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Arquitetura e Urbanismo ·
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CAP2 2ª Parte item 8 8 Análise estrutural de vigas Esforços Solicitantes Para a análise estrutural das vigas isostáticas será utilizada a 2ª Condição de Equilíbrio da Estática que diz se o sistema estrutural está em equilíbrio qualquer parte do sistema estará também em equilíbrio Considerar a viga biapoiada indicada a seguir com seu esquema estático desenhado em um sistema de coordenadas XY Vista lateral da viga Esquema estático da viga Se for considerado que a viga seja cortada na seção SS e a parte da esquerda da viga seja descartada para que a parte da direita continue estável é necessário introduzir uma força vertical e um momento na condição de forças externas na seção cortada para manter o equilíbrio inicial V Fy2 RB 0 e V ℓ x M Fy2 c 0 Estas duas forças aplicadas na seção serão denominadas Esforço Cortante V e Momento Fletor M caracterizados como os esforços solicitantes na seção Estes esforços estarão em equilíbrio com as tensões internas no material e podem ser definidos também como resultante de tensões normais Momento Fletor e tensões cisalhantes Força Cortante Aplicandose uma lei de distribuição destas tensões na seção podese estabelecer uma relação direta entre as tensões cisalhantes τ e as forças cortantes e entre as tensões normais σ e os momentos fletores levando em conta as características geométricas da seção transversal da viga Este é o objeto principal da resistência dos materiais Na Mecânica das Estruturas o objetivo é a determinação dos esforços solicitante através do equilíbrio de forças nas seções das vigas Os esforços solicitantes nas seções obtêmse repetindo o raciocínio acima estabelecido para qualquer ou todas a seções da viga ΣFyV 0 e ΣM MB 0 V M S S c ℓ x b Fy1 Fy2 RA RB S S Fy2 Fy1 S S RA RB ℓ a c A B Y X x Fy2 O traçado dos Diagramas de Esforço Cortante DEC e do Diagrama de Momento Fletor DMF com os valores em cada seção é o que se denomina Diagrama de Esforços Solicitantes O traçado é feito determinandose os valores em seções críticas da viga e complementandose com os valores interpolados Para cada seção onde se deseja a determinação do esforço solicitante fazse o corte e substituise a parte cortada com os valores do momento fletor e esforço cortante como incógnita Para este procedimento devese adotar a seguinte convenção de sinais tanto para os esforços solicitantes Momentos Fletores e Forças Cortantes como para as reações de apoio Convenções de sinais para reações de apoio Positivos Negativos Convenção de sinais para esforços solicitantes Positivos Negativos 81 Viga biapoiada com carga concentrada Os esforços solicitantes Momentos Fletores M e Força Cortante V na seção genérica S distantes x do ponto A são determinados cortandose a viga na seção S e substituindose a parte cortada por M e V mantendo o equilíbrio da parte restante Isto pode ser feito tanto vindo pela esquerda como pela direita da seção S A Determinação dos Esforços vindo pela esquerda Em primeiro lugar consideramse todas as forças externas determinadas isto é calculamse inicialmente as reações de apoio da viga Em seguida cortando a viga na seção S mantemse a parte da direita da viga e eliminase a parte da esquerda substituindoa por MS e VS para manter o equilíbrio das forças externas remanescentes O cálculo de VS e MS obtémse fazendo o somatório das Forças e Momentos vindos pela esquerda de S conforme mostrado a seguir Considerando que o trecho remanescente da direita está em equilíbrio FV 0 VS P RB 0 como RB P RA temse VS P P RA 0 e então A B P a b x ℓ x S A B P a x b x ℓ x S MS VS RA RB C C VS RA MC 0 MS VSa x RBb 0 Como VS RA RA bℓP e RB aℓP MS RAa x RBb 0 MS RAa RAx RBb 0 MS RAx RAa RBb 0 MS RAx bℓa P aℓPb 0 MS RAx 0 B Determinação dos Esforços vindo pela direita Em primeiro lugar consideramse todas as forças externas determinadas isto é calculamse inicialmente as reações de apoio da viga Em seguida cortando a viga na seção S mantemse a parte da esquerda da viga e eliminase a parte da direita substituindoa por MS e VS para manter o equilíbrio das forças externas remanescentes Obedecer a convenção de sinais positivos para as forças VS e momentos MS FV 0 VS RA 0 ou seja MC 0 MS RAx 0 Ou seja os valores de VS e MS na seção S são os mesmos tanto faz o equilíbrio da parte remanescente da esquerda como da direita observada a convenção de sinais indicada inicialmente A B P a x b x ℓ x S MS VS RA RB MS RAx C VS RA MS RAx C Interpretação física do Esforço Cortante e Momento Fletor O esforço cortante positivo indica um corte para cima à esquerda da seção S e para baixo à direita Para o cortante negativo ocorrendo o contrário No caso da viga biapoiada submetida a cargas para baixo verificar as zonas de esforço cortante positivo e negativo no esquema abaixo O momento fletor positivo significa compressão na fibra mais superior da seção e tração na mais inferior Para a viga biapoiada submetida a cargas para baixo observar que as seções se aproximam comprimem na parte mais superior e se afastam tracionam na parte mais inferior O momento fletor negativo ocorrendo com compressão na parte mais inferior da seção e tração na parte mais superior da seção S Para a viga em balanço com cargas para baixo apresentada a seguir observar que as seções se aproximam comprimem na parte inferior e se afastam tracionam na parte superior D Regra Geral para Determinação dos Esforços Solicitantes ESFORÇO CORTANTE Fazse o somatório das forças na seção tanto vindo pela esquerda como pela direita observando a convenção de sinais MOMENTO FLETOR Fazse o somatório de momentos na seção tanto pela esquerda como pela direita observando a convenção de sinais E Aplicação numérica Reações de Apoio RA 203 5 12 kN RB 2025 8kN Esforços Solicitantes no Ponto D Pela esquerda VD RA 12 kN MD RA 15 18 kN Pela direita VD RB20 8 20 12 kN MD 2005 RB35 10 28 18 kNm Esforços Solicitantes no Ponto E pela esquerda VE RA 20 12 20 8 kN ME RA4 202 124 40 8 kNm Esforços Solicitantes no Ponto C ponto de aplicação da Força P Pela esquerda Cortante à esquerda do Ponto C VCe RA 12 kN Cortante à direita do Ponto C VCd RA 20 12 20 8 kN Momento Fletor no ponto C MC RA 2 12 2 24 kNm Cortante à esquerda do ponto C pela direita VCe 82012kN A B RA RB 20 kN D E C 20 m 30 m 15 m 10 m 50 m D MD VD A B RA A B RB 20 D VD MD F Definição dos Diagramas de Esforço Cortante DEC e de Momento Fletor DMF OBSERVAÇÕES IMPORTANTES PARA O TRAÇADO DO DEC 1 Nos trechos com carga zero o Cortante é constante 2 No ponto de aplicação da carga concentrada ocorre uma descontinuidade no DEC Um valor à esquerda e um valor à direita 3 O valor da descontinuidade é o valor da carga concentrada 4 Nos apoios o Cortante é igual ao valor das reações de apoio OBSERVAÇÕES IMPORTANTES PARA O TRAÇADO DO DMF 1 Nos trechos de carga nula o DMF é linear reta inclinada 2 Na viga biapoiada o Momento Fletor é nulo nos apoios A e B 3 No ponto de aplicação da carga concentrada o DMF faz um bico 4 No ponto onde o DEC é nulo ou onde o DEC corta o eixo dos x o valor do Momento Fletor é máximo DEC A B 12 12 8 8 20 24 A B C C DMF 82 Viga biapoiada com várias cargas concentradas Reações RA Pb ℓ 12 40 6 15 20 6 80 50 130 kN RB Pa ℓ 12 20 6 15 40 6 40 10 140 kN A B 12 kN 15 kN 60 m 20 m 20 m RA RB 13 13 1 1 14 14 DEC kN 0 26 28 0 DMF kNm 83 Viga biapoiada com carga distribuída em todo o vão Reações RA RB q ℓ 2 5 x 40 2 10 kN Cortante no ponto C 10 5 x 10 50 kN Cortante no ponto D meio vão 10 5 x 20 00 kN Cortante no ponto E 10 5 x 30 50 kN Momento Fletor em A MA 00 kNm rótula Momento Fletor em C MC 10 x 10 5 x 10 x 102 75 kNm Momento Fletor em D MD 10 x 20 5 x 20 x 20 2 100 kNm Momento Fletor em E ME 10 x 30 5 x 30 x 302 75 kNm Momento Fletor em B MB 00 kNm rótula 40m q 5 kNm A B C D 10m 20m RA RB DEC kN DMF kNm kNm 10 10 5 5 75 10 0 75 E 10m 84 Viga biapoiada com carga distribuída parcial Reações de apoio Sistema equivalente RA 3 5 x 10 6 kN RA 6 kN RB 2 5 x 10 4 kN RB 4 kN VA RA 6 kN VC VD 6 5x20 4 kN VB DECkN MA 0 MB 0 MC 6x10 6 kNm MD 6x30 5x20x20x05 8 kNm Mmax ocorre onde V 0 V 0 RA 5xω 0 ω 65 12 m Assim Mmax RA x 1012 5x12x12x05 96 kNm Mmax 96 kNm A C D B 500 m 100 m 200 m 200 m 5 kNm RA RB 500 20 30 5 x 2 10 kN 6 6 6 4 4 6 8 Mmax 85 Viga em balanço com carga concentrada Reações ΣFV 0 RA 10 0 RA 10 kN ΣMB 0 MA RA x 20 0 MA 10 x 20 MRA 20 kNm DEC kN MA 20 kNm MB 0 DMF kNm 20 m B A MA RA 10 kN A B 20 A B 86 Viga em balanço com carga concentrada 87 Viga em balanço com carga distribuída 88 Viga biapoiada com balanço e carga concentrada 89 Viga biapoiada com dois balanços e carga concentrada 810 Viga biapoiada com dois balanços e carga distribuída
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CAP2 2ª Parte item 8 8 Análise estrutural de vigas Esforços Solicitantes Para a análise estrutural das vigas isostáticas será utilizada a 2ª Condição de Equilíbrio da Estática que diz se o sistema estrutural está em equilíbrio qualquer parte do sistema estará também em equilíbrio Considerar a viga biapoiada indicada a seguir com seu esquema estático desenhado em um sistema de coordenadas XY Vista lateral da viga Esquema estático da viga Se for considerado que a viga seja cortada na seção SS e a parte da esquerda da viga seja descartada para que a parte da direita continue estável é necessário introduzir uma força vertical e um momento na condição de forças externas na seção cortada para manter o equilíbrio inicial V Fy2 RB 0 e V ℓ x M Fy2 c 0 Estas duas forças aplicadas na seção serão denominadas Esforço Cortante V e Momento Fletor M caracterizados como os esforços solicitantes na seção Estes esforços estarão em equilíbrio com as tensões internas no material e podem ser definidos também como resultante de tensões normais Momento Fletor e tensões cisalhantes Força Cortante Aplicandose uma lei de distribuição destas tensões na seção podese estabelecer uma relação direta entre as tensões cisalhantes τ e as forças cortantes e entre as tensões normais σ e os momentos fletores levando em conta as características geométricas da seção transversal da viga Este é o objeto principal da resistência dos materiais Na Mecânica das Estruturas o objetivo é a determinação dos esforços solicitante através do equilíbrio de forças nas seções das vigas Os esforços solicitantes nas seções obtêmse repetindo o raciocínio acima estabelecido para qualquer ou todas a seções da viga ΣFyV 0 e ΣM MB 0 V M S S c ℓ x b Fy1 Fy2 RA RB S S Fy2 Fy1 S S RA RB ℓ a c A B Y X x Fy2 O traçado dos Diagramas de Esforço Cortante DEC e do Diagrama de Momento Fletor DMF com os valores em cada seção é o que se denomina Diagrama de Esforços Solicitantes O traçado é feito determinandose os valores em seções críticas da viga e complementandose com os valores interpolados Para cada seção onde se deseja a determinação do esforço solicitante fazse o corte e substituise a parte cortada com os valores do momento fletor e esforço cortante como incógnita Para este procedimento devese adotar a seguinte convenção de sinais tanto para os esforços solicitantes Momentos Fletores e Forças Cortantes como para as reações de apoio Convenções de sinais para reações de apoio Positivos Negativos Convenção de sinais para esforços solicitantes Positivos Negativos 81 Viga biapoiada com carga concentrada Os esforços solicitantes Momentos Fletores M e Força Cortante V na seção genérica S distantes x do ponto A são determinados cortandose a viga na seção S e substituindose a parte cortada por M e V mantendo o equilíbrio da parte restante Isto pode ser feito tanto vindo pela esquerda como pela direita da seção S A Determinação dos Esforços vindo pela esquerda Em primeiro lugar consideramse todas as forças externas determinadas isto é calculamse inicialmente as reações de apoio da viga Em seguida cortando a viga na seção S mantemse a parte da direita da viga e eliminase a parte da esquerda substituindoa por MS e VS para manter o equilíbrio das forças externas remanescentes O cálculo de VS e MS obtémse fazendo o somatório das Forças e Momentos vindos pela esquerda de S conforme mostrado a seguir Considerando que o trecho remanescente da direita está em equilíbrio FV 0 VS P RB 0 como RB P RA temse VS P P RA 0 e então A B P a b x ℓ x S A B P a x b x ℓ x S MS VS RA RB C C VS RA MC 0 MS VSa x RBb 0 Como VS RA RA bℓP e RB aℓP MS RAa x RBb 0 MS RAa RAx RBb 0 MS RAx RAa RBb 0 MS RAx bℓa P aℓPb 0 MS RAx 0 B Determinação dos Esforços vindo pela direita Em primeiro lugar consideramse todas as forças externas determinadas isto é calculamse inicialmente as reações de apoio da viga Em seguida cortando a viga na seção S mantemse a parte da esquerda da viga e eliminase a parte da direita substituindoa por MS e VS para manter o equilíbrio das forças externas remanescentes Obedecer a convenção de sinais positivos para as forças VS e momentos MS FV 0 VS RA 0 ou seja MC 0 MS RAx 0 Ou seja os valores de VS e MS na seção S são os mesmos tanto faz o equilíbrio da parte remanescente da esquerda como da direita observada a convenção de sinais indicada inicialmente A B P a x b x ℓ x S MS VS RA RB MS RAx C VS RA MS RAx C Interpretação física do Esforço Cortante e Momento Fletor O esforço cortante positivo indica um corte para cima à esquerda da seção S e para baixo à direita Para o cortante negativo ocorrendo o contrário No caso da viga biapoiada submetida a cargas para baixo verificar as zonas de esforço cortante positivo e negativo no esquema abaixo O momento fletor positivo significa compressão na fibra mais superior da seção e tração na mais inferior Para a viga biapoiada submetida a cargas para baixo observar que as seções se aproximam comprimem na parte mais superior e se afastam tracionam na parte mais inferior O momento fletor negativo ocorrendo com compressão na parte mais inferior da seção e tração na parte mais superior da seção S Para a viga em balanço com cargas para baixo apresentada a seguir observar que as seções se aproximam comprimem na parte inferior e se afastam tracionam na parte superior D Regra Geral para Determinação dos Esforços Solicitantes ESFORÇO CORTANTE Fazse o somatório das forças na seção tanto vindo pela esquerda como pela direita observando a convenção de sinais MOMENTO FLETOR Fazse o somatório de momentos na seção tanto pela esquerda como pela direita observando a convenção de sinais E Aplicação numérica Reações de Apoio RA 203 5 12 kN RB 2025 8kN Esforços Solicitantes no Ponto D Pela esquerda VD RA 12 kN MD RA 15 18 kN Pela direita VD RB20 8 20 12 kN MD 2005 RB35 10 28 18 kNm Esforços Solicitantes no Ponto E pela esquerda VE RA 20 12 20 8 kN ME RA4 202 124 40 8 kNm Esforços Solicitantes no Ponto C ponto de aplicação da Força P Pela esquerda Cortante à esquerda do Ponto C VCe RA 12 kN Cortante à direita do Ponto C VCd RA 20 12 20 8 kN Momento Fletor no ponto C MC RA 2 12 2 24 kNm Cortante à esquerda do ponto C pela direita VCe 82012kN A B RA RB 20 kN D E C 20 m 30 m 15 m 10 m 50 m D MD VD A B RA A B RB 20 D VD MD F Definição dos Diagramas de Esforço Cortante DEC e de Momento Fletor DMF OBSERVAÇÕES IMPORTANTES PARA O TRAÇADO DO DEC 1 Nos trechos com carga zero o Cortante é constante 2 No ponto de aplicação da carga concentrada ocorre uma descontinuidade no DEC Um valor à esquerda e um valor à direita 3 O valor da descontinuidade é o valor da carga concentrada 4 Nos apoios o Cortante é igual ao valor das reações de apoio OBSERVAÇÕES IMPORTANTES PARA O TRAÇADO DO DMF 1 Nos trechos de carga nula o DMF é linear reta inclinada 2 Na viga biapoiada o Momento Fletor é nulo nos apoios A e B 3 No ponto de aplicação da carga concentrada o DMF faz um bico 4 No ponto onde o DEC é nulo ou onde o DEC corta o eixo dos x o valor do Momento Fletor é máximo DEC A B 12 12 8 8 20 24 A B C C DMF 82 Viga biapoiada com várias cargas concentradas Reações RA Pb ℓ 12 40 6 15 20 6 80 50 130 kN RB Pa ℓ 12 20 6 15 40 6 40 10 140 kN A B 12 kN 15 kN 60 m 20 m 20 m RA RB 13 13 1 1 14 14 DEC kN 0 26 28 0 DMF kNm 83 Viga biapoiada com carga distribuída em todo o vão Reações RA RB q ℓ 2 5 x 40 2 10 kN Cortante no ponto C 10 5 x 10 50 kN Cortante no ponto D meio vão 10 5 x 20 00 kN Cortante no ponto E 10 5 x 30 50 kN Momento Fletor em A MA 00 kNm rótula Momento Fletor em C MC 10 x 10 5 x 10 x 102 75 kNm Momento Fletor em D MD 10 x 20 5 x 20 x 20 2 100 kNm Momento Fletor em E ME 10 x 30 5 x 30 x 302 75 kNm Momento Fletor em B MB 00 kNm rótula 40m q 5 kNm A B C D 10m 20m RA RB DEC kN DMF kNm kNm 10 10 5 5 75 10 0 75 E 10m 84 Viga biapoiada com carga distribuída parcial Reações de apoio Sistema equivalente RA 3 5 x 10 6 kN RA 6 kN RB 2 5 x 10 4 kN RB 4 kN VA RA 6 kN VC VD 6 5x20 4 kN VB DECkN MA 0 MB 0 MC 6x10 6 kNm MD 6x30 5x20x20x05 8 kNm Mmax ocorre onde V 0 V 0 RA 5xω 0 ω 65 12 m Assim Mmax RA x 1012 5x12x12x05 96 kNm Mmax 96 kNm A C D B 500 m 100 m 200 m 200 m 5 kNm RA RB 500 20 30 5 x 2 10 kN 6 6 6 4 4 6 8 Mmax 85 Viga em balanço com carga concentrada Reações ΣFV 0 RA 10 0 RA 10 kN ΣMB 0 MA RA x 20 0 MA 10 x 20 MRA 20 kNm DEC kN MA 20 kNm MB 0 DMF kNm 20 m B A MA RA 10 kN A B 20 A B 86 Viga em balanço com carga concentrada 87 Viga em balanço com carga distribuída 88 Viga biapoiada com balanço e carga concentrada 89 Viga biapoiada com dois balanços e carga concentrada 810 Viga biapoiada com dois balanços e carga distribuída