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Análise e Comportamento das Estruturas Esforços Internos HIBBELER R C Estática Mecânica para Engenheiros São Paulo Pearson 2012 Capítulo 5 Equilíbrio de um corpo rígido Capítulo 7 Forças internas Bibliografia Esforços internos Para este corpo temos Eixo y corresponde ao eixo principal do corpo eou ao eixo perpendicular a área da seção transversal Eixos x e z correspondem aos eixos perpendiculares ao eixo principal do corpo eou paralelo a área da seção transversal Esforços Força Normal 𝑁𝑦 Força Cortante 𝑉𝑥 e 𝑉𝑧 Momento Fletor 𝑀𝑥 e 𝑀𝑧 Momento Torçor 𝑀𝑦 Vínculos Vínculos é ligação que temos entre as estruturas Servem para impedir movimentos de translação deslocar em uma mesma direção e de rotação girar o corpo Apoio Vínculos serve para impedir movimento no ponto onde tenho o apoio Movimento de translação sendo impedido para impedir o deslocamento de acontecer surge uma força de reação Movimento de rotação sendo impedido para impedir a rotação de acontecer surge um momento de reação Vínculos Tipos de apoio Vínculos impedir movimento no ponto onde tenho apoio Móvel impede o deslocamento translação na direção do apoio Fixo impede o deslocamento translação na direção do apoio e na direção perpendicular ao apoio Engaste impede o deslocamento translação na direção do apoio e na direção perpendicular ao apoio e também impede a rotação de acontecer A B Em A tenho apoio móvel e em B tenho apoio fixo Uma força na vertical tende a gerar deslocamento em todos os pontos da viga na vertical porém o ponto A não se desloca na vertical por causa do apoio móvel para impedir esse deslocamento tenho uma força de reação na vertical e o ponto B não se desloca na vertical por causa do apoio fixo para impedir esse deslocamento tenho uma força de reação na vertical Uma força na horizontal tende a gerar deslocamento em todos os pontos da viga na horizontal porém o ponto B não se desloca na horizontal por causa do apoio fixo para impedir esse deslocamento tenho uma força de reação na horizontal A B Em A tenho apoio engaste e em B não tenho apoio Uma força na vertical tende a gerar deslocamento em todos os pontos da viga na vertical porém o ponto A não se desloca na vertical por causa do apoio engaste para impedir esse deslocamento tenho uma força de reação na vertical Uma força na horizontal tende a gerar deslocamento em todos os pontos da viga na horizontal porém o ponto A não se desloca na horizontal por causa do apoio engaste para impedir esse deslocamento tenho uma força de reação na horizontal Todos pontos da viga tendem a rotacionar porém o ponto A não rotaciona por causa do engaste para impedir essa rotação tenho um momento de reação Apoio móvel rolete ou apoio de primeiro gênero impede o movimento de translação em 1 direção Para impedir este movimento temos uma força de reação no ponto onde temos o apoio Apoio fixo pino ou apoio de segundo gênero impede o movimento de translação em 2 direções Para impedir este movimento temos duas forças de reação no ponto onde temos o apoio Engaste ou apoio de terceiro gênero impede o movimento de translação em 2 direções e o movimento de rotação em 1 direção Para impedir este movimento temos duas forças de reação e um momento no ponto onde temos o apoio TIPÓ SÍMBOLO FORÇA HORIZONTAL FORÇA VERTICAL ROTAÇÃO ANALOGIA Exemplos de apoios Ponto material possui massa porém suas dimensões são desprezíveis Por exemplo para treliças o nó é tratado como ponto material Corpo rígido possui massa e suas dimensões não são desprezíveis Por exemplo uma viga é trada como um corpo rígido Por exemplo para treliça como um todo é trada como um corpo rígido Estática Estaticidade é o corpo ter estabilidade não se movimenta Para um corpo ter estabilidade é necessário que ele esteja impedido de sedeslocar em pelo menos um ponto na horizontal e dois pontos na vertical ou dois pontos na horizontal e um ponto na vertical Equilíbrio Dizer que um corpo está em equilíbrio estático significa que ele não pode mover e nem girar ou seja ele está em repouso As condições para o equilíbrio em duas dimensões são ൞ σ 𝐹𝑦 0 σ 𝐹𝑥 0 σ 𝑀𝑧 0 Classificação Isostática é quando o número de apoios vínculos é o suficiente para dar estabilidade Isso ocorre quando o número de equações é igual ao número de reações e tem estabilidade Hipostática é quando o corpo não tem estabilidade Isso ocorre quando o número de apoios é menor que o número de equações ou o corpo não tem estabilidade Hiperestática é quando o número de apoios vínculos é maior que a quantidade suficiente para dar estabilidade Isso ocorre quando o número de apoios é maior que o número de equações e o corpo possui estabilidade Tem estabilidade Isostático Hiperestático Não tem estabilidade Hipostático Tem estabilidade Não 1 reação para 3 equações de equilíbrio Hipostático Tem estabilidade Não 2 reações para 3 equações de equilíbrio Hipostático Tem estabilidade Sim 3 reações para 3 equações de equilíbrio Isostático Tem estabilidade Sim 3 reações para 3 equações de equilíbrio Isostático Tem estabilidade Não não impede deslocamento na horizontal 2 reações para 3 equações de equilíbrio Hipostático Tem estabilidade Não não impede deslocamento na horizontal 3 reações para 3 equações de equilíbrio mesmo assim será Hipostático porque não tem estabilidade Tem estabilidade Sim 4 reações para 3 equações de equilíbrio Hirestático Vigas elementos delgados que são projetados para suportarem carregamentos aplicados perpendicularmente a seu eixo longitudinal Cargas das Vigas Carga distribuída constante linear Força aplicada Momento aplicado Classificação das Vigas Isostáticas Viga simplesmente apoiada Viga em balanço Viga apoiada com uma extremidade em balanço Vigas Viga simplesmente apoiada Viga em balanço Viga apoiada com a extremidade em balanço No plano temos 3 equações de equilíbrio para um corpo rígido ൞ σ 𝐹𝑦 0 σ 𝐹𝑥 0 σ 𝑀𝑧 0 Para que a viga seja isostática temos que ter no máximo 3 reações de apoio e a viga tem que ter estabilidade Para a iésima partícula de um corpo rígido há duas forças que atuam na partícula esforços externos que representa por exemplo os efeitos das forças gravitacional elétrica magnética ou das forças de contato entre a iésima partícula e os corpos ou partículas vizinhos não incluídos no corpo esforços internos resultante que são provocado pela interação com as partículas adjacentes Equilíbrio dos corpos rígidos Cargas coplanares Esforços externos Reações de apoio𝐴𝑦 𝐴𝑥 𝑀𝐴 Cargas aplicadas P1 e P2 Esforços internos esforços na seção aa Diagrama de esforços internos em vigas Momento fletor MB Normal NB Cortante VB Por conta dos carregamentos aplicados as vigas desenvolvem forças internas cisalhante ou cortante V e normal N e momento fletor M que em geral variam de ponto para ponto ao longo do eixo da viga Para determinar V N e M internos em função de x ao longo de uma viga será necessário localizar a seção ou corte imaginário a uma distância arbitrária x da extremidade da viga e formular V N e M em termos de x Se um corpo está em equilíbrio então qualquer parte dele também está em equilíbrio Conclusão quando fazemos uma seção imaginária na viga dividimos a viga em duas partes Analisando uma das partes podemos dizer que os esforços internos que aparecem se equilibram com os esforços externos da parte analisada Somatório das forças internas será igual a zero pois essas forças entre as partículas do próprio corpo ocorrem aos pares são opostas e de mesma intensidade conforme a terceira lei de Newton Somatório das forças externas σ𝐹𝑥 0 σ𝐹𝑦 0 σ𝑀𝑧 0 CONVENÇÃO DE SINAL PARA VIGAS Normal CortanteCisalhante Momento Fletor Representação gráfica V x x M Diagrama de cortante Diagrama de momento fletor N x Diagrama de Normal 1 Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga mostrada na figura Exemplos 𝐴𝑦 𝐴𝑥 𝐶𝑦 Em A apoio fixo Em B apoio móvel Reações de apoio σ 𝑀𝐴 0 120 3 𝐶𝑦 6 0 𝐶𝑦 60 𝐾𝑁 σ 𝐹𝑦 0 𝐴𝑦 120 60 0 𝐴𝑦 60 𝐾𝑁 σ 𝐹𝑥 0 𝐴𝑥 0 O sentido das forças de reação para cima para baixo para direita para esquerda eu chuto Quando isolamos a força de reação na equação se der positivo o resultado significa que o meu chute de sentido estava certo caso contrário tenho que inverter o sentido da força 60 𝑆1 60 x 60 V KN M KNm 180 𝑆2 x 60 Cortante Momento Esforços internos Seção 𝑆1 AB 0 𝑥 3 σ 𝐹𝑦 0 60 𝑉𝐴𝐵 0 𝑉𝐴𝐵 60 𝐾𝑁 σ 𝑀𝑆1 0 60 𝑥 𝑀𝐴𝐵 0 𝑀𝐴𝐵 60 𝑥 Ponto A 𝑀𝐴 𝑥 0 60 0 0 Ponto B 𝑀𝐵 𝑥 3 60 3 180 KNm Seção 𝑆2 BC 3 𝑥 6 σ 𝐹𝑦 0 60 120 𝑉𝐵𝐶 0 𝑉𝐵𝐶 60 𝐾𝑁 σ 𝑀𝑆2 0 60 𝑥 120 𝑥 3 𝑀𝐵𝐶 0 𝑀𝐴𝐵 60𝑥 360 Ponto B 𝑀𝐵 𝑥 3 60 3 360 180 KNm Ponto C 𝑀𝐵 𝑥 6 60 6 360 0 60 𝑆1 60 x 60 V KN M KNm 180 𝑆2 x 60 Seção 𝑺𝟏 AB 𝟎 𝒙 𝟑 𝑉𝐴𝐵 60 𝐾𝑁 𝑀𝐴𝐵 60 𝑥 ቊ 𝑀𝐴 0 0 𝑀𝐵 3 180 KNm Seção 𝑺𝟐 BC 𝟑 𝒙 6 𝑉𝐵𝐶 60 𝐾𝑁 𝑀𝐴𝐵 60𝑥 360 ቊ𝑀𝐵 3 180 KNm 𝑀𝐶 6 0 KNm Observações Se tenho força vertical aplicada no diagrama de cortante no ponto onde a força está aplicada tenho uma descontinuidade que vale essa força No ponto A tenho 60 KN No ponto B tenho 120 KN No ponto C tenho 60 KN Se tenho momento aplicado no diagrama de momento no ponto onde o momento está aplicado tenho uma descontinuidade que vale esse momento Observe que em B não temos momento aplicado por isso o momento que tenho em B para o trecho AB é igual ao momento que tenho em B para o trecho BC O diagrama de cortante e momento sempre vão sair de zero e chegar azero Observe que no ponto A o cortante vale zero e 60 KN 60 KN é a força aplicada em A e no ponto C o cortante vale zero e 60 KN 60 KN é a força aplicada em C 𝑉 120 2 Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga mostrada na figura Para 𝑀0 100 Nm e 𝐿 4 m Apoio em A fixo Apoio em C móvel Reação de apoio σ 𝑀𝐴 0 𝐶𝑦 4 100 0 𝐶𝑦 25 𝑁 σ 𝐹𝑦 0 𝐴𝑦 25 0 𝐴𝑦 25 𝑁 σ 𝐹𝑥 0 𝐴𝑥 0 𝐴𝑦 𝐴𝑥 𝐶𝑦 25 25 Cortante Momento Diagrama de esforços internos Trecho AB seção S1 0 𝑥 2 𝑚 σ 𝑀𝑆1 0 25𝑥 𝑀 0 𝑀 𝑥 25𝑥 𝑀𝐴 𝑀 0 0 𝑀𝐵 𝑀 2 25 2 50 𝑁𝑚 σ 𝐹𝑦 0 25 𝑉 0 𝑉 𝑥 25 𝑁 Trecho BC seção S2 2 𝑥 4 𝑚 σ 𝑀𝑆2 0 25𝑥 100 𝑀 0 𝑀 𝑥 25𝑥 100 𝑀𝐵 𝑀 2 25 2 100 50 𝑁𝑚 𝑀𝐶 𝑀 4 25 4 100 0 σ 𝐹𝑦 0 25 𝑉 0 𝑉 𝑥 25 𝑁 S1 x 25 25 25 V N S2 25 M Nm 50 50 3 Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga mostrada na figura Para 𝑤 20 Nm e 𝐿 4 m Reações de apoio σ 𝑀𝐴 0 𝐵𝑦 4 80 2 0 𝐵𝑦 40 𝑁 σ 𝐹𝑦 0 𝐴𝑦 80 40 0 𝐴𝑦 40 𝑁 Observa que a viga é simétrica logo metade da carga resultante de 80 N o apoio A absorve e a outra metade o apoio B absorve A B 𝐴𝑦 𝐵𝑦 20 4 80 𝑁 2 m B 40 40 A B 40 40 A S x 20𝑥 𝑥 2 40 40 V N M Nm A derivada do momento em relação a x me dá o cortante 𝒅𝑴𝒙 𝒅𝒙 𝑽 𝒙 Se o cortante for zero o momento é máximo neste ponto Além disto a derivada do cortante em relação x me dá a carga distribuída 𝑑𝑉 𝑑𝑥 𝑤 Diagrama de esforços internos Seção S trecho AB 0 𝑥 4 𝑚 σ 𝑀𝑆 0 40𝑥 20𝑥 𝑥 2 𝑀 0 𝑀 𝑥 10𝑥2 40𝑥 𝑀𝐴 𝑀 0 0 𝑀𝐵 𝑀 4 10 42 40 4 0 σ 𝐹𝑦 0 40 20𝑥 𝑉 0 𝑉 𝑥 20𝑥 40 𝑉𝐴 𝑉 0 40 𝑁 𝑉𝐵 𝑉 4 20 4 40 40 𝑁 Momento máximo 𝑉 𝑥 20𝑥 40 0 𝑥 2𝑚 𝑀𝑚á𝑥 𝑀 2 10 22 40 2 40 𝑁𝑚 40 4 Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga mostrada na figura Para 𝑃 100 N e 𝐿 3 m 𝐴𝑦 𝑀0 Em A engaste Em B não tenho apoio Reações de apoio σ 𝑀𝐴 0 𝑀0 100 3 0 𝑀0 300 𝑁𝑚 σ 𝐹𝑦 𝐴𝑦 100 0 𝐴𝑦 100 𝑁 100 𝑁 300 𝑁𝑚 100 𝑁 300 𝑁𝑚 S x Cortante Momento Trecho AB seção S 0 𝑥 3 σ 𝑀𝑆 0 100𝑥 300 𝑀 0 𝑀 𝑥 100𝑥 300 𝑀𝐴 𝑀 0 300 𝑁𝑚 𝑀𝐵 𝑀 3 100 3 300 0 σ 𝐹𝑦 0 100 𝑉 0 𝑉 𝑥 100 𝑁 V N 100 M Nm Vamos pensar 𝒅𝑴 𝒅𝒙 𝑽 e 𝒅𝑽 𝒅𝒙 𝒘 Logo da carga distribuída para o cortante acrescento 1 grau na equação e do cortante para o momento acrescento 1 grau na equação Nesta viga 𝑤 0 logo 𝑉 equação constante e 𝑀 equação de 1 grau 300 5 Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga mostrada na figura Para 𝑤0 12 Nm e 𝐿 1 m 𝐴𝑦 𝑀0 Reações de apoio σ 𝑀𝐴 0 12 05 𝑀0 0 𝑀0 6 𝑁𝑚 σ 𝐹𝑦 0 𝐴𝑦 12 0 𝐴𝑦 12 𝑁 Cortante Momento Seção S trecho AB 0 𝑥 1 𝑚 σ 𝑀𝑆 0 6 12𝑥 𝑥 2 12𝑥 𝑀 0 𝑀 𝑥 6𝑥2 12𝑥 6 ቊ𝐴 𝑀 0 6 𝑁𝑚 𝐵 𝑀 1 0 𝑁𝑚 σ 𝐹𝑦 0 12 12𝑥 𝑉 0 𝑉 𝑥 12𝑥 12 ቊ𝐴 𝑉 0 12 𝑁 𝐵 𝑉 1 0 𝑁 Obs 𝑑𝑀 𝑑𝑥 𝑉 Logo 𝑉 𝑥 𝑑6𝑥212𝑥6 𝑑𝑥 12𝑥 12 12 1 12 S x 12𝑥 12 V N M Nm 6 Extra Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga mostrada na figura A B 𝐴𝑦 𝐵𝑦 Reações de apoio σ 𝑀𝐴 0 𝐵𝑦 9 27 6 0 𝐵𝑦 18 𝐾𝑁 σ 𝐹𝑦 0 𝐴𝑦 27 18 0 𝐴𝑦 9 𝐾𝑁 Cortante Momento Equação da carga distribuída linear 𝑦 𝑥 𝑎𝑥 𝑏 A 0 𝑎 0 𝑏 𝑏 0 B 6 𝑎 9 𝑏 𝑎 23 𝑤 𝑥 2 3 x σ 𝑀𝑠 0 9𝑥 𝑥𝑤 2 𝑥 3 𝑀 0 9𝑥 𝑥2 3x 2 𝑥 3 𝑀 0 9𝑥 𝑥2 3 𝑥 3 𝑀 0 𝑀 𝑥 𝑥3 9 9𝑥 ቊ𝐴 𝑀 0 0 𝐵 𝑀 9 0 σ 𝐹𝑦 0 9 𝑥2 3x 2 𝑉 0 𝑉 𝑥 𝑥2 3 9 ቊ 𝐴 𝑉 0 9 𝐵 𝑉 9 18 𝐾𝑁 Onde o cortante é zero o momento é máximo 𝑉 𝑥 𝑥2 3 9 0 𝑥 5196 𝑚 então 𝑀𝑚á𝑥 𝑀 5196 312 𝐾𝑁𝑚 𝐵 𝐻 2 9 6 2 27 𝐾𝑁 2 3 9 6 𝑚 S 𝑥 𝑤 𝑥 2 3 x 𝑥𝑤 2 𝑥 3 9 18 312 V N M Nm A B 9 18 312 V N M Nm Equação da carga distribuída linear 𝑤 𝑥 2 3 x Momento fletor 𝑀 𝑥 𝑥3 9 9𝑥 Cortante 𝑉 𝑥 𝑥2 3 9 𝑑𝑀 𝑑𝑥 𝑉𝑥 𝑥3 9 9𝑥 3𝑥² 9 9 𝑑𝑉 𝑑𝑥 𝑤𝑥 𝑥2 3 9 2𝑥 3 9 18 MÉTODO GRÁFICO PARA CONSTRUIR DIAGRAMAS DE FORÇA CORTANTE E MOMENTO FLETOR Região de carga distribuída 𝑤 a derivada do cortante é a carga distribuída e a derivada do momento fletor é o cortante 𝑑𝑉 𝑑𝑥 𝑤 𝑥 e 𝑑𝑀 𝑑𝑥 𝑉 Regiões de força e momento concentrados quando o corpo tem uma força pontual aplicada no diagrama de cortante haverá uma descontinuidade neste ponto que vale a força aplicada Quando o corpo tem um momento fletor aplicado no diagrama de momento fletor haverá uma descontinuidade neste ponto que vale o momento aplicado 𝑉 𝐹 e 𝑀 𝑀0 𝑀 momento fletor 𝑉 cortante 𝑊 carga distribuída 𝐹 força pontual Aspecto geral das curvas nos diagramas Carregamento Curva dos diagramas Observação Vx Mx carga distribuída linear 1 grau 2 grau 3 grau Mx V e Vx w carga distribuída constante w 1 grau 2 grau Mx V e Vx w força pontual F força constante 1 grau ΔV F momento fletor aplicado M0 Nula momento constante ΔM M0 Aspecto geral das curvas nos diagramas V esforço cortante M momento fletor 𝑑𝑉 𝑑𝑥 𝑤 𝑥 𝑑𝑀 𝑑𝑥 𝑉 6 Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga mostrada na figura Exemplo Reações de apoio σ 𝑀𝐶 𝐴𝑦 10 80 15 5 25 25 0 𝐴𝑦 575 𝐾𝑁 σ 𝐹𝑦 0 575 15 25 𝐶𝑦 0 𝐶𝑦 3425 𝐾𝑁 Cortante Momento Trecho Carregamento Cortante Momento AB w0 constante 1 grau BC wconstante 1 grau 2 grau O diagrama sempre sai de zero e chega a zero Se tiver força aplicada nos extremos essa força será o meu cortante interno Cortante 𝑉𝐴 0 575 575 𝐾𝑁 𝑉𝐵 𝐴𝐵 575 𝐾𝑁 𝑉𝐵 𝐵𝐶 575 15 925 𝐾𝑁 𝑉𝐶 925 25 3425 𝐾𝑁 Para o cortante caminhando na viga da esquerda para a direita basta seguir o sentido da força que consigo montar o diagrama respeitando a convenção de sinais 𝐴𝑦 𝐶𝑦 5 5 25 925 575 3425 V N Cortante Momento Trecho Carregamento Cortante Momento AB w0 constante 1 grau BC wconstante 1 grau 2 grau O diagrama sempre sai de zero e chega a zero Momento 𝑀𝐴 0 80 80 𝐾𝑁𝑚 𝑀𝐵 80 575 5 10875 𝐾𝑁𝑚 𝑀𝐶 0 𝐾𝑁𝑚 𝐴𝑦 𝐶𝑦 5 5 25 925 575 3425 V N M Nm 80 10875 Note que os esforços externos se equilibram com os esforços internos Se faço uma seção em um ponto e avalio o lado esquerdo da seção os esforços internos estarão a direita do corpo e os externos a esquerda do corpo Para o momento por exemplo Se os esforços externos estiverem rotacionando no sentido horário é por que os esforços internos estão rotacionando no senti antihorário o que internamente será positivo Logo podemos calcular os esforços internos tomando como referência apenas os esforços externos Neste caso se faço uma seção em B e pego para a esquerda se a rotação estiver no sentido horário internamente terei um valor positivo porque significa que o esforço interno que está a direita da viga rotaciona sentido contrário que é antihorário positivo internamente Para o cortante de forma análoga se faço uma seção em B e pego para a esquerda se a força estiver para cima internamente terei um valor positivo porque significa que o esforço interno que está a direita da viga terá uma força sentido contrário que é para baixo positivo internamente 𝐴𝑦 𝐶𝑦 Esforços externos Esforços internos 7 Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga mostrada na figura C D Reações de apoio σ 𝑀𝐵 0 30 𝐴𝑦 3 10 15 0 𝐴𝑦 5 𝐾𝑁 σ 𝐹𝑦 5 𝐵𝑦 10 0 𝐵𝑦 5𝐾𝑁 Cortante Trecho CA zero Trecho AB constante Trecho BD constante Caminhando na viga da esquerda para a direita de C para D posso seguir o sentido da força para montar o diagrama 𝑉𝐶 0 𝑉𝐴 𝐶𝐴 0 𝑉𝐴 𝐴𝐵 0 5 5 𝐾𝑁 𝑉𝐵 𝐴𝐵 5 𝐾𝑁 𝑉𝐵 𝐵𝐷 5 5 10 𝐾𝑁 𝑉𝐷 𝐵𝐷 10 10 0 𝐾𝑁 𝐴𝑦 𝐵𝑦 V KN 10 5 C D Momento Trecho CA constante Trecho AB 1 grau Trecho BD 1 grau Vou imaginar seções nos pontos onde tenho carga A e B 𝑀𝐶 0 30 30 𝐾𝑁𝑚 𝑀𝐴 30 𝐾𝑁𝑚 Ou 𝑀𝐴 10 45 5 3 30 𝐾𝑁𝑚 𝑀𝐵 10 15 15 𝐾𝑁𝑚 Ou 𝑀𝐵 30 5 3 15 𝐾𝑁𝑚 𝑀𝐷 0 5 5 V KN 10 5 15 30 M KNm 8 Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga mostrada na figura A B C D A B C D Reações de apoio σ 𝑀𝐴 0 10 5 𝐶𝑦 4 20 4 4 2 0 𝐶𝑦 255 𝐾𝑁 σ 𝐹𝑦 0 𝐴𝑦 4 4 255 10 0 𝐴𝑦 05 𝐾𝑁 Cortante Trecho AB e BC 1 grau Trecho CD constante 𝑉𝐴 05 𝑉𝐵 05 4 2 75 𝑉𝐶 𝐵𝐶 75 8 155 𝑉𝐶 𝐶𝐷 155 255 10 𝑉𝐷 10 10 0 𝐶𝑦 𝐴𝑦 05 75 155 10 V KN A B C D Momento Trecho AB e BC 2 grau Trecho CD 1 grau 𝑀𝐴 0 𝑀𝐵 𝐴𝐵 05 2 8 1 7 𝐾𝑁𝑚 𝑀𝐵 𝐵𝐶 7 20 13 𝐾𝑁𝑚 𝑀𝐶 10 1 10 𝐾𝑁𝑚 𝑀𝐷 0 Momento máximo entre AB 𝑥 2𝑥 05 75 𝑥 205 0575 0125 𝑚 𝑀𝑚á𝑥 05 0125 4 0125 0125 2 𝑀𝑚á𝑥 003125 𝐾𝑁𝑚 𝐶𝑦 𝐴𝑦 05 75 155 10 V KN M KNm 7 13 10 x 2x x0125 003125 9 Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga mostrada na figura A B C A B C 𝐴𝑦 𝑀0 σ 𝑀𝐴 𝑀0 2 5 25 10 6 0 𝑀0 85 𝐾𝑁𝑚 σ 𝐹𝑦 0 𝐴𝑦 2 5 10 0 𝐴𝑦 20 𝐾𝑁 Cortante Trecho AB 1 grau Trecho BC constante 𝑉𝐴 20 𝐾𝑁 𝑉𝐵 20 2 5 10 𝐾𝑁 𝑉𝐶 10 10 0 Momento Trecho AB 2 grau Trecho BC 1 grau 𝑀𝐴 85 𝐾𝑁𝑚 𝑀𝐵 10 1 10 𝐾𝑁𝑚 𝑀𝐶 0 20 10 10 85 10 Pórtico é composto de diversos membros ligados em suas extremidades Pórticos Santa Clara do Sul Existem quatro tipos fundamentais de quadros isostáticos planos aos quais chamamos quadros simples quando ocorrem isoladamente Biapoiado Engastado e livre Triarticulado Com articulação e tirante 1 Quadro biapoiado Estamos diante de um problema novo que faremos recair em problema já conhecido resolução de vigas biapoiadas A B C D E F G A C E E F G G D B Obter as reações de apoio Tratase de uma estrutura isostática Obter os diagramas solicitantes Os diagramas são marcados como no caso das vigas perpendicularmente ao eixo de cada barra A B C D E F G Convenção de sinais Normal não tem convenção Momento Fletor Cortante Em pórticos teremos Esforço normal a força tem que estar na direção da barra Esforço cortante a força tem que estar perpendicular a barra Momento fletor a rotação é em torno do eixo perpendicular a barra 10 Obter os diagramas solicitantes para o quadro Exemplo 𝐴𝑦 𝐴𝑥 𝐻𝑥 Reações de apoio σ 𝑀𝐴 0 4 4 2 8 2 16 2 6 𝐻𝑥 4 0 𝐻𝑥 5 𝐾𝑁 σ 𝐹𝑦 0 𝐴𝑦 2 8 0 𝐴𝑦 16 𝐾𝑁 σ 𝐹𝑥 0 𝐴𝑥 4 2 5 0 𝐴𝑥 3 𝐾𝑁 16 3 5 16 3 5 Normal 16 7 0 0 0 𝑁𝐴𝐵𝐵𝐷 16 𝐾𝑁 𝑁𝐷𝐸 4 3 7 𝐾𝑁 DE 16 3 5 Cortante Caminhando de baixo para cima para barra vertical Caminhando da esquerda para direita para barra horizontal Posso seguir o sentido da força que monto o diagrama 3 7 𝑉𝐴 3 𝐾𝑁 𝑉𝐵 𝐴𝐵 3 𝐾𝑁 𝑉𝐵 𝐵𝐷 3 4 7 𝐾𝑁 𝑉𝐶 0 𝑉𝐷 𝐶𝐷 0 2 2 4 𝐾𝑁 𝑉𝐷 𝐷𝐸 4 16 12 𝐾𝑁 4 12 5 7 0 16 3 5 Momento 12 40 4 44 8 16 24 10 16 3 5 Momento Barra ABD 𝑀𝐴 0 𝑀𝐵 3 4 12 𝐾𝑁𝑚 𝑀𝐷 𝐵𝐷 3 8 4 4 40 𝐾𝑁𝑚 Barra CD 𝑀𝐶 0 𝑀𝐷 𝐶𝐷 2 2 1 4 𝐾𝑁𝑚 Barra DE 𝑀𝐷 𝐷𝐸 3 8 4 4 2 2 1 44 𝐾𝑁𝑚 𝑀𝐸 𝐷𝐸 16 2 2 5 4 8 𝐾𝑁𝑚 Barra FE 𝑀𝐹 16 𝐾𝑁𝑚 𝑀𝐸 𝐷𝐸 16 𝐾𝑁𝑚 Barra HGE 𝑀𝐸 𝐺𝐸 5 4 2 2 24 𝐾𝑁𝑚 𝑀𝐺 5 2 10 𝐾𝑁𝑚 𝑀𝐻 0 𝑀𝐷 𝐵𝐷 3 8 4 4 40 𝐾𝑁𝑚 𝑀𝐷 𝐶𝐷 2 2 1 4 𝐾𝑁𝑚 𝑀𝐷 𝐷𝐸 3 8 4 4 2 2 1 44 𝐾𝑁𝑚 Ainda o nó D tem que estar em equilíbrio Nó D 16 3 5 Para o ponto D Pertence a barra CD Pertence a barra DE Pertence a barra BD CD DE BD Nó D Nó E 𝑀𝐸 𝐷𝐸 16 2 2 5 4 8 𝐾𝑁𝑚 𝑀𝐸 𝐷𝐸 16 𝐾𝑁𝑚 𝑀𝐸 𝐺𝐸 5 4 2 2 24 𝐾𝑁𝑚 Solução novamente deste mesmo exemplo Normal A força é normal a barra se ela estiver na direção da barra Se a força aponta para a barra é compressão Se a força aponta para fora da barra é tração Para a barra AD e FE e EH a força vai ser normal a barra se ela estiver na direção vertical Para a barra CD e DE a força vai ser normal a barra se ela estiver na direção horizontal A B C D E F G H 16 16 0 7 0 0 0 AB BD CD DE FE EG G H 2 2 0 kN 16 kNm 2 00 kNm 4 0 kN 4 00 m 6 00 m Cortante A força é cortante a barra se ela estiver perpendicular a barra Para as barras verticais AB BD GH GE e EF a força é cortante a barra se estiver na direção horizontal Para as barras horizontais CD e DE a força é cortante a barra se estiver na direção vertical Para o diagrama de cortante para a barra vertical se eu caminhar na barra de baixo para cima posso seguir o sentido das forças que estarei respeitando a convenção de sinais mostrada na figura Represento os valores positivos para a direita e negativos para a esquerda Para o diagrama de cortante para a barra horizontal se eu caminhar na barra da esquerda para a direita posso seguir o sentido das forças que estarei respeitando a convenção de sinais mostrada na figura Represento os valores positivos para a cima e negativos para baixo 5 KN 3 KN 16 KN Barras verticais Para esquerda De cima para baixo sigo o sentido da força 𝑉𝐴 𝐴𝐵 3𝐾𝑁 𝑉𝐵 𝐴𝐵 3𝐾𝑁 𝑉𝐵 𝐵𝐷 3 4 7𝐾𝑁 𝑉𝐷 𝐵𝐷 7 7 0 𝐾𝑁 𝑉𝐻 𝐻𝐺 5𝐾𝑁 𝑉𝐺 𝐻𝐺 5𝐾𝑁 𝑉𝐺 𝐺𝐸 5 2 7𝐾𝑁 𝑉𝐸 𝐺𝐸 7 7 0𝐾𝑁 Barras horizontais Para cima Da esquerda para a direita sigo o sentido da força 𝑉𝐶 𝐶𝐷 0𝐾𝑁 𝑉𝐷 𝐶𝐷 0 2 2 4𝐾𝑁 𝑉𝐷 𝐷𝐸 4 16 12𝐾𝑁 𝑉𝐸 𝐷𝐸 12 2 6 0𝐾𝑁 A B C D E F G H 3 7 5 7 4 12 Barras verticais Para esquerda De cima para baixo sigo o sentido da força 𝑉𝐴 𝐴𝐵 3𝐾𝑁 𝑉𝐵 𝐴𝐵 3𝐾𝑁 𝑉𝐵 𝐵𝐷 3 4 7𝐾𝑁 𝑉𝐷 𝐵𝐷 7 7 0 𝐾𝑁 𝑉𝐻 𝐻𝐺 5𝐾𝑁 𝑉𝐺 𝐻𝐺 5𝐾𝑁 𝑉𝐺 𝐺𝐸 5 2 7𝐾𝑁 𝑉𝐸 𝐺𝐸 7 7 0𝐾𝑁 Barras horizontais Para cima Da esquerda para a direita sigo o sentido da força 𝑉𝐶 𝐶𝐷 0𝐾𝑁 𝑉𝐷 𝐶𝐷 0 2 2 4𝐾𝑁 𝑉𝐷 𝐷𝐸 4 16 12𝐾𝑁 𝑉𝐸 𝐷𝐸 12 2 6 0𝐾𝑁 Momento A B C D E F G H 12 40 10 24 16 4 44 8 D Equilíbrio de momento nos nós 4 44 40 E 16 24 8 5 KN 3 KN 16 KN Barra ABD 𝑀𝐴 𝐴𝐵𝐷 0 extremidade 𝑀𝐵 𝐴𝐵𝐷 3 4 12 𝐾𝑁𝑚 𝑀𝐷 𝐴𝐵𝐷 3 8 4 4 40 𝐾𝑁𝑚 5 KN 3 KN 16 KN Barra HGE 𝑀𝐻 𝐻𝐺 0 extremidade 𝑀𝐺 𝐻𝐺 5 2 10 𝐾𝑁𝑚 𝑀𝐸 𝐺𝐸 5 4 2 2 24 𝐾𝑁𝑚 Barra FE 𝑀𝐸 𝐹𝐸 16 𝐾𝑁𝑚 𝑀𝐹 𝐸𝐹 16 𝐾𝑁𝑚 extremidade e tenho o momento de 16 KNm aplicado 5 KN 3 KN 16 KN Barra CD 𝑀𝐶 𝐶𝐷 0 extremidade 𝑀𝐷 𝐶𝐷 2 2 1 4 𝐾𝑁𝑚 Barra DE 𝑀𝐷 𝐷𝐸 2 2 1 4 4 3 8 44 𝐾𝑁𝑚 𝑀𝐸 𝐸𝐷 5 4 2 2 16 8 𝐾𝑁𝑚 2 Quadro engastado e livre Obter as reações de apoio Obter os diagramas solicitantes 11 Obter os diagramas solicitantes para o quadro Exemplo 𝐴𝑦 𝐴𝑥 𝑀0 Reações de apoio σ 𝑀𝐴 0 𝑀0 1 2 1 1 3 2 4 2 0 𝑀0 1 𝐾𝑁𝑚 σ 𝐹𝑦 0 𝐴𝑦 1 3 4 0 𝐴𝑦 8 𝐾𝑁 σ 𝐹𝑥 0 𝐴𝑥 1 0 𝐴𝑥 1 𝐾𝑁 1 4 4 𝐾𝑁 2 8 1 1 1 1 8 Normal A força vai ser normal a barra se ela estiver na direção da barra A B C D E F 8 𝑁𝐴𝐵 8 𝐾𝑁 𝑁𝐵𝐶 8 1 7 𝐾𝑁 𝑁𝐷𝐸 0 𝑁𝐸𝐹 0 𝑁𝐵𝐶 1𝐾𝑁 7 1 0 0 1 1 Cortante A força é cortante a barra se ela estiver perpendicular a barra Caminhando na barra da esquerda para a direita ou de cima para baixo posso seguir o sentido da força que consigo montar o diagrama 8 A B C D E F 1 0 𝑉𝐴 1 𝐾𝑁 𝑉𝐵 𝐴𝐵 1 𝐾𝑁 𝑉𝐵 𝐵𝐸 1 1 0 𝑉𝐸 𝐵𝐸 0 3 4 𝑉𝐷 3 𝐾𝑁 𝑉𝐸 𝐷𝐸 3 𝐾𝑁 𝑉𝐸 𝐸𝐹 3 8 1 4 𝐾𝑁 𝑉𝐹 4 4 0 1 𝑉𝐵 𝐵𝐶 8 3 4 1 𝐾𝑁 𝑉𝐶 1 1 0 1 1 8 Momento Representamos o diagrama de momento de acordo com as fibras tracionadas A B C D E F 1 𝑀𝐴 1 𝐾𝑁𝑚 𝑀𝐵 𝐴𝐵 1 1 2 3 𝐾𝑁𝑚 𝑀𝐵 𝐵𝐶 1 1 1 𝐾𝑁𝑚 𝑀𝐵 𝐵𝐸 1 1 2 1 1 2 𝐾𝑁𝑚 𝑀𝐸 𝐸𝐷 1 1 4 1 1 1 2 2 𝐾𝑁𝑚 𝑀𝐸 𝐸𝐵 3 2 6 𝐾𝑁𝑚 𝑀𝐸 𝐸𝐹 4 2 8 𝐾𝑁𝑚 3 1 2 6 8 AB 1 1 x 2 3 EB 1 1 x 4 1 x 1 1 x 2 2 3 Quadros triarticulados Na rótula só tem transmissão de forças Por tanto o momento fletor na rótula é nulo 4 Quadros biapoiado com articulação e tirante ou escora No tirante existe apenas esforço normal 12 Obter os diagramas solicitantes para o quadro Exemplo A B C D E F Em CF temos um tirante absorve somente esforço normal Em E temos uma rótula momento interno é zero Reações de apoio σ 𝑀𝐴 0 𝐹𝑦 4 12 2 5 1 0 𝐹𝑦 725 𝐾𝑁 σ 𝐹𝑦 0 𝐴𝑦 12 725 0 𝐴𝑦 475 𝐾𝑁 σ 𝐹𝑥 0 5 𝐴𝑥 0 𝐴𝑥 5 𝐾𝑁 𝑀𝐸 0 𝑁𝑥 3 0 𝑁𝑥 0 𝑁 0 𝐹𝑦 𝐴𝑦 𝐴𝑥 𝑁 𝑁 𝐹𝑦 𝑁 𝑁𝑦 𝑁𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑁𝑦 𝑁 3 5 𝑁𝑦 𝑁 3 5 𝑐𝑜𝑠 𝑁𝑥 𝑁 4 5 𝑁𝑥 𝑁 4 5 A B C D E F 725 475 5 0 V KN N KN M KNm Proposto 𝐴𝑦 𝐴𝑥 𝐹𝑦 A B C D E F σ 𝑀𝐴 0 𝐹𝑦4 5 1 12 2 0 𝐹𝑦 475 𝐾𝑁 σ 𝐹𝑦 0 𝐴𝑦 12 475 0 𝐴𝑦 725 𝐾𝑁 σ 𝐹𝑥 0 𝐴𝑥 5 0 𝐴𝑥 5 𝐾𝑁 Momento interno na rótula vale zero 𝑁 𝑁 𝑀𝐷 0 5 2 𝑁 4 5 3 0 𝑁 417 𝐾𝑁 N KN V KN M KNm ecosistema ānima
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Análise e Comportamento das Estruturas Esforços Internos HIBBELER R C Estática Mecânica para Engenheiros São Paulo Pearson 2012 Capítulo 5 Equilíbrio de um corpo rígido Capítulo 7 Forças internas Bibliografia Esforços internos Para este corpo temos Eixo y corresponde ao eixo principal do corpo eou ao eixo perpendicular a área da seção transversal Eixos x e z correspondem aos eixos perpendiculares ao eixo principal do corpo eou paralelo a área da seção transversal Esforços Força Normal 𝑁𝑦 Força Cortante 𝑉𝑥 e 𝑉𝑧 Momento Fletor 𝑀𝑥 e 𝑀𝑧 Momento Torçor 𝑀𝑦 Vínculos Vínculos é ligação que temos entre as estruturas Servem para impedir movimentos de translação deslocar em uma mesma direção e de rotação girar o corpo Apoio Vínculos serve para impedir movimento no ponto onde tenho o apoio Movimento de translação sendo impedido para impedir o deslocamento de acontecer surge uma força de reação Movimento de rotação sendo impedido para impedir a rotação de acontecer surge um momento de reação Vínculos Tipos de apoio Vínculos impedir movimento no ponto onde tenho apoio Móvel impede o deslocamento translação na direção do apoio Fixo impede o deslocamento translação na direção do apoio e na direção perpendicular ao apoio Engaste impede o deslocamento translação na direção do apoio e na direção perpendicular ao apoio e também impede a rotação de acontecer A B Em A tenho apoio móvel e em B tenho apoio fixo Uma força na vertical tende a gerar deslocamento em todos os pontos da viga na vertical porém o ponto A não se desloca na vertical por causa do apoio móvel para impedir esse deslocamento tenho uma força de reação na vertical e o ponto B não se desloca na vertical por causa do apoio fixo para impedir esse deslocamento tenho uma força de reação na vertical Uma força na horizontal tende a gerar deslocamento em todos os pontos da viga na horizontal porém o ponto B não se desloca na horizontal por causa do apoio fixo para impedir esse deslocamento tenho uma força de reação na horizontal A B Em A tenho apoio engaste e em B não tenho apoio Uma força na vertical tende a gerar deslocamento em todos os pontos da viga na vertical porém o ponto A não se desloca na vertical por causa do apoio engaste para impedir esse deslocamento tenho uma força de reação na vertical Uma força na horizontal tende a gerar deslocamento em todos os pontos da viga na horizontal porém o ponto A não se desloca na horizontal por causa do apoio engaste para impedir esse deslocamento tenho uma força de reação na horizontal Todos pontos da viga tendem a rotacionar porém o ponto A não rotaciona por causa do engaste para impedir essa rotação tenho um momento de reação Apoio móvel rolete ou apoio de primeiro gênero impede o movimento de translação em 1 direção Para impedir este movimento temos uma força de reação no ponto onde temos o apoio Apoio fixo pino ou apoio de segundo gênero impede o movimento de translação em 2 direções Para impedir este movimento temos duas forças de reação no ponto onde temos o apoio Engaste ou apoio de terceiro gênero impede o movimento de translação em 2 direções e o movimento de rotação em 1 direção Para impedir este movimento temos duas forças de reação e um momento no ponto onde temos o apoio TIPÓ SÍMBOLO FORÇA HORIZONTAL FORÇA VERTICAL ROTAÇÃO ANALOGIA Exemplos de apoios Ponto material possui massa porém suas dimensões são desprezíveis Por exemplo para treliças o nó é tratado como ponto material Corpo rígido possui massa e suas dimensões não são desprezíveis Por exemplo uma viga é trada como um corpo rígido Por exemplo para treliça como um todo é trada como um corpo rígido Estática Estaticidade é o corpo ter estabilidade não se movimenta Para um corpo ter estabilidade é necessário que ele esteja impedido de sedeslocar em pelo menos um ponto na horizontal e dois pontos na vertical ou dois pontos na horizontal e um ponto na vertical Equilíbrio Dizer que um corpo está em equilíbrio estático significa que ele não pode mover e nem girar ou seja ele está em repouso As condições para o equilíbrio em duas dimensões são ൞ σ 𝐹𝑦 0 σ 𝐹𝑥 0 σ 𝑀𝑧 0 Classificação Isostática é quando o número de apoios vínculos é o suficiente para dar estabilidade Isso ocorre quando o número de equações é igual ao número de reações e tem estabilidade Hipostática é quando o corpo não tem estabilidade Isso ocorre quando o número de apoios é menor que o número de equações ou o corpo não tem estabilidade Hiperestática é quando o número de apoios vínculos é maior que a quantidade suficiente para dar estabilidade Isso ocorre quando o número de apoios é maior que o número de equações e o corpo possui estabilidade Tem estabilidade Isostático Hiperestático Não tem estabilidade Hipostático Tem estabilidade Não 1 reação para 3 equações de equilíbrio Hipostático Tem estabilidade Não 2 reações para 3 equações de equilíbrio Hipostático Tem estabilidade Sim 3 reações para 3 equações de equilíbrio Isostático Tem estabilidade Sim 3 reações para 3 equações de equilíbrio Isostático Tem estabilidade Não não impede deslocamento na horizontal 2 reações para 3 equações de equilíbrio Hipostático Tem estabilidade Não não impede deslocamento na horizontal 3 reações para 3 equações de equilíbrio mesmo assim será Hipostático porque não tem estabilidade Tem estabilidade Sim 4 reações para 3 equações de equilíbrio Hirestático Vigas elementos delgados que são projetados para suportarem carregamentos aplicados perpendicularmente a seu eixo longitudinal Cargas das Vigas Carga distribuída constante linear Força aplicada Momento aplicado Classificação das Vigas Isostáticas Viga simplesmente apoiada Viga em balanço Viga apoiada com uma extremidade em balanço Vigas Viga simplesmente apoiada Viga em balanço Viga apoiada com a extremidade em balanço No plano temos 3 equações de equilíbrio para um corpo rígido ൞ σ 𝐹𝑦 0 σ 𝐹𝑥 0 σ 𝑀𝑧 0 Para que a viga seja isostática temos que ter no máximo 3 reações de apoio e a viga tem que ter estabilidade Para a iésima partícula de um corpo rígido há duas forças que atuam na partícula esforços externos que representa por exemplo os efeitos das forças gravitacional elétrica magnética ou das forças de contato entre a iésima partícula e os corpos ou partículas vizinhos não incluídos no corpo esforços internos resultante que são provocado pela interação com as partículas adjacentes Equilíbrio dos corpos rígidos Cargas coplanares Esforços externos Reações de apoio𝐴𝑦 𝐴𝑥 𝑀𝐴 Cargas aplicadas P1 e P2 Esforços internos esforços na seção aa Diagrama de esforços internos em vigas Momento fletor MB Normal NB Cortante VB Por conta dos carregamentos aplicados as vigas desenvolvem forças internas cisalhante ou cortante V e normal N e momento fletor M que em geral variam de ponto para ponto ao longo do eixo da viga Para determinar V N e M internos em função de x ao longo de uma viga será necessário localizar a seção ou corte imaginário a uma distância arbitrária x da extremidade da viga e formular V N e M em termos de x Se um corpo está em equilíbrio então qualquer parte dele também está em equilíbrio Conclusão quando fazemos uma seção imaginária na viga dividimos a viga em duas partes Analisando uma das partes podemos dizer que os esforços internos que aparecem se equilibram com os esforços externos da parte analisada Somatório das forças internas será igual a zero pois essas forças entre as partículas do próprio corpo ocorrem aos pares são opostas e de mesma intensidade conforme a terceira lei de Newton Somatório das forças externas σ𝐹𝑥 0 σ𝐹𝑦 0 σ𝑀𝑧 0 CONVENÇÃO DE SINAL PARA VIGAS Normal CortanteCisalhante Momento Fletor Representação gráfica V x x M Diagrama de cortante Diagrama de momento fletor N x Diagrama de Normal 1 Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga mostrada na figura Exemplos 𝐴𝑦 𝐴𝑥 𝐶𝑦 Em A apoio fixo Em B apoio móvel Reações de apoio σ 𝑀𝐴 0 120 3 𝐶𝑦 6 0 𝐶𝑦 60 𝐾𝑁 σ 𝐹𝑦 0 𝐴𝑦 120 60 0 𝐴𝑦 60 𝐾𝑁 σ 𝐹𝑥 0 𝐴𝑥 0 O sentido das forças de reação para cima para baixo para direita para esquerda eu chuto Quando isolamos a força de reação na equação se der positivo o resultado significa que o meu chute de sentido estava certo caso contrário tenho que inverter o sentido da força 60 𝑆1 60 x 60 V KN M KNm 180 𝑆2 x 60 Cortante Momento Esforços internos Seção 𝑆1 AB 0 𝑥 3 σ 𝐹𝑦 0 60 𝑉𝐴𝐵 0 𝑉𝐴𝐵 60 𝐾𝑁 σ 𝑀𝑆1 0 60 𝑥 𝑀𝐴𝐵 0 𝑀𝐴𝐵 60 𝑥 Ponto A 𝑀𝐴 𝑥 0 60 0 0 Ponto B 𝑀𝐵 𝑥 3 60 3 180 KNm Seção 𝑆2 BC 3 𝑥 6 σ 𝐹𝑦 0 60 120 𝑉𝐵𝐶 0 𝑉𝐵𝐶 60 𝐾𝑁 σ 𝑀𝑆2 0 60 𝑥 120 𝑥 3 𝑀𝐵𝐶 0 𝑀𝐴𝐵 60𝑥 360 Ponto B 𝑀𝐵 𝑥 3 60 3 360 180 KNm Ponto C 𝑀𝐵 𝑥 6 60 6 360 0 60 𝑆1 60 x 60 V KN M KNm 180 𝑆2 x 60 Seção 𝑺𝟏 AB 𝟎 𝒙 𝟑 𝑉𝐴𝐵 60 𝐾𝑁 𝑀𝐴𝐵 60 𝑥 ቊ 𝑀𝐴 0 0 𝑀𝐵 3 180 KNm Seção 𝑺𝟐 BC 𝟑 𝒙 6 𝑉𝐵𝐶 60 𝐾𝑁 𝑀𝐴𝐵 60𝑥 360 ቊ𝑀𝐵 3 180 KNm 𝑀𝐶 6 0 KNm Observações Se tenho força vertical aplicada no diagrama de cortante no ponto onde a força está aplicada tenho uma descontinuidade que vale essa força No ponto A tenho 60 KN No ponto B tenho 120 KN No ponto C tenho 60 KN Se tenho momento aplicado no diagrama de momento no ponto onde o momento está aplicado tenho uma descontinuidade que vale esse momento Observe que em B não temos momento aplicado por isso o momento que tenho em B para o trecho AB é igual ao momento que tenho em B para o trecho BC O diagrama de cortante e momento sempre vão sair de zero e chegar azero Observe que no ponto A o cortante vale zero e 60 KN 60 KN é a força aplicada em A e no ponto C o cortante vale zero e 60 KN 60 KN é a força aplicada em C 𝑉 120 2 Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga mostrada na figura Para 𝑀0 100 Nm e 𝐿 4 m Apoio em A fixo Apoio em C móvel Reação de apoio σ 𝑀𝐴 0 𝐶𝑦 4 100 0 𝐶𝑦 25 𝑁 σ 𝐹𝑦 0 𝐴𝑦 25 0 𝐴𝑦 25 𝑁 σ 𝐹𝑥 0 𝐴𝑥 0 𝐴𝑦 𝐴𝑥 𝐶𝑦 25 25 Cortante Momento Diagrama de esforços internos Trecho AB seção S1 0 𝑥 2 𝑚 σ 𝑀𝑆1 0 25𝑥 𝑀 0 𝑀 𝑥 25𝑥 𝑀𝐴 𝑀 0 0 𝑀𝐵 𝑀 2 25 2 50 𝑁𝑚 σ 𝐹𝑦 0 25 𝑉 0 𝑉 𝑥 25 𝑁 Trecho BC seção S2 2 𝑥 4 𝑚 σ 𝑀𝑆2 0 25𝑥 100 𝑀 0 𝑀 𝑥 25𝑥 100 𝑀𝐵 𝑀 2 25 2 100 50 𝑁𝑚 𝑀𝐶 𝑀 4 25 4 100 0 σ 𝐹𝑦 0 25 𝑉 0 𝑉 𝑥 25 𝑁 S1 x 25 25 25 V N S2 25 M Nm 50 50 3 Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga mostrada na figura Para 𝑤 20 Nm e 𝐿 4 m Reações de apoio σ 𝑀𝐴 0 𝐵𝑦 4 80 2 0 𝐵𝑦 40 𝑁 σ 𝐹𝑦 0 𝐴𝑦 80 40 0 𝐴𝑦 40 𝑁 Observa que a viga é simétrica logo metade da carga resultante de 80 N o apoio A absorve e a outra metade o apoio B absorve A B 𝐴𝑦 𝐵𝑦 20 4 80 𝑁 2 m B 40 40 A B 40 40 A S x 20𝑥 𝑥 2 40 40 V N M Nm A derivada do momento em relação a x me dá o cortante 𝒅𝑴𝒙 𝒅𝒙 𝑽 𝒙 Se o cortante for zero o momento é máximo neste ponto Além disto a derivada do cortante em relação x me dá a carga distribuída 𝑑𝑉 𝑑𝑥 𝑤 Diagrama de esforços internos Seção S trecho AB 0 𝑥 4 𝑚 σ 𝑀𝑆 0 40𝑥 20𝑥 𝑥 2 𝑀 0 𝑀 𝑥 10𝑥2 40𝑥 𝑀𝐴 𝑀 0 0 𝑀𝐵 𝑀 4 10 42 40 4 0 σ 𝐹𝑦 0 40 20𝑥 𝑉 0 𝑉 𝑥 20𝑥 40 𝑉𝐴 𝑉 0 40 𝑁 𝑉𝐵 𝑉 4 20 4 40 40 𝑁 Momento máximo 𝑉 𝑥 20𝑥 40 0 𝑥 2𝑚 𝑀𝑚á𝑥 𝑀 2 10 22 40 2 40 𝑁𝑚 40 4 Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga mostrada na figura Para 𝑃 100 N e 𝐿 3 m 𝐴𝑦 𝑀0 Em A engaste Em B não tenho apoio Reações de apoio σ 𝑀𝐴 0 𝑀0 100 3 0 𝑀0 300 𝑁𝑚 σ 𝐹𝑦 𝐴𝑦 100 0 𝐴𝑦 100 𝑁 100 𝑁 300 𝑁𝑚 100 𝑁 300 𝑁𝑚 S x Cortante Momento Trecho AB seção S 0 𝑥 3 σ 𝑀𝑆 0 100𝑥 300 𝑀 0 𝑀 𝑥 100𝑥 300 𝑀𝐴 𝑀 0 300 𝑁𝑚 𝑀𝐵 𝑀 3 100 3 300 0 σ 𝐹𝑦 0 100 𝑉 0 𝑉 𝑥 100 𝑁 V N 100 M Nm Vamos pensar 𝒅𝑴 𝒅𝒙 𝑽 e 𝒅𝑽 𝒅𝒙 𝒘 Logo da carga distribuída para o cortante acrescento 1 grau na equação e do cortante para o momento acrescento 1 grau na equação Nesta viga 𝑤 0 logo 𝑉 equação constante e 𝑀 equação de 1 grau 300 5 Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga mostrada na figura Para 𝑤0 12 Nm e 𝐿 1 m 𝐴𝑦 𝑀0 Reações de apoio σ 𝑀𝐴 0 12 05 𝑀0 0 𝑀0 6 𝑁𝑚 σ 𝐹𝑦 0 𝐴𝑦 12 0 𝐴𝑦 12 𝑁 Cortante Momento Seção S trecho AB 0 𝑥 1 𝑚 σ 𝑀𝑆 0 6 12𝑥 𝑥 2 12𝑥 𝑀 0 𝑀 𝑥 6𝑥2 12𝑥 6 ቊ𝐴 𝑀 0 6 𝑁𝑚 𝐵 𝑀 1 0 𝑁𝑚 σ 𝐹𝑦 0 12 12𝑥 𝑉 0 𝑉 𝑥 12𝑥 12 ቊ𝐴 𝑉 0 12 𝑁 𝐵 𝑉 1 0 𝑁 Obs 𝑑𝑀 𝑑𝑥 𝑉 Logo 𝑉 𝑥 𝑑6𝑥212𝑥6 𝑑𝑥 12𝑥 12 12 1 12 S x 12𝑥 12 V N M Nm 6 Extra Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga mostrada na figura A B 𝐴𝑦 𝐵𝑦 Reações de apoio σ 𝑀𝐴 0 𝐵𝑦 9 27 6 0 𝐵𝑦 18 𝐾𝑁 σ 𝐹𝑦 0 𝐴𝑦 27 18 0 𝐴𝑦 9 𝐾𝑁 Cortante Momento Equação da carga distribuída linear 𝑦 𝑥 𝑎𝑥 𝑏 A 0 𝑎 0 𝑏 𝑏 0 B 6 𝑎 9 𝑏 𝑎 23 𝑤 𝑥 2 3 x σ 𝑀𝑠 0 9𝑥 𝑥𝑤 2 𝑥 3 𝑀 0 9𝑥 𝑥2 3x 2 𝑥 3 𝑀 0 9𝑥 𝑥2 3 𝑥 3 𝑀 0 𝑀 𝑥 𝑥3 9 9𝑥 ቊ𝐴 𝑀 0 0 𝐵 𝑀 9 0 σ 𝐹𝑦 0 9 𝑥2 3x 2 𝑉 0 𝑉 𝑥 𝑥2 3 9 ቊ 𝐴 𝑉 0 9 𝐵 𝑉 9 18 𝐾𝑁 Onde o cortante é zero o momento é máximo 𝑉 𝑥 𝑥2 3 9 0 𝑥 5196 𝑚 então 𝑀𝑚á𝑥 𝑀 5196 312 𝐾𝑁𝑚 𝐵 𝐻 2 9 6 2 27 𝐾𝑁 2 3 9 6 𝑚 S 𝑥 𝑤 𝑥 2 3 x 𝑥𝑤 2 𝑥 3 9 18 312 V N M Nm A B 9 18 312 V N M Nm Equação da carga distribuída linear 𝑤 𝑥 2 3 x Momento fletor 𝑀 𝑥 𝑥3 9 9𝑥 Cortante 𝑉 𝑥 𝑥2 3 9 𝑑𝑀 𝑑𝑥 𝑉𝑥 𝑥3 9 9𝑥 3𝑥² 9 9 𝑑𝑉 𝑑𝑥 𝑤𝑥 𝑥2 3 9 2𝑥 3 9 18 MÉTODO GRÁFICO PARA CONSTRUIR DIAGRAMAS DE FORÇA CORTANTE E MOMENTO FLETOR Região de carga distribuída 𝑤 a derivada do cortante é a carga distribuída e a derivada do momento fletor é o cortante 𝑑𝑉 𝑑𝑥 𝑤 𝑥 e 𝑑𝑀 𝑑𝑥 𝑉 Regiões de força e momento concentrados quando o corpo tem uma força pontual aplicada no diagrama de cortante haverá uma descontinuidade neste ponto que vale a força aplicada Quando o corpo tem um momento fletor aplicado no diagrama de momento fletor haverá uma descontinuidade neste ponto que vale o momento aplicado 𝑉 𝐹 e 𝑀 𝑀0 𝑀 momento fletor 𝑉 cortante 𝑊 carga distribuída 𝐹 força pontual Aspecto geral das curvas nos diagramas Carregamento Curva dos diagramas Observação Vx Mx carga distribuída linear 1 grau 2 grau 3 grau Mx V e Vx w carga distribuída constante w 1 grau 2 grau Mx V e Vx w força pontual F força constante 1 grau ΔV F momento fletor aplicado M0 Nula momento constante ΔM M0 Aspecto geral das curvas nos diagramas V esforço cortante M momento fletor 𝑑𝑉 𝑑𝑥 𝑤 𝑥 𝑑𝑀 𝑑𝑥 𝑉 6 Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga mostrada na figura Exemplo Reações de apoio σ 𝑀𝐶 𝐴𝑦 10 80 15 5 25 25 0 𝐴𝑦 575 𝐾𝑁 σ 𝐹𝑦 0 575 15 25 𝐶𝑦 0 𝐶𝑦 3425 𝐾𝑁 Cortante Momento Trecho Carregamento Cortante Momento AB w0 constante 1 grau BC wconstante 1 grau 2 grau O diagrama sempre sai de zero e chega a zero Se tiver força aplicada nos extremos essa força será o meu cortante interno Cortante 𝑉𝐴 0 575 575 𝐾𝑁 𝑉𝐵 𝐴𝐵 575 𝐾𝑁 𝑉𝐵 𝐵𝐶 575 15 925 𝐾𝑁 𝑉𝐶 925 25 3425 𝐾𝑁 Para o cortante caminhando na viga da esquerda para a direita basta seguir o sentido da força que consigo montar o diagrama respeitando a convenção de sinais 𝐴𝑦 𝐶𝑦 5 5 25 925 575 3425 V N Cortante Momento Trecho Carregamento Cortante Momento AB w0 constante 1 grau BC wconstante 1 grau 2 grau O diagrama sempre sai de zero e chega a zero Momento 𝑀𝐴 0 80 80 𝐾𝑁𝑚 𝑀𝐵 80 575 5 10875 𝐾𝑁𝑚 𝑀𝐶 0 𝐾𝑁𝑚 𝐴𝑦 𝐶𝑦 5 5 25 925 575 3425 V N M Nm 80 10875 Note que os esforços externos se equilibram com os esforços internos Se faço uma seção em um ponto e avalio o lado esquerdo da seção os esforços internos estarão a direita do corpo e os externos a esquerda do corpo Para o momento por exemplo Se os esforços externos estiverem rotacionando no sentido horário é por que os esforços internos estão rotacionando no senti antihorário o que internamente será positivo Logo podemos calcular os esforços internos tomando como referência apenas os esforços externos Neste caso se faço uma seção em B e pego para a esquerda se a rotação estiver no sentido horário internamente terei um valor positivo porque significa que o esforço interno que está a direita da viga rotaciona sentido contrário que é antihorário positivo internamente Para o cortante de forma análoga se faço uma seção em B e pego para a esquerda se a força estiver para cima internamente terei um valor positivo porque significa que o esforço interno que está a direita da viga terá uma força sentido contrário que é para baixo positivo internamente 𝐴𝑦 𝐶𝑦 Esforços externos Esforços internos 7 Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga mostrada na figura C D Reações de apoio σ 𝑀𝐵 0 30 𝐴𝑦 3 10 15 0 𝐴𝑦 5 𝐾𝑁 σ 𝐹𝑦 5 𝐵𝑦 10 0 𝐵𝑦 5𝐾𝑁 Cortante Trecho CA zero Trecho AB constante Trecho BD constante Caminhando na viga da esquerda para a direita de C para D posso seguir o sentido da força para montar o diagrama 𝑉𝐶 0 𝑉𝐴 𝐶𝐴 0 𝑉𝐴 𝐴𝐵 0 5 5 𝐾𝑁 𝑉𝐵 𝐴𝐵 5 𝐾𝑁 𝑉𝐵 𝐵𝐷 5 5 10 𝐾𝑁 𝑉𝐷 𝐵𝐷 10 10 0 𝐾𝑁 𝐴𝑦 𝐵𝑦 V KN 10 5 C D Momento Trecho CA constante Trecho AB 1 grau Trecho BD 1 grau Vou imaginar seções nos pontos onde tenho carga A e B 𝑀𝐶 0 30 30 𝐾𝑁𝑚 𝑀𝐴 30 𝐾𝑁𝑚 Ou 𝑀𝐴 10 45 5 3 30 𝐾𝑁𝑚 𝑀𝐵 10 15 15 𝐾𝑁𝑚 Ou 𝑀𝐵 30 5 3 15 𝐾𝑁𝑚 𝑀𝐷 0 5 5 V KN 10 5 15 30 M KNm 8 Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga mostrada na figura A B C D A B C D Reações de apoio σ 𝑀𝐴 0 10 5 𝐶𝑦 4 20 4 4 2 0 𝐶𝑦 255 𝐾𝑁 σ 𝐹𝑦 0 𝐴𝑦 4 4 255 10 0 𝐴𝑦 05 𝐾𝑁 Cortante Trecho AB e BC 1 grau Trecho CD constante 𝑉𝐴 05 𝑉𝐵 05 4 2 75 𝑉𝐶 𝐵𝐶 75 8 155 𝑉𝐶 𝐶𝐷 155 255 10 𝑉𝐷 10 10 0 𝐶𝑦 𝐴𝑦 05 75 155 10 V KN A B C D Momento Trecho AB e BC 2 grau Trecho CD 1 grau 𝑀𝐴 0 𝑀𝐵 𝐴𝐵 05 2 8 1 7 𝐾𝑁𝑚 𝑀𝐵 𝐵𝐶 7 20 13 𝐾𝑁𝑚 𝑀𝐶 10 1 10 𝐾𝑁𝑚 𝑀𝐷 0 Momento máximo entre AB 𝑥 2𝑥 05 75 𝑥 205 0575 0125 𝑚 𝑀𝑚á𝑥 05 0125 4 0125 0125 2 𝑀𝑚á𝑥 003125 𝐾𝑁𝑚 𝐶𝑦 𝐴𝑦 05 75 155 10 V KN M KNm 7 13 10 x 2x x0125 003125 9 Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga mostrada na figura A B C A B C 𝐴𝑦 𝑀0 σ 𝑀𝐴 𝑀0 2 5 25 10 6 0 𝑀0 85 𝐾𝑁𝑚 σ 𝐹𝑦 0 𝐴𝑦 2 5 10 0 𝐴𝑦 20 𝐾𝑁 Cortante Trecho AB 1 grau Trecho BC constante 𝑉𝐴 20 𝐾𝑁 𝑉𝐵 20 2 5 10 𝐾𝑁 𝑉𝐶 10 10 0 Momento Trecho AB 2 grau Trecho BC 1 grau 𝑀𝐴 85 𝐾𝑁𝑚 𝑀𝐵 10 1 10 𝐾𝑁𝑚 𝑀𝐶 0 20 10 10 85 10 Pórtico é composto de diversos membros ligados em suas extremidades Pórticos Santa Clara do Sul Existem quatro tipos fundamentais de quadros isostáticos planos aos quais chamamos quadros simples quando ocorrem isoladamente Biapoiado Engastado e livre Triarticulado Com articulação e tirante 1 Quadro biapoiado Estamos diante de um problema novo que faremos recair em problema já conhecido resolução de vigas biapoiadas A B C D E F G A C E E F G G D B Obter as reações de apoio Tratase de uma estrutura isostática Obter os diagramas solicitantes Os diagramas são marcados como no caso das vigas perpendicularmente ao eixo de cada barra A B C D E F G Convenção de sinais Normal não tem convenção Momento Fletor Cortante Em pórticos teremos Esforço normal a força tem que estar na direção da barra Esforço cortante a força tem que estar perpendicular a barra Momento fletor a rotação é em torno do eixo perpendicular a barra 10 Obter os diagramas solicitantes para o quadro Exemplo 𝐴𝑦 𝐴𝑥 𝐻𝑥 Reações de apoio σ 𝑀𝐴 0 4 4 2 8 2 16 2 6 𝐻𝑥 4 0 𝐻𝑥 5 𝐾𝑁 σ 𝐹𝑦 0 𝐴𝑦 2 8 0 𝐴𝑦 16 𝐾𝑁 σ 𝐹𝑥 0 𝐴𝑥 4 2 5 0 𝐴𝑥 3 𝐾𝑁 16 3 5 16 3 5 Normal 16 7 0 0 0 𝑁𝐴𝐵𝐵𝐷 16 𝐾𝑁 𝑁𝐷𝐸 4 3 7 𝐾𝑁 DE 16 3 5 Cortante Caminhando de baixo para cima para barra vertical Caminhando da esquerda para direita para barra horizontal Posso seguir o sentido da força que monto o diagrama 3 7 𝑉𝐴 3 𝐾𝑁 𝑉𝐵 𝐴𝐵 3 𝐾𝑁 𝑉𝐵 𝐵𝐷 3 4 7 𝐾𝑁 𝑉𝐶 0 𝑉𝐷 𝐶𝐷 0 2 2 4 𝐾𝑁 𝑉𝐷 𝐷𝐸 4 16 12 𝐾𝑁 4 12 5 7 0 16 3 5 Momento 12 40 4 44 8 16 24 10 16 3 5 Momento Barra ABD 𝑀𝐴 0 𝑀𝐵 3 4 12 𝐾𝑁𝑚 𝑀𝐷 𝐵𝐷 3 8 4 4 40 𝐾𝑁𝑚 Barra CD 𝑀𝐶 0 𝑀𝐷 𝐶𝐷 2 2 1 4 𝐾𝑁𝑚 Barra DE 𝑀𝐷 𝐷𝐸 3 8 4 4 2 2 1 44 𝐾𝑁𝑚 𝑀𝐸 𝐷𝐸 16 2 2 5 4 8 𝐾𝑁𝑚 Barra FE 𝑀𝐹 16 𝐾𝑁𝑚 𝑀𝐸 𝐷𝐸 16 𝐾𝑁𝑚 Barra HGE 𝑀𝐸 𝐺𝐸 5 4 2 2 24 𝐾𝑁𝑚 𝑀𝐺 5 2 10 𝐾𝑁𝑚 𝑀𝐻 0 𝑀𝐷 𝐵𝐷 3 8 4 4 40 𝐾𝑁𝑚 𝑀𝐷 𝐶𝐷 2 2 1 4 𝐾𝑁𝑚 𝑀𝐷 𝐷𝐸 3 8 4 4 2 2 1 44 𝐾𝑁𝑚 Ainda o nó D tem que estar em equilíbrio Nó D 16 3 5 Para o ponto D Pertence a barra CD Pertence a barra DE Pertence a barra BD CD DE BD Nó D Nó E 𝑀𝐸 𝐷𝐸 16 2 2 5 4 8 𝐾𝑁𝑚 𝑀𝐸 𝐷𝐸 16 𝐾𝑁𝑚 𝑀𝐸 𝐺𝐸 5 4 2 2 24 𝐾𝑁𝑚 Solução novamente deste mesmo exemplo Normal A força é normal a barra se ela estiver na direção da barra Se a força aponta para a barra é compressão Se a força aponta para fora da barra é tração Para a barra AD e FE e EH a força vai ser normal a barra se ela estiver na direção vertical Para a barra CD e DE a força vai ser normal a barra se ela estiver na direção horizontal A B C D E F G H 16 16 0 7 0 0 0 AB BD CD DE FE EG G H 2 2 0 kN 16 kNm 2 00 kNm 4 0 kN 4 00 m 6 00 m Cortante A força é cortante a barra se ela estiver perpendicular a barra Para as barras verticais AB BD GH GE e EF a força é cortante a barra se estiver na direção horizontal Para as barras horizontais CD e DE a força é cortante a barra se estiver na direção vertical Para o diagrama de cortante para a barra vertical se eu caminhar na barra de baixo para cima posso seguir o sentido das forças que estarei respeitando a convenção de sinais mostrada na figura Represento os valores positivos para a direita e negativos para a esquerda Para o diagrama de cortante para a barra horizontal se eu caminhar na barra da esquerda para a direita posso seguir o sentido das forças que estarei respeitando a convenção de sinais mostrada na figura Represento os valores positivos para a cima e negativos para baixo 5 KN 3 KN 16 KN Barras verticais Para esquerda De cima para baixo sigo o sentido da força 𝑉𝐴 𝐴𝐵 3𝐾𝑁 𝑉𝐵 𝐴𝐵 3𝐾𝑁 𝑉𝐵 𝐵𝐷 3 4 7𝐾𝑁 𝑉𝐷 𝐵𝐷 7 7 0 𝐾𝑁 𝑉𝐻 𝐻𝐺 5𝐾𝑁 𝑉𝐺 𝐻𝐺 5𝐾𝑁 𝑉𝐺 𝐺𝐸 5 2 7𝐾𝑁 𝑉𝐸 𝐺𝐸 7 7 0𝐾𝑁 Barras horizontais Para cima Da esquerda para a direita sigo o sentido da força 𝑉𝐶 𝐶𝐷 0𝐾𝑁 𝑉𝐷 𝐶𝐷 0 2 2 4𝐾𝑁 𝑉𝐷 𝐷𝐸 4 16 12𝐾𝑁 𝑉𝐸 𝐷𝐸 12 2 6 0𝐾𝑁 A B C D E F G H 3 7 5 7 4 12 Barras verticais Para esquerda De cima para baixo sigo o sentido da força 𝑉𝐴 𝐴𝐵 3𝐾𝑁 𝑉𝐵 𝐴𝐵 3𝐾𝑁 𝑉𝐵 𝐵𝐷 3 4 7𝐾𝑁 𝑉𝐷 𝐵𝐷 7 7 0 𝐾𝑁 𝑉𝐻 𝐻𝐺 5𝐾𝑁 𝑉𝐺 𝐻𝐺 5𝐾𝑁 𝑉𝐺 𝐺𝐸 5 2 7𝐾𝑁 𝑉𝐸 𝐺𝐸 7 7 0𝐾𝑁 Barras horizontais Para cima Da esquerda para a direita sigo o sentido da força 𝑉𝐶 𝐶𝐷 0𝐾𝑁 𝑉𝐷 𝐶𝐷 0 2 2 4𝐾𝑁 𝑉𝐷 𝐷𝐸 4 16 12𝐾𝑁 𝑉𝐸 𝐷𝐸 12 2 6 0𝐾𝑁 Momento A B C D E F G H 12 40 10 24 16 4 44 8 D Equilíbrio de momento nos nós 4 44 40 E 16 24 8 5 KN 3 KN 16 KN Barra ABD 𝑀𝐴 𝐴𝐵𝐷 0 extremidade 𝑀𝐵 𝐴𝐵𝐷 3 4 12 𝐾𝑁𝑚 𝑀𝐷 𝐴𝐵𝐷 3 8 4 4 40 𝐾𝑁𝑚 5 KN 3 KN 16 KN Barra HGE 𝑀𝐻 𝐻𝐺 0 extremidade 𝑀𝐺 𝐻𝐺 5 2 10 𝐾𝑁𝑚 𝑀𝐸 𝐺𝐸 5 4 2 2 24 𝐾𝑁𝑚 Barra FE 𝑀𝐸 𝐹𝐸 16 𝐾𝑁𝑚 𝑀𝐹 𝐸𝐹 16 𝐾𝑁𝑚 extremidade e tenho o momento de 16 KNm aplicado 5 KN 3 KN 16 KN Barra CD 𝑀𝐶 𝐶𝐷 0 extremidade 𝑀𝐷 𝐶𝐷 2 2 1 4 𝐾𝑁𝑚 Barra DE 𝑀𝐷 𝐷𝐸 2 2 1 4 4 3 8 44 𝐾𝑁𝑚 𝑀𝐸 𝐸𝐷 5 4 2 2 16 8 𝐾𝑁𝑚 2 Quadro engastado e livre Obter as reações de apoio Obter os diagramas solicitantes 11 Obter os diagramas solicitantes para o quadro Exemplo 𝐴𝑦 𝐴𝑥 𝑀0 Reações de apoio σ 𝑀𝐴 0 𝑀0 1 2 1 1 3 2 4 2 0 𝑀0 1 𝐾𝑁𝑚 σ 𝐹𝑦 0 𝐴𝑦 1 3 4 0 𝐴𝑦 8 𝐾𝑁 σ 𝐹𝑥 0 𝐴𝑥 1 0 𝐴𝑥 1 𝐾𝑁 1 4 4 𝐾𝑁 2 8 1 1 1 1 8 Normal A força vai ser normal a barra se ela estiver na direção da barra A B C D E F 8 𝑁𝐴𝐵 8 𝐾𝑁 𝑁𝐵𝐶 8 1 7 𝐾𝑁 𝑁𝐷𝐸 0 𝑁𝐸𝐹 0 𝑁𝐵𝐶 1𝐾𝑁 7 1 0 0 1 1 Cortante A força é cortante a barra se ela estiver perpendicular a barra Caminhando na barra da esquerda para a direita ou de cima para baixo posso seguir o sentido da força que consigo montar o diagrama 8 A B C D E F 1 0 𝑉𝐴 1 𝐾𝑁 𝑉𝐵 𝐴𝐵 1 𝐾𝑁 𝑉𝐵 𝐵𝐸 1 1 0 𝑉𝐸 𝐵𝐸 0 3 4 𝑉𝐷 3 𝐾𝑁 𝑉𝐸 𝐷𝐸 3 𝐾𝑁 𝑉𝐸 𝐸𝐹 3 8 1 4 𝐾𝑁 𝑉𝐹 4 4 0 1 𝑉𝐵 𝐵𝐶 8 3 4 1 𝐾𝑁 𝑉𝐶 1 1 0 1 1 8 Momento Representamos o diagrama de momento de acordo com as fibras tracionadas A B C D E F 1 𝑀𝐴 1 𝐾𝑁𝑚 𝑀𝐵 𝐴𝐵 1 1 2 3 𝐾𝑁𝑚 𝑀𝐵 𝐵𝐶 1 1 1 𝐾𝑁𝑚 𝑀𝐵 𝐵𝐸 1 1 2 1 1 2 𝐾𝑁𝑚 𝑀𝐸 𝐸𝐷 1 1 4 1 1 1 2 2 𝐾𝑁𝑚 𝑀𝐸 𝐸𝐵 3 2 6 𝐾𝑁𝑚 𝑀𝐸 𝐸𝐹 4 2 8 𝐾𝑁𝑚 3 1 2 6 8 AB 1 1 x 2 3 EB 1 1 x 4 1 x 1 1 x 2 2 3 Quadros triarticulados Na rótula só tem transmissão de forças Por tanto o momento fletor na rótula é nulo 4 Quadros biapoiado com articulação e tirante ou escora No tirante existe apenas esforço normal 12 Obter os diagramas solicitantes para o quadro Exemplo A B C D E F Em CF temos um tirante absorve somente esforço normal Em E temos uma rótula momento interno é zero Reações de apoio σ 𝑀𝐴 0 𝐹𝑦 4 12 2 5 1 0 𝐹𝑦 725 𝐾𝑁 σ 𝐹𝑦 0 𝐴𝑦 12 725 0 𝐴𝑦 475 𝐾𝑁 σ 𝐹𝑥 0 5 𝐴𝑥 0 𝐴𝑥 5 𝐾𝑁 𝑀𝐸 0 𝑁𝑥 3 0 𝑁𝑥 0 𝑁 0 𝐹𝑦 𝐴𝑦 𝐴𝑥 𝑁 𝑁 𝐹𝑦 𝑁 𝑁𝑦 𝑁𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑁𝑦 𝑁 3 5 𝑁𝑦 𝑁 3 5 𝑐𝑜𝑠 𝑁𝑥 𝑁 4 5 𝑁𝑥 𝑁 4 5 A B C D E F 725 475 5 0 V KN N KN M KNm Proposto 𝐴𝑦 𝐴𝑥 𝐹𝑦 A B C D E F σ 𝑀𝐴 0 𝐹𝑦4 5 1 12 2 0 𝐹𝑦 475 𝐾𝑁 σ 𝐹𝑦 0 𝐴𝑦 12 475 0 𝐴𝑦 725 𝐾𝑁 σ 𝐹𝑥 0 𝐴𝑥 5 0 𝐴𝑥 5 𝐾𝑁 Momento interno na rótula vale zero 𝑁 𝑁 𝑀𝐷 0 5 2 𝑁 4 5 3 0 𝑁 417 𝐾𝑁 N KN V KN M KNm ecosistema ānima