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Sistemas de numeração e teoria do erro Prof Dr Ricardo Cardoso de Oliveira Números objeto da matemática usado para descrever ordem quantidade ou medida Sistemas de numeração Tábua de Uruk 3500 aC Cálculo Numérico Sistema de numeração é um conjunto composto por dígitos e regras que são usados para representar os numerais de uma forma consistente Sistemas de numeração Cálculo Numérico Sistema de numeração egípcio Sistemas de numeração Cálculo Numérico Sistema de numeração egípcio Sistema de numeração maia Sistemas de numeração Sistema de numeração maia Cálculo Numérico Sistemas de numeração Cálculo Numérico Sistema de numeração indoarábico Sistema de numeração indoarábico Bases de alguns sistemas de numeração posicional BINÁRIO 0 1 OCTAL 0 1 2 3 4 5 6 7 DECIMAL 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 HEXADECIMAL 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F Bases de sistemas de numeração Cálculo Numérico Definição Seja b um número natural tal que b 2 e seja D o conjunto de dígitos tal que D 0 1 2 3 4 b 2 b 1 O número x pode ser escrito no sistema de numeração posicional de base b da seguinte maneira x b dndn1dn2 d1d0 d1d2 dk com di D e k i e n satisfazem a relação k 0 i n Bases de sistemas de numeração Cálculo Numérico Bases de alguns sistemas de numeração posicional BINÁRIO 0 1 OCTAL 0 1 2 3 4 5 6 7 DECIMAL 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 HEXADECIMAL 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F Bases de sistemas de numeração Cálculo Numérico Representação de um número em uma base a 123410 Sistemas de numeração Cálculo Numérico Representação de um número em uma base b 1001112 Sistemas de numeração Cálculo Numérico Representação de um número em uma base c EB32416 E 𝟏𝟔𝟐 B 𝟏𝟔𝟏 3 𝟏𝟔𝟎 2 𝟏𝟔𝟏 4 𝟏𝟔𝟐 Sistemas de numeração Cálculo Numérico Sistemas de numeração Conversão da base 𝐛 para base 10 a 1001112 1 𝟐𝟑 0 𝟐𝟐 0 𝟐𝟏 1 𝟐𝟎 1 𝟐𝟏𝟐𝟎 1 𝟐𝟏 Cálculo Numérico Sistemas de numeração Conversão da base b para base 10 b EB32416 E 𝟏𝟔𝟐 B 𝟏𝟔𝟏 3 𝟏𝟔𝟎 2 𝟏𝟔𝟏 4 𝟏𝟔𝟐 Cálculo Numérico Conversão da base 10 para base b PARTE INTEIRA método das divisões sucessivas A 25 10 2 Sistemas de numeração Cálculo Numérico Conversão da base 10 para base 𝐛 PARTE INTEIRA método das divisões sucessivas B 2020 10 16 Sistemas de numeração Cálculo Numérico Conversão da base 10 para base b PARTE FRACIONÁRIA método das multiplicações sucessivas Consiste em efetuar multiplicações na parte decimal do número N que está em base 10 sucessivamente por b armazenando em cada passo a parte inteira do resultado obtido pela multiplicação até que o resultado das multiplicações seja igual a 1 um inteiro Sistemas de numeração Cálculo Numérico Conversão da base 10 para base b PARTE FRACIONÁRIA método das multiplicações sucessivas A 04375 10 2 Sistemas de numeração Cálculo Numérico Conversão da base 10 para base 𝐛 PARTE FRACIONÁRIA método das multiplicações sucessivas B 02 10 2 Sistemas de numeração Cálculo Numérico A representação em ponto fixo foi empregada há muito tempo em muitos computadores de tal forma que dado um número real não nulo digamos y ele é representado em ponto fixo como y ik n xibi Representação numérica em máquinas Cálculo Numérico A representação em ponto flutuante é a que é universalmente empregada nos dias atuais e é muito mais flexível de ponto fixo y m be Representação numérica em máquinas Cálculo Numérico Sistema de ponto flutuante SPF é definido pela quádrupla de números denotado por SPFbn l L e contém todos os floats normalizados representados por esses valores incluindo também o número zero Sistemas de ponto flutuante Cálculo Numérico Sistemas de ponto flutuante HP 25 SPF F10 9 98 100 Cálculo Numérico Sistemas de ponto flutuante IBM 370 SPF F8 13 51 77 Cálculo Numérico Sistema de ponto flutuante Resultado na HP 25 Cálculo Numérico Sistema de ponto flutuante Resultado num IBM 4341 Cálculo Numérico Sistema de ponto flutuante SPF é definido pela quádrupla de números denotado por SPFbn l L e contém todos os floats normalizados representados por esses valores incluindo também o número zero maior representável 0 b 1 b 1 b 1 bL menor representável 0 100 000 bl total de mantissas positivas b 1 bn1 total de números reais 2 mantissas expoentes 1 Sistemas de ponto flutuante Cálculo Numérico Exemplo 1 Considere o sistema de ponto flutuante F2312 Quais são os números exatamente representáveis nesse sistema de numeração Sistema de ponto flutuante Cálculo Numérico Sistema de ponto flutuante Cálculo Numérico Exemplo 1 Considere o sistema de ponto flutuante F2312 Quais são os números exatamente representáveis nesse sistema de numeração Solução 1º Passo identificar todas as possibilidades de mantissa Cálculo Numérico Exemplo 1 Considere o sistema de ponto flutuante F2312 Quais são os números exatamente representáveis nesse sistema de numeração Solução 2º Passo identificar todas as possibilidades de expoentes da base Cálculo Numérico Exemplo 1 Considere o sistema de ponto flutuante F2312 Quais são os números exatamente representáveis nesse sistema de numeração Solução 3º Passo identificar todas os números desse SPF Cálculo Numérico Exemplo 1 Considere o sistema de ponto flutuante F2312 Quais são os números exatamente representáveis nesse sistema de numeração Solução 3º Passo identificar todas os números desse SPF Cálculo Numérico Exemplo 1 Considere o sistema de ponto flutuante F2312 Quais são os números exatamente representáveis nesse sistema de numeração Solução 3º Passo identificar todas os números desse SPF Cálculo Numérico Exemplo 1 Considere o sistema de ponto flutuante F2312 Quais são os números exatamente representáveis nesse sistema de numeração Solução Assim os números exatamente representáveis estão no conjunto R x x 7 2 1 4 0 1 4 7 2 Cálculo Numérico Exemplo 1 Considere o sistema de ponto flutuante F2312 Quais são os números exatamente representáveis nesse sistema de numeração Solução Assim os números exatamente representáveis estão no conjunto R x x 7 2 1 4 0 1 4 7 2 A região de underflow é Under x x 1 4 0 0 1 4 Cálculo Numérico Exemplo 1 Considere o sistema de ponto flutuante F2312 Quais são os números exatamente representáveis nesse sistema de numeração Solução Assim os números exatamente representáveis estão no conjunto R x x 7 2 1 4 0 1 4 7 2 A região de overflow é Over x x 7 2 7 2 Cálculo Numérico
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Sistemas de numeração e teoria do erro Prof Dr Ricardo Cardoso de Oliveira Números objeto da matemática usado para descrever ordem quantidade ou medida Sistemas de numeração Tábua de Uruk 3500 aC Cálculo Numérico Sistema de numeração é um conjunto composto por dígitos e regras que são usados para representar os numerais de uma forma consistente Sistemas de numeração Cálculo Numérico Sistema de numeração egípcio Sistemas de numeração Cálculo Numérico Sistema de numeração egípcio Sistema de numeração maia Sistemas de numeração Sistema de numeração maia Cálculo Numérico Sistemas de numeração Cálculo Numérico Sistema de numeração indoarábico Sistema de numeração indoarábico Bases de alguns sistemas de numeração posicional BINÁRIO 0 1 OCTAL 0 1 2 3 4 5 6 7 DECIMAL 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 HEXADECIMAL 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F Bases de sistemas de numeração Cálculo Numérico Definição Seja b um número natural tal que b 2 e seja D o conjunto de dígitos tal que D 0 1 2 3 4 b 2 b 1 O número x pode ser escrito no sistema de numeração posicional de base b da seguinte maneira x b dndn1dn2 d1d0 d1d2 dk com di D e k i e n satisfazem a relação k 0 i n Bases de sistemas de numeração Cálculo Numérico Bases de alguns sistemas de numeração posicional BINÁRIO 0 1 OCTAL 0 1 2 3 4 5 6 7 DECIMAL 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 HEXADECIMAL 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F Bases de sistemas de numeração Cálculo Numérico Representação de um número em uma base a 123410 Sistemas de numeração Cálculo Numérico Representação de um número em uma base b 1001112 Sistemas de numeração Cálculo Numérico Representação de um número em uma base c EB32416 E 𝟏𝟔𝟐 B 𝟏𝟔𝟏 3 𝟏𝟔𝟎 2 𝟏𝟔𝟏 4 𝟏𝟔𝟐 Sistemas de numeração Cálculo Numérico Sistemas de numeração Conversão da base 𝐛 para base 10 a 1001112 1 𝟐𝟑 0 𝟐𝟐 0 𝟐𝟏 1 𝟐𝟎 1 𝟐𝟏𝟐𝟎 1 𝟐𝟏 Cálculo Numérico Sistemas de numeração Conversão da base b para base 10 b EB32416 E 𝟏𝟔𝟐 B 𝟏𝟔𝟏 3 𝟏𝟔𝟎 2 𝟏𝟔𝟏 4 𝟏𝟔𝟐 Cálculo Numérico Conversão da base 10 para base b PARTE INTEIRA método das divisões sucessivas A 25 10 2 Sistemas de numeração Cálculo Numérico Conversão da base 10 para base 𝐛 PARTE INTEIRA método das divisões sucessivas B 2020 10 16 Sistemas de numeração Cálculo Numérico Conversão da base 10 para base b PARTE FRACIONÁRIA método das multiplicações sucessivas Consiste em efetuar multiplicações na parte decimal do número N que está em base 10 sucessivamente por b armazenando em cada passo a parte inteira do resultado obtido pela multiplicação até que o resultado das multiplicações seja igual a 1 um inteiro Sistemas de numeração Cálculo Numérico Conversão da base 10 para base b PARTE FRACIONÁRIA método das multiplicações sucessivas A 04375 10 2 Sistemas de numeração Cálculo Numérico Conversão da base 10 para base 𝐛 PARTE FRACIONÁRIA método das multiplicações sucessivas B 02 10 2 Sistemas de numeração Cálculo Numérico A representação em ponto fixo foi empregada há muito tempo em muitos computadores de tal forma que dado um número real não nulo digamos y ele é representado em ponto fixo como y ik n xibi Representação numérica em máquinas Cálculo Numérico A representação em ponto flutuante é a que é universalmente empregada nos dias atuais e é muito mais flexível de ponto fixo y m be Representação numérica em máquinas Cálculo Numérico Sistema de ponto flutuante SPF é definido pela quádrupla de números denotado por SPFbn l L e contém todos os floats normalizados representados por esses valores incluindo também o número zero Sistemas de ponto flutuante Cálculo Numérico Sistemas de ponto flutuante HP 25 SPF F10 9 98 100 Cálculo Numérico Sistemas de ponto flutuante IBM 370 SPF F8 13 51 77 Cálculo Numérico Sistema de ponto flutuante Resultado na HP 25 Cálculo Numérico Sistema de ponto flutuante Resultado num IBM 4341 Cálculo Numérico Sistema de ponto flutuante SPF é definido pela quádrupla de números denotado por SPFbn l L e contém todos os floats normalizados representados por esses valores incluindo também o número zero maior representável 0 b 1 b 1 b 1 bL menor representável 0 100 000 bl total de mantissas positivas b 1 bn1 total de números reais 2 mantissas expoentes 1 Sistemas de ponto flutuante Cálculo Numérico Exemplo 1 Considere o sistema de ponto flutuante F2312 Quais são os números exatamente representáveis nesse sistema de numeração Sistema de ponto flutuante Cálculo Numérico Sistema de ponto flutuante Cálculo Numérico Exemplo 1 Considere o sistema de ponto flutuante F2312 Quais são os números exatamente representáveis nesse sistema de numeração Solução 1º Passo identificar todas as possibilidades de mantissa Cálculo Numérico Exemplo 1 Considere o sistema de ponto flutuante F2312 Quais são os números exatamente representáveis nesse sistema de numeração Solução 2º Passo identificar todas as possibilidades de expoentes da base Cálculo Numérico Exemplo 1 Considere o sistema de ponto flutuante F2312 Quais são os números exatamente representáveis nesse sistema de numeração Solução 3º Passo identificar todas os números desse SPF Cálculo Numérico Exemplo 1 Considere o sistema de ponto flutuante F2312 Quais são os números exatamente representáveis nesse sistema de numeração Solução 3º Passo identificar todas os números desse SPF Cálculo Numérico Exemplo 1 Considere o sistema de ponto flutuante F2312 Quais são os números exatamente representáveis nesse sistema de numeração Solução 3º Passo identificar todas os números desse SPF Cálculo Numérico Exemplo 1 Considere o sistema de ponto flutuante F2312 Quais são os números exatamente representáveis nesse sistema de numeração Solução Assim os números exatamente representáveis estão no conjunto R x x 7 2 1 4 0 1 4 7 2 Cálculo Numérico Exemplo 1 Considere o sistema de ponto flutuante F2312 Quais são os números exatamente representáveis nesse sistema de numeração Solução Assim os números exatamente representáveis estão no conjunto R x x 7 2 1 4 0 1 4 7 2 A região de underflow é Under x x 1 4 0 0 1 4 Cálculo Numérico Exemplo 1 Considere o sistema de ponto flutuante F2312 Quais são os números exatamente representáveis nesse sistema de numeração Solução Assim os números exatamente representáveis estão no conjunto R x x 7 2 1 4 0 1 4 7 2 A região de overflow é Over x x 7 2 7 2 Cálculo Numérico