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Analise do Comportamento das Estruturas ă HIBBELER R C Resistência dos Materiais São Paulo Pearson Pearson 2010 Capítulo 5 Torção Bibliografia Torção Torque é o momento que tende a torcer o membro em torno de seu eixo longitudinal DEFORMAÇÃO POR TORÇÃO DE UM EIXO CIRCULAR Anexo A Dedução das equações Quando um torque externo é aplicado a um eixo cria um torque interno correspondente no interior do eixo Convenção de sinais regra da mão direita pela qual o torque é positivo se a direção indicada pelo polegar for no sentido de afastarse do eixo quando os dedos são fechados para indicar a tendência da rotação 1 Para os eixos calcular o diagrama de momento torçor Exemplo A B C D CD 𝑇𝐶𝐷 5 𝐾𝑁𝑚 BC 𝑇𝐵𝐶 5 10 15 𝐾𝑁𝑚 AB 𝑇𝐴𝐵 5 10 20 5 𝐾𝑁𝑚 5 15 5 T KNm Podese supor que se o ângulo de rotação for pequeno o comprimento do eixo e seu raio permanecerão inalterados Se o eixo estiver preso em uma de suas extremidades e for aplicado um torque à sua outra extremidade o plano sombreado na Figura será distorcido até uma forma oblíqua Devido à deformação observada as faces anterior e posterior do elemento sofrerão uma rotação O resultado é que em razão da diferença entre essas rotações o elemento é submetido a uma deformação por cisalhamento Quando um torque externo é aplicado a um eixo cria um torque interno correspondente no interior do eixo Fórmula da Torção A tensão de cisalhamento varia linearmente ao longo de cada reta radial da seção transversal 𝜏 𝑇𝜌 𝐽 Onde 𝜏 a tensão de cisalhamento na distância intermediária 𝜌 𝑇 torque interno resultante que age na seção transversal 𝐽 momento polar de inércia da área da seção transversal 𝜌 distância radial da linha central do eixo Tensão de cisalhamento devido ao torque 𝜏 𝑇𝜌 𝐽 Observe que para 𝜌 𝑐 a tensão de cisalhamento será máxima 𝜏𝑚á𝑥 𝑇𝑐 𝐽 Momento polar de inércia do Eixo Maciço 𝐽 𝜋 2 𝑐4 Observe que 𝐽 é uma propriedade geométrica da área do círculo e é sempre positiva Momento polar de inércia do Eixo Tubular 𝐽 𝜋 2 𝑐𝑒4 𝑐𝑖 4 Observe que 𝐽 é uma propriedade geométrica da área do círculo e é sempre positiva 𝐶𝑒 𝐶𝑖 Distribuição de tensão de cisalhamento no Eixo Maciço Distribuição de tensão de cisalhamento no Eixo Tubular 2 A distribuição de tensão em um eixo maciço foi esquematizada graficamente ao longo de três retas radiais arbitrárias como mostra na figura abaixo Determinar o torque interno resultante na seção Exemplos Distribuição de tensão cisalhante devido ao momento torçor no eixo 𝜏 𝑇𝜌 𝐽 T Momento polar de inércia da seção maciça 𝐽 𝜋 2 𝑐4 𝐽 𝜋 2 24 25133 𝑚4 Para 𝜌 2𝑚 temse 𝜏 8 𝑃𝑎 8 𝑇2 25133 𝑇 100532 𝐾𝑁𝑚 3 O eixo mostrado na Figura a é suportado por dois mancais e está sujeito a três torques Determinar a tensão de cisalhamento desenvolvida nos pontos A e B Figura b localizada na seção aa do eixo 125 Nm 30 Nm 425Nm a a A B C D E 125 Nm 425Nm Na seção aa 𝑇 125 𝑁𝑚 𝜏 𝑇𝜌 𝐽 Momento polar de inércia da seção maciça 𝐽 𝜋 2 𝐶4 𝜋 2 0754 0497 𝑚4 Para o ponto A na seção aa 𝜏𝐴 125 075 0497 189 𝑃𝑎 Para o ponto B na seção aa 𝜏𝐵 125 015 0497 377 𝑃𝑎 4 O tubo mostrado na Figura tem diâmetro interno de 80mm e diâmetro externo de 100mm Supondo que sua extremidade seja apertada contra o apoio em A por meio de um torquímetro em B determinar a tensão de cisalhamento desenvolvida no material nas paredes interna e externa ao longo da parte central do tubo quando são aplicadas forças de 80N ao torquímetro 𝐷𝑖 80mm 𝐷𝑒 100mm Tensão de cisalhamento nas paredes interna e externa 𝜏 𝑇𝜌 𝐽 Momento polar de inercia 𝐽 𝜋 2 𝐶𝑒 4 𝐶𝑖 4 𝜋 2 0 054 0044 579 106𝑚4 O torquimetro gera um torque interno no tubo que vale 𝑇 80 02 80 03 40 𝑁𝑚 Paredes interna 𝜏𝑖 40 004 579 106 0276 106 𝑃𝑎 0276 𝑀𝑃𝑎 paredes externa 𝜏𝑒 40 005 579 106 0345 106 𝑃𝑎 0345 𝑀𝑃𝑎 0276 𝑀𝑃𝑎 0345 𝑀𝑃𝑎 5 No eixo maciço representado na figura calcular a tensão máxima em cada trecho Dados T1 6 kNm T2 9 kNm D 100 mm em AB e D 76 mm em BC Dados T1 6 kNm T2 9 kNm D 100 mm em AB e D 76 mm em BC T KNm 6 3 𝜏 𝑇𝜌 𝐽 𝐽 𝜋 2 𝐶4 AB 𝐽 𝜋 2 0054 9817 106𝑚4 𝜏𝐴𝐵 3000 005 9817 106 1528 106𝑃𝑎 1528 𝑀𝑃𝑎 AB 𝐽 𝜋 2 00384 3275 106𝑚4 𝜏𝐴𝐵 3000 0038 3275 106 3481 106𝑃𝑎 3481 𝑀𝑃𝑎 𝜌 𝐶 𝜏𝑚𝑎𝑥 Calcular o valor máximo admissível do torque T e os valores correspondentes das tensões máximas Dados D 50 mm em AB e d 30 mm em BC a tensão máxima admissível 𝜏 80 MPa Resposta 𝑇 1709 KNm 𝜏𝐵𝐶 80 Mpa 𝜏𝐴𝐵 55706 MPa Proposto Definir uma fórmula para determinar o ângulo de torção Φ de uma extremidade do eixo em relação à outra Àngulo de Torção Sendo G a área da seção transversal e o torque aplicado constantes ao longo do comprimento do eixo o ângulo de torção será dado por 𝜙 𝑇𝐿 𝐽𝐺 Onde 𝜙 ângulo de torção de uma extremidade do eixo em relação à outra medido em radianos 𝑇𝑥 torque interno na posição arbitrária x J𝑥 momento de inércia polar do eixo expresso como função da posição x 𝐺 módulo de elasticidade ao cisalhamento do material Convenção de sinais o ângulo é positivo se o torque interno for positivo 6 As engrenagens acopladas ao eixo de aço com uma das extremidades fixa estão sujeitas aos torques mostrados na Figura a Supondo que o módulo de elasticidade ao cisalhamento seja 𝐺 80 GPa e o eixo tenha diâmetro de 14mm determinar o deslocamento do dente P da engrenagem A O eixo gira livremente no mancal em B Exemplo A C D E T Nm 150 130 170 Seção para o trecho AC ângulo de torção no eixo 𝜙 𝑇𝐿 𝐽𝐺 Momento polar de inércia do eixo 𝐽 𝜋 2 𝑐4 𝐽 𝜋 2 00074 3771 109𝑚4 𝐴𝐸 𝐴𝐶 𝐶𝐷 𝐷𝐸 𝐴𝐶 15004 377110980109 0 199 𝑟𝑎𝑑 𝐶𝐷 13003 377110980109 0 129𝑟𝑎𝑑 𝐷𝐸 17005 377110980109 0 282𝑟𝑎𝑑 𝐴𝐸 0212 𝑟𝑎𝑑 100 mm P 7 mm P Deslocamento do ponto P Comprimento de arco𝑟 𝑃𝑃 100 0212 212 mm 7 Calcular os diâmetros externo e interno de um eixo de aço sujeito a um torque de 25 kNm de modo que a tensão máxima de cisalhamento seja 84 MPa e o ângulo de torção seja de 25 graus para um comprimento de 3 m Dado 𝐺 84 GPa Eixo tubular 𝑐𝑒 e 𝑐𝑖 𝑇 25 kNm 𝜏𝑚𝑎𝑥 84 MPa 25 𝑟𝑎𝑑 L3 m 𝐺 84 GPa Tensão cisalhante na seção do tubo 𝜏 𝑇𝜌 𝐽 Momento polar de inércia 𝐽 𝜋 2 𝑐𝑒4 𝑐𝑖 4 Ângulo de torção 𝜙 𝑇𝐿 𝐽𝐺 𝜏𝑚𝑎𝑥 84 106 25000𝑐𝑒 𝐽 𝜙 00436 250003 𝐽84109 logo J 20463 105𝑚4 84 106 25000𝑐𝑒 20463105 logo 𝑐𝑒 00688 𝑚 𝐽 20463 105 𝜋 2 006884 𝑐𝑖 4 logo 𝑐𝑖 00553 𝑚 Resposta 𝑑𝑒 014 𝑚 e 𝑑𝑖 011 𝑚 𝑐𝑒 𝑐𝑖 180 𝜋𝑟𝑎𝑑 25 𝑥𝑟𝑎𝑑 25 00436𝑟𝑎𝑑 𝜏𝑚𝑎𝑥 8 Se as engrenagens presas às extremidades do eixo forem submetidas a torques de 85 Nm determine o ângulo de torção da extremidade B da seção maciça em relação à extremidade C A seção maciça tem diâmetro de 40 mm Dado 𝐺 75 GPa ângulo de torção da extremidade B da seção maciça em relação à extremidade C Momento torçor de A até D 𝑇 85 𝑁𝑚 Ângulo de torção 𝜙 𝑇𝐿 𝐽𝐺 Momento polar de inércia 𝐽 𝜋 2 𝑐4 𝐽 𝜋 2 0024 2513 107𝑚4 𝐿𝐵𝐶 05𝑚 𝐵𝐶 8505 251310775109 00023 𝑟𝑎𝑑 Calcular o valor máximo admissível do torque T e os valores correspondentes das tensões máximas e do ângulo de torção CxA Dados D 50 mm em AB e d 30 mm em BC a tensão máxima admissível 𝜏 80 MPa e 𝐺 80 GPa Resposta 𝑇 1709 KNm 𝜏𝐵𝐶 80 MPa 𝜏𝐴𝐵 55706 MPa 𝜙 000107 rad Proposto T 𝜏𝑚𝑎𝑥 𝐶𝐴 D 50 mm d 30 mm 𝜏 80 MPa 𝐺 80 GPa Tensão de cisalhamento 𝜏 𝑇𝜌 𝐽 Condição de segurança 𝜏𝑚𝑎𝑥 𝜏 Trecho BC 𝐽 𝜋 2 00254 00154 534 107𝑚4 𝜏 80𝑀𝑃𝑎 𝑇0025 534107 𝑇 1709 𝑁𝑚 Trecho AB 𝐽 𝜋 2 00254 6136 107𝑚4 𝜏 80𝑀𝑃𝑎 08𝑇0025 6136107 𝑇 24544 𝑁𝑚 A B C 08T T Trecho BC 𝜏𝑚𝑎𝑥 𝑇𝑐𝑒 𝐽 17090025 534107 80 𝑀𝑃𝑎 Trecho AB 𝜏𝑚𝑎𝑥 𝑇𝑐𝑒 𝐽 0817090025 6136107 55706 MPa Ângulo de torção 𝜙 𝑇𝐿 𝐽𝐺 𝐶𝐴 𝐶𝐵 𝐴𝐵 𝐶𝐴 170906 53410780109 08170909 613610780109 000107 rad DEFORMAÇÃO A deformação por cisalhamento no interior do eixo varia linearmente ao longo de qualquer reta radial de zero na linha de centro do eixo a um máximo ϒmax em seu limite externo 𝛾 𝜌 𝑐 𝛾𝑚á𝑥 FÓRMULA DA TORÇÃO O torque interno 𝑻 não só desenvolve uma distribuição linear da tensão de cisalhamento ao longo de cada reta radial do plano da área da seção transversal como também desenvolve uma distribuição da tensão de cisalhamento associada ao longo de um plano axial Pela Lei de Hooke material linear elástico 𝜏 𝐺𝛾 e pela Equação 𝛾 𝜌 𝑐 𝛾𝑚𝑎𝑥 podemos escrever 𝜏 𝜌 𝑐 𝜏𝑚𝑎𝑥 Cada elemento de área 𝑑𝐴 localizado em 𝜌 está submetido a uma força 𝑑𝐹 𝜏𝑑𝐴 O torque produzido por essa força é 𝑑𝑇 𝜌𝜏 𝑑𝐴 Temos portanto para toda a seção transversal 𝑇 𝐴 𝜌 𝜏𝑑𝐴 𝐴 𝜌 𝜌 𝑐 𝜏𝑚á𝑥𝑑𝐴 Como 𝜏𝑚á𝑥𝑐 é constante 𝑇 𝜏𝑚á𝑥 𝑐 𝐴 𝜌2𝑑𝐴 𝑇 𝜏𝑚á𝑥 𝑐 𝐴 𝜌2𝑑𝐴 A integral dessa equação depende somente da geometria do eixo Ela representa o momento de inércia polar 𝑱 da área da seção transversal calculado em torno da linha de centro longitudinal do eixo 𝜏𝑚á𝑥 𝑇𝑐 𝐽 A tensão de cisalhamento é determinada na distância intermediária ρ a partir de uma equação semelhante obtida por meio das equações 𝜏 𝜌 𝑐 𝜏𝑚á𝑥 e 𝜏𝑚á𝑥 𝑇𝑐 𝐽 𝜏 𝑇𝜌 𝐽 Momento polar de inércia do Eixo Maciço seção transversal circular maciça No anel infinitesimal 𝑑𝐴 2𝜋𝜌𝑑𝜌 então 𝐽 𝐴 𝜌2𝑑𝐴 0 𝑐 𝜌2 2𝜋𝜌𝑑𝜌 2𝜋 1 4 𝜌4 0 𝑐 𝐽 𝜋 2 𝑐4 Momento polar de inércia do Eixo Tubular seção transversal tubular eixo vazado com raio interno 𝑐𝑖 e raio externo 𝑐𝑒 O momento de inércia polar será 𝐽 𝐽 𝑐𝑒 𝐽𝑐𝑖 𝐽 𝜋 2 𝑐𝑒4 𝜋 2 𝑐𝑖 4 𝐽 𝜋 2 𝑐𝑒4 𝑐𝑖 4 ÂNGULO DE TORÇÃO Observase que 𝑑𝜙 𝛾 𝑑𝑥 𝜌 Lei de Hooke 𝜏 𝐺𝛾 Fórmula da Torção 𝜏 𝑇𝜌 𝐽 𝛾 𝑇𝑥𝜌 𝐽 𝑥 𝐺 𝑑𝜙 𝑇𝑥 𝐽 𝑥 𝐺 𝑑𝑥 𝑑𝜙 𝑇𝑥 𝐽 𝑥 𝐺 𝑑𝑥 Integrando em todo o comprimento L do eixo obtemos o ângulo de torção para todo o eixo ou seja 𝜙 0 𝐿 𝑇 𝑥 𝐽 𝑥 𝐺 𝑑𝑥 Onde 𝜙 ângulo de torção de uma extremidade do eixo em relação à outra medido em radianos 𝑇𝑥 torque interno na posição arbitrária x J𝑥 momento de inércia polar do eixo expresso como função da posição x 𝐺 módulo de elasticidade ao cisalhamento do material Sendo G constante a área da seção transversal e o torque aplicado constantes ao longo do comprimento do eixo 𝜙 𝑇𝐿 𝐽𝐺 ecosistema ânima
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Analise do Comportamento das Estruturas ă HIBBELER R C Resistência dos Materiais São Paulo Pearson Pearson 2010 Capítulo 5 Torção Bibliografia Torção Torque é o momento que tende a torcer o membro em torno de seu eixo longitudinal DEFORMAÇÃO POR TORÇÃO DE UM EIXO CIRCULAR Anexo A Dedução das equações Quando um torque externo é aplicado a um eixo cria um torque interno correspondente no interior do eixo Convenção de sinais regra da mão direita pela qual o torque é positivo se a direção indicada pelo polegar for no sentido de afastarse do eixo quando os dedos são fechados para indicar a tendência da rotação 1 Para os eixos calcular o diagrama de momento torçor Exemplo A B C D CD 𝑇𝐶𝐷 5 𝐾𝑁𝑚 BC 𝑇𝐵𝐶 5 10 15 𝐾𝑁𝑚 AB 𝑇𝐴𝐵 5 10 20 5 𝐾𝑁𝑚 5 15 5 T KNm Podese supor que se o ângulo de rotação for pequeno o comprimento do eixo e seu raio permanecerão inalterados Se o eixo estiver preso em uma de suas extremidades e for aplicado um torque à sua outra extremidade o plano sombreado na Figura será distorcido até uma forma oblíqua Devido à deformação observada as faces anterior e posterior do elemento sofrerão uma rotação O resultado é que em razão da diferença entre essas rotações o elemento é submetido a uma deformação por cisalhamento Quando um torque externo é aplicado a um eixo cria um torque interno correspondente no interior do eixo Fórmula da Torção A tensão de cisalhamento varia linearmente ao longo de cada reta radial da seção transversal 𝜏 𝑇𝜌 𝐽 Onde 𝜏 a tensão de cisalhamento na distância intermediária 𝜌 𝑇 torque interno resultante que age na seção transversal 𝐽 momento polar de inércia da área da seção transversal 𝜌 distância radial da linha central do eixo Tensão de cisalhamento devido ao torque 𝜏 𝑇𝜌 𝐽 Observe que para 𝜌 𝑐 a tensão de cisalhamento será máxima 𝜏𝑚á𝑥 𝑇𝑐 𝐽 Momento polar de inércia do Eixo Maciço 𝐽 𝜋 2 𝑐4 Observe que 𝐽 é uma propriedade geométrica da área do círculo e é sempre positiva Momento polar de inércia do Eixo Tubular 𝐽 𝜋 2 𝑐𝑒4 𝑐𝑖 4 Observe que 𝐽 é uma propriedade geométrica da área do círculo e é sempre positiva 𝐶𝑒 𝐶𝑖 Distribuição de tensão de cisalhamento no Eixo Maciço Distribuição de tensão de cisalhamento no Eixo Tubular 2 A distribuição de tensão em um eixo maciço foi esquematizada graficamente ao longo de três retas radiais arbitrárias como mostra na figura abaixo Determinar o torque interno resultante na seção Exemplos Distribuição de tensão cisalhante devido ao momento torçor no eixo 𝜏 𝑇𝜌 𝐽 T Momento polar de inércia da seção maciça 𝐽 𝜋 2 𝑐4 𝐽 𝜋 2 24 25133 𝑚4 Para 𝜌 2𝑚 temse 𝜏 8 𝑃𝑎 8 𝑇2 25133 𝑇 100532 𝐾𝑁𝑚 3 O eixo mostrado na Figura a é suportado por dois mancais e está sujeito a três torques Determinar a tensão de cisalhamento desenvolvida nos pontos A e B Figura b localizada na seção aa do eixo 125 Nm 30 Nm 425Nm a a A B C D E 125 Nm 425Nm Na seção aa 𝑇 125 𝑁𝑚 𝜏 𝑇𝜌 𝐽 Momento polar de inércia da seção maciça 𝐽 𝜋 2 𝐶4 𝜋 2 0754 0497 𝑚4 Para o ponto A na seção aa 𝜏𝐴 125 075 0497 189 𝑃𝑎 Para o ponto B na seção aa 𝜏𝐵 125 015 0497 377 𝑃𝑎 4 O tubo mostrado na Figura tem diâmetro interno de 80mm e diâmetro externo de 100mm Supondo que sua extremidade seja apertada contra o apoio em A por meio de um torquímetro em B determinar a tensão de cisalhamento desenvolvida no material nas paredes interna e externa ao longo da parte central do tubo quando são aplicadas forças de 80N ao torquímetro 𝐷𝑖 80mm 𝐷𝑒 100mm Tensão de cisalhamento nas paredes interna e externa 𝜏 𝑇𝜌 𝐽 Momento polar de inercia 𝐽 𝜋 2 𝐶𝑒 4 𝐶𝑖 4 𝜋 2 0 054 0044 579 106𝑚4 O torquimetro gera um torque interno no tubo que vale 𝑇 80 02 80 03 40 𝑁𝑚 Paredes interna 𝜏𝑖 40 004 579 106 0276 106 𝑃𝑎 0276 𝑀𝑃𝑎 paredes externa 𝜏𝑒 40 005 579 106 0345 106 𝑃𝑎 0345 𝑀𝑃𝑎 0276 𝑀𝑃𝑎 0345 𝑀𝑃𝑎 5 No eixo maciço representado na figura calcular a tensão máxima em cada trecho Dados T1 6 kNm T2 9 kNm D 100 mm em AB e D 76 mm em BC Dados T1 6 kNm T2 9 kNm D 100 mm em AB e D 76 mm em BC T KNm 6 3 𝜏 𝑇𝜌 𝐽 𝐽 𝜋 2 𝐶4 AB 𝐽 𝜋 2 0054 9817 106𝑚4 𝜏𝐴𝐵 3000 005 9817 106 1528 106𝑃𝑎 1528 𝑀𝑃𝑎 AB 𝐽 𝜋 2 00384 3275 106𝑚4 𝜏𝐴𝐵 3000 0038 3275 106 3481 106𝑃𝑎 3481 𝑀𝑃𝑎 𝜌 𝐶 𝜏𝑚𝑎𝑥 Calcular o valor máximo admissível do torque T e os valores correspondentes das tensões máximas Dados D 50 mm em AB e d 30 mm em BC a tensão máxima admissível 𝜏 80 MPa Resposta 𝑇 1709 KNm 𝜏𝐵𝐶 80 Mpa 𝜏𝐴𝐵 55706 MPa Proposto Definir uma fórmula para determinar o ângulo de torção Φ de uma extremidade do eixo em relação à outra Àngulo de Torção Sendo G a área da seção transversal e o torque aplicado constantes ao longo do comprimento do eixo o ângulo de torção será dado por 𝜙 𝑇𝐿 𝐽𝐺 Onde 𝜙 ângulo de torção de uma extremidade do eixo em relação à outra medido em radianos 𝑇𝑥 torque interno na posição arbitrária x J𝑥 momento de inércia polar do eixo expresso como função da posição x 𝐺 módulo de elasticidade ao cisalhamento do material Convenção de sinais o ângulo é positivo se o torque interno for positivo 6 As engrenagens acopladas ao eixo de aço com uma das extremidades fixa estão sujeitas aos torques mostrados na Figura a Supondo que o módulo de elasticidade ao cisalhamento seja 𝐺 80 GPa e o eixo tenha diâmetro de 14mm determinar o deslocamento do dente P da engrenagem A O eixo gira livremente no mancal em B Exemplo A C D E T Nm 150 130 170 Seção para o trecho AC ângulo de torção no eixo 𝜙 𝑇𝐿 𝐽𝐺 Momento polar de inércia do eixo 𝐽 𝜋 2 𝑐4 𝐽 𝜋 2 00074 3771 109𝑚4 𝐴𝐸 𝐴𝐶 𝐶𝐷 𝐷𝐸 𝐴𝐶 15004 377110980109 0 199 𝑟𝑎𝑑 𝐶𝐷 13003 377110980109 0 129𝑟𝑎𝑑 𝐷𝐸 17005 377110980109 0 282𝑟𝑎𝑑 𝐴𝐸 0212 𝑟𝑎𝑑 100 mm P 7 mm P Deslocamento do ponto P Comprimento de arco𝑟 𝑃𝑃 100 0212 212 mm 7 Calcular os diâmetros externo e interno de um eixo de aço sujeito a um torque de 25 kNm de modo que a tensão máxima de cisalhamento seja 84 MPa e o ângulo de torção seja de 25 graus para um comprimento de 3 m Dado 𝐺 84 GPa Eixo tubular 𝑐𝑒 e 𝑐𝑖 𝑇 25 kNm 𝜏𝑚𝑎𝑥 84 MPa 25 𝑟𝑎𝑑 L3 m 𝐺 84 GPa Tensão cisalhante na seção do tubo 𝜏 𝑇𝜌 𝐽 Momento polar de inércia 𝐽 𝜋 2 𝑐𝑒4 𝑐𝑖 4 Ângulo de torção 𝜙 𝑇𝐿 𝐽𝐺 𝜏𝑚𝑎𝑥 84 106 25000𝑐𝑒 𝐽 𝜙 00436 250003 𝐽84109 logo J 20463 105𝑚4 84 106 25000𝑐𝑒 20463105 logo 𝑐𝑒 00688 𝑚 𝐽 20463 105 𝜋 2 006884 𝑐𝑖 4 logo 𝑐𝑖 00553 𝑚 Resposta 𝑑𝑒 014 𝑚 e 𝑑𝑖 011 𝑚 𝑐𝑒 𝑐𝑖 180 𝜋𝑟𝑎𝑑 25 𝑥𝑟𝑎𝑑 25 00436𝑟𝑎𝑑 𝜏𝑚𝑎𝑥 8 Se as engrenagens presas às extremidades do eixo forem submetidas a torques de 85 Nm determine o ângulo de torção da extremidade B da seção maciça em relação à extremidade C A seção maciça tem diâmetro de 40 mm Dado 𝐺 75 GPa ângulo de torção da extremidade B da seção maciça em relação à extremidade C Momento torçor de A até D 𝑇 85 𝑁𝑚 Ângulo de torção 𝜙 𝑇𝐿 𝐽𝐺 Momento polar de inércia 𝐽 𝜋 2 𝑐4 𝐽 𝜋 2 0024 2513 107𝑚4 𝐿𝐵𝐶 05𝑚 𝐵𝐶 8505 251310775109 00023 𝑟𝑎𝑑 Calcular o valor máximo admissível do torque T e os valores correspondentes das tensões máximas e do ângulo de torção CxA Dados D 50 mm em AB e d 30 mm em BC a tensão máxima admissível 𝜏 80 MPa e 𝐺 80 GPa Resposta 𝑇 1709 KNm 𝜏𝐵𝐶 80 MPa 𝜏𝐴𝐵 55706 MPa 𝜙 000107 rad Proposto T 𝜏𝑚𝑎𝑥 𝐶𝐴 D 50 mm d 30 mm 𝜏 80 MPa 𝐺 80 GPa Tensão de cisalhamento 𝜏 𝑇𝜌 𝐽 Condição de segurança 𝜏𝑚𝑎𝑥 𝜏 Trecho BC 𝐽 𝜋 2 00254 00154 534 107𝑚4 𝜏 80𝑀𝑃𝑎 𝑇0025 534107 𝑇 1709 𝑁𝑚 Trecho AB 𝐽 𝜋 2 00254 6136 107𝑚4 𝜏 80𝑀𝑃𝑎 08𝑇0025 6136107 𝑇 24544 𝑁𝑚 A B C 08T T Trecho BC 𝜏𝑚𝑎𝑥 𝑇𝑐𝑒 𝐽 17090025 534107 80 𝑀𝑃𝑎 Trecho AB 𝜏𝑚𝑎𝑥 𝑇𝑐𝑒 𝐽 0817090025 6136107 55706 MPa Ângulo de torção 𝜙 𝑇𝐿 𝐽𝐺 𝐶𝐴 𝐶𝐵 𝐴𝐵 𝐶𝐴 170906 53410780109 08170909 613610780109 000107 rad DEFORMAÇÃO A deformação por cisalhamento no interior do eixo varia linearmente ao longo de qualquer reta radial de zero na linha de centro do eixo a um máximo ϒmax em seu limite externo 𝛾 𝜌 𝑐 𝛾𝑚á𝑥 FÓRMULA DA TORÇÃO O torque interno 𝑻 não só desenvolve uma distribuição linear da tensão de cisalhamento ao longo de cada reta radial do plano da área da seção transversal como também desenvolve uma distribuição da tensão de cisalhamento associada ao longo de um plano axial Pela Lei de Hooke material linear elástico 𝜏 𝐺𝛾 e pela Equação 𝛾 𝜌 𝑐 𝛾𝑚𝑎𝑥 podemos escrever 𝜏 𝜌 𝑐 𝜏𝑚𝑎𝑥 Cada elemento de área 𝑑𝐴 localizado em 𝜌 está submetido a uma força 𝑑𝐹 𝜏𝑑𝐴 O torque produzido por essa força é 𝑑𝑇 𝜌𝜏 𝑑𝐴 Temos portanto para toda a seção transversal 𝑇 𝐴 𝜌 𝜏𝑑𝐴 𝐴 𝜌 𝜌 𝑐 𝜏𝑚á𝑥𝑑𝐴 Como 𝜏𝑚á𝑥𝑐 é constante 𝑇 𝜏𝑚á𝑥 𝑐 𝐴 𝜌2𝑑𝐴 𝑇 𝜏𝑚á𝑥 𝑐 𝐴 𝜌2𝑑𝐴 A integral dessa equação depende somente da geometria do eixo Ela representa o momento de inércia polar 𝑱 da área da seção transversal calculado em torno da linha de centro longitudinal do eixo 𝜏𝑚á𝑥 𝑇𝑐 𝐽 A tensão de cisalhamento é determinada na distância intermediária ρ a partir de uma equação semelhante obtida por meio das equações 𝜏 𝜌 𝑐 𝜏𝑚á𝑥 e 𝜏𝑚á𝑥 𝑇𝑐 𝐽 𝜏 𝑇𝜌 𝐽 Momento polar de inércia do Eixo Maciço seção transversal circular maciça No anel infinitesimal 𝑑𝐴 2𝜋𝜌𝑑𝜌 então 𝐽 𝐴 𝜌2𝑑𝐴 0 𝑐 𝜌2 2𝜋𝜌𝑑𝜌 2𝜋 1 4 𝜌4 0 𝑐 𝐽 𝜋 2 𝑐4 Momento polar de inércia do Eixo Tubular seção transversal tubular eixo vazado com raio interno 𝑐𝑖 e raio externo 𝑐𝑒 O momento de inércia polar será 𝐽 𝐽 𝑐𝑒 𝐽𝑐𝑖 𝐽 𝜋 2 𝑐𝑒4 𝜋 2 𝑐𝑖 4 𝐽 𝜋 2 𝑐𝑒4 𝑐𝑖 4 ÂNGULO DE TORÇÃO Observase que 𝑑𝜙 𝛾 𝑑𝑥 𝜌 Lei de Hooke 𝜏 𝐺𝛾 Fórmula da Torção 𝜏 𝑇𝜌 𝐽 𝛾 𝑇𝑥𝜌 𝐽 𝑥 𝐺 𝑑𝜙 𝑇𝑥 𝐽 𝑥 𝐺 𝑑𝑥 𝑑𝜙 𝑇𝑥 𝐽 𝑥 𝐺 𝑑𝑥 Integrando em todo o comprimento L do eixo obtemos o ângulo de torção para todo o eixo ou seja 𝜙 0 𝐿 𝑇 𝑥 𝐽 𝑥 𝐺 𝑑𝑥 Onde 𝜙 ângulo de torção de uma extremidade do eixo em relação à outra medido em radianos 𝑇𝑥 torque interno na posição arbitrária x J𝑥 momento de inércia polar do eixo expresso como função da posição x 𝐺 módulo de elasticidade ao cisalhamento do material Sendo G constante a área da seção transversal e o torque aplicado constantes ao longo do comprimento do eixo 𝜙 𝑇𝐿 𝐽𝐺 ecosistema ânima