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Unicesumar Métodos numéricos para equações não lineares e sistemas de equações lineares Prof Dr Ricardo Cardoso de Oliveira Eu não sou louco Minha mãe me testou Sheldon Cooper Equação linear Uma equação é dita linear quando escrita na forma em que e são números reais denominados de coeficientes de incógnitas e são denominados incógnitas e é um número real chamado de termo independente Uma sequência de números reais digamos r1 r2 rn é denominada solução de uma equação linear quando transforma a equação linear em uma identidade Equações lineares Cálculo Numérico Clique para editar o título da disciplina Considere AX B o sistema de equações lineares com ne equações e n incógnitas em que A é a matriz dos coeficientes B é a matriz dos termos independentes e X é a matriz solução Exemplo 2 0 1 0 2 1 1 1 3 x y z 3 3 5 Sistemas lineares Cálculo Numérico A solução de um sistema de equações lineares é uma nupla ordenada que satisfaz simultaneamente as n equações que compõe o sistema de equações Exemplo Sistema de equações lineares 2 0 1 0 2 1 1 1 3 x y z 3 3 5 Solução 1 1 1 Solução de um sistema de equações lineares Cálculo Numérico Métodos diretos são caracterizados por apresentar a solução exata para o sistema dado não fossem os erros provenientes do algoritmo em um equipamento computacional Métodos iterativos são caracterizados por apresentar a solução aproximada para o sistema dado Métodos numéricos de resolução de sistemas lineares Cálculo Numérico Os métodos de eliminação de Gauss consistem em transformar o sistema de equações lineares AX B em um sistema equivalente aplicando operações equivalentes sobre as linhas da matriz A b Sistemas lineares método de eliminação de Gauss Cálculo Numérico Sistemas lineares método de eliminação de Gauss Cálculo Numérico Exemplo 1 Resolva o sistema de equações lineares abaixo empregando o método de eliminação de Gauss Cálculo Numérico Exemplo 1 Resolva o sistema de equações lineares abaixo empregando o método de eliminação de Gauss Cálculo Numérico Solução O sistema acima escrito em notação matricial fica Cálculo Numérico Solução Passo 1 escrever a matriz ampliada Cálculo Numérico Solução Passo 2 Usando operações elementares vamos transformar a matriz ampliada numa matriz triangular superior Unicesumar As técnicas de decomposição LU são empregadas para resolver sistemas de equações lineares AX B transformandoo em um sistema equivalente tal que a matriz dos coeficientes seja dada pelo produto matricial LU em que L é uma matriz triangular inferior e U uma matriz triangular superior Sistemas lineares método de decomposição LU Cálculo Numérico Sistemas lineares método de decomposição LU Cálculo Numérico Método de Doolittle A L U a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 1 0 0 l21 1 0 l31 l32 1 u11 u12 u13 0 u22 u23 0 0 u33 com Sistemas lineares método de decomposição LU Cálculo Numérico Cálculo Numérico Exemplo 2 Use o método de Doolittle e determine a solução do sistema de equações lineares Cálculo Numérico Exemplo 2 Use o método de Doolittle e determine a solução do sistema de equações lineares Solução Primeiramente necessitamos calcular os determinantes dos menores principais até ordem 2 associado a matriz dos coeficientes Cálculo Numérico 5 2 1 3 1 4 1 1 3 1 0 0 l21 1 0 l31 l32 1 u11 u12 u13 0 u22 u23 0 0 u33 u₁₁ a₁₁ ₀ᵏ0 I₁₀u₀₁ 5 Cálculo Numérico Solução A matriz dos coeficiente fica fatorada como um produto LU como apresentado abaixo Cálculo Numérico Solução A matriz dos coeficiente fica fatorada como um produto LU como apresentado abaixo e o sistema de equações lineares fica escrito como Cálculo Numérico Solução Fazendo UX Y temos Cálculo Numérico Solução Fazendo UX Y temos Agora resolvemos o sistema de equações LY B abaixo Cálculo Numérico Solução Por fim voltamos ao sistema UX Y substituímos a matriz Y e resolvemos o sistema para a matriz X Método de Cholesky A RT R a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 𝑟11 0 0 r12 r22 0 r13 r23 r33 𝑟11 r12 r13 0 r22 r23 0 0 r33 com Sistemas lineares método de decomposição LU Cálculo Numérico Cálculo Numérico Sistemas lineares métodos iterativos Considere o sistema de equações lineares escrito como Cálculo Numérico Sistemas lineares métodos iterativos Considere o sistema de equações lineares escrito como que por sua vez pode ser reescrito como Cálculo Numérico Sistemas lineares métodos iterativos E também na forma matricial como Cálculo Numérico Sistemas lineares métodos iterativos O método iterativo de JacobiRichardson O método iterativo de JacobiRichardson consiste em um processo iterativo no qual em cada iteração k os valores da matriz solução são atualizados segundo o algoritmo Cálculo Numérico Sistemas lineares métodos iterativos Cálculo Numérico Exemplo 3 Use o método iterativo de JacobiRichardson e resolva cm precisão de 𝜀 001 o sistema de equações lineares Cálculo Numérico Exemplo 3 Use o método iterativo de JacobiRichardson e resolva com precisão de 𝜀 001 o sistema de equações lineares Solução Primeiramente precisamos analisar se o sistema satisfaz o critério de convergência Cálculo Numérico Exemplo 3 Use o método iterativo de JacobiRichardson e resolva com precisão de 𝜀 001 o sistema de equações lineares Solução Como não foi satisfeita a condição de convergência iremos reescrever o sistema efetuando permuta entre as linhas 1 e 2 Cálculo Numérico Solução Agora analisamos a convergência do novo sistema de equações Cálculo Numérico Solução O sistema de equações é reescrito como x 3 2y 2z 5 y 2 x z 3 z 6 6y 8 Cálculo Numérico Solução O sistema de equações é reescrito como x 3 2y 2z 5 y 2 x z 3 z 6 6y 8 Vamos empregar a metodologia de Jacobi xk1 3 2yk 2zk 5 yk1 2 xk zk 3 zk1 6 6yk 8 Cálculo Numérico Solução xk1 3 2yk 2zk 5 yk1 2 xk zk 3 zk1 6 6yk 8 1º iteração x0 y0 z0 T 0 0 0 e k 0 Cálculo Numérico Solução xk1 3 2yk 2zk 5 yk1 2 xk zk 3 zk1 6 6yk 8 1º iteração x0 y0 z0 T 0 0 0 e k 0 Cálculo Numérico Solução xk1 3 2yk 2zk 5 yk1 2 xk zk 3 zk1 6 6yk 8 2º iteração x1 y1 z1 T 06000 06667 07500 e k 1 Cálculo Numérico Solução xk1 3 2yk 2zk 5 yk1 2 xk zk 3 zk1 6 6yk 8 2º iteração x1 y1 z1 T 06000 06667 07500 e k 1 Solução 13º iteração X12 1005 09952 0005ᵀ 12ª iteração 13ª iteração Erro x 1005 09961 0009001 y 09952 10036 0008001 z 0005 00036 0001001 Cálculo Numérico Sistemas lineares métodos iterativos O método iterativo de GaussSeidel O método iterativo de GaussSeidel consiste em um processo iterativo no qual em cada iteração k os valores da matriz solução que já foram calculados em uma iteração são usados na mesma iteração e aqueles que não foram calculados ainda são usados os valores da iteração anterior Cálculo Numérico Sistemas lineares métodos iterativos Cálculo Numérico Exemplo 4 Use o método iterativo de GaussSeidel e resolva com precisão de 𝜀 001 o sistema de equações lineares Cálculo Numérico Exemplo 4 Use o método iterativo de GaussSeidel e resolva com precisão de 𝜀 001 o sistema de equações lineares Solução Vamos aplicar o critério de Sassenfeld de convergência Cálculo Numérico Exemplo 4 Solução Vamos aplicar o critério de Sassenfeld de convergência Cálculo Numérico Exemplo 4 Solução Vamos aplicar o critério de Sassenfeld de convergência Cálculo Numérico Solução Agora vamos aplicar o método de GaussSeidel 1º iteração x0 y0 z0 T 0 0 0 e k 0 Cálculo Numérico Solução Agora vamos aplicar o método de GaussSeidel 1º iteração x0 y0 z0 T 0 0 0 e k 0 Cálculo Numérico Solução Agora vamos aplicar o método de GaussSeidel 2º iteração Cálculo Numérico Solução Agora vamos aplicar o método de GaussSeidel 4º iteração Unicesumar
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Unicesumar Métodos numéricos para equações não lineares e sistemas de equações lineares Prof Dr Ricardo Cardoso de Oliveira Eu não sou louco Minha mãe me testou Sheldon Cooper Equação linear Uma equação é dita linear quando escrita na forma em que e são números reais denominados de coeficientes de incógnitas e são denominados incógnitas e é um número real chamado de termo independente Uma sequência de números reais digamos r1 r2 rn é denominada solução de uma equação linear quando transforma a equação linear em uma identidade Equações lineares Cálculo Numérico Clique para editar o título da disciplina Considere AX B o sistema de equações lineares com ne equações e n incógnitas em que A é a matriz dos coeficientes B é a matriz dos termos independentes e X é a matriz solução Exemplo 2 0 1 0 2 1 1 1 3 x y z 3 3 5 Sistemas lineares Cálculo Numérico A solução de um sistema de equações lineares é uma nupla ordenada que satisfaz simultaneamente as n equações que compõe o sistema de equações Exemplo Sistema de equações lineares 2 0 1 0 2 1 1 1 3 x y z 3 3 5 Solução 1 1 1 Solução de um sistema de equações lineares Cálculo Numérico Métodos diretos são caracterizados por apresentar a solução exata para o sistema dado não fossem os erros provenientes do algoritmo em um equipamento computacional Métodos iterativos são caracterizados por apresentar a solução aproximada para o sistema dado Métodos numéricos de resolução de sistemas lineares Cálculo Numérico Os métodos de eliminação de Gauss consistem em transformar o sistema de equações lineares AX B em um sistema equivalente aplicando operações equivalentes sobre as linhas da matriz A b Sistemas lineares método de eliminação de Gauss Cálculo Numérico Sistemas lineares método de eliminação de Gauss Cálculo Numérico Exemplo 1 Resolva o sistema de equações lineares abaixo empregando o método de eliminação de Gauss Cálculo Numérico Exemplo 1 Resolva o sistema de equações lineares abaixo empregando o método de eliminação de Gauss Cálculo Numérico Solução O sistema acima escrito em notação matricial fica Cálculo Numérico Solução Passo 1 escrever a matriz ampliada Cálculo Numérico Solução Passo 2 Usando operações elementares vamos transformar a matriz ampliada numa matriz triangular superior Unicesumar As técnicas de decomposição LU são empregadas para resolver sistemas de equações lineares AX B transformandoo em um sistema equivalente tal que a matriz dos coeficientes seja dada pelo produto matricial LU em que L é uma matriz triangular inferior e U uma matriz triangular superior Sistemas lineares método de decomposição LU Cálculo Numérico Sistemas lineares método de decomposição LU Cálculo Numérico Método de Doolittle A L U a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 1 0 0 l21 1 0 l31 l32 1 u11 u12 u13 0 u22 u23 0 0 u33 com Sistemas lineares método de decomposição LU Cálculo Numérico Cálculo Numérico Exemplo 2 Use o método de Doolittle e determine a solução do sistema de equações lineares Cálculo Numérico Exemplo 2 Use o método de Doolittle e determine a solução do sistema de equações lineares Solução Primeiramente necessitamos calcular os determinantes dos menores principais até ordem 2 associado a matriz dos coeficientes Cálculo Numérico 5 2 1 3 1 4 1 1 3 1 0 0 l21 1 0 l31 l32 1 u11 u12 u13 0 u22 u23 0 0 u33 u₁₁ a₁₁ ₀ᵏ0 I₁₀u₀₁ 5 Cálculo Numérico Solução A matriz dos coeficiente fica fatorada como um produto LU como apresentado abaixo Cálculo Numérico Solução A matriz dos coeficiente fica fatorada como um produto LU como apresentado abaixo e o sistema de equações lineares fica escrito como Cálculo Numérico Solução Fazendo UX Y temos Cálculo Numérico Solução Fazendo UX Y temos Agora resolvemos o sistema de equações LY B abaixo Cálculo Numérico Solução Por fim voltamos ao sistema UX Y substituímos a matriz Y e resolvemos o sistema para a matriz X Método de Cholesky A RT R a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 𝑟11 0 0 r12 r22 0 r13 r23 r33 𝑟11 r12 r13 0 r22 r23 0 0 r33 com Sistemas lineares método de decomposição LU Cálculo Numérico Cálculo Numérico Sistemas lineares métodos iterativos Considere o sistema de equações lineares escrito como Cálculo Numérico Sistemas lineares métodos iterativos Considere o sistema de equações lineares escrito como que por sua vez pode ser reescrito como Cálculo Numérico Sistemas lineares métodos iterativos E também na forma matricial como Cálculo Numérico Sistemas lineares métodos iterativos O método iterativo de JacobiRichardson O método iterativo de JacobiRichardson consiste em um processo iterativo no qual em cada iteração k os valores da matriz solução são atualizados segundo o algoritmo Cálculo Numérico Sistemas lineares métodos iterativos Cálculo Numérico Exemplo 3 Use o método iterativo de JacobiRichardson e resolva cm precisão de 𝜀 001 o sistema de equações lineares Cálculo Numérico Exemplo 3 Use o método iterativo de JacobiRichardson e resolva com precisão de 𝜀 001 o sistema de equações lineares Solução Primeiramente precisamos analisar se o sistema satisfaz o critério de convergência Cálculo Numérico Exemplo 3 Use o método iterativo de JacobiRichardson e resolva com precisão de 𝜀 001 o sistema de equações lineares Solução Como não foi satisfeita a condição de convergência iremos reescrever o sistema efetuando permuta entre as linhas 1 e 2 Cálculo Numérico Solução Agora analisamos a convergência do novo sistema de equações Cálculo Numérico Solução O sistema de equações é reescrito como x 3 2y 2z 5 y 2 x z 3 z 6 6y 8 Cálculo Numérico Solução O sistema de equações é reescrito como x 3 2y 2z 5 y 2 x z 3 z 6 6y 8 Vamos empregar a metodologia de Jacobi xk1 3 2yk 2zk 5 yk1 2 xk zk 3 zk1 6 6yk 8 Cálculo Numérico Solução xk1 3 2yk 2zk 5 yk1 2 xk zk 3 zk1 6 6yk 8 1º iteração x0 y0 z0 T 0 0 0 e k 0 Cálculo Numérico Solução xk1 3 2yk 2zk 5 yk1 2 xk zk 3 zk1 6 6yk 8 1º iteração x0 y0 z0 T 0 0 0 e k 0 Cálculo Numérico Solução xk1 3 2yk 2zk 5 yk1 2 xk zk 3 zk1 6 6yk 8 2º iteração x1 y1 z1 T 06000 06667 07500 e k 1 Cálculo Numérico Solução xk1 3 2yk 2zk 5 yk1 2 xk zk 3 zk1 6 6yk 8 2º iteração x1 y1 z1 T 06000 06667 07500 e k 1 Solução 13º iteração X12 1005 09952 0005ᵀ 12ª iteração 13ª iteração Erro x 1005 09961 0009001 y 09952 10036 0008001 z 0005 00036 0001001 Cálculo Numérico Sistemas lineares métodos iterativos O método iterativo de GaussSeidel O método iterativo de GaussSeidel consiste em um processo iterativo no qual em cada iteração k os valores da matriz solução que já foram calculados em uma iteração são usados na mesma iteração e aqueles que não foram calculados ainda são usados os valores da iteração anterior Cálculo Numérico Sistemas lineares métodos iterativos Cálculo Numérico Exemplo 4 Use o método iterativo de GaussSeidel e resolva com precisão de 𝜀 001 o sistema de equações lineares Cálculo Numérico Exemplo 4 Use o método iterativo de GaussSeidel e resolva com precisão de 𝜀 001 o sistema de equações lineares Solução Vamos aplicar o critério de Sassenfeld de convergência Cálculo Numérico Exemplo 4 Solução Vamos aplicar o critério de Sassenfeld de convergência Cálculo Numérico Exemplo 4 Solução Vamos aplicar o critério de Sassenfeld de convergência Cálculo Numérico Solução Agora vamos aplicar o método de GaussSeidel 1º iteração x0 y0 z0 T 0 0 0 e k 0 Cálculo Numérico Solução Agora vamos aplicar o método de GaussSeidel 1º iteração x0 y0 z0 T 0 0 0 e k 0 Cálculo Numérico Solução Agora vamos aplicar o método de GaussSeidel 2º iteração Cálculo Numérico Solução Agora vamos aplicar o método de GaussSeidel 4º iteração Unicesumar