Geometria Analítica - Versão Digital

ACESSE AQUI O SEU LIVRO NA VERSÃO DIGITAL PROFESSOR Me Alexandre Shuji Suguimoto Geometria Analítica NEAD Núcleo de Educação a Distância Av Guedner 1610 Bloco 4 Jd Aclimação Cep 87050900 Maringá Paraná wwwunicesumaredubr 0800 600 6360 DIREÇÃO UNICESUMAR NEAD NÚCLEO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Diretoria Executiva Chrystiano Mincoff James Prestes Tiago Stachon Diretoria de Graduação e Pósgraduação Kátia Coelho Diretoria de Cursos Híbridos Fabricio Ricardo Lazilha Diretoria de Permanência Leonardo Spaine Diretoria de Design Educacional Paula Renata dos Santos Ferreira Head de Graduação Marcia de Souza Head de Metodologias Ativas Thuinie Medeiros Vilela Daros Head de Tecnologia e Planejamento Educacional Tania C Yoshie Fukushima Gerência de Planejamento e Design Educacional Jislaine Cristina da Silva Gerência de Tecnologia Educacional Marcio Alexandre Wecker Gerência de Produção Digital Diogo Ribeiro Garcia Gerência de Projetos Especiais Edison Rodrigo Valim Supervisora de Produção Digital Daniele Correia Reitor Wilson de Matos Silva ViceReitor Wilson de Matos Silva Filho PróReitor de Administração Wilson de Matos Silva Filho PróReitor Executivo de EAD William Victor Kendrick de Matos Silva PróReitor de Ensino de EAD Janes Fidélis Tomelin Presidente da Mantenedora Cláudio Ferdinandi EXPEDIENTE C397 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE MARINGÁ Núcleo de Educação a Distância SUGUIMOTO Alexandre Shuji Geometria Analítica Alexandre Shuji Suguimoto Maringá PR Unicesumar 2021 Reimpresso em 2023 292 p ISBN 9786556156958 Graduação EaD 1 Geometria 2 Analítica 3 EaD I Título CDD 22 ed 519 Impresso por Bibliotecário João Vivaldo de Souza CRB 91679 Coordenadora de Conteúdo Antoneli da Silva Ramos Projeto Gráfico e Capa André Morais Arthur Cantareli e Matheus Silva Editoração Juliana Duenha Design Educacional Lucio Ferrarese Curadoria Luana Brutscher Revisão Textual Cindy Mayumi Okamoto Luca Ilustração Eduardo Alves Fotos Shutterstock FICHA CATALOGRÁFICA AVALIE ESTE LIVRO CRIAR MOMENTOS DE APRENDIZAGENS INESQUECÍVEIS É O NOSSO OBJETIVO E POR ISSO GOSTARÍAMOS DE SABER COMO FOI SUA EXPERIÊNCIA Conta para nós leva menos de 2 minutos Vamos lá DIGITE O CÓDIGO 02511163 RESPONDA A PESQUISA Alexandre Shuji Suguimoto Sou Alexandre Suguimoto Tenho licenciatura em Ma temática pela Universidade Estadual de Maringá UEM grau adquirido em 2003 Sou especialista em Métodos e Técnicas de Ensino pela Universidade Tecnológica Fede ral do Paraná UTFPR título obtido em 2012 e mestre em Matemática PROFMAT pela Universidade Estadual de Maringá UEM cuja finalização se deu em 2013 Atuei como professor de Matemática da 5a a 8a série na rede municipal de ensino de Maringá de 2005 até 2012 No entanto desde 2005 atuo como professor de Matemática da rede estadual de ensino do Paraná Durante a minha graduação participei do Programa de Iniciação Científica PIC e desenvolvi um estudo na área de topologia Posteriormente enquanto bolsista participei do Programa de Institucional de Bolsas de Ini ciação Científica PIBIC e realizei um projeto de pesquisa na área de análise Finalizei os meus estudos mediante a demonstração do Teorema de Picard Também faço parte de um grupo de professores vo luntários que atuam como mediadores no Curso do Geo Gebra um programa coordenado pelo professor Sérgio Dantas da Universidade Estadual do Paraná UNESPAR que visa fomentar reflexões sobre o uso do GeoGebra em situações de ensino e aprendizagem O curso é voltado aos discentes da graduação pósgraduandos e professores de Matemática do Brasil da América do Sul e de Portugal Ingressei na Unicesumar em julho de 2014 e lecionei as seguintes disciplinas Geometria Analítica Álgebra Li near Cálculo I e Análise da Reta Na Matemática uma das minhas paixões é a área de análise Já na tecnologia tenho interesse em robótica arduino e softwares educa tivos tais como GeoGebra Scracth e Classroom httplattescnpqbr4340960500722471 Caroa alunoa você já observou as formas geométricas que estão ao nosso redor incluindo as arquiteturas das construções a natureza os cosmos e as formas planas Há uma infinidade de coisas bonitas e belas Concorda Entretanto e a matemática onde ela aparece nessa história Afinal a matemática não representa basicamente números e cálculos Apolônio de Perga matemático e astrônomo grego da Escola de Alexandria conheci do como o Grande Geômetra é considerado um dos mais importantes matemáticos da Antiguidade e dedicou parte do tempo da vida aos estudos relacionados à geometria deixando grandes trabalhos sobre as curvas cônicas As teorias de Perga permitiram que estudiosos da época descrevessem as trajetórias dos planetas por meio das cur vas denominadas ciclos e epiciclos modelos adotados pelos astrônomos da época Podemos dizer é nesse momento que a Geometria Analítica se inicia Observe o seu redor Analise as formas geométricas incluindo triângulos retân gulos quadriláteros e polígonos as curvas planas as formas espaciais e os corpos redondos Depois perceba que as formas geométricas fazem parte da nossa vida Há muita coisa bonita não acha Prezadoa alunoa vamos pensar um pouco Qual é o formato dos seus olhos Qual é a trajetória de uma pedra quando a lançamos obliquamente Qual é o formato dos planetas Qual é a forma dos frutos Como é formada uma colmeia de abelhas Qual é o formato flores Qual é o formato das antenas O formato dos faróis Perceba que ao imitar a natureza o ser humano conseguiu estabelecer formas geométricas belas e úteis para fazer construções desde as pirâmides do Egito até os prédios e casas Portanto é perceptível que a quantidade de formas geométricas tanto plana quanto espacial é numerosa e além de belas têm inúmeras aplicações GEOMETRIA ANALÍTICA As formas geométricas ao nosso redor são quase incontáveis mas muitas carregam certas semelhanças características ou propriedades interessantes ficando a cargo da disciplina de Geometria Analítica definir e sistematizar essas formas Assim apresenta remos o conceito de vetores que possibilitará um estudo detalhado das retas e dos pla nos na terceira dimensão Na sequência conheceremos as principais curvas no plano circunferência elipse parábola e hipérbole e finalizaremos com a sistematização da terceira dimensão das superfícies arredondadas denominadas superfícies quádricas Os conteúdos que abordaremos neste material são de extrema importância às ciên cias exatas As curvas elípticas descrevem as trajetórias dos planetas enquanto as curvas parabólicas representam as trajetórias dos projéteis lançados no espaço Por fim as superfícies redondas estão presentes nas engenharias a fim de melhorar a performance aerodinâmica ou proporcionar um melhor apoio na arquitetura devido à estética Diante do exposto você se sente preparadoa Quais são as dificuldades que você considera menos familiares diante do seu histórico de conhecimento e das interações profissionais Enquanto alunoa qual resgate você consegue fazer Você já tinha pen sado no quanto essas questões se relacionam e no quanto elas estão presentes em seu futuro cotidiano de trabalho Você se sente dispostoa a discutir problemas que em um primeiro momento podem parecer não ter significado diante do seu contexto Acredita que conseguirá manter a objetividade caso as situações sejam muito parecidas com algumas viven ciadas por você ou alguma pessoa próxima Além de conhecer você está dispostoa a promover a transformação em qualquer cenário Quando identificar o ícone de QRCODE utilize o aplicativo Unicesumar Experience para ter acesso aos conteúdos online O download do aplicativo está disponível nas plataformas Google Play App Store Ao longo do livro você será convida doa a refletir questionar e trans formar Aproveite este momento PENSANDO JUNTOS NOVAS DESCOBERTAS Enquanto estuda você pode aces sar conteúdos online que amplia ram a discussão sobre os assuntos de maneira interativa usando a tec nologia a seu favor Sempre que encontrar esse ícone esteja conectado à internet e inicie o aplicativo Unicesumar Experien ce Aproxime seu dispositivo móvel da página indicada e veja os recur sos em Realidade Aumentada Ex plore as ferramentas do App para saber das possibilidades de intera ção de cada objeto REALIDADE AUMENTADA Uma dose extra de conhecimento é sempre bemvinda Posicionando seu leitor de QRCode sobre o códi go você terá acesso aos vídeos que complementam o assunto discutido PÍLULA DE APRENDIZAGEM OLHAR CONCEITUAL Neste elemento você encontrará di versas informações que serão apre sentadas na forma de infográficos esquemas e fluxogramas os quais te ajudarão no entendimento do con teúdo de forma rápida e clara Professores especialistas e convi dados ampliando as discussões sobre os temas RODA DE CONVERSA EXPLORANDO IDEIAS Com este elemento você terá a oportunidade de explorar termos e palavraschave do assunto discu tido de forma mais objetiva VETORES 11 45 APRENDIZAGEM CAMINHOS DE 1 2 MULTIPLICAÇÃO DE VETORES 71 RENE DESCARTES E O SISTEMA CARTESIANO 3 4 111 CÔNICAS 5 171 SUPERFÍCIES QUÁDRICAS VETOR dizemos que o vetor determinado por um segmento orientado AB é o conjunto de todos segmentos orientados equipolentes a ele 1 Vetores Me Alexandre Shuji Suguimoto Nesta unidade será apresentada a definição formal de vetores e das operações deles adição subtração e multiplicação por escalar Esses conceitos dão suporte às teorias fundamentais da física clássica mecânica newtoniana e eletromagnetismo Também será trabalhado o conceito de conjuntos linearmente dependentes e linearmente inde pendentes que apesar de serem conceitos aparentemente simples constituem a base da álgebra linear UNIDADE 1 12 Prezadoa alunoa suponhamos que você inicie a sua carreira docente em um instituto de pesquisa tecnológico espacial local dotado dos mais moder nos aparatos tecnológicos da engenharia moderna Por ser uma novoa do cente assim como é de costume no instituto você é incumbido de apresentar um projeto aos engenheiros relacionado à como inserir um satélite na órbita da terra Você certamente já carrega alguns conceitos ou conhecimentos prévios pois já terminou os seus estudos do Ensino Médio Nesse sentido como é que você apresentaria uma proposta para solucionar esse problema ou ainda o que seria necessário para que o satélite entrasse e se estabelecesse em nossa órbita terrestre Na década de 50 em plena época de Guerra Fria mais precisamente em 1957 foi colocado o primeiro satélite na órbita da terra esse foi um marco na história da humanidade para o início da corrida espacial Naquele período já era percebida a importância do satélite Hoje cada vez mais dependemos deles para realizar comunicações telefônicas obter a previsão do tempo fazer o envio e garantir o recebimento de sinais de TV realizar navegações GPS e observar queimadas por exemplo São várias as informações que podemos receber a partir das ondas eletromagnéticas enviadas pelos satélites A teoria que possibilitou ao homem enviar um satélite na órbita da terra é proveniente do inglês Isaac Newton físico matemático e astrônomo reconhecido como um dos maiores cientistas de todos os tempos Ilustraremos o raciocínio de Newton para que você possa pôr em prática o experimento em questão cer tamente pensando no objetivo inicial que é o de inserir um satélite na órbita da terra Suponha que você está no alto de uma montanha e solta uma pedra Ela provavelmente cairá aos seus pés uma vez que a velocidade em relação à hori zontal é zero Suponha agora que você lance essa pedra horizontalmente mas com uma determinada velocidade a pedra cairá mas um pouco afastada Na sequência você lança a pedra de maneira horizontal mas com uma velocidade maior que a anterior Sem dúvidas seu alcance será maior Qual é a conclusão que você obtém a partir desse experimento Considerando que a terra é redonda e realizando os mesmos procedimentos do experimento anterior quais conjecturas podemos obter caso tenhamos con dições de lançarmos a pedra com uma velocidade cada vez maior se comparado ao lançamento anterior Faça anotações primeiro levando em consideração o lançamento horizontal com velocidade maior que a velocidade do lançamento UNICESUMAR 13 anterior Sempre aumente a velocidade Na sequência pensando em um nível mais amplo ou seja considerando a terra como uma esfera o que acontece com o alcance da pedra à medida que aumentamos a velocidade inicial de lançamento Faça algumas anotações para posteriormente compararmos as nossas conjectu ras ou conclusões com a teoria apresentada por Isaac Newton Prezadoa alunoa nesta unidade formalizaremos o conceito de vetor mediante uma linguagem formal e sistemática Normalmente esse conteúdo é apresentado no Ensino Médio mais precisamente na disciplina de Física quando as grandezas escalares não são o suficiente para descrever ou aferir uma determinada grandeza Diante disso surge a necessidade de definir o que chamamos de vetor VETORES Segmentos orientados algumas grandezas físicas ao serem medidas necessi tam apenas do valor numérico seguido pela unidade de medida São exemplos a massa o comprimento a área e o volume Essas são as chamadas grandezas es calares No entanto existem outras grandezas que precisam de mais informações além das citadas como a força aplicada o campo elétrico a aceleração e a velo cidade Para formalizar esses conceitos seja r uma reta horizontal marquemos nessa reta um ponto O que chamaremos de origem O lado direito terá sentido UNIDADE 1 14 positivo enquanto o lado esquerdo terá sentido negativo Também existem dois pontos distintos A e B nessa reta suporte O segmento orientado AB é determinado pelos pontos com origem em A e extremidade em B O segmento BA é o segmento oposto ao AB Adotando uma unidade de comprimento podemos associar ao segmento AB um número real positivo que chamaremos de comprimento ou módulo do segmento AB Descrição da Imagem reta orientada com origem no ponto O O sentido positivo é à direita da origem enquanto o sentido negativo e à esquerda O ponto A está entre os pontos O e B Figura 1 Reta ordenada eixo x Fonte o autor Descrição da Imagem segmento de reta orientado para direita com origem no ponto A e extremidade no ponto B Figura 2 Segmento orientado AB Fonte o autor Descrição da Imagem segmento com origem no ponto B e extremidade em A ou simplesmente segmento BA que é oposto ao segmento AB Figura 3 Segmento oposto BA Fonte o autor UNICESUMAR 15 Caso A B chamamos de segmento nulo em que AB AB 0 Sejam r e s retas paralelas dizemos que os segmentos AB e CD têm a mesma direção se esses segmentos estão em retas paralelas ou situados em uma mesma reta suporte Agora dois segmentos orientados têm o mesmo sentido quando eles apontam para o mesmo lado Note que para compararmos o sentido de dois segmentos é necessário que eles tenham a mesma direção A B Descrição da Imagem na figura usamos a notação de duas barras verticais entre elas AB para indicar o comprimento do segmento AB Figura 4 Comprimento do segmento AB Fonte o autor Descrição da Imagem na figura os pontos A e B são coincidentes ou seja representam o mesmo ponto Nesse caso chamamos de segmento nulo Figura 5 Segmento nulo Fonte o autor r r r r A A A A B B B B D D D D C C C C a Mesmo sentido b Sentidos opostos c Mesmo Sentido d Sentido Oposto s s Descrição da Imagem na Figura 6 a temos dois segmentos orientados AB sobre a reta r e CD sobre a reta s em que r e s são paralelas e os segmentos AB e CD têm o mesmo sentido Na Figura 6 b temos os segmentos orientados AB sobre a reta r e os segmentos CD sobre a reta s sendo r e s paralelas mas os segmentos AB e CD têm sentidos opostos Na Figura 6 c os segmentos orientados AB e CD estão sobre uma mesma reta são segmentos colineares e têm o mesmo sentido Na Figura 6 d os segmentos orientados AB e CD estão sobre uma mesma reta r mas esses segmentos têm sentidos opostos Figura 6 a Segmento com mesmo sentido b Segmento com sentidos opostos c Segmento com mesmo sentido d Segmento com sentidos opostos Fonte o autor UNIDADE 1 16 Dizemos que dois segmentos são equipolentes quando têm I O mesmo módulo II A mesma direção III O mesmo sentido Geometricamente os segmentos AB e CD são equipolentes quando Usaremos a seguinte notação AB CD para indicarmos equipolência É fácil encontrar algumas propriedades de equipolência I Reflexiva AB AB todo segmento é equipolente a si mesmo II Simétrica se AB CD então CD AB III Transitiva se AB CD e CD EF então AB EF Como as três propriedades são verificadas dizemos que equipolência é uma re lação de equivalência A B D C A B D C AC BD r a ABDC é um paralelogramo b AB e DC estão sobre uma mesma reta c Seus pontos são coincidentes Descrição da Imagem na Figura 7 a os pontos A B C e D formam um paralelogramo em que AB e CD estão em lados opostos Na Figura 7 b os segmentos estão sobre uma mesma reta e têm o mesmo comprimento e sentido Por fim na Figura 7 c os pontos A e C são coincidentes e os pontos B e D são coincidentes Todos estão em uma mesma reta e têm o mesmo módulo e sentido Figura 7 a Paralelogramo b Segmentos sobre uma mesma reta c Pontos coincidentes Fonte o autor Denotaremos esse conjunto por v XY XY AB Outras denotações para vetores são AB ou B A Chamase norma ou comprimento de um vetor v e indicaremos por v um número real t tal que v t É importante destacar que as características de um vetor v são as mesmas em qualquer um dos seus representantes ou seja o módulo a direção e o sentido Note que se AB é um segmento orientado e P é um ponto qualquer então existe um único ponto P tal que AB PQ Em particular dado um vetor AB é sempre possível obter segmentos equipolentes a AB com origem onde acharmos mais conveniente Igualdade de vetores dois vetores AB e CD são iguais se AB CD Vetor nulo o vetor nulo é o vetor determinado por segmentos nulos isto é AA BB CC e é indicado por 0 Note que 0 0 Vetores opostos ou simétricos dado um vetor v AB o vetor BA é chamado de vetor oposto ou simétrico denotado por BA AB Vetor unitário dizemos que v é um vetor unitário quando a norma é igual a 1 ou seja v 1 Vetores colineares dois vetores u e v são colineares quando têm a mesma direção ou seja os representantes deles estão sobre a mesma reta ou situadas em retas paralelas UNIDADE 1 OPERAÇÃO COM VETORES Adição de vetores UNICESUMAR 21 Assim para n vetores o vetor soma fecha o polígono formando um polígono com n 1 lados a três vetores arbitrários b regra do polígono fechado w v u s u v w u w v Descrição da Imagem na Figura 13 a estão dispostos três vetores u v e w todos com origem em comum Na Figura 13 b temos o vetor u com extremidade na origem do vetor v Este por sua vez tem a extremidade na origem do vetor w Por fim o vetor soma s tem origem coincidindo com a origem do primeiro vetor u e extremidade na extremidade do vetor w Figura 13 a Três vetores arbitrários b Regra do polígono fechado Fonte o autor vn s v1 v3 v2 v4 v5 Descrição da Imagem na figura há a soma s de n vetores formando um polígono com n1 lados O primeiro vetor tem extremidade na origem do segundo vetor Já o segundo vetor tem extremidade na origem do terceiro vetor e assim sucessivamente O vetor soma tem origem na origem do primeiro vetor e extremidade na extremidade do último vetor Figura 14 Regra do polígono generalizado Fonte o autor Demonstrar a propriedade I com o auxílio da figura a seguir Diferença de vetores Definimos por diferença entre os vetores mathbfu por mathbfv por isto mathbfu mathbfv O vetor mathbfd é a soma mathbfd mathbfu mathbfv ou seja mathbfu mathbfv mathbfu mathbfv a Dois vetores arbitrários b Diferença entre vetores UNICESUMAR 23 Agora se k é negativo o sentido é oposto a k1 b k1 c 0k1 p lv v p kv p kv Descrição da Imagem na Figura 16 a para o valor de k igual a 1 o vetor p resultante do produto de número k pelo vetor v corresponde ao mesmo vetor inicial v não alterando tamanho e direção Na Figu ra 16 b para o valor k maior que 1 o vetor p tem comprimento maior que o comprimento do vetor v permanecendo a mesma direção e o mesmo sentido Na Figura c para o valor de k entre 0 e 1 o vetor p tem tamanho menor que o vetor v mas são mantidos o sentido e a direção Figura 16 a Valores para k1 b Valores para k 1 c Valores para k entre 0 e 1 Fonte o autor p lv v p kv p kv a k1 b k1 c 1k0 Descrição da Imagem na Figura 17 a para o valor de k igual a 1 o vetor p resultante da multiplicação do vetor v pelo número k tem o mesmo comprimento a mesma direção mas sentido oposto ao do vetor v Na Figura 17 b para o valor k menor que 1 o vetor p tem comprimento maior do que o vetor p e a mesma direção mas sentido oposto ao vetor v Já na Figura c para o valor k entre 1 e 0 o vetor p tem comprimento menor e a mesma direção mas sentido oposto ao do vetor v Figura 17 a Valores para k 1 b Valores para k 1 c Valores para k entre 1 e 0 Fonte o autor Multiplicação de um vetor por um escalar produto por escalar Seja mathbfv um vetor não nulo e k um número real escalar chamase produto de um número real k pelo vetor mathbfv o vetor mathbfp kmathbfv cuja direção é a mesma do vetor mathbfv Se k 0 o sentido é o mesmo de mathbfv EXEMPLO Dados os vetores mathbfu mathbfv e mathbfw obtenha o vetor mathbfs 2mathbfu mathbfv frac13mathbfw Resolução para resolver o problema utilizamos a multiplicação por escalar para obtermos o comprimento e o sentido de cada vetor Depois é aplicada a regra do polígono fechado para obter o vetor soma representado pelo vetor mathbfs a dados os vetores mathbfu mathbfv e mathbfw b regra do polígono fechado Até o momento apresentamos os vetores e a adição e a subtração deles Também trabalhamos a multiplicação de um vetor por um número real particularmente em sua característica geométrica módulo direção e sentido mas nada foi mencionado sobre as coordenadas de um ponto ou as coordenadas de um vetor Nesse sentido precisamos definir os vetores de maneira analítica ou seja por meio de coordenadas Contudo para definirmos o plano cartesiano e o espaço mathbbR3 é necessário apresentar o conceito de dependência e de independência linear Dependência e Independência Linear Sejam mathbfu ext e mathbfv ext vetores com representantes overlinePA ext e overlinePB respectivamente Analisemos as seguintes situações em primeiro lugar se overlinePA ext e overlinePB estão sobre uma mesma reta r ext então existe um escalar k in mathbbR ext tal que overlinePB koverlinePA ext Nesse caso dizemos que o conjunto mathbfu mathbfv ext é linearmente dependente LD ou que os vetores mathbfu ext e mathbfv ext são múltiplos um do outro Também é possível afirmar que mathbfv ext é combinação linear LI de mathbfu ext Em particular dizemos que os vetores overlinePA ext e overlinePB ext geram uma reta na verdade basta um vetor não nulo overlinePA ext para gerar toda reta a Conjunto LD b Conjunto LI Figura 20 a Conjunto linearmente dependente b Conjunto de combinação linear Fonte o autor Descrição da Imagem a Figura 20 a carrega vetores u e v representando pelos vetores PA e PB respeitivamente Ambos estão sobre a mesma reta r ext formando um conjunto LD Na Figura b observase sobre um plano pi ext os vetores u e v representados pelos vetores PA e PB respectivamente cujo ângulo formado é agudo Considerem agora três vetores mathbfu mathbfv mathbfw Dizemos que este conjunto é linearmente dependente se ele carrega representantes em um plano ou há vetores colineares Desse modo esses vetores geram um plano ou uma reta Agora se o conjunto mathbfu mathbfv mathbfw é formado por vetores que são não coplanares ele é linearmente independente Portanto dado um ponto M do espaço e tomando P como ponto de origem comum aos vetores mathbfu mathbfv ext e mathbfw ext então existem escalares a b ext e c ext tais que o vetor overlinePM amathbfubmathbfvcmathbfw ext Em outras palavras qualquer vetor do espaço pode ser escrito como combinação linear desses três vetores LI e esse conjunto gera o espaço Com efeito sejam mathbfu mathbfv ext e mathbfw ext vetores com representantes overlinePA overlinePB ext e overlinePC ext na figura a seguir podemos observar algumas situações a Vetores coplanares LD b Vetores não coplanares LI Figura 22 a Vetores coplanares LD b Vetores não coplanares Fonte o autor Descrição da Imagem na Figura 22 a há um plano com três vetores PA PB e PC todos sobre o mesmo plano Na Figura 22 b no entanto os vetores PA e PB estão situados no mesmo plano ao contrário do vetor PC que não integra o plano em questão A seguir é apresentada a interpretação geométrica do vetor overlinePM em termos de mathbfu mathbfv ext e mathbfw ext ou seja overlinePM ext como combinação linear dos vetores mathbfu mathbfv ext e mathbfw Um conjunto com três ou mais vetores em um plano é sempre LD Informalmente um vetor deve gerar a reta para ser LI Já dois vetores devem gerar um plano para ser LI e três vetores devem gerar o espaço para ser LI caso contrário serão LD O conjunto vazio é linearmente independente e qualquer conjunto que contenha o vetor nulo mathbf0 é LD Multiplicação por escalar dados k in mathbbR e mathbfv xy definimos kmathbfv kx ky Seja O00 a origem do plano cartesiano dados AxAyA e BxByB em mathbbR2 temos overlineAB AO OB e overlineAB OA OB Vetores no espaço mathbbR3 Tomando a base canônica 100010001 para mathbbR3 cada ponto termo ordenado xyz do espaço euclidiano associase a um vetor mathbfv xyz e reciprocamente cada vetor do espaço pode ser associado a um terna ordenado EXEMPLO Sejam A 123 B301 e C211 pontos de R³ determine x tal que AB CX Solução Seja Xxyz tal que AB CX temos B A X C 3 10 21 3 x 2y 1z 1 424 x 2y 1z 1 UNICESUMAR 33 O 0 0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 y A x B Descrição da Imagem na figura há um plano cartesiano com eixos x e y Também existem os pontos A12 e B55 Pedese para marcar o ponto C43 e tomando o ponto O00 como origem traçar o vetor definido pelos pontos O e C Figura 27 Marque o ponto C43 e obtenha o vetor definido pelos pontos O e C Fonte o autor NOVAS DESCOBERTAS Caroa alunoa o GeoGebra é um software gratuito e disponível para to das plataformas Windows Linux e Android por exemplo A qualidade e a quantidade de recursos disponíveis nesse aplicativo é impressionante Su giro que o utilize sempre que possível de maneira a auxiliálo Integre esse programa nos seus estudos relacionados não apenas à Geometria Analítica mas também às outras disciplinas O GeoGebra é um aplicativo indispensá vel e todo professor de Matemática deveria conhecêlo Existem inúmeros materiais de apoio disponíveis na web desde apostilas tutoriais e vídeos até comunidades destinadas ao uso dele EXEMPLO Considere o eixo real reta x ou R e marque os pontos A 2 B 3 e C 5 Depois determine a posição do ponto xi para cada item em que i a b c d EXEMPLO Sejam A e B dois pontos no espaço definimos o vetor v B A cujas coordenadas são v xB xA yB yA zB zA A norma do vetor é dada por v xB xA² yB yA² zB zA² Por exemplo se A321 e B243 temos v AB 2 34 23 1 562 e v 5² 6² 2² 65 Logo x2 4 y1 2 e z1 4 ou seja x 6 y 1 e z 3 Portanto X613 EXEMPLO Sejam A11 B20 e C32 pontos no plano cartesiano mathbbR2 determine as coordenadas do ponto Xxyz tal que overlineAB overlineCX Solução Seja Xxyz tal que overlineAB overlineCX temos overlineAB overlineCX B A X C 2011 xy32 2101 x3y2 31 x3y2 vecs vecu vecw vecs vecu 2vecv vecs 13 212 vecs 1324 vecs 37 b Mostre que o conjunto vecs vect é linearmente dependente Sabemos que vecs vect forma um conjunto LD se existir k in mathbbR tal que vecs kvecr Assim tentaremos calcular k de maneira que a igualdade de vetores seja verificada ou seja vecs kvecr 37 k614 37 6k14k Da igualdade de vetores temos 6k 3 e 14k 7 k frac12 e k frac12 Ou seja vecs frac12 vect Portanto vecs vect é LD b Mostre que o vetor vecw 537 pode ser escrito como combinação linear dos vetores vecu e vecv Devemos provar que existem números reais a e b tais que vecw avecu bvecv De fato temos vecw a111 b102 537 aaa b02b 537 a baa 2b Da igualdade de vetores obtemos o seguinte sistema a b 5 a 3 a 2b 7 A solução é o par a 3 e b 2 ou seja 537 3111 2102 Portanto vecw 3vecu 2vecv Verificamos quando um conjunto formado por vetores é linearmente dependente ou linearmente independente e entendemos a noção de combinação linear entre vetores Definido o espaço tridimensional ℝ³ apresentamos uma expressão analítica para os vetores por meio de coordenadas no espaço em que cada vetor v pode ser representado por um ponto Pxyz Também compreendemos que existe uma correspondência biunívoca entre cada vetor do espaço com um ponto de ℝ³ ou seja v OP xyz Além do mais definimos uma estrutura algébrica com o conjunto dos vetores munidos das operações de adição subtração e multiplicação de um vetor por escalar dando um significado tanto geométrico quanto algébrico aos vetores Estamos chegando ao final da primeira unidade O que acha de retormarmos o desafio apresentado no início Como inserir um satélite na órbita da terra Você deve ter refletido bastante pesquisado e feito algumas conjecturas Muitas ideias devem ter vindo em sua mente Assim acredito que você deve ter pensado em velocidade movimento força de lançamento trajetória circular força gravitacional e velocidade de lançamento Essas reflexões já foram utilizadas por Isaac Newton para formular a Lei da Gravitação Universal teoria que fundamenta a possibilidade de lançar um satélite na órbita terrestre Essa lei envolve várias grandezas vetoriais Newton pensou que se uma pedra fosse lançada horizontalmente do alto de uma montanha ela descreveria uma trajetória curva até atingir o chão obtendo um determinado alcance Agora se a velocidade do lançamento aumentasse o alcance obtido pela pedra até atingir o chão também aumentaria Nesse sentido deveria existir uma determinada velocidade suficientemente grande para que a trajetória do objeto fosse circular e esse objeto retornasse ao ponto de inicial do lançamento con sequentemente circulando ao redor da Terra Essa velocidade pode ser determinada pela equação v GMR ou seja a velocidade v depende de G que é a constante gravitacional universal G 6710¹¹ Nm²Kg² da massa M do planeta e do raio R da órbita G 6710¹¹ Nm²Kg² É importante destacar que a altura do lançamento deve ser superior a 150 km e a velocidade de lançamento também não pode ser muito alta pois dessa maneira o satélite sairia da órbita da Terra Portanto o movimento dos satélites ao redor da Terra é justificado pela Lei da Inércia na qual os corpos em movimento têm de permanecer em movimento ou seja os satélites ficam em queda livre infinita ao redor da Terra Apesar de Newton não ter colocado nenhum satélite na órbita da Terra uma vez que não dispunha de equipamentos modernos é em virtude dos estudos dele que podemos realizar essa tarefa atualmente algo que é relativamente fácil em razão dos equipamentos que dispomos AGORA É COM VOCÊ 1 Sejam A12 B22 C21 e D11 os vértices de um quadrado Determine a AD DC b DC BA c AD BC d AC DB e 2 DB 2 DA f AC g DB h AC DB i AC DB AGORA É COM VOCÊ Figura 32 Malha quadriculada Fonte o autor Descrição da Imagem na figura estão marcados os vetores u v e w sobre uma malha quadriculada O vetor u está inclinado e aponta para direita e para cima O vetor v tem direção vertical e sentido para baixo enquanto o vetor w tem direção horizontal e sentido para direita Figura 33 Paralelepípedo ABCD Fonte o autor Descrição da Imagem na figura há um paralelepípedo com vértices A B C e D O lado AB é paralelo ao lado DC enquanto o lado AD é paralelo ao lado BC Os pontos M N O e P são os pontos médios dos segmentos AB BC CD e DA respectivamente O vetor v corresponde ao vetor v enquanto o vetor AP corresponde ao vetor AP 2 Multiplicação de vetores Me Alexandre Shuji Suguimoto Nesta unidade apresentaremos três definições para a multiplicação de vetores a saber o produto interno o produto vetorial e o produto misto Os dois primeiros conceitos são de extrema importância para o estudo do cálculo vetorial e para as aplicações relacionadas à física mecânica e eletromagnetismo enquanto o produto misto possibilita o cálculo do volume Figura 34 Hexágono regular Fonte o autor Descrição da Imagem na figura há um hexágono regular formado pelos vértices A B C D E e F ao centro está o ponto O Também aparecem os vetores AB AC AD AO AE e AF Quem é que não gosta de realizar uma atividade ou um trabalho e obter um bom resultado ou rendimento De modo geral gostamos de receber elogios certo Assim apresentaremos uma situação para refletirmos sobre a maneira mais adequada de se resolver um problema A palavra adequada nesse contexto significa resolver o problema com o menor esforço ou com menos gasto de energia Suponha que você tenha que deslocar uma caixa pesada e que está amarrada a uma corda De que maneira poderíamos realizar essa tarefa Quais seriam os fatores que poderiam influenciar na maneira de puxar a caixa Será que existe uma forma mais fácil ou menos difícil de realizar a atividade Perceba que uma ação simples como a forma escolhida para deslocar uma caixa pode evitar um gasto desnecessário de energia e possíveis acidentes Os princípios básicos são aplicados a outras situações como na engenharia mecânica na automação e nas indústrias Nesse sentido compreender e dominar os conceitos básicos são ações fundamentais a fim de que possamos analisar situações mais avançadas e consequentemente elaborar teorias complexas Que tal colocar a mão na massa Convido você a realizar cinco experiências fazer anotações e verificar qual delas você considera ser a mais adequada Em qual delas você gastaria a menor quantidade de energia possível Para tanto analisaremos as possibilidades por meio de figuras ilustrativas Considere um corpo de massa m que deve ser puxado na direção horizontal ao longo de uma distância d sob uma força F Figura 1 Força ortogonal ao deslocamento Fonte o autor Descrição da Imagem na figura observase uma força F aplicada na direção vertical no sentido para cima sobre um bloco de massa m Essa direção é ortogonal à direção do deslocamento d que nesse caso é horizontal para a direita Caso 2 Puxando com força F fazendo um ângulo de 60 com deslocamento d Figura 2 Força aplicada sob um ângulo de 60 com a horizontal Fonte o autor Descrição da Imagem na figura observase uma força F aplicada sobre um bloco de massa m com uma direção de 60 em relação ao deslocamento horizontal d Figura 3 Força aplicada sob um ângulo de 45 com a horizontal Fonte o autor Descrição da Imagem na figura observase uma força F aplicada sobre um bloco de massa m com uma direção de 45 em relação ao deslocamento horizontal d Caso 4 Puxando com força F fazendo um ângulo de 30 com deslocamento d Figura 4 Força aplicada sob um ângulo de 30 com a horizontal Fonte o autor Descrição da Imagem na figura observase uma força F aplicada sobre um bloco de massa m com uma direção de 30 em relação ao deslocamento horizontal d Perceba que as cinco situações apresentadas podem descrever as possibilidades de se mover a caixa Será que podemos chegar a alguma conclusão apenas observando as imagens O que acha de fazer algumas anotações a partir da sua experiência Diante das cinco propostas faça registros no diário de bordo de forma que contemple as seguintes informações na sua opinião qual seria a melhor maneira de se puxar o bloco de massa m ao longo da trajetória d Qual seria a pior maneira Entre o ângulo de 60 45 e 30 qual seria a mais adequada E nos ângulos extremos 90 e 0 Será que existe alguma relação matemática envolvendo as grandezas vetoriais e escalares que pode nos ajudar Nas séries iniciais do Ensino Fundamental aprendemos a multiplicar dois números Por exemplo no cálculo 3515 o número 15 é chamado de produto 3 é o primeiro fator e o número 5 é o segundo fator Nesse caso a multiplicação é a operação que vem simplificar a soma de parcelas iguais isto é 55553515 Outra multiplicação é definida no Ensino Médio particularmente no estudo das matrizes isto é dadas duas matrizes Amp e Bpn a multiplicação da matriz Amp pela matriz Bpn é uma matriz Cmn denotada por AmpBpnCmn Perceba que na matemática dado um conjunto números naturais racionais reais complexos polinômios matrizes e funções é natural tentar definir primeiro a operação da adiçãosubtração e depois a operação da multiplicação Quando isso é possível um conjunto com essas operações se torna um objeto de estudo interessante com propriedades muitas vezes semelhantes ao que é estudado com os números reais Para o nosso estudo estamos interessados em definir a operação de multiplicação com o conjunto de vetores Definiremos uma operação denominada produto interno também conhecida como produto escalar Essa operação associa a cada par de vetores um número real Contudo para definir essa operação precisamos de dois conceitos relacionados aos vetores o primeiro é o ângulo formado por dois vetores e o segundo é a norma módulo ou o comprimento de um vetor Assim sejam u e v vetores não nulos com representantes PA e PB Analogamente se AxAyAzA e BxByBzB são pontos do R³ ponho overlinevabc em que axBxA byByA e czBzA então overlineABsqrtxBxA2yByA2zBzA2 overlinevsqrta2b2c2 Definimos como produto interno ou produto escalar dos vetores overlineu e overlinev por overlinev o número real dado por overlineucdotoverlinevbegincases 0 se overlineuoverline0 ou overlinevoverline0 fracoverlineuoverlinevcos hetaendcases Observe que se overlineu e overlinev são vetores não nulos overlineucdotoverlinev0 se e somente se heta90circ Nesse caso dizemos que overlineu e overlinev são ortogonais perpendiculares A definição anterior exige que conheçamos o ângulo heta para calcular o produto interno No entanto verificaremos um resultado interessante para calcular o produto interno sem necessidade de saber o valor de heta Esse resultado é válido para as bases ortonormais Faremos a demonstração desse resultado para R³ Assim dizemos que o conjunto aoverlineboverlinec é uma base ortonormal se I overlineacdotoverlineboverlineacdotoverlinec0 isto é overlinea overlineb e overlinec são ortogonais entre si II overlineaoverlineboverlinec1 Em particular a base ortonormal overlineioverlinejoverlinek é conhecida como base canônica de R³ em que overlinei100 overlinej010 e overlinek001 Além disso ponho overlinevoverlineux1y1z1 temos overlineucdotoverlineuoverlineu2cdotoverlineu2cdotcos 0circ x12y12z12 Portanto overlineusqrtx12y12z12 De maneira análoga a partir da definição de produto interno overlineucdotoverlinevoverlineuoverlinevcos heta podemos mostrar que o resultado é válido na reta R ou seja overlineucdotoverlinevx1cdot x2 em que overlineux1x1y1 e overlinevx2y2 Propriedades I overlineucdotoverlinevoverlinevcdotoverlineu II koverlineucdotoverlinevkoverlineucdotoverlinev para todo k in mathbbR III overlineucdotoverlinevoverlinewoverlineucdotoverlinevoverlineucdotoverlinew Mostraremos a propriedade do item I Sejam overlineux1y1z1 e overlinevx2y2z2 vetores em R³ temos overlineucdotoverlinevx1x2y1y2z1z2 overlinevcdotoverlineux2x1y2y1z2z1 a multiplicação é comutativa em mathbbR overlineucdotoverlinevoverlinevcdotoverlineu Exemplo Determine o produto interno entre os vetores a overlineu124 e overlinev312 overlineucdotoverlinev124cdot312 overlineucdotoverlinev1cdot32cdot14cdot2 overlineucdotoverlinev132142 overlineucdotoverlinev328 overlineucdotoverlinev7 b overlineu13 e overlinev25 overlineucdotoverlinev1325 overlineucdotoverlinev1235 overlineucdotoverlinev215 overlineucdotoverlinev17 c overlineu124 e overlinev312 overlineucdotoverlinev124cdot312 overlineucdotoverlinev1cdot32cdot14cdot2 overlineucdotoverlinev132142 overlineucdotoverlinev328 overlineucdotoverlinev7 d overlinea2overlineioverlinej3overlinek e overlineboverlineioverlinek overlineacdotoverlineb213cdot101 overlineacdotoverlineb211031 overlineacdotoverlineb2103 overlineacdotoverlineb5 Exemplo Sejam A31 B53 e C04 pontos em R² mostre que os vetores overlineAB e overlineAC são ortogonais Dois vetores são ortogonais se o ângulo formado por eles for igual a 90circ como cos 90circ0 Então devemos ter overlineAB53121 e overlineAC034133 Logo overlineABcdotoverlineAC2cdot31cdot30 Portanto os vetores são ortogonais ABAC 23 23 6 6 0 τ Fdcosθ τ 323cos45 τ 32322 τ 9J joule u v uvsenθ em que θ é o ângulo formado pelos vetores u e v Propriedades I mathbfu imes mathbfv mathbf0 forall mathbfu II mathbfu imes mathbfv mathbfv imes mathbfu III mathbfu imes mathbfv mathbfw mathbfu imes mathbfv mathbfu imes mathbfw IV mmathbfu imes mathbfv mmathbfu imes mathbfv forall m in mathbbR V mathbfu imes mathbfv mathbf0 se e somente se um dos vetores for nulo ou mathbfu e mathbfv têm a mesma direção LD VI O vetor mathbfu imes mathbfv é ortogonal aos vetores mathbfu e mathbfv Provemos a propriedade II utilizando as propriedades dos determinantes ou seja quando trocamos duas linhas ortonormais o determinante muda o sinal ou seja beginvmatrix mathbfi mathbfj mathbfk x1 y1 z1 x2 y2 z2 endvmatrix beginvmatrix mathbfi mathbfj mathbfk x2 y2 z2 x1 y1 z1 endvmatrix mathbfv imes mathbfu EXEMPLO Sejam mathbfu 211 e mathbfv 102 vetores de mathbbR3 calcule o produto vetorial entre esses vetores Sabemos que mathbfu imes mathbfv beginvmatrix mathbfi mathbfj mathbfk 2 1 1 1 0 2 endvmatrix mathbfu imes mathbfv mathbficdot2 0 mathbfjcdot4 1 mathbfkcdot0 1 mathbfu imes mathbfv 2100 5010 1001 mathbfu imes mathbfv 251 Geometricamente temos Descrição da Imagem na figura é apresentado um sistema cartesiano tridimensional com eixos x e y Nele estão os vetores mathbfu e mathbfv com origem em comum na origem do sistema ou seja no ponto O000 Também há um terceiro vetor que corresponde ao produto vetorial de mathbfu por mathbfv este com origem também no ponto O mas ortogonal aos vetores mathbfu e mathbfv EXEMPLO Calcule a área do paralelogramo determinada pelos vetores mathbfu 211 e mathbfv 102 Solução 1 Como mathbfu sqrt6 mathbfv sqrt5 e mathbfu cdot mathbfv 0 logo o ângulo formado por esses vetores é heta 90circ Portanto A mathbfu imes mathbfv A mathbfu cdot mathbfv sin heta A sqrt6 cdot sqrt5 cdot sin90circ A sqrt30 unidades de área Descrição da Imagem na figura há um paralelogramo com vértices nos pontos A B C e D O lado AB é a base do quadrilátero e é paralelo ao lado DC Já o lado AD é paralelo ao lado BC O vetor mathbfu é representado pelo vetor AB enquanto o vetor mathbfv é representado pelo vetor AD Os vetores mathbfu e mathbfv têm origem em comum formando um ângulo heta A base do paralelogramo tem comprimento igual a norma do vetor mathbfu e a altura corresponde ao produto da norma do vetor mathbfv com o valor do seno de heta A área do quadrilátero corresponde à norma do produto vetorial de mathbfu por mathbfv As coordenadas do produto vetorial podem ser obtidas com o auxílio do cálculo simbólico de um determinante Em outras palavras dados mathbfu x1y1z1 e mathbfv x2y2z2 o produto vetorial mathbfu imes mathbfv é definido por mathbfu imes mathbfv beginvmatrix mathbfi mathbfj mathbfk x1 y1 z1 x2 y2 z2 endvmatrix Além disso mathbfu imes mathbfv mathbfi y1z2 y2z1 mathbfj x1z2 x2z1 mathbfk x1y2 x2y1 Portanto em termos de coordenadas temos mathbfu imes mathbfv y1z2 y2z1 x2z1 x1z2 x1y2 x2y1 No Exemplo 6 constatamos que mathbfu imes mathbfv 2 5 1 Logo A sqrt22 52 12 A sqrt4 25 1 A sqrt30 unidades de área O produto vetorial nos permite calcular a área de um paralelogramo a partir das coordenadas de dois vetores Como a área corresponde à norma do produto vetorial podemos obter o seguinte resultado dois vetores mathbfu ext e mathbfv formam um conjunto LD paralelos se e somente se mathbfu imes mathbfv mathbf0 Esse fato pode ser percebido pela propriedade dos determinantes que sustenta que quando duas linhas ou colunas são múltiplas uma da outra então o determinante é igual a zero A interpretação geométrica é que o módulo do produto misto corresponde ao volume V do paralelepípedo definido pelos vetores mathbfu mathbfv e mathbfw V leftmathbfu mathbfv mathbfwright V mathbfu imes mathbfv cdot mathbfw cdot cosmathbfu imes mathbfv mathbfw Observe o paralelepípedo ABCDEFGH definido pelos vetores mathbfu mathbfv e mathbfw Assim mathbfu imes mathbfv corresponde à área do paralelogramo ABCE e mathbfw cdot cos heta é a altura do paralelepípedo em que heta mathbfu imes mathbfv mathbfw Pensando em termos de volume note que se os vetores mathbfu mathbfv e mathbfw são coplanares então o volume do sólido se degenera ou seja o volume é igual a zero Utilizando o mesmo raciocínio podemos dizer que os pontos ABCD estão no mesmo plano quando o produto misto também é igual a zero Verifiquemos a validade dessa igualdade Assim temos mathbfu mathbfv mathbfw mathbfu imes mathbfvcdot mathbfw mathbfu mathbfv mathbfw beginvmatrix x1 y1 z1 x2 y2 z2 x3 y3 z3 endvmatrix mathbfu mathbfv mathbfw beginvmatrix x1 y1 z1 x2 y2 z2 x3 y3 z3 endvmatrix TEOREMA Se o conjunto mathbfu mathbfv mathbfw é linearmente dependente coplanar então mathbfu mathbfv mathbfw 0 Um resultado muito importante do teorema anterior é a contrapositiva isto é se mathbfu mathbfv mathbfw eq 0 então mathbfu mathbfv mathbfw é LI EXEMPLO Mostre que os vetores mathbfu 1 3 1 mathbfv 2 3 1 e mathbfw 1 0 2 são coplanares LD Os vetores mathbfu mathbfv e mathbfw são coplanares se mathbfu mathbfv mathbfw 0 Assim temos mathbfu mathbfv mathbfw beginvmatrix 1 3 1 2 3 1 1 0 2 endvmatrix Portanto mathbfu mathbfv e mathbfw são coplanares AB AC AD 0 então podemos concluir que não existe um plano que passa simultaneamente pelos pontos A B C e D Desse modo para saber se quatro pontos são coplanares basta analisar o valor do produto misto No software GeoGebra dados 𝑢 𝑣 e 𝑤 podemos combinar e calcular as duas operações de multiplicação produto escalar com produto vetorial Lembrese de que o produto misto é um número logo a última operação deve ser necessariamente o produto escalar Assim no GeoGebra o comando para calcular o produto misto fica da seguinte maneira ProdutoEscalaru ProdutoVetorialv w ou simplesmente uv w Figura 12 Elementos para a definição do conceito de trabalho Fonte o autor UNICESUMAR 67 Perceba que de modo geral realizamos as tarefas em nosso dia a dia de ma neira intuitiva Não pensamos em fórmulas matemáticas mas as nossas ações e escolhas são intrínsecas ao ser humano Nesse sentido a ciência dá sentido aos fenômenos que observamos e vivenciamos a partir de teorias e leis a fim de justificar as ações feitas Nesta unidade apresentamos o produto escalar e o produto vetorial essas duas operações estão presentes nas fórmulas da física que estuda a mecânica clássica e o eletromagnetismo conceitos que são os pilares de toda a engenharia m d F Descrição da Imagem na figura há dois eixos ortogonais entre si um bloco de massa m que é puxado por uma força F na direção horizontal e sentido para a direita que coincide com a direção e o sentido do deslocamento d Figura 13 Força aplicada na mesma direção e no mesmo sentido do deslocamento Fonte o autor Agora é com você Agora é com você blank page Rene Descartes e o Sistema Cartesiano Me Alexandre Shuji Suguimoto OPORTUNIDADES de APRENDIZAGEM Nesta unidade estudaremos as equações da reta e do plano além dos cálculos de distância do ângulo e das posições relativas no sistema de coordenadas IR³ É importante destacar que todas as equações e as fórmulas serão deduzidas a partir das definições e dos conceitos apresentados nas unidades anteriores teorias que aparentemente seriam pouco relevantes mas que agora serão fundamentais para uma melhor compreensão dos conteúdos UNIDADE 3 72 A matemática é o ramo da ciência que estuda as figuras geométricas os polígonos os sólidos os poliedros o ângulo as distâncias o comprimento a área e o volume Durante muito tempo esses conteúdos estiveram relacionados exclusivamente à geometria Foi então que o matemático francês René Descartes 15961650 conseguiu relacionar de maneira sistemática a álgebra com a geometria por meio de um sistema de coordenadas que hoje leva o nome do estudioso em homena gem conhecido como plano cartesiano Os conceitos estudados no sistema de coordenadas no plano foram ampliados para um sistema com três coordenadas conhecido como sistema de coordenadas cartesianas tridimensional xyz Nesta unidade estudaremos as retas e os planos na terceira dimensão Agora propomos os seguintes desafios qual é a condição mínima para se definir uma reta no espaço Qual é a condição mínima para se definir um plano no espaço Analisemos o conteúdo exposto de acordo com que aprendemos no Ensino Médio mais especificamente no plano cartesiano em particular no estudo das equações do primeiro grau Assim considere um plano cartesiano com eixos x e y Certamente conseguimos traçar infinitas retas nesse plano se não impor mos nenhuma condição Então marquemos um ponto P no plano Perceba que ainda existem infinitas retas no plano que passam pelo ponto P Na sequência marquemos outro ponto Q distinto no mesmo plano Note que agora existe uma única reta a qual passa pelos pontos P e Q Considerando o raciocínio exposto é possível obter as condições para se definir uma reta na terceira dimensão Assim utilizando a ideia apresentada em relação à obtenção da equação da reta quais seriam as condições mínimas para se definir um plano na terceira dimensão Agora é com você para auxiliálo verifique podem passar quantos planos por um ponto E por dois E por três Chegou o momento de anotar as suas conjecturas e conclusões Para tanto no espaço a seguir escreva qual é a condição para se definir uma reta no espaço Registre as condições necessárias para que seja possível determinar um plano no espaço tridimensional Mais adiante ainda nesta unidade verificaremos as condições para se obter as equações de uma reta no espaço e as equações de um plano que na verdade são conceitos herdados das propriedades geométricas mas em uma linguagem algébrica DIÁRIO DE BORDO RETAS E PLANOS Nesta unidade estudaremos as equações da reta e do plano além dos cálculos de distância de ângulo e das posições relativas no sistema de coordenadas R³ Apesar ser importante a dedução das fórmulas esperamos que você tenha o domínio em aplicálas na resolução dos problemas propostos SISTEMAS DE COORDENADAS Seja O um ponto do espaço que chamaremos de origem tomemos os segmentos OA OB e OC unitários e ortogonais entre si Os vetores boldsymboli overlineOA boldsymbolj overlineOB e mathbfk overlineOC representam uma base ortonormal que chamaremos de sistema ortogonal de coordenadas de mathbbR3 Indicaremos por OX OY e OZ as retas que contêm os pontos OA OB e OC respectivamente ou apenas os eixos x y e z eixos coordenados O plano que contém os eixos x e y recebe o nome de plano xy Por outro lado o plano que carrega os eixos x e z é chamado de plano xz enquanto o plano que contém os eixos y e z é conhecido como plano yz Cada ponto P do espaço corresponde a um único segmento orientado OP com origem no ponto O Esse segmento determina um único vetor overlinev que se escreve como combinação linear dos vetores boldsymboli boldsymbolj e mathbfk overlinev x boldsymboli y boldsymbolj z mathbfk Ou simplesmente overlinev xyz Assim podemos representar cada ponto P do espaço por meio do terço ordenado de coordenadas cartesianas P xyz ou Pxyz Reciprocamente cada termo ordenado xyz corresponde a um único ponto P do espaço tal que overlineOP x boldsymboli y boldsymbolj z mathbfk xyz Na geometria analítica plana os eixos coordenados dividem o plano cartesiano em quatro regiões conhecidas como quadrantes Na geometria espacial existem três planos especiais o primeiro é o plano xy ou z 0 o segundo é o plano xz ou y 0 enquanto o terceiro é o plano yz ou x 0 Esses três planos dividem o sistema de coordenadas em oito regiões chamadas de octantes Figura 1 Os oito octantes Fonte o autor Descrição da Imagem na figura estão os oito regiões do espaço conhecidas como octantes Essas regiões são subdivididas pelos planos coordenados xy xz e yz Acima do plano horizontal xy estão as regiões I II III e IV abaixo do plano xy estão as regiões V VI VII e VIII dAB xB xA² yB yA² zB zA² Portanto o ponto médio tem coordenadas M xA xB2 yA yB2 zA zB2 Denotemos a distância entre os pontos A e B por dAB Assim temos dAB AB como UNIDADE 3 em que Px y z é um ponto genérico do plano AxA yA zA é um ponto conhecido e u e v são dois vetores conhecidos que formam um conjunto linearmente independente Assim a solução do sistema é o par ordenado 1 0 e portanto o ponto D1 0 1 pertence ao plano Logo do produto misto temos AP AB AC 0 EXEMPLO Determine a equação do plano que passa pelo ponto A1 1 3 sendo n 1 1 2 um vetor normal a esse plano Solução Como n 1 1 2 é um vetor normal ao plano logo substituindo na equação geral obtemos 1x 1y 2z d 0 Como A1 1 3 é um ponto desse plano devemos ter 11 11 23 d 0 1 1 6 d 0 d 8 Portanto a equação do plano com vetor normal n 1 1 2 e que passa pelo ponto A1 1 3 é x y 2z 8 0 EXEMPLO Sejam A0 1 6 B4 3 0 e C2 4 3 pontos em ℝ³ determine um vetor normal ao plano definido pelos pontos A B e C Solução O plano tem a direção dos vetores AB 4 4 6 e AC 2 5 3 e passa pelo ponto A0 1 6 logo x 0 y 1 z 6 0 4 4 6 2 5 3 0 Resultando na equação geral do plano Observe que fixado um vetor n a b c todo plano com equação ax by cz d 0 é perpendicular ao vetor n Particularmente para cada valor de d ℝ obtemos um plano ortogonal ao vetor dado e estes planos são paralelos entre si Lembrese de que dada uma equação do primeiro grau y ax b ao fixar o coeficiente angular a e ao percorrer todos valores reais para o coeficiente linear b obtemos uma família de retas paralelas varrendo todo plano xy O mesmo processo ocorre com a equação ax by cz d 0 ao variarmos os valores de d percorremos todo o espaço ℝ³ Assim o vetor n 302 é um vetor normal ao plano Todavia qualquer vetor múltiplo de n também é normal ao plano definido pelos pontos A B e C Vamos resolver o Exemplo 5 no GeoGebra Definiremos as coordenadas dos pontos A B e C obteremos a equação geral do plano e depois usaremos um comando para exibir a direção do vetor normal ao plano Abro o GeoGebra ativa a Janela 3D e digite no campo de entrada os seguintes comandos A016 B430 C243 PlanoA B C VetorPerpendicularp Observação CTRL aproxima CTRL afasta Acesse o QR Code para visualizar a resolução Ângulos entre planos Sejam π₁ e π₂ planos com equações a₁x b₁y c₁z d₁ 0 e a₂x b₂y c₂z d₂ 0 respectivamente Os vetores n₂ a₂b₂c₂ são vetores perpendiculares aos planos π₁ e π₂ respectivamente Assim seja θ o ângulo formado pelos planos π₁ e π₂ chamemos de α o ângulo formado pelos vetores n₁ e n₂ Figura 7 Ângulo entre planos Fonte o autor Descrição da Imagem na figura há uma visão lateral que possibilita observarmos os vetores normais e o ângulo θ formado por dois planos Por meio das propriedades da geometria plana é exposto que o ângulo θ formado pelos vetores normais é o mesmo ângulo formado pelos planos dados Como cos θ n₁n₂ n₁ n₂ Substituindo obtemos cos θ 5 1418 5 142 5 328 Racionalizando cos θ 5 67 7 7 57 42 cos θ 03149 arccos θ arc03149 Portanto θ 7164 É interessante observar que se k 0 temos P P₁ Para k 1 temos P P₂ e para 0 k 1 P está no segmento de reta entre P₁ e P₂ Além disso se k 0 ou k 0 então P está na reta r mas fora do segmento P₁P₂ Note que se P₁P é paralelo ao plano yz então x x₁ x₂ Se P₁P é paralelo ao plano xz então y y₁ y₂ de mesma forma se P₁P é paralelo ao plano xy então z z₁ z₂ Agora se P₁P não é paralelo a nenhum desses planos isolando k nas equações paramétricas obtemos a seguinte relação k x x₁ x₂ x₁ y y₁ y₂ y₁ z z₁ z₂ z₁ A relação anterior representa as equações simétricas da reta Ela nos dá a condição para que três pontos estejam alinhados ou seja os pontos P P₁ e P₂ estão alinhados se as razões nas equações simétricas são iguais a uma constante Assim se a reta r passa pelo ponto P₁x₁ y₁ z₁ e tem direção do vetor v a b c Equações Paramétricas x x₁ ak y y₁ bk z z₁ ck com k ℝ Perceba que para definir as equações de uma reta precisamos conhecer as coordenadas de dois pontos distintos ou de maneira equivalente as coordenadas de um ponto e a direção da reta EXEMPLO Determine as equações paramétricas da reta que passa pelos pontos P₁1 2 0 e P₂1 3 5 Solução Seja r a reta que passa pelo ponto P₁1 2 0 e tem direção do vetor P₁P₂ 2 1 5 logo x 1 2k y 2 1k z 0 5k com k ℝ EXEMPLO Mostre que os pontos A2 2 5 B2 0 3 e C0 1 4 estão alinhados Solução Seja r a reta que passa pelos pontos A2 2 5 e tem direção do vetor AB 4 2 2 as equações simétricas são x x₁ a y y₁ b z z₁ c Logo substituindo as coordenadas do ponto A e do vetor AB temos x 2 4 y 2 2 z 5 2 Substituindo as coordenadas do ponto C0 1 4 obtemos 0 2 4 1 2 2 4 5 2 Ou seja 2 4 1 2 1 2 Isto é 1 2 1 2 1 2 Como a identidade é verificada logo o ponto C pertence a reta Desse modo os pontos A B e C estão alinhados EXEMPLO Seja π o plano com equação 3x 2y 5z 4 0 obtenha as equações paramétricas da reta perpendicular a esse plano que passa pelo ponto A1 2 7 RP kRP₂ R₀ OP kRP₂ OP R₀ kRP₂ OP OP₁ kRP₁P₂ x y z x₁ y₁ z₁ kx₂ x₁ y₂ y₁ z₂ z₁ x y z x₁ kx₂ x₁ y₁ ky₂ y₁ z₁ kz₂ z₁ Ou seja x x₁ kx₂ x₁ y y₁ ky₂ y₁ z z₁ kz₂ z₁ Essas são as equações paramétricas da reta r Solução Seja r a reta perpendicular ao plano π e que passa pelo ponto A127 o vetor 𝚗 325 é normal ao plano π Substituindo diretamente na fórmula anterior obtemos as equações paramétricas x 1 3k y 2 2k com k ℝ z 7 5k Equação da reta pertencente a interseção de dois planos Sejam π₁ e π₂ dois planos com equações a₁x b₁y c₁z d 0 e a₂x b₂y c₂z d 0 cujos vetores normais são 𝚛₁ a₁b₁c₁ e 𝚛₂ a₂b₂c₂ respectivamente Note que se π₁ e π₂ não são paralelos ou coincidentes então a interseção entre esses planos é uma reta r Como toda reta do plano é ortogonal ao vetor normal ao plano logo r é ortogonal aos vetores normais Além disso o vetor 𝚛₁ 𝚛₂ é ortogonal aos vetores 𝚛₁ e 𝚛₂ ou seja 𝚛₁ 𝚛₂ tem a mesma direção que r e portanto são paralelos As equações paramétricas da reta obtida por meio da interseção entre π₁ e π₂ são x xₐ ak y yₐ bk com k ℝ z zₐ ck em que Axₐyₐzₐ é um ponto da reta r cuja direção é a mesma do vetor 𝚛₁ 𝚛₂ abc EXEMPLO Sejam π₁ e π₂ planos com equações x 2z 8 0 e x 4y 2z 4 0 Determine as equações paramétricas da interseção desses planos Solução Os vetores normais aos planos π₁ e π₂ são 𝚛₁ 102 e 𝚛₂ 142 respectivamente Como 𝚛₁ 𝚛₂ é paralelo à interseção desses planos logo a direção dele é dada por 𝚛₁ 𝚛₂ i j k 1 0 2 1 4 2 UNICESUMAR 107 Na disciplina de Matemática particularmente na Educação Básica normal mente são apresentadas situaçõesproblema e a partir disso é proposto um mo delo matemático que consiga resolver o problema No entanto existem situações ou conteúdos que só farão sentido em um momento posterior muitas vezes tornando a disciplina um pouco mais difícil ou menos atraente que as outras Um exemplo clássico é o estudo do cálculo algébrico que se dá no oitavo ano do Ensino Fundamental e inclui monômios e operações Para o aluno talvez faça pouco sentido conhecêlo porém ter domínio do cálculo algébrico é de extrema importância para a sequência dos estudos nas próximas séries Portanto todo o estudo feito nesta unidade está fundamentado na teoria que em um primeiro momento poderia aparentar pouca utilidade ou aplicação 4 Cônicas Me Alexandre Shuji Suguimoto Nesta unidade estudaremos as equações do segundo grau com as incógnitas x e y no plano cartesiano Os gráficos dessas equações descrevem curvas no plano xy São elas a elipse a circunferência a hipérbole e a parábola Essas curvas são obtidas por meio da in terseção entre um cone e um plano Também é possível obtêlas dependendo da disposição desses dois elementos o que justifica a nomenclatura secção cônica UNIDADE 4 112 Prezadoa alunoa proporemos um pequeno desafio Sintase à vontade para pesquisar nas inúmeras fontes que temos disponíveis seja em livros seja na In ternet O dono de um pesqueiro tem dois tanques Neles é criada uma variedade de espécies de peixes para que os clientes realizem a pescaria e depois paguem O primeiro tanque tem formato circular enquanto o segundo tem formato qua drado Com o objetivo de ampliar a renda e estilizar o estabelecimento o dono do pesqueiro decidiu destinar outra área do terreno para a construção de um terceiro tanque Essa área tem forma retangular mas dentro dela o tanque deverá ter a forma de uma elipse O que você faria para ajudálo De quais informações e dados você precisa dispor para resolver esse problema As curvas elíticas são objetos de estudos desde a Antiguidade Apolônio de Perga matemático e astrônomo grego é considerado um dos pioneiros no estudo das cônicas Outro ilustre estudioso o qual se dedicou aos estudos dessas curvas foi Johannes Kleper 1571 1630 filósofo e astrônomo que deduziu que as ór bitas planetárias eram elípticas e não circulares Devido às propriedades físicas essas curvas têm inúmeras aplicações como na acústica na natureza na arte e na arquitetura Enfim são inúmeras as aplicações das curvas elípticas e conhecer a teoria que as embasa é de extrema importância para a ciência Primeiramente para que possamos dar sequência ao desafio é necessário saber o que é uma elipse Afinal o que caracteriza essa curva Para efeitos ilustrati vos faremos uma experiência e precisamos de alguns objetos uma madeira plana no formato retangular dois pregos um barbante e um lápis Na madeira com o maior lado na horizontal na posição paisagem marque aproximadamente o centro da madeira com um lápis Depois desenhe duas retas passando pelo centro da madeira sendo uma reta horizontal e a outra reta vertical perpendiculares Ainda na reta horizontal marque dois pontos simétricos em relação ao cen tro ou seja um ponto à esquerda e outro ponto à direita Agora sobre cada um desses novos pontos pregue um prego e em cada prego amarre o barbante com certa folga mas de tal maneira que ao esticálo para qualquer lado o barbante não saia da madeira Para finalizar use o lápis apoiado no barbante esticado e faça um contorno ao redor dos pregos até completar uma volta completa Esse é o desenho de uma elipse Acabamos de desenhar uma elipse mas nada foi formalmente definido Desse modo precisamos analisar algumas questões UNICESUMAR 113 Quais são os elementos que podem influenciar na construção de uma elipse O que diferencia uma elipse de outra Anote tudo o que considerar pertinente e relevante em seu diário de bordo pois posteriormente retornaremos à discussão QUANDO O PLANO E O CONE SE ENCONTRAM Curvas cônicas As cônicas ou secções cônicas são curvas que podem ser obtidas a partir da intersecção entre um plano e um cone duplo De acordo com a inclinação desse plano a curva será chamada de elipse hipérbole ou parábola Essas curvas já eram conhecidas admiradas e estudadas desde a Antiguidade Por exemplo o filósofo e astrônomo Johannes Kepler 1571 1630 foi quem deduziu que as órbitas planetárias eram elípticas e não circulares assim como se pensava na época Já Apolônio de Perga 262 aC 194 aC matemático e astrônomo grego dedicou parte da vida ao estudo das cônicas dando uma contribuição ímpar para a matemática com a obra As cônicas É interessante ressaltar que as curvas estudadas nesta unidade podem sim plesmente ser obtidas por meio de uma interseção entre um plano e um cone UNICESUMAR 115 Os pontos F1 e F2 são focos da elipse e o ponto médio do segmento F F 1 2 é o centro C da elipse O segmento A A 1 2 é chamado de eixo maior contém os focos e a distância 2c entre F1 e F2 é chamada de distância focal F1 F2 Descrição da Imagem na figura há o desenho de uma elipse o qual foi obtido a partir de dois pregos representados pelos pontos F1 e F2 conhecidos como focos Há um barbante esticado e preso aos pregos e um lápis foi utilizado para obter o traçado da curva Figura 2 Elipse com o auxílio de dois pregos um barbante e uma caneta Fonte o autor A1 A2 F1 F2 2b 2c 2a B1 B2 C Descrição da Imagem na figura há uma elipse com o eixo maior na horizontal e o eixo menor na vertical Também há o centro C os vértices A1 A2 B1 B2 e os focos F1 e F2 Além disso estão representadas as medidas do eixo maior 2a do eixo menor 2b e da distância focal 2c Figura 3 Elementos e eixos Fonte o autor UNIDADE 4 124 Note a excentricidade e c a 0 5 0 ou seja a circunferência é um caso particu lar da elipse cuja excentricidade é nula Assim quanto menor for a excentricidade menor será a distância focal e mais semelhante a uma circunferência se torna a elipse Por outro lado quanto maior for a excentricidade isto é mais próxima do valor 1 mais achatada fica a elipse ou seja ela se aproxima do eixo maior Obtenha o gráfico e a equação da elipse com centro na origem C 0 0 sa bendose que um dos focos é F 3 0 e a medida do eixo maior é igual a 8 Solução Geometricamente temos a seguinte informação b Interseção entre o cone e plano a circunferência 5 5 x 5 5 y Descrição da Imagem na Figura 10 a há um plano cartesiano com eixos x e y Nele observase o de senho de uma circunferência de raio 5 Na Figura 10 b há um cone e um plano perpendicular ao eixo desse cone cuja interseção resulta em um caso particular da elipse conhecido como circunferência Figura 10 a Circunferência b Intersecção entre o cone e o plano Fonte o autor y x F C Descrição da Imagem na figura há um plano cartesiano com eixos x e y Também há centro C na origem foco F sobre o eixo x distante três unidades à direita do centro Figura 11 Elipse conhecendo o centro o foco e a medida do eixo maior Fonte o autor 04 EXEMPLO UNIDADE 4 126 Até o momento analisamos os casos em que a elipse tem o centro coincidente com a origem do plano cartesiano Depois estudaremos os casos em que o centro não está sobre a origem mas é transladado para qualquer local do plano carte siano o que constitui os casos mais comuns Elipse com centro fora da origem do sistema cartesiano 1º Caso Eixo maior paralelo ao eixo x Vamos deduzir a equação da elipse partindo da definição de lugar geomé trico A dedução para os outros casos que estudaremos é análoga a essa Sejam a o centro e P x y um ponto genérico dessa elipse com focos F h c k 1 e F h c k 2 Assim temos NOVAS DESCOBERTAS Lembrese de que na equação do primeiro grau y ax b o valor de a conhecido como coeficiente angular nos permite saber se o gráfico é cres cente ou decrescente Já na equação do segundo grau y ax bx c 2 o valor de a indica se o gráfico é uma parábola com a concavidade voltada para cima ou para baixo No caso da elipse o valor da excentricidade tem um significado Para saber mais acesse o QR Code UNIDADE 4 136 Prezadoa alunoa é possível concluir que a elipse é o conjunto dos pontos do plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixos é igual a uma constante A partir dessa definição foi possível deduzir a equação que representa essa curva e conhecer os elementos dela isto é os focos os vértices o centro e a excentricidade Também conhecemos um caso particular da elipse que é a circunferência cujos focos coincidem com o centro e concluímos o estudo com casos em que a cônica tinha centro fora da origem do plano cartesiano porém com eixo maior e paralelo a um dos eixos coordenados A elipse tem inúmeras aplicações aparece nas curvas que descrevem as órbitas dos planetas em estruturas de engenharia para aumentar a rigidez e nas mais belas arquiteturas A hipérbole Descrição da Imagem na figura há um cone duplo cortado por um plano paralelo ao eixo resultando em uma curva chamada de hipérbole Figura 20 Interseção entre o cone e o plano Fonte o autor UNICESUMAR 139 Geometricamente a hipérbole pode ser obtida por meio da interseção do plano com o cone em que o plano deve ser paralelo ao eixo do cone Hipérbole com centro na origem do plano cartesiano 1º caso Eixo real sobre o eixo x Seja P x y um ponto da hipérbole com centro C 0 0 e focos F c 1 0 e F c 2 0 r M N O s P A1 B1 B2 F2 A2 F1 c b a Descrição da Imagem na figura há duas curvas que representam uma hipérbole com focos F1 e F2 e vértices do eixo real A1 e A2 Também há os pontos B1 e B2 do eixo imaginário com assíntotas r e s Além disso há um retângulo auxiliar formado pelos pontos M N O P e finalmente temos um triângulo retângulo com catetos a b e hipotenusa c Figura 23 Hipérbole e elementos com eixo real horizontal Fonte o autor UNICESUMAR 149 Prezadoa alunoa após estudar essa curva cônica podemos concluir que uma hipérbole corresponde ao conjunto de pontos do plano cujo módulo da diferen ça das distâncias entre dois pontos fixos é igual a uma constante A partir dessa definição foi possível deduzir a equação da hipérbole e apresentar os elementos dela incluindo focos vértices centro eixos real e imaginário excentricidade e assíntotas Assim como na elipse verificamos os casos em que o centro não era a origem do sistema de coordenadas A aplicação da hipérbole aparece na constru ção de telescópios refletores nas órbitas dos cometas e nas engenharias devido às propriedades físicas e estéticas dela Além disso aparece nos gráficos de funções de vários ramos das ciências exatas y y2 4x 17 3 3 y1 4x 1 3 3 x Descrição da Imagem na figura há as curvas da hipérbole e as assíntotas y x 1 4 3 1 3 e y x 2 4 3 17 3 Figura 33 Hipérbole e assíntotas Fonte o autor UNIDADE 4 150 A parábola Sejam d uma reta e F um ponto não pertencente a d ambos no plano xy uma parábola é o conjunto dos pontos xy P x y no plano que são equidistantes do ponto F e da reta O ponto F é chamado de foco e d é a diretriz da parábola geratriz Descrição da Imagem na figura há um cone cortado por um plano paralelo à reta geratriz do cone resultando em uma curva chamada parábola Figura 34 Interseção entre o cone e o plano Fonte o autor UNICESUMAR 151 Assim se P x y é um ponto da parábola então d P F d P d O eixo da parábola é a reta que passa pelo foco e é perpendicular à diretriz A inter seção entre seu eixo com a parábola é o ponto chamado vértice e denotado por V Geometricamente a parábola é obtida a partir da interseção entre um plano e um cone em que o plano é paralelo à geratriz desse cone Parábola com vértice na origem do sistema cartesiano 1º Caso Eixo da parábola é o próprio eixo y Seja P x y um ponto da parábola com foco F p 0 2 diretriz d e D um ponto da reta d P eixo F V A d Descrição da Imagem na figura há o desenho de uma parábola definida a partir da reta diretriz d e o foco F Ainda há o ponto A no qual passa a reta diretriz d o ponto V chamado de vértice da parábola e um ponto P que é genérico e representa o lugar geométrico dos pontos que equidistam do ponto F e da reta d Figura 35 O lugar geométrico da parábola Fonte o autor UNIDADE 4 154 Quando p 0 a concavidade é voltada para a direita e se p 0 a concavidade é voltada para a esquerda Dada a equação x y 2 6 obtenha o foco a diretriz e o gráfico Solução Sabemos que x py 2 2 logo 2 p 6 ou seja p 3 Assim a pa rábola tem concavidade voltada para cima com equação reduzida x y 2 2 3 p0 p0 x x F F V V y y d d a Concavidade voltada para direita b Concavidade voltada para esquerda Descrição da Imagem na Figura 38 a há uma parábola com a concavidade voltada para a direita pois p é positivo O foco F é interior à curva e um ponto V coincide com a origem do plano cartesiano Há uma reta d paralela e à esquerda do eixo y chamada de diretriz Na Figura 38 b há outra parábola mas com a concavidade voltada para a esquerda pois p é negativo O foco F é interior à parábola o vértice V está na origem do plano cartesiano e a reta diretriz d está localizada à direita e é paralela ao eixo y Figura 38 a Parábola com concavidade voltada para a direita b Parábola com concavidade voltara para a esquerda Fonte o autor NOVAS DESCOBERTAS Aprofunde os seus conhecimentos sobre a parábola no QR Code a seguir Nele há várias atividades relacionadas à construção de uma parábola e inú meras aplicações dessa curva Acesse 13 EXEMPLO UNICESUMAR 161 Com isso encerrase o exemplo Para finalizar esta unidade retomemos o que estudamos Realizamos o estudo da parábola que consiste no conjunto de pontos no plano cuja distância a um ponto fixo e a uma reta dada é uma constante Partindo dessa definição foi possível obter a equação da parábola e definir os elementos dela a saber foco diretriz vértice e eixo A aplicação da parábola está presente nos faróis dos carros nos fornos solares nas antenas parabólicas e nas construções de pontes proporcionando estabilidade e economia É interessante perceber que tanto as equações das elipses quanto as equações das hipérboles carregam grau dois nas duas incógnitas ou seja tanto na incógnita x quanto na incógnita y enquanto a equação reduzida da parábola tem apenas x 5 3 1 O 2 A V F d y Descrição da Imagem na figura há um plano cartesiano com eixos x e y Nele há uma parábola com a concavidade voltada para a direita vértice V32 e foco F52 A diretriz d é uma reta paralela ao eixo y definida pela equação x1 e que passa pelo ponto A12 Figura 45 Parábola com a concavidade voltada para a direita e vértice V32 Fonte o autor Elipse algumas curiosidades e aplicações Prezadoa alunoa neste podcast você conhecerá um pouco mais a elipse Assim serão trabalhados desde registros referentes aos primeiros estudos dessa curva por Apolônio de Perga até os estudos feitos por Johannes Kepler na descrição das órbitas dos planetas Também aproveito para mostrar algumas aplicações Acesse o QR Code e conheça UNIDADE 4 162 grau dois em uma das incógnitas e a outra tem incógnita com grau um Essa última incógnita indica a posição do eixo de simetria da parábola Prezadoa alunoa vamos retomar o desafio proposto no início desta uni dade ou seja o dono de um pesqueiro tem dois tanques Neles é criada uma variedade de espécies de peixes para que os clientes realizem a pescaria e depois paguem O primeiro tanque tem formato circular enquanto o segundo tem for mato quadrado Com o objetivo de ampliar a renda e estilizar o estabelecimento o dono do pesqueiro decidiu destinar outra área do terreno para a construção de um terceiro tanque Essa área tem forma retangular mas dentro dela o tanque deverá ter a forma de uma elipse O que você faria para ajudálo De quais infor mações e dados você precisa dispor para resolver esse problema Agora estamos em condições de resolver a problemática conhecemos uma forma hipotética com o uso de uma tábua um barbante e dois pregos Essa ideia poderia ser aplicada a uma corda grande duas estacas e algum instrumento para fazer a demarcação Contudo agora sistematizaremos essa solução por intermé dio de uma resolução matemática Assim precisamos de algumas informações 1 Quais são dimensões da área retangular reservada para a construção da elipse 2 Qual é a distância mínima entre a elipse e o lado do retângulo 3 Qual é a distância entre os focos 4 Qual é o tamanho do eixo maior e do eixo menor 5 Qual é a posição do centro dessa elipse Para resolver o problema atribuiremos valores Em outras palavras suponha que a região destinada para a construção tenha as seguintes dimensões 30 metros de largura por 40 de comprimento Além disso atribuiremos uma margem de cinco metros para que as pessoas possam se locomover ao redor do tanque Vejamos como fica com o auxílio do GeoGebra UNICESUMAR 165 Na prática determinado o centro da região retangular na sequência marcamos os eixos e os focos e pregamos duas estacas para amarrar a corda que servirão de suporte Depois marcamos os quatro vértices sobre os eixos A corda deverá ter medida 2a ou seja 30 m Assim amarrada a corda nas estacas que determinam a posição dos focos com algum objeto que possibilite realizar o traçado fazemos o contorno elíptico de acordo com o problema proposto no início da unidade A curva deverá passar obrigatoriamente pelos quatro vértices marcados inicialmente Perceba que essa é uma maneira prática de se construir uma curva no for mato elíptico sobre uma região plana Todavia é interessante ressaltar que essa construção está bem fundamentada A partir das condições iniciais do problema delimitamos os vértices no interior do retângulo e finalmente determinamos as coordenadas dos seus focos e sua equação geral Elipse 15 B2 A2 F2 20 20 A1 F1 B1 15 x y 30m 40m 0 Descrição da Imagem na figura há um plano cartesiano com eixos x e y Nele está desenhado uma retângulo com base 40 m por 30 m de altura ocupando igualmente os quatro quadrantes do plano Dentro desse quadrilátero está desenhada a elipse com vértices A1 A2 B1 B2 e focos F1 e F2 Figura 47 Elipse dentro da área retangular Fonte o autor 167 2 Obtenha a equação as coordenadas dos focos e a excentricidade da elipse a seguir 3 Obtenha a equação reduzida os elementos e o gráfico em cada caso a Elipse com centro na origem C 0 0 um dos focos tem coordenadas F 0 8 e eixo menor medindo 30 unidades b Elipse cujo centro é C 1 1 sendo o eixo maior paralelo ao eixo y medindo 8 unidades e o eixo menor medindo 6 unidades 8 17 17 x C00 8 y Descrição da Imagem na figura há um plano cartesiano com eixos x e y Nele há uma elipse de centro C00 eixo maior horizontal e vértices com abscissas 17 e 17 Temos ainda um eixo menor vertical com vértices de ordenadas 8 e 8 Figura 48 Elipse com centro na origem e eixo maior sobre o eixo x Fonte o autor 5 Superfícies quádricas Me Alexandre Shuji Suguimoto Nesta unidade estudaremos as superfícies cujas equações são de segundo grau nas variáveis x y e z e os gráficos são conjuntos de pontos no espaço tridimensional conhecidos como superfícies quá dricas São elas a elipsoide a esfera a hiperboloide de uma folha a hiperboloide de duas folhas os paraboloides elíptico e hiperbólico e as superfícies cônica e cilíndrica Ter domínio do conteúdo da unidade anterior é fundamental para estudar essas superfícies UNIDADE 5 172 Você alunoa consegue observar os usos das superfícies quádricas Durante a história recente houve uma situação de aplicação do elipsoide Uma das grandes conquistas realizadas pelo homem é o fato de ter conseguido voar tratase de um resultado de grandes esforços muitas tentativas e claro muito estudo Uma das primeiras tentativas foi feita com o uso de dirigíveis que são balões abastecidos com ar quente ou gases menos densos que o ar como o hidrogênio e o hélio A aplicabilidade do formato elipsoide fica demonstrado na forma do balão diri gível apropriado para a contenção do material interno a fim de criar um protótipo de um balão dirigível no formato de um elipsoide Lembremonos de que dirigíveis são aeronaves que utilizam ar quente ou gases com menor densidade se compara dos com o meio externo no interior As primeiras experiências para a conquista dos céus foram realizadas com balões desse tipo fazendo portanto parte da história da aviação Um dos pioneiros foi o padre lusobrasileiro Bartolomeu de Gusmão que em 1709 em Lisboa conseguiu tal façanha Apesar de o balão realizar o voo ainda deixava a desejar uma vez que não possibilitava percorrer uma trajetória controlada Mais tarde os dirigíveis foram aperfeiçoados mediante as adaptações de motores o que solucionou o problema voltado à dirigibilidade Agora é com você Considere um sistema cartesiano com três eixos mutua mente ortogonais x y e z Suponha que a origem desse sistema servirá de centro ao dirigível cuja forma é de um elipsoide Defina em primeiro lugar as dimensões para o protótipo ou seja os comprimentos nos eixos x y e z Z y x b c a b a c Descrição da Imagem tratase de um sistema cartesiano com eixos x y e z Também é exposto o dese nho de um elipsoide que é uma superfície arredondada semelhante a uma bola de futebol americano Figura 1 Elipsoide Fonte o autor UNICESUMAR 173 Com o auxílio de três espetos e de um barbante construa os três eixos coorde nados Depois faça os contornos com pedaços de arame Agora suponha que você tenha em mãos os materiais para realizar a construção do protótipo Quais seriam os próximos passos Será que com apenas um desenho é possível realizar a construção Na prática como poderíamos construir uma ae ronave com esse modelo garantindo a forma e a estrutura física Na sua opinião quais são as variáveis mais importantes e que devemos levar em consideração para construção do projeto Anote as suas considerações no diário de bordo QUÁDRICAS Prezadoa alunoa nesta unidade desenvolveremos o nosso estudo sob a se guinte perspectiva dada uma equação de uma superfície quádrica analisaremos as curvas ou traços obtidas pela interseção de planos convenientemente esco lhidos com a quádrica De maneira geral a escolha do plano se dará preferen cialmente com os planos coordenados ou seja planos xy xz e yz Esses planos são obtidos tomando z 0 y 0 e x 0 respectivamente No entanto teremos casos em que esses planos não interceptarão a superfície dada o que exigirá uma análise criteriosa para decidir como acontecerá a obtenção dos traços da super fície em um plano conveniente A partir dos traços obtidos nos três planos será possível desenhar a superfície UNIDADE 5 174 Apesar da dificuldade em fazer o desenho de uma superfície tridimensional em uma folha de papel basta observarmos a equação para sabermos de que su perfície estamos tratando Em outras palavras cada quádrica tem uma equação particular assim como a reta a parábola a hipérbole e a elipse no plano Portanto o que pretendemos é que dada uma equação você consiga identificar a superfície que estamos tratando e procure na medida do possível desenhar o gráfico pois reconhecer essas superfícies e equações é de extrema importância para o futuro estudo do cálculo vetorial Descrição da Imagem há nove superfícies quádricas com diversas cores As três superfícies superiores representam respectivamente um elipsoide um hiperboloide de uma folha e um hiperboloide de duas folhas As três superfícies do centro são um paraboloide elíptico um paraboloide hiperbólico e uma su perfície cônica Por fim as três superfícies inferiores correspondem a uma superfície cilíndrica parabólica uma superfície cilíndrica elíptica e a uma esfera Figura 2 Superfícies quádricas Fonte o autor UNICESUMAR 177 Analogamente em y 0 há uma elipse no plano xz Em x 0 há outra elipse no plano yz a b a b y x Descrição da Imagem há um plano cartesiano com eixos x e y além de uma curva elíptica com eixo maior horizontal sobre o eixo x Figura 4 Elipsoide com eixo maior horizontal Fonte o autor a b b a c c x z z c c y a Elipse no plano xz b Elipse no plano yz Descrição da Imagem a Figura 5 a representa um plano cartesiano com eixos x e z em formato de cruz Desse modo o eixo z está na vertical enquanto o eixo x está na horizontal Nele há o desenho de uma elipse com centro na origem O eixo maior está localizado em x e passa pelos pontos a e a Já o eixo menor está localizado em z e passa pelos pontos c e c Já a Figura 5 b simboliza outro plano carte siano com eixos y e z O eixo z está na vertical enquanto o eixo y está na horizontal Nele há uma curva elíptica com eixo maior na horizontal e que passa pelos pontos b e b Por outro lado o eixo menor está na vertical e passa pelos pontos c e c Figura 5 a Elipse no plano xz b Elipse no plano yz Fonte o autor UNICESUMAR 193 uma constante positiva nos planos xz e yz temos as equações x a cz 2 2 e y b cz 2 2 cujos gráficos são parábolas Graficamente temos z c 0 c 0 z x y a Parábola no plano xz b Parábola no plano yz Descrição da Imagem na Figura 24 a temos um plano cartesiano com eixos x e z Nele encontrase o desenho de uma parábola com vértice na origem eixo vertical e concavidade voltada para cima pois c0 Na Figura 24 b há outro plano cartesiano com eixos y e z Nele temos outra parábola com vértice na origem eixo vertical e concavidade voltada para cima pois c0 Figura 24 a Parábola no plano xz b Parábola no plano yz Fonte o autor x y c 0 z Descrição da Imagem tratase de um sistema de coordenadas com eixos x y e z Nele há o desenho de um paraboloide elíptico ao longo do eixo z no sentido positivo desse eixo uma vez que c é positivo Figura 25 Paraboloide elíptico ao longo do eixo z Fonte o autor UNIDADE 5 206 Superfície cilíndrica Caroa estudante você provavelmente deve estar familiarizado com o termo formato cilíndrico ou apenas cilindro Citarei alguns exemplos e acredito que possa conhecer algum cilindro de fazer massa de pão máquina de fazer pastel formado por cilindros bastão utilizado pelos atletas nas corridas de revezamento garrafa pet de refrigerante e cilindro de oxigênio Agora na matemática quan do tratamos da superfície cilíndrica o conceito é mais abrangente assim como veremos na sequência Seja C uma curva em um plano π e t uma reta fixada que corta esse plano uma superfície cilíndrica é a superfície gerada por uma reta r que se move ao longo da curva C e é paralela à reta t A reta r é chamada de geratriz do cilindro descrito pela diretriz C Consideremos apenas as superfícies cilíndricas cuja diretriz seja uma curva si tuada em um dos planos xy xz ou yz e que a geratriz seja paralela a um dos eixos x y ou z Assim se C é uma curva cônica o cilindro é quádrico ou seja π C t r Descrição da Imagem observase um plano π Nele há uma curva C e uma reta t perpendicular ao plano Além disso uma reta r paralela à reta t percorre o plano ao longo da curva C gerando uma superfície que denominamos superfície cilíndrica Figura 43 Superfície cilíndrica Fonte o autor UNICESUMAR 207 podemos ter um cilindro circular um cilindro elíptico um cilindro parabólico ou um cilindro hiperbólico conforme a curva C Dada a equação x y 2 6 obtenha a superfície cilíndrica dessa quádrica Solução Perceba primeiramente que a equação não tem a variável z ou seja em qualquer plano z k temos a mesma equação da parábola x y 2 6 cuja representação é a mesma que no plano xy Descrição da Imagem na Figura 44 a temos um cilindro hiperbólico Por outro lado na Figura 44 b há um cilindro circular Figura 44 a Cilindro hiperbólico b Cilindro circular Fonte o autor y x2 6y x Descrição da Imagem tratase de um plano com eixos x e y Nele temos o gráfico de uma parábola de equação x26y Figura 45 Curva no plano xy Fonte o autor 08 EXEMPLO UNICESUMAR 209 Perceba que para qualquer valor atribuído para y k sempre teremos a mes ma curva elíptica uma vez que a equação dada não apresenta de forma explícita a incógnita y Estamos quase finalizando os nossos estudos sobre as superfícies quádricas Entendemos que para a construção dos gráficos primeiramente escolhemos planos convenientes de maneira a obter a interseção entre o plano e a superfície analisada o que chamamos de traço Também estudamos as superfícies cônicas e compreendemos que as interseções são representadas por duas retas em cada um dos dois planos coordenados e uma elipse no terceiro plano Por fim exploramos as superfícies cilíndricas cuja equação tem a ausência de uma das variáveis e portanto uma curva no plano determinado pelas variáveis existentes a qual dá a característica da superfície cilíndrica É interessante ressaltar que existem duas maneiras de identificar uma superfície quádrica a partir de uma equação Uma seria a partir da obtenção dos z 1 2 x y Descrição da Imagem tratase de um sistema de coordenadas x y e z Nele observase uma superfície cilíndrica ao longo do eixo y gerada a partir de uma elipse de equação z2 x24 1 Figura 47 Cilindro elíptico Fonte o autor Arquimedes e as quádricas Prezadoa alunoa neste podcast você conhecerá Arquimedes de Siracusa considerado por muitos um dos mais brilhantes cien tistas da Antiguidade Clássica Dentre os diversos feitos podemos destacar a descoberta e a prova de que a esfera tem exatamente dois terços do volume do cilindro UNICESUMAR 211 Nos planos coordenados temos as seguintes curvas Isso resulta na seguinte superfície y x z x z y a Elipse no plano xy b Elipse no plano xz c Circunferência no plano yz Descrição da Imagem na Figura 49 a há um plano cartesiano com eixos x e y Nele encontrase o desenho de uma elipse com centro na origem e eixo maior horizontal Na Figura 49 b observase um plano xz com o desenho de uma elipse de eixo maior horizontal Por fim na Figura 49 c há outro plano cartesiano com eixos y e z Nele temos o desenho de uma circunferência Figura 49 a Elipse no plano xy b Elipse no plano xz c Elipse no plano yz Fonte o autor z y x 5 5 5 5 10 10 Descrição da Imagem tratase de uma superfície elíptica que intercepta o eixo x nos pontos 10 e 10 o eixo y nos pontos 5 e 5 e o eixo z nos pontos 5 e 5 Figura 50 Elipsoide Fonte o autor UNIDADE 5 212 O protótipo pode ser construído com o auxílio de três palitos de espeto de madeira amarrados com barbante Depois os traços podem ser simulados com pedaços de arames e a superfície pode ser representada com a cobertura de pedaços de papéis Perceba que a escolha do formato elíptico garante uma certa aerodinâmi ca Na traseira são acopladas pás que garantem a dirigibilidade e abaixo são adaptados motores para garantir o impulso A ideia é de certa forma simples visto que usa conceitos básicos da física mecânica Com o passar dos tempos e a evolução da engenharia mecânica o homem definitivamente conquistou os céus e dominou a arte de voar 214 UNIDADE 1 BOULOS P CAMARGO I Geometria analítica um tratamento vetorial São Paulo Pearson Education do Brasil 2014 SANTOS N M Vetores e matrizes 4 ed Rio de Janeiro LTC 1985 STEINBRUCH A WINTERLE P Geometria analítica São Paulo Pearson Makron Books 2014 UNIDADE 2 BOULOS P CAMARGO I Geometria analítica um tratamento vetorial São Paulo Pearson Education do Brasil 2014 SANTOS N M Vetores e matrizes 4 ed Rio de Janeiro LTC 1985 STEINBRUCH A WINTERLE P Geometria analítica São Paulo Pearson Makron Books 2014 UNIDADE 3 BOULOS P CAMARGO I Geometria analítica um tratamento vetorial São Paulo Pearson Education do Brasil 2014 SANTOS N M Vetores e matrizes 4 ed Rio de Janeiro LTC 1985 STEINBRUCH A WINTERLE P Geometria analítica São Paulo Pearson Makron Books 2014 UNIDADE 4 BOULOS P CAMARGO I Geometria analítica um tratamento vetorial São Paulo Pearson Education do Brasil 2014 SANTOS N M Vetores e matrizes 4 ed Rio de Janeiro LTC 1985 STEINBRUCH A WINTERLE P Geometria analítica São Paulo Pearson Makron Books 2014 215 UNIDADE 5 BOLDRINI J M et al Álgebra linear 3 ed São Paulo Harper Row do Brasil 1980 BOULOS P CAMARGO I de Geometria analítica um tratamento vetorial São Paulo Ma kron Books do Brasil 1987 CALLIOLI C A et al Álgebra linear e aplicações 6 ed São Paulo Atual 1990 SANTOS N M dos Vetores e matrizes 4 ed Rio de Janeiro LTC 1985 STEINBRUCH A WINTERLE P Geometria analítica 2 ed São Paulo McGrawHill 1987 220 3 a Descrição da Imagem na imagem há um paralelogramo formado pelos vetores u e v com origem em comum A diagonal é representada pela soma dos vetores u v Figura 1 Gabarito do exercício 3 letra a Fonte o autor b Descrição da Imagem na imagem há o vetor 2u e depois o vetor v com origem na extremidade do vetor 2u O vetor diferença tem origem na origem do vetor 2u e extremidade na extremidade do vetor v Figura 2 Gabarito do exercício 3 letra b Fonte o autor 221 c d Descrição da Imagem na figura há o vetor v na vertical e depois o vetor w na horizontal com origem na extremidade do vetor v O vetor resultante v w tem origem no início do vetor v e extremidade na extremidade do vetor w Figura 3 Gabarito do exercício 3 letra c Fonte o autor Descrição da Imagem na figura há o vetor u e depois o vetor v com origem na extremidade do vetor u Na sequência há o vetor w cuja origem coincide com a extremidade do vetor v O vetor resultante dessa operação é o vetor u v w que tem origem no início do vetor u e extremidade na extremidade do vetor w Figura 4 Gabarito do exercício 3 letra d Fonte o autor 222 e f Descrição da Imagem na figura há o vetor u seguido do vetor v com origem na extremidade do vetor u Na sequência há o vetor w que tem origem na extremidade do vetor v O resultado final dessa operação é o vetor u v w que tem origem comum ao vetor u e extremidade coincidindo com a extremidade do vetor w Figura 5 Gabarito do exercício 3 letra e Fonte o autor Descrição da Imagem na figura há o vetor u seguido pelo vetor 13 do vetor v que coincide com a extre midade do vetor u Na sequência há o vetor 16 de w o qual tem origem na extremidade do vetor 13 de v O resultado final dessa operação é o vetor 0 também conhecido como vetor nulo Figura 6 Gabarito do exercício 3 letra f Fonte o autor 262 5 Vamos marcar as coordenadas no plano cartesiano F1 A1 C 3 x 1 A2 F2 y 3 y1 3 x 9 3 3 y2 3 x 9 3 3 3 Descrição da Imagem na figura há a curva de uma hipérbole com centro C13 eixo real vertical com vértices A112 e A214 e duas assíntotas com equações y13x3933 e y23x3933 Figura 19 Hipérbole com centro C13 e eixo real vertical Fonte o autor 1 0 y F1 3 A1 C A2 F2 4 5 x Descrição da Imagem na figura há um plano cartesiano com eixos x e y Nele encontramse os elementos da curva procurada sendo o centro C23 vértices A103 e A243 e focos F113 e F253 Figura 20 Vértices e focos da hipérbole Fonte o autor 270 V F04 y y 4 D0 4 x Descrição da Imagem na figura há uma parábola côncava para cima vértice V00 e foco F04 sobre o eixo y Ainda no eixo y temos o ponto D04 por onde passa a diretriz horizontal com equação y4 Figura 25 Parábola côncava para cima e vértice na origem Fonte o autor 275 Portanto a superfície é um hiperboloide de uma folha a Elipse no plano xy b Hipérbole no plano xz c Hipérbole no plano yz y x z x z y Descrição da Imagem na Figura 30 a temos um plano cartesiano com eixos x e y Nele encontrase o dese nho de uma elipse com centro na origem e eixo maior vertical Já na Figura 30 b observase um plano xz com o desenho de uma hipérbole de eixo real horizontal Na Figura 30 c há outro plano cartesiano com eixos y e z Nele temos o desenho de outra hipérbole com eixo real horizontal Figura 30 a Elipse no plano xy b Elipse no plano xz c Elipse no plano yz Fonte o autor z y x Descrição da Imagem tratase de um sistema com eixos cartesianos x y e z Nele há o desenho de um hiper boloide de uma folha ao longo do eixo z Figura 31 Hiperboloide de uma folha Fonte o autor 279 Portanto a superfície é um paraboloide elíptico ao longo do eixo z a Um ponto no plano xy b Parábola no plano xz c Parábola no plano yz y x z x z y Descrição da Imagem na Figura 35 a temos um plano cartesiano com eixos x e y Nele encontrase o dese nho de um único ponto sobre a origem Na Figura 35 b observase um plano com eixos x e z Nele temos uma parábola com concavidade voltada para cima Por fim na Figura 35 c há outro plano cartesiano com eixos y e z Nele temos o desenho de outra parábola com a concavidade voltada para cima Figura 35 a Um ponto no plano xy b Parábola no plano xz c Parábola no plano yz Fonte o autor z y x Descrição da Imagem tratase de um sistema com eixos x y e z Nele há o desenho de um paraboloide elíptico ao longo do eixo z Figura 36 Paraboloide elíptico Fonte o autor 282 Portanto temos um paraboloide hiperbólico a Duas retas no plano xy b Duas retas no plano xz c Parábola no plano yz y x z x z y Descrição da Imagem na Figura 39 a temos um plano cartesiano com eixos x e y Nele encontrase o desenho de duas retas passando pela origem Na Figura 39 b há um plano com eixos x e z Nele temos o desenho de uma parábola com a concavidade voltada para baixo Na Figura 39 c há outro plano cartesiano com eixos y e z Nele há o desenho de uma parábola com a concavidade voltada para cima Figura 39 a Duas retas no plano xy b Parábola no plano xz c Parábola no plano yz Fonte o autor z y x Descrição da Imagem tratase de um sistema de coordenadas com eixos x y e z Nele há o desenho de um paraboloide hiperbólico ao longo do eixo z Figura 40 Paraboloide hiperbólico Fonte o autor 285 7 a Dada a equação z y 2 4 no plano z 0 há y 0 isto é temos uma reta constante eixo x No plano y 0 temos z 0 eixo x Já no plano x 0 temos uma parábola z y 2 4 Em qualquer plano x k temos sempre a mesma equação z y 2 4 Portanto há um cilindro parabólico ao longo do eixo x z y x Descrição da Imagem tratase de um sistema de coordenadas com eixos x y e z Nele há o desenho de um cone duplo ao longo do eixo x Figura 43 Cone Fonte o autor a Reta y 0 no plano xy b Reta z 0 no plano xz c Parábola no plano yz y0 y x z0 z x z y z2 4y Descrição da Imagem na Figura 44 a temos um plano cartesiano com eixos x e y Nele encontrase o de senho de uma reta de equação y 0 que coincide com o eixo x Na Figura 44 b há um plano com eixos x e z Nele temos o desenho de outra reta de equação z 0 que coincide com o eixo x Na Figura 44 c há outro plano cartesiano com eixos y e z Nele há o desenho de uma parábola de equação z2 4y com a concavidade voltada para a direita Figura 44 a Reta no plano xy b Reta no plano xz c Parábola no plano yz Fonte o autor 287 Portanto temos um cilindro elíptico ao longo do eixo y a Duas retas no plano xy b Elipse no plano xz c Duas retas no plano yz y x z x z y Descrição da Imagem na Figura 46 a há um plano cartesiano com eixos x e y Nele encontrase o desenho de duas retas verticais paralelas ao eixo y Na Figura 46 b há um plano com eixos x e z Nele temos o desenho de uma elipse com eixo maior vertical Na Figura 46 c há outro plano cartesiano com eixos y e z Nele observase o desenho duas retas horizontais paralelas ao eixo y Figura 46 a Duas retas no plano xy b Elipse no plano xz c Duas retas no plano yz Fonte o autor z z x Descrição da Imagem tratase de um sistema de coordenadas com eixos x y e z Nele há o desenho de uma superfície cilíndrica gerada a partir de uma elipse ao longo do eixo y Figura 47 Cilindro elíptico Fonte o autor