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Análise e Comportamento das Estruturas Esforços Internos HIBBELER R C Estática Mecânica para Engenheiros São Paulo Pearson 2012 Capítulo 5 Equilíbrio de um corpo rígido Capítulo 7 Forças internas Bibliografia TIPÓ MOVEL FIXO ENGASTE SÍMBOLO FORÇA HORIZONTAL FORÇA VERTICAL ROTAÇÃO ANALOGIA Esforços internos Para este corpo temos Eixo y corresponde ao eixo principal do corpo eou ao eixo perpendicular a área da seção transversal Eixos x e z correspondem aos eixos perpendiculares ao eixo principal do corpo eou paralelo a área da seção transversal Esforços Força Normal 𝑁𝑦 Força Cortante 𝑉𝑥 e 𝑉𝑧 Momento Fletor 𝑀𝑥 e 𝑀𝑧 Momento Torçor 𝑀𝑦 Exemplos de apoios Vínculos Vínculos é ligação que temos entre as estruturas Servem para impedir movimentos de translação deslocar em uma mesma direção e de rotação Tipos de apoio Vínculos Móvel impede o deslocamento translação na direção do apoio Fixo impede o deslocamento translação na direção do apoio e na direção perpendicular ao apoio Engaste impede o deslocamento translação na direção do apoio e na direção perpendicular ao apoio e também impede a rotação de acontecer Apoio móvel rolete ou apoio de primeiro gênero impede o movimento de translação em 1 direção Para impedir este movimento temos uma força de reação no ponto onde temos o apoio Apoio fixo pino ou apoio de segundo gênero impede o movimento de translação em 2 direções Para impedir este movimento temos duas forças de reação no ponto onde temos o apoio Engaste ou apoio de terceiro gênero impede o movimento de translação em 2 direções e o movimento de rotação em 1 direção Para impedir este movimento temos duas forças de reação e um momento no ponto onde temos o apoio Ponto material possui massa porém suas dimensões são desprezíveis Por exemplo para treliças o nó é tratado como ponto material Corpo rígido possui massa e suas dimensões não são desprezíveis Por exemplo uma viga é trada como um corpo rígido Por exemplo para treliça como um todo é trada como um corpo rígido Estática Estaticidade é o corpo ter estabilidade não se movimenta Para um corpo ter estabilidade é necessário que ele esteja impedido de sedeslocar em pelo menos um ponto na horizontal e dois pontos na vertical ou dois pontos na horizontal e um ponto na vertical Equilíbrio Dizer que um corpo está em equilíbrio estático significa que ele não pode mover e nem girar ou seja ele está em repouso As condições para o equilíbrio em duas dimensões são ൞ σ 𝐹𝑦 0 σ 𝐹𝑥 0 σ 𝑀𝑧 0 Classificação Isostática é quando o número de apoios vínculos é o suficiente para dar estabilidade Isso ocorre quando o número de equações é igual ao número de reações e tem estabilidade Hipostática é quando o corpo não tem estabilidade Isso ocorre quando o número de apoios é menor que o número de equações ou o corpo não tem estabilidade Hiperestática é quando o número de apoios vínculos é maior que a quantidade suficiente para dar estabilidade Isso ocorre quando o número de apoios é maior que o número de equações e o corpo possui estabilidade Tem estabilidade Isostático Hiperestático Não tem estabilidade Hipostático Vigas elementos delgados que são projetados para suportarem carregamentos aplicados perpendicularmente a seu eixo longitudinal Cargas das Vigas Carga distribuída constante linear Força aplicada Momento aplicado Classificação das Vigas Isostáticas Viga simplesmente apoiada Viga em balanço Viga apoiada com uma extremidade em balanço Vigas Viga simplesmente apoiada Viga em balanço Viga apoiada com a extremidade em balanço No plano temos 3 equações de equilíbrio para um corpo rígido ൞ σ 𝐹𝑦 0 σ 𝐹𝑥 0 σ 𝑀𝑧 0 Para que a viga seja isostática temos que ter no máximo 3 reações de apoio e a viga tem que ter estabilidade Observa que temos 2 apoios móveis então temos 2 forças de reação Como o número de reação é menor que o número de equações essa viga é hipostática Observa que temos 3 apoios móveis então temos 3 forças de reação O número de reação é igual ao número de equações porém essa viga é instável qualquer força na horizontal desloca ela por isso essa viga é hipostática Exemplos de quando não temos vigas isostáticas Observa que temos 2 apoios fixos então temos 4 forças de reação Como o número de reação é maior que o número de equações e tem estabilidade essa viga é hiperestática Para a iésima partícula de um corpo rígido há duas forças que atuam na partícula esforços externos que representa por exemplo os efeitos das forças gravitacional elétrica magnética ou das forças de contato entre a iésima partícula e os corpos ou partículas vizinhos não incluídos no corpo esforços internos resultante que são provocado pela interação com as partículas adjacentes Equilíbrio dos corpos rígidos Cargas coplanares Esforços externos Reações de apoio𝐴𝑦 𝐴𝑥 𝑀𝐴 Cargas aplicadas P1 e P2 Esforços internos esforços na seção aa Diagrama de esforços internos em vigas Momento fletor MB Normal NB Cortante VB Por conta dos carregamentos aplicados as vigas desenvolvem forças internas cisalhante ou cortante V e normal N e momento fletor M que em geral variam de ponto para ponto ao longo do eixo da viga Para determinar V N e M internos em função de x ao longo de uma viga será necessário localizar a seção ou corte imaginário a uma distância arbitrária x da extremidade da viga e formular V N e M em termos de x Se um corpo está em equilíbrio então qualquer parte dele também está em equilíbrio Conclusão quando fazemos uma seção imaginária na viga dividimos a viga em duas partes Analisando uma das partes podemos dizer que os esforços internos que aparecem se equilibram com os esforços externos da parte analisada Somatório das forças internas será igual a zero pois essas forças entre as partículas do próprio corpo ocorrem aos pares são opostas e de mesma intensidade conforme a terceira lei de Newton Somatório das forças externas σ𝐹𝑥 0 σ𝐹𝑦 0 σ𝑀𝑧 0 CONVENÇÃO DE SINAL PARA VIGAS Normal CortanteCisalhante Momento Fletor Representação gráfica V x x M Diagrama de cortante Diagrama de momento fletor N x Diagrama de Normal 1 Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga mostrada na figura P120KN e L6m Exemplos Reações de apoio σ 𝑀𝐴 0 120 3 𝐶𝑦 6 0 𝐶𝑦 60 𝐾𝑁 σ 𝐹𝑦 0 𝐴𝑦 120 60 0 𝐴𝑦 60 𝐾𝑁 σ 𝐹𝑥 0 𝐴𝑥 0 Calculo dos esforços internos Seção AB 0 𝑥 3 σ 𝑀𝑠 0 𝐴𝑦𝑥 𝑀 0 𝑀𝑥 60𝑥 σ 𝐹𝑦 0 𝐴𝑦 𝑉 0 𝑉𝑥 60 𝐾𝑁 σ 𝐹𝑥 0 𝑁 0 Seção BC 3 𝑥 6 σ 𝑀𝑠 0 60𝑥 120 𝑥 3 𝑀 0 𝑀𝑥 60𝑥 360 σ 𝐹𝑦 0 60 120 𝑉 0 𝑉𝑥 60 𝐾𝑁 σ 𝐹𝑥 0 𝑁 0 Ay Ax Cy x x V M N V M N x x3 60 60 Seção AB 0 𝑥 3 𝑀𝑥 60𝑥 ቊ 𝑀 0 60 0 0 𝑀 3 60 3 180 𝑉𝑥 60 𝐾𝑁 Seção BC 3 𝑥 6 𝑀𝑥 60𝑥 360 ቊ𝑀 3 60 3 360 180 𝑀 6 60 6 360 0 𝑉𝑥 60 𝐾𝑁 60 𝐾𝑁 60 𝐾𝑁 𝑽𝑲𝑵 180 𝐾𝑁𝑚 M𝑲𝑵𝒎 60 60 Comentários Se não tenho carga distribuída tenho somente carga aplicada o diagrama de cortante será constante e o diagrama de momento será uma equação de primeiro grau Porque 𝑑𝑀𝑥 𝑑𝑥 𝑉𝑥 e 𝑑𝑉𝑥 𝑑𝑥 𝑤𝑥 Observe que no ponto A tenho a força de reação valendo 60KN no diagrama de cortante no ponto tenho uma descontinuidade que vale exatamente essa força O mesmo ocorre nos pontos B e C Não tenho momento aplicado na viga por isso no diagrama de momento não tenho descontinuidade O diagrama de cortante e momento sempre vão sair de zero e chegar azero Observe que no ponto A o cortante vale zero e 60 KN 60 KN é a força aplicada em A e no ponto C o cortante vale zero e 60 KN 60 KN é a força aplicada em C 60 𝐾𝑁 60 𝐾𝑁 𝑽𝑲𝑵 180 𝐾𝑁𝑚 M𝑲𝑵𝒎 2 Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga mostrada na figura Para 𝑀0 100 Nm e 𝐿 4 m Reação de apoio σ 𝑀𝐴 0 𝐶𝑦 4 100 0 𝐶𝑦 25𝑁 σ 𝐹𝑦 0 𝐴𝑦 25 0 𝐴𝑦 25𝑁 S1 S2 Seção entre A e B S1 0 𝑥 2 m Origem do eixo x no ponto A da viga σ 𝑀𝑆1 0 25𝑥 𝑀 0 𝑀 𝑥 25𝑥 ቊ 𝐴 𝑀 0 0 𝐵 𝑀 2 50𝑁𝑚 σ 𝐹𝑦 0 25 𝑉 0 𝑉 𝑥 25𝑁 Seção entre B e C S2 2 𝑥 4 m Origem do eixo x no ponto A da viga σ 𝑀𝑆2 0 25𝑥 100 𝑀 0 𝑀 𝑥 25𝑥 100 ቊ𝐵 𝑀 2 50𝑁𝑚 𝐶 𝑀 4 0𝑁𝑚 σ 𝐹𝑦 0 25 𝑉 0 𝑉 𝑥 25𝑁 AB 𝑀 𝑥 25𝑥 ቊ 𝐴 𝑀 0 0 𝐵 𝑀 2 50𝑁𝑚 𝑉 𝑥 25𝑁 BC 𝑀 𝑥 25𝑥 100 ቊ𝐵 𝑀 2 50𝑁𝑚 𝐶 𝑀 4 0𝑁𝑚 𝑉 𝑥 25𝑁 3 Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga mostrada na figura Para 𝑤 20 Nm e 𝐿 4 m Reações de apoio σ 𝑀𝐴 0 𝐵𝑦 4 80 2 0 𝐵𝑦 40 𝑁 σ 𝐹𝑦 0 𝐴𝑦 80 40 0 𝐴𝑦 40 𝑁 Calculo dos esforços internos Seção AB 0 𝑥 4 σ 𝑀𝑠 0 40𝑥 20𝑥 𝑥 2 𝑀 0 𝑀 𝑥 10𝑥2 40𝑥 σ 𝐹𝑦 0 40 20𝑥 𝑉 0 𝑉 𝑥 20𝑥 40 Ay By 20 4 80 𝑁 2 m 40 20 Nm x V M 20 𝑥 𝑥2 𝑉 𝑥 20𝑥 40 ቊ 𝑉 𝑥 0 40 𝐾𝑁 𝑉 𝑥 4 40 𝐾𝑁 𝑀 𝑥 10𝑥2 40𝑥 ቊ𝑀 𝑥 0 0 𝑀 𝑥 4 0 𝑉 𝑥 20𝑥 40 ቊ 𝑉 𝑥 0 40 𝐾𝑁 𝑉 𝑥 4 40 𝐾𝑁 𝑀 𝑥 10𝑥2 40𝑥 ቊ𝑀 𝑥 0 0 𝑀 𝑥 4 0 Derivada do momento em relação a x me dá o cortante Se eu derivo uma equação e igualo a zero tenho os pontos de máximo e mínimo desta equação Logo onde o cortante for zero o momento é máximo 𝑑𝑀𝑥 𝑑𝑥 V x 𝑑𝑀𝑥 𝑑𝑥 V x 0 𝑀𝑚𝑎𝑥 𝑉 𝑥 20𝑥 40 0 𝑥 2𝑚 𝑀 2 𝑀𝑚𝑎𝑥 40 𝐾𝑁𝑚 40 𝐾𝑁 40 𝐾𝑁 40 𝐾𝑁m 𝑉 𝑥 𝑀 𝑥 4 Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga mostrada na figura Para 𝑃 100 N e 𝐿 3 m Reação de apoio σ 𝑀𝐴 0 100 3 𝑀 0 𝑀 300𝑁𝑚 σ 𝐹𝑦 0 𝐴𝑦 100 0 𝐴𝑦 100𝑁 S Seção entre A e B S 0 𝑥 3 m Origem do eixo x no ponto A da viga σ 𝑀𝑆 0 100𝑥 300 𝑀 0 𝑀 𝑥 100𝑥 300 ቊ𝐴 𝑀 0 300 𝑁𝑚 𝐵 𝑀 3 0 σ 𝐹𝑦 0 100 𝑉 0 𝑉 𝑥 100𝑁 𝑀 𝑥 100𝑥 300 ቊ𝐴 𝑀 0 300 𝑁𝑚 𝐵 𝑀 3 0 𝑉 𝑥 100𝑁 5 Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga mostrada na figura Para 𝑤0 12 Nm e 𝐿 1 m Reação de apoio σ 𝑀𝐴 0 12 1 05 𝑀 0 𝑀 6𝑁𝑚 σ 𝐹𝑦 0 𝐴𝑦 12 1 0 𝐴𝑦 12𝑁 S Seção entre A e B S 0 𝑥 1 m Origem do eixo x no ponto A da viga σ 𝑀𝑆 0 12𝑥 6 12𝑥 𝑥 2 𝑀 0 𝑀𝑥 6𝑥2 12𝑥 6 ቊ𝐴 𝑀 0 6𝑁𝑚 𝐵 𝑀 1 0 σ 𝐹𝑦 0 12 12𝑥 𝑉 0 𝑉 𝑥 12𝑥 12 ቊ𝐴 𝑣 0 12𝑁 𝐵 𝑉 1 0 Obs 𝑑𝑀 𝑑𝑥 𝑉 𝑑6𝑥212𝑥6 𝑑𝑥 12𝑥 12 12x 𝑀𝑥 6𝑥2 12𝑥 6 ቊ𝐴 𝑀 0 6𝑁𝑚 𝐵 𝑀 1 0 𝑉 𝑥 12𝑥 12 ቊ𝐴 𝑣 0 12𝑁 𝐵 𝑉 1 0 6Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga mostrada na figura Reação de apoio σ 𝑀𝐴 0 96 2 2 9 3 𝐵𝑦 9 0 𝐵𝑦 18𝐾𝑁 σ 𝐹𝑦 0 𝐴𝑦 27 18 0 𝐴𝑦 9𝐾𝑁 9 3 3𝑚 29 3 6m 96 2 27𝐾𝑁 S Seção entre A e B S 0 𝑥 9 m Origem do eixo x no ponto A da viga Calculando a equação da carga distribuída 𝑦 𝑎𝑥 𝑏 𝑦 0 e 𝑥 0 0 𝑎0 𝑏 𝑦 6 e 𝑥 9 6 𝑎9 𝑏 𝑏 0 e 𝑎 6 9 2 3 w 2 3 𝑥 𝑤𝑥 2 𝑥 3 σ 𝑀𝑆 0 9𝑥 𝑤𝑥 2 𝑥 3 𝑀 0 9𝑥 2𝑥 3 𝑥 2 𝑥 3 𝑀 0 𝑀 𝑥 𝑥³ 9 9𝑥 ቊ𝑀 0 0 𝑀 9 0 σ 𝐹𝑦 0 9 𝑤𝑥 2 𝑉 0 9 2𝑥 3 𝑥 2 𝑉 0 𝑉 𝑥 𝑥2 3 9 ቊ 𝑉 0 9𝐾𝑁 𝑉 9 18𝐾𝑁 𝑀 𝑥 𝑥³ 9 9𝑥 ቊ𝑀 0 0 𝑀 9 0 𝑉 𝑥 𝑥2 3 9 ቊ 𝑉 0 9𝐾𝑁 𝑉 9 18𝐾𝑁 Momento é máximo onde o cortante é zero 𝑉 𝑥 𝑥2 3 9 0 𝑥 5196𝑚 𝑀𝑚𝑎𝑥 𝑀 5196 51963 9 9 5196 312𝐾𝑁𝑚 MÉTODO GRÁFICO PARA CONSTRUIR DIAGRAMAS DE FORÇA CORTANTE E MOMENTO FLETOR Região de carga distribuída 𝑤 a derivada do cortante é a carga distribuída e a derivada do momento fletor é o cortante 𝑑𝑉 𝑑𝑥 𝑤 𝑥 e 𝑑𝑀 𝑑𝑥 𝑉 Regiões de força e momento concentrados quando o corpo tem uma força pontual aplicada no diagrama de cortante haverá uma descontinuidade neste ponto que vale a força aplicada Quando o corpo tem um momento fletor aplicado no diagrama de momento fletor haverá uma descontinuidade neste ponto que vale o momento aplicado 𝑉 𝐹 e 𝑀 𝑀0 𝑀 momento fletor 𝑉 cortante 𝑊 carga distribuída 𝐹 força pontual Aspecto geral das curvas nos diagramas Carregamento Curva dos diagramas Observação Vx Mx carga distribuída linear 1 grau 2 grau 3 grau Mx V e Vx w carga distribuída constante w 1 grau 2 grau Mx V e Vx w força pontual F força constante 1 grau ΔV F momento fletor aplicado M0 nula momento constante ΔM M0 Aspecto geral das curvas nos diagramas V esforço cortante M momento fletor 𝑑𝑉 𝑑𝑥 𝑤 𝑥 𝑑𝑀 𝑑𝑥 𝑉 1 Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga mostrada na figura Exemplo Ay Cy Reação de apoio σ 𝑀𝐶 0 𝐴𝑦10 80 15 5 25 25 0 𝐴𝑦 575 𝐾𝑁 σ 𝐹𝑦 0 575 15 25 𝐶𝑦 0 𝐶𝑦 3425 𝐾𝑁 Cortante 𝑉𝐴 0 𝐾𝑁 𝑉𝐴 0 575 𝐾𝑁 𝑉𝐵 𝐴𝐵 575 𝐾𝑁 𝑉𝐵 𝐵𝐶 575 15 925 𝐾𝑁 𝑉𝐶 925 25 3425 𝐾𝑁 𝑉𝐶 3425 3425 0 25 KN Cortante AB constante BC equação 1 575 V V 575 575 925 3425 VKN 575 3425 Momento 𝑀𝐴 0 𝐾𝑁𝑚 𝑀𝐴 80 𝐾𝑁𝑚 𝑀𝐵 575 5 80 10875 𝐾𝑁𝑚 𝑀𝐶 0 𝐾𝑁𝑚 Cortante AB constante BC equação 1 Momento AB equação de 1 BC equação 2 𝑑𝑀𝑥 𝑑𝑥 𝑉𝑥 575 80 10875 Mx 2 Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga mostrada na figura Reações de apoio σ 𝑀𝐴 0 30 𝐵𝑦3 10 45 0 𝐵𝑦 5𝐾𝑁 σ 𝐹𝑦 0 𝐴𝑦 5 10 0 𝐴𝑦 5 𝐾𝑁 Cortante CA nula não temos força aplicada e nem carga distribuída AB e BD constante temos força aplicada que são as reações de apoio mas não temos carga distribuída Caminhando da esquerda para a direita se a força estiver para cima é positivo internamente então eu se a força estiver para baixo eu subtraio 𝑉𝐶 0 𝑉𝐴 𝐶𝐴 0 𝑉𝐴 𝐴𝐵 0 5 5 𝐾𝑁 𝑉𝐵 𝐴𝐵 5 KN 𝑉𝐵 𝐵𝐷 5 5 10𝐾𝑁 𝑉𝐷 10 10 0 𝐾𝑁 C D Ay5KN By5KN 5 KN 10 KN 0 KN V C Ay5KN By5KN 5 KN 10 KN 0 KN V Do cortante para o momento eu acrescento 1 na equação CA constante não tem carga distribuída e não tem força aplicada mas temos momento aplicado AB e BD 1 grau não tem carga distribuída mas temos força aplicada 𝑀𝐶 30 𝐾𝑁𝑚 𝑀𝐴 30 𝐾𝑁𝑚 𝑀𝐵 30 5 3 15 𝐾𝑁𝑚 𝑀𝐷 0 D 15 KNm 30 KNm M 3 Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga mostrada na figura 4 KNm 20 KNm 10 KN 2m 2m 1 m Reação σ 𝑀𝐶 0 𝐴𝑦 4 20 16 2 10 1 0 𝐴𝑦 05 𝐾𝑁 σ 𝐹𝑦 0 05 16 𝐶𝑦 10 0 𝐶𝑦 255 𝐾𝑁 Cortante AB e BC 1 grau carga distribuída CD constante não tenho carga distribuída e tenho força aplicada 𝑉𝐴 05 𝐾𝑁 𝑉𝐵 05 4 2 75 𝐾𝑁 𝑉𝐶 𝐵𝐶 75 4 2 155 𝐾𝑁 𝑉𝐶 𝐶𝐷 155 255 10 𝐾𝑁 4 KNm 20 KNm 10 KN 2m 2m 1 m A B C D Ay05 KN Cy255 KN 16 KN 2m 75 05 155 10 4 KNm 20 KNm 10 KN 2m 2m 1 m A B C D Ay05 KN Cy255 KN 16 KN 2m 75 KN 05 KN 155 KN 10 KN Momento AB e BC 2 grau carga distribuída constante CD 1 grau 𝑀𝐴 0 𝑀𝐵 𝐴𝐵 05 2 8 1 7 𝐾𝑁𝑚 𝑀𝐵 𝐵𝐶 05 2 8 1 20 13 𝐾𝑁𝑚 𝑀𝐶 05 4 16 2 20 10 𝐾𝑁𝑚 𝑀𝐷 0 𝑑𝑀𝑥 𝑑𝑥 𝑉𝑥 Se 𝑉 𝑥 0 na posição onde o cortante é zero o momento é máximo 𝑥 05 2 𝑥 75 𝑥 0125𝑚 𝑉𝑚𝑎𝑥 𝐴𝐵 05 0125 4 0125 0125 2 003125 𝐾𝑁𝑚 7 KNm 003125 KNm 10 KNm x 2x 13 KNm 4 Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga mostrada na figura 2 KNm 10 KN 5m 1 m A B C 2 KNm 10 KN 5m 1 m A B C Reações de apoio σ 𝑀𝐴 0 𝑀0 10 25 10 6 0 𝑀0 85 𝐾𝑁𝑚 σ 𝐹𝑦 0 𝐴𝑦 10 10 0 𝐴𝑦 20 𝐾𝑁 Cortante AB equação 1 grau carga distribuída constante BC constante força aplicada 𝑉𝐴 20 𝐾𝑁 𝑉𝐵 20 2 5 10 𝐾𝑁 𝑉𝑐 10 10 0 Momento AB equação 2 grau carga distribuída constante BC equação 1 grau força aplicada 𝑀𝐴 85 𝐾𝑁𝑚 𝑀𝐵 85 20 5 2 5 25 10 𝑀𝐶 0 𝑀0 𝐴𝑦 2 5 10𝐾𝑁 25𝑚 10 KN 10 KNm Mx Vx 85 KNm 20 KN Pórtico é composto de diversos membros ligados em suas extremidades Pórticos Santa Clara do Sul Existem quatro tipos fundamentais de quadros isostáticos planos aos quais chamamos quadros simples quando ocorrem isoladamente Biapoiado Engastado e livre Triarticulado Com articulação e tirante 1 Quadro biapoiado Estamos diante de um problema novo que faremos recair em problema já conhecido resolução de vigas biapoiadas A B C D E F G A C E E F G G D B Obter as reações de apoio Tratase de uma estrutura isostática Obter os diagramas solicitantes Os diagramas são marcados como no caso das vigas perpendicularmente ao eixo de cada barra A B C D E F G Convenção de sinais Normal não tem convenção Momento Fletor Cortante 5 Obter os diagramas solicitantes para o quadro Exemplo Reação de apoio σ 𝑀𝐴 0 4 4 4 1 12 3 16 2 6 𝐻𝑥 4 0 𝐻𝑥 5 𝐾𝑁 σ 𝐹𝑦 0 𝐴𝑦 16 0 𝐴𝑦 16 𝐾𝑁 σ 𝐹𝑥 0 𝐴𝑥 4 2 5 0 𝐴𝑥 3 𝐾𝑁 2 2 4 2 6 12 5 KN 3 KN 16 KN Normal A força é normal a barra se ela estiver na direção da barra Se a força aponta para a barra é compressão Se a força aponta para fora da barra é tração Para a barra AD e FE e EH a força vai ser normal a barra se ela estiver na direção vertical Para a barra CD e DE a força vai ser normal a barra se ela estiver na direção horizontal A B C D E F G H 16 16 0 7 0 0 0 AB BD CD DE FE EG GH Cortante A força é cortante a barra se ela estiver perpendicular a barra Para as barras verticais AB BD GH GE e EF a força é cortante a barra se estiver na direção horizontal Para as barras horizontais CD e DE a força é cortante a barra se estiver na direção vertical Para o diagrama de cortante para a barra vertical se eu caminhar na barra de baixo para cima posso seguir o sentido das forças que estarei respeitando a convenção de sinais mostrada na figura Represento os valores positivos para a direita e negativos para a esquerda Para o diagrama de cortante para a barra horizontal se eu caminhar na barra da esquerda para a direita posso seguir o sentido das forças que estarei respeitando a convenção de sinais mostrada na figura Represento os valores positivos para a cima e negativos para baixo 5 KN 3 KN 16 KN Barras verticais Para esquerda De cima para baixo sigo o sentido da força 𝑉𝐴 𝐴𝐵 3𝐾𝑁 𝑉𝐵 𝐴𝐵 3𝐾𝑁 𝑉𝐵 𝐵𝐷 3 4 7𝐾𝑁 𝑉𝐷 𝐵𝐷 7 7 0 𝐾𝑁 𝑉𝐻 𝐻𝐺 5𝐾𝑁 𝑉𝐺 𝐻𝐺 5𝐾𝑁 𝑉𝐺 𝐺𝐸 5 2 7𝐾𝑁 𝑉𝐸 𝐺𝐸 7 7 0𝐾𝑁 Barras horizontais Para cima Da esquerda para a direita sigo o sentido da força 𝑉𝐶 𝐶𝐷 0𝐾𝑁 𝑉𝐷 𝐶𝐷 0 2 2 4𝐾𝑁 𝑉𝐷 𝐷𝐸 4 16 12𝐾𝑁 𝑉𝐸 𝐷𝐸 12 2 6 0𝐾𝑁 A B C D E F G H 3 7 5 7 4 12 Barras verticais Para esquerda De cima para baixo sigo o sentido da força 𝑉𝐴 𝐴𝐵 3𝐾𝑁 𝑉𝐵 𝐴𝐵 3𝐾𝑁 𝑉𝐵 𝐵𝐷 3 4 7𝐾𝑁 𝑉𝐷 𝐵𝐷 7 7 0 𝐾𝑁 𝑉𝐻 𝐻𝐺 5𝐾𝑁 𝑉𝐺 𝐻𝐺 5𝐾𝑁 𝑉𝐺 𝐺𝐸 5 2 7𝐾𝑁 𝑉𝐸 𝐺𝐸 7 7 0𝐾𝑁 Barras horizontais Para cima Da esquerda para a direita sigo o sentido da força 𝑉𝐶 𝐶𝐷 0𝐾𝑁 𝑉𝐷 𝐶𝐷 0 2 2 4𝐾𝑁 𝑉𝐷 𝐷𝐸 4 16 12𝐾𝑁 𝑉𝐸 𝐷𝐸 12 2 6 0𝐾𝑁 Momento A B C D E F G H 12 40 10 24 16 4 44 8 D Equilíbrio de momento nos nós 4 44 40 E 16 24 8 5 KN 3 KN 16 KN Barra ABD 𝑀𝐴 𝐴𝐵𝐷 0 extremidade 𝑀𝐵 𝐴𝐵𝐷 3 4 12 𝐾𝑁𝑚 𝑀𝐷 𝐴𝐵𝐷 3 8 4 4 40 𝐾𝑁𝑚 5 KN 3 KN 16 KN Barra HGE 𝑀𝐻 𝐻𝐺 0 extremidade 𝑀𝐺 𝐻𝐺 5 2 10 𝐾𝑁𝑚 𝑀𝐸 𝐺𝐸 5 4 2 2 24 𝐾𝑁𝑚 Barra FE 𝑀𝐸 𝐹𝐸 16 𝐾𝑁𝑚 𝑀𝐹 𝐸𝐹 16 𝐾𝑁𝑚 extremidade e tenho o momento de 16 KNm aplicado 5 KN 3 KN 16 KN Barra CD 𝑀𝐶 𝐶𝐷 0 extremidade 𝑀𝐷 𝐶𝐷 2 2 1 4 𝐾𝑁𝑚 Barra DE 𝑀𝐷 𝐷𝐸 2 2 1 4 4 3 8 44 𝐾𝑁𝑚 𝑀𝐸 𝐸𝐷 5 4 2 2 16 8 𝐾𝑁𝑚 2 Quadro engastado e livre Obter as reações de apoio Obter os diagramas solicitantes 6 Obter os diagramas solicitantes para o quadro Exemplo Reações de apoio σ 𝑀𝐴 𝑀0 1 2 1 1 3 2 1 4 2 0 𝑀0 1 𝐾𝑁𝑚 σ 𝐹𝑦 0 𝐴𝑦 1 3 1 4 0 𝐴𝑦 8 𝐾𝑁 σ 𝐹𝑥 0 𝐴𝑥 1 0 𝐴𝑥 1 𝐾𝑁 Ay Ax 𝑀0 8 1 1 F B C D A Normal KN 8 7 𝑁𝐴 𝐴𝐵 8 𝐾𝑁 𝑁𝐵 𝐵𝐸 8 1 7 𝐾𝑁 1 0 E 0 8 1 1 F B C D Cortante KN E A 1 0 3 4 𝑉𝐴 𝐴𝐵 1 𝐾𝑁 𝑉𝐵 𝐵𝐸 1 1 0 𝐾𝑁 𝑉𝐷 𝐷𝐸 3 𝐾𝑁 𝑉𝐸 𝐸𝐹 3 8 1 4 𝐾𝑁 𝑉𝐹 𝐸𝐹 4 1 4 0 𝐾𝑁 1 8 1 1 B C D Momento KNm E A 1 3 1 2 6 F 8 8 1 1 𝑀𝐵 𝐴𝐵 1 1 2 3 𝑀𝐵 𝐵𝐸 1 1 2 1 1 2 𝑀𝐵 𝐵𝐶 1 1 1 8 1 1 𝑀𝐸 𝐵𝐸 1 1 4 1 1 1 2 2 𝑀𝐸 𝐷𝐸 3 2 6 𝑀𝐸 𝐸𝐹 1 4 2 8 3 Quadros triarticulados Na rótula só tem transmissão de forças Por tanto o momento fletor na rótula é nulo 4 Quadros biapoiado com articulação e tirante ou escora No tirante existe apenas esforço normal ecosistema ānima
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Análise e Comportamento das Estruturas Esforços Internos HIBBELER R C Estática Mecânica para Engenheiros São Paulo Pearson 2012 Capítulo 5 Equilíbrio de um corpo rígido Capítulo 7 Forças internas Bibliografia TIPÓ MOVEL FIXO ENGASTE SÍMBOLO FORÇA HORIZONTAL FORÇA VERTICAL ROTAÇÃO ANALOGIA Esforços internos Para este corpo temos Eixo y corresponde ao eixo principal do corpo eou ao eixo perpendicular a área da seção transversal Eixos x e z correspondem aos eixos perpendiculares ao eixo principal do corpo eou paralelo a área da seção transversal Esforços Força Normal 𝑁𝑦 Força Cortante 𝑉𝑥 e 𝑉𝑧 Momento Fletor 𝑀𝑥 e 𝑀𝑧 Momento Torçor 𝑀𝑦 Exemplos de apoios Vínculos Vínculos é ligação que temos entre as estruturas Servem para impedir movimentos de translação deslocar em uma mesma direção e de rotação Tipos de apoio Vínculos Móvel impede o deslocamento translação na direção do apoio Fixo impede o deslocamento translação na direção do apoio e na direção perpendicular ao apoio Engaste impede o deslocamento translação na direção do apoio e na direção perpendicular ao apoio e também impede a rotação de acontecer Apoio móvel rolete ou apoio de primeiro gênero impede o movimento de translação em 1 direção Para impedir este movimento temos uma força de reação no ponto onde temos o apoio Apoio fixo pino ou apoio de segundo gênero impede o movimento de translação em 2 direções Para impedir este movimento temos duas forças de reação no ponto onde temos o apoio Engaste ou apoio de terceiro gênero impede o movimento de translação em 2 direções e o movimento de rotação em 1 direção Para impedir este movimento temos duas forças de reação e um momento no ponto onde temos o apoio Ponto material possui massa porém suas dimensões são desprezíveis Por exemplo para treliças o nó é tratado como ponto material Corpo rígido possui massa e suas dimensões não são desprezíveis Por exemplo uma viga é trada como um corpo rígido Por exemplo para treliça como um todo é trada como um corpo rígido Estática Estaticidade é o corpo ter estabilidade não se movimenta Para um corpo ter estabilidade é necessário que ele esteja impedido de sedeslocar em pelo menos um ponto na horizontal e dois pontos na vertical ou dois pontos na horizontal e um ponto na vertical Equilíbrio Dizer que um corpo está em equilíbrio estático significa que ele não pode mover e nem girar ou seja ele está em repouso As condições para o equilíbrio em duas dimensões são ൞ σ 𝐹𝑦 0 σ 𝐹𝑥 0 σ 𝑀𝑧 0 Classificação Isostática é quando o número de apoios vínculos é o suficiente para dar estabilidade Isso ocorre quando o número de equações é igual ao número de reações e tem estabilidade Hipostática é quando o corpo não tem estabilidade Isso ocorre quando o número de apoios é menor que o número de equações ou o corpo não tem estabilidade Hiperestática é quando o número de apoios vínculos é maior que a quantidade suficiente para dar estabilidade Isso ocorre quando o número de apoios é maior que o número de equações e o corpo possui estabilidade Tem estabilidade Isostático Hiperestático Não tem estabilidade Hipostático Vigas elementos delgados que são projetados para suportarem carregamentos aplicados perpendicularmente a seu eixo longitudinal Cargas das Vigas Carga distribuída constante linear Força aplicada Momento aplicado Classificação das Vigas Isostáticas Viga simplesmente apoiada Viga em balanço Viga apoiada com uma extremidade em balanço Vigas Viga simplesmente apoiada Viga em balanço Viga apoiada com a extremidade em balanço No plano temos 3 equações de equilíbrio para um corpo rígido ൞ σ 𝐹𝑦 0 σ 𝐹𝑥 0 σ 𝑀𝑧 0 Para que a viga seja isostática temos que ter no máximo 3 reações de apoio e a viga tem que ter estabilidade Observa que temos 2 apoios móveis então temos 2 forças de reação Como o número de reação é menor que o número de equações essa viga é hipostática Observa que temos 3 apoios móveis então temos 3 forças de reação O número de reação é igual ao número de equações porém essa viga é instável qualquer força na horizontal desloca ela por isso essa viga é hipostática Exemplos de quando não temos vigas isostáticas Observa que temos 2 apoios fixos então temos 4 forças de reação Como o número de reação é maior que o número de equações e tem estabilidade essa viga é hiperestática Para a iésima partícula de um corpo rígido há duas forças que atuam na partícula esforços externos que representa por exemplo os efeitos das forças gravitacional elétrica magnética ou das forças de contato entre a iésima partícula e os corpos ou partículas vizinhos não incluídos no corpo esforços internos resultante que são provocado pela interação com as partículas adjacentes Equilíbrio dos corpos rígidos Cargas coplanares Esforços externos Reações de apoio𝐴𝑦 𝐴𝑥 𝑀𝐴 Cargas aplicadas P1 e P2 Esforços internos esforços na seção aa Diagrama de esforços internos em vigas Momento fletor MB Normal NB Cortante VB Por conta dos carregamentos aplicados as vigas desenvolvem forças internas cisalhante ou cortante V e normal N e momento fletor M que em geral variam de ponto para ponto ao longo do eixo da viga Para determinar V N e M internos em função de x ao longo de uma viga será necessário localizar a seção ou corte imaginário a uma distância arbitrária x da extremidade da viga e formular V N e M em termos de x Se um corpo está em equilíbrio então qualquer parte dele também está em equilíbrio Conclusão quando fazemos uma seção imaginária na viga dividimos a viga em duas partes Analisando uma das partes podemos dizer que os esforços internos que aparecem se equilibram com os esforços externos da parte analisada Somatório das forças internas será igual a zero pois essas forças entre as partículas do próprio corpo ocorrem aos pares são opostas e de mesma intensidade conforme a terceira lei de Newton Somatório das forças externas σ𝐹𝑥 0 σ𝐹𝑦 0 σ𝑀𝑧 0 CONVENÇÃO DE SINAL PARA VIGAS Normal CortanteCisalhante Momento Fletor Representação gráfica V x x M Diagrama de cortante Diagrama de momento fletor N x Diagrama de Normal 1 Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga mostrada na figura P120KN e L6m Exemplos Reações de apoio σ 𝑀𝐴 0 120 3 𝐶𝑦 6 0 𝐶𝑦 60 𝐾𝑁 σ 𝐹𝑦 0 𝐴𝑦 120 60 0 𝐴𝑦 60 𝐾𝑁 σ 𝐹𝑥 0 𝐴𝑥 0 Calculo dos esforços internos Seção AB 0 𝑥 3 σ 𝑀𝑠 0 𝐴𝑦𝑥 𝑀 0 𝑀𝑥 60𝑥 σ 𝐹𝑦 0 𝐴𝑦 𝑉 0 𝑉𝑥 60 𝐾𝑁 σ 𝐹𝑥 0 𝑁 0 Seção BC 3 𝑥 6 σ 𝑀𝑠 0 60𝑥 120 𝑥 3 𝑀 0 𝑀𝑥 60𝑥 360 σ 𝐹𝑦 0 60 120 𝑉 0 𝑉𝑥 60 𝐾𝑁 σ 𝐹𝑥 0 𝑁 0 Ay Ax Cy x x V M N V M N x x3 60 60 Seção AB 0 𝑥 3 𝑀𝑥 60𝑥 ቊ 𝑀 0 60 0 0 𝑀 3 60 3 180 𝑉𝑥 60 𝐾𝑁 Seção BC 3 𝑥 6 𝑀𝑥 60𝑥 360 ቊ𝑀 3 60 3 360 180 𝑀 6 60 6 360 0 𝑉𝑥 60 𝐾𝑁 60 𝐾𝑁 60 𝐾𝑁 𝑽𝑲𝑵 180 𝐾𝑁𝑚 M𝑲𝑵𝒎 60 60 Comentários Se não tenho carga distribuída tenho somente carga aplicada o diagrama de cortante será constante e o diagrama de momento será uma equação de primeiro grau Porque 𝑑𝑀𝑥 𝑑𝑥 𝑉𝑥 e 𝑑𝑉𝑥 𝑑𝑥 𝑤𝑥 Observe que no ponto A tenho a força de reação valendo 60KN no diagrama de cortante no ponto tenho uma descontinuidade que vale exatamente essa força O mesmo ocorre nos pontos B e C Não tenho momento aplicado na viga por isso no diagrama de momento não tenho descontinuidade O diagrama de cortante e momento sempre vão sair de zero e chegar azero Observe que no ponto A o cortante vale zero e 60 KN 60 KN é a força aplicada em A e no ponto C o cortante vale zero e 60 KN 60 KN é a força aplicada em C 60 𝐾𝑁 60 𝐾𝑁 𝑽𝑲𝑵 180 𝐾𝑁𝑚 M𝑲𝑵𝒎 2 Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga mostrada na figura Para 𝑀0 100 Nm e 𝐿 4 m Reação de apoio σ 𝑀𝐴 0 𝐶𝑦 4 100 0 𝐶𝑦 25𝑁 σ 𝐹𝑦 0 𝐴𝑦 25 0 𝐴𝑦 25𝑁 S1 S2 Seção entre A e B S1 0 𝑥 2 m Origem do eixo x no ponto A da viga σ 𝑀𝑆1 0 25𝑥 𝑀 0 𝑀 𝑥 25𝑥 ቊ 𝐴 𝑀 0 0 𝐵 𝑀 2 50𝑁𝑚 σ 𝐹𝑦 0 25 𝑉 0 𝑉 𝑥 25𝑁 Seção entre B e C S2 2 𝑥 4 m Origem do eixo x no ponto A da viga σ 𝑀𝑆2 0 25𝑥 100 𝑀 0 𝑀 𝑥 25𝑥 100 ቊ𝐵 𝑀 2 50𝑁𝑚 𝐶 𝑀 4 0𝑁𝑚 σ 𝐹𝑦 0 25 𝑉 0 𝑉 𝑥 25𝑁 AB 𝑀 𝑥 25𝑥 ቊ 𝐴 𝑀 0 0 𝐵 𝑀 2 50𝑁𝑚 𝑉 𝑥 25𝑁 BC 𝑀 𝑥 25𝑥 100 ቊ𝐵 𝑀 2 50𝑁𝑚 𝐶 𝑀 4 0𝑁𝑚 𝑉 𝑥 25𝑁 3 Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga mostrada na figura Para 𝑤 20 Nm e 𝐿 4 m Reações de apoio σ 𝑀𝐴 0 𝐵𝑦 4 80 2 0 𝐵𝑦 40 𝑁 σ 𝐹𝑦 0 𝐴𝑦 80 40 0 𝐴𝑦 40 𝑁 Calculo dos esforços internos Seção AB 0 𝑥 4 σ 𝑀𝑠 0 40𝑥 20𝑥 𝑥 2 𝑀 0 𝑀 𝑥 10𝑥2 40𝑥 σ 𝐹𝑦 0 40 20𝑥 𝑉 0 𝑉 𝑥 20𝑥 40 Ay By 20 4 80 𝑁 2 m 40 20 Nm x V M 20 𝑥 𝑥2 𝑉 𝑥 20𝑥 40 ቊ 𝑉 𝑥 0 40 𝐾𝑁 𝑉 𝑥 4 40 𝐾𝑁 𝑀 𝑥 10𝑥2 40𝑥 ቊ𝑀 𝑥 0 0 𝑀 𝑥 4 0 𝑉 𝑥 20𝑥 40 ቊ 𝑉 𝑥 0 40 𝐾𝑁 𝑉 𝑥 4 40 𝐾𝑁 𝑀 𝑥 10𝑥2 40𝑥 ቊ𝑀 𝑥 0 0 𝑀 𝑥 4 0 Derivada do momento em relação a x me dá o cortante Se eu derivo uma equação e igualo a zero tenho os pontos de máximo e mínimo desta equação Logo onde o cortante for zero o momento é máximo 𝑑𝑀𝑥 𝑑𝑥 V x 𝑑𝑀𝑥 𝑑𝑥 V x 0 𝑀𝑚𝑎𝑥 𝑉 𝑥 20𝑥 40 0 𝑥 2𝑚 𝑀 2 𝑀𝑚𝑎𝑥 40 𝐾𝑁𝑚 40 𝐾𝑁 40 𝐾𝑁 40 𝐾𝑁m 𝑉 𝑥 𝑀 𝑥 4 Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga mostrada na figura Para 𝑃 100 N e 𝐿 3 m Reação de apoio σ 𝑀𝐴 0 100 3 𝑀 0 𝑀 300𝑁𝑚 σ 𝐹𝑦 0 𝐴𝑦 100 0 𝐴𝑦 100𝑁 S Seção entre A e B S 0 𝑥 3 m Origem do eixo x no ponto A da viga σ 𝑀𝑆 0 100𝑥 300 𝑀 0 𝑀 𝑥 100𝑥 300 ቊ𝐴 𝑀 0 300 𝑁𝑚 𝐵 𝑀 3 0 σ 𝐹𝑦 0 100 𝑉 0 𝑉 𝑥 100𝑁 𝑀 𝑥 100𝑥 300 ቊ𝐴 𝑀 0 300 𝑁𝑚 𝐵 𝑀 3 0 𝑉 𝑥 100𝑁 5 Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga mostrada na figura Para 𝑤0 12 Nm e 𝐿 1 m Reação de apoio σ 𝑀𝐴 0 12 1 05 𝑀 0 𝑀 6𝑁𝑚 σ 𝐹𝑦 0 𝐴𝑦 12 1 0 𝐴𝑦 12𝑁 S Seção entre A e B S 0 𝑥 1 m Origem do eixo x no ponto A da viga σ 𝑀𝑆 0 12𝑥 6 12𝑥 𝑥 2 𝑀 0 𝑀𝑥 6𝑥2 12𝑥 6 ቊ𝐴 𝑀 0 6𝑁𝑚 𝐵 𝑀 1 0 σ 𝐹𝑦 0 12 12𝑥 𝑉 0 𝑉 𝑥 12𝑥 12 ቊ𝐴 𝑣 0 12𝑁 𝐵 𝑉 1 0 Obs 𝑑𝑀 𝑑𝑥 𝑉 𝑑6𝑥212𝑥6 𝑑𝑥 12𝑥 12 12x 𝑀𝑥 6𝑥2 12𝑥 6 ቊ𝐴 𝑀 0 6𝑁𝑚 𝐵 𝑀 1 0 𝑉 𝑥 12𝑥 12 ቊ𝐴 𝑣 0 12𝑁 𝐵 𝑉 1 0 6Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga mostrada na figura Reação de apoio σ 𝑀𝐴 0 96 2 2 9 3 𝐵𝑦 9 0 𝐵𝑦 18𝐾𝑁 σ 𝐹𝑦 0 𝐴𝑦 27 18 0 𝐴𝑦 9𝐾𝑁 9 3 3𝑚 29 3 6m 96 2 27𝐾𝑁 S Seção entre A e B S 0 𝑥 9 m Origem do eixo x no ponto A da viga Calculando a equação da carga distribuída 𝑦 𝑎𝑥 𝑏 𝑦 0 e 𝑥 0 0 𝑎0 𝑏 𝑦 6 e 𝑥 9 6 𝑎9 𝑏 𝑏 0 e 𝑎 6 9 2 3 w 2 3 𝑥 𝑤𝑥 2 𝑥 3 σ 𝑀𝑆 0 9𝑥 𝑤𝑥 2 𝑥 3 𝑀 0 9𝑥 2𝑥 3 𝑥 2 𝑥 3 𝑀 0 𝑀 𝑥 𝑥³ 9 9𝑥 ቊ𝑀 0 0 𝑀 9 0 σ 𝐹𝑦 0 9 𝑤𝑥 2 𝑉 0 9 2𝑥 3 𝑥 2 𝑉 0 𝑉 𝑥 𝑥2 3 9 ቊ 𝑉 0 9𝐾𝑁 𝑉 9 18𝐾𝑁 𝑀 𝑥 𝑥³ 9 9𝑥 ቊ𝑀 0 0 𝑀 9 0 𝑉 𝑥 𝑥2 3 9 ቊ 𝑉 0 9𝐾𝑁 𝑉 9 18𝐾𝑁 Momento é máximo onde o cortante é zero 𝑉 𝑥 𝑥2 3 9 0 𝑥 5196𝑚 𝑀𝑚𝑎𝑥 𝑀 5196 51963 9 9 5196 312𝐾𝑁𝑚 MÉTODO GRÁFICO PARA CONSTRUIR DIAGRAMAS DE FORÇA CORTANTE E MOMENTO FLETOR Região de carga distribuída 𝑤 a derivada do cortante é a carga distribuída e a derivada do momento fletor é o cortante 𝑑𝑉 𝑑𝑥 𝑤 𝑥 e 𝑑𝑀 𝑑𝑥 𝑉 Regiões de força e momento concentrados quando o corpo tem uma força pontual aplicada no diagrama de cortante haverá uma descontinuidade neste ponto que vale a força aplicada Quando o corpo tem um momento fletor aplicado no diagrama de momento fletor haverá uma descontinuidade neste ponto que vale o momento aplicado 𝑉 𝐹 e 𝑀 𝑀0 𝑀 momento fletor 𝑉 cortante 𝑊 carga distribuída 𝐹 força pontual Aspecto geral das curvas nos diagramas Carregamento Curva dos diagramas Observação Vx Mx carga distribuída linear 1 grau 2 grau 3 grau Mx V e Vx w carga distribuída constante w 1 grau 2 grau Mx V e Vx w força pontual F força constante 1 grau ΔV F momento fletor aplicado M0 nula momento constante ΔM M0 Aspecto geral das curvas nos diagramas V esforço cortante M momento fletor 𝑑𝑉 𝑑𝑥 𝑤 𝑥 𝑑𝑀 𝑑𝑥 𝑉 1 Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga mostrada na figura Exemplo Ay Cy Reação de apoio σ 𝑀𝐶 0 𝐴𝑦10 80 15 5 25 25 0 𝐴𝑦 575 𝐾𝑁 σ 𝐹𝑦 0 575 15 25 𝐶𝑦 0 𝐶𝑦 3425 𝐾𝑁 Cortante 𝑉𝐴 0 𝐾𝑁 𝑉𝐴 0 575 𝐾𝑁 𝑉𝐵 𝐴𝐵 575 𝐾𝑁 𝑉𝐵 𝐵𝐶 575 15 925 𝐾𝑁 𝑉𝐶 925 25 3425 𝐾𝑁 𝑉𝐶 3425 3425 0 25 KN Cortante AB constante BC equação 1 575 V V 575 575 925 3425 VKN 575 3425 Momento 𝑀𝐴 0 𝐾𝑁𝑚 𝑀𝐴 80 𝐾𝑁𝑚 𝑀𝐵 575 5 80 10875 𝐾𝑁𝑚 𝑀𝐶 0 𝐾𝑁𝑚 Cortante AB constante BC equação 1 Momento AB equação de 1 BC equação 2 𝑑𝑀𝑥 𝑑𝑥 𝑉𝑥 575 80 10875 Mx 2 Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga mostrada na figura Reações de apoio σ 𝑀𝐴 0 30 𝐵𝑦3 10 45 0 𝐵𝑦 5𝐾𝑁 σ 𝐹𝑦 0 𝐴𝑦 5 10 0 𝐴𝑦 5 𝐾𝑁 Cortante CA nula não temos força aplicada e nem carga distribuída AB e BD constante temos força aplicada que são as reações de apoio mas não temos carga distribuída Caminhando da esquerda para a direita se a força estiver para cima é positivo internamente então eu se a força estiver para baixo eu subtraio 𝑉𝐶 0 𝑉𝐴 𝐶𝐴 0 𝑉𝐴 𝐴𝐵 0 5 5 𝐾𝑁 𝑉𝐵 𝐴𝐵 5 KN 𝑉𝐵 𝐵𝐷 5 5 10𝐾𝑁 𝑉𝐷 10 10 0 𝐾𝑁 C D Ay5KN By5KN 5 KN 10 KN 0 KN V C Ay5KN By5KN 5 KN 10 KN 0 KN V Do cortante para o momento eu acrescento 1 na equação CA constante não tem carga distribuída e não tem força aplicada mas temos momento aplicado AB e BD 1 grau não tem carga distribuída mas temos força aplicada 𝑀𝐶 30 𝐾𝑁𝑚 𝑀𝐴 30 𝐾𝑁𝑚 𝑀𝐵 30 5 3 15 𝐾𝑁𝑚 𝑀𝐷 0 D 15 KNm 30 KNm M 3 Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga mostrada na figura 4 KNm 20 KNm 10 KN 2m 2m 1 m Reação σ 𝑀𝐶 0 𝐴𝑦 4 20 16 2 10 1 0 𝐴𝑦 05 𝐾𝑁 σ 𝐹𝑦 0 05 16 𝐶𝑦 10 0 𝐶𝑦 255 𝐾𝑁 Cortante AB e BC 1 grau carga distribuída CD constante não tenho carga distribuída e tenho força aplicada 𝑉𝐴 05 𝐾𝑁 𝑉𝐵 05 4 2 75 𝐾𝑁 𝑉𝐶 𝐵𝐶 75 4 2 155 𝐾𝑁 𝑉𝐶 𝐶𝐷 155 255 10 𝐾𝑁 4 KNm 20 KNm 10 KN 2m 2m 1 m A B C D Ay05 KN Cy255 KN 16 KN 2m 75 05 155 10 4 KNm 20 KNm 10 KN 2m 2m 1 m A B C D Ay05 KN Cy255 KN 16 KN 2m 75 KN 05 KN 155 KN 10 KN Momento AB e BC 2 grau carga distribuída constante CD 1 grau 𝑀𝐴 0 𝑀𝐵 𝐴𝐵 05 2 8 1 7 𝐾𝑁𝑚 𝑀𝐵 𝐵𝐶 05 2 8 1 20 13 𝐾𝑁𝑚 𝑀𝐶 05 4 16 2 20 10 𝐾𝑁𝑚 𝑀𝐷 0 𝑑𝑀𝑥 𝑑𝑥 𝑉𝑥 Se 𝑉 𝑥 0 na posição onde o cortante é zero o momento é máximo 𝑥 05 2 𝑥 75 𝑥 0125𝑚 𝑉𝑚𝑎𝑥 𝐴𝐵 05 0125 4 0125 0125 2 003125 𝐾𝑁𝑚 7 KNm 003125 KNm 10 KNm x 2x 13 KNm 4 Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga mostrada na figura 2 KNm 10 KN 5m 1 m A B C 2 KNm 10 KN 5m 1 m A B C Reações de apoio σ 𝑀𝐴 0 𝑀0 10 25 10 6 0 𝑀0 85 𝐾𝑁𝑚 σ 𝐹𝑦 0 𝐴𝑦 10 10 0 𝐴𝑦 20 𝐾𝑁 Cortante AB equação 1 grau carga distribuída constante BC constante força aplicada 𝑉𝐴 20 𝐾𝑁 𝑉𝐵 20 2 5 10 𝐾𝑁 𝑉𝑐 10 10 0 Momento AB equação 2 grau carga distribuída constante BC equação 1 grau força aplicada 𝑀𝐴 85 𝐾𝑁𝑚 𝑀𝐵 85 20 5 2 5 25 10 𝑀𝐶 0 𝑀0 𝐴𝑦 2 5 10𝐾𝑁 25𝑚 10 KN 10 KNm Mx Vx 85 KNm 20 KN Pórtico é composto de diversos membros ligados em suas extremidades Pórticos Santa Clara do Sul Existem quatro tipos fundamentais de quadros isostáticos planos aos quais chamamos quadros simples quando ocorrem isoladamente Biapoiado Engastado e livre Triarticulado Com articulação e tirante 1 Quadro biapoiado Estamos diante de um problema novo que faremos recair em problema já conhecido resolução de vigas biapoiadas A B C D E F G A C E E F G G D B Obter as reações de apoio Tratase de uma estrutura isostática Obter os diagramas solicitantes Os diagramas são marcados como no caso das vigas perpendicularmente ao eixo de cada barra A B C D E F G Convenção de sinais Normal não tem convenção Momento Fletor Cortante 5 Obter os diagramas solicitantes para o quadro Exemplo Reação de apoio σ 𝑀𝐴 0 4 4 4 1 12 3 16 2 6 𝐻𝑥 4 0 𝐻𝑥 5 𝐾𝑁 σ 𝐹𝑦 0 𝐴𝑦 16 0 𝐴𝑦 16 𝐾𝑁 σ 𝐹𝑥 0 𝐴𝑥 4 2 5 0 𝐴𝑥 3 𝐾𝑁 2 2 4 2 6 12 5 KN 3 KN 16 KN Normal A força é normal a barra se ela estiver na direção da barra Se a força aponta para a barra é compressão Se a força aponta para fora da barra é tração Para a barra AD e FE e EH a força vai ser normal a barra se ela estiver na direção vertical Para a barra CD e DE a força vai ser normal a barra se ela estiver na direção horizontal A B C D E F G H 16 16 0 7 0 0 0 AB BD CD DE FE EG GH Cortante A força é cortante a barra se ela estiver perpendicular a barra Para as barras verticais AB BD GH GE e EF a força é cortante a barra se estiver na direção horizontal Para as barras horizontais CD e DE a força é cortante a barra se estiver na direção vertical Para o diagrama de cortante para a barra vertical se eu caminhar na barra de baixo para cima posso seguir o sentido das forças que estarei respeitando a convenção de sinais mostrada na figura Represento os valores positivos para a direita e negativos para a esquerda Para o diagrama de cortante para a barra horizontal se eu caminhar na barra da esquerda para a direita posso seguir o sentido das forças que estarei respeitando a convenção de sinais mostrada na figura Represento os valores positivos para a cima e negativos para baixo 5 KN 3 KN 16 KN Barras verticais Para esquerda De cima para baixo sigo o sentido da força 𝑉𝐴 𝐴𝐵 3𝐾𝑁 𝑉𝐵 𝐴𝐵 3𝐾𝑁 𝑉𝐵 𝐵𝐷 3 4 7𝐾𝑁 𝑉𝐷 𝐵𝐷 7 7 0 𝐾𝑁 𝑉𝐻 𝐻𝐺 5𝐾𝑁 𝑉𝐺 𝐻𝐺 5𝐾𝑁 𝑉𝐺 𝐺𝐸 5 2 7𝐾𝑁 𝑉𝐸 𝐺𝐸 7 7 0𝐾𝑁 Barras horizontais Para cima Da esquerda para a direita sigo o sentido da força 𝑉𝐶 𝐶𝐷 0𝐾𝑁 𝑉𝐷 𝐶𝐷 0 2 2 4𝐾𝑁 𝑉𝐷 𝐷𝐸 4 16 12𝐾𝑁 𝑉𝐸 𝐷𝐸 12 2 6 0𝐾𝑁 A B C D E F G H 3 7 5 7 4 12 Barras verticais Para esquerda De cima para baixo sigo o sentido da força 𝑉𝐴 𝐴𝐵 3𝐾𝑁 𝑉𝐵 𝐴𝐵 3𝐾𝑁 𝑉𝐵 𝐵𝐷 3 4 7𝐾𝑁 𝑉𝐷 𝐵𝐷 7 7 0 𝐾𝑁 𝑉𝐻 𝐻𝐺 5𝐾𝑁 𝑉𝐺 𝐻𝐺 5𝐾𝑁 𝑉𝐺 𝐺𝐸 5 2 7𝐾𝑁 𝑉𝐸 𝐺𝐸 7 7 0𝐾𝑁 Barras horizontais Para cima Da esquerda para a direita sigo o sentido da força 𝑉𝐶 𝐶𝐷 0𝐾𝑁 𝑉𝐷 𝐶𝐷 0 2 2 4𝐾𝑁 𝑉𝐷 𝐷𝐸 4 16 12𝐾𝑁 𝑉𝐸 𝐷𝐸 12 2 6 0𝐾𝑁 Momento A B C D E F G H 12 40 10 24 16 4 44 8 D Equilíbrio de momento nos nós 4 44 40 E 16 24 8 5 KN 3 KN 16 KN Barra ABD 𝑀𝐴 𝐴𝐵𝐷 0 extremidade 𝑀𝐵 𝐴𝐵𝐷 3 4 12 𝐾𝑁𝑚 𝑀𝐷 𝐴𝐵𝐷 3 8 4 4 40 𝐾𝑁𝑚 5 KN 3 KN 16 KN Barra HGE 𝑀𝐻 𝐻𝐺 0 extremidade 𝑀𝐺 𝐻𝐺 5 2 10 𝐾𝑁𝑚 𝑀𝐸 𝐺𝐸 5 4 2 2 24 𝐾𝑁𝑚 Barra FE 𝑀𝐸 𝐹𝐸 16 𝐾𝑁𝑚 𝑀𝐹 𝐸𝐹 16 𝐾𝑁𝑚 extremidade e tenho o momento de 16 KNm aplicado 5 KN 3 KN 16 KN Barra CD 𝑀𝐶 𝐶𝐷 0 extremidade 𝑀𝐷 𝐶𝐷 2 2 1 4 𝐾𝑁𝑚 Barra DE 𝑀𝐷 𝐷𝐸 2 2 1 4 4 3 8 44 𝐾𝑁𝑚 𝑀𝐸 𝐸𝐷 5 4 2 2 16 8 𝐾𝑁𝑚 2 Quadro engastado e livre Obter as reações de apoio Obter os diagramas solicitantes 6 Obter os diagramas solicitantes para o quadro Exemplo Reações de apoio σ 𝑀𝐴 𝑀0 1 2 1 1 3 2 1 4 2 0 𝑀0 1 𝐾𝑁𝑚 σ 𝐹𝑦 0 𝐴𝑦 1 3 1 4 0 𝐴𝑦 8 𝐾𝑁 σ 𝐹𝑥 0 𝐴𝑥 1 0 𝐴𝑥 1 𝐾𝑁 Ay Ax 𝑀0 8 1 1 F B C D A Normal KN 8 7 𝑁𝐴 𝐴𝐵 8 𝐾𝑁 𝑁𝐵 𝐵𝐸 8 1 7 𝐾𝑁 1 0 E 0 8 1 1 F B C D Cortante KN E A 1 0 3 4 𝑉𝐴 𝐴𝐵 1 𝐾𝑁 𝑉𝐵 𝐵𝐸 1 1 0 𝐾𝑁 𝑉𝐷 𝐷𝐸 3 𝐾𝑁 𝑉𝐸 𝐸𝐹 3 8 1 4 𝐾𝑁 𝑉𝐹 𝐸𝐹 4 1 4 0 𝐾𝑁 1 8 1 1 B C D Momento KNm E A 1 3 1 2 6 F 8 8 1 1 𝑀𝐵 𝐴𝐵 1 1 2 3 𝑀𝐵 𝐵𝐸 1 1 2 1 1 2 𝑀𝐵 𝐵𝐶 1 1 1 8 1 1 𝑀𝐸 𝐵𝐸 1 1 4 1 1 1 2 2 𝑀𝐸 𝐷𝐸 3 2 6 𝑀𝐸 𝐸𝐹 1 4 2 8 3 Quadros triarticulados Na rótula só tem transmissão de forças Por tanto o momento fletor na rótula é nulo 4 Quadros biapoiado com articulação e tirante ou escora No tirante existe apenas esforço normal ecosistema ānima