Exercícios Resolvidos de Transformações Lineares e Operadores Lineares

1ª Verifique que 𝑇 ℝ2 ℝ3 𝑇𝑥 𝑦 3𝑥 2𝑦 𝑥 𝑦 é transformação linear 2ª Verifique que 𝑇 ℝ ℝ 𝑇𝑥 3𝑥 1 não é transformação linear 3ª Seja 𝑇 ℝ3 ℝ3 uma transformação linear e 𝐵 𝑣1 𝑣2 𝑣3 uma base do ℝ3 sendo 𝑣1 0 1 0 𝑣2 1 0 1 e 𝑣3 1 1 0 Determinar 𝑇5 3 2 sabendo que 𝑇𝑣1 1 2 𝑇𝑣2 3 1 e 𝑇𝑣3 02 4ª Consideremos o operador linear 𝑇 ℝ3 ℝ3 definido por 𝑇𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 2𝑦 2𝑧 𝑥 2𝑦 𝑧 𝑥 𝑦 4𝑧 Determinar o vetor 𝒖 ℝ3 tal que 𝑇𝒖 1 8 11 5ª Consideremos o operador linear 𝑇 ℝ3 ℝ3 definido por 𝑇𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 2𝑦 2𝑧 𝑥 2𝑦 𝑧 𝑥 𝑦 4𝑧 Determinar o vetor 𝒗 ℝ3 tal que 𝑇𝒗 𝒗 6ª Sabendo que 𝑇 ℝ2 ℝ3 é uma transformação linear e que 𝑇1 1 3 2 2 e 𝑇1 2 1 1 3 determinar 𝑇𝑥 𝑦 7ª Um operador linear 𝑇 ℝ2 ℝ2 é tal que 𝑇1 0 3 2 e 𝑇0 1 1 4 Determinar 𝑇𝑥 𝑦 8ª Determinar o núcleo e a imagem do operador linear 𝑇 ℝ3 ℝ3 𝑇𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 2𝑦 𝑧 𝑦 2𝑧 𝑥 3𝑦 𝑧 9ª Verificar se o vetor 5 3 pertence ao conjunto 𝐼𝑚𝑇 sendo 𝑇 ℝ2 ℝ2 𝑇𝑥 𝑦 𝑥 2𝑦 2 𝑥 3𝑦 10ª Considere 𝑇 ℝ ℝ 𝑇𝑥 3𝑥 1 e 𝑇 ℝ ℝ 𝑇𝑥 3𝑥 a 𝑇 ℝ ℝ 𝑇𝑥 3𝑥 1 é operador linear Justifique b 𝑇 ℝ ℝ 𝑇𝑥 3𝑥 é operador linear Justifique T R2 R3 Txy 3x 2y x y a Detalhada Seja u v e R2 Então mostraremos que T é linear isto é que Tu αv Tu αTv para todo escalar α Com efeito tomemos u x1 y1 e v x2 y2 Então Tu αv Tx1 y1 x2 α y2 α T x1 αx2 y1 αy2 3x1 αx2 2y1 αy2 x1 αx2 y1 αy2 3 x1 2y1 x1 y1 3 αx2 2αy2 x2α αy2 Tu α Tv E logo como cumprese então T é linear Simplificada tomemos u v vetores de R2 mostraremos que T é linear com T R2 R3 e Txy 3x 2y x y Então verificaremos i Tu v Tu Tv ii Tαu αTu α R Então com u x1 y1 e v x2 y2 temos Tu v Tx1 y1 x2 y2 T x1 x2 y1 y2 3 x1 x2 2 y1 y2 x1 x2 y1 y2 3 x1 2 y1 x1 y1 3 x2 2y2 x2 y2 Tu Tv E Tαu T αx1 αy1 3 αx1 2 αy1 αx1 αy1 α 3 x1 2 y1 x1 y1 α Tu 2 T R R Tx 3x 1 Detalhada Mostraremos que para dados vetores uv e R ao menos uma das propriedades Tu v Tu Tv 2i Tαu αTu α e R 2ii Não valem Com efeito tomemos u u e v v então Tu v 3 u v 1 3 u 3 v 1 3 u Tv Logo Tu v Tu Tv e então T é não linear A outra condição 2ii também falha de fato Tαu 3 α u 1 3 u α 1 α 3 u 1α Tuα E assim reafirrmase a conclusão Simplificada Tome xy R Então veja que Txy 3xy 1 3x 3y 1 3x 3y 1 3x Ty Tx Ty E logo Tx viola a linearidade da soma portanto não é linear 3 É dado que T R3 R2 com a base v1 0 1 0 v2 1 0 1 v3 2 1 0 Vamos determinar T5 3 2 tendo que Tv1 1 2 Tv2 3 1 Tv3 0 2 Detalhada primeiramente escreveremos 5 3 2 como combinação linear de v1 v2 e v3 isto é 5 3 2 α10 1 0 α21 0 1 α32 1 0 αi R Então obtemos o sistema α2 α3 5 α1 α3 3 α2 2 Como α2 é determinado o sistema se resolve imediatamente pois α2 α3 5 α3 5 α2 5 2 7 α3 7 α1 3 α3 3 7 4 α1 4 Então temos 5 3 2 40 1 0 21 0 1 72 1 0 Aplicando T e usando as transformaçõs dadas temos T5 3 2 4 T0 1 0 2 T1 0 1 7 T2 1 0 4 1 2 2 3 1 7 0 2 4 8 6 2 0 14 10 20 T5 3 2 10 20 Simplificada Vamos por 5 3 2 na base v1 v2 v3 Logo 5 3 2 α1 0 1 0 α2 1 0 1 α3 2 1 0 Logo temos α2 α3 5 α1 α3 3 α2 2 Portanto α2 2 α3 5 2 7 α1 3 7 4 Então 5 3 2 4 010 2 101 7 210 Levando em T T5 3 2 4 T010 2 T101 7 T110 4 12 2 31 7 02 10 6 014 10 20 T532 1020 4 Temos Tx y z x2y2z x2yz xy4z determinaremos u R³ tal que Tw é Tw 1 8 11 Simplificada Pondo a igualdade temos Tw 1 8 11 supomos que u x y z logo temos x2y2z x2yz xy4z 1 8 11 Em sistema x 2y 2z 1 i x 2y z 8 ii x y 4z 11 iii Subtraindo ii de i temos x 2y 2z 1 x 2y z 8 3z 9 z 93 3 z 3 Então o sistema se torna x 2y 5 ii x 2y 5 x y 1 v Somando ii com v temos x 2y 5 x y 1 3y 6 y 63 y 2 Como z 3 e y 2 temos de ii que x 2y z 8 x 4 3 8 x 7 7 1 x 1 E logo o vetor u é u x y z 1 2 3 4 Detalhada Por condição de igualdade de vetores é exigido que para dado u R³ com u x y z tenhase Tu 1 8 11 logo por T dada devemos então ter que x 2y 2z 1 x 2y z 8 x y 4z 11 Em forma matricial 1 2 2 1 2 1 1 1 4 x y z 1 8 11 façamos eliminação gaussiana Com efeito 1 2 2 1 1 2 1 8 1 1 4 11 L₂ L₁ L₁ L₃ 1 2 2 1 0 0 3 9 0 3 6 12 voltando ao sistema x 2y 2z 1 3z 9 z 93 3 Então podemos obter y na última equação 3y 6z 12 y 2z 4 y 6 4 y 2 E por ultimo obtemos x na primeira equação x 1 2y 2z 1 22 23 1 4 6 1 logo temse x 1 y 2 e z 3 e u 1 2 3 5 Seja T R3 R3 cumi Txyz x 2y 2z x 2y z x y 4z 51 Determinar v R3 tal que Tv v Detalhada Seja v R3 um vetor com componentes v x y z Então Para termos Tv v é necessario igualarmos os vetores v com o vetor obtido por T de tal modo que cada componente seja igual Então temse Tv v x 2y 2z x 2y z x y 4z x y z Em sistema x 2y 2z x x 2y z y x y 4z z Matricialmente 1 2 2 1 2 1 1 1 4x y z x y z x Note que facilmente podem obter por subtração dos elementos pois igualdade de que x é equivalente à 2y 2z 0 x y z 0 x y 3z 0 y z 0 x y z 0 x y z 0 x y 3z 0 0x y z 0 E matricialmente usando Gauss Jordan termos 2 1 1 0 1 1 3 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 2 2 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 2 2 0 0 0 0 0 E em sistema temos x y z 0 2y 2z 0 x y z 0 y z 0 y z Obtemos y z Então x y z 0 x z y z z 2z logo x 2z Portanto obtemos que v x y z 2z z z é solução do problema Em particular obtemos uma família de soluções Simplificada Devemos vtq Tv v pondo v x y z Temos por igualdade de vetores que Tv v x 2y 2z x x 2y z y x y 4z z 2y 2z 0 x y z 0 x y 3z 0 onde igualamos componente a componente Das duas últimas igualdades temse x y z 0 x y 3z 0 2y 2z 0 y z Levando na segunda equação x y z 0 x z y 2z x 2z Portanto temos que x y z 2z z z v que determina v como uma família de soluções 6 T R2 R3 com T11 322 T12 113 então determinaremos explicitamente Txy Detalhada Seja xy R2 Veja que 11 e 12 são LI pois 11 12 Então podemos escrever xy como combinação linear dt 11 e 12 Então xy α1 11 α2 12 α1 α2 x i α1 2α2 y ii determinaremos α1 e α2 em termos de x e y então somando i e ii obtemos α2 x y Deixando em i temos que α1 x y x α1 2x y Logo xy pode ser posto como xy 2xy 11 xy 12 Então aplicando T em xy temos Txy 2xy T11 xy T12 2xy 3 2 2 xy 1 1 3 6x3y 4x2y 4x2y xy xy 3x3y 7x4y 3xy xy Txy 7x4y 3x4y xy Simplificada Escrevamos xy como combinação LI de 11 e 12 Logo xy α1 11 α2 12 α1 α2 R α1 α2 x α1 2α2 y α2 x y α1 2x y Então temos que xy 2xy 11 xy 12 Em T temos Txy 2xy T11 xy T12 2xy 322 xy 113 6x3y 4x2y4x2y xyxy3x3y 7x4y3xyxy logo Txy 7x4y3xyxy 7 Seja T R2 R2 com T10 32 e T01 24 Determinaremos explicitamente Txy Detalhada Note que o conjunto 1001 é LI de fato esse é a base do R2 Então todo vetor u R2 pode ser determinado como combinação linear de 10 e 01 isto é Para xy R2 temse xy α1 10 α2 01 α1 α2 por igualdade de vetores temos que as componentes são iguais ie α1 x α2 y Logo xy é xy x 10 y 01 Levando isso em T com as transformações dadas temos Txy Tx10 Ty01 x T10 y T01 x 32 y 24 3x2x 2y4y 3xy 2x4y e a transformação Txy é Txy 3xy 2x4y Simplificada Escrevamos xy R² como xy α₂ 01 α₁ 10 com α₁ α₂ R Com isso temos x α₁ y α₂ Logo xy x 10 y 01 Levando em T e usando as transformações dadas temos Txy x T10 y T01 x 32 y 14 3xy2x4y Txy 3x y 2x 4y 8 temos T R³ R³ com Txyz x 2y z y 2z x 3y z Detalhada Determinaremos o núcleo da T Este é os vetores xyz tais que Txyz 000 Portanto Txyz 000 x 2y z y 2z x 3y z 000 x 2y z 0 y 2z 0 x 3y z 0 Matricialmente temos 1 2 1 0 0 1 2 0 1 3 1 x y z 0 0 0 Usando eliminação Gaussiana 1 2 1 0 0 1 2 1 0 1 L₃ 1 2 1 0 0 1 2 1 0 ₂ L₃ 1 2 1 0 0 0 0 Em sistema x 2y z 0 y 2z 0 y 2z logo x 4 z z 0 então x 3 z Então o núcleo de T é os vetores da forma 5z z z em conjunto NT xyz R³ x 5z y z Agora determinaremos a imagem da T Com efeito note que Txyz x 2y z y 2z x 3y z x 0 x 2y y 3y z 2z z x101 y 213 z 121 e a imagem de T é gerada pelos vetores 101 213 e 121 Em forma de conjunto temos ImT 101 213 121 Simplificada Núcleo Determinaremos xyz tq Txyz 0 Txyz 000 x 2y z 0 1 y 2z 0 2 x 3y z 0 3 De 2 y 2z Daí temos em 1 que x 22z z 0 x 5z Então o núcleo de T é os vetores tais que xyz 5z2zz com z R Então xyz R3 x 5zy 2z e z R Imagem De T dado temos Txyz x 2y z y 2z x 3y z x 101 y 213 z 1 2 1 E logo a imagem de T é ImT 101213 121 9 Basta verificar se existe xy tal que Txy 53 Detalhada Como Txy x 2y 2x 3y então queremos que tem tenha se Txy 53 logo 53 x 2y 2x 3y x 2y 5 1 2x 3y 3 2 então x 5 2y em 2 temos 2 5 2y 3y 3 7y 10 3 y 77 1 levando em 1 x 2 1 5 x 2 5 x 3 Logo x y 3 1 nos dá T3 1 3 2 6 31 5 3 e então 3 1 está na imagem de T Simplificada Procuraremos xy R2 tq Txy 53 Então Txy 53 x 2y 5 1 2x 3y 3 2 Multiplicando 1 por 2 e subtraindo de 2 temos 7y 7 y 1 Em 2 temos 2x 31 3 2x 6 x 3 E logo 53 está na imagem de T com T3 1 53 10 a Não para as soluções detalhada e simplificada veja a solução do problema 2 o qual é o mesmo operador logo mesma solução 10 b T R R Tx 3x Detalhada O operador é linear De fato mostraremos que Tuαv Tu αTv para uv R e α um escalar Então temos Tuαv 3 u αv 3u 3 α v 3u α3v Tu α Tv o que verifica a linearidade de T em relação a soma e a multiplicação por um escalar logo T é um operador linear 10 b Simplificada Verificaremos Linearidade da soma Seja u v R Então Tuv 3 uv 3u 3v Tu Tv com isso provamos que T é linear na soma Linearidade do produto por escalar Seja u R e α um escalar então Tα u 3 α u 3 α u α 3u α Tu É T é linear em relação a multiplicação por um escalar Daí de posse das duas linearidades concluise que T é linear