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As EDOs de ordem superior são classificadas em lineares ou nãolineares Uma EDO é linear quando O grau da variável dependente e suas derivadas é igual a 1 Os coeficientes são constantes ou dependem apenas da variável independente Caso a EDO apresente funções trigonométricas exponenciais ou logarítmicas a formação deve surgir ou respeitar a logaritmos somente com variável independente Exemplo Classifique as EDOs quanto a ordenabilidade a y y 0 EDO de 2ª ordem não linear b x y4 3y 5x²y e² EDO de 4ª ordem linear c dy²dx² 3dydx 4y x²exy² 1 EDO de 2ª ordem não linear Observação As EDOs no linear de ordem superior a primeira são normalmente de resolução analítica complexa ou impossível de resolução Dessa forma iremos estudar apenas as EDOs lineares de ordem superior Equações diferenciais ordinárias lineares de ordem superior ordem n Definição 2 Uma EDO linear de ordem n tem uma forma geral dada por anxynx an1xyn1x a1xyx a0xyx fx Onde aix i01n e fx são funções reais e contínuas em um intervalo real I ab com anx 0 para todo x I A EDO 2 pode admitir algumas classificações de acordo com a sua estrutura apresentada Se fx 0 2 é denominada a EDO linear homogênea Se fx 0 2 é denominada da EDO linear não homogênea Se todos os coeficientes aix i01n são constantes reais mínimos então 2 é chamada de EDO linear com coeficientes constantes Se pelo menos existir algum aix i0n Equações diferenciais ordinárias de ordem superior ordem n Introdução Inicialmente iremos abordar algumas definições e alguns teoremas essenciais para o estudo que envolve equações diferenciais ordinárias de ordem superior Em seguida apresentaremos métodos de resolução de acordo com as características das equações Definição 1 Uma equação diferencial ordinária de ordem n é uma equação que envolve parâmetros reais variável dependente e suas derivadas até a ordem n relacionadas a uma variável independente Essa equação é definida em um intervalo I e representada genericamente por Fabkx yx yx yx ynx 0 Exemplos classifique as equações diferenciais quanto à ordem e tipo de coeficientes e homogeneidade Definição 3 Uma função y ϕx definida na intervalos I R para admites n derivadas contínuas é uma solução da equação 2 Teoremas Importantes para o estudo das EDOs Lineares Analisando os intervalos de continuidade das funções yx2x3 xℝ x4 lnx x0 logo I0 com x₀I c₁ d²y dt² ρt dy dt qty 0 yt₀ 0 e yt₀ 0 solução como ρt e qt são funções contínuas para todos tℝ então I com t₀I Definição 4 Se f₁x f₂x fₙx são funções quaisquer c₁ c₂ cₙ constantes reais então a expressão c₁ f₁x c₂ f₂x cₙ fₙx 0 xI e chamada de combinação linear das funções f₁x f₂x fₙx Em outras palavras combinação linear é uma soma como de funções multiplicadas por escalares reais Definição 5 Seja f₁x f₂x fₙx um conjunto com n funções se existir algum cᵢ 0 i1n tal que c₁ f₁x c₂ f₂x cₙ fₙx 0 xI então o conjunto de funções é linearmente dependente LD em I se todos os cᵢ0 isto é c₁c₂cₙ0 solução trivial tal que c₁ f₁x c₂ f₂x cₙ fₙx 0 xI então o conjunto de funções é linearmente independente LI em I Exemplo Verifique a dependência dos conjuntos de funções A x 2x 3 x01 solução c₁ x c₂ 2x 0 c₁ 2c₂x 0 Notem que solução Note que x₀ 1 Transformando o coeficiente do termo de maior ordem em 1 temos x² 3x y x y x 3 y 0 x² 3x y x y x 3 0 Analisando os pontos de continuidade das funções xℝ x²3x x0 e x3 x ℝ x3 x²3x x0 e x3 Como x₀1 deve pertencer a I então I03 b₁ x y x² y x³ y x⁴ y x⁵ lnx solução Dividindo a equação por x temos y x y x² y x³ x4 lnx como temos c1 0 que satisfaz a combinação linear logo como temos c1 0 que satisfaz a combinação linear logo Obs existe uma forma mais simples de verificar a dependência de um conjunto de funções O teorema a seguir descreve um critério simples e rápido wf1x f2x f3x xlnx 12lnx 3 xlnx2lnx x0 x2lnxd1x 0lnx 1x2lnx 1x2lnx xx 2lnx 31xlnx wf1x f2x f3x 2xlnx 3xlnx 2xlnx 3x xlnx 2xlnx x 2xlnx 3xlnx wf1x f2x f3x 2x xlnx 0 x 0 d x 2x fx f2x solução wf1x f2x x 2x 2x 2x 0 logo o conjunto é LI x 0 2 Analise a dependência das funções xm e xn solução wxm xn Xm Xnmn1xn1 nXm mX m nXm1 Teorema 3 Princípio da superposição da solução geral da EDO linear homogênea Seja y1x y2x ynx soluções linearmente independentes da EDO linear homogênea Então a solução geral dessa equação é a combinação linear dessas soluções isto é yh c1y1x c2y2x cnynx para quaisquer c1 c2 cn constantes Observação Quando afirmamos que y1x y2x ynx são soluções linearmente independentes estamos falando de um conceito fundamental Wy1x ynx 0 x I Exemplos 1 Seja y1x e y2x soluções LI da equação a2xyx a1xyx a0xyx 0 bx 0 Mostre que yn c1y1x c2y2x é solução geral da EDO para quaisquer c1 e c2 pertencentes aos reais Demonstração Por hipótese temos Wy1x y2x 0 a2xy1x q1xyx a0xyx 0 verdadeiro a2xy2x q1xy2x a0xy2x 0 verdadeiro Substituindo yh c1y1x c2y2x na EDO temos a2xc1y1x c2y2x a1xc1y1x c2y2x a0xc1y1x c2y2x 0 a2xc1y1x c2y2x a1xc1y1x c2y2x a0xc1y1x c2y2x 0 c1g1y1x g2y2x a0xg1y1x g2y2x 0 c10 c20 0 Portanto y c1y1x c2y2x é solução geral da EDO 2 Sabendo que y1 senx e y2 cosx são soluções LI da equação y y 0 Determine a solução geral solução De fato y1 e y2 são LI pois Wy1y2 sinx cosx cosx sinx 1 0 x ℝ yh c1 y1x c2 y2x 2x2 y2 3x y2 y2 2x2 2x3 3x x2 x1 4x3 3x4 x1 0 V Teorema 4 solução geral da EDO linear não homogenea fx 0 yg 2Gx² 4qGx³
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As EDOs de ordem superior são classificadas em lineares ou nãolineares Uma EDO é linear quando O grau da variável dependente e suas derivadas é igual a 1 Os coeficientes são constantes ou dependem apenas da variável independente Caso a EDO apresente funções trigonométricas exponenciais ou logarítmicas a formação deve surgir ou respeitar a logaritmos somente com variável independente Exemplo Classifique as EDOs quanto a ordenabilidade a y y 0 EDO de 2ª ordem não linear b x y4 3y 5x²y e² EDO de 4ª ordem linear c dy²dx² 3dydx 4y x²exy² 1 EDO de 2ª ordem não linear Observação As EDOs no linear de ordem superior a primeira são normalmente de resolução analítica complexa ou impossível de resolução Dessa forma iremos estudar apenas as EDOs lineares de ordem superior Equações diferenciais ordinárias lineares de ordem superior ordem n Definição 2 Uma EDO linear de ordem n tem uma forma geral dada por anxynx an1xyn1x a1xyx a0xyx fx Onde aix i01n e fx são funções reais e contínuas em um intervalo real I ab com anx 0 para todo x I A EDO 2 pode admitir algumas classificações de acordo com a sua estrutura apresentada Se fx 0 2 é denominada a EDO linear homogênea Se fx 0 2 é denominada da EDO linear não homogênea Se todos os coeficientes aix i01n são constantes reais mínimos então 2 é chamada de EDO linear com coeficientes constantes Se pelo menos existir algum aix i0n Equações diferenciais ordinárias de ordem superior ordem n Introdução Inicialmente iremos abordar algumas definições e alguns teoremas essenciais para o estudo que envolve equações diferenciais ordinárias de ordem superior Em seguida apresentaremos métodos de resolução de acordo com as características das equações Definição 1 Uma equação diferencial ordinária de ordem n é uma equação que envolve parâmetros reais variável dependente e suas derivadas até a ordem n relacionadas a uma variável independente Essa equação é definida em um intervalo I e representada genericamente por Fabkx yx yx yx ynx 0 Exemplos classifique as equações diferenciais quanto à ordem e tipo de coeficientes e homogeneidade Definição 3 Uma função y ϕx definida na intervalos I R para admites n derivadas contínuas é uma solução da equação 2 Teoremas Importantes para o estudo das EDOs Lineares Analisando os intervalos de continuidade das funções yx2x3 xℝ x4 lnx x0 logo I0 com x₀I c₁ d²y dt² ρt dy dt qty 0 yt₀ 0 e yt₀ 0 solução como ρt e qt são funções contínuas para todos tℝ então I com t₀I Definição 4 Se f₁x f₂x fₙx são funções quaisquer c₁ c₂ cₙ constantes reais então a expressão c₁ f₁x c₂ f₂x cₙ fₙx 0 xI e chamada de combinação linear das funções f₁x f₂x fₙx Em outras palavras combinação linear é uma soma como de funções multiplicadas por escalares reais Definição 5 Seja f₁x f₂x fₙx um conjunto com n funções se existir algum cᵢ 0 i1n tal que c₁ f₁x c₂ f₂x cₙ fₙx 0 xI então o conjunto de funções é linearmente dependente LD em I se todos os cᵢ0 isto é c₁c₂cₙ0 solução trivial tal que c₁ f₁x c₂ f₂x cₙ fₙx 0 xI então o conjunto de funções é linearmente independente LI em I Exemplo Verifique a dependência dos conjuntos de funções A x 2x 3 x01 solução c₁ x c₂ 2x 0 c₁ 2c₂x 0 Notem que solução Note que x₀ 1 Transformando o coeficiente do termo de maior ordem em 1 temos x² 3x y x y x 3 y 0 x² 3x y x y x 3 0 Analisando os pontos de continuidade das funções xℝ x²3x x0 e x3 x ℝ x3 x²3x x0 e x3 Como x₀1 deve pertencer a I então I03 b₁ x y x² y x³ y x⁴ y x⁵ lnx solução Dividindo a equação por x temos y x y x² y x³ x4 lnx como temos c1 0 que satisfaz a combinação linear logo como temos c1 0 que satisfaz a combinação linear logo Obs existe uma forma mais simples de verificar a dependência de um conjunto de funções O teorema a seguir descreve um critério simples e rápido wf1x f2x f3x xlnx 12lnx 3 xlnx2lnx x0 x2lnxd1x 0lnx 1x2lnx 1x2lnx xx 2lnx 31xlnx wf1x f2x f3x 2xlnx 3xlnx 2xlnx 3x xlnx 2xlnx x 2xlnx 3xlnx wf1x f2x f3x 2x xlnx 0 x 0 d x 2x fx f2x solução wf1x f2x x 2x 2x 2x 0 logo o conjunto é LI x 0 2 Analise a dependência das funções xm e xn solução wxm xn Xm Xnmn1xn1 nXm mX m nXm1 Teorema 3 Princípio da superposição da solução geral da EDO linear homogênea Seja y1x y2x ynx soluções linearmente independentes da EDO linear homogênea Então a solução geral dessa equação é a combinação linear dessas soluções isto é yh c1y1x c2y2x cnynx para quaisquer c1 c2 cn constantes Observação Quando afirmamos que y1x y2x ynx são soluções linearmente independentes estamos falando de um conceito fundamental Wy1x ynx 0 x I Exemplos 1 Seja y1x e y2x soluções LI da equação a2xyx a1xyx a0xyx 0 bx 0 Mostre que yn c1y1x c2y2x é solução geral da EDO para quaisquer c1 e c2 pertencentes aos reais Demonstração Por hipótese temos Wy1x y2x 0 a2xy1x q1xyx a0xyx 0 verdadeiro a2xy2x q1xy2x a0xy2x 0 verdadeiro Substituindo yh c1y1x c2y2x na EDO temos a2xc1y1x c2y2x a1xc1y1x c2y2x a0xc1y1x c2y2x 0 a2xc1y1x c2y2x a1xc1y1x c2y2x a0xc1y1x c2y2x 0 c1g1y1x g2y2x a0xg1y1x g2y2x 0 c10 c20 0 Portanto y c1y1x c2y2x é solução geral da 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