Material Didático: Geometria Analítica e Álgebra Linear - Licenciatura em EaD Computação

LICENCIATURA EM EaD COMPUTAÇÃO GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR EaD UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA LICENCIATURA EM EaD COMPUTAÇÃO PRESIDENTE DA REPÚBLICA Dilma Roussef MINISTRO DA EDUCAÇÃO Aloísio Mercadante SISTEMA UNIVERSIDADE ABERTA DO BRASIL PRESIDENTE DA CAPES Jorge Guimarães DIRETOR DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA DA CAPES João Teatini GOVERNO DO ESTADO DA BAHIA GOVERNADOR Jaques Wagner VICEGOVERNADOR Otto Roberto Mendonça de Alencar SECRETÁRIO DA EDUCAÇÃO Osvaldo Barreto Filho UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA UNEB REITOR Lourisvaldo Valentim da Silva VICEREITORA Adriana do Santos Marmori Lima PRÓREITOR DE ENSINO DE GRADUAÇÃO José Bites de Carvalho COORDENADOR UABUNEB Silvar Ferreira Ribeiro COORDENADOR UABUNEB ADJUNTO André Magalhães IVANA BARRETO MATOS EDUNEB Salvador LICENCIATURA EM EaD COMPUTAÇÃO GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR UNEB 2012 Nenhuma parte deste material poderá ser reproduzida transmitida ou gravada por qualquer meio eletrônico mecânico por fotocópia e outros sem a prévia autorização por escrito da Coordenação UABUNEB Depósito Legal na Biblioteca Nacional Impresso no Brasil 2012 COLABORADORES SUPERVISÃO DE MATERIAL DIDÁTICO Andréa Santos Tanure Flávia Souza dos Santos Tatiane Nogueira Nunes PROJETO GRÁFICO e CRIAÇÃO João Victor Souza Dourado Carla Cristiani Honorato de Souza REVISORES Carla Honorato Maíta Andrade NORMALIZAÇÃO Sheila Rangel DIAGRAMAÇÃO Alan Venicius de Araújo Gonçalves EDITORA DA UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA DIRETORA Maria Nadja Nunes Bittencourt COORDENADOR EDITORIAL Ricardo Baroud O conteúdo deste Material Didático é de inteira responsabilidade dosdas autores as por cuja criação assumem ampla e total responsabilidade quanto a titularidade originalidade do conteúdo intelectual produzido uso de citações de obras consultadas referências imagens e outros elementos que façam parte desta publicação COORDENAÇÃO UABUNEB Editora da Universidade do Estado da Bahia EDUNEB Rua Silveira Martins 2555 Cabula 41150000 Salvador BA wwwedunebunebbr editoralistasunebbr Tel 55 71 31175342 MATOS Ivana Barreto M141 Geometria analítica e álgebra linear licenciatura em computação Ivana Barreto Matos Salvador UNEB GEAD 2013 128 p 1Matemática 2 Álgebra 3 Geometria I Ivana Barreto Matos II Título III Universidade Aberta do Brasil IV UNEB GEAD CDD 512 EaD LICENCIATURA EM LETRAS UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA Caro a Cursista Estamos começando uma nova etapa de trabalho e para auxiliálo no desenvolvimento da sua aprendizagem estruturamos este material didático que atenderá ao Curso de Licenciatura na modalidade de Educação a Distância EaD O componente curricular que agora lhe apresentamos foi preparado por profissionais habilitados especialistas da área pesquisadores docentes que tiveram a preocupação em alinhar o conhecimento teórico e prático de maneira contextualizada fazendo uso de uma linguagem motivacional capaz de aprofundar o conhecimento prévio dos envolvidos com a disciplina em questão Cabe salientar porém que esse não deve ser o único material a ser utilizado na disciplina além dele o Ambiente Virtual de Aprendizagem AVA as atividades propostas pelo Professor Formador e pelo Tutor as atividades complementares os horários destinados aos estudos individuais tudo isso somado compõe os estudos relacionados à EaD É importante também que vocês estejam sempre atentos às caixas de diálogos e ícones específicos que aparecem durante todo o texto apresentando informações complementares ao conteúdo A ideia é mediar junto ao leitor uma forma de dialogar questões para o aprofundamento dos assuntos a fim de que o mesmo se torne interlocutor ativo desse material São objetivos dos ícones em destaque VOCÊ SABIA convida o leitor a conhecer outros aspectos daquele tema conteúdo São curiosidades ou informações relevantes que podem ser associadas à discussão proposta SAIBA MAIS apresenta notas textos para aprofundamento de assuntos diversos e desenvolvimento da argumentação conceitos fatos biografias enfim elementos que o auxiliam a compreender melhor o conteúdo abordado INDICAÇÃO DE LEITURA neste campo você encontrará sugestões de livros sites vídeos A partir deles você poderá aprofundar seu estudo conhecer melhor determinadas perspectivas teóricas ou outros olhares e interpretações sobre determinado tema SUGESTÃO DE ATIVIDADE consiste num conjunto de atividades para você realizar autonomamente em seu processo de autoestudo Estas atividades podem ou não ser aproveitadas pelo professor formador como instrumentos de avaliação mas o objetivo principal é o de provocálo desafiálo em seu processo de autoaprendizagem Sua postura será essencial para o aproveitamento completo desta disciplina Contamos com seu empenho e entusiasmo para juntos desenvolvermos uma prática pedagógica significativa Setor de Material Didático Coordenação UABUNEB EaD LICENCIATURA EM EaD COMPUTAÇÃO UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EaD UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA ÁREA DE AMBIENTAÇÃO Dados Pessoais Nome Telefones Email Residência MunicípioPolo do curso EaD Dados do Curso Endereço de acesso à sala de aula virtual Período de execução desta disciplina de à Quem são os orientadores desta disciplina Categoria Responsável por Nome Email Prof Autor Elaborar o módulo impresso Prof Formador Planejar e organizar a sala vitual Tutor a distância Mediar os estudos no ambiente Tutor presencial Mediar os encontros presenciais Coord de Polo Apoiar as ações do curso no local Identificação da Turma Nome Onde encontrar Telefones Email EaD LICENCIATURA EM EaD COMPUTAÇÃO UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EaD UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA APRESENTAÇÃO A Disciplina Geometria Analítica e Álgebra Linear GAL é uma disciplina que está integrada entre as disciplinas da formação básica do curso de Licenciatura em Computação A disciplina será contemplada numa carga horária de 90 horas e o seu desenvolvimento contará com a utilização de diversas mídias o material impresso ambiente virtual de aprendizagem e vídeosaulas gravadas necessárias num curso à distância que atuarão de modo integrado no sentido de favorecer as diferentes formas de aprendizagem Um dos objetivos dessa disciplina é ampliar significativamente o conhecimento matemático Dessa forma você será capaz de aplicar esses conhecimentos principalmente no desenvolvimento de programas computacionais Nessa disciplina abordaremos os conceitos da álgebra vetorial geometria analítica e álgebra linear Os conteúdos serão apresentados de uma forma bastante clara e objetiva e cuja linguagem dialogada permitirá que você realize os desafios propostos ao longo do módulo Além disso as figuras foram construídas de forma a permitir uma melhor compreensão dos conceitos apresentados O conteúdo está divido em quatro capítulos veja a descrição a seguir Capítulo 1 Álgebra Vetorial Apresentaremos os conceitos básicos de vetores e de dependência linear preparandoo para entender os produtos escalar vetorial e misto Capítulo 2 Geometria Analítica Nesse caso faremos um estudo mais amplo de retas e planos tanto no plano como no espaço e trabalharemos o conceito de distâncias entre pontos retas e planos Capítulo 3 Matrizes e Sistema Lineares Nesse capítulo iniciaremos o estudo de Álgebra Linear começando pelos conceitos básicos de matrizes Dando continuidade você aprenderá a escalonar matrizes com objetivo de resolver sistemas de operadores lineares Você usará muito esse conceito na computação gráfica Capítulo 4 Conceitos Básicos da Álgebra Linear Aqui veremos alguns conceitos da Álgebra Linear como espaços vetoriais subespaços vetoriais transformações lineares e diagonalização de operadores lineares Ao longo de cada capítulo vamos propor atividades bastante criativas que o ajudará a desenvolver um senso crítico preparandoo para resolver vários tipos de problemas propostos no decorrer do curso Sucesso Profª Ivana Barreto Matos EaD LICENCIATURA EM EaD COMPUTAÇÃO UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EaD UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA LICENCIATURA EM HISTÓRIA Nesse módulo veremos conteúdos que envolvem os conceitos de Geometria Analítica e Álgebra Linear Iniciaremos pela álgebra vetorial em que você irá aprender a manusear com vetores que representam grandezas vetoriais Essas grandezas possuem um valor absoluto direção e sentido A velocidade e aceleração por exemplo são grandezas vetoriais Você terá oportunidade também de fazer um estudo analítico das retas planos e distâncias tanto no espaço bidimensional como do espaço tridimensional Em seguida vamos iniciar o estudo da Álgebra Linear iniciando pelo estudo das matrizes e resolução de sistemas lineares E finalizando com o estudo de espaços vetoriais e diagonalização de matrizes Todo esse conteúdo é de suma importância para o curso de Licenciatura em Computação Ao longo do módulo são apresentadas muitas demonstrações matemáticas importantes no desenvolvimento do raciocínio lógico e obtenção de estratégias tão necessárias no exercício da programação Além disso você aprenderá métodos para resolução de sistemas de operadores lineares que o proporcionará o desenvolvimento de programas para resolver sistemas lineares com muitas incógnitas Enfim todos os conteúdos que serão abordados o permitirá a resolver problemas complexos relativos a várias áreas de conhecimento aumentando assim a sua capacidade de desenvolver programas de computação para facilita os cálculos CONTEÚDOS DE TRABALHO EaD LICENCIATURA EM EaD COMPUTAÇÃO UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EaD UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA SUMÁRIO CAPÍTULO 1 ÁLGEBRA VETORIAL 11 11 Conceitos Básicos e Operações com Vetores 13 111 Equipolência 13 112 Vetores 15 113 Propriedades dos Vetores 16 114 Soma de um ponto com um vetor 16 115 Adição de Vetores 18 116 Módulo de um Vetor 21 117 Vetor Unitário ou Versor 21 118 Vetores Paralelos 21 119 Produto de um nº real por um vetor 22 12 Dependência Linear 25 121 Espaço Vetorial 25 122 Subespaço Vetorial 26 123 Combinação Linear 28 124 Conjuntos Geradores 31 125 Dependência e Independência de Vetores 32 126 Ângulos entre vetores 38 127 Base e Dimensão Vetorial 38 128 Coordenadas de Vetores 42 13 Produto Escalar 43 131 Definição 43 132 Propriedades 44 133 Interpretação geométrica 48 14 Produto Vetorial 50 141 Determinante 50 142 Definição do produto vetorial 53 143 Propriedades 55 144 Interpretação geométrica 56 15 Produto Misto 57 151 Definição 57 152 Propriedades do produto misto 58 153 Interpretação geométrica 59 CAPÍTULO 2 GEOMETRIA ANALÍTICA 63 21 Estudo das Retas 65 211 Tipos de Equações 65 2111 Equação Vetorial 65 2112 Equação Paramétrica 65 2113 Equação Simétrica 66 2114 Equação Reduzida 68 212 Interseção entre retas 69 22 Estudo dos Planos 70 221 Tipos de Equações 70 EaD LICENCIATURA EM EaD COMPUTAÇÃO UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA CAPÍTULO EaD UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA 2211 Equação Vetorial 71 2212 Equação Paramétrica 71 2213 Equação Geral 71 2214 Equação Segmentária 72 222 Interseção entre reta e plano 75 223 Interseção entre planos 76 23 Distâncias 77 231 Distância entre dois pontos 77 232 Distância entre um ponto e uma reta 78 233 Distâncias entre um ponto e um plano 78 234 Distância entre retas 79 CAPÍTULO 3 MATRIZES E SISTEMAS LINEARES 81 31 Conceitos Básicos de Matrizes 83 311 Definição 83 312 Tipos de Matrizes 83 313 Operações com Matrizes 84 314 Transposição de Matrizes 87 32 Resoluções de Sistema por Escalonamento 87 321 Apresentação de um sistema linear 88 322 Matrizes de um sistema linear 88 323 Operações elementares 89 324 Matrizes equivalentes 90 33 Resolução de Sistema por Escalonamento 90 331 Matriz linha reduzida à forma escada 90 332 Eliminação por Gauss Jordan 92 333 Resolução de sistemas lineares 93 34 Regra de Cramer 96 341 Definição de matriz inversa 96 342 Matriz inversa por escalonamento 98 343 Resolução de sistema pela regra de Cramer 99 CAPÍTULO 4 CONCEITOS BÁSICOS DA ÁLGEBRA LINEAR 103 41 Transformações Lineares 105 411 Definição 105 412 Teorema do Núcleo e da Imagem 109 413 Isomorfismos Lineares 113 414 Matriz Associada a uma Transformação Linear 114 42 Autovalores e Autovetores 117 421 Definição 117 422 Polinômio Característico 117 423 Determinação dos Autovalores e Autovetores 117 43 Diagnoalização de Operadores Lineares 119 431 Base de autovetores 119 432 Polinômio minimal 121 GLOSSÁRIO 123 REFERÊNCIAS 125 EaD UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA CAPÍTULO 1 ÁLGEBRA VETORIAL Anotações EaD UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EaD UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA 13 LICENCIATURA EM EaD COMPUTAÇÃO Iniciaremos esse capítulo com os conceitos elementares da álgebra vetorial Definiremos vetores apresentando suas propriedades e operações Os vetores representam grandezas vetoriais como aceleração velocidade força etc que possuem um valor numérico absoluto um sentido e uma direção Daí a grande importância desse conceito que o permitirá solucionar problemas em várias áreas de conhecimento Para iniciar o estudo precisaremos de alguns conceitos preliminares apresentados a seguir 11 CONCEITOS BÁSICOS E OPERAÇÕES COM VETORES 111 Equipolência Com o intuito de definir vetores inicialmente precisaremos de alguns conceitos preliminares de equipolência de um segmento orientado Para tanto é preciso você entender que um segmento de reta é orientado quando possui direção comprimento e sentido Os segmentos são equipolentes ou equivalentes quando possuem mesmo comprimento mesma direção e mesmo sentido Depois de entender bem esse conceito poderemos definir vetores e apresentar suas propriedades possibilitando que você entenda as operações com os mesmos Segmento Orientado Consideremos uma reta r Sejam dois pontos A e B pertencente a reta r Definição Dizemos que o segmento de reta entre os pontos A e B é um segmento orientado se associamos um sentido que pode iniciar em A e terminar em B segmento AB ou iniciar em B e terminar em A segmento BA Observação O segmento AB é oposto ao segmento BA Observe que o comprimento do segmento AB é igual ao comprimento do segmento BA Notação Denotaremos um segmento orientado AB por AB O segmento nulo inicia e termina num mesmo ponto e portanto denotaremos por O AA VOCÊ SABIA Além do sentido e comprimento o segmento orientado possui uma direção A direção é determinada pela inclinação É importante entender claramente o conceito de direção e sentido Para tanto avaliemos um exemplo prático Imagine um navio se deslocando Uma bússola era usada para orientar o capitão na sua navegação Atualmente já é usado o GPS Sistema de Posicionamento Global Avalie a figura abaixo Figura 01 segmento orientado Fonte Própria Figura 02 Direção e sentido Fonte Própria EaD LICENCIATURA EM EaD COMPUTAÇÃO UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA 14 Supondo que o navio está se deslocando sobre a reta que liga SO a NE A direção do navio é dada pela inclinação da reta que nesse caso é de 45 graus ângulo que a reta faz com o eixo horizontal O navio pode se deslocar no sentido do Nordeste NE ou no sentido do Sudoeste SO Similarmente o navio pode se deslocar à 90 graus direção no sentido Norte ou no sentido Sul Direção Sejam AB e CD segmentos orientados não nulos Os segmentos orientados têm a mesma direção quando são paralelos Sentido O sentido só ocorre quando os segmentos orientados têm a mesma direção SAIBA MAIS O GPS como a própria sigla representa é um Sistema Global de Posicionamento Atualmente em vez da bússola utilizase o GPS para indicar a nossa localização no globo terrestre portanto é de grande utilidade na navegação O GPS recebe informações precisas dos satélites que foram lançados na órbita terrestre Saiba mais sobre os GPS acessando o site MORIMOTO E Carlos Uma Introdução ao GPS Disponível emhttpwwwguiadohardwarenetartigosgps Acesso em 06 set 2010 Segmentos Orientados Equipolentes Agora preste muita atenção ao conceito de eqüipolência importante para que você entenda a definição de vetores Iniciaremos com a definição de segmentos orientados eqüipolentes Definição Dizemos que dois segmentos orientados são equipolentes se eles têm a mesma direção sentido e comprimento Sejam AB e CD segmentos orientados equipolentes não nulos Esses segmentos são colineares se eles estão sobre a mesma reta caso contrário eles são não colineares SAIBA MAIS Colineares Observe que se deslocarmos o segmento AB e CD as extremidades pode coincidir ou seja A C e B D Nesse caso podese afirmar que os segmentos são colineares Não colineares Se AB for paralelos a CD e AB for paralelo a BD ABCD é um paralelogramo Ou seja se dois segmentos são equipolentes ou seja têm mesma direção sentido e comprimento e se não são colineares eles formam um paralelogramo Figura 03 Segmentos colineares Fonte Própria Figura 04 Segmentos não colineares Fonte Própria Figura 05 Segmentos não colineares Fonte Própria EaD LICENCIATURA EM EaD COMPUTAÇÃO UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA 15 Propriedades da Equipolência Agora é necessário você conhecer as propriedades da equipolência que é uma relação de equivalência pois é reflexiva um segmento orientado é equipolente a si mesmo simétrica dois segmentos são equipolentes entre si e transitiva equipolência entre três segmentos Veja com mais detalhes nos itens a seguir Notação AB CD Lêse AB equipolente a CD 1 Reflexiva AB AB todo segmento orientado é equipolente a ele mesmo 2 Simétrica AB CD CD AB Se o segmento AB é equipolente a CD então o segmento CD é equipolente a AB 3 Transitiva AB CD e CD EF AB EF Se AB é equipolente a CD e CD é equipolente a EF então AB é equipolente a EF 4 Dados um segmento orientado AB e um ponto C existe um único ponto D tal que o segmento AB é equipolente a CD ou seja AB CD 5 Se AB CD então CA DB 6 Se AB CD então AC BD 7 Se AB CD então BA DC 8 Todo segmento orientado nulo é equipolente INDICAÇÃO DE LEITURA Recomendo para essa parte inicial de segmentos eqüipolentes a leitura no CAMARGO 2005 p 1 a 4 ver referências 112 Vetores Preparado Se até aqui você entendeu todos os conceitos será capaz de iniciar o estudo de vetores No nosso dia a dia verificamos dois tipos de grandezas As grandezas escalares são aquelas que podem ser representada apenas por um número real Veja alguns exemplos comprimento área volume e até mesmo a temperatura Assim quando alguém quer saber a área de um quarto basta informarmos por exemplo que o quarto possui 4m2 Similarmente para comprimento volume e temperatura No entanto se considerarmos por exemplo a velocidade de um veículo além de informar um valor 100kmh como o veículo está se deslocando devese considerar também a direção e o sentido desse deslocamento Portanto dizemos que a velocidade é uma grandeza vetorial Na física tratamos na maioria das vezes com grandezas vetoriais como aceleração força tensão etc Daí a grande importância desse estudo que o propiciará a resolver uma infinidade de problemas em várias áreas de conhecimento Definição Dizemos que um vetor determinado por um segmento orientado AB é o conjunto de todos os segmentos orientados equipolentes à AB Notação AB lêse vetor AB ou v ou B A Representação Geométrica Observe a figura e verifique que todos os segmentos orientados representam o vetor v que foram determinados pelo segmento orientado AB Dizemos que o vetor AB é o vetor posição que sempre parte da origem do sistema de coordenadas Os demais são seus representantes De um ponto qualquer do espaço podemos encontrar um segmento orientado eqüipolente a um segmento dado Figura 06 Segmentos não colineares Fonte Própria EaD LICENCIATURA EM EaD COMPUTAÇÃO UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA 16 Vetor Oposto Definição Um vetor é oposto a um dado vetor se possuem mesma direção e módulo porém com sentidos contrários O vetor BA é oposto ao vetor AB assim como o vetor CD também é oposto ao vetor AB Notação BA ou AB Vetor Nulo Definição O vetor nulo é o conjunto de todos os segmentos orientados eqüipolentes a todos os segmentos orientados nulos Notação 0 113 Propriedades dos Vetores As propriedades são necessárias para que você possa operar com os vetores Vamos lá Dados os pontos A B C e D temos 1 Usamos a seguinte representação para o vetor nulo 0 A A ou seja o vetor nulo é representado por um ponto 2 Vimos anteriormente que o vetor AB poder ser representado por B A e o vetor BA por A B Os vetores AB e BA são opostos Logo A B B A ou BA AB 3 Observe que na figura os vetores estão apresentados em um paralelogramo Portanto fica claro que se B A D C então C A D B Similarmente se AB CD então AC BD 114 Soma de um ponto com um vetor Agora mostraremos como operar com vetores Fique atento e não se esqueça de resolver as atividades propostas Claro que em caso de dúvidas você pode acessar o ambiente virtual de aprendizagem Vamos iniciar pela soma de um ponto com um vetor Sejam o vetor v e um ponto A qualquer Existe um único ponto B tal que AB v Isso implica que Figura 07 Definição de vetor Fonte Própria Figura 09 Vetores Fonte Própria Figura 08 Vetores opostos Fonte Própria EaD LICENCIATURA EM EaD COMPUTAÇÃO UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA 17 B A v e portanto B A v Logo podemos concluir que a soma de um ponto com um vetor resulta num ponto Propriedades 1 É claro que um ponto somado ao vetor nulo resulta no ponto ou seja 0 A A 2 Observe a figura abaixo para entender essa propriedade Veja eu o ponto A somado ao vetor v resulta no ponto B Assim A v v A B v A 3 A v B v A B ou seja a única possibilidade que existe para que a igualdade A v B v seja verdadeira é que o ponto A seja igual ao ponto B 4 Já nesse caso A u A v v u a única possibilidade para a igualdade seja satisfeita é que v u Ou seja o vetor resultante da soma de um ponto por um vetor é único 5 É claro que A AB B ou seja a soma do ponto A com o vetor AB resulta no ponto B SUGESTÃO DE ATIVIDADE Observe a figura acima responda e reflita sobre os resultados 1 A t A AB A B A 2 E w C v B t D u 3 A u A t A v A w Verifique cada propriedade acima visualizando cada uma delas através das figuras para se convencer Figura 10 Soma de um ponto e um vetor Fonte Própria Figura 12 Propriedades vetores Fonte Própria Figura 11 Propriedades vetores Fonte Própria Figura 13 Atividade com vetores Fonte Própria EaD LICENCIATURA EM EaD COMPUTAÇÃO UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA 18 115 Adição de Vetores E agora Como podemos somar dois vetores Por enquanto mostraremos a operações geometricamente Posteriormente faremos o tratamento algébrico dos vetores Sejam os vetores a e b em que a AB e b CD Observe que na figura 14 arrumamos os vetores de forma que os pontos B e C coincidissem ou seja a extremidade final do vetor a é igual a extremidade inicial do vetor b Assim definimos o vetor AD como a soma dos vetores a e b Notação a b Outra forma de encontrarmos o vetor soma é através do paralelogramo Analise inicialmente a figura a seguir Você deve ter observado que agora as extremidades iniciais dos dois vetores é que coincidiram ou seja o ponto A coincide com o ponto C Após isso traçamos o paralelogramo através de segmentos paralelos ao segmento CD e ao segmento AB Traçado o paralelogramo o vetor AE é o vetor que representa a soma dos vetores a e b Similarmente podemos verificar a subtração entre vetores Notação a b Sejam os vetores a e b em que a AB e b CD Veja que subtrair os vetores é o mesmo que somar vetores pois a b a b ou seja é o mesmo que somar o vetor a com o oposto do vetor b Portanto na figura somamos o vetor a com o vetor b Agora vamos usar a regra do paralelogramo Agora vamos ver algumas propriedades e logo após comentaremos sobre a atividade que você acabou de fazer Figura 14 Soma de vetores Fonte Própria Figura 16 Soma de vetores Paralelogramo Fonte Própria Figura 15 Soma de vetores Fonte Própria Figura 17 Subtração de vetores Fonte Própria EaD LICENCIATURA EM EaD COMPUTAÇÃO UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA 19 Figura 18 Subtração de vetores Fonte Própria Figura 18 Subtração de vetores Fonte Própria SUGESTÃO DE ATIVIDADE Como proceder para somar mais do que dois vetores Pense um pouco e tente representar as somas u v w e u v w t em que os vetores u v w e t são dados abaixo A malha quadriculada abaixo o ajudará a deslocar os vetores Figura 20 Atividade com vetores Fonte Própria EaD LICENCIATURA EM EaD COMPUTAÇÃO UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA 20 Propriedades Sejam os vetores a e b Observe as figuras para você entender as propriedades 1 Comutativa a b b a 2 Associativa a b c a b c 3 Elemento Neutro 0 0 a a a Lembrese que o vetor nulo é representado por um ponto Portanto podemos escrever AB BB AB a Nesse caso o elemento neutro é escrito como BB 4 Simétrica para todo vetor a existe seu oposto a tal que 0 a a Se a AB e a BA temos AB BA AA INDICAÇÃO DE LEITURA Recomendo para essa parte inicial de segmentos eqüipolentes a leitura no CAMARGO 2005 p 8 a 15 ver referências Vamos agora mostrar o resultado que você deveria encontrar na atividade proposta anteriormente Figura 21 Propriedade Comutativa Fonte Própria Figura 22 Propriedade Associativa Fonte Própria Figura 23 Propriedade Associativa Fonte Própria Figura 24 Propriedade Associativa Fonte Própria EaD LICENCIATURA EM EaD COMPUTAÇÃO UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA 21 116 Módulo de um Vetor Definição Dado o vetor v o módulo do vetor v ou norma do vetor v é o comprimento de qualquer representante do vetor v Notação módulo de v ou módulo ou norma de v Ao longo desse módulo usaremos a notação v para representar o módulo de um vetor v e α para representar o módulo de um escalar α 117 Vetor Unitário e Versor Definição O vetor v é dito unitário se o seu comprimento é igual à 1 ou seja v 1 Definição Chamamos de versor do vetor v denotado por v0 ao vetor unitário que tem o mesmo sentido do vetor v logo a mesma direção 118 Vetores Paralelos Definição Dois vetores são ditos paralelos quando têm a mesma direção Observação veja que basta os vetores possuírem mesma direção para serem paralelos o sentido pode ser oposto como mostra a figura 27 Figura 26 Versor de um Vetor Fonte Própria Figura 27 Vetores Paralelos Fonte Própria Solução Veja que ao somarmos os vetores u v w t o resultado é o vetor nulo pois a extremidade final do vetor t coincide com a extremidade inicial do vetor u Figura 25 Propriedade Associativa Fonte Própria EaD LICENCIATURA EM EaD COMPUTAÇÃO UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA 22 119 Produto de um nº real por um vetor Dados os pontos A e B sejam a AB e λ ℜ Definição Dizemos que o produto do número real λ pelo vetor a é o vetor b denotado por b λa tal que 1 b a λ 2 A direção dos vetores b e a são as mesmas 3 Se λ 0 os vetores b e a têm o mesmo sentido 4 Se λ 0 os vetores b e a têm sentido contrário 5 Se λ 0 ou a 0 o produto a λ é o vetor nulo REGISTRE SUA IDEIA Na malha abaixo faça novos exemplos como os mostrados na figura 27 Ou seja desenhe outros vetores e represente o seu produto por um escalar Figura 28 Malha para atividade Fonte Própria EaD LICENCIATURA EM EaD COMPUTAÇÃO UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA 23 Exemplos SAIBA MAIS Se b λa dizemos que os vetores b e a são paralelos ou colineares ou seja estão sobre a uma mesma reta Já vimos que o versor v0 do vetor v é o vetor unitário que tem o mesmo sentido do vetor v logo a mesma direção Assim o versor do vetor v é dado por 0 v v v para v 0 Isso implica que 0 v v v Propriedades Sejam os vetores a e b e os escalares α λ ℜ 1 A soma de vetores é distributiva em relação a um escalar a b a b α α α 2 A soma de escalares é distributiva em relação a um vetor a a b α λ α λ 3 Produto de escalares por um vetor a a αλ α λ 4 O número 1 é o elemento neutro 1a a Exemplos Observe a figura seguir Considerando 3 DC BD exprimir o vetor AD em função dos vetores AB e AC Solução Observe na figura 30 que AD AB BD AD AB BD I Por outro lado 1 3 4 4 BC BD DC BC BD BD BC BD BC BD 2 BC BA AC AB AC Substituindo esses resultados na equação I temos Figura 29 Produto de um vetor por um nº real Fonte Própria Figura 30 Exemplo Vetores Fonte Própria EaD LICENCIATURA EM EaD COMPUTAÇÃO UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA 24 Portanto 3 1 4 4 AD AB AC Para encerrar essa parte tente resolver a atividade proposta a seguir e lembrese sempre que poderá tirar as suas dúvidas no ambiente virtual de aprendizagem Sucesso SUGESTÃO DE ATIVIDADE 1 Verifique se as afirmações a seguir são falsas ou verdadeiras Justifique a sua resposta a AB CD AB CD Justifique b AB CD AB CD Justifique c AB CD AC BD Justifique d e AB CD A C B D Justifique 2 Na figura abaixo represente as somas dos seguintes vetores BA AE BA BF BA BF BA BF OM ML PS PQ PQ QT PS PQ 3 Utilizando as propriedades de vetores prove que a A u v A u v b A u B v u AB v INDICAÇÃO DE LEITURA Recomendo para essa parte inicial de álgebra vetorial a leitura do WINTERLE 2000 p 1 a 13 ver referências Figura 31 Atividade Soma Vetores Fonte Própria 1 1 1 1 4 4 4 4 AD AB BD AD AB BC AB AB AC AB AB AC EaD LICENCIATURA EM EaD COMPUTAÇÃO UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA 25 12 DEPENDÊNCIA LINEAR Para dar continuidade ao nosso estudo no qual você será capaz de entender os produtos escalar vetorial e misto assim como as suas interpretações geométricas é necessário você entender o que é uma base vetorial o menor conjunto de vetores linearmente independentes que gera um espaço vetorial Imagino que você deve estar assustado com tantos conceitos novos Acertei Mas vamos por partes Inicialmente é necessário definir um espaço vetorial 121 Espaço vetorial Preliminarmente definamos um corpo para depois falarmos em espaço vetorial Definição Um conjunto F é um corpo comutativo se á munido da operação de soma que associa a cada x y em F um elemento x y em F e da operação de multiplicação que associa a cada x y em F um elemento x y em F e essas duas operações satisfazem as seguintes condições 1 A adição é comutativa 2 A adição é associativa 3 Existe um único elemento neutro para a adição 4 Existe o elemento oposto da adição 5 A multiplicação é comutativa 6 A multiplicação é associativa 7 Existe o elemento neutro da multiplicação 8 Existe o inverso multiplicativo 9 A multiplicação é distributiva em relação à adição Você conhece algum conjunto cujos elementos atendem as condições acima Pense um pouco Observe que o conjunto dos números reais é um corpo pois as operações de soma e multiplicação satisfazem as condições da definição de um corpo Outro conjunto que também é um corpo é o conjunto dos números complexos Vamos então à definição de um espaço vetorial Definição Dizemos que um conjunto V é espaço vetorial se consiste de um corpo F de escalares um corpo V de vetores de forma que 1 Exista uma operação de soma de vetores que associa a cada u v em V um vetor u v também em V tal que a a adição é comutativa u v v u b a adição é associativa u v w u v w u v w V c existe um único vetor nulo 0 em V tal que 0 u u para todo u em V d para cada vetor u em V existe um único vetor u em V tal que 0 u u 2 Exista uma operação de multiplicação por um escalar que associa a cada escalar α em F e a cada vetor u em V um vetor u α em V tal que a 1u u para todo u em V b 1 2 1 2 u u α α α α 1 2 α α F c u v u u u v V e F α α β α d u u u α β α β Portanto um espaço vetorial é um objeto composto de um corpo um conjunto de vetores e duas operações com propriedades especiais Veremos alguns exemplos EaD LICENCIATURA EM EaD COMPUTAÇÃO UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA 26 Exemplos de Espaços Vetoriais 1 O conjunto dos números reais ℜ é um espaço vetorial sobre ℜ Sejam α β ℜ A operação de soma entre números reais é comutativa associativa existe o elemento neutro que é o zero e o elemento oposto Observe que a multiplicação por um escalar em ℜ também atendem as propriedades citadas anteriormente em que o número 1 é o elemento neutro 2 O conjunto dos números complexos C é um espaço vetorial sobre ℜ Sejam x a b i y c d i C com a b c d e α ℜ a b c d e α ℜ C é um espaço vetorial sobre ℜ com as operações de soma x y a c b d i e pela multiplicação por um escalar x y a c b d i 3 O conjunto dos vetores da geometria definidos por meio de segmentos orientados é um espaço vetorial sobre ℜ Verifique as propriedades de vetores 4 Seja m n A B M e α ℜ o conjunto das matrizes Mm n ℜ e ordem m n é um espaço vetorial sobre ℜ com as operações de soma ij ij ij A B A B e de multiplicação por um escalar ij ij c A ij c A 5 O conjunto das nuplas de números reais ℜn é um espaço vetorial sobre ℜ com as seguintes operações Soma 1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3 a a a a b b b b a b a b a b a b n n n n 1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3 a a a a b b b b a b a b a b a b n n n n Multiplicação por um escalar 1 2 3 1 2 3 a a a a a a a a n n α α α α α 1 2 3 1 2 3 a a a a a a a a n n α α α α α α ℜ 6 O conjunto dos polinômios reais de grau n denotado por Pn ℜ é espaço vetorial sobre ℜ com as seguintes operações usuais Soma f x g x P f x g x P n n ℜ ℜ Multiplicação por um escalar α α ℜ ℜ ℜ f x P f x P n n 122 Subespaço Vetorial Agora é importante você entender o que é um subespaço vetorial Definição Seja V espaço vetorial sobre ℜ Um subespaço vetorial de V é um subconjunto W V tal que a o elemento neutro está em W ou seja 0 W b W é fechado em relação a operação de soma ou seja para quaisquer dois vetores em W a soma deles está em W Simbolicamente temos u v W u v W c É fechado em relação à multiplicação por um escalar ou seja a multiplicação de todo número real pertencente a por um elemento de W pertence a W Simbolicamente ℜ α α e u W u W Figura 32 Subespaço Vetorial Fonte Própria EaD LICENCIATURA EM EaD COMPUTAÇÃO UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA 27 Explicando melhor Um subespaço vetorial W de um espaço vetorial V contém o elemento neutro é fechado em relação a operação de soma ou seja para quaisquer dois elementos pertencentes a W a soma deles está contida em W e é também fechado em relação a multiplicação por um escalar Um resultado muito importante e que utilizaremos ao longo desse material é o da seguinte proposição Proposição Se W é um subespaço vetorial de V então W é espaço vetorial sobre ℜ A prova dessa proposição fica como exercício para você É preciso mostrar as oito condições da definição de espaço vetorial Essa proposição é muito importante pois se para mostrar que um subconjunto de um espaço vetorial é um espaço vetorial basta mostrarmos que ele é um subespaço vetorial Vejamos alguns exemplos Exemplos 1 Seja V ℜ2 Mostre que W x y V x y é subespaço de V a O elemento neutro do 2 ℜ é 00 Veja que 00 pertence a W pois 0 0 b Sejam u a b e v c d pertencentes a W Temos que mostrar que u v pertence a W Observe que se u a b W a b v c d W c d Temos que u v a b c d a c b d como a b e c d u v b d b d e portanto u v pertence a W como queríamos demonstrar c Sejam u a b W e α ℜ Temos que mostrar que u α W Se u pertence a W as coordenadas de u são iguais ou seja u a b W a b Assim ao multiplicarmos u por um escalar temos u a b a b a a W α α α α α α 2 Seja V ℜ3 Mostre que W x y z V x y 0 é subespaço de V a Seja 3 000 ℜ Como 0 0 0 000 W b Sejam e u a b c v d f g Temos que mostrar que u v W Como u e v pertencem a W temos 0 0 u a b c W a b v d f g W d f Por outro lado u v a b c d f g a d b f c g u v a b c d f g a d b f c g Como 0 a b d f podemos garantir que u v W c Sejam u a b c W e α R Temos que mostrar que u α W Como u a b c W pertence a W temos que 0 a b Portanto S e u a b c a b c α α α α α 0 0 a b a b α α α α 0 0 a b a b α α α α Logo u α W EaD LICENCIATURA EM EaD COMPUTAÇÃO UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA 28 SAIBA MAIS O fato de W V V espaço vetorial não significa que W é subespaço de V É necessário 0 W para W ser subespaço de V Portanto é suficiente 0 W para W não ser subespaço de V Todo espaço vetorial V admite dois subespaços vetoriais V e 0 Estes são chamados de subespaços triviais SUGESTÃO DE ATIVIDADE 1 Seja 3 V ℜ Mostre que 2 W x y z V y x e z x é um subespaço vetorial de V 2 Seja V ℜ2 Mostre que W x y V y x 2 não é subespaço de V SAIBA MAIS Verifique no HOFFMAN 1979 p 45 o seguinte resultado e sua prova Teorema Seja V um espaço vetorial sobre o corpo F A interseção de uma coleção arbitrária de subespaços de V é um subespaço de V INDICAÇÃO DE LEITURA Excelente para você praticar mais um pouco os conceitos de espaço e subespaços vetoriais é consultar os exercícios resolvidos encontrados em LIPSCHUTZ 1994 p 231 a 234 Veja as referências ao final deste capítulo VOCÊ SABIA Existe outra forma de mostramos que um subconjunto de um espaço vetorial é um subespaço vetorial Veja o resultado do seguinte teorema HOFFMAN 1979 p 43 Teorema Sejam V um espaço vetorial e F um corpo Um subconjunto nãovazio W de V é um subespaço de V se e somente se para cada par de vetores α β em W e cada escalar c em F o vetor cα β está em W Veja a prova na referência indicada Assim para mostrarmos que sendo V ℜ2 W x y V x y é subespaço de V basta verificarmos que para u a b e v c d pertencentes a W o vetor u v α pertence a W De fato Como u a b pertence a W a b e se v c d pertence a W c d Assim u v a b c d a c b d a c a c α α α α α α Ou seja u v α pertence a W 123 Combinação Linear Definição Dados os vetores 1 2 n v v v e os escalares 1 2 n α α α chamase combinação linear dos vetores 1 2 n v v v ao vetor v tal que 1 1 2 2 n n v v v v α α α Exemplo 1 Vimos anteriormente que se o vetor v é igual ao produto de um número por um vetor u dizemos que v é paralelo a u Observe na figura 30 que o vetor v está escrito como combinação linear do vetor u EaD LICENCIATURA EM EaD COMPUTAÇÃO UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA 29 2 Na figura 31 você pode verificar que AC AB BC portanto podemos dizer que o vetor AC está escrito como combinação linear dos vetores AB e BC Observe também que BD BC CD e portanto o vetor BD está escrito como combinação linear dos vetores BC e CD SAIBA MAIS Podemos também visualizar os vetores no espaço Observe a figura a seguir Veja que o vetor BE pode ser escrito como combinação linear dos vetores BA e BD pois BE BA BD pela regra do paralelogramo Figura 33 Combinação Linear Fonte Própria Figura 34 Combinação Linear Fonte Própria Figura 35 Vetores no Espaço Fonte Própria EaD LICENCIATURA EM EaD COMPUTAÇÃO UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA 30 SUGESTÃO DE ATIVIDADE Na figura 33 os vetores 1v OA e 2v OB A proposta da atividade consiste em escrever os vetores u v t e w como combinação linear dos vetores 1v e 2v Por exemplo o vetor u pode ser escrito como combinação linear dos vetores 1v e 2v da seguinte forma 1 2 4 2 u v v utilizando a regra do paralelogramo Agora faça o mesmo para os vetores v t e w Atenção Só consulte a resposta depois de realizar a atividade Resposta 3 2 1 2 2 v v v 4 1 2 t v v e 2 1 2 w v v Mais Exemplos a O vetor 53 é uma combinação linear dos vetores 1 v 12 e 2 v 23 Para mostrar isso devemos encontrar escalares 1 α 2 α tais que 1 2 53 12 23 α α Vamos efetuar as operações com vetores utilizando as propriedades já vistas Assim 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 53 12 23 53 2 2 3 53 2 2 3 α α α α α α α α α α 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 53 12 23 53 2 2 3 53 2 2 3 α α α α α α α α α α Figura 36 Combinação linear de vetores no plano Fonte Própria 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 2 2 2 5 2 4 10 2 5 9 2 3 3 2 3 3 7 7 α α α α α α α α α α α α α 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 2 2 2 5 2 4 10 2 5 9 2 3 3 2 3 3 7 7 α α α α α α α α α α α α α Assim o vetor 53 é escrito como combinação linear dos vetores 1 v 12 e 2 v 23 da seguinte forma 53 9 12 7 23 b Verifique se o vetor v 112 é uma combinação EaD LICENCIATURA EM EaD COMPUTAÇÃO UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA 31 linear dos vetores 1 v 101 e 2 v 211 Como fizemos anteriormente devemos encontrar escalares 1 α 2 α tais que 1 2 112 101 211 α α Efetuando as operações temos 1 1 2 2 2 1 2 2 1 2 112 0 2 112 2 α α α α α α α α α α Por igualdade de vetores temos o seguinte sistema 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 1 1 2 1 1 0 2 α α α α α α α α α Observe que o sistema não tem solução logo o vetor v 112 não é uma combinação linear dos vetores 1 v 101 e 2 v 211 c Todo vetor de 2 R é uma combinação linear dos vetores 10 e 01 De fato pois para todo 2 x y ℜ 10 01 x y α β 10 01 x y α β implica que 0 0 x x y y α α β α β β Nesse caso os escalares são iguais a x e y d Toda matriz do M2 R é uma combinação linear das matrizes 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 De fato 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 x y z w α β α β γ µ γ µ 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 x y z w α β α β γ µ γ µ Isso implica que x y z e w α β γ µ Ou seja existe a combinação linear e Todo polinômio do 2P ℜ é uma combinação linear dos polinômios 1 e 2 t t Veja que podemos escrever 2 2 a ax bx c t t b c α α β γ β γ com e a b c α β γ ℜ ℜ SUGESTÃO DE ATIVIDADE Escreva o vetor v 311 em 3 ℜ como combinação linear dos vetores 1 v 112 e 2 v 131 Também precisaremos do conceito de conjunto gerador para definir uma base vetorial 124 Conjuntos Geradores Com o conhecimento de uma combinação linear podemos falar em conjuntos geradores de um espaço vetorial Formalizaremos através do resultado mostrado no seguinte teorema Teorema Seja V um espaço vetorial sobre ℜ 1 2 n v v v V 1 2 n α α α ℜ e W o conjunto de todos os vetores de V que podem ser escritos como combinação linear dos vetores 1 2 n v v v V ou seja 1 1 2 2 n n W v V v v v v α α α Então W é um subespaço vetorial de V chamado de subespaço gerado por 1 2 n v v v denotado por 1 2 n W v v v e 1 2 n v v v são chamados de geradores INDICAÇÃO DE LEITURA Consulte HOFFMAN 1979 p 45 e verifique a prova do teorema 3 cujo enunciado é similar ao teorema 1241 exposto acima Observe que para provar esse resultado é necessário o resultado do teorema 1223 em que a interseção de subespaços de um espaço vetorial é um espaço vetorial EaD LICENCIATURA EM EaD COMPUTAÇÃO UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA 32 Exemplos Vimos que todo vetor de 2 R é uma combinação linear dos vetores 10 e 01 assim dizemos que 10 01 geram o espaço vetorial 2 R O conjunto 100 010 001 gera o 3 R pois todo vetor pertencente ao 3 R pode ser escrito como combinação linear dos vetores 100 010 e 001 Se 2 0 0 0 v x y R v então 0 0 v k x y k R é uma reta no plano INDICAÇÃO DE LEITURA Veja os exercícios resolvidos no LIPSCHUTZ 1994 p 235 a 236 Veja as referências Um problema fundamental nesse estudo é saber o número mínimo de vetores necessários para descrever um espaço vetorial Até chegar lá precisamos ainda de alguns conceitos Perceba que a combinação linear é uma forma de escrever um vetor como soma de outros vetores multiplicados por escalares A forma de combinarmos tais vetores nos leva a definir se um dado conjunto de vetores é linearmente dependente ou independente SAIBA MAIS Em outras palavras um espaço vetorial V é gerado pelos vetores 1 2 n v v v se podemos escrever qualquer vetor pertencente a V como combinação linear dos vetores 1 2 n v v v Consequentemente se acrescentarmos qualquer vetor ao conjunto gerador 1 2 n v v v o conjunto 1 2 n v v v v continua sendo um conjunto que gera o espaço vetorial V Já vimos que 100 010 001 é um conjunto gerador do 3 R no entanto se acrescentarmos a esse conjunto qualquer vetor do 3 R ele continua gerando o 3 R Por exemplo 100 010 001 111 gera o 3 R Isso significa que os vetores 100 010 001 são suficientes para gerar o 3 R 125 Dependência e Independência de Vetores É importante que você entenda bem as definições de vetores linearmente dependentes e independentes Fique bem atento Vetores Linearmente Dependentes LD Definição Dizemos que os vetores 1 2 n v v v são linearmente dependentes se existem escalares 1 2 n α α α não todos nulos tais que 1 1 2 2 0 n n v v v α α α Exemplo 1 Dado 3 u v os vetores u e v são linearmente dependentes pois 3 0 u v daí podemos concluir que vetores paralelos são LD 2 Seja o vetor v não nulo Dizemos que o vetor v não é linearmente dependente pois se 0 αv implica que α 0 devido o fato de v 0 Dessa forma os escalares dessa combinação linear são todos nulos contrariando assim a definição de vetores linearmente dependentes em que os escalares não podem ser todos nulos REGISTRE SUA IDEIA Pense um pouco e responda O vetor nulo v 0 é linearmente dependente Agora que você registrou a sua idéia veja o exemplo 3 3 O vetor nulo v 0 é linearmente dependente porque existe α 0 tal que 0 α v EaD LICENCIATURA EM EaD COMPUTAÇÃO UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA 33 Preparado Você faz alguma idéia de qual é a condição para que os vetores sejam linearmente independentes Veja a definição matemática a seguir Vetores Linearmente Independentes LI Definição Dado 1 1 2 2 0 n n v v v α α α em que 1 2 n α α α ℜ se 1 2 0 n α α α então dizemos que os vetores 1 2 n v v v são linearmente independentes Ou seja nesse caso todos os escalares são necessariamente nulos Exemplos 1 Todo vetor v não nulo é linearmente independente pois sempre 0 αv implica α 0 2 Decorre da definição que dois vetores não paralelos são LI pois não podemos escrever um deles como combinação linear do outro Observe o paralelepípedo da figura 34 a O vetor AB é LI pois como já vimos ele é um vetor não nulo b A soma AB BC CA é LD pois observe que essa soma é o vetor nulo que é LD c Os vetores AB e AE são LI pois não são paralelos d Os vetores AE e 1 2 AE são LD pois são paralelos e Os vetores AB AD e AE são LI pois nenhum deles pode ser escrito como combinação linear dos outros Dessa série de exemplos podemos formalizar uma boa quantidade de resultados que serão bastante úteis ao longo do curso Portanto apresentaremos agora alguns teoremas e suas demonstrações É importante você se convencer de que cada resultado apresentado é verdadeiro As demonstrações permitem que você verifique essa veracidade Além disso ao entender as demonstrações você estará incorporando os conceitos e desenvolvendo o seu raciocínio lógico que o permitirá a desenvolver programas computacionais Daí a importância de você verificar as provas matemáticas Vamos lá Teorema Os vetores 1 2 n v v v são linearmente dependentes se e somente se um deles é a combinação linear dos outros Prova Seja 23 i i n γ ℜ Temos que mostrar que 1 2 1 2 2 3 3 n n n v v v LD v v v v γ γ γ são SAIBA MAIS Nesse caso temos que provar a ida e a volta pois temos o conectivo se e somente se Ida 1 2 1 2 2 3 3 hipótese tese n n n v v v LD v v v v γ γ γ são 1 2 1 2 2 3 3 hipótese tese n n n v v v LD v v v v γ γ γ são Ou seja se os vetores são LD então um deles é combinação linear dos outros Figura 37 Vetores no Espaço Fonte Própria EaD LICENCIATURA EM EaD COMPUTAÇÃO UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA 34 VOCÊ SABIA Numa demonstração utilizamos a hipótese como dados para mostrar que a tese é verdadeira Suponhamos que 1 2 n v v v são linearmente dependentes então existem escalares 1 2 n α α α não todos nulos tais que 1 1 2 2 0 n n v v v α α α 1 Sem perda de generalidade podemos considerar 1 0 α assim dividindo a equação 1 por 1 α temos 3 2 1 2 2 1 1 1 0 n n v v v v α α α α α α Logo 3 2 1 2 2 1 1 1 n n v v v v α α α α α α Tomando 1 1 1 123 i i i n α γ α temos 1 2 2 3 3 n n v v v v γ γ γ como queríamos demonstrar Vo l t a 1 2 2 3 3 1 2 hipótese tese n n n v v v v v v v LD γ γ γ são 1 2 2 3 3 1 2 hipótese tese n n n v v v v v v v LD γ γ γ são Se um dos vetores 1 2 n v v v é combinação linear dos outros então eles são linearmente dependentes S e j a 1 2 2 3 3 n n v v v v γ γ γ 123 i i n γ ℜ 123 i i n γ ℜ Temos por hipótese que 1 2 2 3 3 n n v v v v γ γ γ 1 2 2 3 3 n n v v v v γ γ γ isto é 1 2 2 3 3 0 n n v v v v γ γ γ Podemos afirmar que os vetores 1 2 n v v v são linearmente dependentes porque 1 λ 0 ou seja afirmamos que pelo menos um dos escalares é diferente de zero VOCÊ SABIA Ao terminar uma prova matemática devemos sinalizar ou com as palavras como queríamos demonstrar ou com a sigla cqd ou com um quadrado A idéia agora é mostrar que se num dado conjunto temos uma quantidade de vetores que são linearmente dependentes então o conjunto é LD Verifique essa prova Teorema Dados n vetores 1 2 n v v v se k desses vetores são linearmente dependentes k n então os vetores 1 2 n v v v são linearmente dependentes Observação nesse caso temos que provar somente a ida pois o conectivo é então P r o v a S e j a m 1 2 k v v v l i n e a r m e n t e dependentes Então existem escalares não nulos tais que 1 1 2 2 0 k k v v v α α α Temos que mostrar que 1 2 n v v v são LD ou seja para 1 1 2 2 0 n n v v v α α α existem escalares diferentes de zero Preste atenção Podemos escrever 1 1 2 2 0 n n v v v α α α da seguinte forma 1 1 2 2 1 1 0 k k k k n n v v v v v α α α α α Como por hipótese tomamos 1 1 2 2 0 k k v v v α α α 1 1 2 2 0 k k v v v α α α temos que 1 1 2 2 1 1 0 0 k k k k n n v v v v v α α α α α 1 1 2 2 1 1 0 0 k k k k n n v v v v v α α α α α por tanto 1 2 0 k k n α α α 1 2 0 k k n α α α EaD LICENCIATURA EM EaD COMPUTAÇÃO UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA 35 Então 1 1 2 2 1 0 0 0 0 k k k n v v v v v α α logo 1 2 n v v v são linearmente dependentes pois temos uma combinação linear dos vetores 1 2 n v v v com pelos menos um dos escalares 1 2 k α α α não nulo Se ainda não ficou claro para você não desanime veremos um exemplo Exemplo Observe que o conjunto 12 24 10 01 11 12 24 10 01 11 é LD pois o vetor 11 pode ser escrito como combinação linear dos vetores 10 e 01 da seguinte forma 11 10 01 Portanto os vetores 11 10 e 01 são LD e isso é suficiente para mostrarmos que o conjunto 12 24 10 01 11 é LD devido ao teorema apresentado anteriormente SAIBA MAIS Se 1 2 n v v v são linearmente dependentes então k desses vetores k n são linearmente independentes Observação No exemplo acima veja que os vetores 10 e 01 pertencentes ao conjunto 12 24 10 01 11 são LI REGISTRE SUA IDEIA Se um conjunto possui o elemento neutro ele é LD Por exemplo o conjunto 100 010 001 000 é LD Justifique através dos resultados apresentados Agora vamos mostrar um resultado já visto anteriormente Um único vetor só é LD se for nulo caso contrário ele é LI Veja como a prova é simples Teorema Um vetor é linearmente dependente se e somente se ele é nulo Lembrese que nesse caso temos que demonstrar a ida e a volta Prova Ida Temos que mostrar que tese hipótese é 0 v LD v Se v é linearmente dependente então existe α 0 tal que 0 αv logo v 0 pois α 0 pela definição do produto de um nº real por um vetor Volta Agora vamos mostrar que tese hipótese 0 é v v LD Seja 0 αv para todo α ℜ pois por hipótese v 0 logo é linearmente dependente Isto é existe α 0 Veremos o teorema que relaciona vetores paralelos com vetores linearmente dependentes Esse resultado é claro Se os vetores são paralelos podemos escrever um deles como combinação linear do outro portanto são LD Teorema Dois vetores são paralelos se e somente se são linearmente dependente Prova Ida Sejam os vetores u e v não nulos Temos que mostrar que e u v u v hipótese tese são LD Sabemos que u é paralelo a v se existe um número real α tal que u αv Daí temos que 0 u αv logo os vetores u e v são linearmente dependentes pois temos uma combinação linear não nula dos vetores u e v com o coeficiente do vetor u não nulo EaD LICENCIATURA EM EaD COMPUTAÇÃO UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA 36 Volta Agora temos que mostrar que e u v u v tese hipótese são LD Se u e v são linearmente dependente LD existe escalares α e β não simultaneamente nulos tais que 0 u v α β Seja α 0 logo u β v α então u v u é paralelo a v SAIBA MAIS Decorre dessa demonstração que são e u v u v são LI e não são paralelos não são e u v u v são LI e não são paralelos paralelos Agora vamos para uma definição importante sobre vetores coplanares Definição Dizemos que dois vetores são coplanares se eles podem ser representados por segmentos orientados situados num mesmo plano Observação Dois vetores são sempre coplanares em qualquer situação que eles estejam O mesmo não se pode afirmar para três vetores Vamos ver a condição para que três vetores sejam coplanares Teorema Três vetores são coplanares se e somente se eles são linearmente dependentes Ida Sejam a b e c vetores coplanares temos que mostrar que eles são LD Inicialmente consideremos que eles sejam paralelos entre si Se a b então a e b são lineamente dependentes e daí a b e c são linearmente dependentes Agora supondo que os vetores não sejam paralelos entre si sejam os pontos B C D e P tal que E A c F A a e C A b como mostra a figura abaixo b AB AD c a α γ α γ ℜ Observação Como b é escrito como combinação linear dos vetores a e c então a b e c são linearmente dependentes pelo teorema 1212 Volta Sejam a b e c vetores linearmente dependentes Então existem escalares 1 2 3 α α α ℜ tais que 1 2 3 0 a b c α α α Sendo os escalares não todos nulos Seja 1 α 0 portanto temos 3 2 1 1 a b α c α α α Observe que o vetor 2 1 α b α é paralelo ao vetor b e 3 1 α c α é paralelo ao vetor c logo se b e c são coplanares podemos afirmar que 2 1 α b α e 3 1 α c α são coplanares com b e c Se a é o vetor soma de 2 1 α b α e 3 1 α c α o vetor a é coplanar com os vetores b e c Um corolário é um resultado que é conseqüência de um teorema Veja um corolário relativo ao teorema anterior Figura 38 Vetores no plano Fonte Própria EaD LICENCIATURA EM EaD COMPUTAÇÃO UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA 37 Corolário Se a e b são vetores linearmente independentes então existe um único vetor v tal que 1 2 v a b α α 1 2 α α ℜ Teorema da existência Se a e b são vetores linearmente independente então todo vetor v coplanar com a e b é escrito como combinação linear única dos vetores a e b isto é 1 2 v a b α α 1 2 α α ℜ Prova Se a e b são vetores coplanares então a b e v são linearmente dependentes isto é x y z ℜ não todos nulos tais que 0 xa yb zv Afirmamos que z 0 pois se z 0 teríamos 0 xa yb com x e y diferente de zero Absurdo pois por hipótese os vetores são linearmente independentes Logo x y v a b z z sendo 1 x z α e 2 y z α Portanto 1 2 v a b α α Teorema da unicidade Se 1 2 v a b α α e 1 2 v a b α α então 1 1 α α e 2 2 α α Prova Veja a soma abaixo 1 2 v a b α α 1 2 v a b α α 1 1 2 2 0 a b α α α α Observe que 1 1 2 2 0 a b α α α α é uma combinação linear nula dos vetores a e b que são linearmente independentes logo 1 1 0 α α e 2 2 0 α α então a combinação linear é única Teorema da unicidade Quatro vetores pertencentes ao 3 ℜ são linearmente dependentes Prova Sejam a b c e d vetores não coplanares tal que PA a PB b PC c e PM v Veja figura a seguir Observe que M M é paralelo a PC Ainda observando a figura você pode verificar as seguintes somas de vetores PM PM M M PM PA PB regra do paralelogramo Veja que PM a b α γ e M M PC λc Isso resulta em v PM a b c α γ λ logo a b c e v são linearmente dependentes LD Esse resultado também já foi colocado anteriormente pois sabemos que bastam três vetores para LI para gerar o 3 ℜ Com certeza qualquer outro vetor pertencente ao 3 ℜ pode ser escrito como combinação linear dos outros Exemplo Já vimos que conjunto LI 100 010 001 gera o 3 ℜ assim conjunto 100 010 001 111 é LD pois podemos escrever o vetor 111 como combinação linear dos outros ou seja 111 100 010 001 Figura 39 vetores linearmente dependentes no 3 ℜ Fonte Própria EaD LICENCIATURA EM EaD COMPUTAÇÃO UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA 38 Corolário Se 1u u2 u3 são linearmente independente então todo vetor v se exprime de maneira única como combinação linear dos vetores 1u u2 u3 isto é existem únicos escalares α β γ tais que 1 2 3 v u u u α γ λ SUGESTÃO DE ATIVIDADE Mostre que os seguintes conjuntos são linearmente independentes LI 1 10 01 2 100 010 001 3 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 4 0 v v Mostre que os seguintes conjuntos são linearmente dependentes LD 1 234 468 2 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 3 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 INDICAÇÃO DE LEITURA Consulte os exercícios resolvidos no LIPSCHUTZ 1994 p 237 a 240 Veja as referências 126 Ângulos entre vetores O ângulo entre os vetores a e b não nulos é o ângulo convexo θ 0 θ π dos representantes de a e b Ou seja se a AB e b AC o ângulo entre a e b é o ângulo entre AB e AC Se 2 θ π dizemos que a e b são ortogonais Notação a b Como o triângulo é retângulo por Pitágoras temos 2 2 2 a b a b Propriedades 1 Se a b e a c então a b c 2 Se a b e λ ℜ então a b λ 3 Se a b λ então 2 2 2 a b a b 127 Base e Dimensão Vetorial Preparados para definir uma base vetorial Acredito que sim O problema agora é definir um número mínimo de vetores que geram um dado espaço vetorial Ainda sobre conjuntos geradores vamos deixar claro quantos vetores são necessários para definir uma reta um plano e o espaço Verifique Figura 40 Ângulo entre vetores Fonte Própria Figura 41 Vetores Ortogonais Fonte Própria EaD LICENCIATURA EM EaD COMPUTAÇÃO UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA 39 Geração da reta Um dos axiomas da geometria euclidiana diz que dois pontos distintos determinam uma reta Lembrese que os axiomas são afirmações matemáticas que assumimos sem necessidade de provas Seja r a reta determinada pelos pontos P e X Vimos que um vetor não nulo é linearmente independente LI Dizemos que um vetor u linearmente independente gera uma reta Sejam r a reta os pontos P e X e o vetor u veja a figura a seguir Uma forma de representarmos todos os pontos pertencentes a reta é X P α u α ℜ Observe que ao fazer α variar em ℜ teremos infinitos pontos que compõem a reta r Portanto dizemos que o vetor u gera a reta Geração do plano Similarmente verificase que dois vetores linearmente independentes LI geram um plano Sejam os vetores u e v LI Observe a figura e verifique que podemos escrever que AP u v α β α β ℜ A s s i m P A u v P A u v α β α β α β ℜ Ao variar α e β em ℜ obtemos os infinitos pontos que compõe o plano Geração do espaço Três vetores linearmente independentes LI geram o espaço Sejam os vetores u v e w e α β γ ℜ Agora observe a figura Queremos representar o ponto P que está no espaço Podemos obter alguns resultados Considerando AE α w AB βu AC γ v temos AD AC AB v u γ β Figura 42 Geração da reta Fonte Própria Figura 43 Geração do plano Fonte Própria Figura 44 Geração do espaço Fonte Própria EaD LICENCIATURA EM EaD COMPUTAÇÃO UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA 40 Por outro lado AP AD AE v u w γ β γ Isso implica que P A AD AE v u w γ β γ que resulta em P A AD AE A v u w γ β γ Dessa forma ao variarmos os valores de α β γ em ℜ obtemos infinitos pontos que compões o espaço Definição Uma base vetorial de um espaço vetorial V sobre ℜ é um conjunto de vetores linearmente independentes LI que geram V Exemplos Sejam os vetores u v e w linearmente independentes e α β γ ℜ Vamos analisar as três situações vistas anteriormente 1 O vetor u é LI portanto gera uma reta e é LI Assim dizemos que se a α u α é a coordenada do vetor v em relação a base vetorial u 2 Os vetores u e v são LI e portanto geram um plano Se b u v α β dizemos que α β são a coordenadas do vetor b em relação a base vetorial u e v 3 Os vetores u v e w são LI e portanto geram o espaço Se c v u w α β γ dizemos que α β γ são as coordenadas do vetor c em relação a base u v e w Base Ortornormal Dizemos que a base a b c é ortornormal se 1 1 a b c 2 a b e c são ortogonais dois a dois Exemplo A base vetorial i j em que i 10 e j 01 é ortornormal Essa base é chamada base vetorial ortornormal canônica do 2 ℜ A base vetorial i j k em que i 100 j 010 e k 001 é ortornormal portanto dizemos que é a base canônica do 3 ℜ Agora vamos analisar as seguintes situações Seja v xi y j zk Dizemos que x y z são as coordenadas do vetor v em relação à base ortornormal i j k A pergunta é Qual o módulo do vetor v sendo representado dessa forma Figura 45 Base ortornormal do 2 ℜ Fonte Própria Figura 45 Base ortornormal do 3 ℜ Fonte Própria Vamos aplicar as propriedades para chegar a um Veremos mais alguns exemplos resultado 1 00 1 i ope yp 6 nao 6 uma base do MR Podemos dizer que by xi v7zk f 0 00 0 2 7 xi yjt zi Agora pela propriedade numero 1 zk pois nao gera esse espaco apesar dos vetores serem LI 12 2 éortogonala xiy Assim h xi yj 2k 7 100122 nao 6 uma base do 92 a zP Observe que esse conjunto gera 0 9 mais nao é LI lai ys zk O Como xi 1 yj temos 8 100010101 6 uma base vetorial do o bx ly af 2a x i ype ay xy22 3 pois trés vetores LI geram o 9 Verifique que esses vetores sao LI através da combinagao linear nula Observagao 1 0 simbolo 0 é usado para indicar continuidade da igualdade 2 Veja que i it a P Uma base vetorial nos da o nimero minimo de geradores assim um J espago vetorial gerado por n vetores tem no maximo n vetrores LI ss 6s Qualquer base de um espago vetorial V tem sempre 0 mesmo numero Exemplo Encontre o mddulo do vetor wu 2i3j7k de vetores Pela dedugao anterior temos af 22 437 P 145 a Ji4 Dimensao Vetorial eee relacionaremos as bases de alguns espagos Definigao Seja V um espaco vetorial sobre 9 entao 0 numero de elementos de uma base de V é Exemplos chamado de dimensao de V denotado por dimV Verifique as seguintes bases candnicas Exemplos Z 2 1 1001 uma base do 1 dim 1 dim 2 dim 3dim n 2 100010001 6 uma base do s ai 1 00 10 00 oy dim MR 4dim MR mn Blo oflo ofl1 olto 1 f umabase 3 dim PR 3dim PRn41 do M 4Se V 0 entao dimV 0 4 Lt é uma base do P 5 nr 6uma base do RO A Consulte os exercicios resolvidos no LIPSCHUTZ 1994 p 240 a 243 Veja as referéncias EICENCGIATURAEM Ea DICOMPUTACAO EaD LICENCIATURA EM EaD COMPUTAÇÃO UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA 42 128 Coordenadas de Vetores Dada uma base vetorial 1 2 n v v v α se fixarmos uma ordem para os vetores dizemos que essa base é ordenada Por exemplo a base 100 010 101 é distinta da base 100 101 010 pois mudamos a ordem Veja os seguintes resultados Teorema Dada uma base ordenada 1 2 n v v v α de um espaço vetorial V então todo vetor de V é escrito de maneira única como combinação linear de 1 2 n v v v Definição Seja 1 2 n v v v α uma base ordenada de um espaço vetorial V Seja v V tal que 1 1 2 2 n n v v v v α α α Então os escalares 1 2 n α α α são chamados de coordenadas de v em relação à base α denotado por 1 2 3 v α α α α Exemplos 1 As coordenadas de vetor v 23 em relação a base canônica do 2 ℜ é 2 23 3 α 2 As coordenadas da matriz 2 1 3 5 na base canônica do M2 R é dada por 2 2 1 1 3 5 3 5 α 3 As coordenadas do polinômio 3 2 3 2 1 t t t em relação à base canônica do 2 P R são iguais a 3 2 3 2 3 2 1 1 2 t t t α 4 Agora vamos encontrar as coordenadas do vetor v 32 em relação a 5 Vimos anteriormente que o vetor 53 pode ser escrito como combinação linear dos vetores 12 e 23 e é escrito como 53 9 12 7 23 Observe que o conjunto 12 23 é LI e portanto é uma base vetorial do 2 ℜ Assim dizemos que as coordenadas do vetor 53 na base 12 23 α é 9 53 7 α SUGESTÃO DE ATIVIDADE Encontre as coordenadas do vetor 241 em relação a base vetorial 111 011 101 α Todo esse conhecimento está ligado à Álgebra Linear Precisaremos de todos esses conceitos para dar continuidade a esse estudo nos próximos capítulos Portanto é importante que você assimile cada um dos resultados que foram apresentados Caso seja preciso estude novamente esse conceito de dependência linear e se tiver dúvida acesse o ambiente virtual de aprendizagem Sucesso EaD LICENCIATURA EM EaD COMPUTAÇÃO UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA 43 SUGESTÃO DE FILME Como curiosidade e para relaxar um pouco recomendo que você assista ao vídeo Sobre o Número de Ouro de domínio público Referência abaixo MINISTÈRIO DA EDUCAÇÃO Número de OuroDisponível em httpwwwdominiopublicogovbrpesquisaDetalheObraForm doselectactioncoobra20799 Acesso em 31 set 2010 13 PRODUTO ESCALAR 131 Definição Condição de Ortogonalidade Agora queremos encontrar uma condição para determinar a ortogonalidade entre dois vetores Você verá como será útil ao longo do curso verificar a ortogonalidade entre vetores Portanto preste bem atenção Vamos à outra etapa Observe a figura abaixo Por Pitágoras já que os vetores são ortogonais ou seja podemos afirmar que u v então 2 2 2 u v u v S e j a m o s v e t o r e s 1 1 1 u x i y j z k e 2 2 2 v x i y j z k Por um lado temos 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 u v x x y y z z x x y y z z 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 u v x x y y z z x x y y z z 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 x x x x y y y y z z z z 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 x x x x y y y y z z z z 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 x y z x y z y y z z x x 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 x y z x y z y y z z x x 1 No entanto pela propriedade verificase que 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 u v u v x y z x y z 2 Igualando a equação 1 com a 2 temos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 x y z x y z x x y y z z x y z x y z 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 x y z x y z x x y y z z x y z x y z Isso implica que 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 0 0 x x y y z z x x y y z z 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 0 0 x x y y z z x x y y z z Assim a condição de or togonalidade é 1 2 1 2 1 2 0 x x y y z z Exemplo Os vetores u 231 e v 3 20 são ortogonais Sim porque atende a igualdade 1 2 1 2 1 2 0 x x y y z z Ou seja 2 3 3 2 1 0 6 6 0 Essa condição de ortogonalidade motivou a definição do produto escalar entre dois vetores Definição Seja i j k base ortornormal Chama se produto escalar dos vetores 1 1 1 u x i y j z k e 2 2 2 v x i y j z k ao número real u v u escalar v tal que 1 2 1 2 1 2 u v x x y y z z Observação o ponto u v entre os vetores denota produto escalar ou produto interno entre os vetores Figura 47 Condição de Ortogonalidade Fonte Própria EaD LICENCIATURA EM EaD COMPUTAÇÃO UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA 44 REGISTRE SUA IDEIA Qual a relação entre produto escalar e a condição de ortogonalidade Pense um pouco e registre Depois discutiremos sobre isso 132 Propriedades É obvio que precisamos saber quais as propriedades dessa nova operação produto escalar Vamos relacionálas e demonstrar algumas Todas elas são importantes portanto preste atenção 1 u v v u comutativa 2 Se aℜ então a u v au v u av 3 u v w u v u w distributiva 4 0 u u 0 0 u u u 5 2 u u u 6 0 u v u v 7 Sejam u 0 e v 0 e θ o ângulo entre u e v Então cos u v u v θ Demonstração de algumas propriedades Veja cada uma dessas demonstrações pois vão fazer com que você entenda o conceito matemático que está por trás de cada uma delas S e j a m o s v e t o r e s 1 1 1 u x i y j z k e 2 2 2 v x i y j z k e α um escalar pertencente a ℜ Observe que podemos escrever os vetores da seguinte forma 1 1 1 u x y z e 2 2 2 v x y z simplificando a notação 1 O produto escalar é comutativo u v v u O produto escalar entre eles os vetores u e v é dado 1 2 1 2 1 2 u v x x y y z z Usando a comutatividade dos números reais temos que 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 1 1 u v x x y y z z x y z x y z v u 2 Se I II III u v u v u v α α α 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 I u v x x y y z z x x y y z z α α α α α 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 I u v x x y y z z x x y y z z α α α α α 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 II u v x y z v x y z v x y z x y z x x y y z z α α α α α α α α α α α 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 II u v x y z v x y z v x y z x y z x x y y z z α α α α α α α α α α α 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 III u v u x y z x y z x y z x x y y z z α α α α α α α α 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 III u v u x y z x y z x y z x x y y z z α α α α α α α α Como I II III vale a igualdade SUGESTÃO DE ATIVIDADE Demonstre a propriedade número 3 distributiva u v w u v u w usando o mesmo raciocínio da demonstração da propriedade número 2 4 Essa propriedade nos diz que o produto escalar entre um vetor u e ele mesmo é sempre positivo E no caso desse produto escalar ser zero o vetor u é nulo ou seja 0 u u 0 0 u u u Vamos nos convencer disso Inicialmente vamos mostrar que 0 u u Seja 1 1 1 u x y z Logo 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 u u x y z x y z x y z 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 u u x y z x y z x y z Agora mostremos que 0 0 u u u Observe que o sinal de equivalência significa se e somente se Nesse caso temos que mostrar a ida e a volta EaD LICENCIATURA EM EaD COMPUTAÇÃO UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA 45 Figura 48 Condição de Ortogonalidade Fonte Própria Ida Se 2 2 2 1 1 1 1 1 1 0 0 0 u u x y z x y z 2 2 2 1 1 1 1 1 1 0 0 0 u u x y z x y z isto é u 0 Volta Se 0 000 000 0 u u u 5 Depois da demonstração anterior fica fácil entender que 2 u u u De fato Já vimos que 2 2 2 2 1 1 1 u u x y z u Lembrese sempre desse resultado pois usaremos bastante 6 Essa propriedade responde qual é a relação entre a condição de ortogonalidade e produto escalar Ela nos diz que se dois vetores são ortogonais o produto escalar é zero Ou seja 0 u v u v Fica fácil ver isso pois já vimos pela condição de ortogonalidade entre que 1 2 1 2 1 2 0 x x y y z z Como por definição o produto escalar é 1 2 1 2 1 2 u v x x y y z z concluímos que para que dois vetores sejam ortogonais o produto escalar é zero Exemplo Sabendo que 3 4 2 u v w determinar a b e c sendo 2 1 u c 23 v a b e w 4 10 Solução 3 4 2 u v w 3 2 1 4 23 2 4 10 c a b 6 33 4 4 812 8 20 c a b 6 4 3 4 83 12 8 20 a b c 6 4 4 53 12 8 20 a b c 1 2 6 4 8 4 8 6 2 7 4 5 2 4 7 4 3 12 0 3 12 4 a a a b b b c c c SUGESTÃO DE ATIVIDADE Dados os vetores u 23 1 v 1 11 e 340 w determinar o vetor x a b c de modo que 3 4 2 u v x x w 7 A sétima propriedade é muito importante mas um pouco trabalhosa para demonstrar Sejam u 0 e v 0 e θ o ângulo entre u e v Queremos mostrar que cos u v u v θ Nesse caso utilizamos a lei do cosseno pois o triângulo não é retângulo isto é 2 2 2 2 cos 1 u v u v u v θ Por outro lado usando a propriedade número 5 e em seguinte a distributividade temos 2 2 2 2 2 u v u v u v u v u u v v u u u v v u v v u u v v 2 2 2 2 2 u v u v u v u v u u v v u u u v v u v v u u v v Igualando as equações 1 e 2 temos 2 2 2 2 2 2 cos 2 2 cos cos u u v v u v u v u v u v u v u v θ θ θ 2 2 2 2 2 2 cos 2 2 cos cos u u v v u v u v u v u v u v u v θ θ θ Assim cos u v u v θ como queríamos demonstrar Como conseqüência desse resultado obtémse que cos u v u v u v u v u v θ em que u e v denotam os versores dos vetores u e v respectivamente EaD LICENCIATURA EM EaD COMPUTAÇÃO UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA 46 SAIBA MAIS Essa propriedade nos permite calcular o ângulo entre dois vetores Veja o exemplo Encontre o ângulo entre os vetores 2 3 u i j e 3 2 v i j k 2 30 3 12 2 3 3 1 0 2 9 9 cos arccos 13 14 182 182 182 u v u v θ θ 2 30 3 12 2 3 3 1 0 2 9 9 cos arccos 13 14 182 182 182 u v u v θ θ SUGESTÃO DE ATIVIDADE Determinar aproximadamente o ângulo entre os pares de vetores u 21 e 11 u REGISTRE SUA IDEIA Em relação ao ângulo encontrado o que você conclui Esses vetores são ortogonais O sinal do produto escalar influencia no tipo de ângulo Justifique Veremos mais exemplos Exemplos Dado o vetor v 2 1 3 determine a um vetor ortogonal a v b o versor de v c um vetor paralelo a v Solução a Seja u x y z o vetor que queremos encontrar ortogonal a v Portanto o produto escalar entre eles é igual a zero Assim temos a seguinte condição 2 1 3 2 3 0 v u x y z x y z Veja que para que esses vetores sejam ortogonais a lei 2 3 0 x y z deve ser satisfeita Como foi solicitado um vetor podemos associar valores arbitrários a x y e z de forma que satisfaça a equação 2 3 0 x y z Se considerarmos 1 x e 1 y temos 1 2 1 3 0 3 z z Portanto o vetor 1 11 3 u é ortogonal a v 2 1 3 REGISTRE SUA IDEIA Qualquer vetor paralelo ao vetor 1 11 3 u também é ortogonal a v 2 1 3 Agora é com você SUGESTÃO DE ATIVIDADE Determinar o valor de k para que os vetores 23 u e 4 v k ortogonais Exemplo Responda o que se pede nos itens abaixo Determinar o valor de n para que o vetor 1 3 2 4 v n seja unitário Solução Sabemos que um vetor é unitário quando o seu módulo é igual a 1 EaD LICENCIATURA EM EaD COMPUTAÇÃO UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA 47 2 2 2 2 2 2 2 2 1 3 1 9 3 3 1 1 16 4 9 16 2 4 4 16 16 4 v n n n n n 2 2 2 2 2 2 2 2 1 3 1 9 3 3 1 1 16 4 9 16 2 4 4 16 16 4 v n n n n n Dados os pontos A20 e B1 7 determine um versor do vetor AB Solução O vetor AB B A 1 7 20 1 7 O versor do vetor AB AB AB 2 2 AB 1 7 1 49 50 5 2 Logo o versor de AB é igual a 1 7 1 7 2 7 2 AB 10 10 5 2 5 2 5 2 Cossenos diretores O resultado sobre ângulos obtido anteriormente motivou a seguinte definição Definição Seja i j k base ortornormal Chamam se cossenos diretores do vetor v xi yj zk aos cossenos dos ângulos que o vetor v forma com os vetores i j k Sejam α o ângulo entre v e i β o ângulo entre v e i e γ o ângulo entre v e k Em que 100 010 e 001 i j k Logo os vetores diretores são dados por 2 2 2 2 2 2 100 cos x y z v i x v i x y z x y z α 2 2 2 2 2 2 010 cos x y z v j y v k x y z x y z β 2 2 2 2 2 2 001 cos x y z v k z v i x y z x y z γ Daí faremos a seguinte análise 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos cos cos x y z x y z x y z x y z α β γ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos cos cos x y z x y z x y z x y z α β γ 2 2 2 1 cos cos cos v x y z v v x y z α β γ Portanto chegamos a conclusão de que a cada coordenada do versor de v representam os cossenos diretores Como o versor é um vetor unitário seu módulo é igual a 1 ou seja 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos cos cos 1 x y z x y z x y z x y z α β γ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos cos cos 1 x y z x y z x y z x y z α β γ Exemplo Dado o vetor 2 3 u i j k o módulo de u é igual a 2 2 22 3 1 14 u Portanto o versor de u é dado por 1 2 31 14 u As coordenadas do vetor de u representam os cossenos diretores 2 cos 14 α 3 cos 14 β e 1 cos 14 γ tal que 2 2 2 cos cos cos 1 α β γ Agora é com você SUGESTÃO DE ATIVIDADE Encontre os cossenos diretores do vetor v 6 23 EaD LICENCIATURA EM EaD COMPUTAÇÃO UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA 48 REGISTRE SUA IDEIA As ângulos diretores de um vetor podem ser 45 60 e 120 133 Interpretação Geométrica Projeção de um vetor Sejam u um vetor unitário e v um vetor não nulo Observe que 1 2 v v v Como 1v é paralelo a u temos 1 v αu α ℜ Portanto 2 v u v α Daí como u é um vetor unitário e ortogonal a 2 v ou seja 0 u v e u 1 temos 2 2 2 2 0 u v u u v u u u v u u α α α α α Logo 1 1 v u v u v u α Dizemos que 1v é a projeção de v sobre o vetor u unitário Denotemos por v proju u v u Generalizando se w é um vetor qualquer a projeção de v sobre w é dada por v projw v w w em que w é o versor do vetor w Exemplo Determine a projeção do vetor 2 4 4 w i j k sobre o vetor 1 2 0 v i j k Solução A projeção é dada por w projv w v v Precisamos do versor do vetor 2 4 4 v i j k dado por v v v Assim O módulo de v é 2 2 2 1 2 0 5 v logo 120 1 2 0 5 5 5 5 v Portanto 1 2 1 2 244 0 0 5 5 5 5 w projv Figura 49 Projeção de Vetores Fonte Própria Figura 50 Projeção de Vetores no Espaço Fonte Própria EaD LICENCIATURA EM EaD COMPUTAÇÃO UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA 49 1 2 1 2 10 1 2 10 20 2 4 4 0 0 0 0 240 5 5 5 5 5 5 5 5 5 1 2 1 2 10 1 2 10 20 2 4 4 0 0 0 0 240 5 5 5 5 5 5 5 5 5 Identifique o vetor projetado na figura e compare com o resultado obtido SUGESTÃO DE ATIVIDADE Determine a projeção do vetor 3 3 w i j k sobre o vetor 2 3 v i j k Interpretação geométrica do módulo do produto escalar Sabemos que a projeção do vetor w sobre o vetor v é dado por w projv w v v considerando o vetor v unitário Assim desde quando 1 v temos w projv w v v w v Ou seja o comprimento do vetor projeção de w sobre v unitário é igual ao módulo do produto escalar de w por v Figura 51 Projeção de Vetores no Espaço Fonte Própria SAIBA MAIS Ao projetarmos o vetor w sobre o vetor w projv w v v v de forma que o vetor v não seja unitário generalizamos a fórmula w projv w v v da seguinte maneira 2 w v w v v w v w v proj v v v v v v v Lembrese que o versor de v é dado por v v v e por propriedade 2 v v v VOCÊ SABIA O produto escalar é aplicado à Física para calcular o trabalho realizado por um campo de força para mover uma partícula Veja o exemplo a seguir Calcular o trabalho realizado pela força F para deslocar o corpo de A até B sabendo que θ F 10N AB d 20m e 369 O trabalho realizado por uma força F ao longo de um caminho d é dado pelo produto escalar W F d O Joule J é a unidade de medida utilizada para o trabalho 1 1 J N m Assim cos 10 20 cos 369 15954 W F d F d J θ Esse exemplo foi retirado do livro WINTERLE 2000 p 64 ver referências Figura 52 Produto Escalar e Trabalho Fonte Própria EaD LICENCIATURA EM EaD COMPUTAÇÃO UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA 50 INDICAÇÃO DE LEITURA Você pode complementar os seus estudos fazendo uma leitura do livro WINTERLE 2000 p 50 a 65 Aproveite para resolver alguns dos exercícios propostos das páginas 66 a 70 14 PRODUTO VETORIAL Você deve ter observado que o produto escalar entre dois vetores é um número real O mesmo não acontecerá em relação ao produto vetorial entre dois vetores O resultado do produto vetorial entre dois vetores não paralelos é um vetor simultaneamente ortogonal a cada um deles 141 Determinante Antes de definir produto vetorial é necessário você saber encontrar o determinante de uma matriz Assim mostraremos como representar uma matriz e calcular o seu determinante Posteriormente nos outros capítulos faremos um estudo mais detalhado sobre matrizes Motivação No nosso dia a dia nos deparamos com alguns dados que são agrupados em uma tabela Como por exemplo uma tabela que informa a quantidade em gramas de cálcio potássio e magnésio em 100 gramas de alguns alimentos Cálcio Potássio Magnésio Brócolis 4 10 0 Banana 5 15 31 Abacate 20 2 16 Veja que podemos representar esses dados em uma matriz como 4 10 0 5 15 31 20 2 16 A Observe que a matriz acima possui 3 linhas e 3 colunas Assim podemos representar uma matriz da seguinte forma 11 12 13 1 21 22 23 2 1 2 3 n n m m m mn a a a a a a a a A a a a a em que 1 e 1 m n são dois números inteiros que representa o número de linhas e colunas respectivamente Assim uma matriz com ordem m n denotada por Amxn possui mn elementos distribuídos em m linhas e n colunas Cada termo aij indica o elemento da iésima linha e jésima coluna Assim no exemplo anterior a matriz 4 10 0 5 15 31 20 2 16 A que indica a quantidade de cálcio potássio e magnésio nos alimentos brócolis banana e abacate verificamos que o termo 13 0 a indica que o brócolis não contêm magnésio o termo 22 15 a indica que a banana possui 15 gramas de potássio Atenção Esses dados são fictícios Figura 53 Produto Vetorial Fonte Própria Tabela 1 substância em alimentos Dados fictícios EaD LICENCIATURA EM EaD COMPUTAÇÃO UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA 51 Agora já podemos determinar o determinante de uma matriz Definição Seja A uma matriz quadrada de ordem n Chamamos determinante da matriz A denotado por det A o número real que obtemos operando com os elementos de A da seguinte forma 1 Se A é de ordem 1 n então det A é o único elemento de A 11 11 det A a A a Exemplo 10 det 10 A A 2 Se A é de ordem n 2 então det A é o produto dos elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal secundária 11 12 11 22 12 21 21 22 det a a A A a a a a a a Exemplo 3 5 det 3 4 1 5 12 5 17 1 4 A A 3 5 det 3 4 1 5 12 5 17 1 4 A A 3 Se A é de ordem n 3 utilizamos a Regra de Sarrus Para tanto repetimos as duas primeiras colunas da matriz e depois somamos o produto dos elementos da diagonal principal e diminuímos pelo produto dos elementos da diagonal secundária 11 12 13 11 12 21 22 23 21 22 31 32 33 31 32 a a a a a A a a a a a a a a a a 11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 11 23 32 12 21 33 det A a a a a a a a a a a a a a a a a a a 11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 11 23 32 12 21 33 det A a a a a a a a a a a a a a a a a a a Exemplo Calcule det A sendo 2 1 2 1 0 1 3 2 5 A 4 Se A é de ordem n 3 então calcularemos o determinante de A usando o Teorema de Laplace No entanto podemos utilizar esse teorema também para calcular o determinante de matrizes de ordem igual a 3 Antes de enunciar o teorema de Laplace definiremos alguns conceitos preliminares Menor complementar Definição Considere A uma matriz quadrada de ordem n 2 e seja ija um elemento de A Dizemos que o menor complementar do elemento ija denotado por ij D é o determinante da matriz que se obtém suprimindo a linha i e a coluna j de A Exemplo Seja 2 1 2 1 0 1 3 2 5 A Determine 32 D e 12 D 32 12 2 2 1 1 4 e 2 1 1 3 5 D D Cofator Definição Considere A uma matriz quadrada de ordem n 2 e seja ija um elemento de A Dizemos que o cofator do elemento ija denotado por ij A é o número 1 i j ij ij A D Exemplo Na matriz A dada anteriormente calcule 32 A e 12 A 2 1 32 32 1 1 4 4 A D 2 1 12 12 1 1 2 2 A D EaD LICENCIATURA EM EaD COMPUTAÇÃO UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA 52 Teorema de Laplace O determinante de uma matriz A de ordem n 2 é a soma dos produtos dos elementos de uma fila linha ou coluna qualquer pelos respectivos cofatores isto é 1 det n kj kj k M a A expansão por coluna ou 1 det n ik ik k M a A expansão por linha SAIBA MAIS Escolher sempre a fila que possua a maior quantidade de zeros para simplificar os cálculos Exemplo Calcular o determinante da matriz 2 1 0 0 0 2 1 4 3 2 1 1 2 1 3 2 A Solução Como a ordem da matriz quadrada A é só podemos utilizar esse método do teorema de Laplace Observe que a linha 1 possui a maior quantidade de zeros logo vamos usar a expansão pela linha 1 fazendo 1 i 1 1 11 11 12 12 13 13 14 14 1 det n k k k M a A a A a A a A a A 1 1 1 2 1 3 1 4 2 1 4 0 1 4 0 2 4 0 2 1 2 1 2 1 1 1 1 3 1 1 0 1 3 2 1 0 1 3 2 1 1 3 2 2 3 2 2 3 2 2 1 3 Matriz I Matriz II 1 1 1 2 1 3 1 4 2 1 4 0 1 4 0 2 4 0 2 1 2 1 2 1 1 1 1 3 1 1 0 1 3 2 1 0 1 3 2 1 1 3 2 2 3 2 2 3 2 2 1 3 Matriz I Matriz II Observe que basta encontrarmos os determinantes das duas primeiras matrizes pois as outras estão multiplicadas por zero Resolveremos cada determinante separadamente fazendo a expansão pela linha 1 No entanto se você preferir pode resolver pela regra de Sarrus 1 1 1 2 1 3 2 1 4 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 1 4 1 25 15 45 25 3 2 1 2 1 3 1 3 2 1 1 1 2 1 3 2 1 4 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 1 4 1 25 15 45 25 3 2 1 2 1 3 1 3 2 1 1 1 2 1 3 0 1 4 1 1 3 1 3 1 3 1 1 0 1 1 1 4 1 0 18 47 20 3 2 2 2 2 3 2 3 2 1 1 1 2 1 3 0 1 4 1 1 3 1 3 1 3 1 1 0 1 1 1 4 1 0 18 47 20 3 2 2 2 2 3 2 3 2 Dando continuidade a resolução do determinante temos 1 1 1 2 1 3 1 4 2 1 4 0 1 4 0 2 4 0 2 1 2 1 2 1 1 1 1 3 1 1 0 1 3 2 1 0 1 3 2 1 1 3 2 2 3 2 2 3 2 2 1 3 Matriz I Matriz II 1 1 1 2 1 3 1 4 2 1 4 0 1 4 0 2 4 0 2 1 2 1 2 1 1 1 1 3 1 1 0 1 3 2 1 0 1 3 2 1 1 3 2 2 3 2 2 3 2 2 1 3 Matriz I Matriz II 2 25 1 20 50 20 30 SUGESTÃO DE ATIVIDADE Encontre o determinante da matriz 1 1 2 0 3 1 0 2 0 2 3 2 0 1 4 1 B Observe que é melhor usar a expansão pela coluna 1 EaD LICENCIATURA EM EaD COMPUTAÇÃO UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA 53 SAIBA MAIS Um resultado muito importante é o seguinte Teorema A é inversível se e somente se det A 0 Guarde esse resultado Pois posteriormente vamos usálo bastante Uma aplicação também interessante do determinante é mostrada no seguinte teorema Teorema Três vetores 1 1 1 u x y z 2 2 2 v x y z e 3 3 3 w x y z são linearmente dependentes se e somente se o determinante da matriz 1 1 1 2 2 2 3 3 3 x y z x y z x y z for igual a zero Veja que esse resultado é muito útil para verificarmos se três vetores são LD ou LI SUGESTÃO DE ATIVIDADE Determine o valor de m de modo que os vetores u 351 v 204 e 1 3 w m sejam LD Sugestão Use o resultado do teorema anterior Agora definamos o produto vetorial e depois relacionaremos as suas propriedades 142 Definição do produto vetorial Definição Chamase produto vetorial dos vetores 1 1 1 u x i y j z k e 2 2 2 v x i y j z k ao vetor indicado por u v tal que 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 y z x z x y u v i j k y z x z x y Algumas propriedades importantes dos determinantes Sejam A e B matrizes quadradas de ordem n Então a O determinante de uma matriz é igual ao determinante da sua transposta ou seja det det T A A em que T A é a matriz transposta de A Veja que na matriz transposta as linhas passam a ser a coluna Verifique encontrando o determinante das matrizes abaixo 2 1 2 1 0 1 3 2 5 A 2 1 3 1 0 2 2 1 5 AT b Se a matriz A possui fila nula o determinante também se anula det A 0 c O determinante do produto de uma matriz A de ordem n por um escalar é igual ao produto do determinante de A pelo escalar elevado a n det n det A A λ λ d Se a matriz possui filas paralelas iguais então seu determinante é igual a zero det A 0 e Se a matriz A é uma matriz triangular então o determinante de A é igual ao produto dos elementos de sua diagonal principal 11 22 33 det nn A a a a a 2 0 0 1 3 0 det 2 3 5 30 3 2 5 A A f O determinante do produto entre duas matrizes é igual ao produto de seus determinantes det det det A B A B C o n s e q ü ê n c i a 1 det 1 det A A em que a matriz 1 A é a matriz inversa de A No capítulo 3 veremos uma forma de encontrar a matriz inversa de uma matriz VOCÊ SABIA O determinante da soma não é a soma dos determinantes det det det A B A B Fique atento EaD LICENCIATURA EM EaD COMPUTAÇÃO UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA 54 Uma regra prática para calcular o produto vetorial entre dois vetores é usar o teorema de Laplace e calcular o determinante da seguinte matriz 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 3 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 i j k y z x z x y u v x y z i j k y z x z x y x y z 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 3 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 i j k y z x z x y u v x y z i j k y z x z x y x y z Observação Se preferir você pode resolver também pela Regra de Sarrus Exemplos 1 Encontrar o produto vetorial entre os vetores u 2 13 e v 11 1 1 1 1 2 1 3 1 3 2 3 2 1 2 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 i j k u v i j k 1 1 1 2 1 3 1 3 2 3 2 1 2 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 i j k u v i j k 1 3 2 3 2 1 2 5 3 i j k i j k 1 3 2 3 2 1 2 5 3 i j k i j k 2 Encontrar o produto vetorial entre os vetores i 100 e i 100 1 1 1 2 1 3 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 i j k i i i j k 1 1 1 2 1 3 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 i j k i i i j k 3 Encontrar o produto vetorial entre os vetores i 100 e i 010 1 1 1 2 1 3 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 i j k i j i j k 1 1 1 2 1 3 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 i j k i j i j k 0 0 1 i j k k Esses exemplos nos levam a seguinte reflexão 0 i i e i j k Observe que o produto vetorial entre vetores paralelos i i é o vetor nulo e entre os vetores i e j temos o vetor k ortogonal a i e j simultaneamente Assim como já vimos o produto vetorial entre dois vetores é um vetor ortogonal a ambos simultaneamente Regra da Mão Direita Observe a figura verifique os seguintes resultados j i k i k j k i j j k i k j i Para entender os resultados obtidos é preciso entender a regra da mão direita Veja bem os quatros dedos juntos mostras a rotação ou seja o giro do vetor inicial ao vetor final e a direção e sentido do polegar nos o vetor resultante do produto vetorial Assim observe que o produto vetorial entre os vetores i j k pois o giro do vetor i para j acontece como mostra a figura 55 No entanto o produto vetorial j i k pois o giro do vetor j para k se dá como mostra a figura 56 e portanto o produto vetorial é igual k Figura 54 Produto Vetorial na Base Ortornormal Fonte Própria EaD LICENCIATURA EM EaD COMPUTAÇÃO UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA 55 143 Propriedades 1 O produto vetorial de um vetor por ele mesmo é igual ao vetor nulo 2 u v v u 3 Se aℜ a u v au v u av 4 1 2 1 2 u v v u v u v 5 0 u v se e somente se u e v são linearmente dependentes 6 O vetor u v é ortogonal a u e a v simultaneamente Veja a prova dessa propriedade Prova Sejam 1 1 1 u x i y j z k e 2 2 2 v x i y j z k Basta provar que 0 u v u e 0 u v v Assim 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 y z x z x y u v u x y z x y z y z y x z x z z x y x y y z x z x y 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 y z x z x y u v u x y z x y z y z y x z x z z x y x y y z x z x y Similarmente 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 y z x z x y u v v x y z x y z y z y x z x z z x y x y y z x z x y 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 y z x z x y u v v x y z x y z y z y x z x z z x y x y y z x z x y 7 Se u e v são vetores linearmente independente então u v u v é uma base positiva Prova u v é ortogonal a u e v em que u e Figura 55Regra da mão direita Fonte httpwwwgeocitieswssaladefisica8eletromagnetismocondutor html Figura 56Regra da mão direita Fonte Figura 56 httpefisicaifuspbrmecanicabasicorotacoestorque v são L I logo u v e u v são não coplanares portanto como já vimos u v e u v são linearmente independentes Sejam 1 1 1 u x y z e 2 2 2 v x y z dois vetores LI Assim o produto vetorial entre eles é dado por 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 A B C y z x z x y u v i j k Ai B j Ck y z x z x y Assim o determinante entre u v e u v é igual à 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 x y z y z x z x y x y z A B C A B C y z x z x y A B C 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 x y z y z x z x y x y z A B C A B C y z x z x y A B C 8 Se θ é o ângulo entre u e v então 0 2 u v u v senθ θ π Prova 2 2 2 2 2 2 2 1 cos2 u v u v sen u v u v sen u v u v θ θ θ 2 2 2 2 2 2 2 1 cos2 u v u v sen u v u v sen u v u v θ θ θ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos2 u v u v u v u v u v u v θ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos2 u v u v u v u v u v u v θ Observe que na última equivalência utilizamos a propriedade do produto escalar em que cos u v u v θ EaD LICENCIATURA EM EaD COMPUTAÇÃO UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA 56 Como 2 2 2 2 u v u v sen u v u v u v θ 2 2 2 2 u v u v sen u v u v u v θ Identidade de Lagrange basta provarmos que 2 2 2 2 u v u v u v Por um lado temos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 u v u v x y z x y z x x y y z z 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 u v u v x y z x y z x x y y z z 1 Por outro lado o módulo do produto vetorial u v é igual à 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 y z x z x y u v y z y z x z x z x y x y y z x z x y 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 y z x z x y u v y z y z x z x z x y x y y z x z x y 2 Resta desenvolver as duas equações 1 e 2 e verificar a igualdade Fica como exercício para você 144 Interpretação geométrica A pergunta é Geometricamente o que significa o módulo do produto escalar entre dois vetores Em outras palavras o que significa 0 2 u v u v senθ θ π Observe a figura 57 e veja que a área do paralelogramo formado pelos vetores u e v é dada por base altura A u v senθ Pela propriedade 8 de produto vetorial temos que 0 2 u v u v senθ θ π Assim concluímos que o módulo do produto vetorial é a área do paralelogramo formado pelos vetores u e v SAIBA MAIS O produto vetorial tem como aplicação na Física o cálculo do torque Veja o exemplo a seguir Calcule o torque sobre a barra AB em que AB r 2j em metros F 10i em newtons e o eixo de rotação é o eixo z Fig 52 O torque τ é uma grandeza vetorial dado pelo produto vetorial r τ F A intensidade do torque é dado pelo seu módulo r F r F sen τ θ em que θ é o ângulo entre r e F Assim para solucionar o problema proposto temos 2 0 0 0 0 2 020 1000 0 2 0 20 0 0 10 0 10 0 10 0 0 i j k r F i j k k m N τ 2 10 90 20 r F sen m N sen mN τ θ ou 20 2 20mN τ Esse exemplo foi retirado do livro WINTERLE 2000 p 86 ver referências Figura 57 Módulo do Produto Escalar Fonte Própria Figura 58 Produto Vetorial e Torque Fonte Própria EaD LICENCIATURA EM EaD COMPUTAÇÃO UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA 57 SUGESTÃO DE ATIVIDADE 1 Verificar se os vetores 411 101 e 0 13 são linearmente dependentes 2 Determinar um vetor simultaneamente ortogonal a u 134 e v 1 12 3 Calcular a área do paralelogramo de vértices 412 501 12 2 23 1 A B C e D 4 Dados os vetores u 111 e v 111 calcular a altura do paralelogramo em relação a base do vetor v INDICAÇÃO DE LEITURA Você pode complementar os seus estudos fazendo uma leitura do livro WINTERLE 2000 p 73 a 86 Aproveite para resolver alguns dos exercícios propostos das páginas 87 a 89 15 PRODUTO MISTO Agora que você já conhece o produto escalar e vetorial podemos apresentar o produto misto Você verá que o produto misto é usado para determinarmos se três vetores são coplanares o volume de um paralelepípedo ou tetraedro e além disso verificarmos se três vetores são LI ou LD 151 Definição Definição Chamase produto misto dos vetores e u v w ao número real u v w indicado por u v w Veja pela definição que o produto misto é um número real Analisemos o resultado u v w Inicialmente fazemos o produto vetorial u v cujo resultado como já vimos é um vetor Ao encontrar o produto escalar entre o vetor resultante e o vetor w obteremos um número Ao longo desse estudo você verá qual é o significado desse número Veremos uma maneira de calcular o produto misto Para tanto vamos calcular tomandose vetores arbitrários Se i j k é uma base ortornormal positiva Sejam 1 1 1 u u i y j z k 2 2 2 v u i y j z k e 3 3 3 w u i y j z k 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 i j k y z x z x y u v w u v w x y z w i j k x y z y z x z x y x y z 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 i j k y z x z x y u v w u v w x y z w i j k x y z y z x z x y x y z 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 x y z y z x z x y x y z x y z y z x z x y x y z Verifique pelos resultados obtidos que para encontrar o produto misto basta calcular o determinante dos três vetores Observação Para encontrar o produto misto v u w temos que calcular o determinante 2 2 2 1 1 1 3 3 3 x y z x y z x y z Ou seja mudamos a ordem dos vetores na matriz SUGESTÃO DE ATIVIDADE 1 Dado os vetores 3 2 0 u i j k 0 1 2 v i j k e 3 1 1 w i j k encontrar os produtos mistos a u v w b w u v 2 Mostre que o produto misto u v w entre os vetores 1 2 1 3 u i j k 3 1 2 v i j k e 7 1 4 w i j k é igual a zero EaD LICENCIATURA EM EaD COMPUTAÇÃO UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA 58 REGISTRE SUA IDEIA Em relação a atividade desenvolvida anteriormente o que acontece com produto misto quando alteramos a ordem dos vetores uma vez Qual o significado do produto misto ser zeros 152 Propriedades do Produto Misto Sejam os vetores u v e w 1 Se o produto misto entre os vetores u v e w for zeros então u v e w são linearmente dependentes Observação Já vimos esse resultado anteriormente quando falamos em determinante 2 Se trocarmos a ordem entre dois vetores o produto misto troca de sinal u v w v u w Observe que nesse caso fizemos uma permuta SUGESTÃO DE ATIVIDADE O produto misto 4 2 2 1 3 2 36 5 1 2 Verifique que o produto misto 1 3 2 4 2 2 36 5 1 2 3 O produto misto é cíclico ou seja se transladarmos os vetores seu valor não se altera u v w v w u w u v Observe que nesse caso temos duas permutas portanto devido a propriedade 1 esses produtos mistos são iguais SUGESTÃO DE ATIVIDADE Verifique que 1 3 2 5 1 2 36 4 2 2 4 Sejam os vetores u 1u u2 v 1v 2v w1 w2 e w então temos 1 2 1 2 u u v w u v w u v w 1 2 1 2 u v v w u v w u v w 1 2 1 2 u v w w u v w u v w 5 Se α ℜ então u v w u v w u v w α α α 6 O produto misto é nulo se e somente se os três vetores são coplanares O produto misto é dado por u v w u v w Observe que o vetor u v é ortogonal ao vetor u e v simultaneamente Como o produto escalar entre u v e o vetor w é igual a zero isso significa que esses vetores também são ortogonais Consequentemente os três vetores são coplanares EaD LICENCIATURA EM EaD COMPUTAÇÃO UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA 59 Agora retorne ao Registre sua idéia que você fez anteriormente e observe suas impressões estão corretas SUGESTÃO DE ATIVIDADE Determine o valor de m para que os vetores u 2 11 1 1 v m e w 2 14 sejam coplanares 153 Interpretação geométrica Veremos o significado do módulo do produto misto entre os vetores u v e w O módulo do produto misto é dado por cos u v w u v w u v w θ em que θ é o ângulo entre e u v w Se os vetores u v e w são linearmente independentes então o módulo do produto representa o volume de um paralelepípedo Vamos nos convencer disso Já vimos anteriormente que o módulo do produto vetorial u v representa a área de um paralelogramo Portanto basta nos convencer de que w cos θ representa a altura do paralelepípedo Observe a figura Observe que a altura h é o módulo da projeção algébrica do vetor w sobre o vetor u v ou seja 1 1 cos cos w u v h proj w u v u v w u v u v w u v w u v w θ θ 1 1 cos cos w u v h proj w u v u v w u v u v w u v w u v w θ θ Outra forma de ver isso é pelo teorema de Pitágoras Veja o triângulo retângulo na figura 58 que cos cos h h w w θ θ Portanto mostramos que cos áreabase altura u v w u v w u v w θ Similarmente podemos calcular o volume de um tetraedro Figura 59 Vetores Coplanares Fonte Própria Figura 60Volume Paralelepípedo Fonte Própria So UNIVERSIDADEDOJESTADODABAHIA y uxv B 1 Determinar 0 volume do paralelepipedo ABCDEFG sabendo que B AB110 AD202 4E132 H G py A u D Waoed Cc Figura 61 Volume Tetraedro Fonte Propria A B Figura 62 Exemplo Volume Tetraedro Sabemos que 0 volume do tetraedro é igual a Soa 1 tl die 2 Determinar a altura do paralelepipedo em relagao a face ABCD Vp drea da base h Ju x y fp cos 6 Sugestao como 0 angulo nao foi dado use a projecao para encontrar 3 3 2 ty areal altura a altura h prof Ga em que o ponto denota l ljr produto escalar all x v Al Vv w Observe que vocé vai precisar do versor do vetor uxv Pelos calculos mostramos que 0 volume do tetraedro Lembrese Em caso de duvidas acesse o ambiente é igual a um sexto do volume do paralelepipedo virtual de aprendizagem Vocé deve ter verificado a importancia desse assunto Com 0 produto escalar determinamos se dois vetores sao ortogonais e além disso na fisica 6 aplicado no calculo Vocé pode complementar os seus estudos fazendo uma leitura do do trabalho que um campo vetorial gasta para mover livro WINTERLE 2000 p 94 a 98 Aproveite para resolver algunsdos uma particula ao longo de uma trajetoria O produto exercicios propostos nas paginas 99 a 100 vetorial nos da um vetor simultaneamente ortogonal a dois vetores dados Na fisica podemos utilizar 0 produto vetorial no calculo do torque Por fim o produto misto pode utilizado para verificarmos dependéncia linear entre wd SUSESTAODE FILME vetores coplanaridade etc Todos esses produtos sao usados em varias areas de conhecimento e portanto de Como curiosidade e para relaxar um pouco recomendo que vocé grande importancia para 0 curso de computagao que assista ao video rocura solucionar mui roblemas através do calculo Sobre o A Matematica e a Musica de dominio publico Referéncia procura s0 ucionar muttos Pp oblemas atra abaixo computacional A MATEMATICA e a musica Disponivel em httpwww dominiopublicogovbrdownloadvideome001040mp4 Acesso em 09 set 2010 PIGENCIATURAEM Ea si EaD LICENCIATURA EM EaD COMPUTAÇÃO UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA 61 Parabéns Você já estudou uma importante parte do conteúdo Vetores suas propriedades e operações além disso os produtos escalares vetorial e misto e suas aplicações Assim você estudou uma boa parte do conteúdo de Geometria analítica Dando continuidade você iniciou o estudo dos espaços e subespaços vetoriais dependência e independência linear base e dimensão de um espaço vetorial Esses conteúdos estão relacionados à parte da Álgebra Linear e daremos continuidade a esse estudo posteriormente Acredito que você tenha assimilado o assunto de forma satisfatória no entanto se quiser se aprofundar mais no assunto não deixe de consultar as indicações de leitura e vídeos evidenciados ao longo desse capítulo Em caso de dúvidas você pode acessar o ambiente virtual de aprendizagem É importante assimilar bem esse conteúdo para dar continuidade Sucesso CAPÍTULO Anotações EaD UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EaD UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA CAPÍTULO GEOMETRIA ANALÍTICA 2 Anotações EaD UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EaD UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA 65 LICENCIATURA EM EaD COMPUTAÇÃO 21 ESTUDO DAS RETAS Estudaremos agora as retas tanto do plano como no espaço Você terá oportunidade de aplicar os conceitos já vistos como o de ortogonalidade através do produto escalar produto vetorial e o produto misto Além disso mostraremos várias formas de representação de uma reta através de suas equações Esteja atento a cada detalhe e sucesso nos seus estudos 211 Tipos de Equações Representamos uma mesma por equações dadas em forma diferentes Por exemplo temos a equação vetorial de uma reta equação reduzida equações dadas na forma paramétrica e simétrica O interessante é que você aprenda como passar de uma forma para outra identificando os seus elementos pontos e vetor direção 2111 Equação Vetorial Já vimos anteriormente que uma reta é definida por dois pontos Considere a reta determinada pelos pontos P e Q e o vetor u PQ Existe t pertencente a ℜ tal que qualquer ponto X pertencente a reta pode ser escrito como X P t u t ℜ Dizemos que t é o parâmetro e u é o vetor diretor da reta r Se considerarmos X x y 0 P x 0 y e u a b podemos escrever a equação vetorial da reta no plano como 0 0 x y x y t a b t pertencente a ℜ Similarmente podemos representar a equação vetorial da reta no espaço da seguinte forma Consideremos X x y z 0 0 0 P x y z e u a b c assim escrevemos a equação vetorial da reta no espaço como 0 0 0 x y z x y z t a b c t pertencente a ℜ Exemplo Escrever a equação vetorial da reta que passa pelo ponto 231 A e possui vetor diretor igual a u 115 Solução Vimos que a equação vetorial da reta é dada por P A tu t ℜ Assim a equação vetorial da reta é 231 115 x y z t t ℜ 2112 Equações Paramétricas Consideremos a equação vetorial da reta no plano dada por 0 0 x y x y t a b t pertencente a ℜ As equações paramétricas são escritas como 0 0 x x a t t y y b t ℜ Observe que o ponto P é o ponto 0 x 0 y e o vetor diretor da reta é u a b Figura 63Equação vetorial da reta Fonte Própria EaD LICENCIATURA EM EaD COMPUTAÇÃO UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA 66 Similarmente representamos as equações paramétricas no espaço Da equação vetorial dada por 0 0 0 x y z x y z t a b c t pertencente a ℜ encontramos as equações paramétricas escritas como 0 0 0 x x a t y y b t t z z c t ℜ Nesse caso o ponto 0 0 0 P x y z e o vetor diretor u a b c Exemplo Dada a equação vetorial 231 115 x y z t t ℜ encontre as equações paramétricas Solução Da equação 231 115 x y z t t ℜ obtemos as equações paramétricas dadas por 2 3 1 5 x t y t t z t ℜ SAIBA MAIS Como faremos para verificar se o ponto B 148 pertence a reta encontrada Veja que basta substituirmos as coordenadas do ponto 148 na equação e encontrar o valor do parâmetro t da seguinte forma 1 2 1 4 3 1 8 1 5 7 5 t t t t t t Como os valores do parâmetro t foram diferentes concluímos que o ponto não pertence a reta Outra pergunta qual o ponto para t 3 Nesse caso é simples pois basta substituirmos o parâmetro 2 2 3 1 3 3 3 6 1 5 1 5 3 16 x t x x y t y y z t z z Logo o ponto cujo parâmetro é igual a 3 é dado por P1616 2113 Equações Simétricas Outra forma de representar a equação da reta é a forma simétrica Veremos como fica tanto no plano como no espaço Para obter as equações na forma simétrica partimos das equações na forma paramétrica para tanto isolamos o parâmetro t em ambas as equações e depois as igualamos Veja como faremos Dadas as equações paramétricas 0 0 x x at t y y bt ℜ isolamos o parâmetro t em ambas as equações e obtemos a equação na forma simétrica da seguinte forma 0 0 0 x x y y a b a b Observe as coordenadas do ponto 0 x 0 y e as coordenadas do vetor diretor u a b Similarmente encontramos as equações paramétricas no espaço ou seja das equações paramétricas 0 0 0 x x a t y y b t t z z c t ℜ obtemos as equações na forma simétrica isolando o parâmetro t e igualando as equações Assim temos 0 0 0 0 x x y y z z a b c a b c EaD LICENCIATURA EM EaD COMPUTAÇÃO UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA 67 SAIBA MAIS Se 0 0 e c 0 a b não podemos escrever a equação simétrica da reta ou seja nenhuma coordenada do vetor pode ser zero No entanto se 0 0 e c 0 a b e 0 x x teremos a equação simétrica 0 0 0 y y z z b c b c Exemplo Determine uma equação da reta r que passa pelos pontos P313 e Q21 1 Solução Para encontrar a equação vetorial da reta precisamos determinar um ponto inicial e encontrar o vetor diretor da reta Consideremos P o ponto inicial assim o vetor diretor da reta é igual a 211 313 122 Q P Portanto a equação vetorial da reta é dada por 313 122 t x y z t ℜ Com o ponto 313 P e o vetor diretor u 122 facilmente obtemos as equações paramétricas da reta dada por 3 1 2 3 2 x t y t t R z t Representamos as equações simétricas da reta isolando o parâmetro t nas equações paramétricas dadas por 3 1 3 1 2 2 x x x Observe que no denominador estão as coordenadas do vetor e no numerador as coordenadas do ponto Exemplo Sejam os pontos 122 124 e C254 A B 122 124 e C254 A B vértices de um triângulo ABC Determine a A equação da reta que contém o lado AB b A equação da reta que contém a mediana relativa ao vértice C c A equação da reta que contém a bissetriz relativa ao vértice A Esse exemplo é bastante interessante Vamos resolvê lo por partes Inicialmente visualize o triângulo na figura e os elementos solicitados lados mediana e bissetriz Solução a Temos que encontrar a equação da reta que passa pelos pontos 122 e 124 A B Inicialmente precisamos encontrar o vetor diretor d a r e t a 124 122 002 u B A Portanto a equação vetorial da reta é dada por 124 002 x y z t t ℜ b Para resolver esse item temos que encontrar o ponto médio M do segmento AB VOCÊ SABIA O ponto médio de um segmento AB em que 1 1 1 A x y z e 2 2 2 B x y z é dado por 1 2 1 2 1 2 2 2 2 x x y y z z M Figura 64 Retas no espaço Fonte Própria EaD LICENCIATURA EM EaD COMPUTAÇÃO UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA 68 Como 122 e 124 A B temos 1 1 2 2 2 4 2 4 6 123 2 2 2 2 2 2 M Assim para encontrar a equação da reta que contém a mediana CM ou seja que passa pelos pontos C254 e M 123 temos que encontrar o vetor diretor O vetor diretor da reta é 123 254 1 3 1 u M C Portanto a equação vetorial da reta é 254 1 3 1 x y z t t ℜ Sua forma paramétrica é 2 5 3 4 x t y t t z t ℜ c Nesse caso observe que podemos verificar que o vetor diretor da reta que contém a bissetriz relativa ao vértice A é o vetor u AC AB Vamos por partes encontrando os vetores AC e AB 254 122 132 AC C A 124 122 002 AB B A Agora encontremos o vetor diretor da reta que passa pelo ponto A122 dado por 132 002 130 u AC AB Logo a equação da vetorial da reta é 122 130 x y z t t ℜ Exemplo Dada a equação da reta na forma simétrica 3 1 1 2 2 5 3 x y z identifique um ponto e um vetor diretor da reta Solução Nesse caso temos que reescrever a equação na forma 0 0 0 0 x x y y z z a b c a b c A e q u a ç ã o p o d e s e r r e s c r i t a c o m o 1 1 2 3 2 5 3 3 x y z Dessa forma podemos identificar os elementos O ponto 1 1 2 3 e o vetor diretor 2 53 3 SUGESTÃO DE ATIVIDADE 1 Encontre as equações simétricas da reta que passa pelo ponto 1 5 2 e pelo ponto médio do segmento que liga os pontos 135 e 3 31 2 Dados os pontos 14 2 3 36 e 2 14 A B C a Verifique se esses pontos são vértices de um triângulo b Escreva as equações paramétricas da reta que contém a mediana relativa ao vértice C c Determine a equação da reta que contém a bissetriz relativa ao vértice B 2114 Equações Reduzidas Utilizaremos um exemplo para mostrar as equações reduzidas de uma reta para tanto partiremos das equações na forma simétrica de uma reta no espaço Dada as equações simétricas 1 1 2 2 5 3 x y z r podemos isolar duas variáveis e colocálas em função de uma mesma variável Por exemplo podemos colocar as variáveis y e z em função da variável x da seguinte forma 1 1 5 3 5 1 2 1 5 5 2 2 2 5 5 2 2 5 2 2 x y x y x y y x y x 1 1 5 3 5 1 2 1 5 5 2 2 2 5 5 2 2 5 2 2 x y x y x y y x y x 1 2 3 7 3 1 2 2 3 3 2 4 2 3 3 4 2 3 2 2 x z x z x z z x z x 1 2 3 7 3 1 2 2 3 3 2 4 2 3 3 4 2 3 2 2 x z x z x z z x z x As equações 5 3 2 2 y x e 3 7 2 2 z x são as equações reduzidas da reta r na variável x Similarmente podemos encontrar as equações reduzidas da reta r nas variáveis y e z 1 1 2 3 5 1 2 1 5 5 2 2 5 2 3 2 5 5 5 x y x y x y x y x y EaD LICENCIATURA EM EaD COMPUTAÇÃO UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA 69 1 1 2 3 5 1 2 1 5 5 2 2 5 2 3 2 5 5 5 x y x y x y x y x y 1 2 3 7 3 1 5 2 3 3 5 10 5 3 7 5 3 5 5 y z y z y z z y z y 1 2 3 7 3 1 5 2 3 3 5 10 5 3 7 5 3 5 5 y z y z y z z y z y Logo as equações 2 3 5 5 x y e 3 7 5 5 z y são as equações reduzidas da reta r nas variáveis y Restanos encontrar as equações da reta r na variável z 1 2 2 7 3 1 2 2 3 3 2 4 3 2 7 2 3 3 3 x z x z x z x z x z 1 2 2 7 3 1 2 2 3 3 2 4 3 2 7 2 3 3 3 x z x z x z x z x z 1 2 5 13 3 1 5 2 3 3 5 10 3 5 13 5 3 3 3 y z y z y z y z y z 1 2 5 13 3 1 5 2 3 3 5 10 3 5 13 5 3 3 3 y z y z y z y z y z Logo as equações 2 7 3 3 x z e 5 13 3 3 y z são as equações reduzidas da reta r na variável z Figura 65 Posição relativa de duas retas Fonte Própria SUGESTÃO DE ATIVIDADE Encontrar as equações reduzidas da reta que passa pelos pontos 163 A e B221 na variável y INDICAÇÃO DE LEITURA Você pode complementar os seus estudos fazendo uma leitura do livro WINTERLE 2000 p 103 a 116 Aproveite para desenvolver os exercícios propostos a partir da página 118 Para praticar mais um pouco recomendo o livro Você pode complementar os seus estudos fazendo uma leitura do livro CAMARGO 2005 p 144 a 152 212 Interseção entre retas Inicialmente analise cuidadosamente o diagrama da figura 65 para verificar as várias situações em relação à posição entre duas retas EaD LICENCIATURA EM EaD COMPUTAÇÃO UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA 70 SAIBA MAIS Duas retas são reversas se não existe um plano que as contenha Veremos agora como obter o ponto de interseção entre duas retas caso elas sejam concorrentes Ou seja interceptam em um ponto Observe que se forem paralelas não coincidentes ou reversas elas não se interceptam Através dos exemplos você entenderá como encontrar os pontos de interseções entre retas dadas nas várias formas de representação Exemplo Verificar se as retas nos itens abaixo são concorrentes e em caso afirmativo encontrar o ponto de interseção a 1 3 2 1 3 2 4 x t r y t t z t ℜ 2 1 4 8 3 x h r y h h z h ℜ Solução É claro que se os vetores diretores das retas 1 v 2 34 e 2 v 1 13 não são paralelos as retas não são paralelas Para encontrarmos o ponto de interseção caso elas não sejam reversas temos que igualar as coordenadas das duas equações e verificar se existem soluções para os valores de t e h 3 2 1 1 1 3 4 2 2 4 8 3 t h t t h h t h Ao substituirmos os valores de t na equação da reta 1r ou h na equação da reta 2r obtemos os as coordenadas do ponto 1 3 2 1 1 1 3 1 2 2 4 1 2 x r y z Portanto o ponto de interseção é igual a 12 2 Agora é com você SUGESTÃO DE ATIVIDADE Encontre se possível a interseção entre as retas a 1 2 3 6 1 5 6 x y z r e 2 3 6 1 7 1 13 x t r y t t z t ℜ b 1 2 4 1 1 1 x y z r e 2 6 2 y x r z x SAIBA MAIS No capitulo 1 você estudou que dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles é igual a zero Concluímos portanto que duas retas são ortogonais se o produto escalar entre os seus vetores diretores forem iguais a zero INDICAÇÃO DE LEITURA Você pode complementar os seus estudos fazendo uma leitura do livro WINTERLE 2000 p 116 a 117 Aproveite para desenvolver os exercícios propostos a partir da página 118 22 ESTUDO DOS PLANOS Se você já absorveu todo o conteúdo sobre restas não vai ter dificuldades para entender as várias formas de representar um plano como também encontrar interseções entre retas e planos e entre planos 221 Tipos de Equações Existem várias formas de representarmos um plano através de equações Mostraremos alguns tipos ao longo desse trabalho vetoriais paramétricas na forma geral e segmentária Vimos anteriormente que dois vetores linearmente independentes LI geram um plano Sejam os vetores EaD LICENCIATURA EM EaD COMPUTAÇÃO UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA 71 u e v LI Observe a figura e verifique que podemos escrever que AP u v α β α β ℜ A s s i m P A u v P A u v α β α β α β ℜ 2221 Equação Vetorial A equação vetorial da reta é dada por P A u v α β e pode ser escrita como 0 0 0 1 1 1 2 2 2 x y z x y z a b c a b c α β α β ℜ 0 0 0 1 1 1 2 2 2 x y z x y z a b c a b c α β α β ℜ α e β são os parâmetros e 1 1 1 u a b c e 2 2 2 v a b c vetores linearmente independentes não paralelos Exemplo Encontre a equação vetorial do plano que contém os pontos 102 12 1 e 11 1 A B C Precisamos de pontos não colineares para obter dois vetores linearmente independentes Vamos tomar os vetores 12 1 102 22 3 AB B A 11 1 102 01 3 AC C A Observe que esses vetores estão contidos no plano e que não são paralelos logo são linearmente independentes assim geram o plano Dessa forma a equação vetorial do plano é dada por 102 22 3 01 3 x y z α β α β ℜ 2222 Equação Paramétrica Similarmente ao que vimos no estudo das retas as equações paramétricas do plano é dada por 0 1 2 0 1 2 0 1 2 x x a a y y b b z z c c α β α β α β α β ℜ Exemplo Da equação vetorial obtido no exemplo anterior podemos representar as equações paramétricas como 1 2 0 2 2 3 3 x y z α α β α β α β ℜ 2223 Equação Geral Seja π o plano determinado pelo ponto 0 0 0 0 P x y z e pelos vetores u e v ver fig 67 Esses vetores são linearmente independentes e observe que o vetor normal ao plano é obtido através do produto vetorial entre eles pois é simultaneamente ortogonal aos vetores u e v Assim n u v tal que n a b c O produto escalar entre o vetor normal e o vetor 0P P contido no plano é igual a zero pois são vetores ortogonais Portanto escrevemos 0 a b c x xo y yo z zo Fazendo as contas temos 0 a x xo b y yo c z zo 0 d ax by cz axo byo czo Logo a equação geral do plano é dada por 0 ax by cz d Figura 66 Geração do plano Fonte Própria EaD LICENCIATURA EM EaD COMPUTAÇÃO UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA 72 Observemos que os coeficientes a b e c da equação geral do plano correspondem às coordenadas de um vetor normal a este plano Exemplos 1 Determine uma equação geral do plano que passa pelo ponto P3 12 e é paralelo aos vetores u 112 e v 1 10 Solução Inicialmente devemos encontrar o vetor normal do plano através do produto vetorial 1 1 2 2 2 0 1 1 0 i j k u v i j k Assim o vetor normal é dado por 2 2 0 220 n i j k A equação geral do plano portanto é dada por 2 2 0 0 x y z d e para encontrar d devemos substituir o ponto 3 12 P nessa equação da seguinte forma 23 2 1 02 0 6 2 0 0 4 d d d Logo 2 2 4 0 x y é a equação do plano 2224 Equação Segmentária Seja o plano 0 ax by cz d π tal que a 0 b 0 e c 0 Consideremos que π não é paralelo a nenhum dos planos coordenados Assim as interseções com os eixos coordenados são Interseção com OX 00 A p Interseção com OY B0 0 q Interseção com OZ C00 r Agora observe que 0 0 0 d A ap d a p d B bq d b q d C cr d c r π π π Substituindo na equação geral do plano 0 ax by cz d π temos 0 d d d x y z d p q r dividindo essa equação por d temos 1 0 1 x y z x y z p q r p q r Logo a equação 1 x y z p q r é a equação segmentária do plano em que 00 A p B0 0 q e C00 r são pontos pertencentes ao plano π Exemplo Dada a equação geral do plano 2 4 4 0 x y z π dividindo por 4 a equação segmentária é dada por 1 2 4 1 x y z Portanto os pontos de interseção do plano com os eixos coordenados são 200 A B0 40 e C001 Discussão da equação geral do plano Seja 0 ax by cz d π 1 Se π passa pela origem o ponto 000 pertence Figura 67 Geração do plano Fonte Própria EaD LICENCIATURA EM EaD COMPUTAÇÃO UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA 73 a π logo d 0 2 Se π é paralelo ao eixo OZ e ortogonal ao plano XOY então o vetor 001 é ortogonal ao vetor normal do plano n π a b c Assim o produto escalar entre esses dois vetores á zero Ou seja 001 0 0 a b c c Logo o plano π é da forma 3 Se π é paralelo ao eixo Oy e ortogonal ao plano XOZ então o vetor 010 é ortogonal ao vetor normal do plano n π a b c Assim o produto escalar entre esses dois vetores á zero Ou seja 010 0 0 a b c b Logo o plano π é da forma 0 ax cz d 4 Se π é paralelo ao eixo OX e ortogonal ao plano YOZ então o vetor 100 é ortogonal ao vetor normal do plano n π a b c Assim o produto escalar entre esses dois vetores á zero Ou seja 100 0 0 a b c a Logo o plano π é da forma 0 by cz d 5 Se π é paralelo ao plano XOY então o vetor 001 é paralelo ao vetor normal do plano n π a b c Portanto existe α ℜ tal que 001 a b c α ou seja 0 0 e a b c α Logo a equação do plano é da forma 0 cz d Se d 0 z 0 representa o plano XOY Figura 68 Plano paralelo ao eixo OZ e ortogonal ao plano XOY Fonte Própria Figura 70 Plano paralelo ao eixo OX e ortogonal ao plano YOZ Fonte Própria Figura 69 Plano paralelo ao eixo Oy e ortogonal ao plano XOZ Fonte Própria Figura 71Plano paralelo XOY Fonte Própria EaD LICENCIATURA EM EaD COMPUTAÇÃO UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA 74 6 Se π é paralelo ao plano XOZ 010 então o vetor n π a b c é paralelo ao vetor normal do plano α ℜ Portanto existe 010 a b c α tal que 0 e 0 a b c α ou seja 0 e 0 a b c α Logo a equação do plano é da forma 0 by d Se d 0 y 0 representa o plano XOZ 7 Se π é paralelo ao plano YOZ então o vetor 100 é paralelo ao vetor normal do plano n π a b c Portanto existe α ℜ tal que 100 a b c α ou seja 0 e 0 a b c α Logo a equação do plano é da forma 0 ax d Se d 0 x 0 representa o plano XOZ Exemplos 1 Dê a equação do plano que passa pelo ponto 132 P e é paralelo ao plano YOZ Solução Observe que essa situação é similar ao do item 7 anterior portanto o vetor normal do plano é paralelo ao vetor i 100 assim a equação geral do plano é dada por 1 0 0 0 0 x y z d x d Substituindo o ponto temos 1 0 1 x d d d Portanto a equação do plano é 1 x 0 2 Encontre a equação do plano que passa pelo ponto P1 12 e que contém eixo OY Observe que se o plano contém o eixo OY ele contém o vetor j 010 como também a origem 000 Assim temos o vetor OP 1 12 Precisamos encontrar o vetor normal do plano através do produto vetorial entre OP X j Calemos o produto vetorial 1 1 2 0 2 0 0 1 0 2 0 1 0 i j k i j k i k Por tanto o vetor nor mal do plano é 201 n e a e q u a ç ã o é d a f o r m a 2 0 1 0 2 0 x y z d x z d e para encontrar o valor de d basta substituir um dos pontos pertencentes ao plano É mais fácil s u b s t i t u i r o p o n t o j 010 p o r t a n t o 2 2 0 0 0 0 x z d d d L o g o a equação geral do plano é 2 0 x z ou 2 0 x z Figura 72Plano paralelo XOZ Fonte Própria Figura 73Plano paralelo YOZ Fonte Própria EaD LICENCIATURA EM EaD COMPUTAÇÃO UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA 75 SUGESTÃO DE ATIVIDADE Encontre a equação vetorial do plano que passa pelos pontos 13 14 P e 2213 P e é paralelo ao eixo OX Logo após encontre a equação geral do plano e a equação simétrica 223 Interseção entre Reta e Plano Mostraremos agora como encontrar a interseção entre um plano e uma reta Inicialmente observe as várias situações em relação a posição entre uma reta e um plano no diagrama acima Observe que existem 3 possibilidades A reta e o plano são paralelos não coincidentes e nesse caso não existem pontos de interseção entre eles A reta e o plano são concorrentes e portanto existe um único ponto de interseção A reta está contida no plano e assim a interseção é a própria reta infinitos pontos Veremos o exemplo Encontre se possível a interseção entre a reta e o plano 1 3 2 4 5 4 x t r y t t z t ℜ 4 3 6 3 0 x y z π Solução Observe que o ponto P1 25 pertence a reta r cujo vetor diretor é v 3 44 O vetor normal do plano é n 4 3 6 A primeira coisa que temos que verificar é se o vetor diretor da reta e o vetor normal são ortogonais Você já sabe que dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles é igual a zero Assim 3 44 4 3 6 3 4 4 3 4 6 12 12 24 0 v n 3 44 4 3 6 3 4 4 3 4 6 12 12 24 0 v n Como o valor encontrado foi zero os vetores são ortogonais logo a reta e o plano são paralelos Agora basta verificar se a reta está contida no plano para tanto basta verificarmos se o ponto 1 25 P pertence à reta pertence ao plano Figura 74 Posição relativa de uma reta e um plano Fonte Própria EaD LICENCIATURA EM EaD COMPUTAÇÃO UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA 76 Como 4 3 6 3 0 x y z π veja que 41 3 2 65 3 4 6 30 20 0 Portanto P1 25 não pertence ao plano π e a reta e o plano são paralelos não coincidentes Agora é com você SUGESTÃO DE ATIVIDADE 1 Verifique se a reta e o plano são concorrentes e em caso positivo encontre o ponto de interseção 1 1 2 x t r y t z t ℜ 2 1 0 x y z π 2 Dadas a reta 3 2 2 y x r z x e o plano 2 2 0 x y z π determine se possível a o ponto de interseção de r com o plano XOZ b o ponto de interseção entre a reta e o plano c equações da reta de interseção de com o plano xOy 224 Interseção entre Planos Nesse caso dados dois planos veremos a posição relativa entre eles Eles podem ser paralelos portanto não existe interseção entre eles Eles podem ser paralelos coincidentes portanto existem infinitos pontos de interseção E se forem concorrentes interceptam sob uma reta Exemplo Encontre a reta de interseção entre os planos 2 3 0 x y z π e 2 1 0 x y z α Temos dois modos de resolver 1º modo Os pontos contidos na reta de interseção devem satisfazer as duas equações dos planos simultaneamente Assim basta resolvermos o sistema da seguinte forma Inicialmente eliminamos a variável y e encontramos uma equação em que z está em função de x Figura 75 Posição relativa de uma reta e um plano Fonte Própria EaD LICENCIATURA EM EaD COMPUTAÇÃO UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA 77 2 3 0 3 4 0 3 4 2 1 0 x y z x z z x x y z Similarmente eliminamos a variável z e encontramos uma equação em que y está em função de x 2 3 0 2 3 0 5 5 0 5 5 2 1 0 2 4 2 2 2 0 x y z x y z x y y x x y z x y z 2 3 0 2 3 0 5 5 0 5 5 2 1 0 2 4 2 2 2 0 x y z x y z x y y x x y z x y z Assim encontramos as equações reduzidas da reta de interseção entre os dois planos na variável x dada por 3 4 5 5 z x y x Para encontrarmos um ponto e o vetor diretor da reta basta encontrar a forma simétrica Assim 5 4 5 3 y z x Por essa equação verificamos que um ponto é P0 5 4 e o vetor diretor é u 1 5 3 2º modo Dados os dois planos 2 3 0 x y z π e 2 1 0 x y z α verificamos que os vetores normais são respectivamente nπ 1 12 e nα 21 1 Verifique na figura que o vetor diretor da reta de interseção é simultaneamente ortogonal aos vetores normais dos planos Portanto basta encontrarmos o produto vetorial entre eles 1 1 2 1 2 1 4 1 2 153 2 1 1 i j k v i j k Observe que podemos tomar o vetor v 1 5 3 paralelo a esse Para encontrar um ponto arbitrário que pertença a reta podemos associar valores a uma das variáveis como por exemplo x 0 nas equações dos planos para encontrar valores para y e z 2 3 0 4 0 4 1 0 y z z z y z Substituído agora faremos 1 0 4 1 0 5 y z y y Logo a reta de interseção possui vetor diretor igual a v 1 5 3 e passa pelo ponto P0 5 4 Agora é com você SUGESTÃO DE ATIVIDADE Encontre a reta de interseção dos planos 3 3 5 0 x y z π e 3 0 x y z α 23 DISTÂNCIAS 231 Distância entre dois pontos Figura 76 Interseção entre planos secantes Fonte Própria Figura 76 Distância entre dois pontos Fonte Própria EaD LICENCIATURA EM EaD COMPUTAÇÃO UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA 78 Sejam 1 1 1 1 P x y z e 2 2 2 2 P x y z A distância entre os pontos 1P e 2P é dada por 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 d P P PP x x y y z z x x y y z z 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 d P P PP x x y y z z x x y y z z Exemplo Encontre a distância entre os pontos A1 10 e B321 232 Distância entre um ponto e uma reta Seja 0 0 0 0 P x y z não pertencente a reta r que contem o ponto 1 1 1 1 P x y z e vetor diretor v a b c Observe que os vetores 1 0 PP e v determinam um paralelogramo cuja área S é basealtura v S d Por outro lado já vimos que a área do paralelogramo é dada pelo módulo do produto vetorial entre os vetores 1 0 PP e v ou seja 1 0 v S PP Igualando os dois resultados temos que 1 0 1 0 0 v v v v PP d PP d P r Exemplo Encontrar a distância entre o ponto P3 11 e reta 2 3 4 1 2 x t r y t t z t ℜ Solução A distância entre o ponto P e a reta r é dada por 0 v v PP d P r Através das equações paramétricas da reta identificamos que o ponto 0 23 1 P pertence a reta r cujo vetor diretor é v 1 42 O vetor que liga os pontos 0P e P é o vetor 0 0 3 11 1 42 23 1 P P P P Calculemos o produto vetorial 0 v 1 4 2 4 6 1 4 3 8 25 5 2 3 1 i j k PP i j k 0 v 1 4 2 4 6 1 4 3 8 25 5 2 3 1 i j k PP i j k 2 2 2 0 v 2 5 5 4 25 25 54 3 6 PP 2 2 2 v 1 42 1 4 2 1 16 4 21 0 v 3 6 21 3 126 21 21 21 v PP d P r u c A abreviatura uc significa unidade de comprimento 233 Distâncias entre um ponto e um plano Sejam o plano 0 ax by cz d π e 0 0 0 0 P x y z π Figura 77 Distância entre ponto e reta Fonte Própria EaD LICENCIATURA EM EaD COMPUTAÇÃO UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA 79 Seja P x y z π A distância do ponto 0P ao plano π é dada por 0 0 0 0 0 0 2 2 2 n a b c d P proj PP PP n x x y y z z a b c π 0 0 0 0 0 0 2 2 2 n a b c d P proj PP PP n x x y y z z a b c π 0 0 0 0 0 0 2 2 2 2 2 2 d a x x b y y c z z ax by cz ax by cz a b c a b c 0 0 0 0 0 0 2 2 2 2 2 2 d a x x b y y c z z ax by cz ax by cz a b c a b c 0 0 0 2 2 2 ax by cz d a b c 234 Distância entre retas Nesse caso temos algumas situações para analisar 1 Se as retas foram concorrentes a distância entre elas é zero 2 Caso sejam paralelas não coincidentes a distância entre elas é a distância entre o ponto P e a projeção ortogonal de P na outra reta 3 Se as retas forem reversas vamos ter que fazer a seguinte análise Figura 78 Distância entre um ponto e um plano Fonte Própria Figura 79 Distância entre retas reversas Fonte Própria Dadas as retas reversas 1r e 2r com vetores diretores 1v e 2v respectivamente verificase que as retas 1r 2r e o segmento OP Não são coplanares e portanto determinam um paralelogramo como mostra a figura Vimos anteriormente quando estudamos produto misto que o volume do paralelepípedo é dado por pelo produto misto 1 2 V v v OP Por outro lado o volume de um paralelepípedo é dado por 1 2 V área da base altura v v d Igualando as duas equações temos que 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 v v OP v v OP v v d d r r v v Exemplo Encontre a distância entre as retas 1 2 3 1 y x r z x e 2 2 1 2 3 x t r y t t z t ℜ O ponto 2 2 12 P pertence a reta 2r cujo vetor diretor é 2 v 1 13 Agora para identificar o ponto e o vetor diretor da reta 1r devemos colocála na forma simétrica Assim 1 1 2 3 y z r x e podemos identificar um ponto 1 101 P e o vetor diretor 1 v 123 CAPÍTULO EaD LICENCIATURA EM EaD COMPUTAÇÃO UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA 80 Calculemos então o produto vetorial 1 2 1 2 3 6 3 3 3 1 2 90 3 1 1 3 i j k v v i j k 2 2 2 1 2 9 0 3 81 9 90 3 10 v v Para encontrar o produto misto precisamos do vetor 1 2 PP dado por 1 2 2 1 2 12 101 1 11 PP P P Portanto o produto misto é 1 1 1 2 1 3 1 2 1 2 1 2 3 2 3 1 3 1 2 1 2 3 1 1 1 2 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 v v PP 1 1 1 2 1 3 1 2 1 2 1 2 3 2 3 1 3 1 2 1 2 3 1 1 1 2 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 v v PP 2 3 2 1 3 31 2 5 8 3 10 Logo a distância entre as retas é dada por 1 2 1 2 1 2 1 2 10 10 10 10 10 30 3 3 10 10 v v PP d r r v v uc Lembrese Em caso de dúvidas acesse o ambiente virtual de aprendizagem SUGESTÃO DE FILME Recomendo o site abaixo que contém vários vídeosaula com assuntos relacionados a geometria analítica Veja referência completa abaixo COSTA Luis Carlos Videoaulas de geometria analítica Disponível em httpmetamatematicablogspotcom200905videoaulasde geometriaanaliticahtml Acesso em 02 nov 2010 INDICAÇÃO DE LEITURA Você pode complementar os seus estudos fazendo uma leitura do livro WINTERLE 2000 p 151 a 156 Aproveite para resolver alguns dos exercícios propostos nas páginas 157 e 158 Mais uma etapa cumprida Agora você completou os principais conteúdos estudados na Geometria Analítica Importante o estudo das retas e planos tanto em duas dimensões como em três dimensões Você também viu como encontrar distâncias entre os elementos geométricos como pontos retas e planos Nos estudos posteriores vamos nos deter ao estudo dos conteúdos relacionados à Álgebra Linear Para dar continuidade é interessante não deixar nenhuma dúvida portanto acesse o ambiente virtual EaD UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA CAPÍTULO MATRIZES E SISTEMAS LINEARES 3 Anotações EaD UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EaD UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA 83 LICENCIATURA EM EaD COMPUTAÇÃO Nos capítulos anteriores focamos o nosso estudo em álgebra vetorial e em geometria analítica Vimos todo o conceito de vetores e na parte de geometria analítica fizemos o estudo das retas planos e distâncias geométricas Agora o nosso objetivo é estudar matrizes conteúdo contemplado em álgebra linear Inicialmente definiremos matrizes e veremos operações entre matrizes e posteriormente você verá como resolver sistema de operadores lineares com a utilização de matrizes 31 CONCEITOS BÁSICOS DE MATRIZES 311 Definição Definição Sejam 1 e 1 m n m n ℜ Uma matriz de ordem m por n m n que denotaremos por Amxn possui m n elementos ordenados em m linhas e n colunas como mostramos a seguir 11 12 13 1 21 22 23 2 1 2 3 n n m m m mn a a a a a a a a A a a a a Em que ij a indica o elemento da iésima linha e jésima coluna SAIBA MAIS Os elementos de uma matriz podem ser números reais funções polinômios números complexos etc Exemplos 3 3 2 8 1 3 5 0 1 0 2 A 3 3 2 8 2 1 3 2 5 6 1 3 2 i i i B i i i i i i 2 2 2 2 2 1 2 3 2 5 x x C x x Observe que na matriz A o elemento 11 2 a 32 0 a e 33 2 a Na matriz B o elemento 22 5 a i e na matriz C o elemento 12 2 a x Igualdade de matrizes Duas matrizes são iguais quando possuem a mesma ordem e seus elementos são iguais Ou seja as matrizes e ij ij m n r s A a B b são iguais se m r n s e ij ij a b para todo i j 312 Tipos de Matrizes Vamos ver agora a representação de vários tipos de matrizes Matriz Nula É a matriz que possui todos os seus elementos nulos ou seja a i j ij 0 2 3 0 0 0 0 0 0 Matriz Linha É a matriz que possui apenas uma linha e é representada por 11 12 1 1 1 ij n n n A a a a a Exemplo 1 4 A 3 1 5 0 Matriz Coluna É a matriz que possui apenas uma coluna e é representada por 11 21 1 1 1 ij m m m a a A a a Exemplo 3 1 1 A 5 0 Matriz Quadrada Na matriz quadrada o número de linhas é igual ao número de colunas e é representada por ij n n A a EaD LICENCIATURA EM EaD COMPUTAÇÃO UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA 84 Nesse caso dizemos que a matriz é de ordem n Na matriz quadrada dizemos que os elementos do tipo ii a compõem a diagonal principal 3 3 2 1 0 0 3 2 3 1 6 Observe que o elemento 11 2 a 22 3 a e 33 6 a estão na diagonal principal 3 3 2 1 0 0 3 2 3 1 6 Já os elementos 31 3 a 31 3 a e 31 0 a pertencem à diagonal secundária Matriz Diagonal Dizemos que a matriz quadrada cujos únicos elementos não nulos pertencem a diagonal principal é uma matriz diagonal 3 3 2 0 0 0 3 0 0 0 6 Matriz Identidade São matrizes diagonais em que os elementos da diagonal são iguais a 1 Denotamos a matriz identidade por nI matriz identidade de ordem n 2 3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 n I I I Matriz Triangular Superior É uma matriz quadrada em que todos os elementos abaixo da diagonal principal são nulos isto é 0 se aij i j 3 3 2 1 3 0 3 5 0 0 6 Verifique que os elementos 21 31 32 0 a a a Matriz Triangular Inferior É uma matriz quadrada em que todos os elementos acima da diagonal principal são nulos isto é 0 se aij i j 3 3 2 0 0 1 3 0 5 4 6 VOCÊ SABIA Um elemento apenas do tipo a11 é uma Matriz que possui apenas uma linha e uma coluna Dizemos nesse caso que a matriz possui ordem 1 1 313 Operações com Matrizes Agora que você já conhece os vários tipos de matrizes vamos aprender como operar matrizes ou seja como somamos duas matrizes E o produto entre matrizes Para isso é preciso conhecer as propriedades de cada operação 1 Adição Sejam as matrizes e B ij ij m n m n A a b de mesma ordem A soma dessas duas matrizes é uma EaD LICENCIATURA EM EaD COMPUTAÇÃO UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA 85 matriz m n denotada por ij m n A B c em que cada elemento ij ij ij c a b Exemplo Dadas as matrizes 3 1 2 0 A e 2 4 1 3 B temos 3 1 2 4 5 5 2 0 1 3 3 3 A B Propriedades da operação de adição a Comutatividade A B B A b Associatividade A B C A B C c Elemento Neutro 0 0 A A em que 0 representa a matriz nula d Elemento Inverso Dada a matriz A existe uma matriz que denotaremos por A tal que 0 A A 2 Multiplicação por um Escalar Seja ij m n A a e k um número real ou complexo O produto entre o escalar k e a matriz A é a matriz ij m n B b tal que ij ij b ka Exemplo Dada a matriz 3 1 2 0 A e o escalar k 2 a matriz 2 B A é dada por 3 1 2 3 2 1 6 2 2 2 2 0 2 2 2 0 4 0 B A Propriedades a k A B kA kB b 1 2 1 2 k k A k A k A c 1 A A d 0 0 A e 1 2 1 2 k k A k k A 3 Multiplicação de Matrizes Dadas as matrizes e B ij ij m k k n A a b o produto da matriz A pela matriz B é igual a matriz ij m n C c tal que ijc é igual ao produto escalar da linha i de A pela coluna j de B Veja o exemplo para entender a operação Exemplo Sejam a matriz 2 2 2 1 0 3 A e 2 3 4 3 5 1 0 2 B encontrar os elementos da Matriz 11 12 13 21 22 23 2 3 c c c C A B c c c Solução 1 Multiplicar a linha 1 da matriz A com a coluna 1 da matriz B da seguinte forma 2 4 1 1 9 elemento 11 c da matriz C 2 1 4 3 5 9 1 0 2 0 3 2 Multiplicar a linha 1 da matriz A com a coluna 2 da matriz B da seguinte forma 2 3 1 0 6 elemento 12 c da matriz C 2 1 4 3 5 9 6 1 0 2 0 3 3 Multiplicar a linha 1 da matriz A com a coluna 3 da matriz B da seguinte forma 2 5 1 2 12 elemento 13 c da matriz C 2 1 4 3 5 9 6 12 1 0 2 0 3 3 Multiplicar a linha 2 da matriz A com a coluna 1 da matriz B da seguinte forma 0 4 3 1 3 elemento EaD LICENCIATURA EM EaD COMPUTAÇÃO UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA 86 c21 da matriz C 2 1 9 6 12 4 3 5 0 3 1 0 2 3 4 Multiplicar a linha 2 da matriz A com a coluna 2 da matriz B da seguinte forma 0 3 3 0 0 elemento c22 da matriz C 2 1 9 6 12 4 3 5 0 3 1 0 2 3 0 5 Multiplicar a linha 2 da matriz A com a coluna 3 da matriz B da seguinte forma 0 5 3 2 6 elemento c23 da matriz C 2 1 9 6 12 4 3 5 0 3 1 0 2 3 0 6 SAIBA MAIS Você deve ter observado que só podemos efetuar o produto AB se o número de colunas da matriz A for igual ao número de linhas da matriz B Caso contrário não tem sentido o produto Propriedades a A In A a matriz identidade é o elemento neutro b A B C AB AC c A B C AC BC d AB C A BC e 0 0 A f 0A 0 VOCÊ SABIA Podemos representar operações entre matriz através de um somatório Por exemplo dadas as matrizes ij ij P b Q c Mn rK os elementos da matriz ij P Q d Mn rK podem ser escritos como n i j k j k j k 1 d b c SAIBA MAIS Importante O produto de matrizes não é comutativo Exemplo O produto 2 1 2 2 5 4 3 1 1 0 7 6 é diferente de 2 2 2 1 10 4 1 0 3 1 2 1 Notação potência de matrizes 2 3 n n vezes A AA A AAA A A A Atenção O produto de duas matrizes não nulas pode ser a matriz nula Ou seja AB 0 não implica que A 0 ou B 0 Veja 2 4 2 0 3 6 1 0 Verifique Se AB AC não podemos afirmar que B C Exemplo Dadas as matrizes M N e Q com entradas no corpo mostre que Solução Para provarmos matematicamente uma afirmação precisamos mostrar de forma genérica ou seja temos que mostrar esse resultado para qualquer matriz desde quando seja possível efetuar as operações Sejam a matriz ij N a Mm nK e ij ij P b Q c Mn rK Por definição de soma de matrizes sabemos que ij NP Q d e n i j i k k j k j k 1 d a b c Desenvolvendo o último somatório temos as igualdades n n n n i j i k k j k j i k k j i k k j i k k j i k k j k 1 k 1 k 1 k 1 d a b c a b a c a b a c n n n n i j i k k j k j i k k j i k k j i k k j i k k j k 1 k 1 k 1 k 1 d a b c a b a c a b a c Observe que isso mostra que cada elemento da matriz NP Q é igual aos elementos da matriz NP NQ como queríamos demonstrar Agora é com você EaD LICENCIATURA EM EaD COMPUTAÇÃO UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA 87 SUGESTÃO DE ATIVIDADE 1 Dada as matrizes 3 2 1 1 M 0 2 3 3 e 2 2 1 0 N 2 3 calcule 3 2 M N 314 Transposição de Matrizes Definição Dada uma matriz ij m n A a chamamos de transposta da matriz A e indicamos por tA a matriz t ij n m A b tal que ij ji b a Ou seja as linhas de B são as colunas de A e as colunas de B são as linhas de A Exemplo Dada a matriz 1 5 6 5 4 3 1 0 2 1 0 4 A a transposta de é 1 5 1 1 5 4 0 0 6 3 2 4 tA Propriedades a At t A b t t t A B A B c t t kA kA d t t t AB B A Definição Dizemos que uma matriz quadrada A é simétrica se ela é igual à sua transposta ou seja tA A Exemplo 2 1 3 1 4 0 3 0 2 t A A Definição Dizemos que uma matriz quadrada A é antisimétrica se ela é igual à oposta da sua transposta ou seja tA A Exemplo 0 2 3 2 0 1 3 1 0 t A A INDICAÇÃO DE LEITURA Para complementar o seu estudo recomendo a leitura do livro BOLDRINI 1980 páginas 1 a 11 Aproveite para exercitar mais um pouco resolvendo alguns exercícios propostos nas páginas 11 a 13 Veja as referências VOCÊ SABIA Toda matriz antisimétrica possui os elementos da diagonal principal nulos De fato a matriz A é antisimétrica se tA A Para tanto os elementos ij ji a a i j No caso dos elementos da diagonal temos que ii ii a a Observe que isso só acontece quando aii 0 Portanto na matriz antisimétrica os elementos da diagonal principal são nulos Verifique que a matriz 0 1 2 A 1 0 3 2 3 0 SUGESTÃO DE ATIVIDADE 1 Calcule AAtt e AAtt usando as propriedades de matrizes para mostrar que AAt é simétrica e AAt é antisimétrica 2 Como AAt AAt 2A utilize o resultado anterior para verificar que toda matriz A é soma de uma matriz simétrica com uma matriz antisimétrica 32 RESOLUÇÕES DE SISTEMA POR ESCALONAMENTO Muitas vezes fica difícil resolvermos um sistema de operadores lineares pelo método de substituição de variáveis principalmente quando o número de equações e de variáveis é grande Assim mostraremos como EaD LICENCIATURA EM EaD COMPUTAÇÃO UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA 88 resolver sistema de equações lineares com a utilização de matrizes 321 Apresentação de um sistema linear Definição Dados os números reais 1 2 3 n e a a a a b chamamos de equação linear sobre ℜ nas incógnitas 1 2 x x n x em que 1 2 x x n x são variáveis em ℜ à equação 1 1 2 2 n n a x a x a x b Os escalares 1 2 3 n a a a a são chamados de coeficientes da equação e b de termo independente da equação Uma solução para a equação linear 1 1 2 2 n n a x a x a x b é uma seqüência de números reais 1 2 n α α α que satisfaz a equação linear ou seja 1 1 2 2 n n a a a b α α α SAIBA MAIS 1 A seqüência 1 2 n α α α é também chamada de nupla 2 Numa equação linear as variáveis aparecem na primeira potência portanto a equação 2 2 2 x x y não é uma equação linear 3 Também não aparecem termos com funções trigonométricas logarítmicas e exponenciais assim as equações 1 sen x x e 1 ex y também não são lineares 4 Também não pode haver produto entre as variáveis portanto a equação não é linear Definição Um sistema S de m equações lineares com n incógnitas m e n inteiros 1 1 m n é um conjunto com m equações lineares cada uma delas com n incógnitas consideradas simultaneamente apresentadas da seguinte forma 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b S a x a x a x b Em que os coeficientes das variáveis são representados por ij a e os termos independentes por 1 2 n b b b com ib ℜ Uma solução do sistema S é uma nupla n 2 1 α α α que é solução de cada uma das equações do sistema SAIBA MAIS Um sistema é dito homogêneo se as constantes b b bm 1 2 são todas nulas ou seja os termos independentes de cada equação são iguais a zero Por exemplo o sistema 2 3 0 3 0 4 2 0 x y z x y z x y z é homogêneo e possui como solução o vetor nulo 000 SUGESTÃO DE FILME Recomendo o seguinte site SISYEMA de Equações Lineares Video aula Disponível em http wwwyoutubecomwatchvi0jKVC2f8 Acesso em 20 mar 2011 322 Matrizes de um sistema linear Dado um sistema linear m n mn 2 m2 1 1 m 2 n 2n 2 22 1 21 1 n 1n 2 12 1 11 b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a S as seguintes matrizes são associadas a S EaD LICENCIATURA EM EaD COMPUTAÇÃO UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA 89 A matriz dos coeficientes 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn a a a a a a A a a a Observe que cada coeficiente é representado por ij a em que i indica a linha e j a coluna que está posicionado o elemento A matriz das incógnitas 1 2 n x x X x A matriz dos termos independentes m 2 1 b b b B A matriz ampliada do sistema m mn m2 1 m 2 2n 22 21 1 1n 12 11 b a a a b a a a b a a a em que cada linha é uma representação abreviada da equação correspondente no sistema Veja que podemos representar um sistema dessa forma a matriz dos coeficientes vezes a matriz das variáveis que é igual a matriz dos termos independentes 1 11 12 1 1 2 21 22 2 2 1 2 n n n x m m mn m x a a a b x a a a b a a a b 323 Operações elementares Definição Dizemos que dois sistemas são equivalentes se e somente se toda solução de um deles é também solução do outro Exemplo 2 3 3 4 2 e 0 x y x y x y x y são equivalentes pois a solução dos dois sistemas é igual a Veremos uma forma de resolver um sistema simples com duas equações lineares e duas variáveis Ou seja devemos determinar os valores que x e y que satisfaçam as equações Consideremos o sistema 3 3 6 2 1 x y x y resolveremos o sistema de forma organizada sinalizando cada passo Para tanto podemos eliminar incógnitas de uma equação através da adição de uma equação com outra ou múltiplos de outra Para simplificar usaremos a notação iL para indicar a iésima linha de uma matriz e j L a jésima Veja os passos a seguir 1 1 2 1 2 2 2 2 13 13 3 3 6 2 2 2 1 2 1 2 1 3 3 1 1 L L L L L L L x y x y x y x y x x y x y y y y 1 1 2 1 2 2 2 2 13 13 3 3 6 2 2 2 1 2 1 2 1 3 3 1 1 L L L L L L L x y x y x y x y x x y x y y y y Observe que no primeiro passo substituímos a linha L1 por ela multiplicada por um terço Assim os coeficientes das variáveis ficaram iguais a 1 No segundo passo substituímos a linha L2 por ela menos 2 vezes a linha L1 Com isso zeramos o coeficiente da variável x No terceiro passo multiplicamos a linha L3 por 13 fazendo o coeficiente da variável y igual a um E assim obtivemos a resolução do sistema em que x e y são iguais a um Observe que as operações efetuadas para a resolução do sistema anterior podem ser representadas através das matrizes mostradas a seguir 1 1 2 1 2 2 2 2 13 13 3 3 6 1 1 2 1 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 1 0 3 3 0 1 1 L L L L L L L 1 1 2 1 2 2 2 2 13 13 3 3 6 1 1 2 1 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 1 0 3 3 0 1 1 L L L L L L L EaD LICENCIATURA EM EaD COMPUTAÇÃO UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA 90 Essa motivação nos leva a classificar as operações que podemos fazer com as linhas de uma matriz a fim de obter a solução de um sistema com operadores lineares Formalizaremos então essas operações Preste bem atenção 1 Podemos permutar linhas como por exemplo trocar a linha L1 pela L2 e viceversa Nesse caso usamos o símbolo de equivalência para indicar a permuta Li Lj 2 Também podemos multiplicar uma linha por um escalar não nulo como por exemplo substituir L1 por 3 vezes L1 Nesse caso usamos o símbolo de implicação para indicar a operação na linha Li kLi 3 Finalmente podemos substituir uma linha por ela somada a outra linha multiplicada por um escalar não nulo ou seja substituir a linha L1 por ela somada a linha L2 multiplicada por um escalar O símbolo para substituir linhas é também o de implicação i i L L kLi 324 Matrizes equivalentes Observe que só podemos aplicar essas 3 operações para obtermos matrizes cujas linhas são equivalentes Assim podemos representar as operações efetuadas no sistema que resolvemos no início através de matrizes que são equivalentes Definição Se A e B são matrizes m n dizemos que B é linhaequivalente a A e indicamos A B se B for obtida de A através de um número finito de operações elementares sobre as linhas de A Exemplo 1 1 2 1 2 2 2 2 13 13 3 3 6 1 1 2 1 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 1 0 3 3 0 1 1 L L L L L L L 1 1 2 1 2 2 2 2 13 13 3 3 6 1 1 2 1 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 1 0 3 3 0 1 1 L L L L L L L Veja que as matrizes são equivalentes e contêm os coeficientes das variáveis e na última coluna os termos independentes Aplicamos as operações até encontrar a última matriz Dizemos que essa última matriz é uma matriz linha reduzida a forma escada ou de Gauss Jordan Veremos como obter essa matriz em outras situações 33 RESOLUÇÃO DE SISTEMA POR ESCALONAMENTO 331 Matriz linha reduzida à forma escada Uma matriz está na forma linha reduzida à forma escada ou de GaussJordan se satisfaz as seguintes condições a O primeiro elemento não nulo de uma linha não nula é igual a 1 b As linhas nulas ocorrem abaixo de todas as linhas não nulas Observe a sinalização na matriz a seguir 1 0 0 0 1 0 1 0 0 2 0 0 1 0 3 0 0 0 0 0 c O número de zeros que precedem o primeiro elemento não nulo de uma linha aumenta a cada linha até que sobrem somente linhas nulas se houver isso dá à matriz a forma de uma escada como mostra a figura 1 0 0 0 1 0 1 0 0 2 0 0 1 0 3 0 0 0 0 0 d Cada coluna que possui o primeiro elemento não nulo de alguma linha tem todos os outros elementos nulos EaD LICENCIATURA EM EaD COMPUTAÇÃO UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA 91 1 0 0 0 1 0 1 0 0 2 0 3 0 0 1 0 0 0 0 0 Veremos alguns exemplos de matrizes linha reduzida à forma escada 1 0 0 0 5 0 1 0 0 1 0 0 1 0 2 0 0 0 0 0 1 0 0 3 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 ContraExemplos matriz que não estão na forma escada Nessa matriz 1 0 0 0 1 0 0 1 2 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 a linha não nula não é a última e também o número de zeros que precede o primeiro elemento não nulo de cada linha não aumentou veja a linha dois e a linha quatro Essa matriz 1 0 0 12 0 0 1 5 0 1 0 1 0 0 0 0 não está na forma escada e para tanto é necessário permutar as linhas 2 e 3 para que o número de zeros que precedem o primeiro elemento não nulo cresça a cada linha Agora é com você SUGESTÃO DE ATIVIDADE Verifique porque a matriz 1 1 0 2 0 1 0 1 0 0 3 5 não está na forma linha reduzida a forma escada Que operação ões devem ser feita para que ela fique nessa forma SAIBA MAIS Toda matriz quadrada na forma linha reduzida a forma escada ou é a matriz identidade ou tem algumas linhas nulas Definição Se uma matriz satisfaz às três primeiras condições dizemos que ela está na forma escalonada Nesse caso basta que as três condições abaixo sejam satisfeitas a O primeiro elemento não nulo de uma linha não nula é igual a 1 b As linhas nulas ocorrem abaixo de todas as linhas não nulas Observe a sinalização na matriz a seguir c O número de zeros que precedem o primeiro elemento não nulo de uma linha aumenta a cada linha até que sobrem somente linhas nulas se houver isso dá à matriz a forma de uma escada como mostra a figura Assim a matriz 1 5 3 0 1 0 1 0 0 2 0 0 1 0 4 0 0 0 0 0 está na forma escalonada no entanto não está na forma escada devido aos elementos não nulos 3 e 5 sinalizados Exemplos As matrizes 1 3 1 0 1 2 0 0 1 e 1 1 0 6 5 0 1 1 1 1 0 0 1 2 1 estão na forma escalonada EaD LICENCIATURA EM EaD COMPUTAÇÃO UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA 92 SUGESTÃO DE ATIVIDADE Verifique porque a matriz 1 1 1 1 0 2 1 1 0 1 0 0 não está na forma escalonada nem na linha reduzida a forma escada SAIBA MAIS Toda matriz na linha reduzida a forma escada está na forma escalonada no entanto a recíproca não é verdadeira Para finalizar veja um resultado importante Teorema Toda matriz é linhaequivalente a uma única matriz linha reduzida à forma escada Ou seja matriz linha reduzida à forma escada que representa um sistema é única 332 Eliminação por Gauss Jordan Agora vamos escalonar uma matriz ou seja efetuar operações elementares para obter uma matriz linhas reduzidas à forma escada SAIBA MAIS Interessante você pesquisar um pouco sobre a história Saiba um pouco sobre a vida de Gauss acessando o site AMARAL Daniel A Gauss Carl Friedrich Disponível em http wwwfemunicampbrem313paginaspersongausshtm Acesso 04 abr 2011 Fique bem atento e siga todos os passos O primeiro passo é observar se a matriz possui linhas nulas Nesse caso coloquemos todas as linhas nulas abaixo das linhas não nulas Observe que na matriz A a seguir trocamos as linhas 2 L por 4 L 2 4 2 4 0 4 2 4 0 4 0 0 0 0 4 0 2 1 2 2 1 0 2 2 1 0 4 0 2 1 0 0 0 0 L L A No segundo passo o primeiro elemento não nulo da primeira linha deve ser igual a 1 Dessa forma substituímos a linha 1L por 1L dividido por dois 1 1 2 1 2 4 0 6 1 2 0 3 4 0 2 1 4 0 2 1 2 2 1 0 2 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 L L O próximo passo é zerar todos os outros elementos da coluna que contém o primeiro elemento não nulo nesse caso a primeira coluna L L 4L 2 2 1 L L 2L 3 3 1 1 2 0 3 1 2 0 3 4 0 2 1 0 8 2 11 2 2 1 0 0 2 1 6 0 0 0 0 0 0 0 0 Para isso fizemos as seguintes operações substituímos 2 L por 2 4 1 L L e 3 L por 3 2 1 L L L L 4L 2 2 1 L L 2L 3 3 1 1 2 0 3 1 2 0 3 4 0 2 1 0 8 2 11 2 2 1 0 0 2 1 6 0 0 0 0 0 0 0 0 Dando continuidade faça o mesmo procedimento para a segunda linha ou seja o primeiro elemento não nulo da segunda linha deve ser igual a 1 Portanto dividimos a segunda linha por 8 1 L L 2 2 8 1 2 0 3 1 2 0 3 1 11 0 8 2 11 0 1 4 8 0 2 1 6 0 2 1 6 0 0 0 0 0 0 0 0 Similarmente devemos zerar os outros elementos da segunda linha Observe as operações efetuadas EaD LICENCIATURA EM EaD COMPUTAÇÃO UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA 93 L L 2L 1 1 2 L L 2L 3 3 2 1 1 1 0 1 2 0 3 2 4 1 11 1 11 0 1 0 1 4 8 4 8 0 2 1 6 1 13 0 0 2 4 0 0 0 0 0 0 0 0 O primeiro elemento não nulo da terceira linha deve ser igual a 1 Para tanto basta multiplicar a terceira linha por 2 L 2L 3 3 1 1 1 1 1 0 1 0 2 4 2 4 1 11 1 11 0 1 0 1 4 8 4 8 1 13 13 0 0 0 0 1 2 4 2 0 0 0 0 0 0 0 0 Finalmente devemos zerar os outros elementos da terceira coluna fazendo a operação indicada alterando a linha 2 1 L2 L2 L3 4 1 1 1 0 0 3 1 0 2 4 1 1 11 0 1 0 0 1 4 4 8 13 13 0 0 1 0 0 1 4 2 0 0 0 0 0 0 0 0 Importante Você deve seguir a ordem apresentada acima para conseguir escalonar a matriz utilizando o mínimo de operações possíveis Caso contrário você pode se perder e não conseguir encontrar a matriz equivalente na forma escalonada SAIBA MAIS A matriz linha reduzida à forma escada obtida pelo processo descrito anteriormente é única O processo para obter uma matriz linha reduzida à forma escada a partir de uma matriz dada é chamado de escalonamento de matriz ou eliminação de GaussJordan O processo para chegarmos a uma forma escalonada sem ser a forma escada é chamado de eliminação gaussiana SUGESTÃO DE FILME Recomendo o site abaixo SCHUTOZER Waldeck Vídeo aula Escalonamento de matrizes DM UFSCar Disponível em httpwwwyoutubecomwatchvI1kexTz5GTM Acesso em 20 mar 2011 333 Resolução de sistemas lineares Definição Dada uma matriz m n A dizemos que o posto de A denotado por p é o número de linhas não nulas da matriz linhas reduzidas à forma escada equivalente a A Dizemos que a nulidade denotada por SUGESTÃO DE ATIVIDADE Escalone as matrizes usando a eliminação de GaussJordan para encontrar a matriz linha equivalente à forma escada 1 1 2 5 3 2 3 1 4 3 8 3 5 2 1 1 1 1 2 3 2 1 1 3 3 3 6 1 2 2 1 1 1 1 1 1 4 1 2 1 0 2 4 1 2 3 6 3 7 5 1 2 2 2 3 1 3 2 4 1 1 1 6 1 2 4 11 2 4 5 14 EaD LICENCIATURA EM EaD COMPUTAÇÃO UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA 94 l de A é o número de colunas de A menos o posto de A ou seja l n p SUGESTÃO DE ATIVIDADE Determine o posto e nulidade de cada uma das matrizes dadas na sugestão de atividade anterior Observe que você já encontrou a matriz linha reduzida à forma escada equivalente a cada uma delas Sucesso Consideremos um sistema de m equações lineares com n incógnitas 1 n x x 11 1 12 2 1 1 1 1 2 2 n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b cujos coeficientes ija e os termos ib são números reais Podemos classificar o sistema em a Sistema possível ou compatível e determinado possui uma púnica solução 1 1 n n x k x k b Sistema possível e indeterminado possui infinitas soluções c Sistema impossível ou incompatível nenhuma solução Agora apresentaremos um resultado importante para identificarmos um sistema Para tanto revise o conceito de matriz ampliada e matriz dos coeficientes dados anteriormente Teorema i Um sistema de m equações e n incógnitas admite solução se e somente se o posto da matriz ampliada é igual ao posto da matriz dos coeficientes ii Se as duas matrizes têm o mesmo posto p e p n a solução será única iii Se as duas matrizes têm o mesmo posto p e p n podemos escolher n p incógnitas e as outras p incógnitas serão dadas em função destas Dizemos neste caso que o grau de liberdade do sistema é n p Exemplos Veremos alguns exemplos envolvendo cada tipo de sistema Notação c a p postoda matriz doscoeficientes p postoda matriz ampliada 1 Sistema possível e determinado 1 0 0 3 0 1 0 2 0 0 1 2 3 c a p p Observe que nesse caso temos 3 c a p p p logo o sistema admite solução Como p 3 n a solução é única em que 3 2 2 1 2 3 x x e x considerando x x e x 1 2 3 as incógnitas do sistema 2 Sistemas possíveis e indeterminados 1 0 3 2 0 1 4 5 2 c a p p 2 3 2 1 l n Nesse caso temos que 2 3 c a p p p n Logo o sistema é possível e como a nulidade é igual a 1 temos um grau de liberdade Ou seja devemos expressar duas incógnitas em função de uma delas 1 3 2 3 2 3 5 4 x x e x x EaD LICENCIATURA EM EaD COMPUTAÇÃO UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA 95 1 0 1 2 5 0 1 2 1 3 0 0 0 0 0 2 4 c a p p n 2 4 2 2 l n Veja que o sistema é possível e indeterminado com grau de liberdade 2 Portanto devemos escrever as incógnitas em função de duas delas Assim 1 3 4 x x 2x 5 e 2 3 4 x 2x x 3 3 Sistema Impossível 1 2 0 3 2 0 0 1 1 2 0 0 0 1 2 3 c a p p Nesse caso consideramos o sistema é impossível pois o posto da matriz dos coeficientes é diferente do posto da matriz ampliada do sistema Agora que você já absorveu todo esse conhecimento podemos verificar se um sistema de equações lineares possui solução e determinála caso seja possível Exemplos resolvendo um sistema de equações lineares 1 Resolver o sistema x 2y 2z 6 3x 2y 2z 2 3x 5z 9 Solução 1º passo identificar a matriz dos coeficientes e a matriz ampliada do sistema coeficientes ampliada 1 2 2 6 3 2 2 2 3 0 5 9 2º passo escalonar a matriz para obter a matriz equivalente reduzida a forma escada 3 3 2 2 2 2 1 1 1 2 3 3 1 3 3 2 2 2 3 1 1 L L L L L L 3L L L 2L 5 4 L L 3L L L 6L L L L 1 2 2 6 1 2 2 6 1 2 2 6 1 2 0 2 3 2 2 2 0 4 4 16 0 1 1 4 0 1 1 4 3 0 5 9 0 6 1 9 0 6 1 9 0 0 5 15 1 0 0 2 1 0 1 1 4 0 0 0 1 3 0 0 2 1 0 1 0 0 1 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 2 3 3 1 3 3 2 2 2 3 1 1 L L L L L L 3L L L 2L 5 4 L L 3L L L 6L L L L 1 2 2 6 1 2 2 6 1 2 2 6 1 2 0 2 3 2 2 2 0 4 4 16 0 1 1 4 0 1 1 4 3 0 5 9 0 6 1 9 0 6 1 9 0 0 5 15 1 0 0 2 1 0 1 1 4 0 0 0 1 3 0 0 2 1 0 1 0 0 1 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 2 3 3 1 3 3 2 2 2 3 1 1 L L L L L L 3L L L 2L 5 4 L L 3L L L 6L L L L 1 2 2 6 1 2 2 6 1 2 2 6 1 2 0 2 3 2 2 2 0 4 4 16 0 1 1 4 0 1 1 4 3 0 5 9 0 6 1 9 0 6 1 9 0 0 5 15 1 0 0 2 1 0 1 1 4 0 0 0 1 3 0 0 2 1 0 1 0 0 1 3 3º passo encontrar posto e nulidade e discutir o sistema Observe que a matriz dos coeficientes ficou com 3 linhas não nulas e a matriz ampliada também ficou com 3 linhas não nulas Assim o posto é 3 c a p p p que é igual ao número de colunas pois n 3 Portanto o sistema é possível e determinado e a solução é S 2 13 2 Resolver o sistema x y z 4 x y z 2 1º passo identificar a matriz dos coeficientes e a matriz ampliada do sistema coeficientes ampliada 1 1 1 4 1 1 1 2 2º passo escalonar a matriz para obter a matriz equivalente reduzida a forma escada 2 2 2 2 1 L L L L L 2 1 1 1 4 1 1 1 4 1 1 1 4 1 1 1 2 0 0 2 2 0 0 1 1 EaD LICENCIATURA EM EaD COMPUTAÇÃO UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA 96 3º passo encontrar posto e nulidade e discuti o sistema Posto c a p p 2 p n 3 Nulidade l n p 3 2 1 O sistema é possível e indeterminado com grau de liberdade 1 assim coloquemos as variáveis 1x e 3 x em função da variável 2 x Da 1ª linha da matriz escalonada temos que 1 2 3 x x x 4 e da 2ª linha x3 1 Assim 1 2 3 2 2 x x x 4 x 1 4 x 3 Po d e m o s escrever a solução como 2 2 S 3 x x 1 Veja que ao associarmos valores arbitrários para 2 x teremos várias soluções para o sistema Agora é com você SUGESTÃO DE ATIVIDADE Resolva os seguintes sistemas a x y 2z 4 3x y 4z 6 x y z 1 b x 2y 3z 0 2x 4y 2z 2 3x 6y 4z 3 Dadas as matrizes escalonadas linha equivalente a matriz ampliada de um sistema discuta o sistema original e dê o conjuntosolução caso seja possível a 1 0 0 3 0 1 0 2 0 0 1 2 b 1 0 2 0 0 1 3 0 0 0 0 1 34 REGRA DE CRAMER Utilizamos a regra de Cramer para resolver um sistema linear em que o número de equações e o número de incógnitas são iguais INDICAÇÃO DE LEITURA Para complementar o seu estudo recomendo a leitura do livro BOLDRINI 1980 páginas 29 a 49 Aproveite para exercitar mais um pouco resolvendo alguns exercícios propostos nas páginas 11 a 13 Veja as referências 341 Definição de matriz inversa Dada uma matriz quadrada A de ordem n a matriz inversa de A é a matriz B tal que n AB BA I em que nI é a matriz identidade Dizemos neste caso que a matriz A é inversível e a denotamos 1 B A Exemplo Dada a matriz 2 1 2 3 A a matriz inversa A de A é uma matriz 1 x y A z w é tal que 1 n AA I Assim para encontrarmos a matriz inversa de A temos 1 2 1 1 0 2 3 0 1 x y AA z w Restanos fazer a operação para encontrarmos os valores de x y w e z 1 2 1 1 0 2 2 1 0 2 3 0 1 2 3 2 3 0 1 x y x z y w AA z w x z y w 1 2 1 1 0 2 2 1 0 2 3 0 1 2 3 2 3 0 1 x y x z y w AA z w x z y w Resolveremos o seguinte sistema 2 1 1 2 0 2 2 3 0 3 2 3 14 x z y w x z y w EaD LICENCIATURA EM EaD COMPUTAÇÃO UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA 97 Podemos resolver o sistema por escalonamento A matriz associada ao sistema é 1 1 2 2 3 3 1 1 1 2 2 2 2 0 1 0 1 1 0 1 2 0 1 2 1 0 1 2 0 1 2 1 0 1 2 0 1 2 0 2 0 1 0 0 2 0 1 0 0 1 0 1 2 0 0 1 0 1 2 0 2 0 3 0 0 2 0 3 0 0 2 0 3 0 0 0 0 2 0 1 0 2 0 3 1 0 2 0 3 1 0 2 0 3 1 0 2 0 3 1 L L L L L L L 3 3 4 4 4 4 2 1 1 2 2 2 1 0 1 2 0 1 2 1 0 1 2 0 1 2 1 0 1 2 0 1 2 0 1 0 1 2 0 0 1 0 1 2 0 0 1 0 1 2 0 0 0 2 0 1 0 0 1 0 1 2 0 0 1 0 1 2 0 0 0 2 1 0 0 0 2 1 0 0 0 1 1 2 L L L L L L L 1 1 3 2 2 4 1 1 2 2 1 0 0 0 3 4 1 0 0 0 3 4 0 1 0 1 2 0 0 1 0 0 1 4 0 0 1 0 1 2 0 0 1 0 1 2 0 0 0 1 1 2 0 0 0 1 1 2 L L L L L L Portanto a solução do sistema é S x 3 4 y 1 4 z 1 2 w 1 2 Portanto a matriz inversa 1 3 4 1 4 1 2 1 2 A SAIBA MAIS 1 A inversa de uma matriz quando existe é única 2 Se uma matriz tem uma linha nula não pode ser inversível Qualquer que seja a matriz X se A tem uma linha ou coluna nula AX também terá uma linha ou coluna nula logo AX In 3 Se A é inversível então A1 também é inversível e A1 1 A 4 Se A e B são matrizes quadradas de mesma ordem ambas inversíveis então AB também é inversível e vale AB B A 1 1 1 5 Se A é uma matriz inversível então At também é inversível e 1 t 1 t A A 6 Nem toda matriz possui inversa A matriz A 1 1 2 2 não tem inversa De fato Se A tivesse inversa existiria uma matriz B x y z w tal que 1 1 2 2 1 0 0 1 2 2 2 2 x y z w x z y w x z y w Portanto mostraremos que o sistema x z y w x z y w 1 0 2 2 1 2 2 0 não tem solução A matriz ampliada do sistema é 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 2 0 2 0 1 0 2 0 2 0 Escalonando 3 3 1 4 4 L L 2L L L 2L2 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 2 0 2 0 1 0 0 0 0 1 0 2 0 2 0 0 0 0 0 0 temos que o a c p p portanto o sistema não tem solução logo a matriz não é inversível EaD LICENCIATURA EM EaD COMPUTAÇÃO UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA 98 SAIBA MAIS Será que existe uma maneira mais prática de verificarmos que uma matriz admite inversa A resposta é sim Veja o seguinte resultado Teorema Uma matriz quadrada A admite uma inversa se e somente se det A 0 Nesse caso 1 1 A adjA det A Obs det A indica o determinante de A Assim no exemplo anterior poderíamos simplesmente encontrar o determinante da matriz 1 1 A 2 2 Veja que det A 1 2 2 1 0 portanto a matriz A não é inversível Através do resultado apresentado podemos encontrar a inversa de uma matriz através da matriz da matriz adjunta em que 1 1 A adjA det A Relembrando Dada uma matriz quadrada A a matriz adjunta de A é a transposta da matriz dos cofatores de A Para se lembrar dos cofatores você pode consultar o tópico do determinante no 1º capítulo Dada a matriz 2 1 2 3 A vamos encontrar os cofatores de A 1 1 11 1 2 12 2 1 21 2 2 22 1 3 3 1 2 2 1 1 1 1 2 2 Logo a matriz dos cofatores de A é 3 2 A 1 2 portanto a matriz adjunta é 3 1 adjA 2 2 Como o determinante de A é det A 3 2 2 1 4 1 3 1 3 4 1 4 1 A 2 2 1 2 1 2 4 Obtivemos assim o mesmo resultado anterior de uma forma mais simples Contudo se a matriz A é de uma ordem maior fica trabalhosa encontrarmos a matriz dos cofatores No próximo tópico veremos outra forma de obter a matriz inversa de uma matriz de qualquer ordem de forma mais prática Importante Se R é a forma escalonada reduzida por linhas de uma matriz quadrada Anxn então ou R tem alguma linha nula ou R é a identidade Uma matriz A é inversível a sua matriz linha reduzida à forma escada é a identidade 342 Matriz inversa por escalonamento Para obtermos a matriz inversa de uma matriz A efetuamos operações elementares sobre as linhas de A para reduzila à identidade e efetuamos essas mesmas operações sobre a identidade na mesma ordem para obter A1 Usamos o seguinte procedimento escrevemos a matriz identidade In ao lado da matriz A e efetuamos em In todas as operações elementares efetuadas em A para transformála em uma matriz identidade In A matriz que surgirá no lugar de In será A 1 1 n n A I I A Exemplo Vamos encontrar a inversa por esse método da mesma matriz dos exemplos anteriores 2 1 2 3 A EaD LICENCIATURA EM EaD COMPUTAÇÃO UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA 99 Encontrando a inversa 1 1 2 2 2 2 1 1 1 L L L L L L L 2 2 2 1 1 0 2 1 1 0 1 1 2 1 2 0 2 3 0 1 0 2 1 1 0 2 1 1 1 1 2 1 L L 2L 1 1 2 1 2 0 1 0 3 4 1 4 0 1 1 2 1 2 0 1 1 2 1 2 Temos assim que 1 3 4 1 4 A 1 2 1 2 VOCÊ SABIA Se no processo de escalonamento alguma linha nula aparecer então a matriz não é inversível 343 Resolução de sistema pela regra de Cramer Definição Um sistema de n equações e n incógnitas cuja matriz dos coeficientes é inversível é chamado de sistema de Cramer Seja 11 1 12 2 1n n 1 21 1 22 2 2n n 2 n1 1 n2 2 nn n n a x a x a x b a x a x a x b S a x a x a x b Considerando A matriz dos coeficientes A a matriz das incógnitas 1 2 n x x X x e a matriz dos termos independentes 1 2 n b b B b O sistema é escrito na forma AX B Como A é inversível temos que 1 1 1 1 n AX B A AX A B I X A B X A B Nesse caso o sistema é compatível e determinado e sua única solução é dada por 1 X A B Conclusão Um sistema de Cramer homogêneo só admite a solução trivial Exemplo Resolva o sistema x 2y 2z 6 3x 2y 2z 2 3x 5z 9 pela regra de Cramer Solução O sistema pode ser escrito na forma matricial 1 2 2 x 6 3 2 2 y 2 3 0 5 z 9 Sabemos que pela regra de Cramer 1 X A B em que X é a solução do sistema x X y z e B é a matriz dos termos independentes Dessa forma determinaremos a matriz inversa da matriz A por escalonamento EaD LICENCIATURA EM EaD COMPUTAÇÃO UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA 100 2 2 2 2 1 3 1 1 L L L L 3L 4 L3 L 3L 1 0 0 1 2 2 1 0 0 1 2 2 1 0 0 1 2 2 3 1 3 2 2 0 1 0 0 4 4 3 1 0 0 1 1 0 4 4 3 0 5 0 0 1 0 6 1 3 0 1 0 6 1 3 0 1 3 3 1 2 3 2 1 L L L L1 2L 5 L3 L 6L 1 0 0 1 2 1 2 0 1 0 0 1 2 1 2 0 0 1 1 3 4 1 4 0 0 1 1 3 4 1 4 0 0 0 5 3 2 3 2 1 0 0 1 310 310 15 2 2 3 L L L 1 0 0 1 2 1 2 0 0 1 0 9 20 1 20 15 0 0 1 310 310 15 SUGESTÃO DE ATIVIDADE 1 Dadas as matrizes 2 3 A 1 4 e 1 3 B 2 0 encontre a A1 b B1 c AB1 d B1 A1 e At1 f A1t 2 Verifique se as matrizes a seguir são inversíveis e em caso afirmativo determine a inversa usando escalonamento 1 1 0 1 1 2 2 2 1 1 1 1 0 1 A 0 1 2 B 5 2 3 C 3 1 2 0 1 3 4 0 2 1 1 2 0 1 3 Usando a Regra de Cramer resolva o sistema x 4y 3z 1 2x 5y 4z 4 x 3y 2z 5 Respostas 1 4 5 3 5 A 1 1 5 2 5 0 1 2 B 1 1 3 1 6 111 2 11 1 1 1 AB B A 311 7 33 t 1 4 5 1 5 t 1 A A 3 5 2 5 2 A não é inversível 8 3 1 B 1 5 2 1 10 4 1 3 2 1 2 0 1 1 0 0 1 C 1 7 4 3 4 1 2 1 1 2 1 2 0 0 3 3 2 2 Assim a matriz inversa corresponde a 1 1 2 1 2 0 A 9 20 1 20 15 310 310 15 Portanto a solução do sistema é 1 x 1 2 1 2 0 6 2 y A B 9 20 1 20 15 2 1 z 310 310 15 9 3 Importante Compare esse resultado com o resultado obtido no item anterior em que resolvemos o mesmo sistema sem ser pela regra de Cramer Qual dos dois métodos foi mais trabalhoso SAIBA MAIS Só podemos encontrar a matriz inversa de matrizes quadradas EaD LICENCIATURA EM EaD COMPUTAÇÃO UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA 101 Lembrese Em caso de dúvidas acesse o ambiente virtual de aprendizagem INDICAÇÃO DE LEITURA Você pode complementar os seus estudos fazendo uma leitura do livro BOLDRINI 1980 p 29 a 96 Agora você está quase chegando ao final Nesse capítulo você aprendeu a resolver sistemas de equações lineares de forma bastante diferenciada da que você fazia no ensino médio usando basicamente escalonamento de matrizes Importante que você tenha aprendido a escalonar matrizes muito bem pois continuará utilizando esse conceito ao longo do curso Portanto acesse o ambiente virtual se ainda possui dúvidas No próximo capítulo estudaremos as transformações lineares Vamos em frente Estamos quase chegando à reta final VOCÊ SABIA O software Maxima é um software de computação algébrica gratuito e que pode auxiliar bastante nos seus estudos Faça o download através do site SOFTWARE Máxima Disponível em httpsourceforgenetprojectshowfilesphpgroupid4933 Acesso em 20 mar 2011 MANUAL Máxima Disponível em httpmaximasourceforgenetdocsmanualptmaximahtml Acesso em 20 mar 2011 Ao acessar verifique que na opção álgebra você pode inserir matrizes obter determinante inverter matrizes e muitas outras opções Em equações é possível obter a solução de sistemas de equações Excelente para você conferir os seus cálculos CAPÍTULO Anotações EaD UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EaD UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA CAPÍTULO CONCEITOS BÁSICOS DA ÁLGEBRA LINEAR 4 Anotações EaD UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EaD UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA 105 LICENCIATURA EM EaD COMPUTAÇÃO Nesse capitulo finalizaremos os nossos estudos conhecendo as transformações lineares que são aplicações que associa vetores de um espaço vetorial a vetores de outro espaço vetorial Quando esses espaços possuem mesma dimensão temos um operador linear Você vai aprender a determinar a matriz de uma transformação linear autovalores e autovetores e a diagonalizar operadores lineares Mas vamos por partes faremos o possível para explicar tudo com detalhes e com bastantes exemplos elucidativos 41 TRANSFORMAÇÕES LINEARES Agora você ampliará os seus conhecimentos estudando as transformações lineares que são funções cujos domínios e contradomínio são espaços vetoriais diferentes do conjunto dos números reais Em seus estudos até agora você se habituou a trabalhar com as funções reais que associa um número real a outro número real dadas da seguinte forma f x y f x ℜ ℜ Uma transformação linear associa vetores de espaços vetoriais de qualquer dimensão como por exemplo 3 2 2 3 T x y z T x y z x y z ℜ ℜ Nesse caso essa aplicação associa vetores do 3 ℜ a vetores do 2 ℜ Vamos nos deter ao estudo das transformações lineares que associa vetores do n ℜ ao m ℜ No entanto uma transformação linear pode associar vetores de quaisquer espaços vetoriais Esse estudo é amplamente aplicado a várias áreas de conhecimento como aplicações na Física e nas Engenharias Vamos agora definir uma transformação linear 411 Definição Sejam V e W espaços vetoriais Uma aplicação T V W é chamada transformação linear de V em W se a T u v T u T v u v V b T u T u u V e α α α ℜ Observação Quando V W ou seja T V V esta transformação é chamada um operador linear SAIBA MAIS Observe que uma conseqüência dessa definição é que em toda transformação linear a imagem do vetor nulo 0 V é o vetor nulo 0 W ou seja 0 0 T pois devido ao item b 0 0 0 0 T T u T u Propriedades 1 Se T V W é uma transformação linear então 0 0 T De fato 0 0 0 0 0 0 0 T T T T T Portanto se temos 0 0 T então T não é uma transformação linear Vamos verificar se isso acontece com a transformação dada anteriormente 3 2 2 3 T x y z T x y z x y z ℜ ℜ Para 0 0 0 x y e z temos 000 2 03 0 0 00 T EaD LICENCIATURA EM EaD COMPUTAÇÃO UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA 106 2 Se T V W é uma transformação linear então T u T u De fato 1 1 T u T u T u T u 2 3 T x y z T x y z T x y z x y z Observe que na segunda igualdade usamos o item b da definição 3 Se T V W é uma transformação linear então T u v T u T v De fato 1 1 T u v T u v T u T v T u T v 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 T x y z x y z T x y z x y z T x y z T x y z T x y z T x y z Você deve estar achando complicado mas vamos esclarecer essa definição através de alguns exemplos A Transformação Identidade I V V v I v v Devemos verificar as duas condições da definição a I u v u v I u I v u v V b I u u T u u V e α α α α ℜ Logo a transformação identidade é uma transformação linear A Transformação Nula 0 T V W u T u a 0 0 T u v T u T v u v V b 0 0 T u T u u V e α α α α ℜ É muito importante como passo inicial sabermos identificar uma transformação linear pois algumas propriedades e resultados só são válidos se a aplicação é uma transformação linear Sendo assim devemos seguir alguns passos Inicialmente devemos verificar se 0 0 T pois caso isso não aconteça podemos dizer que a aplicação não é uma transformação linear Caso contrário devemos testar o segundo passo verificar a condição T u v T u T v u v V E se essa condição for atendida verificase o último passo a condição T u T u u V e α α α ℜ Atendendo essas três condições concluímos que a aplicação é uma transformação linear Vamos desenvolver uma atividade Atividade complementar 1 Verifique quais das seguintes aplicações são transformações lineares a 3 2 T ℜ ℜ definida por 2 3 T x y y x y z 1º passo verificar se 0 0 T 000 2 03 0 0 00 T 2º passo verificar a condição T u v T u T v u v V Sejam 1 1 1 u x y z e 2 2 2 v x y z logo 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 T u T x y z x y z T v T x y z x y z 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 2 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 3 2 3 T u v T x y z x y z T x x y y z z x x y y z z x x y y z z x x y z y z x y z x y z T u T v EaD LICENCIATURA EM EaD COMPUTAÇÃO UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA 107 3º passo verificar a condição T u T u u V e α α α ℜ Seja 1 1 1 u x y z e α ℜ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 2 3 T u T x y z T x y z x y z x y z T u α α α α α α α α α α 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 2 3 T u T x y z T x y z x y z x y z T u α α α α α α α α α α Logo T é uma transformação linear b 2 T ℜ ℜ definida por T x y x y 1º passo verificar se 0 0 T 00 0 0 0 T 2º passo verificar a condição T u v T u T v u v V Sejam 1 1 u x y e 2 2 v x y logo 1 1 1 1 2 2 2 2 T u T x y x y T v T x y x y 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 1 T u v T x y x y T x x y y x x y y x y x y x y x y T u T v x y x y T u T v Logo T não é uma transformação linear Observe que não é necessário completar o 3º passo c T ℜ ℜ definida por T x sen x 1º passo verificar se 0 0 T 0 0 0 T sen 2º passo verificar a condição T u v T u T v u v V Sejam u x e 2 2 v x y ℜ logo T u T x sen x T v T y sen y T x y sen x y sen x sen y T u T v Logo T não é uma transformação linear Agora é com você Sucesso SUGESTÃO DE ATIVIDADE Verifique se as transformações a seguir são lineares a 3 2 5 T x y x y x y b T x y xy x y c T x y sen x y Respostas a sim b não c não Veremos alguns resultados interessantes Teorema Sejam V e W espaços vetoriais sobre ℜ Se 1 2 n v v v β é base de V e 1 2 n W W W são elementos arbitrário de W contradomínio V domínio então existe uma única aplicação linear T V W tal que 1 1 2 2 n n T v w T v w T v w e 1 1 1 1 n n n n T a v a v a T v a T v Esclarecendo Se conhecermos a base de V 1 2 n v v v e as imagens 1 n T v T v obteremos a imagem T v de qualquer vetor v V pois 1 1 2 2 n n v a v a v a v e 1 1 2 2 n n T v a T v a T v a T v INDICAÇÃO DE LEITURA É importante você verificar a prova desse resultado Para tanto consulte a seguinte referência bibliográfica HOFFMAN Kenneth Álgebra Linear 2 ed Rio de Janeiro Livros Técnicos e Científicos 1979 p87 EaD LICENCIATURA EM EaD COMPUTAÇÃO UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA 108 Nada melhor do que um exemplo para entender melhor Exemplos 1 Determine a transformação linear para cada uma das aplicações a seguir a 2 3 T ℜ ℜ tal que 12 3 15 01 21 4 T T Solução Observe que 1201 é base do 2 ℜ pois os vetores são linearmente dependentes logo 12 01 x y a b e portanto 2 2 x a y a b b y x Assim usando o resultado do teorema temos 12 01 T x y aT bT 12 2 01 T x y xT y x T 3 15 2 21 4 T x y x y x 3 5 2 4 2 4 8 T x y x x x y x y x y x 3 2 4 2 5 4 8 T x y x y x x y x x y x 2 3 13 4 T x y x y x y x y b 3 2 T ℜ ℜ tal que 100 20 010 11 001 0 1 T T T Solução Observe que 100 010 001 é base canônica do 3 ℜ 100 010 001 x y z a b c por tanto a x b y c z Assim 100 010 001 T x y z xT yT zT 20 11 0 1 T x y z x y z 2 0 0 T x y z x y y z 2 T x y z x y y z c 3 2 T ℜ ℜ tal que 321 11 010 0 2 001 00 S S S Solução Verifiquemos que 321 010 001 é base do 3 ℜ escalonando a matriz 1 1 1 3 3 2 1 1 23 13 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 L L Como não zerou linhas os vetores são LI e portanto o conjunto acima é uma base Dessa forma 321 010 001 x y z a b c Resolvendo o sistema por escalonamento temos 3 3 1 3 2 2 1 3 3 1 1 2 3 3 3 0 0 1 0 1 1 0 1 2 1 0 2 1 0 0 1 2 2 1 0 1 3 0 1 0 0 3 3 L L L L L L L L L L x z z y y z y z x z x 3 3 1 3 2 2 1 3 3 1 1 2 3 3 3 0 0 1 0 1 1 0 1 2 1 0 2 1 0 0 1 2 2 1 0 1 3 0 1 0 0 3 3 L L L L L L L L L L x z z y y z y z x z x 1 1 3 2 2 3 2 3 1 0 1 1 0 1 2 0 1 2 2 0 1 2 3 0 0 1 1 0 0 1 1 3 3 L L L L L L x z z y y x z x z x 3 23 3 a x b y x c z x 321 010 001 S x y z a S b S c S 2 4 11 0 2 00 0 2 00 3 3 3 3 3 3 x x x x S x y z y x z y x 2 4 11 0 2 00 0 2 00 3 3 3 3 3 3 x x x x S x y z y x z y x EaD LICENCIATURA EM EaD COMPUTAÇÃO UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA 109 Núcleo de uma transformação linear Definição chamase núcleo de uma transformação linear T V W ao conjunto de todos os vetores v V cuja imagem é o vetor nulo de W Notação N t ou ker T Importante Observe que o núcleo pertence ao domínio V e além disso o núcleo não é vazio pois Ou seja o elemento neutro de V pertence ao núcleo pois sua imagem é o elemento neutro de W Simbolicamente N T V e N T Propriedades 1 O núcleo de uma transformação linear é um subespaço vetorial de V SAIBA MAIS Vamos relembrar o conceito de uma função injetora Relação Injetora Dados os conjuntos A e B a relação injetora R A B relaciona cada elemento do conjunto B com no máximo um elemento do conjunto A Simbolicamente 1 2 1 2 1 2 b B a A a A a Rb a Rb a a O diagrama de Venn abaixo mostra uma situação que não pode acontecer na relação injetora Dois elementos possuírem a mesma imagem Figura 81 Função Injetora Fonte Própria 4 5 5 6 2 2 3 3 3 3 3 3 3 x x x x x y y x x y A transformação linear solicitada é 5 6 3 3 x x y S x y z Agora é com você SUGESTÃO DE ATIVIDADE Determine a transformação linear para as aplicações a seguir a 3 3 T ℜ ℜ tal que 121 123 010 215 041 032 T T T b 2 3 T ℜ ℜ tal que 11 321 0 2 010 T T Resposta a 5 2 8 11 5 18 T x y z x y z x y z x y z b 3 5 2 T x y x x y x 412 Teorema do Núcleo e da Imagem Veremos alguns teoremas importantes Um deles relaciona o núcleo e a imagem de uma transformação linear O primeiro passo é saber como determinar o núcleo de uma transformação linear Figura 80 Núcleo de uma Transformação Linear Fonte Própria 0 N T v V T v EaD LICENCIATURA EM EaD COMPUTAÇÃO UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA 110 De fato pois a 0 N T b u v N T u v N T c e u N T u N T α α ℜ 2 Uma transformação linear T V W é injetora se e somente se N T 0 Ou seja se existir algum elemento diferente de zero no núcleo a transformação linear T não é injetora Imagem de uma transformação Linear Definição chamase imagem de uma transformação linear T V W ao conjunto dos vetores w W que são imagens de pelo menos um vetor v V Notação Im T ou T V Importante Observe que a imagem de T está contida em W e a imagem de T é diferente do conjunto vazio pois 0 0 Im T T Simbolicamente Im T W e Im T Propriedades da Imagem 1 A imagem de uma transformação linear T V W é um subespaço de W De fato pois a 0 Im T b Im Im u v T u v T c Im Im u T u T α α ℜ 2 Se Im T W então T é sobrejetora isto é para todo w W existe pelo menos um v V tal que T v w 3 Exemplos Transformação Identidade 3 3 3 I v I v v v ℜ ℜ ℜ Nesse caso temos 3 Im I ℜ dim Im 3 I N T 0 dim N T 0 Observe que 3 dim dimIm dim V I N I ℜ Posteriormente veremos que esse resultado não foi obtido por acaso Figura 82 Imagem de uma transformação Linear Fonte Própria Figura 83 Transformação Linear Sobrejetora Fonte Própria Im para algum T w W T v w v V EaD LICENCIATURA EM EaD COMPUTAÇÃO UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA 111 SAIBA MAIS Relembrando o conceito de função sobrejetora Relação Sobrejetora Dados os conjuntos A e B numa relação sobrejetora R A B o conjunto imagem é o conjunto B Neste caso não podem sobrar elementos no contradomínio Simbolicamente b B a A aRb O diagrama abaixo mostra um contraexemplo Ou seja quando uma função é sobrejetora não podem sobrar elementos no contradomínio Transformação Nula 3 3 3 0 T v T v v ℜ ℜ ℜ Im I 0 dim Im 0 I 3 N T ℜ dim 3 N T Verificase também que 3 dim dim dimIm V N T T ℜ Teorema do Núcleo e da Imagem Seja V um espaço vetorial de dimensão finita e T V W uma transformação linear Então a dimensão de V é igual a dimensão do núcleo de T mais a dimensão da imagem de T ou seja dim dim dimIm V N T T Corolário Seja T V W uma transformação linear 1 Se dim dim V W então T é injetora se e somente se T é sobrejetora 2 Se dim dim V W e T é injetora então T transforma base e base isto é 1 2 n v v v β então 1 2 n T T v T v T v β é base de W INDICAÇÃO DE LEITURA Aproveite para consultar o livro STEINBRUCH Alfredo WINTERLE Paulo Álgebra Linear 2 ed São Paulo Pearson Education do Brasil 1987 p168 a 180 Você terá oportunidade de consultar vários exercícios resolvidos Nada melhor do que alguns exemplos para você absorver melhor o conteúdo Vamos lá Exemplos 1 Sendo 3 3 T ℜ ℜ definida por 2 3 T x y z x y x y z x z determine uma base para a N T núcleo de T Figura 84 Função Sobrejetora Fonte Própria Figura 85 Transformação Injetora e Sobrejetora Fonte Própria EaD LICENCIATURA EM EaD COMPUTAÇÃO UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA 112 O núcleo é dado por 3 000 N T x y z T x y z ℜ logo 2 3 000 x y x y z x z Resolvendo o sistema 0 2 0 3 0 x y x y z x z por escalonamento temos 3 3 2 2 2 2 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 2 1 1 0 0 3 1 0 0 3 1 0 3 0 1 0 0 3 1 0 0 0 0 0 L L L L L L 2 2 2 2 1 1 3 3 1 1 0 0 1 0 13 0 0 1 13 0 0 1 13 0 0 0 0 0 0 0 0 0 L L L L Portanto 0 3 3 z z x x 0 3 3 z z y y A solução do sistema é dada por 1 1 1 3 3 3 3 z z z z Assim podemos tomar a base do núcleo como 113 N T em que dim 1 N T b Imagem de T Im T Lembrese que 3 Im T a b c T x y z a b c x y z ℜ ℜ 3 Im T a b c T x y z a b c x y z ℜ ℜ Encontremos a base da imagem de T 2 3 123 1 10 011 x y x y z x z x y z 2 2 3 3 2 2 2 1 1 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 L L L L L L L L 2 2 3 3 2 2 2 1 1 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 L L L L L L L L Assim Im 123 011 base T dim T 2 2 Determinar uma transformação linear para cada uma das seguintes indicações a 3 3 T ℜ ℜ cuja imagem é gerada por 123 456 Temos que 100 010 001 é base do 3 ℜ Para determinar a transformação linear podemos fazer a seguinte associação 100 123 010 456 001 000 T T T Observe que a dimensão do núcleo dim 1 N T e por conta do teorema do núcleo e da imagem dimIm T 2 pois dim 3 dim dimIm N T T ℜ Pelo corolário do teorema do núcleo temos 100 010 001 x a x y z a b c y b z c 100 010 001 T x y z xT yT zT 123 456 000 x y z 2 3 4 5 6 000 x x x y y y 4 2 5 3 6 x y x y x y b 3 2 T ℜ ℜ tal que dim N T 100 020 e Im T 24 Considere 100 020 001 β base do 3 ℜ Nesse caso como a dimensão do núcleo é dois faremos a seguinte associação para atender ao teorema do núcleo e da imagem ou seja dim 3 dim dimIm N T T ℜ 100 00 010 00 001 24 T T T 100 020 001 2 2 x a x a x y z a b c y b b y z c c z EaD LICENCIATURA EM EaD COMPUTAÇÃO UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA 113 100 020 001 2 2 x a x a x y z a b c y b b y z c c z 100 020 001 00 00 24 2 4 2 2 y y T x y z xT T zT x z z z 100 020 001 00 00 24 2 4 2 2 y y T x y z xT T zT x z z z c 3 3 T ℜ ℜ tal que Im T 112 210 Já nesse caso verifique que a imagem possui dimensão 2 e portando apenas um vetor da base do 3 ℜ deve estar no núcleo Portanto utilizaremos a seguinte associação 100 112 010 210 001 000 T T T x a y b z c 100 010 001 112 210 000 2 2 2 y T x y z xT T zT x y z x y x y x 100 010 001 112 210 000 2 2 2 y T x y z xT T zT x y z x y x y x Logo a transformação linear é 2 2 T x y z x y x y x 3 Verifique se a transformação 2 3 T ℜ ℜ tal que 2 2 T x y x y y x x y é injetora 2 3 T ℜ ℜ tal que 2 2 T x y x y y x x y Lembrese que T é injetora T é injetora 0 N T Calculando o núcleo 2 000 N T x y T x y ℜ 2 2 000 x y y x x y 0 0 2 2 0 2 2 x y x y y x x y x y x y x y 11 S x x x 11 00 N T logo T não é injetora 4 Seja 2 2 T ℜ ℜ operador linear dado por 2 8 4 T x y x y x y Quais dos seguintes vetores estão em Im T a 1 4 2 Im T a b T x y a b ℜ 2 1 2 8 4 1 4 8 4 4 2 1 x y x y x y x y x y 2 1 2 8 4 1 4 8 4 4 2 1 x y x y x y x y x y 1 1 2 2 1 1 2 2 2 11 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 2 11 2 1 1 0 0 0 L L L L L A solução é 2 1 S x x e portanto 1 4 Im T Observe que o sistema possui infinitas soluções SUGESTÃO DE ATIVIDADE Verifique se as seguintes transformações são injetoras a 2 3 T ℜ ℜ tal que 2 2 T x y x y y x x y b 3 2 T ℜ ℜ tal que T x y z x y z x y z Respostas a N T 11 T não é injetora b N T 01 1 413 Isomorfismos Lineares Definição Chamase isomorfismo do espaço vetorial V no espaço vetorial W a uma transformação linear bijetora Caso isso aconteça dizemos que os espaços vetoriais V e W são isomorfos VOCÊ SABIA Uma relação bijetora é uma relação que é injetora e sobrejetora ao mesmo tempo EaD LICENCIATURA EM EaD COMPUTAÇÃO UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA 114 SAIBA MAIS Todo espaço vetorial de dimensão n é isomorfo ao n ℜ Portanto dois espaços vetoriais com mesma dimensão finita são isomorfos Exemplo O o p e r a d o r l i n e a r 2 2 2 T T x y x y x y ℜ ℜ 2 2 2 T T x y x y x y ℜ ℜ é um isomorfismo no 2 ℜ Como dim dim 2 V W os espaços vetoriais V e W são isomorfos portanto basta mostrarmos que T é injetora 2 00 N T x y T x y ℜ 2 0 2 0 2 0 0 2 00 0 0 x y x y y y y x y x y x y x y x y x 2 0 2 0 2 0 0 2 00 0 0 x y x y y y y x y x y x y x y x y x 00 N T logo T é injetora Como T é um operador linear o fato de T ser injetora implica que T é sobrejetora Ou seja T é bijetora e portanto é um isomorfismo INDICAÇÃO DE LEITURA Aproveite para apreciar mais alguns exercícios resolvidos Consulte STEINBRUCH Alfredo WINTERLE Paulo Álgebra Linear 2 ed São Paulo Pearson Education do Brasil 1987 p 181 414 Matriz associada a uma Transformação Linear Podemos representar uma transformação linear em forma de matrizes Veja o exemplo Dada uma matriz qualquer 2 3 3 2 1 0 1 4 A podemos construir uma transformação linear 3 2 TA ℜ ℜ da seguinte forma 3 2 1 3 2 0 1 4 4 A x x x y z T x y z A y y y z z z 3 2 4 TA x y z x y z y z Vamos formalizar esse conceito Sejam T V W uma transformação linear 1 2 n v v v α uma base de V e 1 2 n w w w β uma base de W Vamos considerar dim V 2 e dim W 3 Se v V então 1 1 2 2 v x w x w ou 1 2 v α x x Similarmente a imagem de v pode ser escrita como 1 1 2 2 3 3 T v y w y w y w ou 1 2 3 T v y y y β Por outro lado como T é uma transformação linear t e m o s 1 1 2 2 1 1 2 2 T v T x v x v x T v x T v 1 2 T v T v W logo podem ser escritos como combinação linear dos vetores da base 1 2 n w w w β ou seja 1 11 1 21 2 31 3 2 12 1 22 2 32 3 T v a w a w a w T v a w a w a w β β Substituindo esses resultados em 1 1 2 2 T v x T v x T v temos 1 11 1 21 2 31 3 2 12 1 22 2 32 3 T v x a w a w a w x a w a w a w 11 1 1 21 2 1 31 3 1 12 1 2 22 2 2 32 3 2 a w x a w x a w x a w x a w x a w x 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 31 1 32 2 3 a x a x w a x a x w a x a x w Portanto obtivemos os resultados a seguir 1 1 2 2 3 3 T v y w y w y w 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 31 1 32 2 3 T v a x a x w a x a x w a x a x w EaD LICENCIATURA EM EaD COMPUTAÇÃO UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA 115 Comparando os resultados encontrados temos 1 11 1 12 2 2 21 1 22 2 3 31 1 32 2 y a x a x y a x a x y a x a x que pode ser escrito como 1 2 1 11 12 1 2 21 22 2 3 31 32 v T v T v T v T y a a x y a a x y a a α β β β α β T v T v α β β α T α β é a matriz de T em relação as bases α e β A matriz T α β é de ordem dim dim 3 2 V W SAIBA MAIS Uma matriz linear pode ter infinitas matrizes para representála Mas se fixarmos as bases a matriz é única Vamos a alguns exemplos Exemplos 1 Considere a transformação linear 3 3 T ℜ ℜ definida por 2 2 T x y z x y z x y e as bases 100 2 10 011 α do 3 ℜ e 11 01 β do 2 ℜ Determine a matriz T α β T α β é a matriz de T em relação as base α e β e sua dimensão é dim dim 2 3 W V 13 11 12 23 12 22 a a a T a a a α β T v1 β T v2 β T v3 β 1 2 3 100 2 10 011 v v v α 1 2 11 01 W W β Vamos encontrar 1 T v β 1 11 12 100 21 11 01 T v T a a β 1 1 11 12 12 11 2 2 1 1 1 2 3 a a a a a a 1 23 T v β Agora para 2 T v β 1 12 22 2 10 4 12 2 30 11 01 T v T a a β 1 12 22 2 10 4 12 2 30 11 01 T v T a a β 12 12 12 22 22 12 3 3 0 1 3 a a a a a a 1 33 T v β Similarmente para 3 T v β 3 13 23 011 1 10 2 1 02 11 01 T v T a a β 3 13 23 011 1 10 2 1 02 11 01 T v T a a β 13 13 13 23 23 13 0 0 2 2 2 a a a a a a 1 02 T v β Portanto a matriz mudança de base 13 11 12 23 12 22 a a a T a a a α β é dada por 2 3 0 3 3 2 T α β Obtendo a matriz mudança de base podemos definir a transformação linear em relação à base β 2 3 0 2 3 3 3 2 3 3 2 x x y T v T v y x y z z α β β α EaD LICENCIATURA EM EaD COMPUTAÇÃO UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA 116 2 3 3 3 2 T x y z x y x y z β 2 Sabendo que a matriz de uma transformação linear 3 3 T ℜ ℜ nas bases 11 10 α do 2 ℜ e 11 1 210 301 β do 3 ℜ é 3 1 2 5 1 1 T α β encontre a expressão de T x y e a matriz T Solução 3 1 2 5 1 1 T α β T v1 β T v2 β 1 2 11 10 v v α 1 2 3 11 1 210 301 w w w β 11 311 1 2210 1301 33 3 420 301 105 2 T 11 311 1 2210 1301 33 3 420 301 105 2 T 10 111 1 5210 1301 86 2 T 11 105 2 10 86 2 T T 11 10 x a b b x y x y a b y a 11 10 x y y x y 11 10 T x y yT x y T 105 2 86 2 T x y y x y 8 18 6 11 2 4 T x y x y x y x y Seja 1 2 2 0 1 3 T a matriz canônica linear 2 3 T ℜ ℜ Se T v 24 2 determine v Solução 1 2 2 2 0 2 1 3 3 x y x T v x y x y 2 2 3 24 2 T x y x y x x y 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 4 2 3 2 0 3 2 3 2 x y x y x y x x x x x y y x y x y Portanto v 20 Agora é com você SUGESTÃO DE ATIVIDADE 1 Considere a transformação linear 2 3 T ℜ ℜ definida por 2 3 2 T x y x y x y y bases 11 21 α e 001 01 1 110 β Determine T α β Qual é a matriz T α β em que γ é a base canônica do 3 ℜ 2 Seja 3 3 T ℜ ℜ o operador linear dado pela matriz 1 2 1 2 0 1 1 2 2 T a calcule N T e dim N T b calcule Im T e dimIm T Respostas 1 3 0 5 2 3 3 e 3 3 2 5 2 2 2 a 2 3 4 dim 1 N T z z z z N T ℜ b 3 Im 0 dim Im 2 T x y z x y z T ℜ INDICAÇÃO DE LEITURA Veja mais alguns exemplos Consulte STEINBRUCH Alfredo WINTERLE Paulo Álgebra Linear 2 ed São Paulo Pearson Education do Brasil 1987 p 181 a 194 EaD LICENCIATURA EM EaD COMPUTAÇÃO UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA 117 42 AUTOVALORES E AUTOVETORES Agora queremos um operador linear que associa um vetor v a ele multiplicado por um escalar Nesse caso termos um vetor de mesma direção que sob a ação do operador pode contrair expandir etc 421 Definição Autovetor Seja T V V um operador linear Um vetor 0 v V v é um autovetor do operador T se existir λ ℜ tal que T v λv Autovalor O número real λ tal que T v λv é denominado autovalor de T associado ao vetor v SAIBA MAIS Se v V v 0 é autovetor T v λv Portanto v e T v tem mesma direção Dependendo de λ o vetor v dilata contrai inverte o sentido ou se anula quando 0 λ Na simetria em relação à origem 3 3 T v T v v ℜ ℜ todo v 0 é autovetor associado ao autovalor 1 λ Veremos como podemos determinar os autovetores e autovalores para tanto é preciso encontrar o polinômio característico 422 Polinômio Característico Seja o operador linear 3 3 T ℜ ℜ cuja matriz canônica é 11 12 13 21 22 23 31 32 33 a a a T a a a a a a em que A T Seja 0 v v V autovetor 0 0 T v v Av v Av v A I v λ λ λ λ Como v 0 para que o sistema homogêneo 0 A λI v admita solução não nulas det 0 A λI 11 12 13 21 22 23 31 32 33 0 0 det 0 0 0 0 0 a a a a a a a a a λ λ λ ou 11 12 13 21 22 23 31 32 33 0 0 0 0 0 0 0 a a a a a a a a a λ λ λ det 0 A λI v é chamado polinômio característico em que λ são raízes desse polinômio λ autovalores Substituindo λ em 0 A λI v encontramos os autovetores associados a λ Um exemplo deixará tudo mais claro 423 Determinação dos Autovalores e Autovetores Determine os autovalores e os autovetores da transformação linear 3 3 T ℜ ℜ 2 2 3 T x y z x y z y z y z Figura 86 Autovetores Fonte Própria EaD LICENCIATURA EM EaD COMPUTAÇÃO UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA 118 Procedimentos 1º passo Determinar a matriz A T 100 122 113 T x y z x y z 1 1 1 0 2 1 0 2 3 A 2º passo Determinar os autovalores det 0 A λI v 1 1 1 0 0 1 1 1 0 2 1 0 0 0 2 1 0 2 3 0 0 0 2 3 A I λ λ λ λ λ λ λ det 0 A λI v 1 1 1 1 1 0 2 1 0 2 1 2 3 21 0 0 2 3 0 2 λ λ λ λ λ λ λ λ λ 1 1 1 1 1 0 2 1 0 2 1 2 3 21 0 0 2 3 0 2 λ λ λ λ λ λ λ λ λ Fazendo as contas encontramos o polinômio característico 1 2 3 21 0 λ λ λ λ 2 2 2 3 21 0 λ λ λ λ λ 2 2 2 3 6 3 6 3 2 2 2 2 0 λ λ λ λ λ λ λ λ 3 6 2 9 4 0 λ λ λ Agora que já obtivemos o polinômio característico basta resolvêlo por fatoração para encontramos os autovalores Inicialmente vamos encontrar por tentativa uma das raízes Verifique que 1 é uma raiz do polinômio 3 6 2 9 4 0 λ λ λ p o i s 1 6 9 4 0 Assim assumindo que 1 1 λ e fazendo a divisão por BiotRuffinni temos 1 6 9 4 1 1 5 4 0 2 1 5 4 0 λ λ λ Basta encontrarmos as raízes do polinômio 2 5 4 0 λ λ por báskara 25 4 1 4 9 1 2 3 1 5 25 1 2 2 4 b a λ λ λ Portanto o polinômio característico fica igual a 1 1 4 0 λ λ λ SUGESTÃO DE FILME Recomendo o seguinte site Vídeo aula BELTRÃO Alexandre Polinômios Disponível em httpwww youtubecomwatchvGAPmFbqaBWE Acesso em 24 ago 2011 3º passo Determinar os autovetores a autovetores associados ao autovalor 1 2 1 λ λ 0 A λI v 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 2 1 0 0 1 1 0 0 0 2 3 0 0 2 2 0 2 2 0 x x y z y y y z z y z z y z λ λ λ 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 2 1 0 0 1 1 0 0 0 2 3 0 0 2 2 0 2 2 0 x x y z y y y z z y z z y z λ λ λ Portanto os autovetores associados aos autovalores 1 2 1 λ λ são vetores com a forma v x y y Como por exemplo 12 2 21 1 23 3 b autovetores associados ao autovalor 3 λ 4 1 1 1 0 3 1 1 0 0 2 1 0 0 2 1 0 0 2 3 0 0 2 1 0 x x y y z z λ λ λ EaD LICENCIATURA EM EaD COMPUTAÇÃO UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA 119 Resolvendo o sistema temos 3 0 3 0 2 0 2 2 2 0 2 2 x y z x y z x y y z z y z y y z z y z y Portanto os autovetores associados aos autovalores 3 λ 4 são vetores com a forma 2 v y y y Como por exemplo 224 112 336 Outro exemplo Os vetores 1 v 11 e 2 v 2 1 são autovetores de um operador linear 2 2 T ℜ ℜ associados a 1 λ 5 e 2 1 λ respectivamente Determinar a imagem do vetor v 41 por esse operador Solução 1 1 1 T v λ v 11 511 T 2 2 2 T v λ v 2 1 12 1 21 T Portanto 11 2 1 é base do 2 ℜ Assim 3 2 2 3 11 2 1 3 2 3 3 x y b x y b x a b x y b b x y a b x y a b a y b y x a y a 3 2 2 3 11 2 1 3 2 3 3 x y b x y b x a b x y b b x y a b x y a b a y b y x a y a Logo a transformação linear é dada por 2 55 21 3 3 y x x y T x y 10 5 10 5 2 2 10 5 2 2 10 5 3 3 3 3 3 3 y x y xy x y x y y x x y y y x y T x y 10 5 10 5 2 2 10 5 2 2 10 5 3 3 3 3 3 3 y x y xy x y x y y x x y y y x y T x y 12 3 9 6 4 3 2 3 3 y x y x y x y x 41 4 1 4 3 1 2 4 811 T Agora é com você Sucesso SUGESTÃO DE ATIVIDADE Determine os autovalores e os autovetores dos seguintes operadores lineares a 2 2 2 4 T T x y x y x y ℜ ℜ b 2 2 2 2 3 T T x y x y x y ℜ ℜ c 2 2 T T x y y x ℜ ℜ Respostas a 3 2 2 1 1 2 2 v y x v y y λ λ b 1 2 4 1 1 2 2 v y y v y y λ λ c Não existem 43 DIAGONALIZAÇÃO DE OPERADORES LINEARES Agora você está preparado para aprender a diagonalizar matrizes associadas a operadores lineares Para tanto devemos encontrar uma base do espaço vetorial de forma que a matriz associada a esse operador seja o mais simples possível como uma matriz diagonal triangular etc Trabalhar com uma matriz diagonalizada facilita muito mais os cálculos e quando trabalhamos com muitas variáveis otimizamos dessa forma o tempo de processamento computacional Daí a grande importância de você aprender a diagonalizar matrizes num curso de Ciências da Computação 431 Base de Autovetores Inicialmente analisaremos as condições para encontrar a matriz T α α diagonal em que T é um operador linear T V V e α a base de V Para tanto veremos alguns resultados importantes Teorema Autovetores associados à autovalores distintos são linearmente independentes E como conseqüência desse resultado temos EaD LICENCIATURA EM EaD COMPUTAÇÃO UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA 120 Corolário Seja V é um espaço vetorial de dimensão n e T V V um operador linear Se T possui n autovetores distintos então os autovetores de V formam uma base do espaço vetorial V INDICAÇÃO DE LEITURA Veja a demonstração desse resultado consultando STEINBRUCH Alfredo WINTERLE Paulo Álgebra Linear 2 ed São Paulo Pearson Education do Brasil 1987 p 289 Veja alguns exemplos Exemplo O s v e t o r e s 1 v 11 e 2 v 2 1 s ã o autovetores de um operador linear 2 2 T ℜ ℜ 4 3 2 T x y y x y x associados aos autovalores 1 λ 5 e 2 1 λ respectivamente Como os autovalores são distintos pelo corolário α 112 1 é uma base do espaço vetorial 2 ℜ Encontremos agora a matriz 3 2 A 1 2 Como 1 1 1 2 0 11 511 02 1 T v v v T λ e 2 2 2 2 1 011 12 1 T v v T λ a matriz 5 0 0 1 T α α Observe que essa matriz é diagonal Veremos outro exemplo No exemplo também visto anteriormente verificamos que a transformação linear 3 3 T ℜ ℜ 2 2 3 T x y z x y z y z y z possui os autovalores 1 2 1 λ λ cujo autovetores associados tem a forma v x y y e 3 λ 4 com autovetores da forma 2 v y y y Nesse caso apesar dos autovalores não serem distintos podemos encontrar a matriz T α α diagonalizada da seguinte forma Associado aos autovalores 1 2 1 λ λ seus autovetores associados são da forma v x y y Para compor a base tomemos dois vetores LI linearmente independentes dessa forma 1 v 01 1 e 2 v 11 1 Para o autovalor 3 λ 4 temos os autovetores da forma 3 2 v y y y Tomemos 3 v 112 De fato os vetores 1 v 01 1 2 v 11 1 e 3 v 112 são de fato LI 3 3 3 3 1 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 2 0 0 3 0 0 1 L L L L L Por tanto formam uma base para o 3 ℜ 01 1 11 1 112 α Como conseguimos uma base Li mesmo que os autovetores não sejam distintos podemos garantir que 1 2 3 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 4 T α α λ λ λ VOCÊ SABIA Os autovetores não precisam ser necessariamente distintos e portanto aparecerão na diagonal o número de vezes igual à quantidade de vetores LI associados a ele Esse fato é garantido pelo seguinte resultado EaD LICENCIATURA EM EaD COMPUTAÇÃO UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA 121 Definição Seja T V V um operador linear Dizemos que T é um operador diagonalizável se existe uma base de V cujos elementos são autovetores de T Claro que nem sempre conseguimos essa base formada por autovetores sendo assim não conseguimos encontrar a matriz diagonalizável INDICAÇÃO DE LEITURA Veja um contraexemplo na indicação abaixo BOLDRINI José Luiz et al Álgebra Linear 2 ed São Paulo Editora Harper Row do Brasil Ltda 1980 p220 432 Polinômio minimal Vimos anteriormente que se conseguirmos uma base de autovetores associados a um operador linear a matriz desse operador é diagonalizável ou seja essa matriz pode ser representada por uma matriz diagonal cuja diagonal é composta pelos autovalores No entanto encontrarmos os autovetores de um operador linear é um cálculo complicado Veremos portanto uma forma de verificar se uma matriz é diagonalizável ou não de forma mais simples Para tanto vamos definir o polinômio minimal Definição Seja A uma matriz quadrada de ordem n O polinômio minimal de A é um polinômio 1 1 0 k k k p x x a x a tal que a p A 0 b p x é o polinômio de menor grau entre aqueles que anulam A Vale ressaltar que o coeficiente do termo kx do polinômio minimal é igual a 1 Veremos um resultado importante que nos ajudará a identificar o polinômio minimal Teorema Seja o operador linear T V V e α uma base qualquer de V cuja dimensão é n Então T é diagonalizável se e somente se o polinômio minimal de T α α é da forma 1 2 r p x x x x λ λ λ em que 1 2 r λ λ λ são todos distintos Agora basta encontrarmos o polinômio minimal para saber se o operador é diagonalizável ou não Para tanto é necessário mais alguns resultados Teorema de CayleyHamilton Sejam T V V um operador linear α uma base de V e p x o polinômio característico de T Então 0 p T α α Teorema As raízes do polinômio minimal são as mesmas raízes distintas do polinômio característico Teorema Sejam 1 2 r λ λ λ os autovalores de distintos de um operador linear T Então t é diagonalízável se e somente se o polinômio 1 2 r x x x λ λ λ anular a matriz de T INDICAÇÃO DE LEITURA Verifique com mais detalhes esses teoremas e exemplos no seguinte livro BOLDRINI José Luiz et al Álgebra Linear 2 ed São Paulo Editora Harper Row do Brasil Ltda 1980 p 224 a 227 Vejamos um exemplo Em um exemplo dado anteriormente verificamos que o polinômio característico do operador 3 3 T ℜ ℜ 2 2 3 T x y z x y z y z y z é igual a 2 1 1 4 1 4 p λ λ λ λ λ λ Verifique que o autovalor 1 λ tem multiplicidade 2 Os candidatos para o polinômio minimal são EaD LICENCIATURA EM EaD COMPUTAÇÃO UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA 122 1 1 4 p x x x 2 2 1 4 p x x x Como 1 1 1 0 2 1 0 2 3 T α α devemos testar se 1 0 p T α α Ou seja 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 2 1 1 0 1 0 0 2 1 4 0 1 0 0 2 3 0 0 1 0 2 3 0 0 1 p T α α 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 2 1 1 0 1 0 0 2 1 4 0 1 0 0 2 3 0 0 1 0 2 3 0 0 1 p T α α 1 0 1 1 3 1 1 0 0 0 0 1 1 0 2 1 0 0 0 0 2 2 0 2 1 0 0 0 p T α α Como 1 p x anulou a matriz de T o polinômio minimal é 1 1 4 p x x x e pelos resultados apresentados anteriormente o operador T é diagonalizável ou seja existe uma base β de autovetores em que 1 0 0 0 1 0 0 0 4 T β β SAIBA MAIS Suporemos que o polinômio característico de um operador linear T V V seja 2 3 2 1 4 p λ λ λ λ os seguintes polinômios são candidatos a serem polinômios minimal 1 2 1 4 p x x x x 2 2 2 1 4 p x x x x 2 3 2 1 4 p x x x x 3 4 2 1 4 p x x x x 2 2 5 2 1 4 p x x x x 2 3 6 2 1 4 p x x x x O polinômio minimal é o de menor grau que anula T α α devese testar primeiro 1p e assim sucessivamente Lembrese Em caso de dúvidas acesse o ambiente virtual de aprendizagem INDICAÇÃO DE LEITURA Você pode complementar os seus estudos fazendo uma leitura sobre diagonalização de operadores no livro STEINBRUCH Alfredo WINTERLE Paulo Álgebra Linear 2 ed São Paulo Pearson Education do Brasil 1987 p 289 e 314 Aproveite para resolver alguns dos exercícios propostos nas páginas 314 a 318 SAIBA MAIS Recomendo o site abaixo com um livro digitalizado excelente para você se aprofundar mais nos assuntos e tirar suas dúvidas MALAJOVICH Gregório Álgebra linear Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal do Rio de JaneiroVersão eletrônica e preliminar Terceira revisão 23 de março de 2010 Disponível em httpwwwlabmaufrjbrgregoriolivroal2pdf Acesso em 24 ago 2011 Finalmente você concluiu um estudo muito importante para que possa dar continuidade ao curso As ferramentas matemáticas aprendidas serão de grande utilidade ao longo do curso e também na sua vida profissional Para aprofundar mais o conteúdo consulte as referências bibliográficas como também o material disponibilizado no ambiente virtual Espero que esse material tenha contribuído para a construção do seu conhecimento e que a linguagem dialogada tenha facilitado o seu aprendizado minimizando assim as dificuldades Sucesso EaD LICENCIATURA EM EaD COMPUTAÇÃO UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA 123 GLOSSÁRIO Base vetorial É um conjunto de vetores linearmente independentes que geram um espaço vetorial Base vetorial ortornormal canônica É uma base vetorial composta de vetores unitários e ortogonais entre si Combinação linear Existe uma combinação linear quando escrevemos um vetor em função de outros Condição de Ortogonalidade Dois vetores são ortogonais quando o produto escalar entre eles é nulo Cossenos diretores Ângulos formados entre um vetor e os vetores da base ortornormal Dimensão vetorial É o número de vetores da base vetorial Escalonamento Efetuar as operações elementares em uma matriz até obter uma matriz linha reduzida a forma escada Espaço vetorial É um objeto composto de um corpo um conjunto de vetores e duas operações com propriedades especiais Isomorfismo É uma transformação linear bijetora Matriz Coluna É a matriz que possui apenas uma coluna Matriz Diagonal Dizemos que a matriz quadrada cujos únicos elementos não nulos pertencem a diagonal principal Matriz Identidade São matrizes diagonais em que os elementos da diagonal são iguais a 1 Matriz Linha É a matriz que possui apenas uma linha Matriz Nula É a matriz que possui todos os seus elementos nulos Matriz Quadrada Na matriz quadrada o número de linhas é igual ao número de colunas Matriz Triangular Inferior É uma matriz quadrada em que todos os elementos acima da diagonal principal são nulos Matriz Triangular Superior É uma matriz quadrada em que todos os elementos abaixo da diagonal principal são nulos Módulo do vetor É um número real positivo que representa o módulo do vetor Núcleo de uma Transformação Linear Elementos que pertencem ao domínio de uma transformação linear cuja imagem é o elemento nulo Operador Linear É uma transformação linear que associa vetores de um espaço vetorial em vetores desse mesmo espaço vetorial Ortogonalidade Dois vetores são ortogonais quando o ângulo entre eles é de 90 graus Produto Vetorial O produto vetorial entre dois vetores é um vetor simultaneamente ortogonal a cada um desses vetores Retas Reversas Duas retas são reversas se não existe um plano que as contenha Segmentos colineares Os segmentos são colineares se estão sobre uma mesma reta EaD LICENCIATURA EM EaD COMPUTAÇÃO UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA 124 Segmentos eqüipolentes Dois segmentos são eqüipolentes se possui mesmo comprimento direção e sentido Segmentos Orientado Um segmento de reta é orientado a ele é associado um sentido Subespaço vetorial W é um subespaço de um espaço vetorial V se contém o elemento neutro é fechado em relação a operação de soma e também é fechado em relação a multiplicação por um escalar Transformação Linear Aplicações que associa vetores de um espaço vetorial de dimensão n a outro espaço vetorial de dimensão m sob certas condições Versor O versor de um vetor é um vetor unitário com mesma direção e sentido do vetor dado Vetor É o conjunto de todos os segmentos orientados equipolentes a um dado segmento Vetores coplanares Vetores que podem ser representados por segmentos orientados situados num mesmo plano Vetor diretor O vetor diretor de uma reta determina a sua direção Vetores linearmente independente Um conjunto de vetores é linearmente dependentes quando não podemos colocar nenhum deles como em função dos outros Vetores linearmente dependentes Um conjunto de vetores é linearmente dependentes se podemos escrever um deles em função dos outros Vetores paralelos São vetores que possuem mesma direção Vetor unitário É um vetor que possui comprimento ou módulo igual a 1 EaD LICENCIATURA EM EaD COMPUTAÇÃO UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA 125 REFERÊNCIAS A MATEMÁTICA e a Música Disponível em httpwwwdominiopublicogovbrdownloadvideome001040 mp4 Acesso em 09 set 2010 AMARALDaniel A Gauss Carl Friedrich Disponível em httpwwwfemunicampbrem313paginaspersongausshtm Acesso 04 abr 2011 BELTRÃO Alexandre Polinômios Disponível em httpwwwyoutubecomwatchvGAPmFbqaBWE Acesso em 24 ago 2011 BOLDRINI José Luiz et al Álgebra Linear 2 ed São Paulo Editora Harper Row do Brasil Ltda 1980 CAMARGO Ivan BOULOS Paulo Geometria Analítica um tratamento vetorial 3 ed São Paulo Pearson Education do Brasil 2005 COSTA Luís Carlos BESSA Reis Vídeoaulas de Geometria Analítica Disponível em httpmetamatematica blogspotcom200905videoaulasdegeometriaanaliticahtml Acesso em 02 nov 2010 HOFFMAN Kenneth Álgebra Linear 2 ed Rio de Janeiro Livros Técnicos e Científicos 1979 LIPSCHUTZ Seymour Álgebra Linear 3 ed São Paulo Makron Books 1994 MALAJOVICH Gregório Álgebra linear Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal do Rio de Janeiro Disponível em httpwwwlabmaufrjbrgregoriolivroal2pdf Acesso em 24 ago 2011 MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO Número de Ouro Disponível em httpwwwdominiopublicogovbrpesquisa DetalheObraFormdoselectactioncoobra20799 Acesso em 31 set 2010 MANUAL Máxima Disponível em httpmaximasourceforgenetdocsmanualptmaximahtml Acesso em 21 fev 2011 MÉTODO DE GAUSSJORDAN escalonamento e sistemas lineares Vídeo aula Disponível em httpwwwyoutubecomwatchvI1kexTz5GTMAcesso em 20 mar 2011 POOLE Davi Álgebra Linear 1 ed São Paulo Pioneira Thomson Learning 2004 SCHUTOZER Waldeck Escalonamento de matrizes vídeo aula DMUFSCar Disponível em httpwwwyoutubecomwatchvI1kexTz5GTM Acesso em 20 mar 2011 SISTEMAS de Equações Lineares vídeo aulaDisponível em httpwwwyoutubecomwatchvi0jKVC2f8 Acesso em 20 mar 2011 SOFTWARE Máxima Disponível emhttpsourceforgenetprojectshowfilesphpgroupid4933 Acesso em 20 mar 2011 EaD LICENCIATURA EM EaD COMPUTAÇÃO UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA 126 STEINBRUCH Alfredo WINTERLE Paulo Álgebra Linear 2ed São Paulo Pearson Education do Brasil 1987 WINTERLE Paulo Vetores e Geometria Analítica São Paulo Pearson Education do Brasil 2000 EaD LICENCIATURA EM EaD COMPUTAÇÃO UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EaD UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA Anotações EaD UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA Anotações