Cálculo de Volume de Tanque: Métodos da Bisseção e das Cordas

ATIVIDADE 1 PROGRAMAÇÃO E CÁLCULO NUMÉRICO FASE I Estimativa de volume de um tanque a Use o método da Bisseção e calcule o valor de h juntamente com o erro Intervalo 13 Primeiramente vamos rearranjar a equação do volume 𝑉 𝜋ℎ23𝑅 ℎ 3 3𝑉 𝜋ℎ23𝑅 ℎ 3𝑉 3𝜋ℎ2𝑅 𝜋ℎ3 𝜋ℎ3 3𝜋ℎ2𝑅 3𝑉 0 Substituindo os valores do enunciado 𝜋ℎ3 3𝜋ℎ2 3 3 30 0 𝜋ℎ3 9𝜋ℎ2 90 0 Agora aplicando o método da bisseção para o intervalo de 13 portanto 𝑎 1 𝑒 𝑏 3 Calculando a primeira estimativa 𝑥𝑖 𝑎𝑖 𝑏𝑖 2 𝑥𝑖 1 3 2 2 Substituindo na equação 𝑓𝑎1 𝜋ℎ3 9𝜋ℎ2 90 𝑓1 𝜋13 9𝜋12 90 𝑓1 31416 282743 90 𝑓1 648673 𝑓𝑥1 𝜋ℎ3 9𝜋ℎ2 90 𝑓2 𝜋23 9𝜋22 90 𝑓2 251327 1130973 90 𝑓2 20354 Multiplicando as substituições 𝑓𝑎1 𝑓𝑥1 648673 20354 1320309 Agora levando em conta o sinal do resultado do cálculo de 𝑓𝑎1 𝑓𝑥1 que determina a escolha do próximo valor de a e b as próximas estimativas foram calculadas utilizando o Excel levando em consideração o que o professor mencionou em aula de que o erro sempre se inicia em 50 e cai pela metade a cada nova iteração a partir disto chegouse a seguinte tabela Sendo assim para erro percentual menor que 1 temos 𝒙𝒊 𝒉𝟔 𝟐 𝟎𝟏𝟓𝟔 𝟎 𝟎𝟎𝟕𝟖𝟏𝟐𝟓 𝟎 𝟕𝟖 𝟏 b Use o método das Cordas e calcule o valor de h juntamente com o erro Intervalo 13 Partindo da mesma equação já rearranjada na letra anterior 𝜋ℎ3 9𝜋ℎ2 90 0 Agora aplicando o método das cordas para o mesmo intervalo de 13 portanto 𝑎 1 𝑒 𝑏 3 Calculouse o 𝑓𝑎 𝑒 𝑓𝑏 𝑓𝑎0 𝜋ℎ3 9𝜋ℎ2 90 𝑓1 𝜋13 9𝜋12 90 𝑓1 31416 282743 90 𝑓1 648673 𝑓𝑏0 𝜋ℎ3 9𝜋ℎ2 90 𝑓3 𝜋33 9𝜋32 90 𝑓3 848230 2544690 90 𝑓3 79646 i a b xiab2 erro erro fa fxi fafxi 0 1 3 20000 05000 500000 6486726 203541 13203119 1 20000 3 25000 025 2500 203541 3762720 7658662 2 20000 25 22500 0125 1250 203541 1735411 3532266 3 20000 225 21250 00625 625 203541 753050 1532762 4 20000 2125 20625 003125 313 203541 271303 552212 5 20000 20625 20313 0015625 156 203541 032990 067147 6 20000 203125 20156 00078125 078 203541 085502 174031 Calculando o 𝑥𝑖 𝑥𝑖 𝑎 𝑓𝑎 𝑓𝑏 𝑓𝑎 𝑏 𝑎 𝑥0 1 648673 79646 6486733 1 𝑥0 1 08977 18977 Tendo posse do valor de 𝑥𝑖 calculouse o 𝑓𝑥𝑖 𝑓𝑥𝑖 𝜋ℎ3 9𝜋ℎ2 90 𝑓18977 𝜋189773 9𝜋189772 90 𝑓18977 2147 1018234 90 𝑓18977 96466 Multiplicando as substituições 𝑓𝑎1 𝑓𝑥1 648673 96466 6257489 Agora levando em conta o sinal do resultado do cálculo de 𝑓𝑎1 𝑓𝑥1 que determina a escolha do próximo valor de a e b a próxima estimativa foi calculada utilizando o Excel A partir disto foi possível calcular o erro 𝐸𝑟𝑟𝑜 𝑥𝑖1 𝑥𝑖 𝑥𝑖 𝐸𝑟𝑟𝑜 20168 18977 18977 𝐸𝑟𝑟𝑜 00627 A continuidade dos cálculos está na tabela a seguir i a b fa fb xi fxi fafxi 0 1 3 648673 796460 18977 96441 6255882 1 18977 3 96441 796460 20168 07669 73962 i a b fa fb xi fxi Erro Erro fafxi 0 1 3 648673 796460 18977 96441 6255882 1 18977 3 96441 796460 20168 07669 00627 62735 73962 2 20168 3 07669 796460 20262 00561 00046 04650 00431 Sendo assim para erro percentual menor que 1 temos 𝒙𝒊 𝒉𝟐 𝟐 𝟎𝟐𝟔𝟐 𝟎 𝟎𝟎𝟒𝟔 𝟎 𝟒𝟔𝟓𝟎 𝟏 c Use o método de NewtonRaphson e calcule o valor de h juntamente com o erro 𝑥0 1 Partindo da mesma equação já rearranjada na letra anterior agora aplicando o método de NewtonRaphson para 𝑥0 1 𝑓ℎ 𝜋ℎ3 9𝜋ℎ2 90 Derivando 𝑓ℎ 𝑓ℎ 3𝜋ℎ2 18𝜋ℎ Calculouse o 𝑓𝑥𝑖 𝑒 𝑓𝑥𝑖 𝑓𝑥𝑖 𝜋ℎ3 9𝜋ℎ2 90 𝑓1 𝜋13 9𝜋12 90 𝑓1 31416 282743 90 𝑓1 648673 𝑓𝑥𝑖 3𝜋ℎ2 18𝜋ℎ 𝑓1 3𝜋12 18𝜋1 𝑓1 94248 565487 𝑓1 471239 Substituindo 𝑥𝑖1 𝑥𝑖 𝑓𝑥𝑖 𝑓𝑥𝑖 𝑥1 𝑥0 𝑓𝑥0 𝑓𝑥0 𝑥1 1 648673 471239 𝑥1 23765 Já sendo possível calcular o erro 𝐸𝑟𝑟𝑜 𝑥1 𝑥0 𝑥0 𝐸𝑟𝑟𝑜 23765 1 1 13765 A continuidade dos cálculos está na tabela a seguir Sendo assim para erro percentual menor que 1 temos 𝒙𝒊 𝒉𝟑 𝟐 𝟎𝟐𝟔𝟗 𝟎 𝟎𝟎𝟓𝟏 𝟎 𝟓𝟏𝟒𝟗 𝟏 FASE II determinação de forças de um sistema Uma bomba peristáltica produz um escoamento unitário 𝑄 100 𝐿𝑠 de um fluido altamente viscoso a rede está descrita na Figura 2 Primeiramente reorganizando as equações temse 2𝑄2 𝑄3 2𝑄4 0 2𝑄4 𝑄5 2𝑄6 0 2𝑄6 3𝑄7 0 𝑄2 𝑄3 100 𝑄3 𝑄4 𝑄5 0 𝑄5 𝑄6 𝑄7 0 Organizando as equações com todas as incógnitas i x fxi fxi xi Erro Erro 1 10000 648673 471239 23765 13765 13765 2 23765 275225 811594 20374 01427 1427 3 20374 07983 760902 20269 00051 05149 2𝑄2 1𝑄3 2𝑄4 0𝑄5 0𝑄6 0𝑄7 0 0𝑄2 0𝑄3 2𝑄4 1𝑄5 2𝑄6 0𝑄7 0 0𝑄2 0𝑄3 0𝑄4 0𝑄5 2𝑄6 3𝑄7 0 1𝑄2 1𝑄3 0𝑄4 0𝑄5 0𝑄6 0𝑄7 100 0𝑄2 1𝑄3 1𝑄4 1𝑄5 0𝑄6 0𝑄7 0 0𝑄2 0𝑄3 0𝑄4 1𝑄5 1𝑄6 1𝑄7 0 Montando a matriz 6x6 e rearranjando as linhas para aplicar o escalonamento Gauss 2 1 2 0 0 2 0 0 0 0 0 0 1 2 0 0 2 3 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 100 0 0 2 1 2 0 1 1 0 0 2 0 0 0 1 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0 100 Para zerar a linha 6 coluna 1 fezse 𝑚𝐿6 1 2 𝐿6 𝐿6 1 2 𝐿1 𝐿6 1 1 2 2 0 𝐿6 1 1 2 1 3 2 𝐿6 0 1 2 2 1 𝐿6 0 1 2 0 0 𝐿6 0 1 2 0 0 𝐿6 0 1 2 0 0 𝐿6 100 1 2 0 100 2 1 2 0 1 1 0 0 2 0 0 0 1 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 32 1 1 1 1 0 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0 100 Agora para zerar linha 6 coluna 2 fezse 𝑚𝐿6 3 2 1 3 2 𝐿6 𝐿6 3 2 𝐿2 𝐿6 3 2 3 2 1 0 𝐿6 1 3 2 1 5 2 𝐿6 0 3 2 1 3 2 𝐿6 0 3 2 0 0 𝐿6 0 3 2 0 0 𝐿6 100 3 2 0 100 2 1 2 0 1 1 0 0 2 0 0 0 1 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 52 1 1 1 0 2 3 32 0 0 0 0 0 0 0 100 Para zerar linha 6 coluna 3 fezse 𝑚𝐿6 5 2 2 5 2 1 2 5 4 𝐿6 𝐿6 5 4 𝐿3 𝐿6 5 2 5 4 2 0 𝐿6 3 2 5 4 1 11 4 𝐿6 0 5 4 2 5 2 𝐿6 5 2 5 4 2 0 𝐿6 100 5 4 0 100 2 1 2 0 1 1 0 0 2 0 0 0 1 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 2 3 114 52 0 0 0 0 0 0 100 Para zerar linha 6 coluna 4 fezse 𝑚𝐿6 11 4 1 11 4 𝐿6 𝐿6 11 4 𝐿4 𝐿6 11 4 11 4 1 0 𝐿6 5 2 11 4 1 21 4 𝐿6 0 11 4 1 11 4 𝐿6 100 11 4 0 100 2 1 2 0 1 1 0 0 2 0 0 0 1 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 2 3 0 214 114 0 0 0 0 0 100 Para zerar linha 6 coluna 5 fezse 𝑚𝐿6 21 4 2 21 4 2 1 21 8 𝐿6 𝐿6 21 8 𝐿5 𝐿6 21 4 21 8 2 0 𝐿6 11 4 21 8 3 85 8 𝐿6 100 21 8 0 100 2 1 2 0 1 1 0 0 2 0 0 0 1 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 2 3 0 0 858 0 0 0 0 0 100 2 1 2 0 1 1 0 0 2 0 0 0 1 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 2 3 0 0 858 0 0 0 0 0 100 Sendo assim chegou no seguinte sistema 2𝑄2 1𝑄3 2𝑄4 0 1𝑄3 1𝑄4 1𝑄5 0 2𝑄4 1𝑄5 2𝑄6 0 1𝑄5 1𝑄6 1𝑄7 0 2𝑄6 3𝑄7 0 85 8 𝑄7 100 Substituindo 85 8 𝑄7 100 𝑸𝟕 100 85 8 100 1 8 85 𝟗𝟒𝟏𝟏𝟖𝑳 𝒔 2𝑄6 3𝑄7 0 2𝑸𝟔 3 94118 0 282354 2 𝟏𝟒𝟏𝟏𝟕𝟕𝑳 𝒔 1𝑄5 1𝑄6 1𝑄7 0 𝑸𝟓 94118 141177 𝟐𝟑𝟓𝟐𝟗𝟓𝑳 𝟐 2𝑄4 1𝑄5 2𝑄6 0 2𝑸𝟒 235295 282354 517649 2 𝟐𝟓𝟖𝟖𝟐𝟒𝑳 𝒔 1𝑄3 1𝑄4 1𝑄5 0 𝑸𝟑 258824 235295 𝟒𝟗𝟒𝟏𝟏𝟗 𝑳 𝒔 2𝑄2 1𝑄3 2𝑄4 0 2𝑸𝟐 494119 517648 1011767 2 𝟓𝟎𝟓𝟖𝟖𝟑𝑳 𝒔