Análise e Comportamento das Estruturas: Vetores, Posição e Força

Análise e Comportamento das Estruturas Profa Luana Maris VETORES POSIÇÃO E FORÇA Objetivos Recordar o conceito de vetor posição Recordar o conceito de vetor força Recordar as operações vetoriais no plano RELEMBRANDO GRANDEZAS ESCALARES X VETORIAIS Grandezas escalares e vetoriais Grandezas escalares São aquelas que para serem definidas precisam de um número e uma unidade Exemplos área volume massa temperatura e tempo Grandezas vetoriais São aquelas que para serem definidas precisamos de além de um número e uma unidade de uma direção e um sentido Exemplos deslocamento velocidade aceleração força impulso e quantidade de movimento Grandezas Escalares O que é uma grandeza escalar Aquela cuja medida é completa com Um valor ou intensidade e sua unidade Exemplos Massa Temperatura Volume 1kg O que é um vetor Ente geométrico representado por um segmento de reta orientado Características básicas módulo direção sentido Grandezas Vetoriais O que é uma grandeza vetorial Aquela cuja medida é completa depende de Um valor ou intensidade e sua unidade Uma direção Um sentido Exemplos Velocidade Aceleração Força 20 kmh 20 kmh A Representação Vetorial É uma representação gráfica Intensidade comprimento do segmento Direção é dada por um ângulo a um eixo fixo Sentido a ponta de uma seta 1 α 𝑽 A aplicação de Composição Vetorial OPERAÇÕES VETORIAIS Soma vetorial Propriedades importantes Recordando Relações Triângulo Retângulo sen Cateto opostoHipotenusa cos Cateto adjacent Hipotenusa tg senθcosθ Cateto oposto Cateto adjacent 13 Adição de vetores através de suas componentes Para adição de vetores devese combinar suas componentes eixo a eixo Exemplo r a b Passos 1º Decompor os vetores em suas componentes escalares 2º Combinar essas componentes eixo a eixo 3º Combinar os componentes de r para especificálo expressar r em termos dos vetores unitários ou através de seu módulo e ângulo 14 ESCALARES E VETORES Escalar é um número positivo ou negativo Ex Massa Volume e comprimento Vetor É uma quantidade que tem intensidade direção e sentido Intensidade é o comprimento da flecha Direção ângulo entre o eixo de referencia e a reta de ação da flecha Sentido é indicado pela ponta da flecha Ex Posição força e momento OPERAÇÕES VETORIAIS o Multiplicação e Divisão de um Vetor por um Escalar Vetor A e sua contrapartida negativa OPERAÇÕES VETORIAIS o Adição Vetorial R A B B A OPERAÇÕES VETORIAIS o Subtração Vetorial R A B A B OPERAÇÕES VETORIAIS Decomposição de Vetores Lei do Paralelogramo o vetor pode ser decomposto em duas componentes Construa retas paralelas à origem de R para formar os componentes Decomposição de um vetor Multiplicar Vetor por Escalar Como calcular 𝑹 2 𝑨 A Mesma lógica da soma 𝑹 2 𝑨 𝑨 𝑨 A A R Se 𝑨 3 𝑹 𝑹 6 Dividir Vetor por Escalar Como calcular 𝑹 𝑨2 A Considere a divisão geométrica A R Se 𝑨 3 𝑹 𝑹 15 Lei dos Cossenos Se 𝑪 3 e 𝑫 2 𝑻 t 𝟐 𝟐 𝑻 𝑪 𝑫 𝟐 𝑪 𝑫 cos 𝒕 Por exemplo se t 120o 𝑻 𝟑𝟐 𝟐𝟐 𝟐 𝟑 𝟐 cos 𝟏𝟐𝟎 𝑻 𝟗 𝟒 𝟏𝟐 𝟎 𝟓 𝑻 𝟏𝟑 𝟔 𝑻 𝟒 𝟒 Para calcular 𝑻 precisamos deste ângulo Exercício Calcule 𝑹 𝑨 𝑩 85o B 100 ms A 200 ms Exercício Calcule 𝑹 𝑨 𝑩 85o B 100 ms A 200 ms 𝟐 𝟐 𝑹 𝑨 𝑩 𝟐 𝑨 𝑩 cos 𝟖𝟓 𝑹 𝟐𝟎𝟎𝟐 𝟏𝟎𝟎𝟐 𝟐 𝟐𝟎𝟎 𝟏𝟎𝟎 cos 𝟖𝟓 𝑹 𝟐𝟏𝟓 𝟔𝟕 𝒎𝒔 VETORES EM UM PLANO E A NOTAÇÃO CARTESIANA Vetores em um Plano Vetor V pode decomposto em 2 componentes VX VY x V α VX Sistema com dois eixos perpendiculares y VY 𝑉𝑥 𝑉 cos 𝛼 𝑉𝑦 𝑉 sen 𝛼 𝑉𝑥 𝑉 cos 𝛼 𝑉𝑦 𝑉 sen 𝛼 𝑉 𝑉 𝑉𝑥2 𝑉𝑦2 Vetores Unitários Um vetor unitário é um vetor que tem módulo exatamente igual a 1 e aponta em um certo sentido Ele não apresentar nem dimensão nem unidade Sua única função é especificar uma direção e um sentido a ax i ay j ax e ay são as componentes vetoriais de a ax e ay são as componentes escalares de a Notação Cartesiana Podemos descrever 𝑉 como 𝑉 𝑉𝑥 𝐢 𝑉𝑦 𝐣 i j 𝑉 𝑉𝑥 𝑖 𝑉𝑦 𝑗 x V VX VY x Sistema cartesiano e os vetores ortonormais y y V VX VY Somando Vetores em um Plano x y U UX UY x y V VX VY 𝑉 𝑉 𝑥 𝐢 𝑉𝑦𝐣 U V R 𝑈 𝑈𝑥 𝐢 𝑈𝑦𝐣 𝑅 𝑈 𝑉 𝑅𝑥 𝑈𝑥 𝑉𝑥 𝑅𝑦 𝑈𝑦 𝑉𝑦 Para 𝑹 𝑼 𝑽 podemos usar o recurso 𝑈 𝑥 𝐢 𝑈𝑦 𝐣 𝑉𝑥𝐢 𝑉𝑦𝐣 𝑅 𝑈𝑥 𝑉𝑥𝐢 𝑈𝑦 𝑉𝑦𝐣 i j Somando Vetores em um Plano x y U UX UY α x y V VY β VX U V R 𝑅𝑥 𝑈𝑥 𝑉𝑥 𝑅𝑦 𝑈𝑦 𝑉𝑦 x Para 𝑹 𝑼 𝑽 podemos usar o recurso y UX VX UY VY RX 𝑅 𝑅𝑥 2 𝑅𝑦2 𝑉 𝑉𝑥𝐢 𝑉𝑦𝐣 𝑈 𝑈𝑥𝐢 𝑈𝑦𝐣 RY 𝑅 𝑈 𝑉 𝑈𝑥𝐢 𝑈𝑦𝐣 𝑉𝑥𝐢 𝑉𝑦𝐣 𝑅 𝑈𝑥 𝑉𝑥𝐢 𝑈𝑦 𝑉𝑦𝐣 i j APLICAÇÃO E EXERCÍCIO RESULTANTES DE FORÇAS Resultante de Forças Sempre que houver várias forças atuando em um ponto podemos combinálas por meio de suas componentes e calcular a resultante 100kN 200kN 100kN 200kN 300kN Resultante de Forças Matematicamente podemos dizer que a resultante é calculada por Outro exemplo 100kN 200kN x 𝑅 𝐹 𝑅𝑥 200000 100000 𝑅𝑥 100000 Aplicar tais forças é equivalente a aplicar 100kN x Resultante de Forças E quando não estão na mesma direção 100kN 100kN 60o Calculamos pelas componentes y FY 100000 sen 60o 87kN 100kN 100kN x FX 100000 cos 60o 50kN VETOR POSIÇÃO Considere 𝑉 e suas projeções cartesianas Podese interpretar Como a indicação de um ponto V no espaço As coordenadas desse ponto são Observe que os vetores levam ao ponto V Vetor Posição 𝑉 𝑉𝑥 𝐢 𝑉 𝑦 𝐣 VX 𝑉𝑉𝑥 𝑉𝑦 i j x y V VY x y V VX VY Resumo Vetores são mais complexos que escalares Mas são necessários para expressar forças Existem várias formas de representar Podem expressar posições no espaço Exercício Calcule a resultante 60o 200 kN x y 100 kN 15o 150 kN Exercício Calcule a resultante 60o 200 kN x y 100 kN 15o 150 kN 60o 200 kN x y 75o 100 kN 150 kN