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TENSOES TERMICAS Mudancas na temperatura podem provocar alteracdes nas dimensdes de um material Em geral aumento de temperatura gera dilatacado do material enquanto a diminuicao na temperatura gera contracao do material Supondo que o material homogéneo e isotrdépico a modificagdo no comprimento do material pode ser expresso pela seguinte equacao 67 a ATL Onde 6 é a modificacdo algébrica no comprimento do corpo a é coeficiente de dilatagdo térmica depende do material AT a variacao algébrica na temperatura do material L éocomprimento original do corpo Se a mudanca da temperatura varia ao longo do corpo ou se o material varia ao longo do corpo L 6p J AT dx TENSOES TERMICAS OBS S6 existira tensdo onde houver impedimento na modificacao do comprimento do corpo Onde nao ha restricao da deformacao nao existira tensdao Ex 1 Uma barra de aco esta confinada entre dois apoios rigidos quando T1 é de 60F Se a temperatura aumentar para 120F qual sera a tensao térmica normal desenvolvida na barra Considere E 29x10 kippol e a 660x10F Considere a secao transversal com medidas em polegadas Psy B TENSÕES TÉRMICAS Diagrama de corpo livre Equações de equilíbrio 𝐵 Considerando o apoio A como redundante 3 TENSOES TERMICAS Voltando a condicao original da barra Fa q Condicao de compatibilidade OT 6F0 6T6F OT a ATL com AT 120 60 60F 5F a AE FL B a ATL F a ATAE F 66x10 60 050529x10 FA 287 kip g a SO 115 ksi A 0505 TENSÕES TÉRMICAS Ex 2 A barra AB está perfeitamente ajustada nos anteparos fixos quando a temperatura é 25C Determine as tensões atuantes nas partes AC e CB da barra quando a temperatura for 50C Considere E200GPa e 12x106C1 5 TENSÕES TÉRMICAS Reações de apoio 𝐴 Diagramas de corpo livre 1º Trecho 1 6 TENSÕES TÉRMICAS 2º Trecho 2 2 Analisando as equações anteriores 𝐴 1 2 Então 1 2 7 TENSÕES TÉRMICAS Considerando o apoio C como redundante Voltando à condição original da barra 8 TENSOES TERMICAS Condicao de compatibilidade 6T 6Fc 0 Entao OT aATLcom AT 50 425 75C 6T 12x1075060 54x104m Fc 4 P1P2FAF ALEl A2E2 eT EEO 5Fc Fc03 1 Fc03 400106 200109 800 106 200 109 9 TENSOES TERMICAS 5Fe Fc03 1 Fc03 40010200102 8001020010 OFc 562510 Fc 54107 562510 Fc 0 Fc 96103N 10 TENSOES TERMICAS Tensao que atua na parte AC P 96 10 6 Onc A mas P FC d0y4 4001076 24010 Pa ou 240 MPa Tensao que atua na parte CB P 96 10 6 Oca A mas P FC 0c 800106 12010 Pa ou 120 MPa TENSOES TERMICAS Ex 4 A barra rigida abaixo esta presa a parte superior dos trés postes redondos feitos em aco e aluminio Cada poste tem 250 mm de altura quando nao ha nenhuma carga aplicada a barra e a temperatura é de 20C Determine a carga suportada por cada poste se a barra for submetida a uma carga uniformemente distribuida de 150 KNm e a temperatura mudar para 80C Considere 150K Nm 6 o QCaluminio 23x10 Ce E sluminio 0 GPa PL Ey dd dl acy 12x107C E 200 GPa arena sn 40 60 2 46 co i Aluminio of Hs MMM avOrm WDM TENSÕES TÉRMICAS Esquema estático Equações de equilíbrio estático I Condição de compatibilidade II III IV 13 TENSOES TERMICAS Substituindo as equacoes Ill e IV em II 6Ta 6Fa é6Tal é6Fal Sabemos que 6T a ATLedéF Entao 12x1076 60 0250 Fa0250 23x106 600250 Fal 0250 a 126x103200x109 oe 283x103 70x109 180x107 992x1079Fa 354x107 126x10Fal 180x107 354x107 992x107Fa 126x10 Fal 174x107 992x10719 Fa 126x10Fal 14 TENSOES TERMICAS 174x107 992x107 Fa 126x107Fal 992x101Fa 126x10Fal 174x10 Fa 127Fal 175x10 Substituindo em 2x127xFal 175x10 Fal 90x10 254 Fal 350x10 Fal 90x10 254 Fal Fal 90x10 350x10 15 TENSOES TERMICAS 254 Fal Fal 90x10 350x10 354Fal 440x10 Fal 124x10N ow 124KN Logo 2Fa 124 90 2Fa 34 Fa 17KN 16 TENSOES TERMICAS Ex 5 Duas barras circulares uma de cobre e outra de aluminio estado presas as paredes rigidas de modo que ha uma folga de 2 mm entre elas quando a temperatura é de 15C Cada barra tem 30 mm de diametro Determine as tensdes normais nas barras quando a temperatura for de 150C Considere CQ aluminio 24x107C e E sluminio 70 GPa Aobre 17X107C Exons 126 GPa g 20 ALUMINIG A 10Gram J ZOo0rmm i 17 TENSOES TERMICAS Esquema estatico das barras i uFx 0 FAL FCU 0 SS Fa Fly F Condicao de contorno 64 Ocy 2mm 6 OTAL dFCU FLAL 700307 O4 OAT LAL 7 FAL Ag ACy 707x10 4m AT 15015 135C TENSOES TERMICAS Sy a AT LAL a 24x 106 135 2x1072 2x10 are AyEAL 707x104 70x10 64 648x107 404x10 F Sey GATLCU ee 17106 135 1x102 ftdo ee AyECU 707x10 126x10 Oey 230x10 112x107 F Utilizando a condicao de contorno 648x10 404x107 F 230x107 112x107 F 2x1073 648x10 4230x107 2x1073 404x107F112x107 F 112x1073 516x10 F F 217x10 N Como F nao pode ser negativa chegamos a conclusao que a soma dos alongamentos das barras é menor que 2 mm e elas nao se encontram e nao existe tensdes nas barras 19 TENSOES TERMICAS Ex 6 Resolver o exercicio 5 considerando a folga entre as barras de 02 mm Aproveitando os calculos executados na questao anterior 64 648x107 404x10 F Oey 230x10 112x10 F Utilizando a condicao de contorno 648x10 404x107 F 230x107 112x107 F 2x1074 648x1074 230x107 2x107 404x107 F112x107 F 678x10 516x10 F F 131x10 N ou 131 KN 20 TENSOES TERMICAS E as tenses nas barra serao 5 6 O4 a 185x10Pa ou 0185 GPa ou 185 MPa AL CU A 707x1 4 TENSÕES TÉRMICAS Ex 7 Um poste de alumínio é reforçado com um núcleo de latão Se este conjunto suporta uma força axial de compressão de 45 KN aplicada em uma tampa rígida colocada sobre o poste determine a tensão normal que atua no alumínio e no latão O raio do poste de alumínio é de 50mm e do núcleo de latão 25 mm Considere Ealuminio 70 GPa Elatão 105 GPa 22 TENSOES TERMICAS Equac6oes de equilibrio 1 XFy 0FAL FL450 FFL45 Condicdo de compatibilidade Oa 01 Fait f 0mas LAL LL entio A EAL AEL Ay Ea F FL 4 A 1005 100252 0008 0002 0006m A 10025 00002m 23 TENSOES TERMICAS FLAL FLL Ay Ear a 0 FAL FL AEAL AEL 2 G ET 0006 70x10 AL 0002105x109 F 2F Substituindo na equacao de equilibrio 2FFL45F 15KNlogo F 30 KN TENSOES TERMICAS 30x102 AL 0 006 5x10 Paou5 MPa 5x10 75x106Pa ou 75 MP 0 0002 9X aou a
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TENSOES TERMICAS Mudancas na temperatura podem provocar alteracdes nas dimensdes de um material Em geral aumento de temperatura gera dilatacado do material enquanto a diminuicao na temperatura gera contracao do material Supondo que o material homogéneo e isotrdépico a modificagdo no comprimento do material pode ser expresso pela seguinte equacao 67 a ATL Onde 6 é a modificacdo algébrica no comprimento do corpo a é coeficiente de dilatagdo térmica depende do material AT a variacao algébrica na temperatura do material L éocomprimento original do corpo Se a mudanca da temperatura varia ao longo do corpo ou se o material varia ao longo do corpo L 6p J AT dx TENSOES TERMICAS OBS S6 existira tensdo onde houver impedimento na modificacao do comprimento do corpo Onde nao ha restricao da deformacao nao existira tensdao Ex 1 Uma barra de aco esta confinada entre dois apoios rigidos quando T1 é de 60F Se a temperatura aumentar para 120F qual sera a tensao térmica normal desenvolvida na barra Considere E 29x10 kippol e a 660x10F Considere a secao transversal com medidas em polegadas Psy B TENSÕES TÉRMICAS Diagrama de corpo livre Equações de equilíbrio 𝐵 Considerando o apoio A como redundante 3 TENSOES TERMICAS Voltando a condicao original da barra Fa q Condicao de compatibilidade OT 6F0 6T6F OT a ATL com AT 120 60 60F 5F a AE FL B a ATL F a ATAE F 66x10 60 050529x10 FA 287 kip g a SO 115 ksi A 0505 TENSÕES TÉRMICAS Ex 2 A barra AB está perfeitamente ajustada nos anteparos fixos quando a temperatura é 25C Determine as tensões atuantes nas partes AC e CB da barra quando a temperatura for 50C Considere E200GPa e 12x106C1 5 TENSÕES TÉRMICAS Reações de apoio 𝐴 Diagramas de corpo livre 1º Trecho 1 6 TENSÕES TÉRMICAS 2º Trecho 2 2 Analisando as equações anteriores 𝐴 1 2 Então 1 2 7 TENSÕES TÉRMICAS Considerando o apoio C como redundante Voltando à condição original da barra 8 TENSOES TERMICAS Condicao de compatibilidade 6T 6Fc 0 Entao OT aATLcom AT 50 425 75C 6T 12x1075060 54x104m Fc 4 P1P2FAF ALEl A2E2 eT EEO 5Fc Fc03 1 Fc03 400106 200109 800 106 200 109 9 TENSOES TERMICAS 5Fe Fc03 1 Fc03 40010200102 8001020010 OFc 562510 Fc 54107 562510 Fc 0 Fc 96103N 10 TENSOES TERMICAS Tensao que atua na parte AC P 96 10 6 Onc A mas P FC d0y4 4001076 24010 Pa ou 240 MPa Tensao que atua na parte CB P 96 10 6 Oca A mas P FC 0c 800106 12010 Pa ou 120 MPa TENSOES TERMICAS Ex 4 A barra rigida abaixo esta presa a parte superior dos trés postes redondos feitos em aco e aluminio Cada poste tem 250 mm de altura quando nao ha nenhuma carga aplicada a barra e a temperatura é de 20C Determine a carga suportada por cada poste se a barra for submetida a uma carga uniformemente distribuida de 150 KNm e a temperatura mudar para 80C Considere 150K Nm 6 o QCaluminio 23x10 Ce E sluminio 0 GPa PL Ey dd dl acy 12x107C E 200 GPa arena sn 40 60 2 46 co i Aluminio of Hs MMM avOrm WDM TENSÕES TÉRMICAS Esquema estático Equações de equilíbrio estático I Condição de compatibilidade II III IV 13 TENSOES TERMICAS Substituindo as equacoes Ill e IV em II 6Ta 6Fa é6Tal é6Fal Sabemos que 6T a ATLedéF Entao 12x1076 60 0250 Fa0250 23x106 600250 Fal 0250 a 126x103200x109 oe 283x103 70x109 180x107 992x1079Fa 354x107 126x10Fal 180x107 354x107 992x107Fa 126x10 Fal 174x107 992x10719 Fa 126x10Fal 14 TENSOES TERMICAS 174x107 992x107 Fa 126x107Fal 992x101Fa 126x10Fal 174x10 Fa 127Fal 175x10 Substituindo em 2x127xFal 175x10 Fal 90x10 254 Fal 350x10 Fal 90x10 254 Fal Fal 90x10 350x10 15 TENSOES TERMICAS 254 Fal Fal 90x10 350x10 354Fal 440x10 Fal 124x10N ow 124KN Logo 2Fa 124 90 2Fa 34 Fa 17KN 16 TENSOES TERMICAS Ex 5 Duas barras circulares uma de cobre e outra de aluminio estado presas as paredes rigidas de modo que ha uma folga de 2 mm entre elas quando a temperatura é de 15C Cada barra tem 30 mm de diametro Determine as tensdes normais nas barras quando a temperatura for de 150C Considere CQ aluminio 24x107C e E sluminio 70 GPa Aobre 17X107C Exons 126 GPa g 20 ALUMINIG A 10Gram J ZOo0rmm i 17 TENSOES TERMICAS Esquema estatico das barras i uFx 0 FAL FCU 0 SS Fa Fly F Condicao de contorno 64 Ocy 2mm 6 OTAL dFCU FLAL 700307 O4 OAT LAL 7 FAL Ag ACy 707x10 4m AT 15015 135C TENSOES TERMICAS Sy a AT LAL a 24x 106 135 2x1072 2x10 are AyEAL 707x104 70x10 64 648x107 404x10 F Sey GATLCU ee 17106 135 1x102 ftdo ee AyECU 707x10 126x10 Oey 230x10 112x107 F Utilizando a condicao de contorno 648x10 404x107 F 230x107 112x107 F 2x1073 648x10 4230x107 2x1073 404x107F112x107 F 112x1073 516x10 F F 217x10 N Como F nao pode ser negativa chegamos a conclusao que a soma dos alongamentos das barras é menor que 2 mm e elas nao se encontram e nao existe tensdes nas barras 19 TENSOES TERMICAS Ex 6 Resolver o exercicio 5 considerando a folga entre as barras de 02 mm Aproveitando os calculos executados na questao anterior 64 648x107 404x10 F Oey 230x10 112x10 F Utilizando a condicao de contorno 648x10 404x107 F 230x107 112x107 F 2x1074 648x1074 230x107 2x107 404x107 F112x107 F 678x10 516x10 F F 131x10 N 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