Empuxo de Terra em Estruturas de Fundações e Contenções - Teoria da Elasticidade

UNIDADE CURRICULAR DE NOME DA UC Prof 1 e Prof 2 Estruturas de fundações e contenções Aula Empuxo Prof Rafaela Amaral 1 Considerações iniciais Empuxo de terra deve ser entendido como a ação produzida pelo maciço terroso sobre as obras com ele em contato A determinação da magnitude que ocorre é fundamental na análise e projeto de obras como muros de arrimo obras de contenções cortinas em estacas pranchas cortinas atirantadas escoramentos de escavações em geral construções em subsolos encontros de pontes entre outras situações semelhantes Muros de contenção ou arrimo a solocimento b concreto ciclópico c gabião e d concreto armado Para a determinação das pressões de empuxo de terra utilizaremos inicialmente os conceitos da teoria de elasticidade no que se refere ao comportamento dos solos e suas características de deformabilidade quando submetidos a uma pressão de compressão 2 Teoria da Elasticidade Relação entre Tensão x Deformação Considerando que o corpo de prova de solo sofre uma tensão de compressão no sentido da altura este sofre uma deformação neste sentido e conseqüentemente no sentido de seu raio diâmetro R teremos então ou A partir das deformações nos sentidos horizontal e vertical podese determinar o Coeficiente de Poisson O Coeficiente de Poisson é o parâmetro que reflete o quanto o solo deforma no sentido horizontal em relação à deformação no sentido do carregamento logo Valores típicos para Módulo de Elasticidade E de solos Valores típicos para coeficiente de Poisson de solos Para solos temse a seguinte variação 025 05 Relação entre as tensões vertical e horizontal Em função da elasticidade do material e verificase existir uma proporcionalidade entre a tensão vertical e a correspondente tensão horizontal O material recebe o esforço absorveo e se deforma segundo seus parâmetros de elasticidade Dentro deste princípio qualquer valor de tensão horizontal será sempre calculado em função da tensão vertical que considera apenas a ação do peso próprio do solo corresponde a correlação necessariamente em tensões efetivas Sendo coeficiente de empuxo de terra Diagrama de tensões horizontais Caso se desloque um volume de massa de solo homogêneo com uma única camada sem NA com o terrapleno horizontal podese substituílo por um plano cujo traço é Conforme mostra a Figura teremos um diagrama de tensões linear função do coeficiente de empuxo neste caso específico condição de repouso Têmse outras duas situações de empuxo totalizando três tipos distintos como serão vistos Traçandose o diagrama de pressões horizontais ou pressões laterais que agem sobre o plano temse condição de calcular a resultante deste esforço horizontal que é chamado simplesmente de empuxo correspondente a área do diagrama de pressões horizontais e agindo no centro de gravidade do mesmo isto é no terço inferior da sua altura 3 Empuxo no repouso Condição em que o plano de contenção não se movimenta Temse neste tipo de empuxo um equilíbrio perfeito em que a massa de solo se mantem absolutamente estável sem nenhuma deformação na estrutura do solo isto é está em equilíbrio elástico Considerando a massa semiinfinita de solo homogêneo em uma só camada permeável sem ocorrência de NA e com o terrapleno horizontal e estando o solo em equilíbrio elástico os esforços na direção horizontal podem ser calculados teoricamente baseados nas constantes elásticas do material isto é dos parâmetros e Considere uma massa de solo onde na profundidade destacase um determinado elemento que pode verticalmente se deformar pelo efeito do peso do material ocorrente acima mas essa deformação é equilibrada lateralmente devido à continuidade da massa em todas as direções Esta situação do elemento destacado pode ser representada por uma situação equivalente onde o solo tenha sido deslocado e um plano considerado imóvel contenção indeformável e sem atrito de contato substitui essa ausência conforme representado na Figura pelo plano de traço OO A pressão lateral que o solo exerce na profundidade h será dada pela expressão abaixo sendo as tensões vertical e horizontal efetivas e não tensões totais A tensão normal no plano vertical depende da constituição do solo e do histórico de tensões a que ele esteve submetido anteriormente Normalmente é referido à tensão vertical sendo a relação entre tensão horizontal efetiva e a tensão vertical efetiva denominada coeficiente de empuxo em repouso e indicada pelo símbolo Em situações de solos abaixo do NA isto é havendo ocorrência de pressão neutra o diagrama de pressões horizontais ficará acrescido dessa parcela da pressão neutra A Figura ilustra o diagrama de pressões horizontais em função da tensão efetiva cujas áreas implicam nas resultantes dos esforços para as duas hipóteses consideradas sem e com pressão neutra As estruturas cujos paramentos são travados engastados e não tem possibilidade de sofrerem grandes variações de temperatura no caso de obras enterradas podem ser consideradas indeformados e dimensionados para absorverem estes esforços no repouso As pressões no repouso não dependem da resistência ao cisalhamento do solo mas de suas constantes elásticas conforme ressaltado Determinação do Coeficiente de Empuxo As equações da teoria da elasticidade sob a condição de deformações horizontais nulas estimam o valor de função apenas do coeficiente de Poisson Para solos o coeficiente de Poisson é variável em função do material e situação de estar drenado ou não Sorvers sd sugere os valores de calculados e apresentados na Tabela considerando o coeficiente de Poisson para solos 025 05 Gerscovich 2008 ressalta que esta expressão entretanto representa uma condição pouco realista uma vez que os solos são normalmente anisotrópicos não homogêneos e de comportamento nãoelástico Correlações Empíricas Ensaios Diversas expressões foram propostas na literatura para estimativa de Estas proposições valem para solos sedimentares Solos residuais e solos que sofreram transformações pedológicas posteriores apresentam tensões horizontais que dependem das tensões internas da rocha ou do processo de evolução sofrido Nestes solos o valor de é muito difícil de ser obtido Caputo e Caputo 2017 sugerem de uma forma genérica os valores para Outros valores de para diversos solos 4 Condições em que o plano de contenção se movimenta Nem sempre a estrutura é travada e apresenta as condições de repouso absoluto Ao se movimentarem acionam resistências internas ao cisalhamento do solo sendo desenvolvidas tensões horizontais diferentes das consideradas até então O cálculo dos empuxos para as condições ativa e passiva é feito de maneira análoga ao do repouso sendo que os coeficientes de empuxo são substituídos por coeficiente de empuxo ativo ou coeficiente de empuxo no passivo Desenvolvimento do empuxo A Tabela indica deslocamentos típicos função da altura da estrutura H mínimos de afastamento do paramento vertical para acionar a resistência ao cisalhamento no plano de ruptura e produzir os estados ativo e passivo de empuxo segundo Sowers e Sowers sd EMPUXO ATIVO A Estrutura se desloca para fora do terrapleno O solo sofre uma distensão ao reagir contra esta ação de afastamento do plano interno da estrutura de contenção provocando na massa uma resistência ao longo do possível plano de escorregamento O desenvolvimento de resistência ao cisalhamento alivia até certo ponto a ação do solo sobre o paramento interno da estrutura Este plano de ruptura faz um ângulo com o traço do plano principal maior caracterizando um estado de tensões limitandose com a superfície do terrapleno e com o paramento interno da estrutura formando assim uma região que é denominada cunha instável Esta cunha está passível de movimento portanto nessa região o equilíbrio é plástico Neste caso o solo foi ativado em sua resistência interna sendo chamado de Estado Ativo de Equilíbrio O esforço do solo desenvolvido sobre a estrutura de contenção é chamado de Empuxo Ativo Sentido do movimento do paramento interno da estrutura de contenção câmara frustrável região estável de equilíbrio elástico α 45 φ2 h N T ESTADO ATIVO EMPUXO PASSIVO A Estrutura se desloca contra o terrapleno O solo é comprimido pela estrutura sofre uma compressão na cunha instável gerando ao longo do plano de rutura uma reação ao arrastamento ou seja de resistência ao cisalhamento O movimento do parâmetro interno contra a massa de solo tentando deslocá la provoca o surgimento de uma movimentação que menor seja terá que vencer essa resistência deslocando o peso da massa na região abrangida pela cunha De maneira similar a cunha instável é limitada pelo plano de ruptura que faz um ângulo com o traço do plano principal maior pela superfície do terrapleno e pelo paramento interno da estrutura de contenção que limita a massa de solo responsável por uma compressão no sentido horizontal gerando essa situação particular de equilíbrio A ação do solo será passiva ao movimento sendo a situação de equilíbrio chamado de Estado Passivo de Equilíbrio solicitação em que a estrutura recebe todo esforço decorrente da ação passiva do solo em relação ao movimento Esse esforço desenvolvido pelo solo sobre o parâmetro interno da estrutura é chamado de Empuxo Passivo Sentido do movimento do paramento interno da estrutura de contenção câmara frustrável região de equilíbrio elástico L 45 φ2 h N T ESTADO PASSIVO Em relação às estruturas de contenção ou arrimo resaltase que quando há restrição ao deslocamento como é o caso das estruturas engastadas o empuxo mais adequado de ser considerado é o repouso Tratase de muro de flexão executado sobre fundações profundas estacas executada e concretada juntas configurando uma estrutura toda travada indeslocável Av Brasil J ForaMG No caso de estruturas em que se permite o deslocamento temos os empuxos ativo e passivo Corresponde a um muro de pedras argamassadas sendo a estrutura totalmente solta o que implicará no desenvolvimento de empuxo ativo A parede de arrimo foi executada com tirantes o que implica na aplicação de uma carga significativa maior na horizontal que leva o desenvolvimento de empuxo passivo Para o cálculo da resultante de empuxo que atuam nestes casos o procedimento será análogo ao demonstrado variando apenas o coeficiente de empuxo ativo ou passivo como expresso Para empuxo ativo Para empuxo passivo Sistemas de drenagem junto a muros e ilustração de rede de fluxo gerada 5 Teoria de Rankine 1857 Os processos clássicos utilizados para a determinação dos empuxos de terra utilizamse dos métodos de equilíbrio limite Nestes métodos admitese que a cunha de solo situada em contato com a estrutura de suporte esteja num dos possíveis estados de plastificação ativo ou passivo ele considera a totalidade da massa de solo em estado de equilíbrio plástico Esta cunha tenta deslocarse da parte fixa do maciço e sobre ela são aplicadas as análises de equilíbrio dos corpos rígidos indeformável A análise de Rankine se apoia nas equações de equilíbrio interno do maciço Estas equações são definidas para um elemento infinitesimal do meio e estendida a toda a massa plastificada através de integração ao longo de sua altura Sendo a parede vertical considerada perfeitamente lisa sem atrito inicialmente a distribuição de pressão junto ao muro cresce linearmente com a profundidade e no caso de solos não coesivos o ponto de aplicação se situa a uma distância vertical de 13 da altura do muro e sua resultante é determinada pela área do diagrama Rankine no desenvolvimento de sua teoria impõe algumas condições iniciais pressupostas como fundamentais para os primeiros passos da análise da resistência ao cisalhamento das massas de solos São elas a O solo do terrapleno considerado é areia pura seca sem coesão homogênea em todo o espaço semiinfinito considerado b O terrapleno é constituído de uma camada única e contínua de mesmo solo e sua superfície superior é horizontal solo homogêneo c O atrito entre o terrapleno e o paramento vertical do plano de contenção é considerado nulo d O terrapleno não tem nenhuma sobrecarga concentrada linear ou distribuída Condição do empuxo ativo A condição inicial de Rankine impõe a condição de coesão nula Tomandose a equação analítica da ruptura temos para temos Para condição ativa temos e Substituindo Isolando a pressão horizontal ou Por tanto Condição do empuxo passivo Para condição passiva temos e Substituindo Por tanto Em função das expressões obtidas temos Sendo No caso de haver sobrecarga no terrapleno Podese transformar esta sobrecarga em uma altura equivalente de solo da camada Sendo O diagrama de tensões verticais terá uma pressão inicial devido à altura equivalente de terra para a condição ativa a saber Para o caso passivo é análogo No caso de considerar o solo também coesivo No caso de se considerar a ocorrência de fração fina argilosa no solo o que implica em também considerar a coesão C no cálculo a equação analítica da rutura permanece completa Ou seja No caso ativo Profundidade logo Temse uma região de tensões de tração inicial de altura devido a ocorrência de portanto como os solos não resistem à tração ocorrerão aberturas de fendas ou trincas de tração na sua superfície Continuando a análise agora na consideração de resultante de empuxo temos Haverá portanto da mesma forma que no caso da tensão horizontal uma profundidade onde o empuxo ativo se anula Nesse caso a condição para que se anule é A profundidade em que o empuxo se anula é denominada altura crítica Substituindo temos Tirandose o valor de Teoricamente na profundidade da altura crítica não há desenvolvimento de empuxo Logo essa é a altura em que se pode fazer um corte sem necessidade de estrutura de contenção ou escoramento Tratandose de solos argilosos com possíveis variações de no período de utilização o IPTSP recomenda que se adote um coeficiente de segurança adotandose em função de constatações práticas ou seja a altura correspondente a fenda de tração Assim devese considerar a resultante de empuxo como a tensão correspondente a representada pela área do triângulo hachurado da Figura ilustrado por Caputo e Caputo 2017 que considera como Para o caso passivo não implica apenas em substituir o coeficiente como se vê No caso passivo O diagrama de tensões corresponde ao ilustrado na Figura em que se pode observar que a parcela da coesão é somada e não subtraida à primeira parcela No caso de haver mais de uma camada Calculamse a as tensões desenvolvidas em cada camada individualmente O que ocorre é que no cálculo das tensões na camada 2 que se considera a camada 1 como uma sobrecarga sobre a camada 2 como no cálculo de tensões verticais agora será multiplicado pelo K da camada em questão 2 uma vez que o comportamento na camada 2 vai ser diferente que na camada superior 1 Haverá então uma descontinuidade no gráfico por haver alteração do coeficiente Se Se Assim a camada 1 atuará como sobrecarga Em relação ao solo da camada 2 atuará como sobrecarga No caso de ocorrer NA na camada Condição ativa Repouso ou condições iniciais Condição passiva No caso de ocorrência de pressão neutra devese calcular as duas parcelas de empuxo sendo que para a camada sob NA está especificada as duas parcelas de contribuição solo efetiva água destacada a da água Costumase na grande maioria dos casos fazer um sistema de drenagem no terrapleno de maneira que a água não desenvolva pressão neutra sobre o parâmetro vertical da estrutura de contenção mas supondose que por qualquer problema não se possa fazer a drenagem devese considerar o acréscimo desta pressão como ilustrado Observe que na faixa do NA temse a pressão neutra agindo em valor integral considerandose assim o coeficiente de empuxo da mesma igual a 10 por se tratar de um fluido transmite a mesma pressão em todas as direções Em relação à parcela do solo é o peso específico submerso por se referir a tensão efetiva do solo No caso de considerar a inclinação do terrapleno Se a superfície livre do terrapleno tem uma inclinação β os valores dos coeficientes de empuxos serão segundo dedução analítica de Rankine respectivamente com os seus pontos de aplicação ainda no terço inferior da altura No caso de considerar atrito entre paramento vertical e solo Considerando a ocorrência de atrito entre o contato dos materiais da superfície do paramento vertical do muro e o solo que se encontra atrás deste parte do empuxo que atua no paramento vertical será usado para vencer esse esforço de atrito Para se considerar esse valor do empuxo despendido na parede adotase inclinar a resultante de empuxo de um ângulo em relação a horizontal decompondo esse resultante em duas componentes normais entre si ficando a horizontal menor que seu valor absoluto O professor Pimenta Velloso em seu livro Muros de Arrimo adota os valores da Tabela 6 Teoria de Coulomb 1776 A Teoria de Coulomb 1776 de empuxo de terra baseiase na teoria de equilíbrio limite isto é na existência de uma superfície de ruptura e ao contrário da teoria de Rankine admite originalmente a existência de atrito solomuro A Teoria de Coulomb baseiase na hipótese de que o esforço exercido nopelo paramento é proveniente da pressão do peso parcial de uma cunha de terra corpo rígido indeformável mas que se rompe segundo superfícies curvas espiral logarítmica Nos casos práticos é válido substituir esta curvatura por uma superfície plana que chamamos de plano de ruptura ou plano de deslizamento A vantagem deste método reside no fato de que se pode considerar a ocorrência de atrito solomuro além de possibilitar a análise de estruturas com o paramento não vertical Em resumo são consideradas as seguintes hipóteses a Solo homogêneo e isotrópico b A ruptura ocorre sob o estado plano de deformação ou seja a ruptura é tratada como um problema bidimensional c Ao longo da superfície de deslizamento o material se encontra em estado de equilíbrio limite critério de MohrCoulomb ou seja o estado de equilíbrio plástico é proveniente do peso de uma cunha de terra d Forças de atrito são uniformemente distribuídas ao longo da superfície de ruptura junto ao paramento do muro atrito solomuro Esta última hipótese permite conhecer a direção do empuxo Nenhuma referência é feita entretanto ao seu ponto de aplicação ou à forma da distribuição das tensões horizontais sobre o muro O cálculo do empuxo é efetuado estabelecendose as equações de equilíbrio das forças atuantes sobre uma cunha de deslizamento hipotética Uma das forças atuantes é o empuxo que no estado ativo será o máximo valor dos empuxos determinados sobre as cunhas analisadas o passivo o mínimo Solos não coesivos Na teoria apresentada por este notável físico Coulomb o terrapleno é considerado como um maciço indeformável mas que se rompe segundo superfícies curvas as quais se admitem planas por conveniência Considerase uma possível cunha de ruptura ABC em equilíbrio sob a ação das seguintes forças peso da cunha conhecido em grandeza e direção reação do terreno resistência do solo parcela de atrito da equação de MohrCoulomb formando um ângulo com a normal à linha de ruptura BC empuxo resistido pela parede força cuja direção é determinada pelo ângulo de atrito entre a superfície rugosa AB muro e o solo força incógnita Obtemse assim a determinação de resultante de empuxo ativo ou resultante de empuxo passivo traçandose o polígono de forças Admitindose então vários possíveis planos de escorregamentos será considerada como superfície de ruptura aquela que corresponder ao maior valor de ou ao menor valor de que é o valor procurado De acordo com Terzaghi A curvatura da superfície de ruptura para o caso de passivo tem maior importância que no caso ativo e é tanto mais acentuada quanto maior for em relação à o que torna admissível a aplicação da teoria de Coulomb para o cálculo do empuxo passivo somente aos solos não coesivos quando Solução analítica Partindo das condições de equilíbrio das três forças deduzemse analiticamente as equações gerais para os empuxos ativo e passivo Os valores para as resultantes de empuxo e os coeficientes de empuxo segundo a teoria de Coulomb para solos não coesivos são Coeficientes de empuxo ativo para muro com α0º e β0º φ 15º 20º 25º 275º 30º 325º 35º δ 0º 0590 0491 0406 0369 0334 0301 0272 δ 5º 0557 0466 0386 0351 0318 0288 0261 δ 10º 0534 0448 0372 0340 0309 0281 0253 δ 15º 0517 0435 0364 0332 0302 0274 0248 δ 20º 0428 0358 0328 0300 0271 0246 δ 25º 0357 0327 0298 0271 0246 δ 30º 0297 0273 0248 A teoria de Coulomb para o caso de solos não coesivos leva em conta ao contrário de Rankine o atrito entre o terrapleno e a superfície sobre a qual se apóia Essas equações para e transformamse nas conhecidas expressões de Rankine Soluções gráficas Diversas soluções gráficas Poncelet Culmann foram posteriormente apresentadas na literatura procurando resolver o problema O método de Culmann procura determinar a resultante de empuxo para terrapleno com geometria irregular ou com carregamento externo Este método na sua versão original se aplica a solos não coesivos e leva em consideração o ângulo de atrito entre solo e muro O valor do empuxo é determinado fazendose variar o ângulo de inclinação da superfície de ruptura admitida plana Entre os valores obtidos o maior deles é tomado como sendo a resultante de empuxo ativo procurada ou o menor como sendo a resultante de empuxo passivo Solos coesivos Na aplicação da teoria de Coulomb aos solos coesivos além das forças peso da cunha e reação de resistência do solo parcela de atrito devese considerar ainda as forças de coesão parcela ao longo da superfície de ruptura e de adesão entre o terrapleno e a parede O problema consiste pois em procurar o máximo valor da força neste caso que com as demais feche o polígono das forças Figura 626 as quais são conhecidas em grandeza e direção e e apenas em direção e Neste caso fazse necessário o cálculo da resultante diretamente pelo desenho do polígono de forças Não há um coeficiente de empuxo K que corresponda à situação em análise simplicando a sua determinação como pode haver nos casos anteriores Para a situação de empuxo passivo o procedimento deve ser o mesmo considerando a posição da resultante como já ilustrado As soluções de Coulomb e Rankine são analíticas embora sob conceituações distintas são simples e de fácil utilização e vem sendo largamente empregadas até o presente apesar de algumas limitações de aplicabilidade em situações práticas Ambas não levam em conta por exemplo a condição de terrapleno ser irregular ou apresentar sobrecarga Exemplo 1 Considere um muro de concreto ciclópico peso com 30m de altura para contenção de uma areia cujos parâmetros são apresentados na figura abaixo Considere uma carga de multidão distribuída sobre o terrapleno majorada em 50 por motivo de segurança Pedese determinar utilizandose da teoria de Rankine a O diagrama de tensões de empuxo b A resultante de empuxo c O ponto de aplicação da resultante de empuxo e d Considerando o conceito de momento de tombamento sendo o braço de alavanca distância na vertical do ponto de aplicação da resultante em relação ao ponto A de rotação do muro calculeo Solução a Diagrama de tensão horizontal caso é de empuxo ativo Ka tg²45 φ2 Ka tg²45 302 033 Sobrecarga de multidão Considerado 4 pessoasm²15 temos σv 4 pessoas 80 kgf 320 kgfm² 032 tm² 32 kNm² 15 48 kNm² Obs Com majoração de 50 equivale a 6 pessoas de 80 kgfm² Tensões no topo e na base do muro σtopo Ka σv 033 48 16 kNm² σbase σtopo Ka γ h 16 033 17 3 186 kNm² Diagrama de tensões de empuxo a e croqui das resultantes de empuxo b b Resultante de empuxo corresponde à soma de duas partes E E1 E2 E b1 h b2 h2 16 3 17 32 E 48 255 303 kNm obs Resultante corresponde a uma força calculada para 1 metro linear de muro c Ponto de aplicação da resultante de empuxo d Aplicando a igualdade de momento total igual a soma dos parciais E d E1 d1 E2 d2 303 d 48 15 255 10 d 108 m d Momento de tombamento da terra em relação ao muro Mtom Ed Mtom Ed Mtom 303108 3272 kNm 2 Para o terreno indicado na figura abaixo trace o diagrama das tensões ativas sobre o painel vertical AB e indique a direção das linhas de ruptura Solução Diagrama das tensões As tensões ativas no solo 1 são calculadas usando Ka tg2 45 302 033 e γ 18 kNm3 As tensões ativas no solo 2 são calculadas usando Ka tg2 45 152 059 e γ 16 kNm3 e C 1 kNm2 As tensões ao longo do painel vertical AB estão calculadas na tabela abaixo Observe que o solo 1 é considerado como uma sobrecarga de 18 X 30 kNm2 sobre o solo 2 adicionandose a sobrecarga de 60 kNm2 o solo 2 sendo uma argila há uma parcela a subtrair σh K σv 2CKa SOLO PROFUNDIDADE m TENSÕES ATIVAS σh K σv kNm2 1 0 033 x 60 2000 1 3 δ 033 x 60 033 x 18 x 3 3800 2 3 δ 05960 18 x 3 2 x 1 x 059 6572 2 8 05960 18 x 3 16 x 5 2 x 1 x 059 11292 Direção das linhas de ruptura Os ângulos das linhas de ruptura são para o solo 1 α 45 302 60 e para o solo 2 α 45 152 525 O diagrama das tensões e a direção das linhas de ruptura estão representados na figura Referências UNIVERSIDADE FEDERAL DE JUIZ DE FORA UFJF Faculdade de Engenharia Departamento de Transportes e Geotecnia MECÂNICA DOS SOLOS Márcio Marangon Professor Titular UFJF Versão Dez2018 QUE TENHAMOS UM EXCELENTE SEMESTRE LETIVO MUITO OBRIGADO PELA ATENÇÃO