Estática e Mecânica dos Materiais: Conceitos e Aplicações

CYAN VS Gráfica VS Gráfica MAG VS Gráfica YEL VS Gráfica BLACK wwwgrupoacombr 0800 703 3444 estática e mecânica dos materiais Beer Johnston deWolf mazurek estática e mecânica dos materiais estática e mecânica dos materiais Beer Johnston deWolf mazurek estática e mecânica dos materiais Beer Johnston deWolf mazurek Beer Johnston deWolf mazurek Mantendo a metodologia de ensino tradicional dos seus famosos livrostexto Beer e Johnston unem nesta obra conceitos e aplicações de duas importantes áreas da engenharia a estática e a mecânica dos materiais permitindo que os estudantes desenvolvam a habilidade de compreender e solucionar um deter minado problema de maneira coesa simples e lógica Os capítulos têm início com exemplos reais e com um sumário resumido dos conteúdos que serão trabalhados Os conceitos são introduzidos passo a passo de forma clara e objetiva Seções opcionais oferecem tópicos avançados As seções Problemas resolvidos são apresentadas em uma única página o que proporciona melhor visualização dos problemaschave Todos os capítulos oferecem um conjunto de problemas que devem ser resolvidos com o auxílio de programas computacionais Visite a Área do Professor no nosso site wwwgrupoacombr para ter livre acesso ao material exclusivo em inglês e português deste livro engenharia wwwgrupoacombr Recorte aqui seu marcador de página Engenharia bEEr johnston dEwolf mazurEk Estática e mecânica dos materiais BEER JOHNSTON CORNWELL Mecânica Vetorial para Engenheiros Dinâmica 9ed BEER JOHNSTON MAZUREK EISENBERG Mecânica Vetorial para Engenheiros Estática 9ed BLANK TARQUIN Engenharia Econômica 6ed BUDYNAS NISBETT Elementos de Máquinas de Shigley Projeto de Engenharia Mecânica 8ed ÇENGEL BOLES Termodinâmica Uma Abordagem da Engenharia 7ed ÇENGEL CIMBALA Mecânica dos Fluidos ÇENGEL GHAJAR Transferência de Calor e Massa 4ed CHAPRA CANALE Métodos Numéricos para Engenharia 5ed CHAPRA SC Métodos Numéricos Aplicados com MATLAB para Engenheiros e Cientistas 3ed DYM LITTLE Introdução à Engenharia Uma Abordagem Baseada em Projeto 3ed GILAT A MATLAB com Aplicações em Engenharia 4ed HSU HP Sinais e Sistemas 2ed Coleção Schaum LEET UANG GILBERT Fundamentos da Análise Estrutural 3ed NAHVI EDMINISTER Circuitos Elétricos 4ed Coleção Schaum NAVIDI W Probabilidade e Estatística para Ciências Exatas NORTON RL Cinemática e Dinâmica dos Mecanismos ROSA ES Escoamento Multifásico Isotérmico SMITH HASHEMI Fundamentos de Engenharia e Ciência dos Materiais 5ed TREMBLAY T Autodesk Inventor 2012 e Inventor LT 2012 Essencial WHITE FM Mecânica dos Fluidos 6ed Livro em produção no momento de impressão desta obra mas que muito em breve estará à disposição dos leitores em língua portuguesa A Bookman Editora é parte do Grupo A uma empresa que engloba diversos selos editoriais e várias plataformas de distribuição de conteúdo técnico científico e profissional disponibilizandoo como onde e quando você precisar O Grupo A publica com exclusividade obras com o selo McGrawHill em língua portuguesa 042376EstaticaMecanicaMateriasindd 2 141112 1728 Catalogação na publicação Ana Paula M Magnus CRB 102052 E79 Estática e mecânica dos materiais recurso eletrônico Ferdi nand P Beer et al tradução Antônio Eustáquio de Melo Pertence revisão técnica Antonio Pertence Júnior Dados eletrônico Porto Alegre AMGH 2013 Editado também como livro impresso em 2013 ISBN 9788580551655 1 Engenharia mecânica 2 Mecânica dos materiais 3 Está tica I Beer Ferdinand P CDU 6215312 IniciaisEletronicoindd ii 19032013 110245 446 Estdtica e mecdnica dos materiais I I FlexGo pura 111 Introdugdo v Nos trés capitulos anteriores estudamos como determinar as tensdes nos 111 Introdugdo elementos prismaticos ou barras submetidas a forgas axiais ou a momentos 112 Barra simétrica em flexdo de torcao Neste capitulo e nos dois seguintes analisaremos as tensOes e pura deformacées em elementos prismaticos submetidos a flexdo Flexao é um 113 Deformagées em uma barra conceito importante usado no projeto de muitos componentes de maquinas e segao simetrica em e componentes estruturais como vigas e traves exao pura x ry rae P Este capitulo sera dedicado a analise dos elementos prismaticos sub 114 Tensdes e deformacées bee metidos a momentos fletores M e M iguais e opostos que atuam no mes 115 FlexGo de barras 4 constituidas de varios mo plano longitudinal Nesse caso dizemos que esses elementos estao em materiais flexao pura Na maior parte do capitulo consideraremos que os elementos tém um plano de simetria e que os momentos fletores M e M estao atuan 116 Carregamento axial d i Fie 111 excéntrico em um plano 0 nesse plano Fig 111 de simetria 117 Flexdo assimétrica M 118 Caso geral de carregamento axial excéntrico OO oo M A 2 B 360 N 360 N Figura 111 030 m 066 m 030 m C AI Um exemplo de flexao pura é dado pela barra de levantamento de pesos A B tipica quando o atleta a segura acima da cabega A barra suporta pesos iguais a distancias iguais das maos do levantador de pesos Por causa da RMON R360 N simetria do diagrama de corpo livre da barra Fig 112a as reagdes nas a maos devem ser iguais e opostas aos pesos Portanto com relagao a parte média CD da barra os pesos e as reacdes podem ser substituidos por dois c D momentos fletores iguais e opostos de 108 N m Fig 1125 mostrando r que a parte central da barra esta em flexdo pura Uma analise similar do M108Nm M108 N m eixo de um pequeno veiculo esportivo Foto 111 mostraria que entre os b dois pontos em que ele esta preso ao veiculo 0 eixo esta em flexdo pura Figura 112 oe Ld A oO Foto 111 Nesse veiculo esportivo o segmento central do eixo traseiro esta submetido 4 flexdo pura Capitulo 11 Flexdo pura 447 Por mais interessantes que as aplicaées diretas da flex4o pura possam ser um capitulo inteiro dedicado ao seu estudo se justifica porque os resul tados obtidos serao usados na analise de outros tipos de carregamento como carregamentos axiais excéntricos e transversais abo A Foto 112 mostra um grampo de aco de 305 mm usado para aplicar fen uma forcga de 680 N a duas pecas de madeira que estéo sendo coladas A Fig 113a mostra as forgas iguais e opostas exercidas pela madeira no grampo as quais resultam em um carregamento excéntrico na parte reta do grampo Na Fig 1135 foi feito um corte no grampo na segao CC e 3 desenhouse o diagrama de corpo livre da metade superior do grampo do i qual concluimos que os esforcos internos na segao sao equivalentes a uma te 53 forga de tracao axial P de 680 N e a um momento fletor M de 85 N m 1 Podemos entéo combinar as tensdes sob uma forca centrada e os resulta 2 aa dos de nossa futura analise de tensdes em flexdo pura para obtermos a distribuicao de tensdes sob uma forga excéntrica Isso sera discutido com mais detalhes na Secao 116 y 0125 9125 m F Foto 112 P680N P680N C Cc C Cc P680N WU MESSN om YP 680N C 6 Figura 113 Aspectos relacionados a flexao pura também terao um papel essencial no estudo das vigas isto de elementos prismaticos submetidos a varios p tipos de forgas transversais ao eixo longitudinal do elemento Considere por exemplo uma viga em balango AB suportando uma forga concentrada C P em sua extremidade livre Fig 114a Se cortarmos a viga em uma se ie a cao Ca uma distancia x de A observaremos no diagrama de corpo livrede B AC Fig 1145 que os esforcos internos na segao consistem em uma forca a P igual e oposta a P e em um momento M de intensidade M Px A dis tribuigdo de tensdes normais na sedo pode ser obtida do momento M PIL como se a viga estivesse em flexdo pura As tensdes de cisalhamento na secao dependem da forga P e vocé aprendera no Cap 13 a determinar sua distribuicao sobre uma determinada seao ae M A primeira parte do capitulo 6 dedicada a analise das tensdes e defor 4 magoes provocadas por flexao pura em uma barra homogénea que tem um 0 Pp plano de simetria e que é feita de um material que segue a lei de Hooke Em uma discussao preliminar sobre as tensdes em virtude da flexao Secao 112 Figura 114 448 Estática e mecânica dos materiais serão usados os métodos da estática para determinar três equações funda mentais que devem ser satisfeitas pelas tensões normais em uma determi nada seção transversal da barra Na Seção 113 provaremos que seções transversais planas permanecem planas em uma barra submetida à flexão pura enquanto na Seção 114 serão desenvolvidas fórmulas que podem ser usadas para determinar as tensões normais bem como o raio de cur vatura para uma barra dentro do regime elástico Na Seção 115 você estudará as tensões e deformações em barras de material composto feitas de mais de um material como vigas reforçadas de concreto que utilizam as melhores características do aço e do concreto e que são usadas extensivamente na construção de edifícios e pontes Você aprenderá a desenhar uma seção transformada representando a seção de uma barra feita de material homogêneo que sofre as mesmas deformações da barra do material composto sob o mesmo carregamento A seção trans formada será usada para determinar as tensões e deformações na barra de material composto original Na Seção 116 você aprenderá a analisar um carregamento axial ex cêntrico em um plano de simetria como aquele mostrado na Foto 112 superpondo as tensões em virtude da flexão pura e as tensões em virtude do carregamento axial centrado Por fim analisaremos a flexão assimétrica Seção 117 e estudare mos o caso geral de carregamento axial excêntrico Seção 118 112 Barra simétrica em flexão pura Considere uma barra prismática AB que tenha um plano de simetria e que esteja submetida a conjugados iguais e opostos M e Mʹ os quais atuam no plano Fig 115a Observamos que se uma seção da barra AB for cortada em algum ponto arbitrário C as condições de equilíbrio da parte AC da barra exigirão que os esforços internos na seção sejam equivalentes ao conjugado M Fig 115b Assim os esforços internos em qualquer seção transversal de uma barra de seção simétrica em flexão pura são equivalen tes ao conjugado O momento M do conjugado é chamado de momento fletor na seção Com base na convenção usual será atribuído um sinal positivo a M quando a barra for flexionada conforme mostra a Fig 115a isto é quando a concavidade da viga estiver virada para cima e um sinal negativo em caso contrário A B C M M A C M M a b Figura 115 Cap11Beerindd 448 Cap11Beerindd 448 03122012 191254 03122012 191254 Capitulo 11 FlexGo pura 449 Chamando de o a tensao normal em um ponto da secao transversal e de 7 7 as componentes da tensao de cisalhamento expressamos que 0 sistema das forgas internas elementares que atuam na secao é equivalente ao momento fletor M Fig 116 y y la ae TdA 4 Ke ae ld ZZ x f Zz odA y Figura 116 De acordo com a estatica um momento fletor M consiste na realidade de duas forgas iguais e opostas A soma das componentes dessas forgas em qualquer diregao portanto é igual a zero Além disso o momento fletor é 0 mesmo em relacao a qualquer eixo perpendicular a seu plano e zero em re lacgao a qualquer eixo contido no plano Ao selecionarmos arbitrariamente o e1xo z como mostra a Fig 116 expressamos a equivaléncia das forgas inter nas elementares e do momento M escrevendo que as somas das componen tes e dos momentos das forcgas elementares sdo iguais as correspondentes componentes e aos correspondentes momentos fletores M componentes x JodA 0 111 momentos em torno do eixo y fzadA 0 112 momentos em torno do eixo z fyadA M 113 Trés equacgdes adicionais poderiam ser obtidas igualando a zero as somas das componentes y componentes z e momentos em torno do eixo x mas essas equacdes envolveriam somente as componentes da tensao de cisalha mento e como vocé vera na proxima secado as componentes da tensdo de cisalhamento sao ambas iguais a zero Devem ser feitas duas observagées neste ponto 1 Na Eq 113 indi case 0 sinal de menos porque uma tensao de tracao o 0 leva a um mo mento negativo sentido horario da forca normal o dA em relagao ao eixo z 2 A Eq 112 poderia ter sido prevista pois a aplicagéo dos momentos fletores no plano de simetria da barra AB resultara em uma distribuicao de tensdes normais que é simétrica em relagao ao eixo y Uma vez mais notamos que a distribuicao real de tensOes em uma secao transversal nao pode ser determinada somente pela estatica Ela é estaticamente indeterminada e pode ser obtida somente pela analise das deformagoes produzidas na barra 450 Estática e mecânica dos materiais 113 Deformações em uma barra de seção simétrica em flexão pura Vamos agora analisar as deformações de um elemento prismático que tem um plano de simetria e está submetido em suas extremidades a momentos fletores M e Mʹ iguais e opostos que atuam no plano de simetria O ele mento sofrerá flexão sob a ação dos momentos fletores mas permanecerá simétrico em relação ao outro plano Fig 117 Além disso como o mo mento fletor M é o mesmo em qualquer seção transversal a barra sofrerá flexão uniforme C D A B M M B Figura 117 Assim a linha AB ao longo da qual a face superior da barra intercepta o plano dos momentos fletores terá uma curvatura constante Em outras pa lavras a linha AB originalmente uma linha reta será transformada em um arco de circunferência de centro C como também a linha AB não mos trada na figura ao longo da qual a face inferior da barra intercepta o plano de simetria Notamos também que a linha AB diminuirá em seu compri mento quando a barra for flexionada conforme mostra a figura isto é quando M 0 enquanto AB se tornará mais longa Em seguida vamos provar que qualquer seção transversal perpendi cular ao eixo da barra permanece plana e que o plano da seção passa por C Se esse não fosse o caso poderíamos encontrar um ponto E da seção original que é a mesma seção à qual D pertence Fig 118a e que depois de a barra ter sido flexionada ele não estaria mais no plano de simetria que contém a linha CD Fig 118b Mas em virtude da simetria da barra haveria um outro ponto E que seria transformado exatamente da mesma maneira Vamos supor que depois de a viga ter sido flexionada ambos os pontos estariam localizados à esquerda do plano definido por CD como mostra a Fig 118b Como o momento fletor M é o mesmo por todo o ele mento uma situação similar seria válida em qualquer outra seção trans versal e os pontos correspondentes a E e E também se moveriam para a esquerda Assim um observador em A concluiria que o carregamento faz os pontos E e E em várias seções transversais se moverem para a frente em direção ao observador Mas um observador em B para o qual o car regamento parece o mesmo e que observa os pontos E e E nas mesmas posições exceto que agora eles estão invertidos chegaria a uma conclu são oposta Essa inconsistência nos leva a concluir que E e E estarão no mesmo plano definido por CD e portanto que a seção permanecerá plana e passará pelo ponto C Devemos notar no entanto que essa discussão não invalida a possibilidade de deformações dentro do plano da seção D D E A B A B M M E E E C EE a b Figura 118 Cap11Beerindd 450 Cap11Beerindd 450 03122012 191255 03122012 191255 Capitulo 11 FlexGo pura 451 Suponha que a viga seja dividida em um grande numero de pequenos y elementos cibicos com faces respectivamente paralelas aos trés planos coor C denados A propriedade que estabelecemos requer que esses elementos WN sejam transformados quando a viga estiver submetida aos momentos fle J tS tores M e M como mostra a Fig 119 Como todas as faces representadas j nas duas projecoes da Fig 119 estao a 90 uma da outra concluimos que A Voy Vex 0 e portanto que 7 0 Com relagado aos trés componen tes de tensdo nao discutidos ainda ou seja o o 7 notamos que eles devem ser zero na superficie da viga Em contrapartida como as deforma M4 BooM des envolvidas nao requerem nenhuma interacao entre os elementos de wean cor uma secao transversal podemos supor que esses trés componentes de ten LOLS S40 Sao iguais a zero em toda a viga Essa suposicao confirmada tanto SCG EE ERE RT pela evidéncia experimental quanto pela teoria da elasticidade para vigas Geo x delgadas submetidas a pequenas deformagdes Concluimos que a unica a Secao vertical longitudinal componente de tensao diferente de zero que atua em qualquer um dos pe plano de simetria quenos elementos clbicos considerados aqui é a componente normal o Assim em qualquer ponto de uma viga delgada em flex4o pura temos um M estado de tensdo uniaxial Lembrando que para M 0 observase que as A linhas AB e AB respectivamente diminuem e aumentam em comprimen ES to notamos que a deformagao especifica e a tensdo o sdo negativas na eo cfc reed parte superior da viga compressdo e positivas na parte inferior traao ls a a lala Concluise dessa discussao que deve existir uma superficie paralela as Y faces superior e inferior da viga em que e o sao zero Essa superficie é M chamada de superficie neutra que intercepta o plano de simetria ao longo b Secdo horizontal longitudinal de um arco de circunferéncia DE Fig 1110a e determinada seco transversal Figura 119 por meio de uma linha reta chamada de linha neutra da secao Fig 11105 07 p pry y J y 7 B Linha neutra Ky SA ffs D E z 4 B o ft a Segao vertical longitudinal 5 Segao transversal plano de simetria Figura 1110 A origem das coordenadas sera adotada agora em um ponto na superficie neutra e nao na face inferior da viga como foi feito antes de modo que a distancia de qualquer ponto até a superficie neutra sera medida por sua coordenada y Chamando de p 0 raio do arco DE Fig 1110a e de 6 0 angulo central que corresponde a DE e observando que 0 comprimento de DE é igual ao comprimento L da viga nao deformada escrevemos L po 114 452 Estdtica e mecdnica dos materiais Considerando agora 0 arco JK localizado a uma distancia y acima da su perficie neutra notamos que seu comprimento L é L py0 115 Como o comprimento original do arco JK era igual a L a deformacao de JK6é 6LL 116 ou se substituirmos de 114 e 115 em 116 d py0 pd yé 117 A deformacao longitudinal especifica nos elementos que constituem 0 arco JK é obtida dividindo 6 pelo comprimento original L de JK Escrevemos 6 y0 é OL po ou y 118 p Indicamos o sinal de menos porque supomos que o momento fletor seja positivo e portanto que a viga tera a concavidade para cima Em virtude da necessidade de que as secg6es transversais permanecam planas ocorrerao deformag6es idénticas em todos os planos paralelos ao plano de simetria Assim o valor da deformacao especifica dado pela Eq 118 é valido em qualquer lugar e concluimos que a deformagdo normal longitudinal especifica varia linearmente com a distancia y da superft cie neutra A deformacao especifica atinge seu valor absoluto maximo quando o valor de y maximo Chamando de c a maior distancia da superficie neutra que corresponde a superficie superior ou inferior da viga e de 0 valor absoluto maximo da deformagao temos c En 119 p Resolvendo 119 para p e substituindo o valor obtido em 118 podemos também escrever y En 1110 c Concluimos nossa analise das deformacgdées de uma viga em flexao pura observando que ainda nao somos capazes de calcular a deformacao especifica ou tensao em um determinado ponto da viga pois ainda nao localizamos sua superficie neutra Para isso devemos primeiro determi nar a relacéo tensdodeformacaéo especifica do material utilizado No entanto se a viga tiver um plano vertical e horizontal de simetria por exemplo uma viga com uma seao transversal retangular e se a curva tensdodeformagao especifica for a mesma em tracao e compressao a superficie neutra coincidira com o plano de simetria Capitulo 11 FlexGo pura 453 114 Tensdes e deformacdes Consideremos agora 0 caso em que 0 momento fletor é tal que as ten sOes normais na viga permanecem abaixo da tensao de escoamento do material o Isso significa que para todos os fins praticos as tensdes na viga permanecerao abaixo dos limites de proporcionalidade e elastico Nao havera deformaao permanente e valera a lei de Hooke para tensao uniaxial Considerando que o material seja homogéneo e chamando de EF seu modulo de elasticidade temos na direcao longitudinal x O Ee 1111 Recordando a Eq 1110 e multiplicando ambos os membros dessa equacao por FE escrevemos y Ee Ee c ou usando 1111 y O Om 1112 y 4 onde o representa 0 valor maximo absoluto da tensao Esse resultado fl mostra que no regime elastico a tensdo normal varia linearmente com a c distancia da superficie neutra Fig 1111 eC Devese notar neste momento que nado conhecemos a localizagao da Superficie neutra superficie neutra nem o valor maximo o da tensdo Ambos podem ser encontrados se lembrarmos das relagées 111 e 113 obtidas anterior rs ar Lo Figura 1111 mente da estatica Substituindo primeiro o valor de o dado em 1112 em 111 escrevemos y oO fos dA en dA 2 yaa 0 c c da qual concluimos que dA 0 1113 Essa equagao mostra que o momento estatico da secao transversal em re lacdo a linha neutra deve ser zero Em outras palavras para uma viga submetida a flexao pura e desde que as tensdes permanegam no regime elastico a linha neutra passara pelo centro geométrico ou centroide da secdo transversal Com base na Eq 113 determinada na Secao 112 com relagao a um eixo z horizontal arbitrdario ova M 113 Especificando que 0 eixo z devera coincidir com a linha neutra da secao transversal substituimos o valor de o dado em 1112 em 113 e escrevemos y y oom dA M 454 Estática e mecânica dos materiais ou σ m c y2 dA M 1114 Lembrando que no caso de flexão pura a linha neutra passa pelo centroide da seção transversal notamos que I é o momento de inércia ou momento de segunda ordem da seção transversal em relação a um eixo que passa pelo centroide e é perpendicular ao plano do momento fletor M Resolven do 1114 para σm escrevemos então σ m Mc I 1115 Substituindo σm de 1115 em 1112 obtemos a tensão normal σx para qualquer distância y da linha neutra σ x My I 1116 As Eqs 1115 e 1116 são chamadas de fórmulas da flexão em regime elástico e a tensão normal σx provocada pela flexão da viga geralmente é denominada tensão de flexão Verificamos que a tensão é de compressão σx 0 acima da linha neutra y 0 quando o momento fletor M é positi vo e de tração σx 0 quando M é negativo Retornando à Eq 1115 notamos que a relação Ic depende somente da geometria da seção transversal Essa relação é chamada de módulo de resistência e representada por W Temos Módulo de resistência W I c 1117 Substituindo Ic por W na Eq 1115 escrevemos essa equação na forma alternativa σ m M W 1118 Como a tensão máxima σm é inversamente proporcional ao módulo de re sistência W está claro que as vigas devem ser projetadas com um valor de W o maior possível Por exemplo no caso de uma viga de madeira com seção transversal retangular de largura b e altura h temos W I c 1 12bh3 h 2 1 6bh2 1 6Ah 1119 onde A é a área da seção transversal da viga Isso mostra que no caso de duas vigas com a mesma área A de seção transversal Fig 1112 aquela com a altura h maior terá um módulo de resistência maior e portanto uma capacidade maior para resistir à flexão Lembramos que o momento fl etor foi considerado positivo Se o momento fl etor for negativo M deverá ser substituído na Eq 1115 por seu valor absoluto M Entretanto valores grandes da relação hb poderiam resultar na instabilidade lateral da viga h 150 mm h 200 mm b 100 mm b 75 mm A 15000 mm2 Figura 1112 Cap11Beerindd 454 Cap11Beerindd 454 03122012 191255 03122012 191255 Capitulo 11 Flexdo pura 455 No caso do aco estrutural as vigas de padrao americano viga S e as vigas de mesa larga viga W mostradas na Foto 113 sao preferidas as de outros perfis porque a maior parte de suas secoes transversais esta locali zada bem longe da linha neutra Fig 1113 Z P SS Sf A yo ip at Y v4 iY ay 2 az 7 7 Ry hon IVs y Goel ST L tle AB ae Foto 113 Vigas de mesa larga de ago formam a estrutura de muitos edificios T Assim para uma determinada area de secdo transversal e uma altura dada 0 projeto dessas vigas proporciona valores altos de J e consequentemente ay de W Valores do modulo de resisténcia das vigas fabricadas normalmente i podem ser obtidos das tabelas que listam varias propriedades geométricas dessas vigas Para determinar a tenséo maxima o em uma secao de uma viga padrao o engenheiro precisa somente ler 0 valor do modulo de resistén a Viga S b Viga W cia W na tabela e dividir o momento fletor M na secao por W Fiqura 1113 IgU A deformacao da viga provocada pelo momento fletor M é medida 9 pela curvatura da superficie neutra A curvatura é definida como o inver so do raio de curvatura pe pode ser obtida resolvendo a Eq 119 para 1p 1 1120 p c Mas no regime elastico temos E Substituindo e na Eq 1120 e usando a 1115 escrevemos 1 Gm 1 Me p Ec Ec I ou 1 M i 1121 p EI 456 Estdtica e mecdnica dos materiais Exemplo 111 Uma barra de aco de seco transversal retangular que mede 203 mm x 635 mm esta submetida a dois momentos fletores iguais e opostos que atuam no plano vertical de simetria da barra Fig 1114 Determine o valor do momento fletor M que provoca escoamento na barra Considere o 248 MPa 203 mm wl 7 635 mm 1 Figura 1114 403 mm Como a linha neutra deve passar pelo centroide C da segao transversal te mos c 3175 mm Fig 1115 Entretanto o momento de inércia em relagao ao oF eixo que passa pelo centroide da seao transversal retangular é 3175 mm 1 3 1 3 4 C I qxbh j73203 cm635 cmy 4331 cm 635 mm F LN Resolvendo a Eq 1115 para M e usando os dados anteriores temos I 4331 M 6mn 248 kNcm Figura 1115 c 3175 M 33830kNcm mg Exemplo 112 Uma barra de aluminio com uma secdo transversal semicircu lar de raio r 12 mm Fig 1116 flexionada até atingir a forma de um arco de circunferéncia de raio médio p 25 m Sabendo que a face plana da barra esta t virada para o centro de curvatura do arco determine as tens6es maximas de tra r12mm go e compressao na barra Use E 70 GPa a Poderiamos usar a Eq 1121 para determinar 0 momento fletor M corres Figura 1116 pondente ao raio de curvatura p dado e depois usar a Eq 1115 para determinar o Entretanto mais simples usar a Eq 119 para determinar e a lei de Hooke para obter o A ordenada y do centroide C da secao transversal semicircular é Ar 412 mm y 5093 mm 3a 3a A linha neutra passa pelo ponto C Fig 1117 e a distancia c até o ponto da segao transversal mais distante da linha neutra é LN yf cr y 12mm 5093 mm 6907 mm Figura 1117 Usando a Eq 119 escrevemos c 6907 x 10 m Em 2763 x 10 p 25m e aplicando a lei de Hooke Om E 70 x 10 Pa2763 x 10 1934 MPa Como esse lado da barra esta voltado para direcdo oposta ao centro de curvatura da barra a tensdo obtida é de tragao A tensao de compressao maxima ocorre no lado plano da barra Considerando que a tensao proporcional a distancia da li nha neutra escrevemos y 5093 mm comp Fm 1934 MPa c 6907 mm 1426MPa m PROBLEMA RESOLVIDO 111 O tubo retangular mostrado na figura é um extrudado de uma liga de aluminio t para a qual o 275 MPa o 414 MPa e E 73 GPa Desprezando o efeito t dos adocamentos determine a o momento fletor M para o qual o coeficiente de seguranga sera de 300 e 5 0 raio de curvatura correspondente do tubo 125 mm c x t t M t65 mm 83 mm x SOLUCAO T Momento de inércia Considerando a area da secao transversal do tubo 105mm 5 112mm como a diferenga entre os dois retangulos mostrados na figura e usando a for t mula para o momento de inércia de um retangulo escrevemos IK mm Lt I 0083 m0125 my 0070 m0112 mp J 53 x 10 mé Tensdo admissivel Para um coeficiente de seguranga de 300 e um limite de tensdo de 414 MPa temos OL 414 MPa O adm 138 MPa CS 300 Como o 0 tubo permanece no regime elastico e podemos aplicar os resultados da Segao 114 a Momento fletor Comc 4 0125 m 00625 m escrevemos Mc I 53 x 10 m adm M 6 gam 138 10 KNm Padm T 78m 09625m im M117kNm b Raio de curvatura Lembrando que E 73 x 10 kNm substituimos 0 esse valor e os valores obtidos para J e M na Eq 1121 e encontramos 1 M 117kKNm 4 er aw OS EN mK 2 wa hy 9030 m p EI 73x 10 kNm63 10 m Pos p 3307 m p 3307m M Solugao alternativa Como sabemos que a tensdo maxima o 138 MPa C I podemos determinar a deformacao especifica maxima e entao usar a Eq 119 Oadm 138 MP 2 SS 1890 103 mim E 73 x 10 MPa c c 00625 m Em DO pr pP Em 1890 x 10 mm p 3307 m p 3307m 457 PROBLEMA RESOLVIDO 112 90 mm Uma pega de maquina feita de ferro fundido esta submetida a um momento f20 fletor de 3 kN m conforme mostra a figura Sabendo que E 165 GPa e despre yo zando 0 efeito dos adogamentos determine a as tens6es de trag4o e compres 40 sao maximas na pega fundida e b o raio de curvatura dessa pega mm M3kNm 30 mm NS SOLUCAO 90 mm Centroide Dividimos a seco transversal em forma de 7 nos dois retangu los mostrados na figura e escrevemos To 20 mm ymm yA mm 40mm 4 1 2090 1800 90x10 YZASyA x a0 2 4030 1200 24x 10 3000 114 x 108 J2 4 mm 30 mm rA3000 sA114x 10 Y 38mm Momento de inércia centroidal O teorema do eixo paralelo usado para determinar o momento de inércia de cada retangulo com rela4o ao eixo x que passa pelo centroide de toda a seg4o Somando os momentos de inércia dos retangulos escrevemos 55 Ip XI Ad bh Ad mm 2om ft x 759020 90 2012 753040 GO x 40187 18mm if 868 x 10 mm Y 38 mm 9 4 I 868 x 10 m a Tensdo de tragado maxima Como o momento fletor aplicado flexiona a peca fundida para baixo o centro de curvatura esta localizado abaixo da secdo transversal A tenséo de tracéo maxima ocorre no ponto A que esta mais distante do centro de curvatura Mc 3kN m0022 m 760 MP O4 so 760MPa fl 868 x 10 m4 A Tensdo de compressdo maxima Ela ocorre no ponto B temos c4 0022 m x Mc 3 kN m0038 m 5 0038 m op Men GEN MO058 m 0s ri o1313MPa p I 868 x 10 m b Raio de curvatura Da Eq 1121 temos 1 M 3kNm Centro de curvatura pP El 165 GPa 868 10 m Lo 2095 x 103 m p477m 458 111 e 112 Sabendo que o momento mostrado atua em um plano vertical determine a tens4o a no ponto A e b no ponto B A M500Nm 50 mm 50 mm 50 mm pa M28KNm B 50 mm 30 mm 438mm 50 mm 40 mm Figura P112 Figura P111 113 Usando a tensdo admissivel de 155 MPa determine 0 maior momento fletor M que pode ser aplicado na viga de mesa larga mostrado na figu ra Despreze o efeito dos arredondamentos K 200 mm 12mm co x 220 mm M 8mm f 12 mm Figura P113 114 Resolva o Problema 113 considerando que a viga de mesa larga é flexio nada no eixo y por um momento M 115 Um barra de espagamento de nylon de seao transversal mostrada na figura Sabendo que a tens4o admissivel para 0 tipo de nylon usado é 24 MPa determine 0 maior momento fletor M que pode ser aplicado na barra y zZ Se 80 mm 100 mm Figura P115 459 460 Estática e mecânica dos materiais 116 Usando um tensão admissível de 110 MPa determine o maior momento que pode ser aplicado em cada tubo M2 M1 25 mm 5 mm 13 mm 13 mm a b Figura P116 117 e 118 Duas barras do perfil de aço laminado W100 193 mm são soldadas conforme mostra a figura Sabendo que para a liga de aço usada σE 248 MPa e σL 400 MPa e usando um coeficiente de segurança de 30 determine o maior momento que pode ser aplicado quando o conjunto é flexionado em relação ao eixo z y z C y z C Figura P117 Figura P118 119 até 1111 Duas forças verticais são aplicadas à viga com a seção trans versal mostrada na figura Determine as tensões de tração e de compres são máximas na parte BC da viga D C B A 1524 mm 508 mm 667 kN 667 kN 762 mm 1016 mm 1016 mm 1524 mm 762 mm 762 mm C B A 300 mm 300 mm 25 mm 25 mm 4 kN 4 kN D C B A 1112 kN 1112 kN 508 mm 508 mm 1524 mm 1016 mm 254 mm 254 mm 254 mm 1524 mm 2032 mm Figura P119 Figura P1110 Figura P1111 Cap11Beerindd 460 Cap11Beerindd 460 03122012 191257 03122012 191257 Capitulo 11 FlexGo pura 461 1112 Dois momentos fletores iguais e opostos de intensidade M 15 kN m sao aplicados a viga AB constituida de um perfil U Observando que fa zem a viga flexionar em um plano horizontal determine a tensao a no ponto C b no ponto D e c no ponto E 100 mm cl D 24mm 30mm 150 mm E 24mm t M M B A y Figura P1112 10 mm I 1113 Sabendo que uma viga com a secao transversal mostrada na figura é flexio 15 mm nada em torno do eixo horizontal e que o momento fletor é de 394 kN mm 10mm determine a forga total que atua na parte sombreada da viga 20 20 20 1114 Resolva o Problema 1113 considerando que a viga seja flexionada em meme torno do eixo vertical e que o momento fletor seja de 675 KN mm Figura P1113 1115 Sabendo que a viga de segao transversal mostrada na figura é flexionada em torno do eixo horizontal e que o momento fletor é de 8 KN m deter mine a forca total que atua na mesa superior 1116 Sabendo que a viga de secdo transversal mostrada na figura é flexionada em torno do eixo vertical e que o momento fletor é de 4 KN m determi ne a forga total que atua na parte sombreada de sua alma y 48 mm 15 mm 15mm 5 45 mm 48 mm 15 mm t 36 mm 48 mm 75 mm 4 Figura P1115 e P1116 36 mm 1117 Sabendo que para a viga extrudada da figura a tensaéo admissivel de M 120 MPa em trac4o e de 150 MPa em compressao determine 0 maior momento fletor M que pode ser aplicado Figura P1117 462 Estática e mecânica dos materiais 1118 Sabendo que para a viga extrudada da figura a tensão admissível é de 83 MPa em tração e de 110 MPa em compressão determine o maior momento fletor M que pode ser aplicado 1119 Para a peça fundida mostrada na figura determine o maior momento M que pode ser aplicado sem exceder uma das seguintes tensões admissí veis as tensões admissíveis na tração e na compressão são respectiva mente σadm 414 MPa e σadm 1035 MPa 13 mm 13 mm 100 mm 50 mm M Figura P1119 1120 A viga mostrada na figura é feita de um tipo de nylon para o qual a ten são admissível é de 24 MPa em tração e de 30 MPa em compressão Determine o maior momento fletor M que pode ser aplicado à viga 1121 Resolva o Problema 1120 considerando que d 80 mm 1122 Sabendo que para a viga mostrada na figura a tensão admissível é de 83 MPa em tração e de 110 MPa em compressão determine o maior mo mento fletor M que nela pode ser aplicado 20 mm 13 mm 40 mm M Figura P1122 1123 Sondas de 75 mm de diâmetro e 60 m de comprimento são por vezes usadas para limpar canalizações subterrâneas obstruídas ou para passar fios em novas canalizações As sondas não feitas de aço de alta resistên cia e para armazenagem são enroladas em carretéis de 15 m de diâme tro Considerando que o limite de escoamento não é excedido determine a a máxima tensão na sonda quando ela que estava inicialmente reta é enrolada no carretel e b o momento de flexão correspondente na sonda Use E 200 GPa M 38 mm 13 mm 38 mm 38 mm 13 mm 13 mm 13 mm M 30 mm d 60 mm 40 mm 80 mm 15 m Figura P1118 Figura P1120 Figura P1123 Cap11Beerindd 462 Cap11Beerindd 462 03122012 191257 03122012 191257 Capitulo 11 Flexdo pura 463 1124 Um momento fletor de 24 kN mé aplicado a uma viga W200 x 461 mm de ago laminado a Considerando que 0 momento seja aplicado em tor no do eixo z como mostra a figura determine a tensio maxima e 0 raio de curvatura da viga b Resolva a parte a levando em conta que o mo mento fletor seja aplicado em torno do eixo y Use E 200 GPa y PN 24kNm C Figura P1124 115 Flexdo de barras constituidas de varios materiais As dedugées dadas na Secao 114 baseavamse na hipotese de que o mate rial era homogéneo com um mddulo de elasticidade E Se a barra submeti i da a flexao pura for constituida de dois ou mais materiais com diferentes modulos de elasticidade nossa abordagem para a determinagao das ten sdes na barra precisara ser modificada Considere por exemplo uma barra formada por duas partes de mate riais diferentes unidas como mostra a secao transversal na Fig 1118 Essa barra composta se deformara conforme descrito na Seao 113 pois sua secao transversal permanece a mesma em todo 0 comprimento e nao foi Figura 1118 feita nenhuma suposiao na Secao 113 referente a relacdo tensaodefor macao do material ou dos materiais envolvidos Assim a deformagao es pecifica normal e ainda varia linearmente com a distancia y da linha neu tra da seco Fig 1119a e 5 e vale a Eq 118 y F5 118 y y E 7 Oo aan 1 LN ey om E 2 oy a b c Figura 1119 Distribuigdo de deformagéo especifica e tensdo em barra constituida de dois materiais 464 Estdtica e mecdnica dos materiais y y E 1 LN ey Ox E 2 oO a d c Figura 1119 repetida Distribuigdo de deformagdo especifica e tensdo em barra constituida de dois materiais Entretanto nao podemos supor que a linha neutra passe pelo centroide da secao composta uma vez que um dos objetivos desta analise sera determi nar a localizacao dessa linha neutra Como os mddulos de elasticidade LE e E dos dois materiais sao dife rentes as express6es obtidas para a tensao normal em cada material tam bém serao diferentes Escrevemos Ey a1 Bye Ey 1122 0 E p e obtemos uma curva de distribuiao de tensdes consistindo em dois seg mentos de reta Fig 1119c Concluise das Eqs 1122 que a forca dF que atua no elemento de area dA da parte superior da secao transversal é Ey dF odd dd 1123 enquanto a fora dF que atua em um elemento de mesma area dA da parte inferior Eny dF 0dA dA 1124 Todavia chamando de 7 a relacao EE dos dois médulos de elasticidade podemos expressar dF como nEy Evy dF dA n dA 1125 p Pp Comparando as Eqs 1123 e 1125 notamos que a mesma forga dF atuaria em um elemento de area n dA do primeiro material Em outras palavras a resisténcia a flexao da barra permaneceria a mesma se ambas as partes fossem feitas do primeiro material desde que a largura de cada elemento da parte inferior fosse multiplicada pelo coeficiente n Note que esse alargamento se 7 1 ou estreitamento se n 1 deve ser feito em uma diregdao paralela a linha neutra da segao pois é essencial que a dis tancia y de cada elemento em relacao a linha neutra permaneca a mesma Capitulo 11 Flexdo pura 465 A nova segao transversal obtida dessa maneira chamada de sedao trans 6 b formada da barra Fig 1120 Como a secao transformada equivalente a segao transversal de uma barra feita de um material homogéneo com modulo de elasticidade E 0 meétodo descrito na Secao 114 pode ser usado para determinar a linha neu tra e a tensdo normal em varios pontos A linha neutra sera tragada através do centroide da segao transformada Fig 1121 e a tensdo o em qualquer ae ponto da secao da barra homogénea ficticia sera obtida da Eq 1116 dA ndA My s ns 0 1116 I Figura 1120 Secéo transformada para a barra de segdo composta onde y a distancia medida a partir da linha neutra e J o momento de inércia da segdo transformada em relagao ao eixo que passa pelo seu pro prio centroide y y Figura 1121 Distribuigdo de tensdes na secdo transformada Para obtermos a tensdo o em um ponto localizado na parte superior da secao transversal da barra composta original simplesmente calculamos a tensdo o no ponto correspondente da secao transformada Entretanto para obtermos a tensdo o em um ponto na parte inferior da seao trans versal devemos multiplicar por n a tensao o calculada no ponto corres pondente da secao transformada Sem duvida conforme vimos anterior mente a mesma forca elementar dF é aplicada a um elemento de area n dA da secao transformada e a um elemento de area dA da secao original As sim a tensao o em um ponto da seao original deve ser m vezes maior do que a tensao no ponto correspondente da secao transformada As deformagées de uma barra de material composto também podem ser determinadas usando a secao transformada Nao podemos esquecer de que a secao transformada representa a secao transversal de uma barra fei ta de material homogéneo de modulo E que se deforma da mesma manei ra que a barra composta Portanto usando a Eq 1121 escrevemos que a curvatura de uma barra de material composto é 1 M p ET onde J é o momento de inércia da secao transformada em relagao a sua linha neutra 466 Estdtica e mecdnica dos materiais Exemplo 113 Uma barra obtida a partir de duas pegas de aco E 203 GPa e latao E 105 GPa tem a segao transversal mostrada na Fig 1122 Determi ne a tensdo maxima no ao e no latéo quando a barra estiver em flexao pura com um momento fletor M 45 kN m 19 mm 10 mm 10 mm 10 mm 367 mm 10 mm c38mm 76mm 76 mm LN So latao A Lataio Latao 567 mm Figura 1122 Figura 1123 A segao transformada correspondente a uma barra equivalente feita inteira mente de latao é mostrada na Fig 1123 Como E aco 203 GPa n 1933 Eatao 105 GPa a largura da parte central de latao que substitui a parte de aco original é obtida ao multiplicarmos a largura original por 1933 temos 19 mm 1933 367 mm Note que essa variaao na dimensao ocorre em uma direcao paralela a linha neu tra O momento de inércia da sedo transformada em relacéo ao seu eixo que passa pelo centroide da secao é I qzbh 750567 m0076 my 2 x 10 m ea distancia maxima da linha neutra é c 0038 m Usando a Eq 1115 encon a roe a tramos a tensdo maxima na segao transformada Mc 45 kN m0038 m i On 855 MPa I 2 10 m O valor obtido também representa a tensio maxima na parte de latao da barra composta original No entanto a tenséo maxima na parte de aco sera maior que 0 f valor obtido para a secao transformada pois a area da parte central deve ser redu i zida pelo coeficiente n 1933 quando retornamos da secao transformada para a i original Concluimos entéo que o lattio max 855 MPa f 6 aco max 1933855 MPa 1653 MPa m Hd Um exemplo importante de elementos estruturais constituidos de dois iy ee 5 r materiais diferentes encontrado em vigas de concreto reforado Foto 114 Essas vigas quando submetidas a momentos fletores positivos sao Foto 114 reforcadas por barras de ago colocadas a uma pequena distancia da face Capitulo 11 FlexGo pura 467 inferior Fig 1124a Como o concreto tem baixa resisténcia a tracao ele trincara abaixo da superficie neutra e as barras de ago suportarao toda a forca de tragao enquanto a parte superior da viga de concreto suportara 0 esforco de compressao Para obtermos a secao transformada de uma viga de concreto reforca do substituimos a area total da segao transversal 4 das barras de ago por uma area equivalente n4 em que n é a relagao EE entre o médulo de elasticidade do aco e do concreto Fig 11245 Em contrapartida como 0 concreto na viga atua efetivamente somente em compressao apenas a parte da segao transversal localizada acima da linha neutra devera ser usa da na secao transformada ix h an po T re LN d C T Ere a meen pry NA geo Faco a d c Figura 1124 A posigao da linha neutra é obtida ao determinarmos a distancia x da face superior da viga até o centroide C da seao transformada Chamando de a largura da viga e de d a distancia da face superior até a linha de centro das barras de aco escrevemos que 0 momento estatico da seao transformada com relacao a sua linha neutra deve ser zero Como 0 mo mento estatico de cada uma das duas partes da secdo transformada é obti do ao multiplicarmos sua area pela distancia de seu proprio centroide até a linha neutra temos x bx 5 NA god x 0 ou 1 3 ox NA ge X NAgey d 0 1126 Resolvendo essa equacao do segundo grau para x obtemos a posicao da linha neutra da viga e a parte da secao transversal da viga de concreto que efetivamente usada A determinagao das tensdes na secao transformada é feita conforme explicado anteriormente nesta secao ver Problema Resolvido 114 A dis tribuigao das tensdes de compressao no concreto e a resultante F das forcas de tracao nas barras de aco sao mostradas na Fig 1124c PROBLEMA RESOLVIDO 113 200 mm 20mm Duas placas de aco foram soldadas para formar uma viga em forma de T que foi reforgada aparafusando firmemente a ela duas pranchas de carvalho con forme mostra a figura O mddulo de elasticidade é de 125 GPa para a madei 300 mm ra e de 200 GPa para 0 aco Sabendo que um momento fletor M 50 kN mé aplicado a viga composta determine a a tenséo maxima na madeira e b a tensao no aco ao longo da borda superior 75 nm 75 mm 20 mm SOLUCAO Secdo transformada Primeiro calculamos a relagaéo Face 200 GPa 16 Emaa 125 GPa Multiplicando as dimens6es horizontais da parte de aco da secao por n 16 0020 m obtemos uma secao transformada feita inteiramente de madeira 160200 m 32 Linha neuira A linha neutra passa pelo centroide da secao transformada F T Como a secéo 6 composta de dois retangulos temos 0150 m 0160m s Sy 0160 m32 m x 0020 m 0 Cj TR ee eee eee g os0m 2 ee XA 32 m x 0020m 0470 m x 0300 m 0150 m Momento de inércia Usando 0 teorema do e1xo paralelo rt ae I 3504700300 0470 x 0300 0050 0075 m 0075 m 75 320020 32 x 0020 0160 0050 160020 m 032 m T 219 x 103 m a TensGo maxima na madeira A madeira mais distante da linha neutra esta localizada ao longo da borda inferior em que c 0200 m Ela Ln omen 4 Mex 50 10 N m0200 m i mus 219 x 10 mé y Cy 0200 m Omad 457 MPa 4 0050 m b TensGo no ago Ao longo da borda superior c 0120 m Da segao transformada obtemos uma tens4o equivalente na madeira que deve ser mul tiplicada por n para obtermos a tensao no aco Mc 50 x 10 N m0120 m Saco A 16 I 219 x 10 m Caco 438MPa 468 PROBLEMA RESOLVIDO 114 100 mm ay Uma laje de piso de concreto é reforgada por barras de aco de 16 mm de dia ME metro colocadas 38 mm acima da face inferior da laje com 150 mm de espacgo Si BS J p anes entre seus centros O mdédulo de elasticidade é de 25 GPa para o concreto S30 usado e de 205 GPa para 0 aco Sabendo que é aplicado um momento fletor de on besser 45 kN macada 300 mm de largura da laje determine a a tensAo maxima ey a 150mm no concreto e b a tensdo no aco 28 La 150 mm 140 mm e 150 mm 150 mm SOLUCAO 300 mm Segdo transformada Consideramos uma parte da laje de 300 mm de lar gura sob a qual ha duas barras de 16 mm de diametro com uma area de secao x transversal total de 100 mmt EN x 100 x Auo 2 F 16 mm 402 mm Baa nA ggg 3296 mm Como 0 concreto resiste somente em compressao todas as forgas de tracao sao suportadas pelas barras de ago e a secao transformada consiste em duas areas mostradas Uma é a parte do concreto em compressao localizada acima da linha neutra e a outra a area transformada do ago nA Temos aco 205 GPa n 82 cone 25 GPa 300 mm NA geo 82402 mm 3296 mm oe eee ae weer mm Linha neutra A linha neutra da laje passa pelo centroide da seao transfor 100 mm Fe mada Somando os momentos da area transformada em relacao a linha neutra e4 629mm escrevemos RSE 3296 mm x 300x 5 7 3296100 x 0 x 371 mm Momento de inércia O momento centroidal de inércia da area transfor mada é I 4300371 3296 100 371 1815 x 10 mm a TensGo maxima no concreto Na face superior da laje temos c 371 mm O cone 92 MPa e Mc 4500 kN m371 mm Scone oe conte 92 MPa Cragg 1279 MPa I 1815 x 10 mm NN b TensGo no ago Para aco temos c 629 mm n 82 e Mc 4500 kN mm 629 mm Caco A 82 07 1279 MPa I 1815 x 10 mm 469 PROBLEMAS 470 1125 e 1126 Uma barra com a seção transversal mostrada na figura foi cons truída unindo firmemente latão e alumínio Usando os dados forneci dos a seguir determine o maior momento fletor admissível quando a barra composta é flexionada em torno do eixo horizontal Alumínio Latão Módulo de elasticidade 70 GPa 105 GPa Tensão admissível 100 MPa 160 MPa 32 mm 32 mm 8 mm 8 mm 8 mm 8 mm Alumínio Latão Figura P1126 1127 e 1128 Para a barra composta indicada determine o maior momento fletor admissível quando ela é flexionada em torno do eixo vertical 1127 Barra do Problema 1125 1128 Barra do Problema 1126 1129 até 1131 Vigas de madeira e chapas de aço são aparafusadas firme mente para formar o elemento composto mostrado na figura Usando os dados da tabela a seguir determine o maior momento fletor admissível quando a viga é flexionada em torno do eixo horizontal Madeira Aço Módulo de elasticidade 138 GPa 207 GPa Tensão admissível 138 MPa 152 MPa 250 mm 75 mm 13 mm 75 mm 250 mm 150 mm 13 mm 5 13 mm 5 50 mm 50 mm 50 mm 250 mm 6 mm Figura P1129 Figura P1130 Figura P1131 1132 Para a viga composta do Problema 1131 determine o maior momento fletor admissível quando ela é flexionada em torno do eixo vertical 30 mm 30 mm 6 mm 6 mm Alumínio Latão Figura P1125 Cap11Beerindd 470 Cap11Beerindd 470 03122012 191258 03122012 191258 Capitulo 11 FlexGo pura 471 1133 e 1134 Uma tira de cobre E 105 GPa e uma barra de aluminio EZ 75 GPa so unidas para formar a barra composta mostrada na figura Sabendo que a tira é flexionada em torno do eixo horizontal com um momento 35 N m determine a tensAo maxima qa na tira de alumi nio e b na tira de cobre cm oom 6mm Cobre I im 24 mm 94 mm f Figura P1133 Figura P1134 1135 e 1136 Uma viga de madeira de 1524 mm x 3048 mm foi reforgada aparafusando nela o reforo de aco mostrado na figura O mddulo de elas ticidade para a madeira de 124 GPa e de 200 GPa para 0 ago Sabendo que a viga é flexionada em torno do eixo horizontal por um momento fle tor 508 kN m determine a tensao maxima a na madeira e 5 no aco U200 171 1524 mm M 3048 mm M t mm 1524 mm 127 C 127 mm Figura P1135 Figura P1136 1137 e 1138 Para a barra composta indicada determine o raio de curvatura provocado pelo momento fletor de 35 N m 1137 Barra do Problema 1133 1138 Barra do Problema 1134 1139 e 1140 Para a barra composta indicada determine o raio de curvatura provocado pelo momento fletor de 508 kN m 1139 Barra do Problema 1135 1140 Barra do Problema 1136 450 mm 22 mm de 5 diametro 1141 A viga de concreto reforgado mostrada na figura esta submetida a um momento fletor positivo de 175 kN m Sabendo que o modulo de elasti 30 mm cidade é de 25 GPa para 0 concreto e de 200 GPa para 0 aco determine t roe 250 mm a a tensao no aco e b a tensao maxima no concreto Figura P1141 1142 Resolva o Problema 1141 considerando que a largura de 450 mm seja aumentada para 500 mm 472 Estdtica e mecdnica dos materiais 1143 Uma laje de concreto é reforcada por barras de 16 mm de didmetro coloca das com distanciamento de 180 mm entre os centros conforme mostra a fi gura O médulo de elasticidade de 20 GPa para 0 concreto e de 200 GPa para o aco Usando uma tens4o admissivel de 9 MPa para 0 concreto e de 120 MPa para 0 aco determine o maior momento fletor por metro de largu ra que pode ser aplicado com seguranga a laje 16 mm de didmetro re al 100 mm TG Mw If Lo SS so im 127 mm 762 mm 140 mm Figura P1143 1144 Resolva o Problema 1143 considerando que 0 espagamento entre os cen 254 mm 6096 mm tros das barras de diametro de 16 mm é aumentado para 225 mm de diametroS 635 mm 1145 Sabendo que o momento fletor em uma viga de concreto reforcado é de 00 00 2034 kN me que o mddulo de elasticidade é de 259 GPa para 0 con 3048 mm creto e de 2069 GPa para o aco determine a a tensdo no aco e b a tensdo maxima no concreto Figura P1145 1146 Um viga de concreto é reforgada com trés barras de aco posicionadas como mostra a figura O modulo de elasticidade é de 25 GPa para 0 con creto e de 200 GPa para 0 aco Usando uma tensao admissivel de 93 MPa para o concreto e 138 MPa para 0 ago determine 0 maior momento fletor positivo admissivel na viga 1147 e 1148 Cinco tiras de metal cada uma com 13 mm x 38 mm de secao transversal sao unidas para formar uma viga composta mostrada na figu us ra O mddulo de elasticidade é de 200 GPa para 0 aco de 105 GPa para 400 mm 22 mm de diadmetro yo 7 o latao e de 70 GPa para o aluminio Sabendo que a viga é flexionada em toro do eixo horizontal por um momento de 1350 N m determine a 30 mm a tensio maxima em cada um dos trés metais e 4 0 raio de curvatura da 200 mm t viga composta i P114 he Figura 6 Aluminio 13 mm Aco a mm Latio 13 mm Aluminio 13 mm Ago 13 mm Latao 13 mm Latao 13 mm Aluminio 13 mm Aluminio fs mm Aco 13 mm 38 mm 38 mm Figura P1147 Figura P1148 Capitulo 11 Flexdo pura 473 116 Carregamento axial excéntrico em um plano de simetria Na Segao 83 vimos que a distribuicdo de tensdes na secao transversal de uma viga sob carregamento axial pode ser considerada uniforme somente quando a linha de agao das cargas P e P passa pelo centroide da segao transversal Dizemos que um carregamento desse tipo centrado Vamos agora analisar a distribuigao de tensdes quando a linha de agao das forgas nao passa pelo centroide da seao transversal isto é quando o carrega mento excéntrico Dois exemplos de carregamento excntrico sao mostrados nas Fotos 115 e 116 No caso do poste de iluminagaéo 0 peso da lampada provoca um carregamento excéntrico Da mesma forma as forcas verticais que atuam na prensa provocam um carregamento excéntrico na coluna que fica atras da prensa ee 4 d p 4 E as 6 mt ie a ae r eee 541 Se a y A B 2 Foto 115 Foto 116 M D F C Nesta secao nossa analise estara limitada a barras que tém um plano mel Fa de simetria e consideraremos que as forcas sao aplicadas no plano de si A metria da barra Fig 1125a Os esforgos internos que atuam sobre uma 6 segao transversal podem ser representados por uma forga F aplicada no Figura 1125 centroide C da secao e um momento fletor M atuando no plano de simetria da barra Fig 11255 As condigées de equilibrio do diagrama de corpo livre AC requerem que a forca F seja igual e oposta a P e que o momento fletor M seja igual e oposto ao momento de P em relacao a C Chamando MUD EM de da distancia do centroide C até a linha de acéo AB das forcas P e P ttc temos a FP e M Pd 1127 MUD M Observamos agora que os esforgos internos na secao poderiam ter sido Cc P representados pela mesma forca e momento se a parte reta DE da barra AB tivesse sido destacada de AB e submetida simultaneamente as forcas 6 centradas P e P e aos momentos fletores M e M Fig 1126 Assim a Figura 1126 474 Estática e mecânica dos materiais distribuição de tensões causada pelo carregamento excêntrico original po deria ser obtida pela superposição da distribuição uniforme de tensão cor respondente às forças centradas P e P e da distribuição linear correspon dente aos momentos fletores M e M Fig 1127 Escrevemos σ x σ xcentrada σ xflexão y y y C C C σx σx σx Figura 1127 ou usando as Eqs 81 e 1116 σ x P A My I 1128 onde A é a área da seção transversal e I seu momento de inércia em rela ção ao eixo que passa pelo centroide da seção transversal e na qual y é medido a partir desse eixo da seção transversal A relação obtida mostra que a distribuição de tensões ao longo da seção é linear mas não unifor me Dependendo da geometria da seção transversal e da excentricidade da força as tensões combinadas podem ter todas elas o mesmo sinal como mostra a Fig 1127 ou algumas podem ser positivas e outras nega tivas como mostra a Fig 1128 Nesse último caso haverá uma linha na seção ao longo da qual σx 0 Tratase da linha neutra da seção Notamos que a linha neutra não coincide com o eixo que passa pelo centroide da seção pois σx 0 para y 0 y C C y σx σx C L N y σx Figura 1128 Os resultados obtidos são válidos somente quando satisfeitas as condi ções de aplicabilidade do princípio da superposição Seção 911 e do prin cípio de SaintVenant Seção 914 Isso significa que as tensões envolvidas não devem ultrapassar o limite de proporcionalidade do material que as deformações provocadas pela flexão não devem afetar de forma conside rável a distância d na Fig 1125 e que a seção transversal onde as tensões são calculadas não deve estar muito perto dos pontos D ou E na mesma figura Exemplo 114 Uma corrente de elos abertos é obtida quando se dobram barras de aço de baixo teor de carbono de 12 mm de diâmetro na forma mostrada Fig 1129 Sabendo que a corrente suporta uma força de 750 N determine a as tensões Cap11Beerindd 474 Cap11Beerindd 474 03122012 191259 03122012 191259 Capitulo 11 Flexdo pura 475 maximas de trac4o e compressao na parte reta de um elo e b a distancia entre o 750N eixo que passa pelo centroide e a linha neutra de uma secdo transversal a Tensoes de tragdo e de compressGo madximas Os esforcos internos na seco transversal séo equivalentes a uma forga centrada P e a um momento fletor M Fig 1130 de intensidades 12mm P 750N 16 mm M Pd 750 N0016 m 12Nm As distribuicgdes de tenséo correspondentes séo mostradas nas partes a e b da Fig 1131 A distribuicgdo provocada pela forca centrada P é uniforme e igual a 0 PA Temos A 210 216 10 my 1131 x 104m 750N P 750 N o9 SSF 663 MPa Figura 1129 A 1131 x 10 m oa vas d16mm P A distribuicgdo provocada pelo momento fletor M é linear com uma tensao maxi i ma o McI Escrevemos entao oe I fact tn6x 10 my 1018 x 10 m4 Be Mc 12Nm6x 10 m On 7073 MPa I 1018 x 10 m Superpondo as duas distribuigdes obtemos a distribuigéo de tensdes correspon dente para o carregamento excéntrico dado Fig 1131c As tensdes maximas de tragao e compressao na secao resultam respectivamente em 750 N 0 09 6 663 7073 7736 MPa Figura 1130 O 09 Om 663 7073 6410 MPa O 7073 MPa 2 7636 MPa o 663 MPa LN yo Cc y C y C y mm 6410 MPa 7073 MPa a 6 Figura 1131 b Distancia entre o eixo que passa pelo centroide ea linha neutra A distancia y do eixo que passa pelo centroide para a linha neutra da segao é obtida fazendo o 0 na Eq 1128 e resolvendo para y P M o YO A I m2 2 v0 au 12Nm yo 056mm sm a PROBLEMA RESOLVIDO 115 A ES P p Sabendo que para a pega de ferro fundido mostrada as tensdes admissiveis G sao 30 MPa na tracao e 120 MPa na compressao determine a maior forga P B 10 t que pode ser aplicada a pega Sugestao A secao transversal em forma de T do a mm elo ja foi considerada no Problema Resolvido 112 SOLUCAO 90 mm Propriedades da segdo transversal Do Problema Resolvido 112 temos 4 A 3000 mm 3 x 107 m Y 38mm 0038 m pe I 868 x 10 m qT 40 Agora escrevemos d 0038 m 0010 m 0028 m Y yt mm 10mm 4 Forgae momentoemC Substituimos P por um sistema equivalente forga t B momento no centroide C 30mm PP M Pd P0028 m 0028P Secao aa A forga P que atua no centroide provoca uma distribuigaéo de tenséo uniforme Fig 1 O momento fletor M provoca uma distribuic4o de tensAo linear Fig 2 HF P P 333P C ao 69 ompressao c 0022 m A 3 108 P Me 0028P0022 d cp 0038 m o1 TJ 868 x 102 710P Tragao nr 1 Mc 0028 P 0038 ootom B O2 TT 868 x 102 1226P Compressao Superposicdo A distribuicao total de tensdo Fig 3 é encontrada quando A se superpoem as distribuigdes de tensAo provocadas pela forca centrada P e za A pelo momento M Como a tracao é positiva e a compressao é negativa temos P Co e P Mc 4 A o47 333P T10P377P Tragao D P P Mcp B B Op a 333P 1226P1559P Compress4o Maior forga admissivel A intensidade de P para a qual a tensdo de tra Me cao no ponto A é igual a tensdo de trag4o admissivel de 30 MPa é encontrada o escrevendo A 9 A Ao iP o4 377P 30 MPa P 796kN 4 a Cc Determinamos também a intensidade de P para a qual a tensdo em B é igual a tensdo de compressao admissivel de 120 MPa og 1559P 120 MPa PT770kN B B B Mep B A intensidade da maior forga P que pode ser aplicada sem ultrapassar nenhu o2 ma das tensdes admissiveis é o menor dos dois valores que encontramos qd 2 3 PT770kN 4 476 PROBLEMAS 477 1149 Duas forças P podem ser aplicadas separadamente ou ao mesmo tempo a uma placa que está soldada a uma barra circular cheia de raio r Deter mine a maior tensão de compressão na barra circular a quando ambas as forças são aplicadas e b quando somente uma das forças é aplicada 1150 Podem ser aplicadas até três forças axiais cada uma de intensidade P 45 kN à extremidade de um perfil de aço laminado de W200 313 mm Deter mine a tensão no ponto A a para o carregamento mostrado e b se as forças forem aplicadas aos pontos 1 e 2 somente C 88 mm 88 mm P P P 3 2 1 A Figura P1150 e P1151 1151 Podem ser aplicadas até três forças axiais cada uma de intensidade P 45 kN à extremidade de um perfil de aço laminado de W200 313 mm Deter mine a tensão no ponto A a para o carregamento mostrado e b se as forças forem aplicadas aos pontos 2 e 3 somente 1152 Sabendo que a intensidade da força horizontal P é de 8 kN determine a tensão a no ponto A e b no ponto B 1153 A parte vertical da prensa mostrada na figura é composta de um tubo retangular com espessura de parede t 13 mm Sabendo que a prensa foi usada para prender blocos de madeira que estavam sendo colados com uma força P 27 kN determine a tensão a no ponto A e b no ponto B P P a a t t 100 mm 75 mm Seção aa A B 250 mm 100 mm Figura P1153 1154 Resolva o Problema 1153 considerando que t 10 mm r r P P 45 mm 30 mm 24 mm 15 mm A D B P Figura P1149 Figura P1152 Cap11Beerindd 477 Cap11Beerindd 477 03122012 191300 03122012 191300 478 Estática e mecânica dos materiais 1155 Determine a tensão nos pontos A e B a para o carregamento mostrado e b se as forças de 60 kN forem aplicadas aos pontos 1 e 2 somente 1156 Determine a tensão nos pontos A e B a para o carregamento mostrado e b se as forças de 60 kN forem aplicadas aos pontos 2 e 3 somente 1157 Deve ser feito um desvio h em uma barra circular cheia de diâmetro d Sabendo que a tensão máxima após criar esse desvio não deve exceder quatro vezes a tensão na barra quando estiver reta determine o maior desvio a ser feito P P P P d d h Figura P1157 e P1158 1158 Deve ser feito um desvio h em um tubo metálico de 18 mm de diâmetro externo e 2 mm de espessura na parede Sabendo que a tensão máxima após criar o desvio não deve exceder quatro vezes a tensão no tubo quan do estiver reta determine o maior desvio a ser feito 1159 Uma coluna curta é feita pregando duas pranchas de 25 100 mm a um tarugo de madeira com 50 100 mm Determine a maior tensão de com pressão desenvolvida na coluna pela aplicação de uma carga de 54 kN no centro da seção no topo dessa coluna se a a coluna for como o que foi descrito b a prancha 1 for removida e c ambas as pranchas forem removidas 1160 Sabendo que a tensão admissível na seção ABD é de 45 kN determine a maior força P que pode ser aplicada no suporte mostrado na figura A D 23 mm 50 mm 15 mm 15 mm P B Figura P1160 60 kN 150 mm A B 1 3 60 kN 60 kN 2 150 mm 90 mm 120 mm 120 mm Figura P1155 e P1156 Figura P1159 54 kN 54 kN 54 kN 54 kN 2 1 Cap11Beerindd 478 Cap11Beerindd 478 03122012 191300 03122012 191300 Capitulo 11 FlexGo pura 479 1161 Uma operagao de fresagem foi usada para remover parte de uma barra P cheia de secao transversal quadrada Sabendo que a 30 mm d 20 mm O4m 55 MPa determine a intensidade P das maiores forgas que po dem ser aplicadas com seguranga aos centros das extremidades da barra 1162 Uma operagao de fresagem foi usada para remover parte de uma barra i cheia de secAo transversal quadrada Forgas de intensidade P 18 kN sao d a aplicadas aos centros das extremidades da barra Sabendo que a 30 mm Ne 0 4m 55 MPa determine a menor dimensao d admissivel para a parte Figura P1161 e P1162 fresada da barra 1163 Duas forgas mostradas na figura sao aplicadas em uma placa rigida su portada por um tubo de aco de 140 mm de diadmetro externo e 120 mm de didmetro interno Sabendo que tensdo de compress4o admissivel é de 100 MPa determine a faixa de valores admissiveis de P 150 90mm 90mm P i nl Figura P1163 e P1164 1164 Duas forcas mostradas na figura sao aplicadas em uma placa rigida su portada por um tubo de ago de 140 mm de didmetro externo e 120 mm de diametro interno Determine a faixa de valores admissiveis de P de modo que todas as tensdes sejam compressivas e menores que 100 MPa 1165 O perfil mostrado foi formado pela flexao de uma placa fina de aco Considerando que a espessura pequena quando comparada ao com primento a dos lados do perfil determine a tenso a no ponto A b no ponto B e c no ponto C P a a 907 et 7 B ef a IC Abe P Figura P1165 480 Estática e mecânica dos materiais 1166 Sabendo que a tensão admissível na seção aa da prensa hidráulica mos trada na figura é de 40 MPa em tração e de 80 MPa em compressão de termine a maior força P que pode ser aplicada pela prensa a a 25 mm 250 mm 250 mm 25 mm Seção aa 300 P P Dimensões em mm Figura P1166 1167 Uma força vertical P de intensidade 90 kN é aplicada a um ponto C loca lizado no eixo de simetria da seção transversal de uma coluna curta Sabendo que y 125 mm determine a a tensão no ponto A b a tensão no ponto B e c a localização da linha neutra a b y y y x x A A B B C 75 mm 75 mm 100 mm 50 mm 50 mm 50 mm 25 mm P Figura P1167 e P1168 1168 Uma força vertical P é aplicada a um ponto C localizado no eixo de sime tria da seção transversal de uma coluna curta Determine a faixa de va lores de y para que não ocorram tensões na coluna 1169 A barra de aço em forma de C é usada como um dinamômetro para de terminar a intensidade P das forças mostradas Sabendo que a seção transversal da barra é um quadrado de 40 mm de lado e que a deforma ção na borda interna foi medida e encontrouse o valor de 450 μ deter mine a intensidade P das forças Use E 200 GPa 40 mm 80 mm P P Figura P1169 Cap11Beerindd 480 Cap11Beerindd 480 03122012 191300 03122012 191300 Capitulo 11 FlexGo pura 481 1170 Umacoluna curta de ago laminado suporta uma placa rigida na qual sao aplicadas as duas cargas P e Q conforme mostra a figura As deforma cdes em dois pontos A e B na linha de centro das faces externas das me sas foram medidas e obtiveram os valores 400 10 mmmm e 300 x 10 mmmm Sabendo que E 200 GPa determine a inten sidade de cada forca P 1524 mm 1524 mm 254 mm Q 4mm B A x A mo Zz Zz A 6452 mm I 114 10mm Figura P1170 1171 Resolva o Problema 1170 considerando que as deformagées medidas sao 350 x 10 mmmm e e 50 x 10 mmmm 1172 Uma forga excéntrica P é aplicada a uma barra de ago com seao trans versal de 25 x 90 mm conforme mostra a figura As deformagées em A e B foram medidas e obtiveramse os valores 350 we 70 w Sabendo que E 200 GPa determine a a distancia d e b a intensidade da forca P 25 mm 30 mm a Pr 90mm BY ss mm P Le l d 15mm Figura P1172 117 Flexdo assimétrica Nossa analise de flexdo pura esteve limitada até agora a barras que tém pelo menos um plano de simetria e que foram submetidas a momentos fletores que atuam nesse plano Por causa da simetria dessas barras e de seus carregamentos concluimos que elas permaneceriam simétricas em relacgao ao plano dos momentos e portanto flexionadas nele Secao 113 482 Estática e mecânica dos materiais o que é ilustrado pela Fig 1132 a parte a mostra a seção transversal de uma barra que tem dois planos de simetria um vertical e um horizontal e a parte b mostra a seção transversal de uma barra com um único plano de simetria vertical Em ambos os casos o momento fletor que atua na seção age no plano vertical de simetria da barra e é representado pelo vetor mo mento M horizontal e em ambos os casos a linha neutra da seção trans versal coincide com a direção do vetor momento Consideremos agora situações em que os momentos fletores não atuam em um plano de simetria da barra ou porque atuam em um plano diferen te ou porque a barra não tem nenhum plano de simetria Em tais situações não podemos considerar que a barra será flexionada no plano dos momen tos o que está ilustrado na Fig 1133 Em cada parte da figura considera mos novamente que o momento fletor que atua na seção age em um plano vertical e foi representado por um vetor momento M horizontal No entan to como o plano vertical não é um plano de simetria não podemos espe rar que a barra venha a flexionar nesse plano ou que a linha neutra da seção coincida com a direção do momento a b M z y L N C c M z y L N C M z y L N C Figura 1133 Nossa proposta é determinar as condições sob as quais a linha neutra de uma seção transversal de forma arbitrária coincide com a direção do momento M representando os esforços que atuam na seção Uma seção assim é mostrada na Fig 1134 e consideramos que tanto o vetor momento M quanto a linha neutra estão direcionados ao longo do eixo z Como z L N C dA x y y z σx z C x y M Figura 1134 M z y L N C a b M z y L N C Figura 1132 Cap11Beerindd 482 Cap11Beerindd 482 03122012 191301 03122012 191301 Capitulo 11 Flexdo pura 483 vimos na Secao 112 ao expressarmos que as foras internas elementares odA formam um sistema equivalente ao momento M obtemos componentes x JodA 0 111 momentos em torno do eixo y fzodA 0 112 momentos em torno do eixo z JyadA M 113 Conforme ja vimos quando todas as tens6es estao dentro do limite de pro porcionalidade a primeira dessas equacoes leva a condicao de que a linha neutra deve ser um e1xo que passa pelo centroide e a ultima equacao con duz a relagao fundamental o MyI Como supomos na Seao 112 que a secao transversal era simétrica com relaao ao eixo y a Eq 112 nao foi y considerada naquele momento Agora que estamos considerando uma se cao transversal de forma arbitraria a Eq 112 tornase altamente signifi C cativa Como as tensdes permanecem dentro do limite de proporcionalida z MIT de do material podemos substituir 0 o yc na Eq 112 e escrever omy fe dA0 ou fyzdA0 1129 y A integral yzdA representa 0 produto da inércia I da segao transversal com relacgao aos eixos y e Z e Sera zero Se esses eixos forem os eixos prin cipais de inércia da secao transversal Concluimos entao que a linha neu LN C tra da secao transversal coincidira com a diredo do momento M que re zoe presenta os esforgos que atuam nessa sec4o se e somente se o vetor momento fletor M estiver direcionado ao longo de um dos eixos princi pais da segdao transversal Observamos que as secoes transversais mostradas na Fig 1132 sao b simetricas em relagao a pelo menos um dos eixos coordenados Concluise Figura 1135 que em cada caso OS eixos y e Z SAO OS principais eixos de inércia da se cao Como o vetor momento M esta direcionado ao longo de um dos eixos principais de inércia verificamos que a linha neutra coincidira com a di recao do momento Notamos também que se as seoées transversais forem rotacionadas em 90 Fig 1135 o vetor momento M ainda estara direcio y nado ao longo do eixo principal de inércia e a linha neutra novamente coincidira com a diregao do momento ainda que no caso b o momento ndo atue em um plano de simetria da barra LN c Em contrapartida na Fig 1133 nenhum dos eixos coordenados é de 7M simetria para as secdes mostradas e os eixos coordenados nao sao Os ei XOS principais de inércia Assim 0 vetor momento M nfo esta direciona do ao longo de um eixo principal de inércia e a linha neutra nao coincide a com a diregao do momento No entanto qualquer segao tem eixos princi pais de inércia mesmo que ela seja assimétrica como a secao mostrada na Fig 1133c Se o vetor momento M estiver direcionado ao longo de um dos eixos principais de inércia da seao a linha neutra coincidira com a direao do momento Fig 1136 e as equagdes deduzidas nas Segoes 113 Y CoA e 114 para barras de segao simétrica poderao ser usadas para determinar 7 f a tensao nesse caso também Ver Ferdinand P Beer Russell Johnston Jr David F Mazurek and Elliot R Eisenberg 1 Vector Mechanics for Engineers 9 ed McGrawHill New York 2010 sec 98910 Figura 1136 484 Estática e mecânica dos materiais Conforme você verá aqui o princípio da superposição pode ser usado para determinar tensões no caso mais geral de flexão assimétrica Consi dere primeiro uma barra com um plano vertical de simetria que está sub metida aos momentos fletores M e Mʹ que atuam em um plano formando um ângulo θ com o plano vertical Fig 1137 O vetor momento M repre sentando os esforços que atuam em uma dada seção transversal formará o mesmo ângulo θ com o eixo z horizontal Fig 1138 Ao decompormos o vetor M nas direções z e y nas componentes Mz e My respectivamente escrevemos Mz M cos θ My M sen θ 1130 M x z θ y M Figura 1137 Como y e z são os eixos principais de inércia da seção transversal pode mos usar a Eq 1116 para determinar as tensões resultantes da aplicação de qualquer um dos momentos representados por Mz e My O momento Mz atua em um plano vertical e flexiona a barra nele Fig 1139 As tensões resultantes são σ x Mz y Iz 1131 onde Iz é o momento de inércia da seção em relação ao eixo principal de inércia z O sinal negativo se deve ao fato de que temos compressão acima do plano xz y 0 e tração abaixo y 0 Em contrapartida o momento My atua em um plano horizontal e flexiona a barra nele Fig 1140 As tensões resultantes são σ x My z Iy 1132 onde Iy é o momento de inércia da seção em relação ao eixo principal de inércia y e no qual o sinal positivo se deve ao fato de que temos tração à esquerda do plano xy vertical z 0 e compressão à sua direita z 0 A distribuição das tensões provocada pelo momento M original é obtida su perpondo as distribuições de tensão definidas pelas Eqs 1131 e 1132 respectivamente Temos σ x Mz y Iz My z Iy 1133 θ M My Mz y z C Mz z y Mz x y My z z My x y Figura 1138 Figura 1139 Figura 1140 Cap11Beerindd 484 Cap11Beerindd 484 03122012 191301 03122012 191301 Capitulo 11 Flexdo pura 485 Notamos que a expressao obtida também pode ser usada para calcular z as tensOes em uma seao assimétrica como mostra a Fig 1141 uma vez que Os eixos principais de inércia y e z foram determinados No entanto a Eq 1133 so sera valida se forem satisfeitas as condigoes de aplicabilida C de do principio da superposiao Em outras palavras ela nao devera ser usada se as tensdes combinadas excederem 0 limite de proporcionalidade do material ou se as deformac6ées provocadas por um dos momentos com Fj Wal ponentes afetarem de forma consideravel a distribuigao de tensdes provo igura cadas pelo outro A Eq 1133 mostra que a distribuicgao de tensdes provocada pela fle xao assimétrica linear No entanto conforme ja indicamos nesta secao a linha neutra da secao transversal em geral nao coincidira com a diregao do momento fletor Como a tensao normal é zero em qualquer ponto da linha neutra a equacao que define essa linha pode ser obtida considerando o 0 na Eq 1133 Escrevemos My Mz 90 L I ou resolvendo para y e usando M e M das Eqs 1130 I ytg O z 1134 I A equacao obtida uma linha reta de inclinagao m L tg Assim o angulo que a linha neutra forma com 0 eixo z Fig 1142 é definido pela relagao tg I tg 0 Pp lg I 1135 onde é 0 angulo que 0 vetor momento fletor M forma com 0 mesmo eixo z Como Le I so ambos positivos e 6 tem o mesmo sinal Além disso notamos que quando 1 I e 6 quando Assim a linha neutra esta sempre localizada entre o vetor momento fletor M e 0 e1xo principal correspondente ao momento minimo de inércia M 4 y b 9 Cc Z Figura 1142 486 Estdtica e mecdnica dos materiais Exemplo 115 Um momento de 180 N m é aplicado a uma viga de madeira de secao transversal retangular de 38 x 90 mm em um plano formando um angu lo de 30 com a vertical Fig 1143 Determine a a tensAo maxima na viga e b o Angulo que a superficie neutra forma com o plano horizontal y c D E b 180Nm 30 D E 180Nm es 90 mm C s ty c Zz M f z 9 30 45 mm A B A B 38 mm 19 mm Figura 1143 Figura 1144 Figura 1145 a TensGo maxima As componentes M e M do vetor momento sao deter minadas em primeiro lugar Fig 1144 M 180N mcos 30 156Nm M 180 N msen 30 90Nm Calculamos também os momentos de inércia da segao transversal em relagao aos eixOS Z ey I 30038 m0090 m 231 x 10 m4 1 750090 m 0038 my 041 x 10 m4 A maior tensao de tragao provocada por M ocorre ao longo de AB e é My 156Nm0045 m o FFD 4 30 MPa 231 x 10 m A maior tensao de tragao provocada por M ocorre ao longo de AD e Mz 90Nm0019 m o a CON MOOD 42 MPa I 041 x 10m D A maior tensdo de tragéo provocada pela carga combinada portanto ocorre em x PLIES Aeé 2 A O mix 01 G2 30 42 72 MPa a 3 A A maior tensao de compressaéo tem a mesma intensidade e ocorre em E 25 a pera al b Angulo da superficie neutra com o plano horizontal O Angulo que 2 223 a a superficie neutra forma com o plano horizontal Fig 1145 obtido da Eq 1135 225 4 a ted Higa ate Om 300 35 oe FO 1 OAL x 108m 72 MPa B b 729 Figura 1146 A distribuicdo das tensdes ao longo da secao mostrada na Fig 1146 Capitulo 11 FlexGo pura 487 118 Caso geral de carregamento axial excéntrico A 5 Na Secao 116 analisamos as tensdes produzidas em uma barra por uma B forga axial excéntrica aplicada a um plano de simetria da barra Agora estudaremos 0 caso mais geral quando uma forga axial nao é aplicada a um a plano de simetria x Considere um elemento reto AB submetido a forgas axiais centradas th Ala iguais e opostas P e P Fig 1147a e sejam a e b as distancias da linha de a acao das forgas até os eixos principais de inércia da sedo transversal da barra A forga excéntrica P é estaticamente equivalente ao sistema compos ae y to de uma forga centrada P e dois momentos M e M de valores M Pae y4 M Pb representados na Fig 11470 Analogamente a forca excéntrica P Pr s Ay equivalente a forga centrada P e aos momentos M e M B Com base no principio de SaintVenant Secao 914 podemos substi nd whe tuir o carregamento original da Fig 1147a pelo carregamento estatica M mente equivalente da Fig 11476 para determinar a distribuicdo de tensdes em uma secao S da barra desde que essa secao nao esteja muito perto de Z uma das extremidades da barra Além disso as tensdes provocadas pelo 6 carregamento da Fig 1147b podem ser obtidas superpondo as tenses cor Figura 1147 respondentes pela forga axial centrada P e pelos momentos fletores M e M desde que sejam satisfeitas as condigdes de aplicabilidade do principio da superposicao Secao 911 As tensdes provocadas pela fora centrada P sao dadas pela Eq 81 e as tensdes provocadas pelos momentos fletores pela Eq 1133 desde que os correspondentes vetores momentos estejam direcionados ao longo dos eixos principais de inércia da segao Escreve mos entao Po My Me Ox FG L i 1136 onde y ez sao medidos em relacao aos eixos principais de inércia da secao A relagao obtida mostra que a distribuicgao de tensdes ao longo da secao é linear No calculo da tenséo combinada o da Eq 1136 devese tomar cuidado para determinar corretamente o sinal de cada um dos trés termos no membro da direita pois cada um deles pode ser positivo ou negativo dependendo do sentido das forgas P e P e da localizagao de suas linhas de acao em relagao aos eixos principais de inércia da secao transversal Dependendo da geometria da secao transversal e da localizagao da linha de acgao de P e P as tensdes combinadas o obtidas da Eq 1136 em varios pontos da secaéo podem ter todas elas o mesmo sinal algumas ainda poderao ser positivas e outras negativas Nesse ultimo caso havera uma linha na seao ao longo da qual as tensdes serao zero Fazendo o 0 na Eq 1136 obtemos a equagao de uma linha reta que representa a i nha neutra da secao M MP 1 OA 488 Estdtica e mecdnica dos materiais 480 kN Exemplo 116 Uma forga vertical de 480 kN é aplicada em um poste de ma 35 mm y deira de secao transversal retangular de 80 x 120 mm Fig 1148 a Determine as tens6es nos pontos A B C e D b Localize a linha neutra da se4o transversal a a Tensoes A forca excéntrica dada é substituida por um sistema equivalente F Bost Bosh composto de uma forca centrada P e dois momentos M e ML representados por ANA AV vetores direcionados ao longo dos eixos principais de inércia da secao Fig 1149 SEAN MAL Temos ARAL 45 TD Te M 480 KN40 mm 192Nm M 480 kN60 mm 35 mm 120Nm Figura 1148 P 480 kN aw M 192Nm or a a 27 i Age ae c Wea os Figura 1149 Calculamos também a area e os momentos de inércia da secao transversal A 0080 m0120 m 960 x 10 m I 750120 m0080 my 512 x 10 m I 70080 m0120 my 1152 x 10 m A tensao o causada pela forga centrada P é negativa e uniforme ao longo da se gao Temos P 480 kN 05 MP 09 9 a A 960 x 103m As tensdes provocadas pelos momentos fletores M e M sao linearmente distri buidas ao longo da segao com valores maximos iguais respectivamente a MyZmax 192 N m40 mm Oo 64 15 MPa I 512 x 10 m MXmax 120 N m60 mm 0O2 TT eG 0625 MPa L 1152 x 10 m As tens6es nos cantos da segao sao Oy 09 0 On Capitulo 11 FlexGo pura 489 onde os sinais devem ser determinados pela Fig 1149 Considerando que as ten 1625 MPa gq mm sdes provocadas por M sao positivas em C e D e negativas em A e B e que as tenses provocadas por M sao positivas em B e C e negativas em A e D obtemos 0375 MPa B G C A A D o405 15 0625 2625 MPa og 05 15 0625 1375 MPa fas MPa oc 05 15 0625 1625 MPa 80 mm d 95 15 0625 0375 MPa 2625 MPa a 6 b Linha neutra Notamos que a tensdo sera zeroemum ponto GentreBeC Figura 1150 eemum ponto H entre D e A Fig 1150 Como a distribuicdo de tensAo é linear escrevemos BG 1375 2G 467 80mm 1625 1375 om HA 2625 HA70 80mm 2625 0375 mm A linha neutra pode ser tragada pelos pontos G e H Fig 1151 D C I x A A B Zz Figura 1151 A distribuicao de tensdes ao longo da secao é mostrada na Fig 1152 m 0375 MPa 1625 MPa v Hb Hi y ff eu BD c Hy 2625 MPa Mt TIN Figura 1152 PROBLEMA RESOLVIDO 116 Uma forga horizontal P aplicada a uma segao curta de uma viga de aco la minado S250 x 378 conforme mostra a figura Sabendo que a tensAo de compressao na viga nao pode ultrapassar 82 MPa determine a maior forga P admissivel 250 x 378 L P 38 mm SOLUCAO Propriedades da segcdo transversal Os dados a seguir sao obtidos do Apéndice B Area A 4820 mm Médulos de resisténcia da secao W 402 x 10 mm W 475 x 10 mm 254 mm Co x Forga e momento em C Substituimos P por um sistema equivalente de forga e momento no centroide C da seg4o transversal M 1208 mmP M 38 mmP 118 mm Note que os vetores momentos M e M estao direcionados ao longo dos eixos principais de inércia da segao transversal Tensdes normais Os valores absolutos das tensdes nos pontos A B De E em virtude da carga centrada P e dos momentos M M respectivamente sdo P P y o 21 x 10P 2 A 4820 mm M 1208P A x 02 30x 10P M a W 402 x 10 mm M 38P 7m 03 80 x 104P Ki W 475 10 mm P Superposicdo A tensao total em cada ponto é encontrada superpondo as tensdes provocadas por P M e M Determinamos o sinal de cada tensdo B examinando cuidadosamente o esquema do sistema de forca e momento D O04 0 oo 03 21P 30P 80P x 107 89 x 104P Op 0 on 0321P 30P 80P x 10 71 x 10 4P Op 0 62 o21P30P 80P x 104 29 x 104P Op 0 6 621P 30P 80P x 10 131 x 104P Maior forga admissivel A maxima tensdo de compressao ocorre no ponto E Lembrando que o 82 Nmm escrevemos Osim Of 82 Nmm 131x107P P626kN 490 1173 até 1178 O momento M aplicado a uma viga com a secao transver sal mostrada na figura em um plano formando um Angulo f com a vertical Determine a tensdo nos a pontos A b Be c D y p 30 A B M 45000 Nm y 15mm M300Nm B 60 A P B 15 mm 16mm Zz D 16mm 10 mm 40 mm40 mm Figura P1173 Figura P1174 y B 30 y A gp mm M 8438 KN mm ff fF B75 A B Zz Cc 250 mm yy M 28125 kN mm 60mm 40mm 8mm t i D D 100 mm 13 mm 200 mm 120 mm Figura P1175 Figura P1176 y B 20 y M1125kN mm B30 75 mm M100Nm A B z1 Vc 50 mm s ff 75mm Zz G D 50 mm 100 mm r20mm Figura P1177 Figura P1178 491 492 Estdtica e mecdnica dos materiais 1179 até 1184 O momento M atua em um plano vertical e é aplicado a uma viga orientada conforme mostra a figura Determine a 0 angulo que a linha neutra forma com a horizontal e b a tensdo de tragao maxima na viga W310 x 387 150 Be S150 x 186 20 A A C 310 mm M15kNm B M16kNm DC ae 7 A 846 mm 152 mm 3 Ce 165 mm Figura P1179 Figura P1180 y ee Ac 50 mm i s mm 5mm 7 20 C C8 x 115 M we D Ge z 5mm M28125 kN mm ly mm E 0 amg f E C 1857 mm B WE P 200 mm 1 281 103 mm4 144 mm 1 1769 x 10 mm Figura P1181 Figura P1182 x g 45 y z BY x 215 mm Vv 25 M 28125 kN mm S 30 mm 5 c v A 30 mm ALK A M4kNm mS oe 100 mm Fé S Xe mm ps mm 1 2633 x 10 mm4 2 E mm 1 8359 x 10 mm 2333 mm Figura P1183 Figura P1184 Capitulo 11 Flexdo pura 493 1185 Para o carregamento mostrado na figura determine a a tensdo nos pon tos A e Be b 0 ponto em que a linha neutra intercepta a linha ABD b 100 mm 4 E a 675 N 45 mm H F 2250 N D we 1125N Figura P1185 1186 Resolva o Problema 1185 considerando que a intensidade da forga apli cada em G elevase de 1125 Na 1800 N 1187 Otubo mostrado na figura tem parede com espessura constante de 13 mm Para o carregamento dado determine a a tensdo nos pontos 4 e B e b o ponto em que o eixo neutro intercepta a linha ABD D IT 135 kN 125 mm 27 kN 2 F 27 kN 75 mm Figura P1187 1188 Resolva o Problema 1187 considerando que a forca de 27 KN aplicada em E é removida 1189 Uma forca axial P de intensidade de 50 KN é aplicada conforme mostra a figura a uma secao de uma viga curta de aco laminado de W150 x 24 Determine a maior distancia a para a qual a maxima tens4o de compres sdo nao ultrapasse 90 MPa 75 mn P NN IN N sS y Figura P1189 494 Estática e mecânica dos materiais 1190 Uma força axial P de intensidade 30 kN é aplicada em uma seção curta C150 122 de aço laminado como mostra a figura Determinar a maior distância a para a qual a máxima tensão de compressão não ul trapasse 60 MPa C a P 30 kN Figura P1190 1191 Uma força horizontal P é aplicada à viga mostrada na figura Sabendo que a 20 mm e que a tensão de tração na viga não pode exceder 75 MPa determine a maior carga P permitida 20 20 20 60 20 a O y z x P Dimensões em mm Figura P1191 e P1192 1192 Uma força horizontal P de intensidade 100 kN é aplicada à viga mostra da na figura Determine a maior distância a para a qual a tensão de tra ção máxima na viga não ultrapasse 75 MPa Cap11Beerindd 494 Cap11Beerindd 494 03122012 191303 03122012 191303 Este capitulo foi dedicado a analise de barras em flexdo pura Ou seja M consideramos as tensdes e deformagdes em componentes submetidos a momentos fletores M e M iguais e opostos atuando no mesmo plano longitudinal Fig 1153 M A a Primeiro estudamos as barras que tém um plano de simetria e estao sujei 4 tas a momentos que atuam nesse plano Considerando as possiveis defor B macoées de uma barra provamos que sedes transversais permanecem planas a medida que a barra é deformada Secdo 113 Notamos entio Figura 1153 que a barra em flexdo pura tem uma superficie neutra ao longo da qual as Def flexé tensdes e deformacgées normais sao zero e que a deformagdo especifica erormagae normal em tlexao normal longitudinal varia linearmente com a distancia y da superficie cx neutra x Or 2 118 CO ep a fo po Py onde pé o raio de curvatura da superficie neutra Fig 1154 A intersecao y da superficie neutra com a secao transversal é conhecida como inha neu A B tra da secao transversal I Ky es Para barras feitas de um material que segue a lei de Hooke Segao 114 a B verificamos que a tensdo normal o varia linearmente com a distancia da linha neutra Fig 1155 Chamando de o a tensao maxima escrevemos Figura 1154 TensGo normal no regime Ox Om 1112 elastico KR r y onde c a maior distancia da linha neutra até um ponto na secao On Igualando a zero a soma das forgas elementares odA provamos que a i nha neutra passa pelo centroide da secao transversal de uma barra em c flexao pura Fazendo a soma dos momentos das forgas elementares igual roo ao momento fletor determinamos a formula da flexdo elastica para a ten Linha neutra sao normal maxima Me Figura 1155 On 1115 oT Férmula da flexdo eldstica onde J o momento de inércia da seao transversal em relacgao a linha neutra Obtivemos também a tensdo normal a qualquer distancia y da linha neutra My 0 1116 I 495 496 Estdtica e mecdnica dos materiais Observando que Je c dependem somente da geometria da seco transver Médulo de resisténcia flexdo sal introduzimos 0 médulo de resisténcia a flexao S 1117 C e depois usamos o modulo de resisténcia da secaéo para escrevermos uma expressao alternativa para a tensdo normal M Om e 1118 Curvatura da barra Lembrando que a curvatura de uma barra é 0 inverso de seu raio de curva tura expressamos a curvatura da barra como 1 M 1121 p EI Barras feitas de varios Em seguida consideramos a flexdo de barras feitas de varios materiais materiais com diferentes mddulos de elasticidade Secao 115 Embora as secdes transversais permanegam planas vimos que em geral a linha neutra nado passa pelo centroide da secao transversal composta Fig 1156 Usando a relagaéo entre os médulos de elasticidade dos materiais obtivemos uma secao transformada que corresponde a uma barra equivalente feita intei ramente de um so material Usamos entao os métodos desenvolvidos ante riormente para determinar as tensdes nessa barra homogénea equivalente Fig 1157 e depois usamos novamente a relagao entre os mddulos de elasticidade para determinar as tensdes na viga composta Problemas Re solvidos 113 e 114 y y E 1 LN ey Ox E 2 5 07 p a i i Figura 1156 y y I ea Figura 1157 Capitulo 11 Flexdo pura 497 Na Segao 116 estudamos as tensdes em componentes carregados excen Carregamento axial tricamente em relagdo a um plano de simetria Nossa analise fez uso de excéntrico métodos desenvolvidos anteriormente Substituimos a fora excéntrica M por um sistema constituido de fora e momento localizado no centroide da D F secao transversal Fig 1158 e depois fizemos a superposiao das tensdes ak F provocadas pela forga centrada e pelo momento fletor Fig 1159 weer Y A P My Figura 1158 0 1128 g ar 1128 LN c B a C Ss Figura 1159 A flexdo de barras de secdo transversal assimétrica foi considerada em Flexdo assimétrica seguida Seao 117 Vimos que a formula de flexdo pode ser usada desde vl g que o vetor momento fletor M esteja direcionado ao longo de um dos eixos M principais de inércia da secao transversal Quando necessario decompo mos M em componentes ao longo dos eixos principais de inércia e realiza Du mos a superposiao das tensdes provocadas pelos momentos componentes ft Figs 1160 e 1161 x My M Z 2 a T 1133 Figura 1160 z y M wo AM Ly 0 ot M 4 y Figura 1161 66 Cc Z Para o momento M mostrado na Fig 1162 determinamos a orienta cao da linha neutra escrevendo tg p Sted 1135 I 6 1135 Figura 1162 O caso geral de carregamento axial excéntrico foi considerado na Secao 118 Carregamento axial em que novamente substituimos a forca pelo sistema constituido de forga excéntrico geral e momento localizado no centroide A superposicao das tensdes provoca das pela forga centrada e pelas duas componentes do momento direciona das ao longo dos eixos principais produziu a seguinte equaao P My Myz 6 1136 a7 tT 1136 1193 Sabendo que a viga de seco vazada mostrada na figura tem uma espes sura de parede de 6 mm determine a 0 maior momento que pode ser aplicado sem exceder a tensdo admissivel de 138 MPa e b 0 correspon dente raio de curvatura da viga Use E 73 GPa 82 mm 125 mm Figura P1193 1194 a Usando uma tensao admissivel de 120 MPa determine o maior mo mento M que pode ser aplicado na viga de secao transversal mostrada na figura b Resolva a parte a considerando que a secao transversal da viga é um quadrado de 80 mm i 10 mm Ce é 80 mm 10 mm 80 mm 5mm 5mm Figura P1194 1195 Uma barra de ago E 210 GPa e uma barra de aluminio E 70 GPa sao ligadas para formar a barra composta mostrada na figura Determine a maxima tensao a no aluminio e b no aco quando a barra é fletida sobre 0 eixo horizontal com M 60 N m 8mm 8mm Ago 8mm 24 mm Figura P1195 498 Capitulo 11 FlexGo pura 499 1196 Uma tnica forca vertical P aplicada em uma coluna curta de ago mostrada na figura Sensores localizados em A B e C indicam as seguintes deforma cdes 500 yw 1000 wu e 200 uw Sabendo que E 200 GPa determine a a intensidade de P 5 a linha de acao de P e c a deformacao correspondentes nas bordas escondidas da coluna onde x 625 mme z 37 mm y a 4 AllkT WIC 5 125 mm 2 Figura P1196 1197 Duas forgas verticais sao aplicadas na viga de segao transversal mostra da na figura Determine as maximas tens6es de tragdo e compressao na parte BC da viga 10 mm 10 mm 10 kN 10 kN 50 mm B c ai A oho 10 mm 250 mm 50 mm 150 mm 150 mm Figura P1197 1198 Para aumentar a resisténcia 4 corrosdo um revestimento de aluminio de espessura de 2 mm foi adicionado a barra de ago mostrada na figura O modulo de elasticidade é E 200 GPa para 0 ago e E 70 GPa para 0 aluminio Para um momento fletor de 1350 kN mm determine a a maxima tensao no aco b a maxima tensdo no aluminio c 0 raio de curvatura na barra 46 mm Figura P1198 500 Estdtica e mecdnica dos materiais 1199 Uma viga de madeira de 150 x 250 mm foi reforgada aparafusando nela o reforco de ago mostrado na figura O médulo de elasticidade é E 104 GPa para a madeira e E 210 GPa para 0 aco Sabendo que a viga é flexionada em torno do eixo horizontal por um momento fletor de 225 kN m deter mine a tenséo maxima a na madeira e b no aco 7 50 mm 250 mm 50 x 10 mm 50 x 10 mm Figura P1199 11100 As quatro forcas mostradas na figura sao aplicadas a uma placa rigida suportada por um poste de aco cheio de raio a Determine a maxima tensdo no poste quando a todas as forgas sao aplicadas b a forga em D é removida e quando c as forgas em C e D sao removidas Py P P P iS ase Cli Cia D x Zz Figura P11100 11101 Um momento M de 8 kN matua no plano vertical da viga de ago lami nado W200 x 193 como mostra a figura Determine a 0 Angulo que o e1xo neutro forma com o plano horizontal e b a maxima tensao na viga 5 3 W200 x 193 4 B J f c M8kNm E D Figura P11101 Capitulo 11 FlexGo pura 501 11102 Um momento M que atua no plano vertical 0 é aplicado a uma viga de aluminio de secao transversal mostrada na figura Determine a a tensdo no ponto A b a tensdo no ponto B e c 0 raio de curvatura da viga Use E 72 GPa y B M300Nm soli et z fio mm sm 10 mm Figura P11102 e P711103 11103 Na figura um momento M é aplicado a uma viga de secao transversal que forma um Angulo 15 com a vertical Determine a a tensao no ponto A b a tensdo no ponto B e c o angulo que o eixo neutro forma com a horizontal 11104 Um momento M sera aplicado a uma viga de secao retangular que pode ser serrada a partir da tora de secao circular Determine a razdo db para que a a maxima tensdo o seja a menor possivel e b 0 raio de curvatu ra da viga seja maximo 4 7 n Ny M Lg YL we a M LN b Figura P11104 As vigas que suportam o sistema de guindastes múltiplos mostrado nesta foto estão submetidas a forças transversais que provocam flexão nas vigas As tensões normais resultantes desses carregamentos serão determinadas neste capítulo Cap12Beerindd 502 Cap12Beerindd 502 03122012 191333 03122012 191333 C A P Í T U L O12 Análise e projetos de vigas em flexão Cap12Beerindd 503 Cap12Beerindd 503 03122012 191335 03122012 191335 504 Estdtica e mecdnica dos materiais 1 2 Andlise e projetos 121 Introdugdo de vigas em flexdo os x Saat g 7 Este capitulo e grande parte do proximo serao dedicados a andalise e ao projeto de vigas isto elementos estruturais que suportam forcas aplica 121 Introdugao das em varios pontos ao longo do elemento Em geral vigas sio elementos 122 Diagramas de forga prismaticos retos longos como mostra a foto da pagina anterior Vigas de cortante e momento fletor aco e de aluminio desempenham um papel importante na engenharia de 123 Relagées entre forga forga estruturas e mecAnica Vigas de madeira so muito utilizadas na constru cortante e momento fletor cao de casas Foto 121 Na maioria dos casos as forcas sao perpendicu 124 Projeto de vigas prismdticas lares ao eixo da viga Esse carregamento transversal provoca somente em flexdo flexdo e cisalhamento na viga Quando as forcas nao estao em Angulo reto J com 0 ex da viga podem produzir forgas axiais sobre ela be jy ri y F rs Wy F 4 Me l go il f j i z ae e Py Py g ya oe oe Y B c Se os A D a Foto 121 a Forgas concentradas O carregamento transversal de uma viga pode ser composto de foras concentradas P P expressas em newtons libras ou seus multiplos quilonewtons e kips Fig 121a de uma forga distribuida w expressa em 4 C Nm kNm Ibpé ou kipspé Fig 1225 ou de uma combinacao das duas K B a Quando a forca w por unidade de comprimento tem um valor constante sobre parte da viga como entre 4 e B na Fig 1215 dizemos que a forca 6 Forgas distribuidas esta uniformemente distribuida sobre essa parte Figura 121 As vigas sao classificadas de acordo com a maneira como sao vinculadas ou apoiadas A Fig 122 mostra varios tipos de vigas utilizadas frequente mente A distancia L mostrada nas varias partes da figura é chamada de vao Note que as reacGes nos apoios ou nos vinculos das vigas nas partes a bec da figura envolvem um total de apenas trés incdgnitas e portanto podem Vigas SS bs Ss estaticamente determinadas L a Viga biapoiada b Viga biapoiada com balango c Viga em balano ou engastada Vigas is Se ao estaticamente indeterminadas L x L d Viga continua e Viga engastada e apoiada Viga biengastada Figura 122 Capitulo 12 Andlise e projetos de vigas em flexdo 505 ser determinadas pelos métodos da estatica Dizemos que essas vigas sao estaticamente determinadas e serao discutidas neste capitulo e no proxi mo Em contrapartida as reagdes nos apoios das vigas nas partes d ee f da Fig 122 envolvem mais de trés incdgnitas e nao podem ser determi nadas apenas pelos métodos da estatica As propriedades das vigas com relagao a sua resisténcia as deformacdes também devem ser consideradas Dizemos que essas vigas sao estaticamente indeterminadas e sua analise sera feita no Cap 15 no qual discutiremos as deformagées nas vigas As vezes duas ou mais vigas so conectadas por articulagées para for mar uma estrutura Unica e continua Dois exemplos de vigas articuladas em um ponto H sao mostrados na Fig 123 Devese notar que as reagdes nos apoios envolvem quatro incOgnitas e nao podem ser determinadas a partir dos diagramas de corpo livre do sistema de duas vigas No entanto podem ser determinadas considerando o diagrama de corpo livre de cada viga se paradamente Nesse processo estao envolvidas seis incognitas incluindo duas componentes de forca na articulacao com seis equacoes disponiveis H Sa A a H 4 c B b Figura 123 Como visto na Seao 111 quando cortamos a viga em balanco subme P P tida a uma forga concentrada P em sua extremidade Fig 114 através de w uma secao em C os esforcos internos nessa secao sao compostos de uma Cc forga cortante P igual e oposta a forga Pe um momento fletor M de valor 4 B igual ao momento de P em relacgao a C Ocorre uma situacgao similar para outros tipos de apoio e carregamento Considere por exemplo uma viga ET a AB simplesmente apoiada sujeita a duas forgas concentradas e uma forca uniformemente distribuida Fig 124a Para determinarmos os esforcos internos em uma secao do ponto C primeiro desenhamos o diagrama de w Pi Py corpo livre da viga inteira para obter as reagdes nos apoios Fig 1245 C Cortando a viga em C desenhamos entao 0 diagrama decorpolivredeAC B Fig 124c por meio do qual determinamos a forga cortante V e 0 mo mento fletor M O momento fletor M provoca tensées normais na secao transversal Ry b Re enquanto a forca cortante V provoca tensdes de cisalhamento Na maioria dos casos 0 critério dominante no projeto de uma viga quanto a resisténcia wat é o valor maximo da tensao normal sobre ela A determinagao das tensdes 1 P normais em uma viga sera 0 assunto deste capitulo enquanto as tensdes de cisalhamento serao abordadas no Cap 13 mim Como a distribuicgéo de tensdes normais em uma secao depende so A yi mente do valor do momento fletor M na sec4o e da geometria dela as Vv Assumese que a distribuigao de tensdes normais em determinada secao transversal nao é afetada pela deformacao provocada pelas tensdes de cisalhamento Figura 124 506 Estdtica e mecdnica dos materiais formulas de flexao elastica deduzidas na Secao 114 podem ser utilizadas para determinar a tensao maxima bem como a tens4o em um ponto dado na secao Escrevemos IMlc My On a Ox 121 122 onde J é o momento de inércia da secao transversal em relacao a um eixo que passa pelo centroide da secgao transversal perpendicular ao plano de movimento y é a distancia da superficie neutra e c é o valor maximo da distancia Fig 1111 Como vimos na Secao 114 ao introduzirmos o mo dulo de resisténcia a flexao da seao elastica W c da barra o valor maximo o da tens4o normal na sedo pode ser expresso como iM 123 Om e 123 O fato de o ser inversamente proporcional a W destaca a importancia de selecionar vigas com um modulo de resisténcia da secao de valor alto Os modulos de resisténcia de segao de varios perfis de ago laminado sao da dos no Apéndice B enquanto o modulo de resisténcia de secao retangular pode ser expresso conforme mostrado na Secao 114 como W bh 124 onde b eh sao respectivamente a largura e a altura da secao transversal A Eq 123 também mostra que para uma viga de seao transversal uniforme o proporcional a M assim o valor maximo da tensdao nor mal na viga ocorre na secao em que M é maior Concluise que uma das partes mais importantes do projeto de uma viga para determinada condi cao de carregamento é a determinacao da localizacao e intensidade do maior momento fletor Essa tarefa ficara mais facil se tragarmos um diagrama de momento fletor isto é se determinarmos o valor do momento fletor M em varios pontos da viga e construirmos um grafico do momento em fungao da dis tancia x medida a partir de uma extremidade da viga Ficara ainda mais facil se tragarmos ao mesmo tempo um diagrama de fora cortante como objetivo de elaborar um grafico da forga cortante Vem funcao de x A convengao de sinais a ser empregada para registrar os valores da forga cortante e do momento fletor sera discutida na Secao 122 Os valo res de Ve M serao entao obtidos em varios pontos da viga desenhando os diagramas de corpo livre de suas partes sucessivas Na Secao 123 serao deduzidas relagdes entre forga cortante e momento fletor as quais serao utilizadas para obter os diagramas de forca cortante e momento fletor Essa abordagem facilita a determinacgao do maior valor absoluto do momento fletor e portanto a determinacao da tensao normal maxima na viga Na Secao 124 vocé aprendera a projetar uma viga em flex4o isto 6 sera imposta a condiao de que a tensao normal maxima na viga nao Como vimos na Segao 112 M pode ser positivo ou negativo o que dependera de a conca vidade da viga no ponto considerado estar virada para cima ou para baixo Assim no caso considerado aqui de um carregamento transversal o sinal de M pode variar ao longo da viga Entretanto o é um valor positivo e o valor absoluto de M é usado na Eq 121 Capitulo 12 Andlise e projetos de vigas em flexdo 507 ultrapassara seu valor admissivel Conforme ja dissemos esse é 0 crité P w P rio dominante no projeto de uma viga C A B 122 Diagramas de forca cortante e momento fletor Como indicamos na Seao 121 a determinacao dos valores maximos ab solutos da forca cortante e do momento fletor em uma viga sera muito a mais facil se os valores de V e M forem construidos graficamente em fun cao da distancia x medida a partir de uma extremidade da viga Além P w disso conforme veremos no Cap 15 0 conhecimento de M em fungao de x essencial para a determinacgao do deslocamento de uma viga A C Nos exemplos e problemas resolvidos desta secgao os diagramas de forcga cortante e momento fletor serao obtidos por meio da determinagao v dos valores de V e M em pontos selecionados da viga Esses valores serao R 6 determinados da maneira usual isto é cortase a viga no ponto em que eles devem ser determinados Fig 125a e considerase 0 equilibrio da Py parte da viga localizada de cada lado da seao Fig 1255 Como as forcgas v cortantes V e V tém sentidos opostos registrar a forga cortante no ponto B C com uma seta para cima ou para baixo nfo teria significado a menos que M Cc indicassemos ao mesmo tempo qual dos corpos livres AC e CD estamos considerando Por essa razao a fora cortante V sera marcada com um si Rz nal positivo se ela estiver direcionada como mostra a Fig 125b e com um Figura 125 sinal negativo se isso nao ocorrer Sera aplicada uma convengaéo similar para o momento fletor M que sera considerado positivo se os momentos fletores estiverem direcionados como mostrado na figura e negativo se isso nao ocorrer Resumindo a convencAo de sinais apresentada podemos dizer o seguinte A forga cortante V e o momento fletor M serdo positivos quando em determinada sedo da viga os esforcos internos atuantes nas partes da viga estiverem direcionados conforme mostra a Fig 126a Essas convengoées podem ser lembradas mais facilmente se notarmos que 1 Em um ponto da viga a forga cortante é positiva quando as forcas externas cargas e reagdes que atuam nela tendem a rompéla cisa lhar nesse ponto conforme indicado na Fig 1266 2 Em um ponto da viga o momento fletor é positivo quando as forgas externas que atuam nela tendem a flexiondla nesse ponto conforme indicado na Fig 126c E Util também notar que a situacdo descrita na Fig 126 na qual os valores da forga cortante e do momento fletor sao positivos precisamen te a situacgaéo que ocorre na metade esquerda de uma viga simplesmente apoiada tendo uma unica forca concentrada em seu ponto médio Esse caso particular é amplamente discutido no proximo exemplo u i C ae a el M I Vv a Esforgos internos b Efeitos de forcas externas c Efeitos de forgas externas forca cortante positiva e momento fletor positivo forca cortante positiva momento fletor positivo Figura 126 Note que essa convengao é a mesma que usamos na Secfo 112 508 Estática e mecânica dos materiais Exemplo 121 Trace os diagramas de força cortante e momento fletor para uma viga AB simplesmente apoiada de vão L submetida a uma única força con centrada P em seu ponto médio C Fig 127 B C A P 1 L 2 1 L 2 Figura 127 Primeiro determinamos as reações nos apoios por meio do diagrama de corpo livre da viga toda Fig 128a vemos que a intensidade de cada reação é igual a P2 Em seguida cortamos a viga no ponto D entre A e C e desenhamos os dia gramas de corpo livre AD e DB Fig 128b Considerando que a força cortante e o momento fletor são positivos direcionamos os esforços internos V e Vʹ e M e Mʹ como mostra a Fig 126a Considerando o diagrama de corpo livre AD e es crevendo que a soma dos componentes verticais e a soma dos momentos em rela ção a D das forças que atuam no corpo livre são iguais a zero encontramos V P2 e M Px2 Tanto a força cortante quanto o momento fletor são por tanto positivos pois a reação A tende a cortar e flexionar a viga em D conforme indicam as Figs 126b e c Agora construímos os gráficos de V e M entre A e C Figs 128d e e a força cortante tem um valor constante V P2 enquanto o mo mento fletor aumenta linearmente desde M 0 em x 0 até M PL4 em x L2 Cortando a viga no ponto E entre C e B e considerando o diagrama de corpo livre EB Fig 128c escrevemos que a soma dos componentes verticais e a soma dos momentos em relação a E das forças que atuam no corpo livre são iguais a zero Obtemos V P2 e M PL x2 Assim a força cortante é negativa e o momento fletor positivo pois a reação em B flexiona a viga em E conforme in dica a Fig 126c mas tende a cortar de maneira oposta àquela mostrada na Fig 126b Podemos completar agora os diagramas de força cortante e momento fle tor das Figs 128d e e A força cortante tem um valor constante V P2 entre C e B enquanto o momento fletor diminui linearmente de M PL4 em x L2 até M 0 em x L Notamos no exemplo anterior que quando uma viga é submetida so mente a forças concentradas a força cortante é constante entre as forças e o momento fletor varia linearmente entre elas Nessas situações portanto os diagramas de força cortante e momento fletor podem ser traçados facil mente uma vez obtidos os valores V e M nas seções selecionadas imedia tamente à esquerda e imediatamente à direita dos pontos em que as forças e reações são aplicadas ver Problema Resolvido 121 RA 1 P 2 RA 1P 2 RB 1P 2 PL x 1 4 RB 1P 2 B C E D A P 1 L 2 1 L 2 B C D D A x x x P a b V M M V RA 1P 2 1 L 2 L L 1 2 1 P 2 1 P 2 RB 1P 2 B C E E L x L M V A P c d e V M M V Figura 128 Cap12Beerindd 508 Cap12Beerindd 508 03122012 191336 03122012 191336 Capitulo 12 Andlise e projetos de vigas em flexdo 509 Exemplo 122 Trace os diagramas de forca cortante e momento fletor para w a viga em balango AB de vao L que suporta uma forga w uniformemente distri buida Fig 129 A B Cortamos a viga no ponto C entre A e B e desenhamos o diagrama de corpo livre de AC Fig 1210a direcionando V e M conforme indica a Fig 126a Cha L mando de x a distancia de A até C e substituindo a forga distribuida sobre AC pela 5 gura 129 sua resultante wx aplicada no ponto médio de AC escrevemos P XR 0 wxV 0 V wx x 1 4 UMc 0 wx 5 M 0 0 M Sw Notamos que 0 diagrama de fora cortante representado por uma linha reta incli nada Fig 12105 e o diagrama do momento fletor por uma parabola Fig 1210c Os valores maximos de V e M ocorrem ambos em B assim temos VwL M3wL o Wx I 1 1 2 wv t t UITLUITIT TI Cc Lf a V i A B x 6 Vpwl M A B x c M 5 wl Figura 1210 PROBLEMA RESOLVIDO 121 20 kN 40 kN Para a viga de madeira e 0 carregamento mostrados na figura trace os diagra aN B Y p fa mas de forca cortante e momento fletor e determine a tensdo maxima provo C 250 mm cada pelo momento fletor 25m 3m 2m 80 mm SOLUCAO Reagdes Considerando a viga inteira como um corpo livre temos 20 KN 40 KN Rz 46 kN t Rp 14 kNt B D Aa Diagramas de forca cortante e momento fletor Primeiro determina 1 ots al C5 6 l4bNMOs Os esforcos internos logo a direita da fora de 20 kN em A Considerando 46 kN a parte da viga a esquerda da segao como um corpo livre e assumindo que V 20 kN 25 m 3m 2m e M sao positivos de acordo com a conven4o adotada escrevemos M Y t IF 0 20 kN V 0 V20kN ZM 0 20kN0mM0 M0 20 kN M Em seguida consideramos como um corpo livre a parte da viga 4 esquerda Vv da segao 2 e escrevemos 2 50 kN P EF 0 20kN V 0 V20kN ia EM 0 20 KN25m M0 MSOkNm 46 kN V3 A forga cortante e o momento fletor nas segées 3 4 5 e 6 sao determinados 20 kN de maneira similar por meio dos diagramas de corpo livre mostrados Obtemos My 46 EN v V26kN M50kNm Vy26kKN My28kNm Ne Vs14KN 9 My28kNm 5 46 KN v Vo14kN Me 0 50 EN 40 kN Nas varias seg6es anteriores os resultados podem ser obtidos mais facilmente Mg considerandose um corpo livre a parte da viga que se encontra a direita da segao Por exemplo para a parte da viga a direita da secdo 4 temos 46 kN Ve 40 kN at 7 DF 0 V40kN 14kKN0 V26KN Ms Ais TE Ma 0 M 14kN2m 0 M28kNm v V 46 kN Podemos agora construir os graficos dos seis pontos mostrados nos dia gramas de forca cortante e momento fletor Conforme indicamos anteriormen Xx te nesta secao a forga cortante tem um valor constante entre forgas concentra 20 kN 14kN das e o momento fletor varia linearmente obtemos portanto os diagramas de 25 m 3 m2 m forcga cortante e momento fletor mostrados na figura M Tensdo normal maxima Ela ocorre em B em que M tem o maior valor 28 KN m Usamos a Eq 124 para determinar 0 médulo de resisténcia a flexdo da secgao da viga x W i bh 0080 m0250 my 83333 x 10 m P50 KN m Substituindo esse valor e M MB 50 x 10 N mna Eq 123 M 50 x 10Nm Om Mol COs TON 6000 x 10Pa W 83333 x 10 Maxima tensao normal na viga 600 MPa 4 510 PROBLEMA RESOLVIDO 122 Q6p kN A estrutura mostrada na figura é composta de uma viga AB que um perfil 240 m 090 m 2 090 m de aco laminado W250 x 167 e de dois membros curtos soldados entre si e a viga a Trace os diagramas de fora cortante e momento fletor para a viga 45 kNim para o carregamento dado b Determine a tensAo normal maxima em segdes tht iT E imediatamente 4 esquerda e a direita do ponto D B EEEEEEE SS A Cc D SOLUCAO 45kNm sor 27 KN m4993 KN m Carregamenio equivalente da viga A forca de 45 kN é substituida por HET TTT um sistema equivalente de forga e momento em D A reacao em B é determi A ihc 2 y D38B nada considerandose a viga como um corpo livre acy laskN 153kN Diagramas de forcga cortante e de momento fletor tox De AaC Determinamos os esforgos internos a uma distancia x do ponto A 27 se I considerando a parte da viga a esquerda da segao Essa parte da forga distribu i ida que atua sobre o corpo livre é substituida por sua resultante e escrevemos M N P ZF 0 45x V0 V45xkN os EN UM 0 45x4x M 0 M225xkNm t y 12 ay eT Como o diagrama de corpo livre mostrado pode ser utilizado para todos os valores de x menores que 24 m as express6es obtidas para V e M sao validas yy na regido 0 x 24 m M DeCaD Considerando a parte da viga a esquerda da secdo 2 e novamente 108 kN substituindo a forga distribuida por sua resultante obtemos x 12 VO nem ag P EF 0 108V0 V108kN Gy EM 0 10812M0 M 1296 108x kNm i wy Vv Essas expresses sao validas na regiao 24 m x 33 m tool oF 33 DeDaB Usandoa posicao da viga a esquerda da secdo 3 obtemos para a regido 33 mx48m 24m 33m 48m V153kN M 3051153x kNm Podemos agora tracar os diagramas de forga cortante e momento fletor para a barra inteira Notamos que o momento de 27 kN m aplicado ao ponto D in 108 kN troduz uma descontinuidade no diagrama de momento fletor 153 KN b TensGo normal maxima a esquerda e a direita do ponto D Do M Apéndice B encontramos que para uma viga do tipo W250 x 167 o mddulo de resisténcia em relagdo ao eixo XX é W 2080 x 10 mm x A esquerda de D Temos M 2268 kN m 2268 x 16 N mm Subs 1998kN lm tituindo M e Wna Eq 123 escrevemos 1296kNm m M 2268 x 10N mm 2268 KNm oy Ah SOREN T 109MPa 109 MPa Ww 2080 x 10 mm 4293 kN m Adireitade D Temos M 1998 kN m 1998 x 16 N mm Substituin do M e Wna Eq 123 escrevemos M 1998 x 10Nmm Cn 296 MPa Om 96 MPa Ww 2080 x 10 mm 511 PROBLEMAS 512 121 até 124 Para a viga e o carregamento mostrados a trace os diagra mas de força cortante e momento fletor e b determine as equações das curvas de força cortante e momento fletor B P C A L b a B w A L Figura P121 Figura P122 B w0 A L D w A B a a C L Figura P123 Figura P124 125 e 126 Trace os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga e o carregamento mostrados e determine o valor máximo absoluto a da força cortante e b do momento fletor 48 kN 60 kN 60 kN 06 m 09 m A C D E B 15 m 15 m B A C D E 200 N 200 N 200 N 500 N 300 300 225 225 Dimensões em mm Figura P125 Figura P126 127 e 128 Trace os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga e o carregamento mostrados e determine o valor máximo absoluto a da força cortante e b do momento fletor B A C 45 kNm 135 kN 09 m 18 m B A C D 12 m 12 m 12 m 30 kNm 675 kN Figura P127 Figura P128 Cap12Beerindd 512 Cap12Beerindd 512 03122012 191337 03122012 191337 Capitulo 12 Andlise e projetos de vigas em flexdo 513 129 e 1210 Trace os diagramas de forga cortante e momento fletor para a viga e 0 carregamento mostrados e determine o valor maximo absoluto a da forca cortante e b do momento fletor 3 kN 3 kN 1800 N 7200 N 1800 N 450Nm Gia 200 mm 4 B 1 D EF Cl DA E 3200 mm Cala cbye P 300 200 200 300 Dimens6es em mm 300 mm 300 mm300 mm300 mm Figura P129 Figura P1210 1211 e 1212 Considerando que a reacao do solo seja uniformemente distri buida trace os diagramas de fora cortante e momento fletor para a viga AB e determine o valor maximo absoluto a da forcga cortante e b do momento fletor 135 kN 135 kN 10 kNm 36 KN 10 kNm Cc oD E c D A B A B J sm 09m 09m 09m 09m 045 m 045 m Figura P1211 Figura P1212 1213 e 1214 Para a viga e 0 carregamento mostrados na figura determine a tensdo normal maxima provocada pelo momento fletor na secao trans versal C 38 mm 3375 N 4050 N 7 10 KN 100 mm C D 7 3 kNm A B 7 238 mm C LD f A t ft 200 mm 09m 12m 06m Label Figura P1213 Figura P1214 1215 Para a viga e o carregamento mostrados na figura determine a tensdo normal maxima provocada pelo momento fletor na seg4o aa 30 kN 50 kN 50kN 30kN la W250 x 67 A B la 2 m 5 de 08m4m Figura P1215 514 Estdtica e mecdnica dos materiais 1216 Para a viga e o carregamento mostrados na figura determine a tensdo normal maxima provocada pelo momento fletor na segao transversal C 135 kN 135 kN 90 kNm W460 x 113 CYDVE A B Lt Lb san 075 m 075 m 075m Figura P1216 1217 e 1218 Para a viga e 0 carregamento mostrados na figura determine a tenséo normal maxima provocada pelo momento fletor na secao trans versal C 25 25 10 10 10 3 NI SKN KN KN KN KN kN n Cc CYDVWEVF VG I A B I A B 200 x 274 W310 x 60 6 de 0375 m 225 m 15 mr 21 m Figura P1217 Figura P1218 1219 e 1220 Trace os diagramas de forga cortante e momento fletor para a viga e 0 carregamento mostrados na figura e determine a tensaéo normal maxima provocada pelo momento fletor 150 kN 150 kN 90 kNm 113 KN 113 KN 113 kN 4 3 Cc D E W460 x 113 A B I I 24 m 310 x 52 087 08 m 18 m 03 m06 m 06 m 08m Figura P1219 Figura P1220 1221 e 1222 Trace os diagramas de forca cortante e momento fletor para a viga e 0 carregamento mostrados na figura e determine a tensaéo normal maxima provocada pelo momento fletor 9kNm 225 KN 45 kN 30 KNm Cc D C D es I A BOY W200 x 225 I i W360 x 329 15 m 24 m 15 m 2m 2m 2m Figura P1221 Figura P1222 Capitulo 12 Andlise e projetos de vigas em flexdo 515 1223 Trace os diagramas de forca cortante e momento fletor para a viga e o carregamento mostrados na figura e determine a tensdo normal maxima provocada pelo momento fletor 72 kNm 144 KN UU Hel fe tp y joe T 5 wht wht IN Anes W310 x 60 24 j 15m 15m 9 kN 9 kN 06m Cc DA E W310 x 238 Figura P1223 a A nhs 1224 Sabendo que W 135 kN trace os diagramas de forga cortante e mo y 4 pos 09m 09m 0m 09m mento fletor para a viga AB e determine a tensd4o normal maxima provo cada pelo momento fletor Figura P1224 1225 Determine a a distancia a para a qual o valor maximo absoluto do mo 99 xn 40 kN mento fletor na viga o menor possivel e b a tensao normal maxima correspondente provocada pelo momento fletor Sugestao Trace o dia C D grama de momento fletor e iguale os valores absolutos dos maiores mo 4 B JC mentos fletores positivo e negativo obtidos J W360 64 tae a 24 m 1226 Determine a a distancia a para a qual o valor absoluto do momento fletor 16m na viga o menor possivel e b a tensao normal maxima correspondente Figura P1225 provocada pelo momento fletor ver sugestéo do Problema 1225 500 kN 500 kN 00 00 a 500 mm 500 mm cy D 7 A B 18 mm 1 Fd Figura P1226 1227 Determine a a distancia a para a qual o valor absoluto do momento fletor na viga é o menor possivel e b a tensao normal maxima correspondente provocada pelo momento fletor ver sugestéo do Problema 1225 54 kN 36 kN 54 kN C D E A B S75 x 85 a 045m 036m027 m d Figura P1227 7 1228 Uma barra de segao transversal circular cheia de ago com diadmetro d é suportada como mostra a figura Sabendo que para 0 ago y 7697 kgm determine o menor didmetro d que pode ser utilizado para que a tensao 3m normal provocada pelo momento fletor nao ultrapasse 276 MPa Figura P1228 516 Estática e mecânica dos materiais 123 Relações entre força força cortante e momento fletor Quando uma viga suporta mais de duas ou três forças concentradas ou quando suporta forças distribuídas o método descrito na Seção 122 para traçar os diagramas da força cortante do momento fletor pode se mostrar bastante trabalhoso A construção do diagrama da força cortante e espe cialmente do diagrama de momento fletor ficará muito mais fácil se fo rem consideradas as relações existentes entre força força cortante e mo mento fletor Consideremos uma viga AB simplesmente apoiada que está submeti da a uma força distribuída w por unidade de comprimento Fig 1211a e sejam C e Cʹ dois pontos da viga a uma distância x um do outro A força cortante e o momento fletor em C serão representados por V e M respectivamente e considerados positivos com os sentidos indicados na figura A força cortante e o momento fletor em Cʹ serão representados por V V e M M Isolamos agora a parte da viga CCʹ e desenhamos o seu diagrama de corpo livre Fig 1211b As forças que atuam no corpo livre incluem uma força de intensidade w x e os esforços internos força cortante e momen to fletor em C e Cʹ Como a força cortante e o momento fletor foram con siderados positivos as forças e os momentos estarão direcionados confor me mostra a figura Relações entre força e força cortante Considerando que a soma das componentes verticais das forças que atuam no corpo livre CCʹ é zero temos Σ Fy 0 V V V w x 0 V w x Dividindo ambos os membros da equação por x e depois fazendo x se aproximar de zero obtemos dV dx w 125 B A C w D x C x a x x w x w C C b 1 2 V M M M V V Figura 1211 Cap12Beerindd 516 Cap12Beerindd 516 03122012 191338 03122012 191338 Capitulo 12 Andlise e projetos de vigas em flexdo 517 A Eq 125 indica que para uma viga carregada conforme mostra a Fig 121la a inclinagao dVdx da curva de forga cortante negativa o valor numérico da inclinagaéo em qualquer ponto é igual a forga por unidade de comprimento nesse ponto Integrando 125 entre os pontos C e D escrevemos Vp vo w dx 126 Vp Vo area sob a curva da forca distribuida entre Ce D 126 Note que esse resultado também poderia ter sido obtido considerando o equilibrio da parte CD da viga visto que a area sob a curva da forga dis tribuida representa a forca total aplicada entre C e D Devese observar que a Eq 125 nao é valida em um ponto no qual é aplicada uma forca concentrada a curva de forca cortante é descontinua nesse ponto como vimos na Segao 122 De forma similar as Eqs 126 e 126 deixam de ser validas quando sao aplicadas forgas concentradas entre C e D pois elas nao levam em conta a variaao brusca da fora cor tante provocada por uma forca concentrada As Eqs 126 e 126 por tanto deverao ser aplicadas somente entre forgas concentradas sucessivas Relacées entre forca cortante e momento fletor Retornando ao diagrama de corpo livre da Fig 12115 e considerando agora que a soma dos momentos em relacao a C é zero temos Ax UMc 0 M AM M VAx wAx 0 1 AM V Ax w Ax Dividindo ambos os membros da equacao por Ax e fazendo Ax aproximar se de zero obtemos dM VJV 127 7 127 A Eq 127 indica que a inclinagéo dMdx da curva do momento fletor é igual ao valor da forcga cortante Isso verdade em qualquer ponto em que a forcga cortante tenha um valor bem definido isto é em qualquer ponto em que nao seja aplicada uma fora concentrada A Eq 127 mostra tam bém que V 0 em pontos em que M é maximo Essa propriedade facilita a determinacao dos pontos em que a viga apresenta possibilidade de falhar sob flexao Integrando 127 entre os pontos C e D escrevemos Mp Mc V dx 128 Mp Mc area sob a curva da forea cortante entreCeD 128 518 Estática e mecânica dos materiais Note que a área sob a curva da força cortante deverá ser considerada positiva onde a força cortante for positiva e negativa onde a força cortante for negativa As Eqs 128 e 128ʹ são válidas mesmo quando aplicadas forças concentradas entre C e D desde que a curva de força cortante tenha sido traçada corretamente No entanto as equações deixarão de ser válidas se for aplicado um momento em um ponto entre C e D pois elas não levam em conta a variação brusca no momen to fletor provocada por um momen to ver Problema Resolvido 126 Exemplo 123 Trace os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga simplesmente apoiada da Fig 1212 e determine o valor máximo do momen to fletor B w A L B w A RB 1 wL 2 RA 1 wL 2 Figura 1212 Do diagrama de corpo livre da barra inteira determinamos a intensidade das reações nos apoios RA RB 1 2wL Em seguida traçamos o diagrama de força cortante Próximo à extremidade A da viga a força cortante é igual a RA ou seja 1 2wL como podemos verificar conside rando uma parte muito pequena da viga como um corpo livre Usando a Eq 126 determinamos então a força cortante V a qualquer distância x de A e escrevemos V VA x 0 w dx wx V VA wx 1 2 wL wx w1 2 L x A curva de força cortante é portanto uma linha reta inclinada que cruza o eixo x no ponto x L2 Fig 1213a Considerando agora o momento fletor observamos primeiro que MA 0 O valor M do momento fletor a qualquer distância x de A pode então ser obtido da Eq 128 Temos M MA x 0 V dx M x 0 w1 2L x dx 1 2 wL x x2 Cap12Beerindd 518 Cap12Beerindd 518 03122012 191338 03122012 191338 Capitulo 12 Andlise e projetos de vigas em flexdo 519 LY 7 WL L x SL twl M a wl 1 x sL L b Figura 1213 A curva do momento fletor uma parabola O valor maximo do momento fletor ocorre quando x L2 pois V e portanto dMdx é zero para esse valor de x Substituindo x L2 na equagao obtemos M wL8 Fig 12135 m Em muitas aplicagdes de engenharia precisamos saber o valor do mo mento fletor somente em alguns pontos especificos Uma vez tragado o diagrama da forca cortante e depois de ter determinado VM em uma das extremidades da viga o valor do momento fletor pode entao ser obtido em qualquer ponto calculando a area sob a curva da forca cortante e usando a Eq 128 Por exemplo como M 0 para a viga do Exemplo 123 0 valor maximo do momento fletor para essa viga pode ser obtido medindo sim plesmente a area do triangulo sombreado no diagrama da forca cortante da Fig 1213a Temos vu LEwek wl mum 22 2 8 Notamos que nesse exemplo a curva da forga distribuida é uma linha reta horizontal a curva da forga cortante é uma linha reta inclinada e a curva do momento fletor uma parabola Se a curva da fora distribuida fosse uma linha reta inclinada equaao de primeiro grau a curva da for ca cortante seria uma parabola equacao do segundo grau e o momento fletor uma curva de terceiro grau equacao de terceiro grau As curvas da forcga cortante e do momento fletor sempre serao respectivamente um e dois graus mais altos que a curva da forga distribuida Com isso em mente conseguimos esbogar os diagramas de forga cortante e momento fletor sem realmente determinar as fungdes Vx e Mx apos calcularmos al guns poucos valores da forcga cortante e do momento fletor Os esbocgos obtidos serao mais precisos se lembrarmos que em qualquer ponto em que as curvas sao continuas a inclinagao da curva da forca cortante é igual a w e a inclinagao da curva do momento fletor é igual a V O4KN S4KN 25kNim PROBLEMA RESOLVIDO 123 Trace os diagramas de forca cortante e momento fletor para a viga e o carre 1S SST E gamento mostrados B C D ae LL 30m La m 18m SOLUCAO 12m 160 kN Co pel Reagées Considerando a viga inteira como um corpo livre escrevemos 94kKN 54KkN C4 OM 0 E D72 m 94 kKN18 m 54 kKN42 m 60 kN84 m 0 B c D D 125 kN D 125 kNtT Ay D P ZF 0 A 94 KN 54kN 125kN 60kN0 ism mr aomp24 ml A 83 KN A 83kN4 94kN 54kN 25kNim 2 Fr 0 A 0 A 0 Notamos também que os momentos fletores em A e E sio ambos iguais a zero A assim obtemos dois pontos indicados por um ponto no diagrama de momen By eye D to fletor 83 kN 125 kN Diagrama de forga cortante Como dVdx w sabemos que entre as 94 KN forcas e as reacdes concentradas a inclinacao do diagrama da fora cortante é zero isto 6 a forga cortante é constante A forga cortante em qualquer ponto é determinada dividindose a viga em duas partes e considerando cada parte ly M como um corpo livre Por exemplo usando a parte da viga 4 esquerda da secao Vv obtemos o valor da forga cortante entre B e C 83 KN 7 IF 0 83kN 94kN V 0 V 11kN V kN oe Verificamos também que a forga cortante é 60 kN imediatamente a direita de 83 D e zero na extremidade Como a inclinagéo dVdx w é constante entre 1494 72 60 DeE o diagrama da forca cortante entre esses dois pontos é uma linha reta 264 Diagrama do momento fletor Lembramos que a area sob a curva da 9g q ll x forca cortante entre dois pontos é igual a variacéo no momento fletor entre esses dois pontos Por conveniéncia a area de cada parte do diagrama da forga 65 cortante é calculada e indicada entre parénteses no diagrama Como se sabe MKN m 1494 que o momento fletor MV na extremidade esquerda igual a zero escrevemos 123 M M1494 M1494kNm Mc Mz 264 Mc 1230 kN m Mp Mc 195 Mp 720kNm H Mr Mp 72 M 0 72 Como se sabe que M zero esta feita a verificagao dos calculos Entre as forcas e reagdes concentradas a forca cortante é constante portan to a inclinagao dMdx constante e o diagrama de momento fletor tragado ligandose os pontos conhecidos com linhas retas Entre D e E em que o dia grama de forca cortante é uma linha reta inclinada o diagrama de momento fletor é uma parabola Dos diagramas de Ve M notamos que V 83 kNeM 1494 kN m 520 PROBLEMA RESOLVIDO 124 20 kNn A viga AC formada pelo perfil de ago laminado W360 x 79 simplesmente apoiada e tem uma forga uniformemente distribuida conforme mostra a figu ra Trace os diagramas de forga cortante e momento fletor para a viga e deter SSS mine a localizacao e a intensidade da tensAo normal maxima provocada pelo momento fletor 6m fe 3m SOLUCAO Reagdes Considerando a viga inteira como um corpo livre encontramos R 80kNt Ro 40 kN 20 kNm Diagrama de forcga cortante A forca cortante logo a direita de A é V 80 kN Como a variagao na forca cortante entre dois pontos é de sinal A C contrario ao valor da area sob a curva da forga entre aqueles dois pontos ob B temos V escrevendo 80 kN 40 kN V V4 20 kNm6 m 120 kN V 80 KN Vg 120 Vy 120 80 40 kN A inclinagao dVdx w sendo constante entre 4 e B o diagrama de forcga cortante entre esses dois pontos é representado por uma linha reta Entre B e A D B Cc x C a area sob a curva da forca é zero portanto Sa 40 40 kN Vo Vg0 Vo Vz 40 kN b 6m ea forca cortante constante entre Be C 4m Diagrama de momento fletor Notamos que o momento fletor em cada 160 KN m extremidade da barra é zero Para determinarmos 0 momento fletor maximo M 120 kN m localizamos a secgao D da viga em que V 0 Escrevemos A Vo V4 WX 0 80 kN 20 kNmx e resolvendo para x x4m 4 O momento fletor maximo ocorre no ponto D em que temos dMdx V0 As areas das varias partes do diagrama de forga cortante sao calculadas e apre sentadas entre parénteses no diagrama Como a area do diagrama de forca cortante entre dois pontos é igual a variacao no momento fletor entre aqueles dois pontos escrevemos Mp M160kNm Mp 160kNm Mz Mp 40kNm M 120kN m Mc Mg120kNm Mc 0 O diagrama de momento fletor consiste em um arco de parabola seguido por um segmento de linha reta a inclinag4o da parabola em A igual ao valor de V naquele ponto Tensdo normal maxima Ela ocorre em D em que M tem 0 maior va lor Do Apéndice B encontramos que para um perfil de ago W360 x 79 W 1280 mm em relagao ao eixo horizontal Substituindo esse valor e M M 160 x 10 N m na Eq 123 escrevemos M 160 x 10N oy Mol 160 x10 Nom 1959 x 10 Pa Ww 1280 x 10 m Tensdo normal maxima na viga1250MPa 4 521 522 PROBLEMA RESOLVIDO 125 Esboce os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga em balan ço mostrada na figura SOLUÇÃO Diagrama de força cortante Na extremidade livre da barra encontra mos VA 0 Entre A e B a área sob a curva de força é 1 2 w0a encontramos VB escrevendo VB VA 1 2 w0 a VB 1 2 w0 a Entre B e C a viga não tem força portanto VC VB Em A temos w w0 e de acordo com a Eq 125 a inclinação da curva de força cortante é dVdx w0 enquanto em B a inclinação é dVdx 0 Entre A e B o carrega mento diminui linearmente e o diagrama de força cortante é parabólico Entre B e C w 0 e o diagrama de força cortante é uma linha horizontal Diagrama do momento fletor O momento fletor MA na extremidade livre da viga é zero Calculamos a área sob a curva da força cortante e escrevemos MB MA 1 3 w0 a2 MB 1 3 w0 a2 MC MB 1 2 w0 aL a MC 1 6 w0a3L a O esboço do diagrama de momento fletor é completado lembrando que dMdx V Concluímos que entre A e B o diagrama é representado por uma curva de tercei ro grau com inclinação zero em A e entre B e C por uma linha reta PROBLEMA RESOLVIDO 126 A viga simplesmente apoiada AC é carregada por um momento T aplicado no ponto B Trace os diagramas de força cortante e momento fletor da viga SOLUÇÃO A viga inteira é considerada um corpo livre e obtemos RA T L RC T L A força cortante em qualquer seção é constante e igual a TL Como é aplicado um momento em B o diagrama de momento fletor é descontínuo em B ele é representado por duas linhas retas inclinadas e diminui repentinamente em B por um valor igual a T C B w0 A V M a L 1 w0a2 3 1 w0aL a 2 1 w0a 2 1 w0a2 3 1 w0a3L a 6 w0a x x 1 2 C B A V M T1 L x x T a T L a L T a L Cap12Beerindd 522 Cap12Beerindd 522 03122012 191339 03122012 191339 1229 Usando o método da Seao 123 resolva o Problema 121a 1230 Usando 0 método da Secao 123 resolva o Problema 122a 1231 Usando o método da Secao 123 resolva o Problema 123a 1232 Usando o método da Secao 123 resolva o Problema 124a 1233 Usando 0 método da Segao 123 resolva o Problema 125 1234 Usando o método da Secao 123 resolva o Problema 126 1235 Usando o método da Segao 123 resolva o Problema 127 1236 Usando o método da Secao 123 resolva o Problema 128 1237 até 1240 Trace os diagramas de forga cortante e momento fletor para a viga e 0 carregamento mostrados na figura e determine o valor maximo absoluto a da forga cortante e b do momento fletor 600 Nm 3600 N 8kNm 2kNm 3000 Nm ouTTTT TUL ek 56m 36 06m 45m 06 m Figura P1237 Figura P1238 35 kNm AUT meE F E c 75 on D e B A Cc D 3 KN 300 N 300 N 15 Jos fmt m m 06m 200 mm 200mm 200mm Figura P1239 Figura P1240 1241 Usando 0 método da Secao 123 resolva o Problema 1213 1242 Usando 0 método da Segao 123 resolva o Problema 1214 1243 Usando o método da Secgao 123 resolva o Problema 1215 1244 Usando 0 método da Segao 123 resolva o Problema 1216 523 524 Estática e mecânica dos materiais 1245 e 1246 Determine a as equações das curvas de força cortante e mo mento fletor para a viga e o carregamento mostrados na figura e b o valor máximo absoluto do momento fletor na viga B x w w w0 sen A L ϖ x L w A L B x w w0 cos ϖ x 2L Figura P1245 Figura P1246 1247 Determine a as equações das curvas de força cortante e momento fletor para a viga e o carregamento mostrados na figura e b o valor máximo absoluto do momento fletor na viga B x w w w0 l A L x L Figura P1247 1248 Para a viga e o carregamento mostrados na figura determine as equa ções das curvas de força cortante e momento fletor e o valor máximo absoluto do momento fletor na viga sabendo que a k l e b k 05 1249 e 1250 Trace os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga e o carregamento mostrados e determine a tensão normal máxima provocada pelo momento fletor x w w0 kw0 L C A B 09 m 3 m 12 kNm 9 kN W200 193 A B 16 kNm 1 m 15 m S150 186 Figura P1249 Figura P1250 Figura P1248 Cap12Beerindd 524 Cap12Beerindd 524 03122012 191340 03122012 191340 Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para esta Unidade de Aprendizagem Na Biblioteca Virtual da Instituição você encontra a obra na íntegra