Estabilidade e Controle de Sistemas Dinâmicos - Módulo 3

Estabilidade de sistemas Respostas de sistemas Erro em regime permanente Acoes basicas de controle Controle de Sistemas Dinˆamicos Modulo 3 Resposta Transitoria Fabrıcio Hoff Dupont Universidade Comunitaria da Regiao de Chapeco Unochapeco Curso de Engenharia Mecˆanica II Semestre 2022 Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Estabilidade de sistemas Respostas de sistemas Erro em regime permanente Acoes basicas de controle Sumario do Modulo 1 Estabilidade de sistemas Criterio de Routh 2 Respostas de sistemas Primeira ordem Segunda ordem Especificacoes do tempo de resposta Sistemas de ordem superior ou com zeros 3 Erro em regime permanente Entrada do tipo degrau Entrada do tipo rampa Entrada do tipo parabola 4 Acoes basicas de controle Proporcional integral e derivativo Efeitos das acoes de controle Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Estabilidade de sistemas Respostas de sistemas Erro em regime permanente Acoes basicas de controle Criterio de Routh Criterio de Routh Considere o sistema Gs Ns Ds Ns a0sn a1sn1 an1s an 1 O criterio de Routh permite analisar a estabilidade de sistemas sem a necessidade de determinar as raızes do polinˆomio caracterıstico O criterio define o seguinte Se no polinˆomio Ds estiver faltando alguns dos coeficientes ou se todos os coeficientes nao tiverem o mesmo sinal concluise imediatamente que Gs e BIBO instavel Se todos os coeficientes estiverem presentes e se todos possuırem o mesmo sinal devese montar a tabela de Routh O sistema sera BIBO estavel se todos os elementos da primeira coluna possuırem o mesmo sinal O numero de raızes com parte real positiva e igual ao numero de mudancas de sinal nos elementos da primeira coluna de coeficientes Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Estabilidade de sistemas Respostas de sistemas Erro em regime permanente Acoes basicas de controle Criterio de Routh Criterio de Routh Para montar a tabela de Routh comece escrevendo o polinˆomio caracterıstico Ds na forma Ds a0sn a1sn1 an1s an 2 A tabela de Routh e construıda como sn a0 a2 a4 a6 0 sn1 a1 a3 a5 a7 0 sn2 b1 b2 b3 b4 sn3 c1 c2 c3 c4 s1 f1 s0 g1 1ªcoluna de coeficientes Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Estabilidade de sistemas Respostas de sistemas Erro em regime permanente Acoes basicas de controle Criterio de Routh Criterio de Routh Os coeficientes sao calculados como b1 a1a2 a0a3 a1 b2 a1a4 a0a5 a1 b3 a1a6 a0a7 a1 c1 b1a3 a1b2 b1 c2 b1a5 a1b3 b1 c3 b1a7 a1b4 b1 3 A matriz completa de coeficientes e triangular Uma linha inteira pode ser dividida ou multiplicada por um numero positivo para simplificar os calculos Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Estabilidade de sistemas Respostas de sistemas Erro em regime permanente Acoes basicas de controle Criterio de Routh Criterio de Routh Exemplo de calculo do coeficiente b2 sn a0 a2 a4 a6 0 sn1 a1 a3 a5 a7 0 sn2 b1 b2 b3 b4 sn3 c1 c2 c3 c4 b2 a1a4 a5a0 a1 Para os demais coeficientes seguese procedimento similar Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Estabilidade de sistemas Critério de Routh oa Critério de Routh O calculo dos coeficientes também pode ser feito equivalentemente por meio do negativo de determinantes ao a4 ay as act mo 1 5 J as a Controle de Sistemas Dinamicos Prof Dr Fabricio Hoff Dupont a NAO Estabilidade de sistemas Respostas de sistemas Erro em regime permanente Acoes basicas de controle Criterio de Routh Criterio de Routh Exemplo 1 Usando o criterio de Routh determine se os polinˆomios caracterısticos a seguir representam sistemas estaveis ou instaveis a Ds s3 12s2 20 b Ds s3 4s2 s 6 c Ds s4 6s3 18s2 24s 16 d Ds s4 2s3 2s2 10s 25 Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Estabilidade de sistemas Critério de Routh oa Critério de Routh A aplicacgao do critério de Routh é de utilidade limitada mas ainda assim importante na andlise de estabilidade de sistemas de controle e O método nao sugere como melhorar a estabilidade relativa nem como estabilizar um sistema instavel e Contudo permite analisar os efeitos de variacdes paramétricas que possam causar instabilidade Exemplo 2 Considere o sistema apresentado a seguir e determine o intervalo de valores de K para que o sistema se mantenha estavel K Rs saa Ys s x ss s1s 2 s Controle de Sistemas Dinamicos Prof Dr Fabricio Hoff Dupont Estabilidade de sistemas Critério de Routh oa Critério de Routh Exemplo 3 Encontre os valores possiveis para os ganhos do controlador PI A e Ky tal que o sistema realimentado ilustrado pelo diagrama de blocos abaixo seja estavel Kr 1 Rs K TRY Ys o ars e N62 a Controle de Sistemas Dinamicos Prof Dr Fabricio Hoff Dupont a DAG Estabilidade de sistemas Respostas de sistemas Erro em regime permanente Acoes basicas de controle Criterio de Routh Criterio de Routh Casos Particulares Existe um zero na primeira coluna mas alguns outros elementos da linha que contem o zero na primeira coluna sao diferentes de zero Substituise o zero por um numero pequeno positivo ϵ que se faz tender a zero depois que a tabela e completada Exemplo 4 Analise a estabilidade do polinˆomio caracterıstico Ds s5 2s4 2s3 4s2 11s 10 4 Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Estabilidade de sistemas Respostas de sistemas Erro em regime permanente Acoes basicas de controle Criterio de Routh Criterio de Routh Casos Particulares Se todos os coeficientes de uma linha calculada forem nulos isso indica que ha raızes de mesmo valor radialmente opostas no plano s Formase um polinˆomio auxiliar com os coeficientes da ultima linha derivase e utilizamse os coeficientes do polinˆomio derivado na linha seguinte Exemplo 5 Considere a expressao abaixo e avalie sua estabilidade Ds s5 2s4 24s3 48s2 25s 50 0 5 Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Estabilidade de sistemas Respostas de sistemas Erro em regime permanente Acoes basicas de controle Criterio de Routh Criterio de Routh Estabilidade Relativa Embora o criterio de Routh avalie a estabilidade absoluta de um polinˆomio caracterıstico podese empregalo para avaliar a estabilidade relativa de sistemas Ao inves de avaliar se as raızes situamse a esquerda do semiplano esquerdo avaliase se as raızes estao a esquerda de uma linha vertical formada por σ Im Re 0 Regiao desejada σ Para isso basta fazer a substituicao s ˆs σ com σ constante e avaliar o polinˆomio em termos de ˆs Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Primeira ordem Respostas de sistemas Cee men ea Especificacdes do tempo de resposta eee Melts ea Met eigtetatel ety ie cigo Respostas de Sistemas de Primeira Ordem e Considere o sistema Es 1 Rs S 4 s TS A funcao de transferéncia é dada por Ys 1 Gs 6 Rs rst1 e Sendo 7 a constante de tempo do sistema e 7 0 Controle de Sistemas Dinamicos Prof Dr Fabricio Hoff Dupont a DAG Estabilidade de sistemas Respostas de sistemas Erro em regime permanente Acoes basicas de controle Primeira ordem Segunda ordem Especificacoes do tempo de resposta Sistemas de ordem superior ou com zeros Resposta ao Impulso Serve para descrever uma variavel fısica que so se altera durante um intervalo de tempo desprezıvel Aplicando um impulso δ na funcao de primeira ordem 6 temse Gs Y s 1 τs 1 1 τ s 1 τ 7 Aplicando a transformada inversa yt 1 τ etτ ut 8 Como a transformada de Laplace e a propria resposta ao impulso da funcao de transferˆencia um modelo experimental de sistemas poderia ser facilmente obtido A dificuldade pratica de se realizar um impulso unitario restringe essa abordagem Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Estabilidade de sistemas Respostas de sistemas Erro em regime permanente Acoes basicas de controle Primeira ordem Segunda ordem Especificacoes do tempo de resposta Sistemas de ordem superior ou com zeros Resposta ao Impulso A resposta ao impulso unitario para um sistema de primeira ordem pode ser ilustrado como τ 2τ 3τ 4τ 5τ 0368τ 1τ t yt Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Primeira ordem Coe eee Secs Segunda ordem fee teeta oee Cate Cette Sistemas de ordem superior ou com zeros Resposta ao Degrau Quando um degrau de amplitude A é aplicado ao sistema de primeira ordem 6 A A A Ys 9 sts1 8s s Cuja aplicacao da transformada inversa de Laplace leva a yt A1e ut 10 O valor final da saida quando t oo é Yss jim A 11 A inclinacdo da linha tangente em t 0 é 17 d 1 1 2 ret 12 dt 5 T t0 oT Controle de Sistemas Dinamicos Prof Dr Fabricio Hoff Dupont Primeira ordem Respostas de sistemas Cee men ea Especificacdes do tempo de resposta eee Melts ea Met eigtetatel ety ie cigo Resposta ao Degrau e Resposta ao degrau para um sistema de primeira ordem 1 Inclinagado yt yt A 1e7 0632A L Xe x XX A oD x 8 8 g 8 NX ea oD t T 27 37 Ar 57 e Para t 37 a resposta est4 a 5 do seu valor final e Para t 47 a resposta estd a menos de 2 do seu valor final e Para t 57 a resposta estd a menos de 1 do seu valor final Controle de Sistemas Dinamicos Prof Dr Fabricio Hoff Dupont Primeira ordem Coe eee Secs Segunda ordem fee teeta oee Cate Cette Sistemas de ordem superior ou com zeros aS Resposta a Rampa Quando a entrada do sistema de primeira ordem 6 uma rampa unitdria 1 rt t Rs 2 13 A saida é dada por 1 1 T T Ys a7 e ete 14 sts1 8 S st Cuja transformada inversa de Laplace resulta em yt t7 tre ut 15 O erro entre a entrada e a saida é et rte7 16 e No estado estaciondrio temse ss lim et 7 17 im et 17 Controle de Sistemas Dinamicos Prof Dr Fabricio Hoff Dupont Estabilidade de sistemas Respostas de sistemas Erro em regime permanente Acoes basicas de controle Primeira ordem Segunda ordem Especificacoes do tempo de resposta Sistemas de ordem superior ou com zeros Resposta a Rampa Resposta de uma entrada em rampa para um sistema de primeira ordem τ 2τ 3τ 4τ 5τ τ 2τ 3τ 4τ 5τ τ τ Erro de estado permanente rt t yt t τ τ etτ t yt Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Primeira ordem Respostas de sistemas Segunda ordem fee terre oee cate Cec tose Sistemas de ordem superior ou com zeros Resposta de Sistemas de Segunda Ordem Considere o servossistema de posicdo constituido por um controlador proporcional e elementos de carga b et T rt K 7 3 yt e A equacao diferencial que rege os elementos de carga é Jyby T 18 e Aplicando a transformada de Laplace temse a fundo de transferéncia Ys 1 19 Ts sJs b Controle de Sistemas Dinamicos Prof Dr Fabricio Hoff Dupont Primeira ordem Respostas de sistemas Segunda ordem fee terre oee cate Cec tose Sistemas de ordem superior ou com zeros Resposta de Sistemas de Segunda Ordem O servossistema pode ser representado como Es 1 ne en sJs5 e A funcao de transferéncia da malha fechada pode ser escrita como Ys KJ 20 Rs s2 bJsKJ Por possui dois polos é chamado de sistema de segunda ordem e Alguns sistemas de segunda ordem podem possuir um ou dois zeros e A funcao de transferéncia de um sistema de segunda ordem também pode ser escrita na forma padrao Ys w Rs 8 wns w Controle de Sistemas Dinamicos Prof Dr Fabricio Hoff Dupont Primeira ordem Respostas de sistemas Segunda ordem fee terre oee cate Cec tose Sistemas de ordem superior ou com zeros Resposta de Sistemas de Segunda Ordem e A resposta é completamente determinada pelos pardametros e wy w 0 éa frequéncia natural de oscilacdo e 0 coeficiente de amortecimento Os polos da fundo de transferéncia 21 sdo wy 482w2 4w n n 12 oO EwWn ck WnV 1 22 Para que o sistema seja estavel as raizes devem estar localizadas no semiplano esquerdo e O comportamento do sistema sera definido pelo fator de amortecimento 2 0 1 Polos complexos conjugados e o sistema é subamortecido 1 Polos reais e iguais e o sistema tem amortecimento critico e 1 Polos reais e diferentes e o sistema é superamortecido Controle de Sistemas Dinamicos Prof Dr Fabricio Hoff Dupont Primeira ordem Respostas de sistemas Segunda ordem fee terre oee cate Cec tose Sistemas de ordem superior ou com zeros Sistema Subamortecido 0 1 e Para 0 1 os polos do sistema sao complexos conjugados 812 EWy jun 1 62 Ewn jwa 23 Sendo wg Wnr1 0 a chamada frequéncia natural amortecida Os polos estao localizados conforme o diagrama Im 1 Heo ja w B Re Ewn 82 4o jwg e Notase que 0 coeficiente de amortecimento é dado por cos 24 Controle de Sistemas Dinamicos Prof Dr Fabricio Hoff Dupont Primeira ordem Respostas de sistemas Segunda ordem fee terre oee cate Cec tose Sistemas de ordem superior ou com zeros Sistema Subamortecido 0 1 Quando a entrada do sistema é um degrau temse 2 Ww Ys 25 s 8 8 2fwns w2 25 e Expandindo 1 8 wy Ys 26 s 8 82 2wysw2 26 1 8 Wn EWn Ys 5 27 S s wn ws 8 EWn 04 1 S EwWy Wa Y8s 2 OS OSS Ta 28 S swn we V1 st bun 04 Controle de Sistemas Dindmicos Prof Dr Fabricio Hoff Dupont a z NAS Primeira ordem Respostas de sistemas Segunda ordem fee terre oee cate Cec tose Sistemas de ordem superior ou com zeros Sistema Subamortecido 0 1 e Aplicando a transformada inversa de Laplace yt 1e coswat Te e St senwat 29 e Ou fl yt 1 V1 e Swnt sen wat B 30 e Com 1 V 1 1 B te e J 00s 31 yt é uma oscilacdo amortecida com frequéncia wg e as envoltérias sao exponenciais com constante de tempo 7 1Ewy O valor estaciondrio é yco 1 ou seja segue a entrada ut Controle de Sistemas Dinamicos Prof Dr Fabricio Hoff Dupont Primeira ordem Respostas de sistemas Segunda ordem fee terre oee cate Cec tose Sistemas de ordem superior ou com zeros Sistema Subamortecido 0 1 e Resposta ao degrau para um sistema de segunda ordem com 03 yt 2h Ewnt S e75en 1 SS x 1 2 y Ewnt 2 e Uc XK 14 u V1 Wyt 2 4 6 8 10 12 Controle de Sistemas Dindmicos Prof Dr Fabricio Hoff Dupont a DNA Estabilidade de sistemas Respostas de sistemas Erro em regime permanente Acoes basicas de controle Primeira ordem Segunda ordem Especificacoes do tempo de resposta Sistemas de ordem superior ou com zeros Sistema Criticamente Amortecido ξ 1 Quando ξ 1 a funcao de transferˆencia do sistema de segunda ordem resulta em Y s Rs ω2 n s2 2ωns ω2n ω2 n s ωn2 32 Que apresenta dois polos reais negativos e repetidos Im Re ωn Polos repetidos Aplicando um degrau na entrada Y s ω2 n ss ωn2 1 s 1 s ωn ωn s ωn2 33 E aplicando a transformada inversa de Laplace yt 1 1 ωnt eωnt 34 Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Estabilidade de sistemas Respostas de sistemas Erro em regime permanente Acoes basicas de controle Primeira ordem Segunda ordem Especificacoes do tempo de resposta Sistemas de ordem superior ou com zeros Sistema Criticamente Amortecido ξ 1 Resposta ao degrau para um sistema de segunda ordem criticamente amortecido 2 4 6 8 10 05 1 yt 1 1 ωnt eωnt ωnt yt Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Primeira ordem Respostas de sistemas Segunda ordem fee terre oee cate Cec tose Sistemas de ordem superior ou com zeros Sistema Superamortecido 1 Quando 1 os polos sao reais e diferentes Im Re wn V21 wn Ve 1 e Aplicando um degrau unitario 2 wW Ys 35 s 8S 815 82 35 1 Wn 1 1 s 1 54 5 36 8 s 2e21 sis 1 28 82 89 Aplicando a transformada inversa Wn est es2t t 14 37 yt a4 So 37 Controle de Sistemas Dindmicos Prof Dr Fabricio Hoff Dupont a DAG Estabilidade de sistemas Respostas de sistemas Erro em regime permanente Acoes basicas de controle Primeira ordem Segunda ordem Especificacoes do tempo de resposta Sistemas de ordem superior ou com zeros Sistema Superamortecido ξ 1 Resposta ao degrau para um sistema de segunda ordem superamortecido 2 4 6 8 10 12 05 1 ξ 1 ξ 2 ωt yt Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Estabilidade de sistemas Respostas de sistemas Erro em regime permanente Acoes basicas de controle Primeira ordem Segunda ordem Especificacoes do tempo de resposta Sistemas de ordem superior ou com zeros Sistema Oscilatorio ξ 0 Quando o coeficiente de amortecimento e nulo os polos sao complexos conjugados e puramente imaginarios Im Re jωn jωn Aplicando um degrau unitario Y s ω2 n ss2 ω2n 1 s s s2 ω2n 38 Aplicando a transformada inversa yt 1 cosωnt 39 Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Estabilidade de sistemas Respostas de sistemas Erro em regime permanente Acoes basicas de controle Primeira ordem Segunda ordem Especificacoes do tempo de resposta Sistemas de ordem superior ou com zeros Sistema Oscilatorio ξ 0 Resposta ao degrau para um sistema de segunda ordem oscilatorio π 2π 3π 4π 1 2 ωt yt Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Estabilidade de sistemas Respostas de sistemas Erro em regime permanente Acoes basicas de controle Primeira ordem Segunda ordem Especificacoes do tempo de resposta Sistemas de ordem superior ou com zeros Resposta de Sistemas de Segunda Ordem Respostas de sistemas de segunda ordem em funcao de ξ 2 4 6 8 10 12 05 1 15 2 ξ 00 ξ 01 ξ 02 ξ 03 ξ 04 ξ 05 ξ 06 ξ 07 ξ 08 ξ 10 ξ 20 ωnt yt Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Estabilidade de sistemas Respostas de sistemas Erro em regime permanente Acoes basicas de controle Primeira ordem Segunda ordem Especificacoes do tempo de resposta Sistemas de ordem superior ou com zeros Especificacoes do Tempo de Resposta As caracterısticas de desempenho desejadas sao frequentemente especificadas em termos da resposta transitoria A entrada do tipo degrau unitaria e comumente utilizada por ser suficientemente brusca e gerada com facilidade Conhecendo a resposta de um sistema ao degrau podese determinar a resposta para qualquer outro tipo de sinal de entrada As caracterısticas que pode ser especificadas incluem td Tempo de atraso delay time tr Tempo de subida rise time tp Tempo de pico peak time ts Tempo de acomodacao settling time Mp Maximo sobressinal overshoot ou maximum peak Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Estabilidade de sistemas Respostas de sistemas Erro em regime permanente Acoes basicas de controle Primeira ordem Segunda ordem Especificacoes do tempo de resposta Sistemas de ordem superior ou com zeros Especificacoes do Tempo de Resposta Principais especificacoes da resposta transitoria 05 1 tr tp ts Mp 5 Tolerˆancia aceitavel 2π ωn t yt Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Primeira ordem Respostas de sistemas Cee men ea Especificagdes do tempo de resposta Tee eae Melts eae t Seigtetatel ee cigo Tempo de Atraso t e Eo tempo necessario para a resposta ao degrau alcancar pela primeira vez a metade do valor final Para sistemas de primeira ordem t 1 1 40 d7Tin 05 Controle de Sistemas Dindmicos Prof Dr Fabricio Hoff Dupont aq DAC Estabilidade de sistemas Respostas de sistemas Erro em regime permanente Acoes basicas de controle Primeira ordem Segunda ordem Especificacoes do tempo de resposta Sistemas de ordem superior ou com zeros Tempo de Subida tr Para sistemas de primeira ordem o tempo de subida e definido como o perıodo necessario para que o sinal varie entre 10 e 90 do seu valor final t1 τ 2τ t2 3τ 4τ 5τ 01A 09A 1A tr t yt Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Primeira ordem Respostas de sistemas Cee men ea Especificagdes do tempo de resposta Tee eae Melts eae t Seigtetatel ee cigo Tempo de Subida t t e tg sao os instantes de tempo em que a resposta vale 10 e 90 yti A1 87 014 41 ylts A1e 094 42 e Ou Ae7 09A 43 Ae 7 01A 44 e Dividindo uma pela outra el2tt 9 45 Uma vez que t te ty t TIn9 46 Controle de Sistemas Dindmicos Prof Dr Fabricio Hoff Dupont a DAG Primeira ordem Coe eee Secs Segunda ordem Especificagdes do tempo de resposta Tere Cier eaet cutie teenie cir Tempo de Subida t Para sistemas com amortecimento critico ou superamortecidos 0 t também é definido como o tempo necessario para que a resposta vd de 10 a 90 do valor final Para sistemas subamortecidos o tempo de subida é definido como o primeiro instante em que a resposta alcanca 100 do valor final A partir da resposta do sistema subamortecido para t t Lg kwntr yt 11 e senwyt 6 47 VJ1 Que ocorre quando senWgtp60 yt1 48 Sabendo que isso ocorre quando watp Bar 49 Temse 8 T t 50 Wad Controle de Sistemas Dinamicos Prof Dr Fabricio Hoff Dupont Primeira ordem Respostas de sistemas Cee men ea Especificagdes do tempo de resposta Tee eae Melts eae t Seigtetatel ee cigo Tempo de Pico t e Tempo necessdrio para a resposta ao degrau alcancar o primeiro pico de sobressinal e Somente ocorre em sistemas subamortecidos e Derivando a resposta do sistema de segunda ordem para t t dyt e ntp i 0 Jive Ew senwat B wg cosWwat 8 51 ttp Resolvendo temse que 0 primeiro pico ocorre em wgt 7 OU Seja T tp 52 Wd Controle de Sistemas Dinamicos Prof Dr Fabricio Hoff Dupont Primeira ordem Coe eee Secs Segunda ordem Especificagdes do tempo de resposta erro Cier eaet ite necnie cre Sobressinal Maximo E definido como o maximo valor de pico da resposta menos o valor final em porcentagem do valor final ty yoo M Ytr YW 4 A 0 53 yco e Para sistemas de segunda ordem subamortecidos ytp 1 a e Snt senwatpy 8 54 1 yco 1 55 Manipulando e sabendo que t 7wa M e7V 100 56 Controle de Sistemas Dinamicos Prof Dr Fabricio Hoff Dupont Estabilidade de sistemas Respostas de sistemas Erro em regime permanente Acoes basicas de controle Primeira ordem Segunda ordem Especificacoes do tempo de resposta Sistemas de ordem superior ou com zeros Sobressinal Maximo Mp Sobressinal Mp em funcao de ξ 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 ξ Mp Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Estabilidade de sistemas Respostas de sistemas Erro em regime permanente Acoes basicas de controle Primeira ordem Segunda ordem Especificacoes do tempo de resposta Sistemas de ordem superior ou com zeros Tempo de Acomodacao ts E o tempo necessario para que a resposta passe a permanecer dentro de uma faixa de tolerˆancia ϵ em torno do valor final Comumente definese essa tolerˆancia entre 5 ou 2 de y Para sistemas de primeira ordem temse as especificacoes ts5 3τ ts2 4τ Para sistemas subamortecidos a constante de tempo e τ 1ξωn ts5 3 ξωn ts2 4 ξωn O tempo de acomodacao e inversamente proporcional a ωn O valor de ξ e normalmente definido em funcao de Mp Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Primeira ordem Coe eee Secs Segunda ordem Especificagdes do tempo de resposta erro Cier eaet ite necnie cre Especificacoes do Tempo de Resposta Exemplo 6 Considere o sistema abaixo no qual 06 e w 5rads Determine o tempo de subida t o tempo de pico t 0 maximo sobressinal M e 0 tempo de acomodaao t quando o sistema for submetido a uma entrada do tipo degrau Es we Rs 5 wn Ys 8s 2gwn Controle de Sistemas Dinamicos Prof Dr Fabricio Hoff Dupont Primeira ordem Coe eee Secs Segunda ordem Especificagdes do tempo de resposta erro Cier eaet ite necnie cre Especificacoes do Tempo de Resposta Exemplo 7 Para o servossistema da figura abaixo determine os valores de ganho ix e a constante de realimentado de velocidade K de modo que o maximo sobressinal da resposta ao degrau unitdrio seja 02 e o tempo de pico seja 1s Com esses valores de K e Ky obtenha o tempo de subida e o tempo de acomodac4o Suponha que J 1kgm eb 1Nmrads K 1 Rs Ys Controle de Sistemas Dinamicos Prof Dr Fabricio Hoff Dupont Primeira ordem Coe eee Secs Segunda ordem Especificagdes do tempo de resposta erro Cier eaet ite necnie cre Resposta de Sistemas de Segunda Ordem Exemplo 8 Quando o sistema abaixo é submetido a um degrau unitdrio de entrada o sistema responde com uma Saida conforme ilustrado a direita Determine os pardmetros K e T da funcdo de transferéncia a partir da curva da resposta yt 1254 1fN3 K R Y s eo sTs1 ts t 3 Controle de Sistemas Dinamicos Prof Dr Fabricio Hoff Dupont Estabilidade de sistemas Respostas de sistemas Erro em regime permanente Acoes basicas de controle Primeira ordem Segunda ordem Especificacoes do tempo de resposta Sistemas de ordem superior ou com zeros Resposta de Sistemas de Segunda Ordem Exemplo 9 A figura abaixo mostra um sistema mecˆanico vibratorio Quando uma forca de 89 N degrau na entrada e aplicada ao sistema a massa oscila conforme ilustrado no grafico Determine os parˆametros m b e k do sistema a partir da curva de resposta Observe que o deslocamento x e medido a partir da posicao de equilıbrio m k b x 89 N 2 0030 48 m 00029 t xt Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Primeira ordem Coe eee Secs Segunda ordem fee teeta oee Cate Cette Sistemas de ordem superior ou com zeros Sistemas de Ordem Superior e Considere o sistema de terceira ordem Ys we Gs 78 gy Us s ps 2wys w2 e Composto de dois polos complexos conjugados em 812 Ewn Wyn 1 e com um terceiro polo real em 63 p0 e Aplicandose um degrau unitario na entrada 2 Ww Ys 58 s s ps 2fwns w2 98 1 asb Cc ae Po 59 S 82 2unstw2 sp Controle de Sistemas Dinamicos Prof Dr Fabricio Hoff Dupont Primeira ordem Coe eee Secs Segunda ordem fee teeta oee Cate Cette Sistemas de ordem superior ou com zeros Sistemas de Ordem Superior e Com residuos 2wnp pr a emp a p w2 2wyp 2 Wn c t 62 p w2 2wyp 62 e Aplicando a transformada inversa temse Ewnt b akWy pt yt 1e S acoswat senwat ce 63 Wd Controle de Sistemas Dindmicos Prof Dr Fabricio Hoff Dupont a z NAS Estabilidade de sistemas Respostas de sistemas Erro em regime permanente Acoes basicas de controle Primeira ordem Segunda ordem Especificacoes do tempo de resposta Sistemas de ordem superior ou com zeros Sistemas de Ordem Superior Quando s p esta bem mais a esquerda que os polos complexos a exponencial deste polo tendera a zero muito mais rapidamente e este polo tera pouca influˆencia na resposta Para p ξωn a resposta do sistema de terceira ordem sera proxima da resposta do sistema de segunda ordem Para p a 1 b 2ξωn e c 0 Neste caso a saıda resulta em Y s 1 s s 2ξωn s2 2ξωns ω2n 64 Podese dizer que as componentes de maior ordem sao desprezıveis se suas constantes de tempo forem cinco constantes mais a esquerda dos polos complexos dominantes p 5ξωn Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Estabilidade de sistemas Respostas de sistemas Erro em regime permanente Acoes basicas de controle Primeira ordem Segunda ordem Especificacoes do tempo de resposta Sistemas de ordem superior ou com zeros Sistemas de Ordem Superior Comparativo entre as respostas ao degrau unitario para sistemas de terceira ordem 05 1 15 2 25 3 02 04 06 08 1 12 14 G1s 25 s2 28s 25 G2s 3 s 3 G1s G3s 7 s 7 G1s G4s 20 s 20 G1s t yt Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Primeira ordem Respostas de sistemas Cee men ea Especificacdes do tempo de resposta Sistemas de ordem superior ou com zeros Sistemas de Ordem Superior e A transformada inversa para os sistemas da figura anterior sao yt 1e cos48 sen48 y2t 1e 00234 cos48t 06172 sen48t 09766 e y3t 1 e 05404 cos48t 08278 sen48t 04596 e yat 1e 09322 cos48 05542 sen48 00678 e 7 Observe que quanto menor o valor do polo menor o seu residuo e menor a sua influéncia na resposta final Controle de Sistemas Dinamicos Prof Dr Fabricio Hoff Dupont Estabilidade de sistemas Respostas de sistemas Erro em regime permanente Acoes basicas de controle Entrada do tipo degrau Entrada do tipo rampa Entrada do tipo parabola Erro em Regime Permanente O erro em sistemas de controle pode ser oriundo de diversos fatores como atrito folgas envelhecimento Contudo ha uma outra classe de erro que se refere a capacidade de um sistema seguir ou rejeitar determinados tipos de sinais Os sistemas de controle podem ser classificados de acordo com sua habilidade em seguir sinais de entrada em degrau em rampa em parabola entre outros Considere um sistema definido por Gs Kτas 1τbs 1 τms 1 sNτ1s 1τ2s 1 τps 1 65 N define o numero polos na origem integradores e classifica um sistema como Tipo 0 1 2 se N 0 N 1 N 2 respectivamente Com N maior a precisao e maior mas a estabilidade e pior Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont eee NOt Tone Cer eo Erro em Regime Permanente Considere o sistema realimentado e sujeito a disturbios na saida Processo mo SOA oe HA er SE O sinal de saida é expresso como CsGps Gps Ys CsGrs pg Govl8 py 66 14 CsGpsHs 14 CsGpsHs Controle de Sistemas Dindmicos Prof Dr Fabricio Hoff Dupont a DNA Estabilidade de sistemas Respostas de sistemas Erro em regime permanente Acoes basicas de controle Entrada do tipo degrau Entrada do tipo rampa Entrada do tipo parabola Erro em Regime Permanente Definindo a funcao de transferˆencia da malha aberta ou tambem conhecida como ganho de malha Ts CsGP sHs 67 Podese expressar a saıda como Y s 1 Hs Ts 1 TsRs GDs 1 TsDs 68 O sinal de erro Es e definido por Es Rs Y s 69 Mas Y s CsGP sEs GDsDs 70 Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont eC OR oe eo Erro em Regime Permanente Substituindo e arranjando os termos podese expressar 1 GpsHs Es Rs D 71 Te TT PO 71 e Aplicando o teorema do valor final podese determinar o erro estaciondario ou em regime permanente como 1 GpsHs E Rs D 72 eo ts 7 9 T4706 2 7 Erro estaciondrio para perturbacao nula ii 1 Rs 73 ess ee LTE Ts J Ds0 Erro estacionario para referéncia nula GpsHs ssd D 74 Cssd ti 1 2 74 Rs0 Controle de Sistemas Dinamicos Prof Dr Fabricio Hoff Dupont Entrada do tipo degrau tee Okt oc ial Erro em regime permanente Eee ores Entrada do Tipo Degrau Erro estacionario do sistema para um degrau unitdrio na referéncia i 1 1 ss lim s s30 17s s 1 75 1 T0 75 A constante de erro estdtico de posido K é dada por Ky lim Ts s0 T0 76 e Assim 0 erro estaciondrio em funcdo da constante de erro estatico é 1 siK 77 Controle de Sistemas Dindmicos Prof Dr Fabricio Hoff Dupont a z NAS Estabilidade de sistemas Respostas de sistemas Erro em regime permanente Acoes basicas de controle Entrada do tipo degrau Entrada do tipo rampa Entrada do tipo parabola Entrada do Tipo Degrau Para um sistema Tipo 0 Kp lim s0 Kτas 1τbs 1 τ1s 1τ2s 1 K 78 Para um sistema Tipo 1 ou maior Kp lim s0 Kτas 1τbs 1 sNτ1s 1τ2s 1 para N 1 79 Ja o erro para um sistema Tipo 0 ess 1 1 K 80 Para um sistema Tipo 1 ou maiores ess 0 81 Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont ERENT tone ceey renee Cameu cn oe ae Hein Entrada do Tipo Rampa e Erro estaciondrio do sistema para uma rampa unitaria na referéncia i 1 1 ss lim s s30 14T7s 8 lim 82 s0 sTs e A constante de erro estatico de velocidade K é dada por Ky lim sTs 83 s0 e Assim 0 erro estaciondrio em funcdo da constante de erro estatico é 1 ess 84 a 84 Controle de Sistemas Dindmicos Prof Dr Fabricio Hoff Dupont a z NAS Estabilidade de sistemas Respostas de sistemas Erro em regime permanente Acoes basicas de controle Entrada do tipo degrau Entrada do tipo rampa Entrada do tipo parabola Entrada do Tipo Rampa Para sistemas do Tipo 0 Kv lim s0 sKτas 1τbs 1 τ1s 1τ2s 1 0 85 Para sistemas do Tipo 1 Kv lim s0 sKτas 1τbs 1 sτ1s 1τ2s 1 K 86 Para sistemas do Tipo 2 ou maior Kv lim s0 sKτas 1τbs 1 sNτ1s 1τ2s 1 para N 2 87 Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Estabilidade de sistemas Respostas de sistemas Erro em regime permanente Acoes basicas de controle Entrada do tipo degrau Entrada do tipo rampa Entrada do tipo parabola Entrada do Tipo Rampa Para sistemas do Tipo 0 ess 1 Kv 88 Para sistemas do Tipo 1 ess 1 Kv 1 K 89 Para sistemas do Tipo 2 ou maior ess 1 Kv 0 90 Note que um sistema do Tipo 0 e incapaz de seguir uma entrada em rampa Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont ERENT tone ceey tee Okt tonal rosin ee eeu Eerie ete V4 Entrada do Tipo Pardbola Erro estaciondrio do sistema com uma entrada de referéncia do tipo parabola unitaria i 1 1 ss lim s s30 14T7s 83 1 lim 91 80 Ts 91 e A constante de erro estatico de aceleracdo K é dada por K lim sTs 92 s0 e Assim 0 erro estaciondrio em funcdo da constante de erro estatico é 1 ss Kk 93 Controle de Sistemas Dinamicos Prof Dr Fabricio Hoff Dupont Estabilidade de sistemas Respostas de sistemas Erro em regime permanente Acoes basicas de controle Entrada do tipo degrau Entrada do tipo rampa Entrada do tipo parabola Entrada do Tipo Parabola Para sistemas do Tipo 0 Ka lim s0 s2Kτas 1τbs 1 τ1s 1τ2s 1 0 94 Para sistemas do Tipo 1 Ka lim s0 s2Kτas 1τbs 1 sτ1s 1τ2s 1 0 95 Para sistemas do Tipo 2 Ka lim s0 s2Kτas 1τbs 1 s2τ1s 1τ2s 1 K 96 Para sistemas do Tipo 3 ou maior Ka lim s0 s2Kτas 1τbs 1 sNτ1s 1τ2s 1 para N 2 97 Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Estabilidade de sistemas Respostas de sistemas Erro em regime permanente Acoes basicas de controle Entrada do tipo degrau Entrada do tipo rampa Entrada do tipo parabola Entrada do Tipo Parabola Para sistemas do Tipo 0 e 1 ess 98 Para sistemas do Tipo 2 ess 1 K 99 Para sistemas do Tipo 3 ou maiores ess 0 100 Note que os sistemas Tipo 0 e Tipo 1 sao incapazes de rastrear referˆencias em parabola Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Estabilidade de sistemas Respostas de sistemas Erro em regime permanente Acoes basicas de controle Entrada do tipo degrau Entrada do tipo rampa Entrada do tipo parabola Erro em Regime Permanente Quadro resumo do erro de regime permanente para diferentes entradas de referˆencia Tipo de Entrada Degrau Rampa Parabola rt 1 rt t rt 1 2t2 Tipo 0 1 1 K Sistema Tipo 1 0 1 K Tipo 2 0 0 1 K Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont ERENT tone ceey ine tee Okt tonal rosin ee eeu Eerie ete Erro em Regime Permanente Exemplo 10 Considere o diagrama de blocos abaixo que representa um regulador de velocidade Supondo que seja aplicado um degrau unitdrio na referéncia wt calcule o erro no estado estaciondrio e desenhe o grafico da resposta transitéria de wt et 1 wr t wt s1l Controle de Sistemas Dinamicos Prof Dr Fabricio Hoff Dupont eC OR oe See Erro em Regime Permanente Exemplo 11 Determinado processo possui uma funcao de transferéncia definida por 40 Gps 101 s s 1s 10 101 a qual sera empregada no sistema de controle representado pelo diagrama de blocos abaixo Determine 0 ganho K do controlador para que o erro estaciondrio para uma entrada em degrau seja reduzido em dez vezes Es 40 R Sa Y ene s 1s 10 Controle de Sistemas Dinamicos Prof Dr Fabricio Hoff Dupont Entrada do tipo feleraeliy ee Erro em Regime Permanente Exemplo 12 O diagrama de blocos abaixo mostra um sistema de controle de velocidade no qual o elemento de saida do sistema é submetido a um disturbio de torque No diagrama ws ws Ts e Ds sdo as transformadas de Laplace da velocidade de referéncia da velocidade de saida do torque de excitacao e do disturbio de torque respectivamente Na auséncia de um disturbio de torque a velocidade de saida é igual a velocidade de referéncia Analise a resposta desse sistema a um degrau unitdrio do torque de distirbio Suponha que a entrada de referéncia seja zero ou ws 0 Ds Es Ts 1 wrs SE s 5 a ws Js Controle de Sistemas Dinamicos Prof Dr Fabricio Hoff Dupont Estabilidade de sistemas Respostas de sistemas Erro em regime permanente Acoes basicas de controle Proporcional integral e derivativo Efeitos das acoes de controle Acoes Basicas de Controle A comparacao de um sinal de referˆencia com a leitura da variavel controlada gera um sinal de erro Esse sinal e processado e origina um sinal de controle que ira agir no sentido de reduzir o erro ou mesmo tornalo zero Esse processo e chamado acao de controle Os controladores podem ser classificados de acordo com a acao de controle que executam Controladores OnOff Controladores Proporcionais Controladores Integrais Controladores ProporcionaisIntegrais Controladores ProporcionaisDerivativos Controladores ProporcionaisIntegraisDerivativos Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont rere ne Ma eete ee CaN ETN Efeitos das acdes de controle AcGes basicas de controle nN v4 Acoes Basicas de Controle e Um sistema de controle tipico possui a seguinte estrutura Controlador automatico Entrada de 4 Amplificador a Atuador Planta Saida referéncia SS J 7 O controlador automatico é formado pelo detector de erro e o amplificador e O amplificador transforma o sinal de erro aumentando sua poténcia e O atuador converte a saida do controlador em um sinal apropriado para comandar a planta para que a saida se aproxime ao valor de referéncia Controle de Sistemas Dinamicos Prof Dr Fabricio Hoff Dupont rere ne Ma eete ee CaN ETN Efeitos das acdes de controle AcGes basicas de controle Acao de Controle OnOff O atuador possui somente duas posicées fixas ligadodesligado e A saida ut permanece em um valor maximo ou minimo dependendo do sinal do erro uz et 0 ut 6 102 U2 et 0 et ug ut vt f uu Lo yt Controle de Sistemas Dindmicos Prof Dr Fabricio Hoff Dupont a DAG rere ne Ma eete ee CaN ETN Efeitos das acdes de controle AcGes basicas de controle Acao de Controle OnOff e Na pratica o controlador onoff é implementado com uma pequena diferenca entre os valores positivos e negativos de erro Evita que o atuador seja ligadodesligado exatamente no ponto de et 0 mas sim quando et Ae e Esse intervalo diferencial 6 também conhecido como histerese e A frequéncia de atuacao do controlador é menor aumentando sua vida util et Ue ut rt 5 j uy t uy et Ae 103 ut Ug et Ae yt Controle de Sistemas Dinamicos Prof Dr Fabricio Hoff Dupont Proporcional integral e derivativo Efeitos das acdes de controle AcGes basicas de controle Acao Proporcional P A saida ut é uma propordo do erro et na entrada do controlador t ut Kpet ult Kp 104 et e Sendo Kp o ganho proporcional ut et et ut rt Kp Kp yt t Controle de Sistemas Dinamicos Prof Dr Fabricio Hoff Dupont a NAO Proporcional integral e derivativo Efeitos das acdes de controle AcGes basicas de controle Acao Integral 1 e A saida do controlador varia com uma taxa proporcional ao sinal de erro ut ult Kyet 105 we Krell 105 Aplicando a transformada de Laplace us Ky sus Kyes 106 I es 5 et 1 t t Mo bey s ut yt t Controle de Sistemas Dindmicos Prof Dr Fabricio Hoff Dupont a DAG Estabilidade de sistemas Respostas de sistemas Erro em regime permanente Acoes basicas de controle Proporcional integral e derivativo Efeitos das acoes de controle Acao Integral I Se o sinal de erro e nulo a taxa de variacao da saıda do controlador e nulo fazendo com que ut seja constante Como a saıda nao pode variar instantaneamente devido ao integrador a acao integral afeta a dinˆamica do sistema A acao do controlador serao tao maior quanto o historico de erro acumulado Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Proporcional integral e derivativo Efeitos das acdes de controle AcGes basicas de controle Acao ProporcionalIntegral Pl e Definida por Kp ut Kpet 22 et at 107 Tr 0 Aplicando a transformada de Laplace Kp es us Kp s K es S K 108 us Kpes Fe es Sh Ts 108 et 1 t t Ts ut wt Kp Fo r Kp p t Tr Controle de Sistemas Dindmicos Prof Dr Fabricio Hoff Dupont a z NAS Proporcional integral e derivativo Efeitos das acdes de controle AcGes basicas de controle Acao ProporcionalIntegral Pl e Outras formas de descrever a aao ProporcionalIntegral us 1 Kp14 109 way 1 Fs 09 us K 1T7s us Kp 1Tis 110 es T 8 e Sendo Kp o ganho proporcional e T 0 tempo integral ou a constante de tempo do integrador Controle de Sistemas Dindmicos Prof Dr Fabricio Hoff Dupont a DAG Proporcional integral e derivativo Efeitos das acdes de controle AcGes basicas de controle Acao ProporcionalDerivativa PD e Definida por det ut Kpet KpTp ot 111 Aplicando a transformada de Laplace us Kpes KpTpes 112 et t t 0 2am LD ut yt PD P Tp t Controle de Sistemas Dindmicos Prof Dr Fabricio Hoff Dupont a DNA Proporcional integral e derivativo Efeitos das acdes de controle AcGes basicas de controle Acao ProporcionalDerivativa PD e Outra forma de representacdo da ado ProporcionalDerivativa us 1 KpTp s 113 say Rete 9 013 e Sendo Tp o tempo derivativo ou a constante de tempo do derivador Controle de Sistemas Dindmicos Prof Dr Fabricio Hoff Dupont a DNA Proporcional integral e derivativo Efeitos das acdes de controle AcGes basicas de controle Acao ProporcionalIntegralDerivativa PID e Combina as vantagens das trés acdes de controle em uma Unica e Definida por Kp det ut Kpet etdt KpTp det 114 Tr Jo dt Aplicando a transformada de Laplace temse us 1 Kp144T 115 es P Ts s 115 Controle de Sistemas Dinamicos Prof Dr Fabricio Hoff Dupont a DAG Proporcional integral e derivativo Efeitos das acdes de controle AcGes basicas de controle Acao ProporcionalIntegralDerivativa PID e Representacdo e caracteristica de resposta em funao do sinal do erro et Delt 1 ut Le rt 5 Kp te Trs te Ts m ut PID yt PD Z t Controle de Sistemas Dindmicos Prof Dr Fabricio Hoff Dupont a DNA Estabilidade de sistemas Respostas de sistemas Erro em regime permanente Acoes basicas de controle Proporcional integral e derivativo Efeitos das acoes de controle Resumo das Acoes de Controle P e essencialmente um ganho empregado quando nao ha necessidade de compensacao dinˆamica PI melhora a resposta de regime permanente e adiciona um polo na origem ao sistema PD melhora a resposta transitoria e adiciona um zero ao sistema PID melhora tanto a resposta transitoria quanto o regime permanente e adiciona dois zeros e um polo ao sistema Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont rere ne Ma eete ee CaN ETN Efeitos das ades de controle AcGes basicas de controle Controle Proporcional em Sistemas de 12 Ordem Seja a funcdo de transferéncia de primeira ordem Ys 1 Ys 116 Xs Ts1 e Um sistema em malha fechada com um controle proporcional resulta em Ts1 Que resulta na funcdo de transferéncia Ys K Ys Kp 117 Rs rs1Kp Controle de Sistemas Dinamicos Prof Dr Fabricio Hoff Dupont a DAG rere ne Ma eete ee CaN ETN Efeitos das ades de controle AcGes basicas de controle Controle Proporcional em Sistemas de 12 Ordem e Considerando uma entrada do tipo degrau unitario sua funcao de transferéncia é 1 rt Rls 118 8 Aplicando em 117 temse Kp Kp 1 a Ys Ys 119 s T8Kp1s s thr 119 S s 7 Aplicando a transformada inversa de Laplace resulta em Kp t l1e 120 ult eRe de 120 1K e Com a i Kp 7 Controle de Sistemas Dindmicos Prof Dr Fabricio Hoff Dupont a z NAS Estabilidade de sistemas Respostas de sistemas Erro em regime permanente Acoes basicas de controle Proporcional integral e derivativo Efeitos das acoes de controle Controle Proporcional em Sistemas de 1º Ordem De onde se tem que a resposta temporal pode ser ilustrada como KP 1 KP 1 e et yt t yt O erro em regime permanente ou estacionario e igual a ess 1 1 KP 121 Quanto maior o valor de KP menor o erro em regime permanente Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont rere ne Ma eete ee CaN ETN Efeitos das ades de controle AcGes basicas de controle Efeito da Acao de Controle Integral O erro pode ser eliminado com a adido de uma aco integral ao controlador E 1 Ss Ts1 e A funcado de transferéncia da malha fechada é Ys K 122 Rs ts sK Controle de Sistemas Dindmicos Prof Dr Fabricio Hoff Dupont a DAG rere ne Ma eete ee CaN ETN Efeitos das ades de controle AcGes basicas de controle Efeito da Acao de Controle Integral Definindo Cs como a funao de transferéncia do controlador e Gps da planta o sinal de erro pode ser expresso como Es Rs Ys 123 e Mas como Ys CsGps Rs 124 E definindo Ts como a fungdo de transferéncia da malha aberta Ts CsG ps 125 Temse que a funcdo de transferéncia do erro é dada por T 2 Bs CsGps s Ts s 126 1CsGps 17s 7TssKp Controle de Sistemas Dinamicos Prof Dr Fabricio Hoff Dupont rere ne Ma eete ee CaN ETN Efeitos das ades de controle AcGes basicas de controle Efeito da Acao de Controle Integral e Para uma entrada do tipo degrau unitario temse Es Ts 8 1 127 rs2tsKp s O erro estacionario é obtido a partir do teorema do valor final ss lim sEsRs 128 too De onde se tem 2 TS 8 1 ss lim s s 129 ss ee 129 e Cuja aplicacao resulta em ss 0 130 Controle de Sistemas Dindmicos Prof Dr Fabricio Hoff Dupont a DAG rere ne Ma eete ee CaN ETN Efeitos das ades de controle AcGes basicas de controle Resposta a Disturbios de Torque Controle P Considere o sistema no qual o controlador proporcional transmite o torque T para posicionar o elemento de carga que consiste em um momento de inércia e atrito viscoso D rR EF Kp LS Y Pp sJs b O torque age como um disttirbio Assumindo a referéncia como nula Rs 0 a funcdo de transferéncia da saida pelo disttrbio é Ys 1 s 131 Ds JsbsKp Controle de Sistemas Dinamicos Prof Dr Fabricio Hoff Dupont Estabilidade de sistemas Respostas de sistemas Erro em regime permanente Acoes basicas de controle Proporcional integral e derivativo Efeitos das acoes de controle Resposta a Disturbios de Torque Controle P Portanto o erro em funcao do disturbio e Es Ds Y s Ds 1 Js2 bs KP 132 O erro estacionario causado por um disturbio em degrau de valor TD e ess TD KP 133 Em regime permanente o controlador fornece um torque TD de igual valor mas de magnitude oposta ao disturbio de torque A saıda em regime permanente e yss ess TD KP 134 O erro pode ser reduzido com o aumento de KP porem torna a resposta mais oscilatoria Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont rere ne Ma eete ee CaN ETN Efeitos das ades de controle AcGes basicas de controle Resposta a Disturbios de Torque Controle Pl e A adicao de um termo integral ao controlador permite eliminar o erro residual devido ao disttirbio D R 5 E K 4 1 T 1 y Trs sJs b e Desde que o sistema seja estavel sera desenvolvido um torque para reduzir o erro e Fazendo R 0 a malha fechada é dada por Ys 8 aa ER 135 s Js3 bs2 Kps2 Ty Controle de Sistemas Dinamicos Prof Dr Fabricio Hoff Dupont Estabilidade de sistemas Respostas de sistemas Erro em regime permanente Acoes basicas de controle Proporcional integral e derivativo Efeitos das acoes de controle Resposta a Disturbios de Torque Controle PI O erro e dado por Es s Js3 bs2 KP s KP TI Ds 136 Se o sistema e estavel ou seja se as raızes forem positivas para o polinˆomio Js3 bs2 KP s KP TI 0 137 O erro estacionario pode ser determinado e resulta em ess lim s0 sEs 0 138 Note que a adicao de um controlador PI a um sistema de segunda ordem tornao de terceira ordem Esse sistema podera ser instavel caso alguma das raızes possua parte real positiva Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont rere ne Ma eete ee CaN ETN Efeitos das ades de controle AcGes basicas de controle ar Resposta a Disturbios de Torque Controle Pl e A adicao de um integrador puro ao sistema torna o sistema instavel D r E Kp T 1 y 3 sJs b e A equacao caracteristica Js bs Kp 0 139 possui raizes reais positivas seus coeficientes sdo incompletos Controle de Sistemas Dindmicos Prof Dr Fabricio Hoff Dupont a DAG