Interpolação Polinomial e o Método dos Mínimos Quadrados

Interpolação polinomial e o método dos mínimos quadrados Prof Dr Ricardo Cardoso de Oliveira As coisas serem de uma maneira não significa que elas não possam ser mudadas Merlí Bergeron Interpolar uma função fx consiste em aproximar essa função por uma outra função gx A necessidade de se usar a interpolação surge em várias situações i quando são conhecidos apenas valores numérico da função para um conjunto de pontos e é necessário calcular o valor da função em um ponto não tabelado ii quando a função em estudo tem uma expressão tal que as operações como a diferenciação e a integração são difíceis ou mesmo impossíveis de serem realizadas Interpolação polinomial Cálculo Numérico Considere n1 pontos distintos x0 x1 x2 xn chamados de nós da interpolação e os valores de fx nesses pontos fx0 fx1 fx2 fxn Uma forma de interpolação de fx consiste em se obter uma função gx tal que fx0 gx0 fx1 gx1 fx2 gx2 fxn gxn Interpolação polinomial Cálculo Numérico Interpolação polinomial Figura Interpretação geométrica da interpolação Cálculo Numérico Vamos considerar que o polinômio seja de grau n isto é o polinômio é do tipo Admita que seja conhecido o conjunto de pontos ou nós de interpolação dado por Os coeficientes do polinômio interpolador são determinados substituindo os n nós de interpolação no polinômio e resolvendo um sistema de equações lineares Interpolação polinomial Cálculo Numérico Interpolação polinomial Cálculo Numérico Cálculo Numérico Exemplo 1 Aproxime o valor de log255 usando uma polinomial de grau 3 e o conjunto de valores disponíveis abaixo Cálculo Numérico Exemplo 1 Aproxime o valor de log255 usando uma polinomial de grau 3 e o conjunto de valores disponíveis abaixo Solução Note que temos disponíveis quatro nós de interpolação Desse modo podemos escrever um polinômio interpolador de grau máximo igual a três Assim digamos que o polinômio interpolador seja da forma Cálculo Numérico Exemplo 1 Aproxime o valor de log255 usando uma polinomial de grau 3 e o conjunto de valores disponíveis abaixo Solução Agora resolvemos o sistema de equações lineares Assim Cálculo Numérico Exemplo 1 Aproxime o valor de log255 usando uma polinomial de grau 3 e o conjunto de valores disponíveis abaixo Solução Agora resolvemos o sistema de equações lineares Assim Cálculo Numérico Exemplo 1 Aproxime o valor de log255 usando uma polinomial de grau 3 e o conjunto de valores disponíveis abaixo Solução Logo o polinômio interpolador é escrito como Cálculo Numérico Exemplo 1 Aproxime o valor de log255 usando uma polinomial de grau 3 e o conjunto de valores disponíveis abaixo Solução Logo o polinômio interpolador é escrito como Para valores dados f0 fx0 f1 fx1 fn fxn de uma função y fx o polinômio é de grau máximo n e é denominado fórmula de Lagrange do Polinômio de Interpolação com Interpolação polinomial de Lagrange Cálculo Numérico Exemplo 2 Use os valores abaixo e determine a função polinomial que interpola f pelo método de Lagrange e determine uma aproximação para f15 Cálculo Numérico Exemplo 2 Use os valores abaixo e determine a função polinomial que interpola f pelo método de Lagrange e determine uma aproximação para f15 Solução O polinômio interpolador de Lagrange para esse conjunto de dados é escrito como com Cálculo Numérico Interpolação polinomial de Lagrange Cálculo Numérico Interpolação polinomial de Lagrange Cálculo Numérico Exemplo 3 No exemplo 2 a função é f x ex Estime o erro cometido ao aproximar f150 pelo polinômio interpolador Cálculo Numérico Exemplo 3 No exemplo 2 a função é f x ex Estime o erro cometido ao aproximar f150 pelo polinômio interpolador Solução A estimativa para a cota superior do erro é calculada como segue Cálculo Numérico Exemplo 3 No exemplo 2 a função é f x ex Estime o erro cometido ao aproximar f150 pelo polinômio interpolador Solução A estimativa para a cota superior do erro é calculada como segue Cálculo Numérico