Matemática

CONTEÚDOS DE REFERÊNCIA E PESQUISA Para explorar e construir um embasamento teórico sólido pesquise em Jogo Torre de Hanói Disponível em httpclubesobmeporgbrblogtorredehanoiAcesso em 26 maio2021 Unidade 3 Conjunto dos Números Racionais Unidade 5 Potências e raízes Vá além A Biblioteca Virtual tem uma infinidade de obras interessantes sobre o assunto IMAGEM REPRESENTATIVA Fonte http4bpblogspotcommRvfxWpj8EUblE33Ir2zlAAAAAAAAAC0MOLpi6zdZPe0s1600torredehaniijpg Acesso em 20 mar 2021 CONTEXTUALIZAÇÃO A torre de Hanói foi inventada por Edouard Lucas em 1883 e há uma história sobre a Torre imaginada pelo próprio Lucas No começo dos tempos Deus criou a Torre de Brahma que contém três pinos de diamante e colocou no primeiro pino 64 discos de ouro maciço Deus então chamou seus sacerdotes e ordenoulhes que transferissem todos os discos para o terceiro pino seguindo certas regras Os sacerdotes então obedeceram e começaram o seu trabalho dia e noite Quando eles terminassem a Torre de Brahma iria ruir e o mundo acabaria Esse é um dos quebracabeças matemáticos mais populares que consiste de n discos com um furo em seu centro e de tamanhos diferentes e de uma base com três pinos na posição vertical onde são colocados os discos O jogo mais simples é construído de três pinos mas a quantidade pode variar deixando o jogo mais difícil à medida que o número de discos aumenta Os discos formam uma torre onde todos são colocados em dos pinos em ordem decrescente de tamanho O objetivo do quebracabeça é transferir toda a torre de discos para um dos outros pinos que estão inicialmente vazios de modo que cada movimento é feito somente com um disco nunca havendo um disco maior sobre um disco menor como mostra a figura abaixo Disponível em httpsdownloadinepgovbreducacaosuperiorenadeprovas201434matematicalicenciaturapdf Acesso em 20 mar2021 PROPOSTA DA ATIVIDADE Após explorar os conteúdos de referência elabore um texto dissertativo Introdução desenvolvimento e conclusão buscando respaldo teórico em estudiosos que abordem os seguintes aspectos Características do jogo como suas regras Descreva quantos movimentos mínimos serão realizados com 3 4 5 6 e 7 discos Pesquise e descreva a fórmula para o número mínimo de movimentos necessários para resolver a Torre de Hanói com n discos Relacione a fórmula com o conteúdo abordado no livro didático isto é com a teoria O texto deverá conter cabeçalho informando o nome do curso disciplina tutor e o nome do aluno Deverá ter no mínimo uma lauda e no máximo três laudas Curso Disciplina Tutor Aluno A TORRE DE HANÓI UMA ABORDAGEM TEÓRICA E MATEMÁTICA O quebracabeça da Torre de Hanói inventado em 1883 pelo matemático francês Édouard Lucas tornouse um exemplo clássico na análise de algoritmos e nas estruturas matemáticas discretas O quebracabeça consiste em n discos de tamanhos diferentes empilhados em três hastes verticais de forma que nenhum disco fique sobre um disco menor Watanabe 2004 Um movimento permitido é retirar o disco do topo de uma das hastes e movêlo para uma das outras hastes desde que não seja colocado sobre um disco menor O conjunto de estados do quebracabeça juntamente com os movimentos permitidos forma assim de maneira natural um grafo Ferrero 1991 A principal questão de interesse é encontrar os caminhos mais curtos no grafo de estados ou seja as sequências mais curtas de movimentos que levam de um estado inicial dado a um estado final determinado O caso mais simples e mais conhecido é aquele em que se exige mover todos os discos de uma das hastes para outra ou seja onde os estados inicial e final são dois dos três estados perfeitos com todos os discos na mesma haste Esse caso é muito simples e podese demonstrar que exige exatamente 2𝑛 1 movimentos Mais difícil é partir de um estado inicial arbitrário até um dos estados perfeitos Watanabe 2004 A busca pelo caminho mais curto entre dois estados quaisquer no desafio da Torre de Hanói continua sendo uma questão complexa e ainda não totalmente resolvida Sabese que em situações mais difíceis o número de movimentos exigidos pode atingir o mesmo valor necessário para transferir todos os discos de uma haste para outra No entanto quando os estados inicial e final são escolhidos de forma aleatória a média de movimentos tende a ser menor embora ainda considerável Gonçalves 2007 Um dos principais obstáculos para resolver esse problema está em entender o comportamento do maior disco que aparece posicionado de forma diferente entre o estado de partida e o de chegada Os discos maiores que ele geralmente não influencia no resultado e podem ser ignorados Dante 2011 O desafio é decidir se esse disco deve ser movido diretamente da haste de origem para a de destino ou se será mais vantajoso transferilo em duas etapas utilizando uma haste auxiliar Depois de decidir qual dessas alternativas é a mais eficiente é possível construir o restante do caminho utilizando estratégias já conhecidas para organizar os discos em uma única haste Com essa abordagem tornase viável determinar a sequência mais curta de movimentos possíveis entre qualquer configuração inicial e final no jogo da Torre de Hanói Gonçalves 2007 Do ponto de vista matemático o número mínimo de movimentos necessários para completar o jogo com n discos é dado pela fórmula 𝑀𝑛 2𝑛 1 Essa expressão é uma função exponencial onde cada novo disco adicionado duplica o número de movimentos do caso anterior mais um Isso demonstra uma relação com a progressão geométrica de razão 2 tema recorrente em conteúdos didáticos de matemática Abaixo apresentamos a aplicação da fórmula para diferentes valores de n 𝑀3 23 1 8 1 7 𝑀4 24 1 16 1 15 𝑀5 25 1 32 1 31 𝑀6 26 1 64 1 63 𝑀7 27 1 128 1 127 A Torre de Hanói é mais que um jogo recreativo tratase de um recurso didático eficaz para o desenvolvimento do raciocínio lógico e da compreensão de funções matemáticas Sua estrutura baseada em regras simples e desafiadoras proporciona aos estudantes a oportunidade de explorar padrões criar estratégias e aplicar conceitos abstratos em uma atividade concreta Portanto o uso da Torre de Hanói em contextos educativos favorece uma aprendizagem significativa colaborando para a construção de conhecimentos sólidos e duradouros REFERÊNCIAS DANTE L R Matemática contexto e aplicações 1 ed São Paulo Ática 2011 v 1 p 70109 FERRERO L El juego y la matemática Madrid La Muralla 1991 GONÇALVES Alex O A Torre de Hanói em Sala de Aula Revista do Professor de Matemática nº63 p 1618 São Paulo 2007 WATANABE R Uma lenda Torre de Hanói In Druck S org Explorando o ensino da Matemática atividades v2 Brasília Ministério da Educação Secretaria de Educação Básica 2004 p 132135