantissa Por exemplo sabemos que Aqui 2 é a característica e 064738287 é a mantissa isto é a característica é a parte inteira e a mantissa é a parte decimal Nas operações de logaritmo estamos limitados ao número de dígitos contidos no logaritmando isto é a mantissa do logaritmo terá o mesmo número de algarismos signif cativos que o logaritmando Assim em temos que o logaritmando tem três dígitos signif cativos e é escrito como 7 EQUAÇÕES POLINOMIAIS DE 1 O E 2 O GRAUS De acordo com Bonetto e Murolo 2016 uma equação com uma incógnita x é denominada equação do primeiro grau se puder ser reduzida por meio de operações elementares à forma em que e No nosso estudo o conjunto universo para a solução dessas equações é o conjunto dos números reais 39 WWWUNINGABR FUNDAMENTOS BÁSICOS DA ENGENHARIA UNIDADE 1 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Exemplo 40 CESGRANRIO adaptado No modelo da Figura 13 os pontos A B C e D pertencem à mesma reta O ponto A dista 658 mm do ponto D o ponto B dista 419 mm do ponto D e o ponto C está a 487 mm do ponto A Figura 13 Representação do exercício Fonte CESGRANRIO 2012 Qual é em milímetros a distância entre os pontos B e C Solução Observe na f gura que a soma das distâncias Assim Exemplo 41 CESGRANRIO adaptado Ação global contra petróleo caro A Agência Internacional de Energia AIE formada por 28 países anunciou ontem a liberação de 60 milhões de barris de petróleo de reservas estratégicas Os EUA vão entrar com metade do volume a Europa irá colaborar com 30 e o restante virá de Austrália Japão Coreia e Nova Zelândia O Globo Rio de Janeiro p 17 24 jun 2011 Adaptado Suponha que os países asiáticos Japão e Coreia contribuam juntos com 18 milhão de barris a mais do que a contribuição total dos países da Oceania Austrália e Nova Zelândia Desse modo quantos milhões de barris serão disponibilizados pelos países asiáticos Solução Seja x a quantidade de petróleo em milhões de barris que serão disponibilizados pelos países da Oceania Assim segue do enunciado que Assim Segundo Bonetto e Murolo 2016 uma equação com uma incógnita x é denominada equação do segundo grau se puder ser reduzida por meio de operações elementares à forma em que e Para a determinação da solução dessa equação primeiramente devemos calcular o discriminante da equação 40 WWWUNINGABR FUNDAMENTOS BÁSICOS DA ENGENHARIA UNIDADE 1 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Nessas condições se o conjunto universo para a solução dessas equações é o conjunto dos números reais e essas soluções são determinadas usandose Caso o conjunto solução é o conjunto dos números complexos e o procedimento é o mesmo que usamos quando o discriminante é positivo Exemplo 42 O produto das raízes da equação é um número A primo e par B primo e ímpar C natural D irracional E racional Solução Fazendo segue que a equação pode ser reescrita como cujas raízes são t 05 e t 05 Note que é raiz dupla Assim que é um número irracional Logo o produto das raízes é é um número racional Portanto alternativa E Exemplo 43 Determine a soma das raízes da equação Solução Da relação básica em trigonometria segue que Assim a equação pode ser reescrita como que é uma equação quadrática Fazendo temos agora a equação cujas raízes são e Daí temos que que não convém que ocorre quando rad e rad Portanto a soma das raízes é 41 WWWUNINGABR FUNDAMENTOS BÁSICOS DA ENGENHARIA UNIDADE 1 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Exemplo 44 A bomba centrífuga empregada numa estação de tratamento de água tem curva característica descrita pela equação enquanto que a curva de carga do sistema hidráulico é descrita como Nas equações Hs é a carga que deve ser desenvolvida pela bomba para que escoe uma vazão volumétrica Q através da tubulação Hb é a carga desenvolvida pela bomba quando ela bombeia uma vazão volumétrica Q nas duas equações H é expresso em coluna de metro de água e Q é expresso em m³s O ponto operacional desse sistema é determinado igualandose a curva característica da bomba com a curva de carga do sistema hidráulico ou seja fazendo Nessas condições determine a vazão operacional do sistema Solução Segue do enunciado que o ponto operacional é determinado fazendo Assim Isto é Resolvendo a equação quadrática temos que Q 02 m³s 8 INTERPOLAÇÃO A interpolação linear é um método de aproximação usado em diversas situações em Engenharia no qual um novo valor é determinado a partir de outros já conhecidos Para isso considere dois pontos distintos digamos e e por eles para um valor x com determinemos um valor y com como ilustra a Figura 14 O vídeo disponível em httpsm3imeunicampbr recursos1097 proporciona um passeio histórico em torno de equações quadráticas passando pelos hindus mesopotâmios gregos árabes e europeus e mostrando diferentes métodos de resolução até à famosa fórmula de Bhaskara 42 WWWUNINGABR FUNDAMENTOS BÁSICOS DA ENGENHARIA UNIDADE 1 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Figura 14 Interpolação linear Fonte O autor Temos devido à semelhança de triângulos que Essa relação nos permite concluir que dados os pontos distintos e e um valor qualquer digamos x podemos determinar y por meio da equação A interpolação linear pode ser realizada selecionandose o modo de regressão linear da calculadora Para isso as seguintes teclas devem ser pressionadas primeiro MODE e então o número 3 Por fi m o número 1 Figura 15 Figura 15 Modo de regressão linear Fonte O autor Para uma maior organização os dados serão apresentados na tabela que segue 43 WWWUNINGABR FUNDAMENTOS BÁSICOS DA ENGENHARIA UNIDADE 1 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Variável de Referência Variável a ser encontrada Valor Conhecido x0 Valor Conhecido y0 Valor de Referência x Valor a ser encontrado y Valor Conhecido x1 Valor Conhecido y1 Tabela 3 Tabela para interpolação Fonte O autor Agora os dados são inseridos Primeiro digitase o valor de x0 e pressionase a tecla Então digitase o valor y0 a tecla M e fi nalmente AC Figura 16 Figura 16 Inserir valores para interpolação Fonte O autor O mesmo procedimento é realizado para as variáveis x1 e y1 Após esse procedimento é realizada a interpolação Para tanto digitase o valor de x e realiza se o procedimento indicado na Figura 17 Figura 17 Procedimento de interpolação Fonte O autor Esses valores podem ser visualizados e alterados pressionandose Replay Se você não alterar o modo da calculadora essa mesma confi guração pode ser utilizada para outra interpolação basta alteraremse os valores de x0 x1 y0 e y1 44 WWWUNINGABR FUNDAMENTOS BÁSICOS DA ENGENHARIA UNIDADE 1 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Exemplo 45 Em problemas de Engenharia Econômica que envolvem o cálculo de juros compostos é comum determinar o valor de sendo conhecidos a taxa de juro i e o prazo da aplicação t Observe a representação gráf ca na Figura 18 da função no intervalo 002 003 para um certo valor f xado de t Figura 18 Gráf co de fi em função da taxa de juros Fonte O autor Sem o uso de calculadora é possível aproximar fi para valores de i entre 002 2 e 003 3 pelo método chamado de interpolação linear o qual consiste em calcular fi usando a função cujo gráf co é a reta que passa por 002 f002 e 003 f003 Calculando uma aproximação de fi por interpolação linear sobre a função descrita no gráf co para a taxa de juro de 250 Solução Empregando interpolação polinomial sobre dois pontos temos que Solução na calculadora Primeiro é montada a tabela para realizar a interpolação Taxa de Juros i Taxa de Juros i 2 108 25 Função de Juros f25 3 112 Realizandose o procedimento adequadamente chegase ao resultado de 11 45 WWWUNINGABR FUNDAMENTOS BÁSICOS DA ENGENHARIA UNIDADE 1 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Exemplo 46 Considere as informações a seguir acerca dos valores do calor específ co de uma substância em diferentes temperaturas Temperatura ºC 20 30 40 50 Calor específ co 099907 099826 099728 099678 Determine a temperatura em ºC na qual o calor específ co seja igual a 099837 usando interpolação linear Solução Por inspeção notamos que a temperatura na qual o valor do calor específ co igual a 099837 está entre 20 e 30ºC Assim Solução na calculadora Realizando a interpolação o resultado obtido é apresentado Calor Específ co calg ºC Temperatura ºC 099907 20 099837 2864 099826 30 Para restaurar a calculadora para seu modo de fábrica basta realizar o procedimento indicado na Figura 19 Figura 19 Como restaurar a calculadora Fonte O autor 46 46 WWWUNINGABR U N I D A D E 02 SUMÁRIO DA UNIDADE INTRODUÇÃO 47 1 O CÁLCULO DO PERÍMETRO 48 2 O CÁLCULO DA ÁREA 52 3 O CÁLCULO DO VOLUME 61 4 TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO 70 4 LEI DOS SENOS E DOS COSSENOS 78 GEOMETRIA E A ENGENHARIA ENSINO A DISTÂNCIA DISCIPLINA FUNDAMENTOS BÁSICOS DA ENGENHARIA PROF DR RICARDO CARDOSO DE OLIVEIRA PROF DR RODRIGO DE SOUZA RUZZI 47 WWWUNINGABR FUNDAMENTOS BÁSICOS DA ENGENHARIA UNIDADE 2 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA INTRODUÇÃO Caroa alunoa seja bemvindoa à segunda unidade do curso de Fundamentos Básicos da Engenharia Esta unidade tem por objetivo revisar a geometria plana geometria espacial trigonometria no triângulo retângulo e alguns conceitos que usaremos ao longo do curso de Engenharia O objetivo também é apresentar a você algumas aplicações simples de geometria no curso de Engenharia Nesta unidade você será encorajadoa a pesquisar a solução de algumas situações problema envolvendo Engenharia Esperamos que você por meio da leitura e das vídeoaulas desenvolva raciocínio lógico para a resolução de problemas envolvendo geometria Focarnos emos no cálculo de perímetros superfícies planas e capacidade no dia a dia da Engenharia Lembrese de que a geometria plana e a espacial são fundamentais à formação dos engenheiros seja qual for o seu ramo Assim desejamos a você bons estudos 48 WWWUNINGABR FUNDAMENTOS BÁSICOS DA ENGENHARIA UNIDADE 2 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA 1 O cálculo do perímetro O perímetro é a medida do comprimento de um contorno A unidade de medida empregada no cálculo do perímetro é a mesma unidade de medida de comprimento isto é metro centímetro quilômetro pé polegada etc Exemplo 1 ENEM adaptado Para o ref orestamento de uma área devese cercar totalmente com tela os lados de um terreno exceto o lado margeado pelo rio conforme a Figura 1 Cada rolo de tela que será comprado para a confecção da cerca contém 48 metros de comprimento Determine a quantidade mínima de rolos que deve ser comprada para cercar esse terreno Figura 1 Representação para o exercício Fonte ENEM 2013 Solução O perímetro da área cercada é Assim o número de rolos de tela a ser comprado pode ser calculado usandose regra de três como segue Portanto a quantidade mínima de rolos a ser comprada para cercar esse terreno é igual a 8 49 WWWUNINGABR FUNDAMENTOS BÁSICOS DA ENGENHARIA UNIDADE 2 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Exemplo 2 Analise o telhado em meia água da Figura 2 Figura 2 Telhado em meia água Fonte O autor Determine o perímetro desse telhado em metros Solução Observe que necessitamos do valor da medida de um dos lados para o cálculo do perímetro Para determinar esse valor usaremos o teorema de Pitágoras Seja x o valor da medida em metros desse lado Assim Daí o perímetro do telhado é Logo o telhado apresenta a medida do perímetro igual a 903 m Exemplo 3 Em escoamento em canais o perímetro molhado é def nido como o comprimento relativo ao contato do líquido com o conduto Determine o perímetro molhado para a situação de escoamento em canal aberto ilustrado pela Figura 3 Figura 3 Escoamento em canal Fonte O autor 50 WWWUNINGABR FUNDAMENTOS BÁSICOS DA ENGENHARIA UNIDADE 2 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Solução Segue do enunciado que o perímetro molhado é a medida do comprimento relativa ao contato do líquido com o conduto Assim segue que Logo o perímetro molhado no canal ilustrado é igual a 70 m Exemplo 4 Considere o croqui da Figura 4 e as informações a seguir referentes ao perímetro externo de um terreno destinado à construção Figura 4 Croqui Fonte O autor A empresa deseja cercar todo o terreno com tapume que custa R 2750 o metro Nessas condições determine o custo para se cercar o terreno Solução Inicialmente precisamos determinar o perímetro do terreno Assim Daí para determinar o custo com tapume fazemos uso da regra de três como segue Portanto o valor gasto para cercar o terreno com tapume é de R 159500 O diâmetro hidráulico é um parâmetro importante amplamente utilizado no dimensionamento de canais dutos tubos e outros componentes das obras hidráulicas Ele é utilizado para se estimar o diâmetro de tubos e canais cuja transversal não é circular Ele é defi nido como a razão da área da seção transversal molhada e P o perímetro molhado 51 WWWUNINGABR FUNDAMENTOS BÁSICOS DA ENGENHARIA UNIDADE 2 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Exemplo 5 A Figura 5 a seguir é composta por três quadrados idênticos com um deles apoiado em outros dois que possuem um lado comum Com base nessas informações determine o perímetro da f gura Figura 5 Três quadrados idênticos Fonte O autor Solução Seja x o valor da medida em cm do lado de cada quadrado Por inspeção segue que Daí x 11 cm isto é cada lado do quadrado mede 11 cm Logo o perímetro da f gura é Exemplo 6 Na Figura 6 a medida do segmento é de 20 m e M é o ponto médio de Determine o comprimento do contorno dessa f gura Figura 6 Representação do exercício Fonte Silveira e Marques 2008 52 WWWUNINGABR FUNDAMENTOS BÁSICOS DA ENGENHARIA UNIDADE 2 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Solução Como M é o ponto médio do segmento temos que as medidas Dos seus estudos do Ensino Fundamental você deve se lembrar de que o comprimento ou perímetro de uma circunferência é dado pela equação em que R é o valor da medida do raio Assim a medida do contorno da circunferência da parte inferior que tem centro em A é Note que foi dividido por 2 pois temos meia circunferência A medida do contorno da circunferência da parte superior da f gura com centro em B é Por outro lado a medida do contorno da circunferência da parte superior da f gura com centro em M é Portanto a media do contorno da f gura é 2 O CÁLCULO DA ÁREA A área de f guras planas mede o tamanho dessa superfície Nesse sentido quanto maior a área de uma f gura maior será seu tamanho Para o cálculo de área de f guras planas podemos fazer uso das equações listadas na Figura 7 Figura 7 Equações para o cálculo de área de algumas f guras planas Fonte O autor 53 WWWUNINGABR FUNDAMENTOS BÁSICOS DA ENGENHARIA UNIDADE 2 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Exemplo 7 Analise o telhado em meia água da Figura 8 Determine a área desse telhado em m2 Figura 8 Telhado em meia água Fonte O autor Solução Observe que necessitamos do valor da medida de um dos lados para o cálculo da área Para determinar esse valor usaremos o teorema de Pitágoras Seja x o valor da medida em metros desse lado Assim Note que o telhado tem o formato de um retângulo Assim a área desse telhado é Portanto o telhado tem área igual a Exemplo 8 Considere o croqui da Figura 9 Figura 9 Croqui para o exercício Fonte O autor 54 WWWUNINGABR FUNDAMENTOS BÁSICOS DA ENGENHARIA UNIDADE 2 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Dados J1 200 m x 150 m B1 100 m x 060 m P1 080 m x 210 m P2 060 m x 210 m piso da sala tacos piso do WC cerâmica altura das janelas 150 m Considerando que um pedreiro produz 6 m2 de piso em tacos e 4 m2 de cerâmica em um dia de trabalho determine o prazo estimado para a realização desses dois serviços com apenas um pedreiro sem interrupção em dias Solução A área da sala é e a área do banheiro é Assim o tempo gasto para o pedreiro assentar os tacos na sala é calculado usandose regra de três como segue O tempo gasto para assentar a cerâmica também é calculado usandose regra de três como segue Assim para realizar todo o trabalho esse pedreiro necessitará de 7 dias de trabalho Exemplo 9 ENEM adaptado Uma empresa de telefonia celular possui duas antenas que serão substituídas por uma nova mais potente As áreas de cobertura das antenas que serão substituídas são círculos de raio 2 km cujas circunferências se tangenciam no ponto O como ilustrado na Figura 10 Figura 10 Representação para o exercício Fonte ENEM 2015 O ponto O indica a posição da nova antena e sua região de cobertura será um círculo cuja circunferência tangenciará externamente as circunferências das áreas de cobertura menores Com a instalação da nova antena determine a medida da ampliação da área de cobertura em quilômetros quadrados 55 WWWUNINGABR FUNDAMENTOS BÁSICOS DA ENGENHARIA UNIDADE 2 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Solução A área de cobertura total das antenas 1 e 2 é calculada como segue Ao efetuar a substituição das antenas o raio da área de cobertura passa a ser igual a R 4 km e a área de cobertura passa a ser ou seja temos um aumento de área de cobertura igual a Exemplo 10 ENEM adaptado O Esquema da Figura 11 mostra a conf guração de uma quadra de basquete Os trapézios em cinza chamados de garrafões correspondem a áreas restritivas Figura 11 Área restritiva antes de 2010 Fonte ENEM 2015 Visando a atender as orientações do Comitê Central da Federação Internacional de Basquete FIBA em 2010 que unif cou as marcações das diversas ligas foi prevista uma modif cação nos garrafões das quadras os quais passariam a ser retângulos como mostra a Figura 12 Figura 12 Área restritiva a partir de 2010 Fonte ENEM 2015 Após executadas as modif cações previstas determine a variação percentual sofrida na área ocupada por cada garrafão Solução Inicialmente o garrafão era um trapézio e sua área é calculada como segue 56 WWWUNINGABR FUNDAMENTOS BÁSICOS DA ENGENHARIA UNIDADE 2 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Com a alteração proposta pela FIBA o garrafão passa ter a forma de um retângulo e sua área é Isso acarreta um incremento de área de que por sua vez corresponde a um aumento percentual em relação à área original de Solução na calculadora Neste tipo de problema é necessário tomar cuidado principalmente com a ordem das operações Primeiro devese realizar a soma dentro dos parênteses e então a divisão e a multiplicação Portanto a equação deve ser escrita da seguinte forma Dessa forma é que se obtém o valor correto da área Exemplo 11 ENEM adaptado Para decorar a fachada de um edifício um arquiteto projetou a colocação de vitrais compostos de quadrados de lado medindo 1 m conforme a Figura 13 Figura 13 Representação do vitral Fonte ENEM 2012 Nessa f gura os pontos A B C e D são pontos médios dos lados do quadrado e os segmentos AP e QC medem 14 da medida do lado do quadrado Para confeccionar um vitral são usados dois tipos de materiais um para a parte sombreada da f gura que custa R 3000 o m2 e outro para a parte mais clara regiões ABPDA e BCDQB que custa R 5000 o m2 De acordo com esses dados qual é o custo dos materiais usados na fabricação de um vitral Solução Note que ABB ABD BCQ e QCD são triângulos cuja base mede 025 m e a altura 05 m Assim a área desses quatro triângulos é 57 WWWUNINGABR FUNDAMENTOS BÁSICOS DA ENGENHARIA UNIDADE 2 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA O custo do material para essa região é calculado usandose regra de três como segue A área da região restante é lembrese é a diferença entre a área do quadrado e a área dos triângulos e o custo é Portanto o custo total para a produção do mosaico é igual a R 3500 Exemplo 12 ENEM adaptado A vazão do rio Tietê em São Paulo constitui preocupação constante nos períodos chuvosos Em alguns trechos são construídas canaletas para controlar o f uxo de água Uma dessas canaletas cujo corte vertical determina a forma de um trapézio isósceles tem as medidas especif cadas na Figura 14 a Neste caso a vazão da água é de 1050 m3s O cálculo da vazão Q em m3s envolve o produto da área A do setor transversal por onde passa a água em m2 pela velocidade da água no local v em ms ou seja Q Av Planejase uma reforma na canaleta com as dimensões especif cadas na Figura 14 b para evitar a ocorrência de enchentes Figura 14 Representação para o exercício Fonte ENEM 2009 Na suposição de que a velocidade da água não se alterará qual a vazão esperada para depois da reforma na canaleta Solução A área da seção transversal do projeto original é e consequentemente a velocidade de escoamento nessa seção é calculada como segue 58 WWWUNINGABR FUNDAMENTOS BÁSICOS DA ENGENHARIA UNIDADE 2 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Por outro lado com a reforma da canaleta a área da seção transversal é e sob a condição de velocidade constante a vazão de escoamento é calculada como segue Exemplo 13 A Figura 15 apresenta uma escada com quatro degraus todos eles com formato de um paralelepípedo retoretângulo A base de cada degrau é um retângulo de dimensões 20 cm por 50 cm e a diferença de altura entre o piso e o primeiro degrau e entre os degraus consecutivos é de 10 cm Figura 15 Escadas Fonte O autor Na base de cada degrau será colocado piso antiderrapante cujo preço é de R 4200 o metro quadrado Em toda a parte lateral da escada região cinzaescuro da vista frontal e entre um degrau e outro região branca será instalado um tipo de revestimento em porcelanato cujo preço é de R 13500 o metro quadrado Nessas condições determine o valor gasto em reais com piso e revestimento admitindo não existirem perdas Solução Observe na f gura que ao todo serão quatro pisos que receberão o piso antiderrapante e sua área é O custo do piso antiderrapante é calculado como segue usandose regra de três Por outro lado a área da região que receberá o porcelanato é O custo do porcelanato é calculado como segue usandose regra de três Logo o custo total é de R 12480 59 WWWUNINGABR FUNDAMENTOS BÁSICOS DA ENGENHARIA UNIDADE 2 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Exemplo 14 Em uma metalúrgica chapas de aço quadradas de 8 m de lado são empregadas para recortar formas circulares de 4 m de diâmetro como mostrado na Figura 16 Determine a área da chapa que resta após a operação Use π 3 14 Figura 16 Chapa metálica Fonte O autor Solução A área da chapa quadrada metálica é de 64 m2 Temos que a área ocupada pelas 4 formas circulares é igual a Assim a área da chapa que resta é Exemplo 15 Considere que um tsunami se propaga como uma onda no formato de um círculo ilustrado na Figura 17 Figura 17 Representação para o tsunami Fonte O autor Considere que a distância radial percorrida pelo tsunami a cada intervalo de 1 hora seja de k quilômetros Nessas condições determine a área A em varrida pela onda entre 9 e 10 horas 60 WWWUNINGABR FUNDAMENTOS BÁSICOS DA ENGENHARIA UNIDADE 2 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Solução A área varrida pelo tsunami após 9 horas é calculada como segue Após 10 h a área corresponde a Logo a área varrida pela onda entre 9 e 10 horas é igual a Exemplo 16 Uma peça tem a forma apresentada na Figura 18 em que as medidas estão em milímetros Determine a área superf cial dessa peça Figura 18 Representação do exercício Fonte O autor Solução Neste tipo de problema é necessário dividir a f gura em formas geométricas conhecidas Neste caso temse um quadrado de 150 x 150 mm e um quarto de circunferência de raio de 75 mm Para o cálculo da área da f gura será calculada a área do quadrado Então a área de um quarto de circunferência Agora para se obter a área da f gura basta retirar a área de um quarto de circunferência do quadrado Logo 61 WWWUNINGABR FUNDAMENTOS BÁSICOS DA ENGENHARIA UNIDADE 2 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA 3 O CÁLCULO DO VOLUME O volume de um sólido corresponde ao espaço ocupado por ele Nesse sentido quanto maior o volume de um sólido maior será o espaço ocupado por ele Para o cálculo do volume de sólidos podemos fazer uso das equações listadas na Figura 19 Figura 19 Formas geométricas e equações para cálculo de volume Fonte O autor 62 WWWUNINGABR FUNDAMENTOS BÁSICOS DA ENGENHARIA UNIDADE 2 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Exemplo 17 Considere um reservatório de água cujo formato é de um cone circular reto O diâmetro de sua base que está apoiada sobre o solo é de 8 metros e a altura é igual a 12 m Considere que inicialmente o reservatório esteja completamente vazio e a partir de um instante iniciase seu enchimento com água na vazão constante de 05 metro cúbico por minuto Usando determine o tempo gasto para que o nível de água atinja três quartos da altura do reservatório Solução Do enunciado segue que a altura do nível é Assim o volume de água para encher o reservatório é Para determinar o tempo gasto para encher o volume determinado usaremos regra de três como segue Ou seja o tempo de enchimento será de aproximadamente 5 h 1 min A geometria não euclidiana é uma geometria fundamentada em um sistema axiomático diferente daquele da geometria euclidiana Naquela ao se modifi car o axioma das paralelas que postula que por um ponto exterior a uma reta passa exatamente uma reta paralela à inicial obtêmse as geometrias elíptica e hiperbólica O artigo intitulado Algumas diferenças entre a Geometria Euclidiana e as Geometrias Não Euclidianas Hiperbólica e Elíptica a serem abordados nas séries do Ensino Médio de autoria de Donizete Gonçalves da Cruz e Carlos Henrique dos Santos permite compreender os conceitos geométricos da geometria euclidiana e de geometrias não euclidianas O artigo está disponível em httpwwwdiaadiaeducacaoprgovbrportalspde arquivos17348pdf 63 WWWUNINGABR FUNDAMENTOS BÁSICOS DA ENGENHARIA UNIDADE 2 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Exemplo 18 ENEM adaptado Uma carga de 100 contêineres idênticos ao modelo apresentado na Figura 20 deverá ser descarregada no porto de uma cidade Para isso uma área retangular de 10 m por 32 m foi cedida para o empilhamento desses contêineres Figura 21 Figura 20 Contêiner Fonte ENEM 2015 Figura 21 Representação da região Fonte ENEM 2015 De acordo com as normas desse porto os contêineres deverão ser empilhados de forma a não sobrarem espaços nem ultrapassarem a área delimitada Após o empilhamento total da carga e atendendo à norma do porto determine a altura mínima a ser atingida por essa pilha de contêineres em metros Solução O volume dos 100 contêineres é calculado como segue Assim a altura mínima da pilha de contêineres é 64 WWWUNINGABR FUNDAMENTOS BÁSICOS DA ENGENHARIA UNIDADE 2 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Exemplo 19 ENEM adaptado Uma lata de tinta com a forma de um paralelepípedo retangular reto tem as dimensões em centímetros mostrada na Figura 22 Figura 22 Lata de tinta Fonte ENEM 2014 Será produzida uma nova lata com os mesmos formato e volume de tal modo que as dimensões de sua base sejam 25 maiores que as da lata atual Determine o valor percentual de redução na altura da lata a ser confeccionada Solução O volume da lata original é calculado como segue As novas dimensões da base serão 25 maiores que as originais ou seja Assim na condição de que o volume seja o mesmo a altura em cm da nova lata é calculada como segue Exemplo 20 ENEM adaptado Alguns objetos durante a sua fabricação necessitam passar por um processo de resfriamento Para que isso ocorra uma fábrica utiliza um tanque de resfriamento como mostrado na Figura 23 Figura 23 Tanque para resfriamento Fonte ENEM 2012 65 WWWUNINGABR FUNDAMENTOS BÁSICOS DA ENGENHARIA UNIDADE 2 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA O que aconteceria com o nível da água se colocássemos no tanque um objeto cujo volume fosse de 2400 cm3 Solução O volume de líquido no tanque de resfriamento é calculado como segue Ao colocar um objeto de 2400 cm3 o volume passa a ser 26400 cm3 Nessa condição esse volume atingirá uma altura calculada como segue Isso indica que o nível de líquido no tanque subirá 2 cm e não haverá derramamento de líquido Exemplo 21 Um tanque contendo um f uido incompressível de massa específ ca 850 kgm3 tem o formato apresentado na Figura 24 Determine a massa em kg do f uido contido no interior do tanque Figura 24 Representação do tanque Fonte O autor Solução Para calcular o volume desse tanque calculemos inicialmente o volume da cunha de uma das laterais do mesmo Esse volume é Agora calculemos o volume do tanque admitindo existir a cunha acoplada a ele Assim Daí o volume do tanque A massa de f uido contida no interior do tanque é calculada como segue 66 WWWUNINGABR FUNDAMENTOS BÁSICOS DA ENGENHARIA UNIDADE 2 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Exemplo 22 Um mestre de obras deseja fazer uma laje com espessura de 6 cm utilizando concreto usinado de acordo as dimensões do projeto dadas na Figura 25 Figura 25 Representação da laje Fonte O autor Qual o volume de concreto que o mestre de obras deverá pedir à usina de concreto para fazer a laje Solução Para determinar o volume de concreto necessário para essa laje necessitamos conhecer primeiramente a área da laje Assim Daí o volume de concreto usinado necessário é calculado como segue Exemplo 23 VUNESP adaptado Com o fenômeno do efeito estufa e consequente aumento da temperatura média da Terra há o desprendimento de icebergs das calotas polares terrestres Para calcularmos o volume aproximado de um iceberg podemos comparálo com sólidos geométricos conhecidos Suponha que o sólido da Figura 26 formado por dois troncos de pirâmides regulares de base quadrada simétricos e justapostos pela base maior represente aproximadamente um iceberg Figura 26 Representação para o exercício Fonte VUNESP 2006 67 WWWUNINGABR FUNDAMENTOS BÁSICOS DA ENGENHARIA UNIDADE 2 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA As arestas das bases maior e menor de cada tronco medem respectivamente 400 m e 300 m e a altura mede 120 m Sabendose que o volume VS da parte submersa do iceberg corresponde a aproximadamente 78 do volume total V determine VS Solução Note que temos dois troncos de pirâmide de base quadrada Assim o volume V é calculado como segue Segue do enunciado que o volume da parte submersa corresponde a 78 do volume total Logo o volume da parte submersa é Solução na calculadora Neste problema o cálculo do volume é relativamente grande Há duas abordagens para resolvêlo é possível dividilo em operações menores ou resolvêlo de uma só vez Nessa abordagem o volume será obtido diretamente Só é necessária uma atenção extra nos parênteses A equação deve ser escrita da seguinte forma O resultado é 29600000 Exemplo 24 Uma peça metálica ilustrada na Figura 27 tem o formato de um tronco de cone circular reto com uma cavidade na forma de cone que possui a mesma altura do tronco e a base igual à base menor do tronco Determine o volume dessa peça considerando que os valores das medidas do tronco são 16 cm de altura 25 cm2 de área da base maior e 4 cm2 de área da base menor Figura 27 Representação da peça metálica Fonte O autor Solução Inicialmente devemos determinar os raios das bases maior e menor do tronco de cone Assim 68 WWWUNINGABR FUNDAMENTOS BÁSICOS DA ENGENHARIA UNIDADE 2 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Daí o volume do tronco do cone é Agora segue que o volume do cone é Logo o volume da peça é igual a Solução pela calculadora Para a obtenção do volume do tronco do cone novamente temse uma equação longa Para resolvêla de uma vez ela é inserida da seguinte forma O resultado é Exemplo 25 O tanque esférico ilustrado na Figura 28 tem 4 m de diâmetro interno e espessura de 10 cm Esse tanque foi confeccionado com aço inox AISI 316 de densidade 800 kgm3 Figura 28 Representação do tanque esférico Fonte O autor Os sólidos platônicos são sólidos convexos tal que suas arestas formam polígonos planos regulares congruentes A nomenclatura se deve a Platão que os descobriu por volta de 400 a C A existência desses sólidos já era conhecida pelos pitagóricos e os egípcios utilizaram alguns deles em sua arquitetura Existem apenas cinco sólidos platônicos o tetraedro o cubo o octaedro o dodecaedro e icosaedro 69 WWWUNINGABR FUNDAMENTOS BÁSICOS DA ENGENHARIA UNIDADE 2 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Nessas condições determine a massa de aço usado para fabricar o tanque Solução Para determinar a massa de aço empregado na confecção do tanque é preciso inicialmente determinar o volume de aço empregado Esse volume é calculado como segue Logo a massa de aço empregado na confecção do tanque é aproximadamente Solução na calculadora Para calcular o volume a equação deve ser escrita da seguinte forma O resultado é Exemplo 26 ENEM adaptado Uma construtora pretende conectar o reservatório central Rc da Figura 29 em formato de um cilindro com raio interno igual a 2 m e altura interna igual a 330 m a quatro reservatórios cilíndricos auxiliares R1 R2 R3 e R4 os quais possuem raios internos e alturas internas medindo 15 m Figura 29 Representação para o exercício Fonte ENEM 2019 As ligações entre o reservatório central e os auxiliares são feitas por canos cilíndricos com 010 m de diâmetro interno e 20 m de comprimento conectados próximos às bases de cada reservatório Na conexão de cada um desses canos com o reservatório central há registros que liberam ou interrompem o f uxo de água No momento em que o reservatório central está cheio e os auxiliares estão vazios abremse os quatro registros e após algum tempo as alturas das colunas de água nos reservatórios se igualam assim que cessa o f uxo de água entre eles pelo princípio dos vasos comunicantes Determine a medida em metro das alturas das colunas de água nos reservatórios auxiliares após cessar o f uxo de água entre eles Solução Note que a geometria dos tanques e tubulações é cilíndrica O volume de água no reservatório após se preencherem as quatro tubulações é Seja y a altura de água nos reservatórios auxiliares e no reservatório central após cessar o f uxo de água Daí essa altura é calculada como segue Portanto a medida em metro das alturas das colunas de água nos reservatórios auxiliares após cessar o f uxo de água é de 1 m 70 WWWUNINGABR FUNDAMENTOS BÁSICOS DA ENGENHARIA UNIDADE 2 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA 4 TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO A trigonometria surgiu como um ramo da matemática no qual se estudavam as relações entre ângulos e distâncias usandose triângulo retângulo Posteriormente ela passou a ser aplicada à representação de eventos periódicos da vida real GOMES 2018 O triângulo retângulo é uma f gura geométrica plana composta por três lados e três ângulos internos sendo um desses ângulos o ângulo reto ou seja a medida de um ângulo é igual a 90º Os lados do triângulo retângulo recebem nomes específ cos o lado que for oposto ao ângulo reto é denominado de hipotenusa e os outros dois lados serão chamados de cateto como ilustra a Figura 30 Figura 30 Triângulo retângulo Fonte O autor De acordo com o teorema de Pitágoras a soma das medidas dos quadrados dos catetos de um triângulo retângulo é igual à medida do quadrado de sua hipotenusa Isto é Algumas razões trigonométricas são as relações existentes entre os lados de um triângulo retângulo Assim são def nidas A Figura 31 apresenta o círculo trigonométrico e a interpretação de cada uma das relações trigonométricas def nidas 71 WWWUNINGABR FUNDAMENTOS BÁSICOS DA ENGENHARIA UNIDADE 2 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Figura 31 Ciclo trigonométrico Fonte O autor A seguir temos os principais valores para seno cosseno e tangente para os arcos notáveis 30º 45º 60º 1 O que é um radiano Em geometria o radiano é a unidade de medida de ângulo que corresponde ao ângulo central subentendido por um arco de circunferência cujo comprimento seja igual ao raio dessa mesma circunferência Uffaa Para clarifi car esse conceito fi que atentoa à sugestão de vídeo cujo link de acesso é httpswwwyoutubecomwatchvlwLSGdtP8y8 Por padrão a calculadora vem com a unidade angular de Graus Deg Para se alterar essa função é necessário apertar a tecla Mode duas vezes e então mudar o modo A opção 1 é Graus Deg a opção 2 é Radianos Rad e a opção 3 é Grado Gra Esta última não é muito usual Tome cuidado para não confundir Gra com Graus 72 WWWUNINGABR FUNDAMENTOS BÁSICOS DA ENGENHARIA UNIDADE 2 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Exemplo 27 Duas pessoas avistam um balão meteorológico A pessoa A está a 18 km da posição vertical do balão e a pessoa B está alinhada com a pessoa A como ilustra a Figura 32 A pessoa A avista o balão sob um ângulo de 60º e a pessoa B sob um ângulo de 30º Nessas condições qual a distância entre as pessoas A e B Figura 32 Representação do exercício Fonte O autor Solução Seja h a altura em que se encontra o balão e x a distância entre as pessoas A e B Na f gura o triângulo retângulo formado pela pessoa A o balão e o ângulo reto nos permite escrever que Por outro lado o triângulo retângulo formado pela pessoa B o balão e o ângulo reto nos permite escrever que Logo a distância entre A e B é igual a 36 km As funções trigonométricas inversas são utilizadas para obter ângulos de um triangulo Essas funções são arccos arcsen e arctang São utilizadas da mesma forma que as funções seno cosseno e tangente θarcsen θarccos θarctan Geralmente na calculadora essas funções são indicadas por cos1sen1 e tg1 73 WWWUNINGABR FUNDAMENTOS BÁSICOS DA ENGENHARIA UNIDADE 2 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Exemplo 28 UEM PR No problema a seguir considere que qualquer trajetória do ciclista é feita em linha reta e com velocidade constante e igual a 10 ms Duas rodovias H e R cruzamse em um ponto A segundo um ângulo de 60 Um ciclista parte do ponto A pela rodovia H e após um terço de hora atinge um ponto B de onde é possível seguir para a rodovia R percorrendo o menor caminho atingindoa no ponto C Para retornar de C ao ponto A de origem pela rodovia R a distância que o ciclista deve percorrer em quilômetros é Solução A representação esquemática da situação proposta pelo problema é apresentada na Figura 33 Figura 33 Representação para o exercício Fonte O autor A distância percorrida pelo ciclista do ponto A até o ponto B em um terço de hora 20 minutos 1200 segundos pode ser calculada por regra de três como segue Observe que o segmento AB é a hipotenusa do triângulo retângulo ACB Assim a distância CA que o ciclista deve percorrer é Exemplo 29 Considere os dados e o croqui da Figura 34 referentes à estrutura de uma tesoura de telhado Determine a altura H da cumeeira em metros Figura 34 Representação de um croqui de cumeeira Fonte O autor Solução Para se determinar a altura da cumeeira consideremos que x seja o valor da medida em metro de um dos catetos do triângulo retângulo DBC como ilustrado na Figura 35 74 WWWUNINGABR FUNDAMENTOS BÁSICOS DA ENGENHARIA UNIDADE 2 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Figura 35 Representação de um croqui de cumeeira Fonte O autor Assim empregandose as relações métricas nos triângulos retângulos ABD e DBC segue que e Substituindo o fato de que x H na equação anterior segue que Logo a cumeeira terá altura aproximada de 67 m Exemplo 30 UFMT adaptado A altura de um morro foi determinada por um topógrafo usando o seguinte procedimento i escolheu dois pontos A e B situados no mesmo plano vertical que passa por C ii mediu a distância AB encontrando 162 m iii com auxílio de um teodolito mediu os ângulos e encontrando respectivamente 60º 90º e 30º A Figura 36 ilustra o procedimento descrito Qual a altura h em metros encontrada pelo topógrafo Figura 36 Representação para o exercício Fonte UFMT 2009 Solução O esquema da Figura 37 ilustra a situação descrita com os valores conhecidos e fornecidos pelo problema em que x é a distância do segmento BC 75 WWWUNINGABR FUNDAMENTOS BÁSICOS DA ENGENHARIA UNIDADE 2 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Figura 37 Ilustração para resolução do exercício Fonte O autor No triângulo retângulo ABC segue que Por outro lado no triângulo BDC temos que Logo a altura do morro é de 81 m Exemplo 31 Determine a área em m2 do triângulo da Figura 38 Figura 38 Triângulo Fonte O autor Solução Marquemos os vértices do triângulo A B e C e escolhamos um ponto H sobre o segmento AC tal que o segmento HB seja a altura do triângulo e AC seja a base desse triângulo como ilustra a Figura 39 Figura 39 Ilustração para resolução do exercício Fonte O autor 76 WWWUNINGABR FUNDAMENTOS BÁSICOS DA ENGENHARIA UNIDADE 2 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA No triângulo AHB podemos determinar a altura h e a medida do segmento AH do triângulo O triângulo BHC é isósceles e podemos af rmar que HB HC 1 m Assim a medida do segmento da base do triângulo e a altura é igual a Logo a área do triângulo é Considere que uma força de intensidade F seja aplicada sobre uma superfície cuja área é A como indicado na Figura 39 Essa força pode ser decomposta de acordo com a direção normal à superfície e da tangente dando origem a uma componente normal FN e outra tangencial Ft Figura 40 Decomposição do vetor força Fonte O autor Dessa maneira a pressão é o resultado do quociente entre a força normal FN e a área A onde é aplicada Por outro lado a tensão de cisalhamento é o resultado entre o quociente da força tangencial Ft e a área A onde é aplicada A lei de Newton da viscosidade afi rma que a relação entre a tensão de cisalhamento τ e o gradiente de velocidade é defi nida por meio da equação diferencial τμ sendo μ constante de proporcionalidade que é denominada a viscosidade do fl uido A forma algébrica da lei de Newton da viscosidade é τμ em que V é a velocidade média e l é a espessura da camada de fl uido 77 WWWUNINGABR FUNDAMENTOS BÁSICOS DA ENGENHARIA UNIDADE 2 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Exemplo 32 Na Figura 41 observase uma placa quadrada cuja área da base é 2 m2 e massa de 2 kg Ela desliza sobre uma lâmina de óleo depositada sobre um plano inclinado em 30º em relação à horizontal A viscosidade desse óleo é 04 Pas e a espessura da lâmina é de 001 m Admita que a lâmina de óleo não escorra pelo plano inclinado que o escoamento entre a placa e o plano seja laminar e que a aceleração da gravidade local seja igual a 10 ms2 Nessas condições determine a velocidade terminal da placa escoando pelo plano inclinado Figura 41 Representação do exercício Fonte O autor Solução A velocidade é calculada empregandose a lei de Newton da viscosidade Resolvese a equação para a velocidade como segue em que é a espessura da camada de óleo F a força horizontal A é a área do bloco em contato com o f uido e é a viscosidade Do enunciado temos que A força que atua nesse sistema é a força peso ou seja No entanto devemos considerar apenas a componente da força que atua paralelamente ao escoamento como ilustra a Figura 42 Figura 42 Decomposição da força peso no plano inclinado Fonte O autor 78 WWWUNINGABR FUNDAMENTOS BÁSICOS DA ENGENHARIA UNIDADE 2 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Assim efetuandose a decomposição dessa força resulta que a força paralela ao escoamento será Assim a velocidade terminal da placa é Logo a velocidade terminal da placa é igual a 0125 ms 4 LEI DOS SENOS E DOS COSSENOS Estudos trigonométricos relacionados ao triângulo retângulo relacionam os ângulos do triângulo retângulo com as medidas dos lados por meio das relações def nidas anteriormente No entanto essas relações são válidas somente para os triângulos retângulos Para triângulos quaisquer fazemos uso da lei dos senos e da lei dos cossenos Considere o triângulo cujos vértices são A B e C e as medidas dos lados são a b e c apresentando na Figura 43 A lei dos senos estabelece que para um mesmo triângulo a razão entre o valor da medida de um lado e o seno do ângulo oposto a esse lado é constante Assim podemos escrever Figura 43 Triângulo Fonte O autor 79 WWWUNINGABR FUNDAMENTOS BÁSICOS DA ENGENHARIA UNIDADE 2 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Exemplo 33 Três pontos aparecem em um croqui em escala 110000 como apresentado na Figura 44 Determine em quilômetros o perímetro desta f gura Figura 44 Ilustração para o exemplo Fonte O autor Solução Para se determinarem os valores das medidas dos lados AB e BC usaremos a lei dos senos como segue Daí e Logo o perímetro do triângulo ABC é igual a Como o croqui está na escala 110000 segue que 80 WWWUNINGABR FUNDAMENTOS BÁSICOS DA ENGENHARIA UNIDADE 2 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Exemplo 34 Na Figura 45 temse um triângulo cujos vértices são A B e C inscritos em uma circunferência de centro D e raio 10 cm Determine em cm o perímetro do triângulo BDC Figura 45 Representação do exemplo Fonte O autor Solução Devemos observar que o triângulo BDC é isósceles e o valor das medidas dos lados DB DC R em que R é o raio da circunferência Devemos observar que a medida dos ângulos Assim pela lei dos senos escrevemos que ou seja Logo o perímetro do triângulo BDC é igual a Considere o triângulo cujos vértices são A B e C e as medidas dos lados são a b e c apresentado na Figura 46 A lei dos cossenos estabelece que para um mesmo triângulo o quadrado do valor da medida de um lado é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados subtraído do produto desses lados multiplicado pelo cosseno do ângulo formado por eles Assim podemos escrever 81 WWWUNINGABR FUNDAMENTOS BÁSICOS DA ENGENHARIA UNIDADE 2 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Figura 46 Triângulo Fonte O autor Exemplo 35 Em 2011 um terremoto de 89 na Escala Richter atingiu o Japão O epicentro desse terremoto foi no Oceano Pacíf co a 360 km da cidade de Tóquio seguido de um tsunami A cidade de Sendai a 320 km a nordeste de Tóquio foi atingida pela primeira onda do tsunami após 13 minutos Uma ilustração da região é apresentada na Figura 47 Figura 47 Representação do exercício Fonte O autor Considerando que estime em kmh a velocidade de propagação da primeira onda do tsunami Solução A distância entre o epicentro do terremoto e a cidade de Sandai pode ser determinada aplicandose a lei dos cossenos como segue Como a velocidade média é def nida como a razão entre distância e tempo segue que 82 WWWUNINGABR FUNDAMENTOS BÁSICOS DA ENGENHARIA UNIDADE 2 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Exemplo 36 Em um dado instante a manivela AB gira de tal forma que o ângulo como mostra a Figura 48 Considerando que a 300 m e c 700 m determine a medida de b Figura 48 Representação do exercício Fonte O autor Solução Considerando o triângulo ABC temos que a 300 m e c 700 m Aplicandose a lei dos cossenos como segue 83 83 WWWUNINGABR U N I D A D E 03 SUMÁRIO DA UNIDADE INTRODUÇÃO 84 1 UNIDADES E DIMENSÕES 85 2 TRANSFORMAÇÕES E APLICAÇÕES DE UNIDADES DE MEDIDA 89 3 HOMOGENEIDADE DIMENSIONAL 95 4 O CONJUNTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS 97 SISTEMAS DE UNIDADES CONVERSÃO DE UNIDADES E NÚMEROS COMPLEXOS ENSINO A DISTÂNCIA DISCIPLINA FUNDAMENTOS BÁSICOS DA ENGENHARIA PROF DR RICARDO CARDOSO DE OLIVEIRA PROF DR RODRIGO DE SOUZA RUZZI 84 WWWUNINGABR FUNDAMENTOS BÁSICOS DA ENGENHARIA UNIDADE 3 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA INTRODUÇÃO Caroa alunoa seja bemvindoa à terceira unidade do curso de Fundamentos Básicos da Engenharia Esta unidade tem como objetivo estudar as unidades de medidas os sistemas de unidades de medidas conversão de unidades de medidas números complexos e alguns conceitos que usaremos ao longo do curso de Engenharia O objetivo é também apresentar a você algumas aplicações simples de unidades de medidas e números complexos no curso de Engenharia Nesta unidade você será encorajadoa a pesquisar a solução de algumas situações problema envolvendo Engenharia Esperamos que você por meio da leitura e das vídeoaulas desenvolva raciocínio lógico para a resolução de problemas envolvendo unidades de medidas Lembrese de que o conhecimento acerca de unidades e transformações de unidades é fundamental à formação dos engenheiros seja qual for sua formação A aplicação de números complexos aparece em eletricidade e problemas de vibrações Assim desejamos a você bons estudos 85 WWWUNINGABR FUNDAMENTOS BÁSICOS DA ENGENHARIA UNIDADE 3 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA 1 UNIDADES E DIMENSÕES Uma grandeza física é uma propriedade de um corpo ou particularidade de um fenômeno passível de ser medida e à qual se pode atribuir um valor numérico A medição de uma grandeza pode ser efetuada por comparação direta com um padrão ou com um aparelho de medida medição direta ou ser calculada por meio de uma expressão conhecida à custa das medições de outras grandezas medição indireta Uma dimensão é uma medida de uma grandeza física sem os valores numéricos e a unidade é uma forma de atribuir um número a essa dimensão A Tabela 1 apresenta as dimensões primárias ou dimensões fundamentais que são utilizadas para def nir grandezas físicas diversas bem como suas respectivas unidades no Sistema Internacional SI e no sistema inglês Dimensão Símbolo Unidade SI Unidade inglesa Massa M kg quilograma lb libra Comprimento L m metro ft pé Tempo t s segundo s segundo Temperatura T k kelvin R rankine Corrente elétrica I A ampére A ampére Quantidade de luz C cd candela cd candela Quantidade de matéria N Mol mol Tabela 1 As dimensões primárias e suas unidades Fonte O autor Exemplo 1 A velocidade V de um objeto é dada pela razão entre o deslocamento do objeto em determinado tempo Pode ser considerada a grandeza que mede o quão rápido o objeto se desloca Usando colchetes para denotar a dimensão de a dimensão da grandeza velocidade é Assim dizemos que a grandeza velocidade tem unidade ms no SI e f s no sistema inglês Já a aceleração a é a grandeza que determina a variação da velocidade em relação ao tempo Em outras palavras ela indica o aumento ou a diminuição da velocidade com o passar do tempo Assim a dimensão da grandeza aceleração é Logo dizemos que a grandeza aceleração tem unidade ms2 no SI e f s2 no sistema inglês 86 WWWUNINGABR FUNDAMENTOS BÁSICOS DA ENGENHARIA UNIDADE 3 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Exemplo 2 A Segunda Lei de Newton af rma que em que F é a força m a massa e a é a aceleração desenvolvida pelo corpo Assim usando colchetes para denotar a dimensão de temos que a grandeza força tem dimensão de Logo a grandeza força tem dimensão Portanto dizemos que a grandeza força tem unidade kgms2 no SI e lbf s2 no sistema inglês Exemplo 3 O termo pressão é utilizado em diversas áreas da ciência como uma grandeza escalar que mensura a ação de uma ou mais forças sobre um determinado espaço o qual pode ser líquido gasoso ou sólido A pressão é uma propriedade intrínseca a qualquer sistema Para problemas que envolvem gases e sólidos a expressão matemática utilizada para expressar pressão é dada por em que F é a força e A é a área de atuação da força Assim usando colchetes para denotar a dimensão de temos que a grandeza pressão tem dimensão de A unidade de medida defi nida por kgms2 recebe o nome especial de Newton N em homenagem a Isaac Newton 16431727 Assim podemos afi rmar que 1 1 N A unidade de medida defi nida por kgms2 no SI recebe o nome especial de Pascal Pa em homenagem a Blaise Pascal 16231662 Assim podemos afi rmar que 1 1Pa 87 WWWUNINGABR FUNDAMENTOS BÁSICOS DA ENGENHARIA UNIDADE 3 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Exemplo 4 Em Engenharia energia é um conceito extremamente importante e representa a capacidade de produzir trabalho Esse conceito é também usado em outras áreas científ cas como a biologia física e química Energia potencial é a energia que pode ser armazenada em um sistema físico e tem a capacidade de ser transformada em energia cinética A energia potencial é a energia que corresponde ao trabalho que a força peso realiza A energia potencial pode ser equacionada como em que m é a massa do corpo g é a aceleração gravitacional e h é a altura em que se encontra o objeto de massa m em relação a um nível de referência Dessa forma a dimensão de energia potencial é Por outro lado a energia cinética é a forma de energia que os corpos em movimento possuem sendo proporcional à massa e à velocidade da partícula que se move A energia cinética é equacionada como em que m é a massa do objeto V a velocidade e é uma constante adimensional Dessa forma a dimensão de energia cinética é Assim dizemos que a grandeza energia tem unidade kgm2s2 no SI e lbf 2s2 no sistema inglês Observe que tanto energia potencial quanto energia cinética apresentam a mesma dimensão Isso já era de se esperar pois se trata da mesma grandeza física O conhecimento sobre as dimensões e unidades de algumas grandezas físicas nos ajuda em seu entendimento Na Tabela 2 são apresentadas algumas grandezas físicas suas dimensões e unidades no SI e no sistema inglês de unidades A unidade de medida defi nida por kgm2s2 recebe o nome especial de Joule J em homenagem a James Prescott Joule 18181889 Assim podemos afi rmar que 1 1 J 88 WWWUNINGABR FUNDAMENTOS BÁSICOS DA ENGENHARIA UNIDADE 3 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Grandeza Dimensão Unidades SI Unidades inglesas Área L2 m2 ft2 Volume L3 m3 ft3 Velocidade L T1 m s1 ft s1 Aceleração L T2 m s2 ft s2 Força M L T2 kg m s2 lb ft s2 Pressão M L1 T2 kg m1 s2 lb ft1 s2 Tensão M L1 T2 kg m1 s2 lb ft1 s2 Massa específi ca M L3 kg m3 lb ft3 Viscosidade M L1 T1 kg m1 s1 lb ft1 s1 Energia M L2 T2 kg m2 s2 lb ft2 s2 Trabalho M L2 T2 kg m2 s2 lb ft2 s2 Potência M L2 T3 kg m2 s3 lb ft2 s3 Vazão volumétrica L3 T1 m3 s1 ft3 s1 Vazão mássica M T1 kg s1 lb s1 Tabela 2 Dimensões e unidades de algumas grandezas Fonte O autor Exemplo 5 No século XIX Osborne Reynolds estudou a transição entre os regimes laminar e turbulento em um tubo O parâmetro que determinou o regime de escoamento mais tarde recebeu o nome de número de Reynolds indicado por Re O número de Reynolds é def nido por em que é a massa específ ca do f uido V é a velocidade de escoamento D é o diâmetro do tubo e a viscosidade Com base nessas informações prove que o número de Reynolds é adimensional Solução Segue do enunciado que Assim Logo o número de Reynolds é adimensional 89 WWWUNINGABR FUNDAMENTOS BÁSICOS DA ENGENHARIA UNIDADE 3 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA 2 TRANSFORMAÇÕES E APLICAÇÕES DE UNIDADES DE MEDIDA Em física do Ensino Médio provavelmente seu professor disse que para transformar a velocidade de um objeto de kmh para ms bastava dividir o número pelo fator 36 Em Engenharia é bastante comum a transformação de unidades de medidas Em geral para transformações de unidades usamos tabelas com medidas equivalentes bem como fazemos uso da regra de três Entendamos esse processo Para isso considere a velocidade de 72 kmh sendo que necessitamos dessa grandeza em ms Sabemos que 1 hora é equivalente a 3600 segundos 1 h 3600 s e ainda que 1 km é equivalente a 1000 metros 1 km 1000 m Daí No procedimento anterior ao multiplicar por não alteramos a igualdade pois 1 h 3600 s Analogamente quando multiplicamos por Observe que transformar unidades é uma tarefa simples basta colocar no lugar da unidade o seu valor na nova unidade desejada Depois basta fazer as contas O resultado dessas contas é o tal fator de conversão presente nas inúmeras tabelas disponíveis Efetuemos algumas transformações de unidades usando os conhecimentos de medida de comprimento massa e tempo que provavelmente você estudou nos ensinos Fundamental e Médio Exemplo 6 Em todo processo no qual exista a movimentação de sólidos e f uidos é necessário fazer a medição de vazão mássica O objetivo em mensurar a grandeza é para que se saiba a diferença entre a quantidade de matériaprima que entrou no início do processo e a de produto que saiu ao f nal dele Assim é possível fazer o balanço da produção A vazão mássica é def nida como a razão entre a massa que atravessa a seção transversal de uma tubulação pelo tempo isto é Observe ainda na Tabela 2 que essa grandeza tem dimensão de M T1 e unidade no SI de kgs ou kg s1 Considere um processo industrial cuja vazão massa seja de 45 toneladas por minuto Expresse esse resultado em unidades do SI e do sistema inglês Solução Sabemos que 1 tonelada 1000 kg e 1 minuto 60 s Assim segue que Observe atentamente como são dispostos os fatores para conversão Agora efetuemos a transformação de para o sistema inglês Sabemos que a massa no sistema inglês é designada por libra lb e que 1 lb 0453592 kg Assim 90 WWWUNINGABR FUNDAMENTOS BÁSICOS DA ENGENHARIA UNIDADE 3 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Portanto A unidade de comprimento que o sistema inglês adota como unidade principal é a jarda a qual em 1959 foi def nida em relação ao metro como 091440 m Como múltiplo da jarda tem se a milha sendo que uma milha equivale a 1760 jardas A jarda pode ainda ser dividida em 3 pés sendo que cada pé corresponde a 12 polegadas Assim os valores do sistema inglês podem ser convertidos e expressos no sistema métrico de acordo com a relação 1 mi uma milha 1760 yd 1609344 m 1 yd uma jarda 3 f 091440 m 1 f um pé 12 in 3048 mm 1 in uma polegada 254 mm Assim como para comprimento todas as unidades utilizadas no sistema inglês têm suas equivalentes no SI com exceção do tempo em que o segundo é utilizado em ambos os sistemas Exemplo 7 O croqui da Figura 1 ilustra a planta baixa de um apartamento em que as medidas são dadas em metro Expresse a medida da área desse apartamento em cm2 e f 2 Figura 1 Croqui de um apartamento Fonte O autor 91 WWWUNINGABR FUNDAMENTOS BÁSICOS DA ENGENHARIA UNIDADE 3 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Solução Primeiramente determinemos a área total desse apartamento que é Agora efetuemos as conversões a de m2 para cm2 Sabemos que 1 m 100 cm Note que elevamos ao quadrado o fator de conversão para que a unidade m2 do numerador pudesse ser simplif cada com m2 do denominador b de m2 para f 2 Sabemos que feet f é a unidade de medida do sistema inglês de unidade e a relação de equivalência é tal que 1 f 03048 m Assim Exemplo 8 A Lagoa Rodrigo de Freitas f ca localizada na cidade do Rio de Janeiro e tem profundidade máxima de 7874 in in polegada Nessa condição e assumindo que a massa específ ca da água seja igual a 1 gmL e que a aceleração gravitacional local seja igual a 321 f s2 determine o valor da pressão em unidades SI que a coluna de água exerce na base da Lagoa em sua profundidade máxima Solução Sabemos que a unidade de pressão no SI é Pa lembrese de que Para determinar o valor da pressão no fundo da Lagoa usaremos a lei de Stevin como segue Observe na expressão a incompatibilidade de unidades Efetuemos as transformações uma a uma Acompanhe Daí 92 WWWUNINGABR FUNDAMENTOS BÁSICOS DA ENGENHARIA UNIDADE 3 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Segundo o Sistema Internacional de Unidades 2012 a 11ª CGPM de 1960 adotou uma série de nomes de pref xos e símbolos de pref xos para formar os nomes e símbolos dos múltiplos e submúltiplos decimais das unidades do SI variando de 1012 a 1012 Posteriormente foram incluídos pref xos para 1015 e 1018 12ª CGPM1964 para 1015 e 1018 15ª CGPM 1975 e para 1021 1024 1021 1024 19ª CGPM 1991 Os pref xos e símbolos de pref xos adotados estão dispostos na Tabela 3 Fator Nome do prefi xo Símbolo Fator Nome do Prefi xo Símbolo 101 deca da 101 Deci d 102 hecto h 102 Centi c 103 kilo k 103 Mili m 106 mega M 106 Micro μ 109 giga G 109 Nano n 1012 tera T 1012 Pico p 1015 peta P 1015 Femto f 1018 exa E 1018 Atto a 1021 zetta Z 1021 Zepto z 1024 yotta Y 1024 Yocto y Tabela 3 Pref xos do SI Fonte Sistema Internacional de Unidades 2012 Exemplo 9 Em instalações prediais de água fria o valor máximo da pressão de serviço de um tubo de PVC rígido da classe 15 é de 75 kgfcm2 Expresse essa medida em unidades do SI Solução A unidade de kgfcm2 corresponde à pressão uma vez que é a razão entre unidade de forma e unidade de área No entanto kgfcm2 não é unidade do SI O quilograma força é a força com que a Terra atrai o quilogramapadrão ao nível do mar e a 45º de latitude Devemos pesquisar em tabelas ou livros o fator de conversão entre quilogramaforça e Newton que é Assim Segundo a Tabela 3 o valor encontrado poderá ser reescrito por exemplo como 0754 MPa 93 WWWUNINGABR FUNDAMENTOS BÁSICOS DA ENGENHARIA UNIDADE 3 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Exemplo 10 Um objeto se desloca paralelamente sobre uma superfície plana sem atrito sob a ação de uma força F representada na Figura 2 Figura 2 Ação de uma força F no deslocamento d de um corpo Fonte O autor Sabendo que trabalho W é uma grandeza def nida como em que F é a força d é a distância percorrida pelo objeto e é o ângulo formado entre o ponto de aplicação da força e o deslocamento Determine o trabalho em unidades SI realizado pela força F para movimentar o objeto de x 00 f até x 60 f Solução Como o deslocamento e a força são paralelos ao solo e apresentam o mesmo sentido segue que e Daí Podemos calcular o trabalho simplesmente calculando a área de três retângulos mas devemos f car atentos às unidades Observe Note que dyn e f não são unidades SI Sabemos que o dina dyn foi proposto inicialmente como unidade de força em 1861 por Joseph David Everett como parte do sistema CGS centímetrogramasegundo isto é Assim Note a incompatibilidade de unidades Efetuemos as transformações nas unidades Verif que na Tabela 1 que a unidade é de fato unidade da grandeza trabalho no SI Podemos escrever ainda que Logo o trabalho é de Sistema de unidades CGS é um sistema de unidades de medidas físicas do tipo LMT comprimento massa tempo em que as unidadesbase são o centímetro para o comprimento o grama para a massa e o segundo para o tempo Ele foi adotado em 1881 no Congresso Internacional de Eletricidade 94 WWWUNINGABR FUNDAMENTOS BÁSICOS DA ENGENHARIA UNIDADE 3 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Exemplo 11 A água tem calor específ co à pressão constante em 25ºC igual a 10 Expresse esse valor em Solução Segue que Exemplo 12 O volume de uma barra metálica varia com a temperatura segundo a equação em que V é o volume em cm3 e T a temperatura em ºC Obtenha uma equação em que o volume seja expresso em in3 e a temperatura em ºF Solução Observe na equação que temos o volume em função da temperatura Para que essa equação seja homogênea é necessário que seus termos aditivos tenham a mesma dimensão L3 e unidade cm3 ou seja os termos e devem apresentar a unidade cm3 Note que o termo é o produto de um número real com a variável temperatura T e que o resultado desse produto é cm3 Como T é expresso em ºC temos que a unidade do número é De fato Os termômetros e termopares são os instrumentos capazes de determinar a temperatura de um corpo e a leitura realizada por eles é apresentada em uma escala termométrica Atualmente as escalas termométricas utilizadas são Celsius C Fahrenheit F e Kelvin K A transformação dessas unidades de temperatura pode ser realizada por interpolação linear utilizando os valores defi nidos para ponto de fusão e ebulição de substâncias A equação permite a conversão de temperatura entre as três escalas Importante observar o valor correspondente à variação de temperatura nessas escalas Isso signifi ca que a variação de 1ºC 1 K 18 ºF 95 WWWUNINGABR FUNDAMENTOS BÁSICOS DA ENGENHARIA UNIDADE 3 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Agora para escrevermos uma versão dessa equação na qual o volume seja expresso em in3 e a temperatura em ºF faremos as transformações de unidades termo a termo como segue Acompanhe Logo a versão da equação na qual o volume seja expresso em in3 e a temperatura em ºF é 3 HOMOGENEIDADE DIMENSIONAL Todos conhecemos a expressão não podemos somar três laranjas com duas melancias Isso porque se tratam de coisas distintas Na verdade é a expressão simplif cada de uma lei matemática mais fundamental e global a lei da homogeneidade dimensional enunciada como Todo termo aditivo de uma equação deve ter as mesmas dimensões Todas as equações teóricas em qualquer ciência física são dimensionalmente homogêneas Analisemos os dois casos a seguir Eq 1 Eq 2 em que as unidades de V e Vo ms g ms2 e t s Vejamos primeiramente para a equação 1 segue que Agora para a equação 2 segue que Note que a equação 1 é dimensionalmente consistente enquanto que 2 não o é porque estamos somando termos com dimensões distintas Exemplo 12 Em mecânica dos f uidos a equação de Bernoulli é provavelmente mais discutida e utilizada Essa equação descreve para um escoamento irrotacional de um f uido incompressível a relação entre pressão velocidade e elevação sendo escrita como 96 WWWUNINGABR FUNDAMENTOS BÁSICOS DA ENGENHARIA UNIDADE 3 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA em que P é a pressão é a massa específ ca g a aceleração da gravidade V a velocidade e z a cota referente à altura em relação à horizontal Analisemos as dimensões de cada termo aditivo da equação de Bernoulli Assim Como os três termos da equação apresentam a dimensão L de comprimento podemos garantir que a equação é homogênea Caso as dimensões de qualquer um dos termos fossem diferentes umas das outras isso indicaria algum erro em alguma parte da análise Exemplo 13 Uma importante equação diferencial estudada na teoria das vibrações é escrita como em que m é a massa e x é a posição no instante t Para uma equação dimensionalmente consistente determine as dimensões de c k e Solução Sabemos que é a derivada segunda da posição em relação ao tempo ou seja é a aceleração Sabemos também que é a derivada primeira da posição em relação ao tempo ou seja é a velocidade Assim o termo tem dimensão de ou seja tem dimensão de força Assim os termos e deverão ter dimensão de força para que a equação diferencial dada tenha consistência dimensional Daí Portanto as dimensões de c k e ft são respectivamente e 97 WWWUNINGABR FUNDAMENTOS BÁSICOS DA ENGENHARIA UNIDADE 3 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA 4 O CONJUNTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS O matemático alemão Leonard Euler em 1777 fez uso pela primeira vez da letra para simbolizar O número é tal que e é denominado de unidade imaginária Os números em que aparece a unidade imaginária são denominados de números complexos como proposto por Carl Friedrich Gauss no início do século XIX Número complexo é todo número que pode ser escrito na forma em que e é a unidade imaginária Essa é a forma algébrica do número complexo z O coef ciente a é a parte real de z representada por Rez E o coef ciente b é a parte imaginária de z representada por Im z Dizemos que dois números complexos digamos e são iguais quando Com o surgimento dos números complexos uma ampliação dos conjuntos numéricos aconteceu como ilustrado na Figura 3 Grandeza é tudo aquilo que pode ser medido As grandezas se dividem em escalares e vetoriais As grandezas escalares são aquelas defi nidas por um valor numérico e sua unidade Por outro lado para as grandezas vetoriais necessitase além do valor e da unidade informar o sentido e a direção ademais elas podem ser representadas por um vetor O vídeo a seguir explica esses tipos de grandezas e o Sistema Internacional de Unidades O link de acesso é httpswwwyoutubecomwatchv752KWWVHVU Em geral os valores dos fatores de conversão entre unidades de medidas são tabelados O arquivo a seguir apresenta algumas dessas tabelas Nossa sugestão é que você o imprima e o tenha sempre em mãos O arquivo está disponível em httpswwwfequnicampbrimages storiesdocumentoseq481tabconvunidpdf 98 WWWUNINGABR FUNDAMENTOS BÁSICOS DA ENGENHARIA UNIDADE 3 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Figura 3 O conjunto dos números complexos Fonte O autor Um número complexo pode ser somado subtraído multiplicado e dividido Considere que e sejam números complexos e seja o conjugado de com com As operações são def nidas como segue Adição Subtração Multiplicação Divisão Exemplo 14 Dados os números complexos e Para eles observe as operações a seguir a b c d Para as operações de adição e de multiplicação de números complexos são válidas as propriedades associativa e comutativa além da existência do elemento neutro 99 WWWUNINGABR FUNDAMENTOS BÁSICOS DA ENGENHARIA UNIDADE 3 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Exemplo 15 Sejam A e B dois números complexos tal que em que i denota a unidade imaginária Seja A o conjugado de B Nessas condições determine o resultado da operação Solução Temos que e A é o conjugado de B Dessa forma Assim Exemplo 16 Seja z um número complexo tal que com e e Seja que tem determinante dado por Nessas condições determine o valor de Solução A matriz A pode ser reescrita como e o determinante é Assim como o resultado do determinante é dado segue que Assim temos o sistema cujas soluções são e ou então e o que implica ou Portanto As potências de i são repetidas em grupos de quatro valores seguindo o padrão das potências i0 i1 i2 e i3 Dessa maneira para calcularmos o valor de in sendo n um número natural efetuamos a divisão de n por 4 e o resto dessa divisão é considerado o novo expoente de i 100 WWWUNINGABR FUNDAMENTOS BÁSICOS DA ENGENHARIA UNIDADE 3 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Exemplo 17 Um circuito RLC contém um resistor R um indutor L e um capacitor C O valor da medida da resistência desse tipo de circuito é denominado de impedância Z expressa por um número complexo Em um circuito RLC em série a impedância equivalente Zeq é def nida como Considere o circuito RLC em série da Figura 4 em que e Determine o valor do Zeq Figura 4 Circuito RLC Fonte O autor Solução Da def nição segue que a impedância equivalente é Assim Cada número real associa um ponto na reta real e cada número complexo com associa um único ponto Pab no plano cartesiano e viceversa como mostra a Figura 5 A parte real do número complexo é representada no eixo das abcissas que é denominado de eixo real e a parte imaginária é representada no eixo das ordenadas que é o eixo imaginário Figura 5 Representação geométrica de um número complexo Fonte O autor 101 WWWUNINGABR FUNDAMENTOS BÁSICOS DA ENGENHARIA UNIDADE 3 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Na Figura 5 note que o módulo do número complexo denotado por ou é def nido como Por outro lado o argumento de z denotado por argz é o ângulo formado pelo semieixo real positivo e o vetor determinado no sentido antihorário Assim escrevemos que Como temos que z pode ser reescrito como que é a forma trigonométrica do número complexo z Exemplo 18 Considere a equação em que i é a unidade imaginária Sejam e as raízes dessa equação Nessas condições determine Solução A equação pode ser reescrita como que é uma equação quadrática em C Assim usando a fórmula de Bhaskara temos Daí e Logo Exemplo 19 Considere no plano de ArgandGauss os números complexos e Determine em que Solução Os números complexos são Assim Daí 102 WWWUNINGABR FUNDAMENTOS BÁSICOS DA ENGENHARIA UNIDADE 3 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA O teorema de Stevin estabelece que o valor da diferença de pressão entre dois pontos em um fl uido em repouso é igual ao produto do peso específi co desse fl uido pela diferença de altura entre esses pontos Escrevendo o Teorema de Stevin como uma equação temos Pγhρg h em que h é a diferença de altura entre os pontos γ é o peso específi co ρ é a massa específi ca e g é a aceleração gravitacional 103 103 WWWUNINGABR U N I D A D E 04 SUMÁRIO DA UNIDADE INTRODUÇÃO 104 1 O PROFISSIONAL DE ENGENHARIA 105 2 ESPECIALIDADES DA ENGENHARIA E ÁREAS AFINS 106 3 O CONSELHO DE ENGENHARIA 109 31 CONSELHO FEDERAL DE ENGENHARIA E AGRONOMIA CONFEA 110 32 CONSELHOS REGIONAIS DE ENGENHARIA E AGRONOMIA CREA 111 33 ANOTAÇÃO DE RESPONSABILIDADE TÉCNICA ART 112 4 A ÉTICA NA ENGENHARIA113 5 COMUNICAÇÃO NA ENGENHARIA 115 CONSIDERAÇÕES FINAIS 118 A ENGENHARIA E SUAS PARTICULARIDADES ENSINO A DISTÂNCIA DISCIPLINA FUNDAMENTOS BÁSICOS DA ENGENHARIA PROF DR RICARDO CARDOSO DE OLIVEIRA PROF DR RODRIGO DE SOUZA RUZZI 104 WWWUNINGABR FUNDAMENTOS BÁSICOS DA ENGENHARIA UNIDADE 4 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA INTRODUÇÃO Para um prof ssional de qualquer formação é fundamental saber e conhecer sua própria prof ssão bem com suas respectivas áreas de atuação Assim o prof ssional da área da Engenharia seja ela qual área for precisa conhecer sobre as atribuições cabíveis à sua formação e os respectivos conselhos que controlam isso Além de f car informado sobre o que cabe ao engenheiro e aos conselhos de Engenharia nesta unidade apresentarseão também conceitos de ética relacionados à Engenharia a f m de que ao chegar ao f nal do curso de graduação em Engenharia o estudante esteja apto a exercer sua prof ssão de maneira responsável e ética 105 WWWUNINGABR FUNDAMENTOS BÁSICOS DA ENGENHARIA UNIDADE 4 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA 1 O PROFISSIONAL DE ENGENHARIA Facilmente no nosso dia a dia deparamonos com objetos que são frutos do trabalho de engenheiros o que evidencia a importância dos engenheiros ao trazerem objetos comuns até o mercado Contudo além da produção de objetos comuns os engenheiros foram e são fundamentais para vários feitos da humanidade como o programa Apolo que levou o homem à Lua HOLTZAPPLE e REECE 2013 De modo geral os engenheiros são indivíduos que conseguem combinar os conhecimentos teóricos para a solução de problemas técnicos com os quais a sociedade se depara Assim o que difere o engenheiro de cientistas é o conhecimento prático HOLTZAPPLE e REECE 2013 Embora historicamente a Engenharia tenha sido guiada por experiências adquiridas pela prática ou pela observação o ensino de Engenharia nos moldes atuais busca enfatizar conhecimentos de ciências matemática e economia de modo que a Engenharia seja uma ciência aplicada Atualmente junto com o fator econômico que deve ser levado em consideração na hora de propor uma solução o controle e a utilização de recursos de modo consciente vêm se tornando cada vez mais importantes De acordo com Holtzapple e Reece 2013 a crescente onda de ambientalismo é resultado do nosso reconhecimento de que mudança é necessário de modo que devemos nos tornar cuidadores da natureza e não adversários dela vez que ainda precisamos da natureza para prover elementos básicos à vida como o alimento e o oxigênio Um engenheiro solitário dif cilmente será capaz de vencer os desaf os técnicos da atualidade O desenvolvimento tecnológico se dá por um processo com esforços coordenados de equipes constituídas por cientistas engenheiros tecnólogos técnicos e artesãos Cientistas são estudiosos que trabalham realizando pesquisa mesmo que os resultados não tenham aplicações imediatas Engenheiros aplicam seus conhecimentos e muitas vezes os resultados apresentados pelos cientistas para desenvolver produtos Tecnólogos por sua vez aplicam a ciência e a matemática em problemas que não requerem um conhecimento mais profundo como o de engenheiros e cientistas Os técnicos realizam tarefas específ cas como procedimentos e construção de modelos Artesãos são prof ssionais que muitas vezes não apresentam qualquer formação específ ca na área contudo por experiências apresentam habilidades manuais para executar e construir produtos especif cados por cientistas engenheiros tecnólogos e técnicos HOLTZAPPLE e REECE 2013 Para que o trabalho em equipe apresente um resultado positivo é necessário que todos os membros estejam comprometidos com o mesmo ideal e apresentem respeito pelas ideias dos companheiros A palavra engenheiro data do século XIV e signifi cava construtor de engenhos que na época referiase a máquinas militares É uma palavra derivada do antigo francês engigneor que por sua vez tem origem da palavra latina ingenium que signifi ca qualidade talento genialidade habilidade 106 WWWUNINGABR FUNDAMENTOS BÁSICOS DA ENGENHARIA UNIDADE 4 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA 2 ESPECIALIDADES DA ENGENHARIA E ÁREAS AFINS Embora de modo geral a Engenharia tenha uma base comum ela também apresenta especialidades A Figura 1 apresenta de modo esquemático a origem das principais especialidades da Engenharia Figura 1 Origem das principais especialidades da Engenharia Fonte Holtzapple e Reece 2013 Como se pode ver na Figura 1 uma vasta base de conhecimentos de física é necessária para todas as especialidades da Engenharia enquanto que para algumas especialidades são ainda necessários conhecimentos de química e de biologia A engenharia civil é por muitos autores considerada a mais antiga especialidade e como se pôde observar na Figura 1 a maior parte das especialidades da Engenharia é proveniente dela Os feitos da engenharia civil datam de antes mesmo da construção das pirâmides Contudo a expressão engenheiro civil veio a ser usada somente no século XVIII para distinguir engenheiros que trabalhavam em projetos civis daqueles que trabalhavam em projetos militares HOLTZAPPLE e REECE 2013 107 WWWUNINGABR FUNDAMENTOS BÁSICOS DA ENGENHARIA UNIDADE 4 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA De modo geral os engenheiros civis são responsáveis por projetar construir supervisionar e manter projetos de construção de sistemas de abastecimento de água e de esgoto rodovias represas pontes canais portos aeroportos e edifícios De acordo com Cocian 2017 dentre as atribuições dos engenheiros civis podemse destacar A análise de relatórios mapas e outros dados necessários ao planejamento e desenvolvimento de projetos Estimar custos de uma construção considerando todos os regulamentos e leis além de outros fatores como possíveis problemas ambientais no estágio de planejamento e análise de risco Redigir e compilar bem como submeter solicitações às agências governamentais a f m de se verif car se os projetos atendem às respectivas normas e legislação Realizar eou supervisionar testes de solos a f m de determinar sua adequação para a construção de fundações Testar materiais de construção que serão utilizados nos seus projetos tais como aço asfalto concreto etc Utilizar ferramentas de sof ware para realizar de acordo com as normas vigentes o projeto e os cálculos de estruturas sistemas hidráulicos e planejamento de sistemas de transporte Avaliar e orientar atividades de construção Apresentar de forma clara os resultados de seu trabalho seja em forma de propostas declarações de impacto ambiental seja descrição de propriedades Gerenciar a manutenção como consertos e substituições da infraestrutura pública eou privada Engenheiros civis que exercem atividades em projetos mais complexos costumam buscar algum tipo de especialização sendo as mais comuns nas áreas de construção geotécnica estruturas hidráulica e transportes Engenheiros mecânicos por sua vez realizam pesquisa projeto desenvolvimento e testes de componentes e sistemas térmicos e mecânicos COCIAN 2017 Assim os engenheiros mecânicos constroem motores meios de transporte tais como automóveis navios e aviões estruturas metálicas máquinas ferramentas como tornos fresadoras e furadeiras trocadores de calor sistemas de aquecimento e refrigeração e equipamentos industriais HOLTZAPPLE e REECE 2013 De acordo com Cocian 2017 dentre as atribuições dos engenheiros mecânicos podemse destacar Realizar análise de situações para aplicar dispositivos térmicos e mecânicos a f m de resolver os problemas de forma ef ciente Projetar componentes e dispositivos térmicos e mecânicos Utilizar ferramentas computacionais para a elaboração de projetos e para realizar simulações Desenvolver e testar protótipos de componentes projetados 108 WWWUNINGABR FUNDAMENTOS BÁSICOS DA ENGENHARIA UNIDADE 4 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Realizar a análise dos resultados de testes e fazer adequações no projeto se necessário Gerir e supervisionar processos de manufatura Os engenheiros mecânicos normalmente trabalham em indústrias ou empresas que prestam serviços de Engenharia na área de pesquisa e desenvolvimento bem como em processos de fabricação manutenção e controle da qualidade Na maioria das vezes são prof ssionais que atuarão como parte de uma equipe composta por engenheiros tecnólogos técnicos e outros prof ssionais COCIAN 2017 Assim que os cientistas começaram a entender a eletricidade nasceu a engenharia elétrica Assim a eletricidade passou a servir a sociedade na transmissão de potência e de informações HOLTZAPPLE e REECE 2013 Os engenheiros eletricistas e eletrônicos realizam projetos desenvolvimento e testes de equipamentos elétricos como motores sistemas de navegação de comunicação e de geração de energia elétrica Também realizam projetos de linhas de transmissão de energia e sistemas elétricos embarcados em meios de transportes além de participarem do desenvolvimento de equipamentos eletrônicos de modo geral De acordo com Cocian 2017 são atribuições do engenheiro eletricista e eletrônico Desenvolver novas formas de uso da energia elétrica para melhorar projetos e produtos Elaborar cálculos e relatórios necessários para desenvolver normas para construção e instalação de sistemas elétricos Cuidar da fabricação instalação e testes de equipamentos elétricos a f m de garantir que eles atendam à legislação vigente Avaliar problemas elétricos e recomendar possíveis soluções Realizar projetos de componentes eletrônicos programas ou sistemas para as mais diversas aplicações Determinar os requisitos dos sistemas elétricos com base nas necessidades dos clientes Analisar e avaliar sistemas elétricos determinando procedimentos de teste e manutenção e recomendando possíveis modif cações de projeto Realizar inspeção de sistemas e equipamentos eletrônicos para assegurar que atendam a todas as normas de segurança vigentes Normalmente os engenheiros eletricistas trabalham em indústrias de serviços de Engenharia que envolvem geração transmissão e distribuição de energia elétrica em fábricas de componentes elétricos e eletrônicos em empresas de telecomunicações e de construção civil COCIAN 2017 A engenharia da computação evoluiu a partir da engenharia elétrica Diferente dos cientistas da computação que apresentam ênfase na parte de programação os engenheiros da computação apesar de entenderem tanto de sof ware como de hardware apresentam ênfase em hardware Assim realizam projetos e constroem desde supercomputadores até computadores de uso pessoal conectam computadores em rede realizam a programação e regulam suas funções Dado o desenvolvimento na área de informática nos últimos anos foi uma das especialidades da Engenharia que apresentou maior crescimento HOLTZAPPLE e REECE 2013 109 WWWUNINGABR FUNDAMENTOS BÁSICOS DA ENGENHARIA UNIDADE 4 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA A engenharia química por sua vez está relacionada à utilização dos princípios advindos do conhecimento das ciências para resolução de problemas que envolvem a produção e o uso de produtos químicos sejam eles combustíveis fármacos ou alimentos São os engenheiros químicos que projetam tanto processos como equipamentos para fabricação em larga escala de produtos e substâncias Usualmente os engenheiros químicos trabalham em indústrias de produção química e ref narias além de outros locais onde monitoram e dirigem operações COCIAN 2017 Os engenheiros de produção são prof ssionais que buscam formas de eliminar os desperdícios encontrados em processos de produção assim como buscam utilizar de modo mais ef ciente os recursos humanos maquinário materiais e energia ao se fazer um produto ou ao se prestar um serviço Os engenheiros de produção apresentam grande versatilidade o que lhes permite participar e atuar em uma grande variedade de mercados tanto governamentais como privados Os engenheiros de produção na maioria das vezes participam diretamente das atividades de gestão tanto nas cadeias de fornecimento e produtivas como nas atividades de logística e controle da qualidade a f m de controlar os custos e maximizar as ef ciências COCIAN 2017 Por sua vez os engenheiros de materiais são os responsáveis por desenvolverem processarem e testarem materiais para as mais diversas aplicações desde componentes da turbina de um avião até sacolas plásticas Trabalham com uma grande variedade de materiais como metais cerâmicas polímeros ou compósitos a f m de criar novos materiais combinações ou formas de uso que atendam aos requisitos de projeto sejam eles mecânicos térmicos elétricos magnéticos ou químicos Normalmente os engenheiros de materiais estão presentes em fábricas de componentes para uso em meios de transporte carros aviões navios etc e de componentes eletrônicos além da indústria metalúrgica e de institutos e agências de pesquisas científ ca e tecnológica 3 O CONSELHO DE ENGENHARIA O Conselho Federal de Engenharia e Agronomia CONFEA foi instituído juntamente com os Conselhos Regionais de Engenharia e Agronomia CREA pelo Decreto nº 23569 de 11 de dezembro de 1933 e é a instância superior da f scalização do exercício das prof ssões inseridas no Sistema CONFEACREA Atualmente o exercício das prof ssões de engenheiro e agrônomo é regulado pelo sistema CONFEACREA conforme a Lei nº 5194 de 24 de dezembro de 1966 BRASIL 1966 a qual def ne as atividades prof ssionais o conselho federal CONFEA os conselhos regionais CREA e as câmaras especializadas Assim quando o CREACONFEA realiza o registro de um prof ssional ou emite uma Anotação de Responsabilidade Técnica ART ele atesta que o prof ssional em questão está apto a realizar sua função O prof ssional registrado por sua vez f ca sujeito às regras e ao código de ética prof ssional do sistema CONFEACREA É importante notar que sem registro o prof ssional f ca impossibilitado perante a lei de desempenhar sua função bem como de emitir qualquer tipo de ART 110 WWWUNINGABR FUNDAMENTOS BÁSICOS DA ENGENHARIA UNIDADE 4 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA 31 Conselho Federal de Engenharia e Agronomia CONFEA Tratase de entidade autárquica dotada de personalidade jurídica de direito público que constitui serviço público federal com sede e foro na cidade de BrasíliaDF e jurisdição em todo o território nacional O CONFEA é a instância superior da f scalização do exercício prof ssional da Engenharia e da Agronomia cujas principais atribuições de acordo com a Lei nº 5194 de 24 de dezembro de 1966 são Organizar o regimento interno e estabelecer normas gerais para os regimentos dos Conselhos Regionais Homologar os regimentos internos organizados pelos Conselhos Regionais Examinar e decidir em última instância os assuntos relativos ao exercício das prof ssões de Engenharia e Agronomia podendo anular qualquer ato que não estiver de acordo com a lei Tomar conhecimento e dirimir quaisquer dúvidas suscitadas nos Conselhos Regionais Julgar em última instância os recursos sobre registros decisões e penalidades impostas pelos Conselhos Regionais Baixar e fazer publicar as resoluções previstas para regulamentação e execução da Lei nº 5194 de 24 de dezembro de 1966 e ouvidos os Conselhos Regionais resolver os casos omissos Relacionar os cargos e funções dos serviços estatais paraestatais autárquicos e de economia mista para cujo exercício seja necessário o título de engenheiro ou engenheiro agrônomo Incorporar ao seu balancete de receita e despesa os dos Conselhos Regionais Enviar aos Conselhos Regionais cópia do expediente encaminhado ao Tribunal de Contas até 30 trinta dias após a remessa Publicar anualmente a relação de títulos cursos e escolas de ensino superior assim como periodicamente relação de prof ssionais habilitados Fixar ouvido o respectivo Conselho Regional as condições para que as entidades de classe da região tenham nele direito à representação Promover pelo menos uma vez por ano as reuniões de representantes dos Conselhos Federal e Regionais Examinar e aprovar a proporção das representações dos grupos prof ssionais nos Conselhos Regionais Julgar em grau de recurso as infrações do Código de Ética Prof ssional do engenheiro e engenheiroagrônomo elaborado pelas entidades de classe Aprovar ou não as propostas de criação de novos Conselhos Regionais Fixar e alterar as anuidades emolumentos e taxas a pagar pelos prof ssionais e pessoas jurídicas 111 WWWUNINGABR FUNDAMENTOS BÁSICOS DA ENGENHARIA UNIDADE 4 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Autorizar o presidente a adquirir onerar ou mediante licitação alienar bens imóveis 32 Conselhos Regionais de Engenharia e Agronomia CREA Os Conselhos Regionais CREA são órgãos que realizam a f scalização do exercício das prof ssões de engenharia e agronomia em suas respectivas regiões De acordo com a Lei nº 5194 de 24 de dezembro de 1966 as atribuições dos conselhos regionais são Elaborar e alterar seu regimento interno submetendoo à homologação do Conselho Federal Criar as câmaras especializadas atendendo às condições de maior ef ciência da f scalização estabelecida em lei Examinar reclamações e representações acerca de registros Julgar e decidir em grau de recurso os processos de infração de lei e do Código de Ética enviados pelas câmaras especializadas Julgar em grau de recurso os processos de imposição de penalidades e multas Organizar o sistema de f scalização do exercício das prof ssões reguladas pela Lei nº 5194 de 24 de dezembro de 1966 Publicar relatórios de seus trabalhos e relações dos prof ssionais e f rmas registrados Examinar os requerimentos e processos de registro em geral expedindo as carteiras prof ssionais ou documentos de registro Sugerir ao Conselho Federal medidas necessárias à regularidade dos serviços e à f scalização do exercício das prof ssões reguladas na Lei nº 5194 de 24 de dezembro de 1966 Agir com a colaboração das sociedades de classe e das escolas ou faculdades de engenharia e agronomia nos assuntos relacionados com as prof ssões reguladas Cumprir e fazer cumprir a Lei nº 5194 de 24 de dezembro de 1966 as resoluções baixadas pelo Conselho Federal bem como expedir atos que julguem necessários a isso Criar inspetorias e nomear inspetores especiais para maior ef ciência da f scalização Deliberar sobre assuntos de interesse geral e administrativos e sobre os casos comuns a duas ou mais especializações prof ssionais Julgar decidir ou dirimir as questões da atribuição ou competência das câmaras especializadas quando o conselho regional não possuir número suf ciente de prof ssionais do mesmo grupo para constituir a respectiva câmara Organizar disciplinar e manter atualizado o registro dos prof ssionais e pessoas jurídicas que nos termos da lei inscrevamse para exercer atividades de Engenharia ou Agronomia na Região 112 WWWUNINGABR FUNDAMENTOS BÁSICOS DA ENGENHARIA UNIDADE 4 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Organizar e manter atualizado o registro das entidades de classe e das escolas e faculdades que devam participar da eleição de representantes destinada a compor o Conselho Regional e o Conselho Federal Registrar as tabelas básicas de honorários prof ssionais elaboradas pelos órgãos de classe Autorizar o presidente a adquirir onerar ou mediante licitação alienar bens imóveis 33 Anotação de Responsabilidade Técnica ART A anotação de responsabilidade técnica ART é o documento que def ne para os efeitos legais os responsávelis técnicos pelo desenvolvimento de atividade técnica no âmbito das prof ssões abrangidas pelo sistema CONFEACREA A ART pode ainda ser de três tipos de obra ou serviço de obra ou serviço de rotina de cargo ou função A Lei nº 6496 de 7 de dezembro de 1977 instituiu a ART e sua obrigatoriedade em todo contrato escrito ou verbal para a execução de obras ou prestação de quaisquer serviços prof ssionais referentes à Engenharia e à Agronomia bem como para o desempenho de cargo ou função para a qual sejam necessários habilitação legal e conhecimentos técnicos nas prof ssões abrangidas pelo sistema CONFEACREA Para os efeitos legais é a ART que def nirá quem são os responsáveis técnicos pelo empreendimento de Engenharia ou Agronomia O registro da ART é uma via de mão dupla pois garante perante à sociedade o compromisso do prof ssional com a qualidade do serviço prestado ao mesmo tempo em que garante para o prof ssional a formalização do respectivo acervo técnico ou seja é uma comprovação de sua capacidade técnicoprof ssional O registro da ART deve ser realizado pelo prof ssional antes do início da atividade a que se refere o CREA da região em que será realizada a respectiva atividade A ausência do registro da ART deixa o prof ssional eou a empresa sujeitos a multas e às demais cominações legais Uma revisão interessante sobre os conselhos de Engenharia CREA e CONFEA pode ser vista no vídeo História conheça o CREA e o CONFEA disponível em httpswwwyoutubecomwatchv3XeX0OQdiLI 113 WWWUNINGABR FUNDAMENTOS BÁSICOS DA ENGENHARIA UNIDADE 4 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA 4 A ÉTICA NA ENGENHARIA A ética deve acompanhar o cotidiano dos engenheiros assim como deve acompanhar o cotidiano de todos os cidadãos Desde a Lei nº 5194 de 24 de dezembro de 1966 já está def nido o caráter social das atividades de Engenharia e Agronomia de modo que desde 1971 os prof ssionais do sistema CONFEACREA respondem ao código de ética prof ssional da engenharia da agronomia da geologia da geograf a e da meteorologia que em 2019 chegou à sua 11ª edição Os fundamentos éticos e as condutas necessárias à boa e honesta prática da Engenharia estão enunciados no código de ética prof ssional que tem alcance sobre os prof ssionais quaisquer que sejam seus níveis de formação modalidades ou especializações As modalidades e especializações prof ssionais por sua vez poderão estabelecer preceitos próprios de conduta devido às suas especif cidades contanto que estejam em consonância com o código de ética prof ssional O código de ética prof ssional abrange os seguintes tópicos A identidade das prof ssões e dos prof ssionais cada prof ssional é detentor do saber e deve ser um sujeito proativo para o desenvolvimento Princípios éticos a prática da prof ssão deve sempre ser pautada em princípios éticos Objetivo da prof ssão a prof ssão é um bem social da humanidade assim o prof ssional deve exercêla tendo como objetivos a preservação e o desenvolvimento do ser humano de seu ambiente e de seus valores Natureza da prof ssão a prof ssão é um bem cultural da humanidade e deve sempre ser colocada em prática a serviço da melhoria da qualidade de vida Honradez da prof ssão a prof ssão deve sempre ser vista como um título de honra e conduzida de forma honesta e digna Ef cácia prof ssional o prof ssional deve sempre cumprir os compromissos de forma responsável utilizandose de técnicas adequadas para que os resultados propostos sejam alcançados com qualidade e segurança Relacionamento prof ssional o relacionamento prof ssional deve ocorrer de forma honesta e justa com igualdade de tratamento entre os prof ssionais e lealdade Intervenção prof ssional sobre o meio a prof ssão deve ser exercida de forma sustentável Liberdade e segurança prof ssionais aos que apresentam qualif cação a prof ssão é de livre exercício Deveres dos prof ssionais Ante o ser humano e a seus valores o prof ssional deve oferecer seu saber em prol da humanidade deve sempre conciliar os interesses pessoais com os coletivos Ante a prof ssão o prof ssional deve dedicarse à prof ssão desenvolver a cultura da mesma atuar dentro do limite das suas atribuições 114 WWWUNINGABR FUNDAMENTOS BÁSICOS DA ENGENHARIA UNIDADE 4 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Nas relações com clientes tratar terceiros sempre com equidade resguardar o sigilo prof ssional realizar propagandas com informações corretas respeitar o direito de escolha do destinatário do serviço alertar sobre possíveis riscos Nas relações com outros prof ssionais atuar sempre com lealdade manterse informado sobre as normas Ante o meio exercer as atividades pelos preceitos do desenvolvimento sustentável e buscar em novos projetos minimizar os impactos ambientais e a conservação de energia além de preservar os patrimônios socioculturais Condutas vedadas Ante o ser humano e a seus valores descumprir com os deveres do ofício usar da prof ssão ou função de forma abusiva ou de modo a obter vantagens pessoais prestar orientações ou prescrições técnicas que possam resultar em danos pessoais eou patrimoniais Ante a prof ssão exercer trabalho função ou tarefa para os quais não possui a devida qualif cação omitir ou ocultar fatos que transgridam a ética prof ssional Nas relações com os clientes e empregados formular propostas de salário e apresentar proposta de honorários inferiores ao mínimo prof ssional legal usar de artifícios enganosos para obtenção de vantagens ou impedir o acessos de colaboradores às devidas promoções descuidar da segurança e saúde do trabalho dos colaboradores sob sua coordenação suspender contratos de forma injustif cada e sem comunicação prévia impor ritmo de trabalho excessivo e exercer assédio moral ou pressão psicológica aos colaboradores Nas relações com outros prof ssionais realizar intervenções no trabalho de outro prof ssional sem a autorização do mesmo salvo quando se tratar de exercício do dever legal agir com preconceito eou discriminatoriamente contra outros prof ssionais ou prof ssões Ante o meio prestar orientações ou prescrições técnicas que possam resultar em danos ao ambiente natural à saúde humana ou ao patrimônio cultural Direitos dos prof ssionais Livre associação e organização em corporações prof ssionais Exclusividade do exercício prof ssional Reconhecimento legal Representação institucional Liberdade de escolha de especialização Liberdade de escolha de métodos procedimentos e formas de expressão Uso do título prof ssional Exclusividade do ato de ofício a que se dedicar Remuneração justa e proporcional à tarefa desenvolvida 115 WWWUNINGABR FUNDAMENTOS BÁSICOS DA ENGENHARIA UNIDADE 4 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Meios e condições de trabalho dignos ef cazes e seguros Recusar trabalho contrato função ou tarefa que julgar incompatível com sua titulação ou capacidade À proteção do seu título de seus contratos e de seu trabalho À proteção da propriedade intelectual sobre sua criação À competição honesta no mercado de trabalho À liberdade de associarse a corporações prof ssionais À propriedade de seu acervo técnicoprof ssional Infrações éticas as infrações éticas são todos os atos cometidos contra os princípios éticos É a prática de conduta vedada ou ainda prática que lese os direitos de outrem 5 COMUNICAÇÃO NA ENGENHARIA No decorrer do curso de Engenharia na especialidade de sua escolha o estudante se depara com muitos componentes técnicos considerados como difíceis que enfatizam os cálculos e alguns mais superf ciais considerados como fáceis que abrangem a comunicação na forma escrita e algumas vezes na forma oral Dessa forma o estudante pode equivocadamente concluir que a comunicação não é tão importante na Engenharia De acordo com Holtzapple e Reece 2013 nada poderia ser mais falso do que a conclusão anterior A limitação de tempo faz com que haja no decorrer do curso uma ênfase maior nos componentes técnicos considerados difíceis contudo a comunicação tanto oral como escrita é parte integrante do trabalho de um engenheiro alguns engenheiros relatam que gastam até 80 do seu tempo com tal atividade Ainda de acordo com Holtzapple e Reece 2013 as habilidades de comunicação são provavelmente aquelas que mais afetarão a promoção de um engenheiro no mercado de trabalho principalmente se ele aspirar a algum cargo de gerência Nos dias de hoje com a dif culdade para se destacar no mercado de trabalho é imprescindível que o engenheiro desenvolva habilidades de trabalho em equipe de apresentar e debater ideias de administrar o tempo e mais ainda de comunicação verbal e escrita BISPO ABREU e SANTOS 2017 Para um conhecimento mais aprofundado sobre o código de ética da engenharia acessar o Código de Ética Profi ssional da Engenharia da Agronomia da Geologia da Geografi a e da Meteorologia disponível em httpwwwconfeaorg brsitesdefaultfilesuploadsimceCodEtica11ed1com capasnoinddpdf Código de Ética Profi ssional 116 WWWUNINGABR FUNDAMENTOS BÁSICOS DA ENGENHARIA UNIDADE 4 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Engenheiros independentemente da área de especialização ou do método de comunicação usam palavras e gráf cos para apresentar suas ideias Portanto é extremamente necessário que ao longo da formação eles tenham contato com a comunicação gráf ca pois algumas ideias de Engenharia são complexas para serem descritas somente com palavras HOLTZAPPLE e REECE 2013 Assim ao se redigir um texto ou mesmo preparar uma apresentação oral devese sempre se preparar seguindose três passos Seleção do tema Pesquisa Organização O tema em grande parte das situações é prédeterminado Contudo se se tiver a possibilidade de escolhêlo devese sempre preferir assuntos com os quais já se esteja familiarizado buscando aumentar a segurança A pesquisa por sua vez deve ser sempre realizada buscando se mais de uma fonte de informação tais como revistas técnicas livros anais de conferências relatórios técnicos patentes notas de aula sites da Internet dentre outras fontes É muito importante a indicação da fonte dos dados de forma que não ocorra plágio e para que os dados transmitam maior conf ança Por f m na hora de organizar é fundamental levar em consideração o tipo de audiência a que o texto será dirigido Por mais que um texto esteja bem fundamentado se ele não conseguir passar para o seu públicoalvo a informação de forma clara e organizada de nada ele servirá Em seu dia a dia o engenheiro faz uso de apresentações orais em diversas situações tais como apresentar propostas para potenciais clientes explicar perante a empresa as reais necessidades de investimento construção de novas instalações apresentar para a gerência resultados de análises apresentar produtos e resultados em feiras e conferências Já se percebe que ter uma boa desenvoltura em apresentações colocará o engenheiro em uma posição de destaque aumentando suas chances de ser promovido para posições de alta visibilidade em uma companhia HOLTZAPPLE e REECE 2013 O uso de recursos audiovisuais durante uma apresentação oral é extremamente importante quando se pretende que o público retenha a mensagem transmitida Na Tabela 1 apresentase o resultado de um estudo que mostra a retenção da mensagem transmitida por apresentações apenas orais apenas visuais ou orais e visuais simultaneamente Apresentação Retenção após 3 h Retenção após 3 dias Oral 70 10 Visual 72 20 Oral e visual 85 65 Tabela 1 Retenção da mensagem transmitida Fonte Casagrande e Casagrande 1986 A linguagem escrita por sua vez é desenvolvida desde o ensino básico Contudo a linguagem técnica a ser empregada por um engenheiro é muito diferente da linguagem literária vista nas aulas de Português A linguagem técnica não transmite emoções Não é esse o objetivo dela a qual precisa ser 117 WWWUNINGABR FUNDAMENTOS BÁSICOS DA ENGENHARIA UNIDADE 4 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Precisa de modo geral na Engenharia é essencial que a informação esteja sempre correta Breve textos técnicos devem ser breves e diretos pois o públicoalvo quase sempre é ocupado e não dispõe de muito tempo para f ltrar muitas palavras Clara a clareza do texto é essencial para que ele não admita outras interpretações diferentes da desejada Fácil de entender o objetivo de um texto técnico é expressar uma ideia e não impressionar por meio dela Em um meio industrial e empresarial faz diferença o modo como o engenheiro se comunica Um profi ssional que sabe muito tecnicamente mas que não consegue se expressar de forma clara seria o mais indicado para representar uma empresa externamente São esses questionamentos que nos levam a enxergar que embora o conhecimento técnico seja primordial sem conseguir se expressar adequada e claramente seja na linguagem oral seja na escrita o profi ssional fi ca preso e não consegue se destacar Assim se o que buscamos é sermos profi ssionais de destaque ou mesmo conseguirmos uma colocação de destaque no mercado de trabalho é fundamental que nossa forma de comunicação seja adequada à nossa formação técnica Ante o exposto é fortemente recomendado que ao longo da graduação oa estudante se dedique aos trabalhos às atividades escritas e às apresentações de forma a aperfeiçoar sua capacidade de comunicação 118 WWWUNINGABR FUNDAMENTOS BÁSICOS DA ENGENHARIA UNIDADE 4 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA CONSIDERAÇÕES FINAIS Com o estudo da presente obra foi possível notar a grande responsabilidade que está implícita na prof ssão de um engenheiro bem como conhecer um pouco mais sobre os cálculos as especialidades da Engenharia e seus Conselhos Os conceitos referentes à ética prof ssional são extremamente importantes para qualquer que seja a área de atuação salientandose que o prof ssional que infringe o código de ética f ca sujeito a responder pelos seus atos Como se pôde notar o exercício da comunicação oral e escrita é fundamental para que o prof ssional se destaque Portanto vale lembrar que não só a formação técnica é levada em consideração na hora de se avaliar um prof ssional Por f m desejamos a você uma ótima jornada pela graduação em Engenharia e que você consiga absorver o curso ao máximo chegando ao f nal dele com seu próprio registro no sistema CONFEACREA 119 WWWUNINGABR ENSINO A DISTÂNCIA REFERÊNCIAS BISPO A C da S ABREU T P de SANTOS S Competências necessárias aos engenheiros recémformados para inserção no mercado de trabalho Revista Pensar Engenharia sl v 5 n 2 2017 BONETTO G A MUROLO A C Fundamentos de matemática para engenharias e tecnologias São Paulo Cengage Learning 2017 BRASIL Lei no 5194 de 24 de dezembro de 1966 Regula o exercício das prof ssões de Engenheiro Arquiteto e EngenheiroAgrônomo e dá outras providências Brasília DF Presidência da República 1966 Disponível em httpwwwplanaltogovbrccivil03leisl5194htm Acesso em 9 abr 2020 CASAGRANDE D O CASAGRANDE R D Oral communication in technical professions and businesses Michigan Wadsworth 1986 CESGRANRIO Fundação Cesgranrio Disponível em httpwwwcesgranrioorgbrconcursos principalaspx Acesso em 9 abr 2020 COCIAN L F E Introdução à Engenharia Porto Alegre Bookman 2017 CONFEACREA Código de Ética Prof ssional da Engenharia da Agronomia da Geologia da Geograf a e da Meteorologia 11 ed Brasília Conselho Federal de Engenharia e Agronomia 2019 CONFEA Conselho Federal de Engenharia e Agronomia Disponível em httpwwwconfea orgbrconfeaoconselho Acesso em 9 abr 2020 DICIONÁRIO ETIMOLÓGICO Disponível em httpswwwdicionarioetimologicocombr engenheiro Acesso em 9 abr 2020 ENADE Exame Nacional de Desempenho dos Estudantes Disponível em httpportalinep govbrenade Acesso em 9 abr 2020 ENEM Exame Nacional do Ensino Médio Disponível em httpseneminepgovbr Acesso em 9 abr 2020 FGV Fundação Getúlio Vargas Disponível em httpsfgvprojetosfgvbrconcursos Acesso em 9 abr 2020 GOMES F M Précálculo operações equações funções e trigonometria São Paulo Cengage Learning 2018 HARRIS D C Análise Química Quantitativa 5 ed Rio de Janeiro LTC 2001 HOLTZAPPLE M T REECE W D Introduç ã o à engenharia Rio de Janeiro LTC 2013 120 WWWUNINGABR ENSINO A DISTÂNCIA REFERÊNCIAS PINELLI N Seis benefícios que as nanopartículas podem trazer para a humanidade In Época Negócios 2016 Disponível em httpsepocanegociosglobocomCaminhosparaofuturo Saudenoticia201610seisbenef ciosquenanoparticulaspodemtrazerparahumanidade html Acesso em 9 abr 2020 SILVEIRA Ê MARQUES C Matemática compreensão e prática 9 ano São Paulo Moderna 2008 UFMT Universidade Federal de Mato Grosso Disponível em httpwwwconcursosufmtbr Portal Acesso em 9 abr 2020 VEJA Telescópio Hubble encontra galáxia mais distante já vista In Veja 2016 Disponível em httpsvejaabrilcombrcienciatelescopiohubbleencontragalaxiamaisdistantejavista Acesso em 9 abr 2020 VUNESP Fundação Vunesp Disponível em httpswwwvunespcombrbvestibular Acesso em 9 abr 2020 Seu Futuro é aqui PÓS GRADUAÇÃO MODALIDADE A DISTÂNCIA MATRICULESE AGORA eaduningaedubrposgraduacaoead IGC 4 O MELHOR CENTRO UNIVERSITÁRIO DO PARANÁ 4 DO PAÍS MÉTODO DE ENSINO DINÂMICO DIPLOMA IGUAL AO DO PRESENCIAL 100 PROFESSORES MESTRES E DOUTORES EAD UNINGÁ