Notas de Aula sobre Cálculo Diferencial e Integral

Cálculo Diferencial e Integral Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 2 SUMÁRIO 1 LIMITES 5 11 Exercícios Resolvidos 5 12 Exercícios Propostos 11 13 Exercícios Resolvidos 16 14 Exercícios Propostos 17 2 LIMITES INFINITOS 19 21 Exercícios Resolvidos 19 3 ASSÍNTOTA VERTICAL 22 31 Introdução 22 32 Exercícios Resolvidos 23 33 Exercícios Propostos 27 4 LIMITES NO INFINITO 28 41 Exercícios Resolvidos 28 5 ASSÍNTOTA HORIZONTAL 32 51 Introdução 32 52 Exercícios Resolvidos 34 53 Exercícios Propostos 36 6 DERIVADA 41 61 Definição 41 62 Algumas regras de derivação 42 63 Exercícios Resolvidos 43 7 REGRA DE LHÔSPITAL 47 71 Introdução 47 72 Definição 48 73 Exercícios Resolvidos 48 74 Exercícios propostos 49 8 TAXA DE VARIAÇÃO 50 81 Definição 50 82 Exercícios Resolvidos 50 83 Exercícios Propostos 51 9 REGRA DA CADEIA 53 91 Exercícios Resolvidos 53 92 Exercícios Propostos 53 10 DERIVAÇÃO IMPLÍCITA 54 101 Introdução 54 102 Exercícios Resolvidos 54 103 Exercícios Propostos 56 11 TAXAS RELACIONADAS 57 111 Introdução 57 112 Exercícios Resolvidos 57 113 Exercícios Propostos 58 12 SIGNIFICADO GEOMÉTRICO DA DERIVA 59 121 Inclinação da reta secante a uma curva 59 122 Inclinação da reta tangente a uma curva 60 Cálculo Diferencial e Integral Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 3 123 Exercício Resolvido 61 124 Exercícios Propostos 61 13 O SINAL DA DERIVADA E O COMPORTAMENTO DE UMA FUNÇÃO 62 131 O sinal da primeira derivada 62 132 Exercício Resolvido 63 133 Exercícios Propostos 64 14 CONCAVIDADE 65 141 Introdução 65 142 Exercícios Resolvidos 65 15 CRITÉRIO DA SEGUNDA DERIVADA PARA DETERMINAÇÃO DE MÁXIMOS E MÍNIMOS 67 151 Definição 67 152 Exercícios Resolvidos 67 153 Exercícios Propostos 68 GABARITO 70 Cálculo Diferencial e Integral Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 4 APRESENTAÇÃO Este texto de Cálculo Diferencial e Integral I foi ancorado em dois temas fundamentais Limites e continuidade e Derivadas e aplicações desenvolvidos com apresentações sucintas da parte teórica exercícios resolvidos ER e exercícios propostos EP A parte de limites é tratada de forma intuitiva por meio de análise de alguns gráficos incluindo a ideia de continuidade Desta forma constam vários exercícios resolvidos ER para auxiliar a construção dos conceitos seguidos de listas de exercícios propostos com o intuito de fixar as ideias A parte que trata da derivada de uma função é desenvolvida a partir da definição para deduzir as primeiras regras de derivação de modo que por meio dos ER o aluno possa praticar As aplicações das derivadas vão desde da taxa de variação de uma função derivação implícita taxas relacionadas passando pelo significado geométrico da derivada aplicado à determinação da equação de uma reta tangente a uma curva Alguns tópicos foram reservados para a aplicação de derivadas ao estudo sucinto do comportamento de uma curva e de sua concavidade bem como para a análise dos pontos extremos e de inflexão O curso proposto deverá desenvolver atividades que possibilitem resolver problema de otimização aplicando as ideias de máximo e de mínimo de uma função As noções do Cálculo aqui desenvolvidas pelos autores não se esgotam nessas notas de aula Os alunos não devem prescindir de consultas a outras obras para complementar seus conhecimentos Cálculo Diferencial e Integral Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 5 1 LIMITES 11 Exercícios Resolvidos ER1 Considere a função f definida por fx x2 e usando uma calculadora determine a f 18 f f 21 b f 185 g f 201 c f 19 h f 2001 d f 196 i f 20001 e f 2 Solução a 324 f 441 b 34225 g 40401 c 361 h 4004001 d 38416 i 400040001 e 4 ER2 Observe os resultados encontrados na questão anterior e responda a Para quanto se aproxima o valor de f x quando x se aproxima de 2 e é menor do que 2 b Para quanto se aproxima o valor de f x quando x se aproxima de 2 e é maior do que 2 Solução a 4 b 4 Cálculo Diferencial e Integral Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 6 ER3 Dado o gráfico da função responda a Para quanto se aproxima o valor de fx quando x se aproxima de 4 e x 4 b Para quanto se aproxima o valor de fx quando x se aproxima de 4 e x 4 c Qual é o valor de fx quando x 4 d Para quanto tende o valor de f ou se aproxima quando x tende a 2 pela esquerda ou tende a 2 e é menor do que 2 e Para quanto tende o valor de f quando x tende a 2 pela direita f Qual é o valor de f quando x 2 g Para quanto tende o valor de f quando x tende a 4 pela esquerda h Para quanto tende o valor de f quando x tende a 4 pela direita i Qual é o valor de f 4 Solução a 2 b 3 c 1 d 3 e 3 f 0 g 4 h 4 i 4 Cálculo Diferencial e Integral Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 7 ER4 Considere o gráfico de uma função dado abaixo e complete corretamente as sentenças seguintes a Se x tende a a pela esquerda então fx tende a Simbolicamente Se x a então fx b Se x tende a a pela direita então fx tende a Simbolicamente Se x a então fx c fa d Se x b então fx e Se x b então fx f fb g Se x c então fx h Se x c então fx i fc Solução a g b h c g d d e d f m g j h j i j Cálculo Diferencial e Integral Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 8 Observação Dada uma função definida num intervalo aberto I com a I Para descrever o fato de que se x a então fx b escrevemos lêse limite de fx quando x tende a a pela esquerda é igual a b Analogamente para descrever que se x a então fx c escrevemos lêse limite de fx quando x tende a a pela direita é igual a c Tais limites são denominados limites laterais esquerdo e direito respectivamente Quando os limites laterais são iguais a b dizemos que existe o limite de fx no ponto a e então escrevemos Assim a lim x f x b se e somente se a a lim lim x x f x f x b Comentários sobre o ER4 1 Observe que em f quando x a lêse x tende a a pela esquerda fx tende a g Para descrever este fato em linguagem simbólica escrevemos lêse limite de fx quando x tende a a pela esquerda é igual a g 2 Observe que em f quando x a lêse x tende a a pela direita fx tende a h Para descrever este fato em linguagem simbólica escrevemos lêse limite de fx quando x tende a a pela direita é igual a h lim x a f x b lim x a f x c lim x a f x b lim g x a f x lim h x a f x Cálculo Diferencial e Integral Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 9 3 Observe que em f quando x b lêse x tende a b pela esquerda fx tende a d Para descrever este fato em linguagem simbólica escrevemos lêse limite de fx quando x tende a b pela esquerda é igual a d 4 Observe que em f quando x b lêse x tende a b pela direita fx tende a d Para descrever este fato em linguagem simbólica escrevemos lêse limite de fx quando x tende a b pela direita é igual a d 5 Observe que fb m a imagem de b é igual a m é diferente dos limites encontrados nos itens d e e 6 Observe que em f quando x c lêse x tende a c pela esquerda fx tende a j Para descrever este fato em linguagem simbólica escrevemos lêse limite de fx quando x tende a c pela esquerda é igual a j 7 Observe que em f quando x c lêse x tende a c pela direita fx tende a j Para descrever este fato em linguagem simbólica escrevemos lêse limite de fx quando x tende a c pela direita é igual a j 8 Observe que fc j a imagem de c é igual a j é igual aos limites encontrados nos itens g e h lim d x b f x lim d x b f x c lim j x f x c lim j x f x Cálculo Diferencial e Integral Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 10 Conclusão Nos itens 1 e 2 podemos concluir que quando os limites laterais são diferentes isto caracteriza geometricamente uma descontinuidade do tipo salto no ponto onde x b Nos itens 3 4 e 5 podemos concluir que quando os limites laterais são iguais mas diferentes da imagem no ponto de abscissa a esse fato algébrico revela geometricamente uma descontinuidade do tipo furo em x a Nos itens 6 7 e 8 podemos concluir que quando os limites laterais no ponto estudado são iguais e iguais a imagem da função no ponto esse fato algébrico revela geometricamente que a função é contínua nesse ponto Para provar que f é contínua em x1 precisamos mostrar que três condições são satisfeitas i f x1 existe ii 1 lim x x f x existe iii 1 1 lim x x f x f x lim lim f x x f b x b x O lim lim f a f x x f a x x a O lim lim f c f x x f c x x c O Cálculo Diferencial e Integral Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 11 12 Exercícios Propostos EP1 Verifique se 2 se 1 3 5 se 1 x x f x x x é contínua em x1 1 EP2 Verifique se 2 1 se 1 se 1 2 2 se 2 x f x x x x x é contínua em x1 1 e em x2 2 EP3 Dado o gráfico abaixo determine se existir x 7 x 7 x 4 a lim l 2 b lim m lim c lim f x f f x f x x 7 x 4 x 4 x n lim d 7 o lim e lim f x f x f f x 2 x 2 x 6 x p 4 f lim q lim g lim f x f f x f x 2 x 6 x 6 x r lim h 2 s lim i lim f x f x f f x x 7 2 x 2 x 2 t lim j lim u 6 k lim f x f x f x f v 7 f x f O Cálculo Diferencial e Integral Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 12 EP4 Considere a função fx x2 e seu gráfico dado Calcule 2 1 2 2 1 2 a 1 e lim b lim f lim c lim x x x x f x x x 2 2 2 3 2 2 0 4 g lim d lim h lim x x x x x x x EP5 Calcule se existir 2 3 1 64 3 2 2 t 1 1 1 b lim k lim 3 1 c lim t t 5t 5 l lim 3 5 d x x x x x x x x x 2 2 1 2 2 2 5 2 sen cos 1 lim m lim sen e lim 1 n lim 1 x x x x x x x x x x x 0 2 3 2 f lim sen o lim 2 5 g lim cos p lim 1 x x x x 2 a 10 4 3 2 2 3 1 2 2 7 h lim a 1 q lim 5 3 2 i lim r lim log 15 x x x x x x x x x x 2 2 2 2 3 8 j lim log 6 s lim 3 2 x x x x x x x Para calcular o limite de uma função primeiramente supomos que a função é contínua no ponto estudado como no exemplo em x 1 Com isso podemos calcular a imagem neste ponto e igualar ao limite pois em funções contínuas o limite no ponto é igual à imagem do ponto Sempre que o x c lim f x f c dizemos que o limite pode ser calculado por substituição direta 2 2 1 3 1 3 2 a lim 1 1 1 1 2 x x x O Cálculo Diferencial e Integral Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 13 Para os itens a seguir considere 1 se 1 1 se 1 0 e se 0 x x x f x x x x 1 0 1 2 2 t lim v lim u lim x lim x x x x f x f x f x f x EP6 Considere as funções reais de variável real e estude a continuidade no ponto pedido 2 2 3 2 se 3 a 5 8 se 3 x x x f x x x x para x 3 Solução f 3 32 5 3 8 2 3 3 3 lim 2 lim 2 lim 2 x x x f x f x f x Como 3 lim 3 x f x f então a função f é contínua no ponto x 3 1 2 se 3 b 3 2 5 se 3 x x f x x x para x 3 1 se 0 2 c 1 se 2 4 x x f x x x para x 2 EP7 Considere a função 1 1 x E x x e calcule a E1 g E50 b E2 h E100 c E4 i E1000 d E5 j E10 000 e E10 k E100 000 f E20 l E1 000 000 Cálculo Diferencial e Integral Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 14 Observação lim 1 1 e lim 1 e x x x x x x EP8 Calcule se existir 2 2 1 1 1 1 0 a lim 1 1 1 0 x x x símbolo de indeterminação Para calcular este limite vamos analisar o gráfico da função 2 1 1 x f x x Manipulando algebricamente a equação da função f obtemos uma nova lei 2 1 1 1 1 1 1 x x x y x x x desde que x 1 Observe que o gráfico da função f é descontínuo para x 1 Existe um furo no gráfico Podemos escrever a função f da seguinte maneira como o numerador é a diferença dos quadrados de dois números pode ser escrito como o produto da soma pela diferença desses números Simplificando o numerador pelo denominador chegamos a h x x 1 Lembrese que para 1 não está definido para ambas as funções ou seja Df Dh 1 O x y Cálculo Diferencial e Integral Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 15 Observe o gráfico das funções f e h O limite não é o estudo no ponto e sim o estudo na vizinhança de um ponto Desta forma utilizamos esta nova lei para calcular o limite da função fx quando x tende a 1 pois os valores de f e h possuem o mesmo comportamento na vizinhança de x 1 Compare o limite das duas funções com a ajuda dos gráficos 2 1 1 1 lim lim 1 2 1 x x x x x 2 1 1 x f x x 1 h x x Podemos observar que o gráfico da função fx é idêntico ao gráfico de hx com exceção do ponto 1 2 que não está definido em fx pois x 1 é o valor que anula o denominador da função logo não está definido no domínio da função Em outras palavras f não está definida para x 1 isto é 1 D f Lembrese que quando calculamos o limite de uma função e encontramos o símbolo de indeterminação 0 0 podemos em muitos casos calcular este limite pelo limite de outra função cujo gráfico é igual possui a mesma vizinhança do ponto estudado ao gráfico da função desejada y y x x O O Cálculo Diferencial e Integral Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 16 2 2 2 1 0 2 0 1 4 b lim c lim 1 2 d lim e l x x x x x x x x x x x x 2 0 2 2 2 2 1 2 3 im log 4 1 3 2 1 f lim g lim 4 1 9 h lim 3 x x x x x x x x x x x x x 9 2 2 0 5 2 2 9 i lim 3 5 7 10 j lim k lim 5 4 l lim 2 x x x x x x x x x x x x x x 3 2 2 t 1 3 2 0 cos m lim 5 3 n lim o lim 2 1 3 2 p lim 3 6 x x x r x x t t t t t r r r 2 2 2 3 2 2 2 4 0 4 4 q lim 6 4 3 r lim s lim 2 8 2 t s x x s s s s x x x x x x x x 2 3 2 3 2 3 2 2 5 8 lim u lim 1 7 10 8 v lim w 3 2 x y x x y x y y x x x 2 2 2 5 2 lim 2 x x x x 13 Exercícios Resolvidos ER5 Calcule se existir 0 sen sen 0 0 lim 0 0 x x a x símbolo de indeterminação Substituindo valores em x de modo que x tenda a zero pela direita e pela esquerda teremos os cálculos devem ser feitos com a calculadora no modo radiano Logo 0 sen lim x x x 1 x sen x x 01 0998334 001 0999983 0001 0999999 x sen x x 01 0998334 001 0999983 0001 0999999 Quando x tende a 0 pela direita sen x x tende a 1 Quando x tende a 0 pela esquerda sen x x tende a 1 Cálculo Diferencial e Integral Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 17 0 tan tan 0 0 lim 0 0 x x b x símbolo de indeterminação Substituindo valores em x de modo que x tenda a zero pela direita e pela esquerda teremos os valores aproximados os cálculos devem ser feitos com a calculadora no modo radiano Logo 0 tan lim x x x 1 14 Exercícios Propostos EP9 Calcule se existirem 2 2 3 1 2 2 2 0 2 3 4 1 a lim b lim 1 4 5 c lim d lim 5 x x x x x x x x x x x x x x 2 3 2 1 1 2 2 6 3 2 2 2 1 e lim f lim 7 1 3 g lim 2 x x x x x x x x x x x Solução 2 2 3 3 lim 0 2 x x Impossível Teste Se x 19 então 2 2 2 3 3 3 3 001300 2 19 2 01 x Logo podemos escrever que 2 2 3 lim 2 x x x tan x x 01 1003347 001 1000033 0001 1000000 x tan x x 01 1003347 001 1000033 0001 1000000 Quando x tende a 0 pela direita tan x x tende a 1 Quando x tende a 0 pela esquerda tan x x tende a 1 Cálculo Diferencial e Integral Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 18 Se repetirmos a operação com outros valores de x próximos de 2 pela esquerda notaremos que os valores da função dada aumentarão cada vez mais isto é tenderão para Se x 21 então 2 2 2 3 3 3 3 001300 2 21 2 01 x Logo podemos escrever que 2 2 3 lim 2 x x Se repetirmos a operação com outros valores de x próximos de 2 pela direita notaremos que os valores da função dada também aumentarão cada vez mais isto é tenderão para Assim 2 2 3 lim 2 x x pois 2 2 3 lim 2 x x 2 2 3 lim 2 x x Agora é sua vez de calcular os casos que seguem 2 2 1 0 2 2 3 2 h lim i lim 1 2 1 1 j lim k lim 2 l lim x x x x x x x x x x 2 0 2 2 4 2 3 m lim 2 1 n lim 3 o lim 5 p lim x x x x x x x x x x x 2 0 1 x Cálculo Diferencial e Integral Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 19 2 LIMITES INFINITOS 21 Exercícios Resolvidos ER6 Observe o gráfico cartesiano da função 1 f x x e calcule se existir 0 0 0 i lim ii lim iii lim iv 0 x x x f x f x f x f Solução i ii iii não existe i não existe ER7 Observe o gráfico cartesiano da função 2 1 f x x e calcule se existir 0 0 0 i lim ii lim iii lim iv 0 x x x f x f x f x f Solução i ii iii i não existe O O Cálculo Diferencial e Integral Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 20 ER8 Observe o gráfico cartesiano da função 1 f x x e calcule se existir 0 0 0 i lim ii lim iii lim iv 0 x x x f x f x f x f Solução i ii iii não existe i não existe ER9 Observe o gráfico cartesiano da função 2 1 f x x e calcule se existir 0 0 0 i lim ii lim iii lim iv 0 x x x f x f x f x f Solução i ii iii i não existe O O Cálculo Diferencial e Integral Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 21 Se o valor de fx cresce indefinidamente quando x tende a a pela esquerda ou pela direita então podemos escrever lim x a f x ou lim x a f x conforme for apropriado e dizemos que fx cresce sem limitação quando x tende a a pela esquerda x a ou x tende a a pela direita x a De forma análoga se o valor de fx decresce indefinidamente quando x tende a a pela esquerda ou pela direita então escrevemos lim x a f x ou lim x a f x conforme for apropriado e dizemos que fx decresce sem limitação quando x tende a a pela esquerda x a ou x tende a a pela direita x a Da mesma forma se ambos os limites laterais forem então escrevemos e se ambos os limites laterais são iguais a então escrevemos Conclusão Considere o lim x a h x g x Se o limite do denominador for zero porém não o do numerador então há três possibilidades para o limite da função racional quando x a i O limite poderá ser ii O limite poderá ser iii O limite poderá ser de um lado e do outro lim x a f x lim x a f x Cálculo Diferencial e Integral Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 22 3 ASSÍNTOTA VERTICAL 31 Introdução Uma reta x a é chamada de assíntota vertical do gráfico de uma função f se fx tende a ou quando x tende a a pela esquerda ou pela direita Todas as funções cujos gráficos são dados anteriormente têm uma assíntota vertical em x a a qual está indicada pela reta tracejada 1 f x x a 2 1 f x x a 2 1 f x x a O O O Cálculo Diferencial e Integral Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 23 32 Exercícios Resolvidos ER10 Calcule os limites se existirem 2 2 4 a lim 2 x x x Solução 2 2 4 8 2 2 2 0 f Impossível Usando uma calculadora obtemos 2 2 4 lim 2 x x x 2 2 4 lim 2 x x x Observação Acrescente mais valores na tabela se julgar necessário para ajudar a chegar às conclusões Se 2 2 2 2 4 4 lim lim 2 2 x x x x x x então não existe o 2 2 4 lim 2 x x x x fx 19 761 199 79601 1999 7996001 19999 799960001 x fx 21 841 201 80401 2001 8004001 20001 800040001 Para calcular o limite desta função devemos calcular os limites laterais Comparamos seus valores Se forem iguais existe o limite no ponto e este tem o mesmo valor dos limites laterais Se forem diferentes não existe o limite o ponto Podemos concluir que quando x tende a 2 pela esquerda a função f decresce sem limitação ou seja tende a Podemos concluir que quando x tende a 2 pela direita a função f cresce sem limitação ou seja tende a Cálculo Diferencial e Integral Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 24 2 1 2 b lim 2x 1 x x x Solução 2 1 2 1 1 0 1 2 1 1 f Impossível Usando uma calculadora obtemos 2 1 2 lim 2 1 x x x x 2 1 2 lim 2 1 x x x x Se 2 2 1 1 2 2 lim 2 1 lim 2 1 x x x x x x x x então existe o limite Assim 2 1 2 lim 2 1 x x x x x fx 09 110 099 10100 0999 1001000 09999 100010000 x fx 11 90 101 9900 1001 999000 10001 99990000 Podemos concluir que quando x tende a 1 pela esquerda a função f decresce sem limitação ou seja tende a Podemos concluir que quando x tende a 1 pela direita a função f decresce sem limitação ou seja tende a Para calcular o limite desta função devemos calcular os limites laterais Comparamos seus valores Se forem iguais existe o limite no ponto e este tem o mesmo valor dos limites laterais Se forem diferentes não existe o limite no ponto Cálculo Diferencial e Integral Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 25 3 2 2 1 c lim 4 x x x Solução 3 2 2 1 8 1 9 2 4 4 0 2 4 f Impossível Teste Se x 21 então 3 2 21 1 21 21 4 f Logo 3 2 2 1 lim 4 x x x Se x 19 então 3 2 19 1 19 19 4 f Logo 3 2 2 1 lim 4 x x x Como 3 3 2 2 2 2 1 1 lim lim 4 4 x x x x x x então não existe o 3 2 2 1 lim 4 x x x 2 1 d lim 1 x x x Solução 2 1 1 1 0 1 1 f Impossível Teste Se x 11 então 2 11 11 11 1 f Logo 2 1 lim 1 x x x Se x 09 então 2 09 09 09 1 f Logo 2 1 lim 1 x x x Como 2 2 1 1 lim lim 1 1 x x x x x x então existe o limite Assim 2 1 lim 1 x x x Cálculo Diferencial e Integral Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 26 1 e lim 1 x x x Solução 1 1 1 1 1 0 f Impossível Teste Se x 09 então 09 09 1 09 f Logo 1 lim 1 x x x Se x 11 então 11 11 1 11 f Logo 1 lim 1 x x x Como 1 1 lim lim 1 1 x x x x x x então não existe o 1 lim 1 x x x 2 3 f lim 2 x x Solução 3 3 2 2 2 0 f Impossível Teste Se x 19 então 3 19 19 2 f Logo 2 3 lim 2 x x Se x 21 então 3 21 21 2 f Logo 2 3 lim 2 x x Como 2 2 3 3 lim lim 2 2 x x x x então não existe o 2 3 lim 2 x x Cálculo Diferencial e Integral Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 27 33 Exercícios Propostos EP10 Verifique se o gráfico de cada função real abaixo possui assíntota vertical Em caso afirmativo estabeleça sua equação Verifique suas respostas utilizando um software que possua recursos gráficos Sugestão utilizem o software Winplot httpswinplotbrsoftoniccom 4 2 2 2 3 4 2 1 3 2 a b c 4 1 2 1 3 d e 9 4 x x x x f x f x f x x x x x y f x f y f f y x 3 2 log 3 1 4 2 4 5log 3 2 x x x x g f x h f x i f x x x x j f x x EP11 Depositase a quantia de 1000 em uma conta que é capitalizada trimestralmente à taxa anual r taxa unitária O saldo A após 10 anos é 40 1000 1 4 r A Existe o limite de A quando a taxa de juros tende para 6 Em caso afirmativo qual é o limite Cálculo Diferencial e Integral Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 28 4 LIMITES NO INFINITO 41 Exercícios Resolvidos ER11 Observe o gráfico da função 1 f x x e responda Para quanto tende fx à medida que x cresce sem limitação 0 Simbolicamente escrevemos lim 0 x f x Para quanto tende fx à medida que x decresce sem limitação 0 Simbolicamente escrevemos lim 0 x f x Observe a tabela abaixo Os valores que completam a tabela comprovam o que pode ser observado no gráfico acima 1 01 001 0001 00001 001 01 0001 00001 1 x decrescendo sem limitação x crescendo sem limitação x 10000 1000 100 10 1 1 10 100 1000 10000 fx f x tendendo a zero f x tendendo a zero x y Assíntota Horizontal O Cálculo Diferencial e Integral Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 29 ER12 Observe o gráfico da função 2 1 x g x x e responda Para quanto tende gx à medida que x cresce sem limitação 2 Simbolicamente escrevemos lim g 2 x x Para quanto tende gx à medida que x decresce sem limitação 2 Simbolicamente escrevemos lim g 2 x x Observe a tabela abaixo Os valores que completam a tabela comprovam o que pode ser observado no gráfico acima x y Assíntota Horizontal O Cálculo Diferencial e Integral Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 30 ER13 Observe o gráfico da função 3 h x x Quando x cresce sem limitação hx também cresce sem limitação Simbolicamente escrevemos lim h x x Quando x decresce sem limitação hx também decresce sem limitação Simbolicamente escrevemos lim x h x Como se pode observar a curva h não possui assíntota horizontal ER14 Observe os casos a seguir a lim 3 x f x e lim 3 x f x O limite de uma função constante é a própria constante lim lim x x a a a a a a x y O x y 3 x f O Cálculo Diferencial e Integral Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 31 5 b lim x x e 5 lim x x 6 c lim x x e 6 lim x x x y x6 f x Ao lado temos o gráfico da função polinomial fx x5 como podemos observar quando x cresce sem limitação a função também cresce sem limitação e quando x decresce sem limitação a função também decresce sem limitação Ao lado temos o gráfico da função polinomial fx x6 como podemos observar quando x cresce sem limitação a função também cresce sem limitação e quando x decresce sem limitação a função também cresce sem limitação x y x5 f x O O Cálculo Diferencial e Integral Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 32 5 ASSÍNTOTA HORIZONTAL 51 Introdução Uma reta y L é chamada de assíntota horizontal do gráfico de uma função f se fx L quando x ou x Vimos no exercício 123 que o lim 1 1 e x x x Além disso o lim 1 1 e x x x Quando lim x f x L1 e lim x f x L2 as retas yL1 e yL2 são assíntotas horizontais do gráfico de f Algumas funções têm duas assíntotas horizontais uma à direita e outra à esquerda como por exemplo O x y Assíntota Horizontal Assíntota Horizontal 1 2 2 x x x f O x y Assíntota Horizontal x x f x 1 1 Cálculo Diferencial e Integral Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 33 Mostraremos a seguir que 2 2 lim 2 1 x x x e que 2 2 lim 2 1 x x x Portanto o gráfico da função 2 2 1 x f x x possui duas assíntotas horizontais Demonstração Demonstração 2 1 1 2 lim 1 2 lim 1 2 lim 1 2 lim 2 2 2 2 2 x x x x x x x x x x x x x x x 2 1 1 2 lim 1 2 lim 1 2 lim 1 2 lim 2 2 2 2 2 x x x x x x x x x x x x x x x Note que o gráfico de uma função pode cortar suas assíntotas horizontais 2 3 4 3 7 x x f x x y x Assíntota Horizontal O Cálculo Diferencial e Integral Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 34 52 Exercícios Resolvidos ER15 Calcule 2 x 2 lim 5 x Podese verificar este limite traçando o gráfico de 2 2 5 f x x Note que o gráfico tem y 5 como assíntota horizontal à direita Calculando o limite de f x quando x vêse que esta reta também é assíntota horizontal à esquerda ER16 Determine as equações das assíntotas horizontais dos gráficos das funções a 2 2 3 3 1 x y x b 2 2 2 3 3 1 x y x c 3 2 2 3 3 1 x y x Solução a 2 2 2 3 2 2 lim lim lim 0 3 1 3 3 x x x x x x x x O Cálculo Diferencial e Integral Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 35 2 2 2 3 2 2 lim lim lim 0 3 1 3 3 x x x x x x x x O gráfico que representa a função possui uma assíntota horizontal com equação y 0 b 2 2 2 2 2 3 2 2 2 lim lim lim 3 1 3 3 3 x x x x x x x 2 2 2 2 2 3 2 2 2 lim lim lim 3 1 3 3 3 x x x x x x x O gráfico que representa a função possui uma assíntota horizontal com equação y 2 3 c 3 3 2 2 2 3 2 2 lim lim lim 3 1 3 3 x x x x x x x x 3 3 2 2 2 3 2 2 lim lim lim 3 1 3 3 x x x x x x x x O gráfico que representa a função não possui assíntota horizontal ER17 A população y de uma cultura de bactérias segue o modelo da função logística 03 925 1 e t y onde t é o tempo em dias A população tem um limite quando t cresce ilimitadamente Justifique sua resposta Solução 03 925 925 lim 925 1 e 1 0 t x pois 03 03 1 1 1 lim e lim 0 e e t t x x Logo y tende a 925 Observação lim e 03 t x pois e 1 Cálculo Diferencial e Integral Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 36 ER18 A aprendizagem Pt ao longo de t anos de trabalho de um operário é dada por Pt 60 20 e 02t O que ocorre com a aprendizagem depois de vários anos de trabalho Solução 02 02 20 lim 60 20 lim 60 60 t t t t e e Logo o nível de aprendizagem tende a 60 53 Exercícios Propostos EP12 Determine as equações das assíntotas horizontais e verticais a 2 2 1 x f x x b 3 4 2 f x x c 2 2 2 2 x f x x x d 2 1 x f x x e 3 2 1 x f x x f 2 4 4 x f x x g 2 2 1 2 8 x f x x h 2 3 1 8 x f x x EP13 Dada a Lista I de funções reais de variável real Associe cada função da Lista I ao seu gráfico na Lista II Recorra às assíntotas horizontais como auxílio Lista I i 2 2 3 2 x f x x ii 2 2 2 x f x x iii 2 2 x f x x iv 2 4 2 1 x f x x v 2 1 5 1 f x x vi 2 2 2 3 5 1 x x f x x Cálculo Diferencial e Integral Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 37 Lista II a b c d e f Cálculo Diferencial e Integral Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 38 EP14 Determine se existirem as equações das assíntotas horizontais dos gráficos das funções reais abaixo Verifique suas respostas utilizando um software que possua recursos gráficos 2 2 2 2 2 2 2 2 3 a b 4 2 3 6 9 1 c 6 d 3 2 e 1 2 x f x f x x x x x x f x f x x x x x x f x x x EP15 Calcule os limites se existir 4 3 a lim 2 5 x x x Solução 4 3 3 4 4 3 4 lim lim lim 2 2 5 5 2 5 2 2 x x x x x x x x x x x ou 4 3 4 lim lim lim 2 2 2 5 2 x x x x x x x Cálculo Diferencial e Integral Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 39 2 2 3 3 2 4 2 2 5 b lim c lim 7 3 4 1 d lim 5 e lim x x x x x x x x x x x 3 2 3 2 1365 f lim 3 g lim h lim 1 i lim x x x x x x x x x x x 4 3 2 2 2 2 3 3 7 1 1 5 8 j lim 1 k lim 3 1 x 5 l lim 4 x x x x x x x x x x x x x x x 3 3 3 2 2 1 4 m lim 5 8 n lim 10 e o lim ln 1 2 5 3 p lim 4 1 x x x x x x x x x x x x 2 2 2 2 0 1 1 2 q lim onde 1 2 0 r lim onde s lim onde 1 0 x x x x x f x f x x x x x f x f x f x x x 2 0 0 3 1 1 0 1 t lim e u lim ln 1 x x x x x f x x x x 2 2 3 3 2 4 2 2 5 b lim c lim 7 3 4 1 d lim 5 e lim x x x x x x x x x x x 3 2 3 2 1365 f lim 3 g lim h lim 1 i lim x x x x x x x x x x x 4 3 2 2 2 2 3 3 7 1 1 5 8 j lim 1 k lim 3 1 x 5 l lim 4 x x x x x x x x x x x x x x x 3 3 3 2 2 1 4 m lim 5 8 n lim 10 e o lim ln 1 2 5 3 p lim 4 1 x x x x x x x x x x x x 2 2 2 2 0 1 2 q lim onde 1 2 0 r lim onde s lim 1 0 x x x x x f x f x x x x x f x f x x x 1 2 0 0 3 1 1 onde 0 1 t lim e u lim ln 1 x x x x x f x f x x x x Observação Se existem 1 lim x a L f x e 2 lim x a L g x então 1 1 2 lim lim lim x a x a x a f x g x f x g x L L O limite da soma é a soma dos limites 2 1 2 lim lim lim x a x a x a f x g x f x g x L L O limite da diferença é a diferença dos limites 3 1 2 lim lim lim x a x a x a f x g x f x g x L L O limite do produto é o produto dos limites 4 1 2 lim lim lim x a x a x a f x L f x g x g x L com 2 L 0 O limite do quociente é o quociente dos limites desde que o limite do denominador não seja zero 5 1 lim lim n n n x a x a f x f x L O limite da potência é a potência do limite Cálculo Diferencial e Integral Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 40 6 1 lim lim n n n x a x a f x f x L desde que 1 L 0 se n for par O limite da raiz nésima é a raiz nésima do limite 7 1 lim lim x a f x L f x x a b b b com 0 1 b O limite da exponencial é a exponencial do limite 8 1 lim log log lim log b b b x a x a f x f x L desde que 1 L 0 e 0 1 b O limite do logaritmo é o logaritmo do limite Cálculo Diferencial e Integral Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 41 6 DERIVADA 61 Definição A derivada de uma função f é a função denotada por f tal que seu valor em qualquer número x do domínio de f seja dado por 0 lim h f x h f x f x h se esse limite existir Se f admitir derivada em um ponto do seu domínio então diremos que f é derivável ou diferenciável nesse ponto Se y f x sua derivada pode ser representada por 1 f x 3 d d f x x d 5 d y x 2 y 4 D x f x Observação d d y x é um símbolo para a derivada e não deve ser considerado como uma razão Exemplos a fx k k Temos que 0 0 k k lim lim 0 h h f x h f x f x h h Logo se fx k então f x 0 b fx x Temos que 0 0 lim lim 1 h h f x h f x x h x f x h h Logo se fx x então f x 1 c fx x2 Temos que 2 2 0 0 lim lim h h f x h f x x h x f x h h 2 2 2 0 0 2 lim lim 2 2 h h x xh h x x h x h Logo se fx x2 então f x 2x Cálculo Diferencial e Integral Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 42 d fx x3 Temos que 3 3 0 0 lim lim h h f x h f x x h x f x h h 3 2 2 3 3 2 2 2 0 0 3 3 lim lim 3 3 3 h h x x h xh h x x xh h x h Logo se fx x3 então f x 3x2 De modo geral se fx xn n então 1 n f x n x 62 Algumas regras de derivação 1 1 k 0 k 2 3 4 ln com 0 1 5 n n g x g x n f x f x f x x f x nx n f x g x h x f x g x h x f x a f x a g x a a a f x g x f x n 1 2 6 7 0 8 log ln n a g x g x n f x g x h x f x g x h x g x h x g x g x h x g x h x f x f x h x h x h x g x f x g x f x a g x a com 0 1 9 cos 10 cos a f x sen x f x x f x x f x sen x Cálculo Diferencial e Integral Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 43 2 2 11 tg sec 12 cotg cossec 13 sec sec tg 14 cossec cossec cotg f x x f x x f x x f x x f x x f x x x f x x f x x x 63 Exercícios Resolvidos ER19 Derive as funções a seguir a fx x2 2x 4 b fx x3 3x 7 c fx 2 e x 1 d fx x 3 e fx 2 3 x x Solução a f x 2x 2 b f x 3x2 3 c f x 2 2 1 1 2 ln 2 x x e x e f x x e d fx 1 1 2 2 1 1 3 3 3 1 2 2 3 x f x x f x x f x x e 2 2 2 1 3 2 1 3 2 5 3 3 3 x x x x f x f x f x x x x ER20 Determine as derivadas das funções 3 a 8 y x 1 b 1 y x 3 c y x 2 3 d 3 2 x y x e y x Cálculo Diferencial e Integral Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 44 f 3 5 y x g tg cos h 4 sen g y y y f x x x Solução 2 a 3 y x 1 2 2 1 1 b 1 1 1 1 1 1 y y x y x y x x ou 2 2 0 1 11 1 1 1 1 1 x y y y x x x 2 c 3 y x 2 2 2 3 2 2 3 3 13 d 3 2 3 2 x x y y x x 1 1 2 2 1 1 e 2 2 y x y x y x y x 1 1 2 2 1 2 1 3 f 3 5 3 5 3 5 3 2 2 3 5 y x y x y x y x 2 g sec sen h 4sen 4 cos 4 sen cos g y y y f x x x x f x x x x Note que nos itens b e f optamos por reescrever a lei que define a função para em seguida aplicarmos a regra de derivação adequada ER21 Calcule o valor de f a em cada caso 3 a 2 2 1 b 3 2 3 f x x a f x a x Solução 2 2 1 3 2 2 3 3 2 2 a 3 2 3 2 2 12 1 1 1 b 2 3 2 3 2 3 2 2 3 23 3 1 3 27 f x x f f f x x f x x f x f x f Cálculo Diferencial e Integral Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 45 Atente que primeiro nós calculamos a derivada da função e em seguida aplicamos o valor de a em cada caso Siga esses passos para calcular os dois próximos 2 c 4 4 d 1 9 7 f x x x a f x x a Solução 1 1 2 2 1 1 2 2 c 2 1 4 24 1 4 7 1 9 9 d 1 9 1 9 9 7 2 2 1 9 2 1 97 9 7 16 f x x f f f x x f x x f x f x f f x 64 Exercícios Propostos EP16 Calcule a derivada das funções 2 3 2 2 3 4 2 7 5 1 2 2 3 3 5 2 1 1 1 4 2 x a f x b f x x x c f x x x x d f x x e f t t t 3 4 4 2 4 4 3 2 4 3 4 3 1 4 5 4 4 3 2 15 6 f v r r g f x x h f x x x x x i f s s s j f x x x x 3 3 3 2 4 2 2 2 3 2 7 3 3 3 2 2 54 1 4 3 7 3 x k g y l f x x y y m g x x x n f x x o g y y p f t 3 2 2 2 2 3 3 2 12 3 2 1 5 2 1 1 2 8 2 8 3 t t t t x x t q y r y x x t y x s y t y y x Cálculo Diferencial e Integral Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 46 3 3 2 2 3 1 3 1 7 4 2 5 log 3 5 log 3 6 x x y y u f x x x v f x w g y e x f x x Cálculo Diferencial e Integral Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 47 7 REGRA DE LHÔSPITAL 71 Introdução De modo geral se tivermos um limite da forma x a lim f x g x em que f x 0 e g x 0 quando x a então esse limite pode ou não existir e é denominado forma indeterminada do tipo 0 0 Para as funções racionais podemos cancelar os fatores comuns 2 2 x 1 x 1 x 1 1 1 lim lim lim 1 1 1 2 1 x x x x x x x x x Entretanto esse método não resolve limites como x 1 lim ln 1 x x Limites como o anterior podem ser resolvidos usando a Regra de LHôspital Outra situação na qual um limite não é óbvio ocorre quando procuramos uma assíntota horizontal de F e precisamos calcular o limite x lim ln 1 x x Não é óbvio como calcular esse limite pois tanto o numerador como o denominador tornamse muito grandes quando x Em geral se tivermos um limite da forma x lim f x g x em que f x ou e g x ou então o limite pode ou não existir e é chamado forma indeterminada do tipo Esse limite pode ser calculado para certas funções dividindo o numerador e o denominador pela potência mais alta de x que ocorre no denominador Por exemplo 2 2 2 x x 2 1 1 1 1 0 1 lim lim 1 2 0 2 2 1 2 x x x x Esse método não funciona para um limite como x lim ln 1 x x mas a Regra de LHôspital também pode ser aplicada a esse tipo de forma indeterminada Cálculo Diferencial e Integral Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 48 72 Definição Suponha que f e g sejam deriváveis e gx 0 em um intervalo aberto I que contém a Suponha que x a lim 0 f x e x a lim g 0 x ou que x lim f x e x lim g x Então x x lim lim a a f x f x g x g x se tal limite existir Observação Usaremos a sigla LH para indicar o uso da Regra de LHôspital 73 Exercícios Resolvidos ER22 Calcule os limites caso existam a x 1 lim ln 1 x x b 2 x lim xe x c 3 x lim ln x x Solução a x 1 ln ln1 0 lim 1 1 1 0 x x símbolo de indeterminação x 1 x 1 x 1 1 ln 1 1 ln lim lim lim 1 1 1 1 x L H x e x x b 2 x lim xe x símbolo de indeterminação 2 x x x 1ln lim lim lim 2 2 x x x e L H e e e x x x símbolo de indeterminação x x x 1ln lim lim lim 2 2 2 x x x e L H e e e x Cálculo Diferencial e Integral Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 49 c 3 x lim ln x x símbolo de indeterminação 2 3 1 2 1 3 3 3 3 1 ln ln 1 3 lim lim lim lim 3 lim 0 1 3 L H x x x x x x x x x x x x x x 74 Exercícios propostos EP17 Determine se existir os limites a x 0 lim tg x x x b x lim sen x x c 2 x 0 lim 1 cos x x Cálculo Diferencial e Integral Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 50 8 TAXA DE VARIAÇÃO 81 Definição A taxa de variação de uma função em relação à sua variável independente é igual à inclinação de seu gráfico a qual é medida pela inclinação da reta tangente no ponto em questão Como a inclinação da reta tangente é dada pela derivada da função seguese que a taxa de variação instantânea é igual à derivada 82 Exercícios Resolvidos ER23 Estimase que x meses a partir de agora a população de uma certa comunidade será de Px x2 20x 8000 a A que taxa a população estará variando em relação ao tempo 15 meses a partir de agora b Por quanto a população variará realmente durante o 16 mês Solução a Px 2x 20 P15 215 20 P15 50 A população estará variando em 50 indivíduos b P16 P15 162 2016 8000 152 2015 8000 256320225300 51 A população terá um acréscimo real de 51 indivíduos Cálculo Diferencial e Integral Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 51 83 Exercícios Propostos EP18 Estimase que t anos a partir de agora a circulação de um jornal local impresso será dada por Ct100t2 400t 5000 a Deduza uma expressão para a taxa na qual a circulação estará variando em relação ao tempo t anos a partir de agora b A que taxa a circulação estará variando em relação ao tempo 5 anos a partir de agora A circulação estará aumentando ou diminuindo nesse tempo c De quanto a circulação realmente variará durante o sexto ano EP19 Um estudo ambiental de uma certa comunidade urbana sugere que t anos a partir de agora o nível médio de monóxido de carbono no ar será de Qt 005t2 01t 34 ppm partes por milhão a A que taxa o nível de monóxido de carbono estará variando em relação ao tempo daqui a 1 ano b De quanto o nível de monóxido de carbono variará neste ano EP20 Um produtor pode fabricar gravadores a um custo de R 2000 a unidade É estimado que se os gravadores são vendidos a x reais cada os consumidores comprarão 120 x gravadores por mês Use o cálculo para determinar o preço no qual o lucro do produtor será máximo Em Economia a variação de uma quantidade em relação a outra pode ser descrita pelos conceitos de média ou de marginal O conceito de média expressa a variação de uma quantidade em relação à variação especificada dos valores de uma segunda quantidade enquanto que o conceito de marginal referese à variação instantânea na primeira quantidade que resulta de uma pequena variação na segunda quantidade Para definir precisamente o conceito de marginal usamos a noção de limite que nos leva à derivada Cálculo Diferencial e Integral Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 52 Suponhamos que Cx seja o custo total da produção de x unidades de certa mercadoria A função C á chamada função custo total Obtemos o custo médio da produção de cada unidade de uma mercadoria dividindo o custo total pelo número de unidades produzidas Se Qx for o custo médio C x Q x x e Q é chamada função custo médio Suponha agora que o número de unidades de uma dada produção seja x1 e que esse número varie por um valor x Então a variação no custo total será dada por Cx1 x Cx1 e a variação média no custo total em relação à variação no número de unidades produzidas será dada por 1 1 C x x C x x Os economistas usam o termo custo marginal para o limite do quociente quando x tende a zero desde que o limite exista Esse limite sendo a derivada de C em x1 estabelece que o custo marginal quando x x1 é dado por Cx1 se existir A função C é chamada de função custo marginal e Cx1 pode ser interpretada como a taxa de variação do custo total quando x1 unidades são produzidas EP21 A importância no custo total da fabricação de x relógios de uma certa fábrica é dada por Cx 1500 3x x2 Determine a a função custo marginal b o custo marginal quando x 40 c o custo real da fabricação do quadragésimo primeiro relógio EP22 Se Cx for o custo total da fabricação de x pesos de papel e 2 50 200 5 x C x x determine a a função custo marginal b o custo marginal quando x 10 c o custo real da fabricação do décimo primeiro peso de papel Cálculo Diferencial e Integral Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 53 9 REGRA DA CADEIA Se a função g for derivável em x e a função f for derivável em gx então f g x f g x g x 91 Exercícios Resolvidos ER24 Calcule a derivada das funções a seguir a fx sen 2x b fx senx2 3 Solução a f x cos 2x 2 b f x cosx2 3 2x 2xcosx2 3 92 Exercícios Propostos EP23 Determine f t se a ft tg3t2 2t b ft sen2 3t2 1 c ft 4 cos 3t 3 sen 4t d ft tg2 5t3 e ft cotg at b3 f ft cossec 4t2 5 Cálculo Diferencial e Integral Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 54 10 DERIVAÇÃO IMPLÍCITA 101 Introdução Se f xy y 3x2 5x 1 então a equação y 3x2 5x 1 define a função f explicitamente Mas nem todas as funções estão definidas dessa forma Por exemplo se tivermos a equação x6 2x 3y6 y5 y2 não poderemos resolver y em termos de x além disso podem existir uma ou mais funções f para as quais se y fx a equação estará satisfeita isto é tais que a equação x6 2x 3fx6 fx5 fx2 seja válida para todos os valores de x no domínio de f Nesse caso a função f está definida implicitamente pela equação dada Na equação dada o lado esquerdo é uma função de x e o lado direito é uma função de y Seja gx x6 2x e hy 3y6 y5 y2 onde y é uma função de x digamos y fx Dessa forma a equação pode ser escrita como gx hfx Essa equação está satisfeita por todos os valores de x no domínio de f para os quais hfx existe Daí Dxx6 2x Dx3y6 y5 y2 5 5 4 6 2 18 5 2 dy dy dy x y y y dx dx dx 5 5 5 4 5 4 6 2 6 2 18 5 2 18 5 2 dy dy x x y y y dx dx y y y Assim encontramos uma expressão para d d y x 102 Exercícios Resolvidos ER25 Determine d d y x nos seguintes casos 4 2 3 a 3 7 4 8 x y xy y 2 2 4 4 b x y x y x y c cos cos 1 x y y x Cálculo Diferencial e Integral Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 55 Solução 3 2 4 3 2 4 2 3 2 3 3 2 3 4 2 3 2 3 4 2 a 12 3 2 7 7 3 8 6 21 8 12 7 12 7 6 21 8 12 7 6 21 8 dy dy dy dy dy dy x y x y y x y x y xy x y y dx dx dx dx dx dx dy dy x y y x y xy x y y dx dx x y xy 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 b 2 1 2 1 4 4 2 2 1 2 2 1 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 4 4 4 dy dy dy x y x y x y dx dx dx dy dy dy x y x y x y dx dx dx dy dy dy dy dy x x y y x x y y x y dx dx dx dx dx dy x y x y dx dy x y dx x y c 1cos cos 0 cos cos cos cos cos cos dy dy y x seny x y senx dx dx dy dy x seny x y y senx dx dx dy x seny x y y senx dx dy y y senx dx x seny x ER26 Indique a equação da reta tangente à curva 3 3 9 x y no ponto 1 2 Solução 2 3 3 2 2 2 9 3 3 0 dy dy x x y x y dx dx y A reta tangente tem equação y ax b Assim 2 2 1 1 2 4 a Como 1 4 y x b e 1 2 pertence à reta tangente 1 9 2 41 4 b b Logo a equação da reta tangente é 1 9 4 4 y x Cálculo Diferencial e Integral Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 56 103 Exercícios Propostos EP24 Determine d d y x por derivação implícita 3 3 2 2 3 3 2 2 2 2 4 4 2 a 8 b 4 9 1 1 1 c 1 d 2 3 5 e f 2 3 3 g x y xy x y x y xy x y x y x y x y x 2 2 2 2 h sec cossec 4 x y x y x y EP25 Escreva a equação da reta tangente à curva 4 4 16 32 x y no ponto 1 2 Cálculo Diferencial e Integral Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 57 11 TAXAS RELACIONADAS 111 Introdução Em algumas situações é necessário derivar funções em relação a variáveis das quais não estão explícitas 112 Exercícios Resolvidos ER27 Determine d d y t a y 2x x 3t e y 6t b 2 3 e 3 y x x t c 3 4 e 2 y x x x t d 2 3 1 e 3 y x x t e 2 8 e 2 y x x t Solução a x t 3 y t 6 y t 2 x t d 2d d d y x t t b d d d d 2 6 d d d d y x y x x t t t t t c 2 2 d d d d d 12 1 48 1 d d d d d y x x y x x t t t t t t d d d d d 6 18t d d d d y x y x x t t t t e d d d d 16 32t d d d d y x y x x t t t t ER28 As variáveis x e y são funções diferenciáveis de t e estão relacionadas pela equação 2 3 y x Quando x 1 d 2 d x t Calcule d d y t quando x 1 Cálculo Diferencial e Integral Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 58 Solução d d d d 2 212 4 d d d d y x y y x t t t t 113 Exercícios Propostos EP26 Uma escada com 25 unidades de comprimento está apoiada numa parede vertical Se o pé da escada for puxado horizontalmente afastandose da parede a 3 unidades de comprimento por segundo qual a velocidade com que a escada está deslizando quando seu pé está a 15 unidades de comprimento da parede EP27 Dada xcos y 5 onde x e y são funções de uma terceira variável t Se d d x t 4 determine d d y t quando y 3 1 EP28 Um tanque tem a forma de um cone invertido com 16 m de altura e uma base com 4 m de raio A água flui no tanque a uma taxa de 2 m3 min Com que velocidade o nível da água estará se elevando quando sua profundidade for de 5 m EP29 x e y são funções de uma terceira variável Calcule d d x t d a 2 3 8 e 2 d d b 20 10 e 2 d y x y t y xy x t d c tg 1 4 4 e d y y x x t EP30 Um balão esférico de raio r perde gás à taxa de v m3 min A que taxa decresce o raio Calcular essa taxa quando r 5 m se v 2 m3 Cálculo Diferencial e Integral Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 59 12 SIGNIFICADO GEOMÉTRICO DA DERIVADA Seja y f x uma função 121 Inclinação da reta secante a uma curva A reta secante s que passa por P 0 0 x f x e Q 0 0 x h f x h tem coeficiente angular 0 0 s f x h f x m h f x0 h f x0 h s y f x x0 x0h f x0h f x0 O Cálculo Diferencial e Integral Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 60 122 Inclinação da reta tangente a uma curva Observe que a reta tangente t é obtida quando fazemos o ponto Q 0 0 x h f x h aproximarse do ponto P 0 0 x f x Para que isso ocorra é necessário fazer com que o incremento h fique cada vez menor isto é aproximese de 0 Assim podemos dizer que o coeficiente angular mt da reta tangente à curva f é t s m m quando h tende a 0 Então 0 0 0 lim t h f x h f x m h se existir Lembrando ainda que 0 0 0 0 lim h f x h f x f x h logo podemos dizer que o coeficiente angular da tangente a uma curva f num ponto P 0 x 0 y é 0 f x h x0 x0h f x0 f x0h O P Q t y f x Cálculo Diferencial e Integral Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 61 123 Exercício Resolvido ER29 Dada a curva de equação 2 f x x determine o coeficiente angular da reta tangente a curva f no ponto 3 9 Solução Se 2 f x x então 2 f x x O coeficiente angular é dado portanto pelo valor de f x em cada ponto Assim nesse caso o coeficiente angular no ponto 3 9 é f 3 2 3 6 124 Exercícios Propostos EP31 Escreva a equação da reta tangente a cada curva seguinte nos pontos indicados Curva Ponto a f x x2 1 1 b f x x2 de abscissa 0 c f x x3 0 0 d f x x2 1 de ordenada 1 e f x cos x de abscissa f f x ex de abscissa 0 g f x sen x de abscissa 4 Cálculo Diferencial e Integral Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 62 13 O SINAL DA DERIVADA E O COMPORTAMENTO DE UMA FUNÇÃO 131 O sinal da primeira derivada Observe os gráficos abaixo e as tangentes traçadas nos diversos pontos das curvas Note que as tangentes às curvas das figuras 1 e 3 têm coeficiente angular positivo e tais funções são CRESCENTES enquanto que as retas tangentes às curvas das figuras 2 e 4 têm coeficiente angular negativo e tais funções são DECRESCENTES Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4 Cálculo Diferencial e Integral Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 63 Conclusão Seja f uma função contínua em a b e derivável em a b Então i f é CRESCENTE em a b 0 f x em a b ii f é DECRESCENTE em a b 0 f x em a b 132 Exercício Resolvido ER30 Use o estudo de sinal da derivada da função f x x3 3x2 para descrever os intervalos em que f é crescente e aquele em que f é decrescente Solução Sabemos que 2 3 6 f x x x Igualando f x a zero temse 2 1 3 6 0 0 x x x ou 2 x 2 Fazendo o quadro de estudo de sinais temos Portanto f x é crescente se x 0 ou x 2 e f x é decrescente se 0 x 2 Note que a função f é contínua e em torno do ponto em que x 0 ela muda o comportamento de crescente para decrescente portanto passando por um ponto mais alto ponto de máximo local Enquanto em torno do ponto em que x 2 ela muda de decrescente para crescente passando por um ponto mais baixo ponto de mínimo local Cálculo Diferencial e Integral Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 64 133 Exercícios Propostos EP32 Estude cada função quanto ao crescimento e decrescimento e determine caso existam os pontos de máximo e mínimo a 3 2 9 15 5 f x x x x b 4 4 f x x x c 5 3 5 20 2 f x x x x d 2 3 4 1 f x x x e 3 12 5 f x x x Observação Seja y f x uma função contínua e derivável em um intervalo aberto I Se f x muda de sinal em I então f tem um ponto de mínimo ou de máximo em I Cálculo Diferencial e Integral Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 65 14 CONCAVIDADE 141 Introdução De modo geral o gráfico de uma curva y f x ao longo de seu domínio pode ter trechos com a concavidade voltada para baixo ou voltada para cima Uma das aplicações da derivada de ordem 2 é para identificar por meio do estudo do seu sinal quais são os intervalos em que a curva tem concavidade voltada para baixo CVB ou voltada para cima CVC Nos intervalos em que y 0 temos que y f x tem CVB e aqueles em que y 0 temos que y f x tem CVC 142 Exercícios Resolvidos ER31 Estude cada curva abaixo quanto à concavidade a 2 7 1 f x x x b 3 12 5 y x x Solução a Primeiro vamos calcular a função f Assim 2 7 f x x e 2 f x Note que 0 f x para qualquer x do domínio logo a curva f tem concavidade voltada para cima CVC b Temos 2 3 12 y x e y 2 Para estudar o sinal de y podemos observar que y 0 então x 0 Podemos sintetizar para esse caso o estudo do sinal de y e as consequências na concavidade de y no quadro a seguir Cálculo Diferencial e Integral Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 66 Logo y tem CVB para x 0 e y tem CVC para x 0 Observemos que em x 0 a curva muda a concavidade Dizemos nesse caso que em x 0 ocorre um ponto de inflexão Observação Ponto de inflexão é o ponto em que uma curva contínua muda a concavidade Cálculo Diferencial e Integral Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 67 15 CRITÉRIO DA SEGUNDA DERIVADA PARA DETERMINAÇÃO DE MÁXIMOS E MÍNIMOS 151 Definição Seja y f x uma função contínua e derivável até 2ª ordem num intervalo aberto I com derivadas f e f também contínuas em I Seja 0 I x tal que 0 0 f x Nestas condições temos a Se 0 0 f x então em 0x a função f tem um ponto de máximo local b Se 0 0 f x então em 0x a função f tem um ponto de mínimo local 152 Exercícios Resolvidos ER32 Estude cada função quanto aos pontos de mínimo e de máximo usando o critério da 2ª derivada a 3 12 5 f x x x b 2 x f x e Solução a Temos 2 3 12 f x x e 6 f x x Assim 2 2 2 0 3 12 0 3 12 4 2 f x x x x x Se x 2 então 2 62 12 f Como 2 0 f então f tem um ponto de mínimo em x 2 Para x 2 temse f 2 23 122 5 8 24 5 21 Logo o ponto de mínimo é 2 21 Se x 2 então 2 6 2 12 f Como 2 0 f então f tem um ponto de máximo no ponto de abscissa 2 Para x 2 temse f 2 23 122 5 8 24 5 11 Logo o ponto de máximo é 2 11 Cálculo Diferencial e Integral Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 68 b Temos 2 2 x f x xe e 2 2 2 2 2 2 2 2 4 x x x f x e x x e f x e x Assim 2 0 2 0 0 x f x xe x Calculando 02 2 0 2 40 0 1 2 0 0 2 f e f f Como 0 0 f então f tem um ponto de máximo em x 0 Para x 0 temse 02 0 1 f e e o ponto máximo é 0 1 153 Exercícios Propostos EP33 Estude o comportamento das curvas indicando os intervalos nos quais ela é crescente e aqueles para os quais é decrescente Determine se possível as coordenadas dos pontos extremos a 2 4 1 f x x x b 3 2 2 9 2 f x x x c 3 f x x d 4 2 g 5 4 2 x x x EP34 Nos itens da questão anterior estude a concavidade da curva e determine as coordenadas dos pontos de inflexão caso existam EP35 De uma folha de zinco quadrada de lado 1 m pretendese confeccionar uma caixa prismática conforme o esquema seguinte Quatro quadrados de lado x serão jogados fora dobrandose em seguida as quatro abas e soldando os quatro cantos da caixa Qual deve ser o valor de x para que a caixa tenha capacidade máxima Cálculo Diferencial e Integral Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 69 EP36 Uma empresa apurou que a sua receita total em reais com a venda de um produto admite como modelo R x3 450x2 52500x onde x é o número de unidades produzidas e vendidas Qual o nível de produção que gera receita máxima EP37 Um pacote retangular a ser enviado via postal pode apresentar um total máximo combinado de 108 centímetros para o comprimento e o perímetro transverso Determine as dimensões do pacote de volume máximo Conforme mostrado na figura a seguir admita que as dimensões do pacote sejam x por x por y Cálculo Diferencial e Integral Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 70 GABARITO EP1 f é contínua em x11 pois 1 lim 1 2 x f x f EP2 f é contínua em x11 pois 1 lim 1 1 x f x f f não é contínua em x22 Como 2 lim 4 x f x e 2 0 f 2 lim 2 x f x f e então f possui um salto em x22 EP3 a 2 b 2 c 2 d 2 e 4 f 3 g não existe h 1 i 3 j 3 k 3 l 3 m 5 n 4 o não existe p 5 q 1 r 1 s 1 t 0 u 1 v 0 EP4 a 1 b 1 c 4 d 0 e 1 f 4 g 9 h 16 EP5 b 0 c 0 d 1 e 1 f 0 g 0 h 121 i 16 j 2 k 4 l 3 m 2 n 2 o 1 p 1 2 q 1 4 r 0 s 13 36 t não existe u 2e v 1 x 3 2 EP6 b Como 3 lim 3 x f x f então a função f é contínua em x 3 c Como 2 lim 2 x f x f então a função f é contínua em x 2 EP7 a 2 b 225 c 244140625 d 248832 e 259374246 f 2653297705 g 2691588029 h 2704813829 i 2716923932 j 2718145927 k 2718268237 l 2718280469 Cálculo Diferencial e Integral Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 71 EP8 b 2 c 2 d 1 e 0 f 1 4 g 1 2 h 6 i 6 j 5 k 3 l 4 m 1 n 0 o 3 p 1 6 q 0 r 1 6 s 1 2 t 1 2 u 4 v 12 w 3 EP9 a 2 3 b 1 3 c 0 d 1 e 1 f 7 h i não existe j não existe k não existe l m n 7 o 5 9 p EP10 a x 2 e x 2 são assíntotas verticais ao gráfico de f b f não possui assíntotas verticais c f não possui assíntotas verticais d f possui uma assíntotas vertical com equação x 4 e f possui uma assíntotas vertical com equação y 3 f f possui uma assíntotas vertical com equação x 3 g f possui uma assíntotas vertical com equação x 0 h f não possui assíntotas verticais i f possui uma assíntotas vertical com equação x 4 j f possui uma assíntotas vertical com equação x 2 3 EP11 Sim aproximadamente 181402 EP12 Considere AV assíntota vertical e AH assíntota horizontal a AV x 0 AH y 1 b AV x 2 AH y 0 c AV x 1 e x 2 AH y 1 d AV x 1 AH y 1 e AV x 1 e x 2 AH não existe f AV não existe AH y 0 g AV x 2 e x 2 AH y 1 2 h AV x 2 AH y 0 EP13 i a ii c iii b iv d v f vi e EP14 a y 2 b não existe c y 3 d y 1 e y 1 2 Cálculo Diferencial e Integral Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 72 EP15 b 0 c 0 d e f g h i j 0 k l 5 m 4 5 n 10 o p q 3 r não existe s 4 t 1 u 0 EP16 a 7 2 f x b 2 2 f x x c 2 3 6 5 f x x x d 5 3 2 1 f x x e 3 f t t t f 2 4 v r r g 3 5 1 16 f x x x h 3 3 5 4 2 16 f x x x x i 2 3 3 2 f s s s j 6 4 2 70 60 15 6 f x x x x k 7 2 4 21 3 1 2 3 2 y g y y y l 2 4 9 f x x x m 2 24 4 20 f x x x n 2 16 4 3 f x x x o 2 3 18 7 3 g y y y p 4 3 2 10 12 12 8 3 f t t t t t q 2 2 2 4 4 2 1 x y x x r 2 2 2 5 10 1 2 t y t s 2 2 3 48 8 y y y t 2 6 3 y x u 2 2 3 3 ln3 x f x x x v 3 2 2 3 1 6 3 ln55 x x f x x w 1 3 7 2 2 3 7 2 y y g y y e x 3 4 4 2 ln5 x f x x EP17 a 0 b 1 c 1 2 EP18 a Ct 200t 400 b C5 1400 A circulação estará aumentando em 1400 unidades c C6 C5 1500 unidades EP19 a Q1 02 ppm b Q1 Q0 015 ppm Cálculo Diferencial e Integral Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 73 EP20 R 7000 EP21 a Cx 3 2x b C40 83 c C41 C40 84 EP22 a 2 50 2 5 C x x x b C10 35 c C11 C10 375 EP23 a 2 2 6 2 sec 3 2 f t t t t b 2 2 12 cos 3 1 sen 3 1 f t t t t c 12 3 cos4 f t sen t t d 2 3 2 3 30 5 sec 5 f t t tg t t e 2 3 2 3 cossec f t a at b at b f 2 2 8 cossec4 cot 4 f t t t g t EP24 a 2 2 8 3 3 8 dy y x dx y x b 4 9 dy x dx y c 2 2 dy y dx x d 2 3 3 2 6 3 2 9 dy x y y dx x xy e 2 2 dy x xy dx x y y f 3 22 3 3 dy x dx y g 2 2 1 3 4 2 2 dy x xy dx x h 2 2 sec tg cossec ycot dy x x dx gy EP25 2 4 y x EP26 9 4 ucs EP27 2 3 15 dy dt EP28 32 25 mmin EP29 a 3 dx dt b 2 dx dt c 1 dx dt EP30 1 50 dr dt mmin EP31 a 2 1 y x b y 0 c y 0 d 1 y e 1 y f 1 y x g 2 2 4 y x Cálculo Diferencial e Integral Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 74 EP32 a f x é crescente se 1 x ou x 5 e f x é decrescente se 1 5 x f x possui 1 2 como ponto de máximo e 5 30 como ponto de mínimo b f x é crescente se 1 x e f x é decrescente se 1 x f x possui 1 3 como ponto de mínimo e não possui ponto de máximo c f x é em todo seu domínio f x não possui pontos extremos d f x é crescente se 2 x 3 e f x é decrescente se 2 x 3 f x possui 2 1 3 3 como ponto de mínimo e não possui ponto de máximo e f x é crescente se 2 x ou x 2 e f x é decrescente se 2 2 x f x possui 2 11 como ponto de máximo e 2 21 como ponto de mínimo EP33 a f x é crescente se x 2 e f x é decrescente se x 2 f x possui 2 5 como ponto de mínimo e não possui ponto de máximo b f x é crescente se x 0 ou x 3 e f x é decrescente se 0 3 x f x possui 0 2 como ponto de máximo e 3 25 como ponto de mínimo c f x é crescente em todo seu domínio f x não possui pontos extremos d g x é crescente se 1 0 x ou 1 x e g x é decrescente se 1 x ou 0 1 x g x possui 19 1 4 e 19 1 4 como pontos de mínimo e 0 5 como ponto de máximo EP34 a O gráfico que representa f x é côncavo para cima em todo seu domínio f x não possui ponto de inflexão b O gráfico que representa f x é côncavo para cima se 3 x 2 e é côncavo para baixo se 3 x 2 f x possui 3 23 2 2 como ponto de inflexão c O gráfico que representa f x é côncavo para cima se x 0 e é côncavo para baixo se x 0 f x possui 0 0 como ponto de inflexão d O gráfico que representa g x é côncavo para cima se 3 x 3 ou se 3 x 3 e é côncavo para baixo se 3 3 3 3 x g x possui 3 3 175 36 e 3 3 175 36 como pontos de inflexão EP35 1 x 6 m EP36 350 unidades EP37 As dimensões são 18 m 18 m e 36 m