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Matemática Aplicada ·
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Estruturas Algébricas Material Teórico Anéis Propriedades Subanel e Homomorfismo Responsável pelo Conteúdo Prof Ms Ana Paula Teles de Oliveira Revisão Textual Prof Ms Claudio Brites Propriedades do anel Subanel Homomorfismo de Anéis Exemplos Nesta unidade estudaremos alguns subconjuntos do anel os subaneis Aprenderemos ainda algumas aplicações de anéis denominadas homomorfismos Sobre esses assuntos veremos algumas propriedades Ao término deste estudo esperamos que você consiga distinguir subanéis e homomorfismo de anéis OBJETIVO DE APRENDIZADO Para um bom aproveitamento da aula realize a leitura integral do conteúdo teórico acompanhando e refazendo os exemplos resolvidos Quando aparecer alguma dúvida entre em contato com seusua ou tutora utilizando a ferramenta Mensagens ou o Fórum de Dúvidas ORIENTAÇÕES Anéis Propriedades Subanel e Homomorfi smo UNIDADE Anéis Propriedades Subanel e Homomorfismo Contextualização A História do Número Complexo Exemplo de Anel A resolução de equações sempre foi um assunto de interesse dos seres humanos De fato por muito tempo uma equação era a representação de um problema concreto Então antes da formalização dos números complexos ou negativos quando apareciam soluções de equações em que o resultado era um desses valores o problema era considerado impossível de se resolver Porém no século XVI o matemático italiano Tartaglia conseguiu resolver equações de terceiro grau que foram publicadas pelo matemático italiano Cardano em sua obra denominada Ars Magna Para encontrar as soluções de uma equação de terceiro grau desta forma x3 px q 0 utilizavase a fórmula conhecida atualmente como Fórmula de Cardano ou TartagliaCardano x Com essa fórmula encontravase as raízes das equações Porém havia um grande impasse algumas vezes para encontrar a solução aparecia raiz quadrada de números negativos Vejamos um exemplo consideremos a equação x3 15x 4 0 Na solução todos os números são reais Para verificar esse fato basta observar que uma solução é 4 Depois divida a equação x3 15x 4 por x4 e resolva a equação de segundo grau Apesar de todas as soluções serem números reais ao utilizarmos a fórmula de TartagliaCardano obtemos Nesse momento iniciase um processo complicado pois não se poderia afirmar que o aparecimento de raizes quadradas negativas indicavam a impossibilidade de solução Existiam exemplos como vimos anteriormente em que os números reais estavam em todas as soluções da equação mesmo que no processo fosse necessário resolver raízes de números negativos que eram números até aquele momento desconhecidos Esse fato era tão evidente que não se podia ignorar portanto chegouse à conclusão de que os números reais não eram suficientes para se resolver as equações 6 7 Bombelli outro matemático italiano resolveu trabalhar as raízes quadradas negativas como se realmente existissem Porém somente no século seguinte o termo imaginário foi utilizado ele foi introduzido por Descarte que ao se referir às raízes de equações algébricas afirmou que nem sempre seriam reais mas poderiam ser imaginárias Apesar de o termo imaginário ser utilizado para a representação 1 no século XVII somente no século seguinte Euler utiliza o símbolo i para representá lo Até esse período os números complexos eram utilizados obtendo resultados importantes sem nenhuma justificação No século XIX Gauss utiliza o número complexo como utilizamos atualmente Os cálculos com números complexos foram tomando sentido quando Wessel Argand e Gauss utilizaram a representação de par ordenado A fundamentação definitiva dos números complexos em pares ordenados de números reais que atualmente conhecemos foi elaborada pelo irlandês Hamilton Em um período de intensa abstração ele percebeu que o sinal em um número complexo a bi não era para adicionar a e bi e sim uma representação do par ordenado em números reais ab A partir de então formaliza a teoria dos números complexos definindo a adição e a multiplicação assim a b c d a b c d a bc d ac bd ad bc Você percebeu o que aconteceu Durante séculos apesar de os números complexos serem utilizados em importantes resultados somente no século XIX foram formalizados Na verdade a partir da abstração os problemas que no período da álgebra clássica não puderam ser resolvidos por algum impedimento relacionado aos elementos e às operações baseadas no concreto foram solucionados 7 UNIDADE Anéis Propriedades Subanel e Homomorfismo Propriedades do anel Até o momento vimos o conceito de anel e variados exemplos dessa estrutura Para mostrarmos que os exemplos satisfaziam as condições de anel na maioria das vezes utilizamos as propriedades dos conjuntos numéricos envolvidos Mas na verdade podemos fazer cálculos com essa estrutura como nos conjuntos numéricos levando em consideração as diferenças Por esse motivo estudaremos algumas propriedades relacionadas ao anel A propriedade 1 é conhecida como lei do cancelamento em relação à adição Propriedade 1 seja A um anel para todo a b c A tal que a b a c então b c Demonstração Sejam a b c A tal que a b a c Como A é um anel temos a ab a ac a a b a a c 0 b 0 c bc Portanto b c A propriedade 2 informa sobre a multiplicação entre um elemento pelo zero do anel Propriedade 2 seja A um anel para todo a A temos que a0 0a 0 Demonstração Se a A então a0 a 0 0 a0 a0 Logo a0 a0 a0 Como a0 a0 0 temos a0 0 a0 a0 0 a0 Portanto a0 0 Como A pode ser um anel não comutativo é necessário fazer a demonstração 0a 0 que será análoga à que fizemos então deixaremos para você treinar 8 9 Começaremos a estudar os elementos opostos de um anel na próxima propriedade Propriedade 3 seja A um anel para todos a1 a2 A temos a1 a2 a1 a2 Demonstração a Como a1 a2 é o oposto de a1 a2 vejamos se a1 a2 também é elemento oposto de a1 a2 Temos Lembrese por que as próximas igualdades são válidas Olhe a definição de anel a1 a2 a1 a2 a1 a2 a1 a2 a1 a1 a2 a2 a1 a1 a2 a2 0 0 0 Logo a1 a2 a1 a2 0 Como tanto a1 a2 quanto a1 a2 são elementos opostos de a1 a2 e sabemos que o elemento oposto é único então a1 a2 a1 a2 Será que o resultado somente é válido quando adicionamos dois elementos Será que podemos generalizar esse fato ou seja a1 a2 an a1 a2 an para n 2 Explor A próxima propriedade fala sobre a operação multiplicação envolvendo o oposto de um anel Observamos que existe uma semelhança com a regra de sinais que utilizamos na multiplicação de números Propriedade 4 seja A um anel para todo a b A temos a a a b a b a b ab c a b a b Demonstração a Sabemos que o oposto de a é a e viceversa mas o oposto de a é a Como tanto a quanto a são elementos opostos de a e sabemos que o elemento oposto é único então a a b Mostraremos que ab ab para tanto ab ab 0 a0 a b b a b ab 9 UNIDADE Anéis Propriedades Subanel e Homomorfismo Assim ab ab 0 ab ab 0 Como tanto ab quanto ab são elementos opostos de ab e o elemento oposto é único então ab ab Mostraremos que ab ab Temos ab ab 0 0b a a b ab ab Assim ab ab 0 ab ab 0 Como tanto ab quanto ab são elementos opostos de ab e o elemento oposto é único então ab ab Portanto ab ab ab c Para fazer essa demonstração utilizaremos os itens anteriores Pelo item b temos a b ab ab Pelo item a temos ab ab portanto a b ab Uma diferença entre um anel e os conjuntos numéricos é a existência da unidade pois não são todos os anéis que possuem unidade A próxima propriedade é para os anéis com unidade Propriedade 5 seja A um anel com unidade a Para todo a A temos 1a a b 11 1 Demonstração a Para demonstrarmos essa propriedade utilizamos o fato de que A é um anel com unidade 1a a 1 a 1a 11 a 0a 0 Assim 1a a 0 Como tanto a quanto 1a são elementos opostos de a e o elemento oposto é único temos 1a a 10 11 Observemos que existem semelhanças entre essas propriedades e os resultados relacionados aos cálculos com o número zero ou com os números negativos Outra questão que será por conveniência é que poderemos utilizar a b denominado diferença entre a e b para indicarmos a b e ab para indicarmos ab Ao relembrarmos que anel é um conjunto com duas operações e algumas condições podemos imaginar o que acontece com os seus subconjuntos Estaremos voltados a um subconjunto especial denominado subanel que será tratado a seguir Subanel Em um anel A existem diversos subconjuntos Os subconjuntos que preservam as condições do anel A é o nosso estudo Seja A um anel dizemos que um subconjunto não vazio L é um subanel de A se L com as mesmas operações de A for um anel Portanto L é subanel de A se e somente se L é fechado para as operações adição e multiplicação L x L L e L x L L E as seguintes condições são satisfeitas I A operação adição é associativa ou seja para quaisquer que sejam a b c L têmse a b c a b c II A operação adição é comutativa ou seja para quaisquer que sejam a b L têmse a b b a III O conjunto L possui elemento neutro aditivo ou seja existe 0L L tal que 0L a a para todo a L IV Todo elemento de L possui elemento inverso aditivo em L ou seja para todo a L existe a L tal que a a 0L V A operação multiplicação é associativa ou seja para quaisquer que sejam a b c A têmse a b c a b c VI A operação multiplicação é distributiva em relação à adição ou seja para quaisquer que sejam a b c L têmse a b c a b a c bc a ba ca Ao olharmos essas condições e as relacionarmos com as condições para um conjunto ser anel podemos fazer os seguintes questionamentos 1 Será que o zero 0L de L é necessariamente o mesmo zero do anel A A resposta é afirmativa De fato para qualquer x L temos 0L x x 0 Portanto 0L 0 11 UNIDADE Anéis Propriedades Subanel e Homomorfismo Um subanel L do anel A terá pelo menos o zero de A 2 Será que o elemento inverso aditivo aL de um elemento a de L é necessariamente igual ao elemento inverso a de L Essa reposta é verdadeira De fato como L é um subgrupo do anel A sabemos que o aL a Ao retomarmos o conceito de subanel notamos que para que mostremos que L A é um subanel será necessário verificarmos as oito condições citadas anteriormente Você se lembra como ao estudarmos anel na unidade IV foi extenso verificarmos Q Δ Ou ainda o M2R Observamos que para anel considerávamos seis condições mas para subanel precisamos verificar oito Isso pode ser bem trabalhoso dependendo do anel em questão Outra maneira de verificarmos se um conjunto será subanel é utilizando a próxima proposição que diminui para três a quantidade de condições Por esse motivo iremos demonstrála Proposição 1 seja A um anel e L um subconjunto de A então L é um subanel de A se e somente se as seguintes condições são válidas a O zero do anel pertence a L ou seja 0 L b A diferença é fechada em L isto é para todos a b L temos a b L c A multiplicação é fechada em L ou seja para todos a b L temos ab L Demonstração Vamos mostrar que se L é um subanel de A então as condições da proposição são verificáveis a O zero do anel pertence a L pela condição iii da definição de subanel b A diferença é fechada em L pois para todo a b L sabemos b L Assim a b a b L c A operação multiplicação é fechada em L pelo próprio conceito de subanel Mostraremos que se são válidas as três condições da proposição em L então L é um subanel de A A operação multiplicação é fechada em L por iii Mostraremos que a operação adição é fechada em L Sejam a b L temos a b a b a b 12 13 Como b 0 b L temos a b a b L Portanto a adição é fechada em L i A operação adição é associativa de fato para quaisquer que sejam a b c L A têmse a b c a b c ii A operação adição é comutativa pois para quaisquer que sejam a b L A têmse a b b a iii O conjunto L possui elemento neutro aditivo pela condição a iv Todo elemento de L possui elemento inverso aditivo em L De fato como 0 L para todo a L temos a 0 a L Logo para todo a L temos a L v A operação multiplicação é associativa De fato para quaisquer que sejam a b c L A têmse a b c a b c vi A operação multiplicação é distributiva em relação à adição ou seja para quaisquer que sejam a b c L A têmse a b c a b a c bc a ba ca Portanto a proposição é valida Após a demonstração dessa proposição podemos verificar que um conjunto de L será um subanel utilizando o conceito ou a preposição Porém utilizaremos a proposição por termos somente três condições para verificar Vejamos alguns exemplos Z é um subanel de R pois 0 é um elemento de Z e as operações da diferença e multiplicação usuais são fechadas em Z N não é um subanel de R De fato a operação diferença não é fechada em N Por exemplo temos 1 3 N porém 1 3 2 N Seja 2Z x Z x 2m m Z isto é 2Z é o conjunto dos números pares Então 2Z é um subanel de Z Para verificarmos essa afirmação temos a O elemento neutro aditivo de Z pertence a 2Z pois 0 20 2Z b Mostraremos que a diferença é fechada em 2Z Sejam a b 2Z tal que a 2r e b 2s Temos a b 2r 2s 2r 2s 2rs 2Z Logo a diferença é uma operação fechada em 2Z c Mostraremos que a operação multiplicação é fechada em 2Z Sejam a b 2Z tal que a 2r e b 2s Temos 13 UNIDADE Anéis Propriedades Subanel e Homomorfismo ab 2r2s 22rs 2Z Logo a multiplicação é uma operação fechada em 2Z Portanto 2Z é um subanel de Z Podemos generalizar o exemplo anterior fixando n como um número inteiro Temos nZ um subanel de Z tente utilizar a proposição 1 para conferir esse fato Se A é um anel temos os conjuntos 0 e A subanéis de A denominados subanéis triviais É importante destacarmos que o elemento oposto do zero do anel é ele mesmo Por que isso é verdade Todo anel possui subanel Os subanéis triviais Consideramos o anel Q Δ onde Q é conjunto dos números racionais Q munidos com as seguintes operações ab a b 1 a Δ b a b ab Sabemos que o zero do anel Q Δ é 1 e para todo b Q o elemento oposto é b 2 Para confirmar faça os cálculos ou reveja a unidade IV Como Z é um subconjunto de Q mostraremos que Z Δ é um subanel de Q Δ Utilizando a proposição 1 a O número 1 é inteiro portanto o zero de Q Δ pertence a Z Δ b É necessário mostrarmos que a diferença em relação a é fechada em Z Seja a diferença em relação à operação representada por Para mostrarmos que a é fechada em Z observamos que por definição a diferença de a e b é a operação de a com o elemento oposto de b ou seja para todo a b Z temos a b a b2 a b2 1 a b 1 Z Pois a b 1 Z e a operação adição usual é fechada em Z Portanto a operação é fechada em Z c Mostraremos que a operação Δ é fechada em Z Para todos a b Z temos a Δ b a b ab a b ab Z Logo a operação Δ é fechada em Z Portanto Z Δ é um subanel de Q Δ 14 15 Seja M2R com as operações de adição e multiplicação usuais consideremos L M2R tal que L Mostraremos que L é um subanel de M2R Para tanto utilizaremos a proposição 1 a O zero do anel L b A diferença é fechada em L De fato para todo B D L tal que B D temos B D B D L Logo a diferença é fechada em L c A multiplicação é fechada em L De fato para todo B D L tal que B D temos B D L Logo a operação multiplicação é fechada em L Portanto L é um subanel de M2 R Ao estudarmos anéis estudamos o anel com unidade Você recorda Vamos relembrar Pois bem dizemos que A é um anel com unidade quando A possui o elemento neutro da multiplicação Observamos que a unidade do anel R é a mesma do subanel Z Uma pergunta que podemos fazer é será que se A é um anel com unidade um subanel L de A também terá a mesma unidade A reposta é negativa Exemplificamos esse fato com o próximo exemplo Consideremos o subanel L do anel M2R tal que L 15 UNIDADE Anéis Propriedades Subanel e Homomorfismo Sabemos que I2 é a unidade do anel M2R porém I2 L portanto I2 não é a unidade de L Um detalhe interessante é que L tem unidade O nosso próximo passo é mostrar que a unidade 1L Para tanto seja B L tal que B Temos B 1L B Logo B 1L B para todo B L temos 1L B B Logo 1L B B para todo B L Portanto 1L é a unidade de L Com esse exemplo observamos que se um anel tem unidade a unidade do anel e do seu subanel podem ser distintas Outra dúvida será que um subanel de um anel com unidade necessariamente tem unidade A resposta é negativa Exemplificamos com o conjunto dos números pares 2Z que são um subanel de Z Sabemos que o número 1 é a unidade de Z porém 2Z não possui unidade Dessa forma observamos que não existe uma regra relacionada aos anéis e subanéis e suas unidades Até este momento estudamos anéis e subanéis Podemos também fazer uma aplicação de um anel em outro mas em nosso curso focalizaremos nas aplicações que também preservam a estrutura de anel Esse assunto será tratado na próxima seção 16 17 Homomorfismo de Anéis As aplicações de uma estrutura algébrica em outra estrutura semelhante que a preserva são denominadas de homomorfismos Como já estudamos anéis concentraremos nosso estudo em homomorfismos de anéis Consideremos os anéis A e A e a aplicação f A A dizemos que f é um homomorfismo Figura 1 se f verificar as condições i fx y fx fy para todo x y A ii fx y fx fy para todo x y A A x xy x y y A ƒ ƒx ƒx ƒy ƒx ƒy ƒy Figura 1 Representação do homomorfi smo de anéis f AA Fonte DOMINGUES HH IEZZI G Álgebra Moderna São Paulo Ed Atual 2003 P 233 Importante As operações de adição e multiplicação que aparecem no primeiro membro das condições I e II são do anel A enquanto as operações adição e multiplicação do segundo membro são do anel A Importante Vejamos alguns exemplos A função f A A definida por fa 0A é um homomorfismo de anéis pois para todos a b A temos fa b 0A 0A 0A fa fb Logo fab fa fb e fab 0A 0A 0A fa fb Logo fab fafb A aplicação f é denominada homomorfismo nulo 17 UNIDADE Anéis Propriedades Subanel e Homomorfismo A função Id A A definida por Ida a é um homomorfismo de anel De fato para todo a b A temos Ida b a b Ida Idb Logo Idab Ida Idb e Idab ab Ida Idb Logo Idab Ida Idb A aplicação Id é denominada homomorfismo identidade A função f R x R R tal que fx1 x2 x1 Mostraremos que f é um homomorfismo de anéis Sejam x y R x R tais que x x1 x2 e y y1 y2 temos fx y fx1 x2 y1 y2 fx1y1 x2 y2 x1 y1 fx1 x2 fy1 y2 fx fy Logo fxy fx fy temos fxy fx1 x2 y1 y2 fx1 y1 x2 y2 x1 y1 fx1 x2 fy1 y2 fx fy Logo fxy fx fy Portanto f é um homomorfismo de anéis denominada projeção Existem alguns resultados interessantes sobre o homomorfismo de anéis que abordaremos neste momento Vejamos o que acontece quando aplicamos um homomorfismo no zero do anel Proposição 2 consideremos os anéis A e A com seus respectivos zeros 0A e 0A Se f G J é um homomorfismo de anel então f0A 0A Demonstração Para a demonstração dessa proposição utilizaremos o conceito de elemento neutro da adição e do homomorfismo de anéis Temos f0A f0A 0A f0A f0A 18 19 Como f0A f0A0A temos f0A 0A f0A f0A Logo f0A 0A Representamos a proposição 2 na Figura 2 A 0A 0A A ƒ Figura 2 Representação de f0A 0A A próxima proposição indica o que ocorre quando um homomorfismo é aplicado em um elemento oposto ao do anel Proposição 3 considere os anéis A e A Se f A A é um homomorfismo de anéis então fa fa Demonstração Para demonstrarmos utilizaremos a proposição 2 os conceitos de zero de anel elemento oposto e homomorfismo de anéis Temos 0A f0A f a a fa fa Logo 0A fa fa Como 0A fa f a temos f a f a fa fa Portanto fa fa Representamos a proposição 3 na Figura 3 A a ƒa A ƒ a ƒa Figura 3 Representação fa fa Fonte DOMINGUES HH IEZZI G Álgebra Moderna São Paulo Ed Atual 2003 P164 19 UNIDADE Anéis Propriedades Subanel e Homomorfismo Ao trabalharmos com o conceito de função enunciamos alguns conjuntos como por exemplo o conjunto imagem da função O conjunto imagem de um homomorfismo é Im f a A a fa para algum a A Vejamos alguns exemplos O homomorfismo nulo f A A definida por fa 0A Temos Im f 0A O homomorfismo identidade Id A A definida por Ida a Temos Im Id A O homomorfismo projeção f R x R R tal que fx1 x2 x1 Temos Im f R O próximo resultado apresentará o conjunto imagem de um homomorfismo de anéis Propriedade 6 consideremos os anéis A e A Se f A A é um homomorfismo de anéis então Im f a A a fa para algum a A é um subanel de A Demonstração Pela proposição 1 precisamos verificar 3 condições Para tanto utilizaremos os resultados da proposição 2 e o conceito de homomorfismo a Como 0A f0A temos 0A Im f b Vejamos se a diferença é fechada em Im f Para tanto sejam a b A tal que a fa para algum a A b fb para algum b A Assim a b a b fa fb fa b fab Logo a b fa b com ab A Assim ab Im f ou seja a operação diferença é fechada em Im f 20 21 c Falta verificar que a operação multiplicação é fechada em Im f Temos a b fafb fab Logo ab fab com ab A Assim ab Im f ou seja a operação multiplicação é fechada em Im f Portanto Im f é um subanel de A Pela proposição sabemos que Im f é subanel do contradomínio vejamos alguns exemplos Do homomorfismo nulo f A A definida por fa 0A concluímos que 0A é um subanel de A esse é um exemplo de subanel trivial Do homomorfismo identidade Id A A definida por Ida a concluímos que A é um subanel de A esse é um exemplo de subanel trivial Do homomorfismo projeção f R x R R tal que fx1 x2 x1 concluímos que R é um subanel de R Ao trabalharmos com o conceito de homomorfismo de grupos definimos um conjunto denominado núcleo de um homomorfismo Consideraremos o núcleo de um homomorfismo de anéis para tanto vejamos o seu conceito Consideremos os anéis A e A e 0A o zero do anel de A Seja f A A um homomorfismo de anel denominamos o conjunto Nf a A fa 0A como núcleo de f Vejamos alguns exemplos O homomorfismo nulo f A A definida por fa 0A Temos Nf A De fato se a Nf então fa 0A Como fa 0A para todo a A temos Nf A O homomorfismo identidade Id A A definida por Ida a Temos NId 0A De fato se a NId então Ida 0A Como Ida a temos a 0A Logo NId 0A O homomorfismo projeção f R x R R tal que fx1 x2 x1 Temos Nf 0 x R 21 UNIDADE Anéis Propriedades Subanel e Homomorfismo De fato se x1 x2 Nf então fx1 x2 0 Como fx1 x2 x1 temos x1 0 e x2 R Logo Nf x1 x2 R x R x1 0 0 x R O núcleo de um homomorfismo é um subanel como verificaremos na próxima propriedade Propriedade 7 consideremos os anéis A e A Se f A A é um homomorfismo de anéis então Nf a A fa 0A é um subanel de A Demonstração Pela proposição 1 precisamos verificar 3 condições Para tanto utilizaremos os resultados das propriedades 2 3 e o conceito de homomorfismo a Como f0A 0A temos 0A Nf b Vejamos se a diferença é fechada em Nf Para tanto sejam a b Nf Assim fa b fa b fa fb fa fb 0A 0A 0A Logo fab 0A ou seja ab Nf Portanto a diferença é fechada em Nf c Falta verificarmos que a operação multiplicação é fechada em Nf Temos fa b fafb 0A 0A 0A Logo fab 0A ou seja ab Nf Portanto a operação multiplicação é fechada em Nf Dessa forma Im f é um subanel de A Aplicando essa propriedade nos exemplos de homomorfismos de anéis apresentados temos Do homomorfismo nulo concluímos que A é um subanel de A Esse é um exemplo de subanel trivial Do homomorfismo identidade Id A A definida por Ida a concluímos que 0A é um subanel de A Esse é um exemplo de subanel trivial Do homomorfismo projeção f R x R R tal que fx1 x2 x1 concluímos que 0 x R é um subanel de R x R 22 23 O núcleo do homomorfismo é importante nos estudos do anel Essa importância consiste em ser um dos conjuntos necessários para encontrar anéis isomorfos comprovada pelo teorema sobre isomorfismo O objetivo principal em estudar homomorfismo de anéis é encontrar um isomorfismo ou seja homomorfismo injetor e bijetor Quando existe um isomorfismo de anéis dizemos que os dois anéis são isomorfos ou seja os dois anéis possuem a mesmas propriedades que não é necessário fazer distinção entre os mesmos contudo por falta de tempo não faremos esse estudo para aprofundamento basta acessar os livros indicados na bibliografia Exemplos 1 Seja A um anel tal que a2 a para todo a A Mostre que a a Resolução Por hipótese temos a2 a Como a2 a2 a temos aa 2 Seja A um anel tal que a2 a para todo a A Mostre que A é comutativo Resolução Para todos a b A temos ab2 a2 abbab2 Por hipótese ab2 ab a2 b2 Assim a2 abbab2 a2 b2 abba 0 ab ba ba Portanto abba ou seja A é comutativo 3 Mostre que 2Z x 3Z é um subanel do anel Z x Z com as operações usuais de adição e multiplicação Para mostrar utilizaremos a proposição Para tanto é necessário verificarmos as condições I O zero do anel Z x Z pertence a 2Z x 3Z pois 00 20 30 II A diferença é fechada em 2Z x 3Z Sejam a b 2Z x 3Z tal que a 2a13a2 e b 2b1 3b2 onde a1 a2 b1 b2 Z temos ab 2a1 3a2 2b1 3b2 2a1 2 b1 3a2 3 b2 2a1b1 3a2 b2 2Z x 3Z III A multiplicação é fechada em 2Z x 3Z Sejam a b 2Z x 3Z tal que a 2a13a2 e b 2b1 3b2 onde a1 a2 b1 b2 Z temos ab 2a1 3a22b1 3b2 2a12 b1 3a23 b2 22a1b1 33a2b2 2Z x 3Z 23 UNIDADE Anéis Propriedades Subanel e Homomorfismo Portanto 2Zx3Z é um subanel de Z x Z 4 Verifique se a função f ZZ tal que fx x1 é um homomorfismo de anéis Para tanto é necessário verificar se f preserva a estrutura do anel dos inteiros Para tanto sejam x y Z temos fxy x y 1 fx fy x 1 y 1 x y 2 Logo fxy fx fy Portanto f não é um homomorfismo 24 25 Material Complementar Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade Nesta Unidade estudamos as propriedades dos anéis e homomorfismo de anéis Para que você possa ampliar e aprofundar seus conhecimentos sobre esses assuntos indicamos algumas leituras Livros Elementos de álgebra abstrata ALENCAR FILHO Edgard de 4 ed São Paulo Nobel 1988 Álgebra Moderna DOMINGUES HH IEZZI G São Paulo Atual 2003 Elementos de Álgebra GARCIA A LEQUAIN Y Rio de Janeiro Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada 2002 Introdução à Álgebra GONÇALVES A Rio de Janeiro Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada 2003 Tópicos de Álgebra HEIRSTEIN I NSão Paulo Universidade e Polígono 1970 Iniciação às estruturas algébricas MONTEIRO L H Jacy 6 ed São Paulo Nobel 1973 25 Referências ALENCAR FILHO Edgard de Elementos de Álgebra Abstrata 3 ed São Paulo Nobel 1982 DOMINGUES HH IEZZI G Álgebra Moderna São Paulo Atual 2003 GARCIA A LEQUAIN Y Elementos de Álgebra Rio de Janeiro Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada 2002 GONÇALVES A Introdução à Álgebra Rio de Janeiro Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada 2003 HEIRSTEIN I N Tópicos de Álgebra São Paulo Editora da Universidade e Polígono 1970 MONTEIRO L H Jacy Iniciação às estruturas algébricas 6 ed São Paulo Nobel 1973 26 wwwcruzeirodosulvirtualcombr Campus Liberdade Rua Galvão Bueno 868 CEP 01506000 São Paulo SP Brasil Tel 55 11 33853000 Cruzeiro do Sul Educacional
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Estruturas Algébricas Material Teórico Anéis Propriedades Subanel e Homomorfismo Responsável pelo Conteúdo Prof Ms Ana Paula Teles de Oliveira Revisão Textual Prof Ms Claudio Brites Propriedades do anel Subanel Homomorfismo de Anéis Exemplos Nesta unidade estudaremos alguns subconjuntos do anel os subaneis Aprenderemos ainda algumas aplicações de anéis denominadas homomorfismos Sobre esses assuntos veremos algumas propriedades Ao término deste estudo esperamos que você consiga distinguir subanéis e homomorfismo de anéis OBJETIVO DE APRENDIZADO Para um bom aproveitamento da aula realize a leitura integral do conteúdo teórico acompanhando e refazendo os exemplos resolvidos Quando aparecer alguma dúvida entre em contato com seusua ou tutora utilizando a ferramenta Mensagens ou o Fórum de Dúvidas ORIENTAÇÕES Anéis Propriedades Subanel e Homomorfi smo UNIDADE Anéis Propriedades Subanel e Homomorfismo Contextualização A História do Número Complexo Exemplo de Anel A resolução de equações sempre foi um assunto de interesse dos seres humanos De fato por muito tempo uma equação era a representação de um problema concreto Então antes da formalização dos números complexos ou negativos quando apareciam soluções de equações em que o resultado era um desses valores o problema era considerado impossível de se resolver Porém no século XVI o matemático italiano Tartaglia conseguiu resolver equações de terceiro grau que foram publicadas pelo matemático italiano Cardano em sua obra denominada Ars Magna Para encontrar as soluções de uma equação de terceiro grau desta forma x3 px q 0 utilizavase a fórmula conhecida atualmente como Fórmula de Cardano ou TartagliaCardano x Com essa fórmula encontravase as raízes das equações Porém havia um grande impasse algumas vezes para encontrar a solução aparecia raiz quadrada de números negativos Vejamos um exemplo consideremos a equação x3 15x 4 0 Na solução todos os números são reais Para verificar esse fato basta observar que uma solução é 4 Depois divida a equação x3 15x 4 por x4 e resolva a equação de segundo grau Apesar de todas as soluções serem números reais ao utilizarmos a fórmula de TartagliaCardano obtemos Nesse momento iniciase um processo complicado pois não se poderia afirmar que o aparecimento de raizes quadradas negativas indicavam a impossibilidade de solução Existiam exemplos como vimos anteriormente em que os números reais estavam em todas as soluções da equação mesmo que no processo fosse necessário resolver raízes de números negativos que eram números até aquele momento desconhecidos Esse fato era tão evidente que não se podia ignorar portanto chegouse à conclusão de que os números reais não eram suficientes para se resolver as equações 6 7 Bombelli outro matemático italiano resolveu trabalhar as raízes quadradas negativas como se realmente existissem Porém somente no século seguinte o termo imaginário foi utilizado ele foi introduzido por Descarte que ao se referir às raízes de equações algébricas afirmou que nem sempre seriam reais mas poderiam ser imaginárias Apesar de o termo imaginário ser utilizado para a representação 1 no século XVII somente no século seguinte Euler utiliza o símbolo i para representá lo Até esse período os números complexos eram utilizados obtendo resultados importantes sem nenhuma justificação No século XIX Gauss utiliza o número complexo como utilizamos atualmente Os cálculos com números complexos foram tomando sentido quando Wessel Argand e Gauss utilizaram a representação de par ordenado A fundamentação definitiva dos números complexos em pares ordenados de números reais que atualmente conhecemos foi elaborada pelo irlandês Hamilton Em um período de intensa abstração ele percebeu que o sinal em um número complexo a bi não era para adicionar a e bi e sim uma representação do par ordenado em números reais ab A partir de então formaliza a teoria dos números complexos definindo a adição e a multiplicação assim a b c d a b c d a bc d ac bd ad bc Você percebeu o que aconteceu Durante séculos apesar de os números complexos serem utilizados em importantes resultados somente no século XIX foram formalizados Na verdade a partir da abstração os problemas que no período da álgebra clássica não puderam ser resolvidos por algum impedimento relacionado aos elementos e às operações baseadas no concreto foram solucionados 7 UNIDADE Anéis Propriedades Subanel e Homomorfismo Propriedades do anel Até o momento vimos o conceito de anel e variados exemplos dessa estrutura Para mostrarmos que os exemplos satisfaziam as condições de anel na maioria das vezes utilizamos as propriedades dos conjuntos numéricos envolvidos Mas na verdade podemos fazer cálculos com essa estrutura como nos conjuntos numéricos levando em consideração as diferenças Por esse motivo estudaremos algumas propriedades relacionadas ao anel A propriedade 1 é conhecida como lei do cancelamento em relação à adição Propriedade 1 seja A um anel para todo a b c A tal que a b a c então b c Demonstração Sejam a b c A tal que a b a c Como A é um anel temos a ab a ac a a b a a c 0 b 0 c bc Portanto b c A propriedade 2 informa sobre a multiplicação entre um elemento pelo zero do anel Propriedade 2 seja A um anel para todo a A temos que a0 0a 0 Demonstração Se a A então a0 a 0 0 a0 a0 Logo a0 a0 a0 Como a0 a0 0 temos a0 0 a0 a0 0 a0 Portanto a0 0 Como A pode ser um anel não comutativo é necessário fazer a demonstração 0a 0 que será análoga à que fizemos então deixaremos para você treinar 8 9 Começaremos a estudar os elementos opostos de um anel na próxima propriedade Propriedade 3 seja A um anel para todos a1 a2 A temos a1 a2 a1 a2 Demonstração a Como a1 a2 é o oposto de a1 a2 vejamos se a1 a2 também é elemento oposto de a1 a2 Temos Lembrese por que as próximas igualdades são válidas Olhe a definição de anel a1 a2 a1 a2 a1 a2 a1 a2 a1 a1 a2 a2 a1 a1 a2 a2 0 0 0 Logo a1 a2 a1 a2 0 Como tanto a1 a2 quanto a1 a2 são elementos opostos de a1 a2 e sabemos que o elemento oposto é único então a1 a2 a1 a2 Será que o resultado somente é válido quando adicionamos dois elementos Será que podemos generalizar esse fato ou seja a1 a2 an a1 a2 an para n 2 Explor A próxima propriedade fala sobre a operação multiplicação envolvendo o oposto de um anel Observamos que existe uma semelhança com a regra de sinais que utilizamos na multiplicação de números Propriedade 4 seja A um anel para todo a b A temos a a a b a b a b ab c a b a b Demonstração a Sabemos que o oposto de a é a e viceversa mas o oposto de a é a Como tanto a quanto a são elementos opostos de a e sabemos que o elemento oposto é único então a a b Mostraremos que ab ab para tanto ab ab 0 a0 a b b a b ab 9 UNIDADE Anéis Propriedades Subanel e Homomorfismo Assim ab ab 0 ab ab 0 Como tanto ab quanto ab são elementos opostos de ab e o elemento oposto é único então ab ab Mostraremos que ab ab Temos ab ab 0 0b a a b ab ab Assim ab ab 0 ab ab 0 Como tanto ab quanto ab são elementos opostos de ab e o elemento oposto é único então ab ab Portanto ab ab ab c Para fazer essa demonstração utilizaremos os itens anteriores Pelo item b temos a b ab ab Pelo item a temos ab ab portanto a b ab Uma diferença entre um anel e os conjuntos numéricos é a existência da unidade pois não são todos os anéis que possuem unidade A próxima propriedade é para os anéis com unidade Propriedade 5 seja A um anel com unidade a Para todo a A temos 1a a b 11 1 Demonstração a Para demonstrarmos essa propriedade utilizamos o fato de que A é um anel com unidade 1a a 1 a 1a 11 a 0a 0 Assim 1a a 0 Como tanto a quanto 1a são elementos opostos de a e o elemento oposto é único temos 1a a 10 11 Observemos que existem semelhanças entre essas propriedades e os resultados relacionados aos cálculos com o número zero ou com os números negativos Outra questão que será por conveniência é que poderemos utilizar a b denominado diferença entre a e b para indicarmos a b e ab para indicarmos ab Ao relembrarmos que anel é um conjunto com duas operações e algumas condições podemos imaginar o que acontece com os seus subconjuntos Estaremos voltados a um subconjunto especial denominado subanel que será tratado a seguir Subanel Em um anel A existem diversos subconjuntos Os subconjuntos que preservam as condições do anel A é o nosso estudo Seja A um anel dizemos que um subconjunto não vazio L é um subanel de A se L com as mesmas operações de A for um anel Portanto L é subanel de A se e somente se L é fechado para as operações adição e multiplicação L x L L e L x L L E as seguintes condições são satisfeitas I A operação adição é associativa ou seja para quaisquer que sejam a b c L têmse a b c a b c II A operação adição é comutativa ou seja para quaisquer que sejam a b L têmse a b b a III O conjunto L possui elemento neutro aditivo ou seja existe 0L L tal que 0L a a para todo a L IV Todo elemento de L possui elemento inverso aditivo em L ou seja para todo a L existe a L tal que a a 0L V A operação multiplicação é associativa ou seja para quaisquer que sejam a b c A têmse a b c a b c VI A operação multiplicação é distributiva em relação à adição ou seja para quaisquer que sejam a b c L têmse a b c a b a c bc a ba ca Ao olharmos essas condições e as relacionarmos com as condições para um conjunto ser anel podemos fazer os seguintes questionamentos 1 Será que o zero 0L de L é necessariamente o mesmo zero do anel A A resposta é afirmativa De fato para qualquer x L temos 0L x x 0 Portanto 0L 0 11 UNIDADE Anéis Propriedades Subanel e Homomorfismo Um subanel L do anel A terá pelo menos o zero de A 2 Será que o elemento inverso aditivo aL de um elemento a de L é necessariamente igual ao elemento inverso a de L Essa reposta é verdadeira De fato como L é um subgrupo do anel A sabemos que o aL a Ao retomarmos o conceito de subanel notamos que para que mostremos que L A é um subanel será necessário verificarmos as oito condições citadas anteriormente Você se lembra como ao estudarmos anel na unidade IV foi extenso verificarmos Q Δ Ou ainda o M2R Observamos que para anel considerávamos seis condições mas para subanel precisamos verificar oito Isso pode ser bem trabalhoso dependendo do anel em questão Outra maneira de verificarmos se um conjunto será subanel é utilizando a próxima proposição que diminui para três a quantidade de condições Por esse motivo iremos demonstrála Proposição 1 seja A um anel e L um subconjunto de A então L é um subanel de A se e somente se as seguintes condições são válidas a O zero do anel pertence a L ou seja 0 L b A diferença é fechada em L isto é para todos a b L temos a b L c A multiplicação é fechada em L ou seja para todos a b L temos ab L Demonstração Vamos mostrar que se L é um subanel de A então as condições da proposição são verificáveis a O zero do anel pertence a L pela condição iii da definição de subanel b A diferença é fechada em L pois para todo a b L sabemos b L Assim a b a b L c A operação multiplicação é fechada em L pelo próprio conceito de subanel Mostraremos que se são válidas as três condições da proposição em L então L é um subanel de A A operação multiplicação é fechada em L por iii Mostraremos que a operação adição é fechada em L Sejam a b L temos a b a b a b 12 13 Como b 0 b L temos a b a b L Portanto a adição é fechada em L i A operação adição é associativa de fato para quaisquer que sejam a b c L A têmse a b c a b c ii A operação adição é comutativa pois para quaisquer que sejam a b L A têmse a b b a iii O conjunto L possui elemento neutro aditivo pela condição a iv Todo elemento de L possui elemento inverso aditivo em L De fato como 0 L para todo a L temos a 0 a L Logo para todo a L temos a L v A operação multiplicação é associativa De fato para quaisquer que sejam a b c L A têmse a b c a b c vi A operação multiplicação é distributiva em relação à adição ou seja para quaisquer que sejam a b c L A têmse a b c a b a c bc a ba ca Portanto a proposição é valida Após a demonstração dessa proposição podemos verificar que um conjunto de L será um subanel utilizando o conceito ou a preposição Porém utilizaremos a proposição por termos somente três condições para verificar Vejamos alguns exemplos Z é um subanel de R pois 0 é um elemento de Z e as operações da diferença e multiplicação usuais são fechadas em Z N não é um subanel de R De fato a operação diferença não é fechada em N Por exemplo temos 1 3 N porém 1 3 2 N Seja 2Z x Z x 2m m Z isto é 2Z é o conjunto dos números pares Então 2Z é um subanel de Z Para verificarmos essa afirmação temos a O elemento neutro aditivo de Z pertence a 2Z pois 0 20 2Z b Mostraremos que a diferença é fechada em 2Z Sejam a b 2Z tal que a 2r e b 2s Temos a b 2r 2s 2r 2s 2rs 2Z Logo a diferença é uma operação fechada em 2Z c Mostraremos que a operação multiplicação é fechada em 2Z Sejam a b 2Z tal que a 2r e b 2s Temos 13 UNIDADE Anéis Propriedades Subanel e Homomorfismo ab 2r2s 22rs 2Z Logo a multiplicação é uma operação fechada em 2Z Portanto 2Z é um subanel de Z Podemos generalizar o exemplo anterior fixando n como um número inteiro Temos nZ um subanel de Z tente utilizar a proposição 1 para conferir esse fato Se A é um anel temos os conjuntos 0 e A subanéis de A denominados subanéis triviais É importante destacarmos que o elemento oposto do zero do anel é ele mesmo Por que isso é verdade Todo anel possui subanel Os subanéis triviais Consideramos o anel Q Δ onde Q é conjunto dos números racionais Q munidos com as seguintes operações ab a b 1 a Δ b a b ab Sabemos que o zero do anel Q Δ é 1 e para todo b Q o elemento oposto é b 2 Para confirmar faça os cálculos ou reveja a unidade IV Como Z é um subconjunto de Q mostraremos que Z Δ é um subanel de Q Δ Utilizando a proposição 1 a O número 1 é inteiro portanto o zero de Q Δ pertence a Z Δ b É necessário mostrarmos que a diferença em relação a é fechada em Z Seja a diferença em relação à operação representada por Para mostrarmos que a é fechada em Z observamos que por definição a diferença de a e b é a operação de a com o elemento oposto de b ou seja para todo a b Z temos a b a b2 a b2 1 a b 1 Z Pois a b 1 Z e a operação adição usual é fechada em Z Portanto a operação é fechada em Z c Mostraremos que a operação Δ é fechada em Z Para todos a b Z temos a Δ b a b ab a b ab Z Logo a operação Δ é fechada em Z Portanto Z Δ é um subanel de Q Δ 14 15 Seja M2R com as operações de adição e multiplicação usuais consideremos L M2R tal que L Mostraremos que L é um subanel de M2R Para tanto utilizaremos a proposição 1 a O zero do anel L b A diferença é fechada em L De fato para todo B D L tal que B D temos B D B D L Logo a diferença é fechada em L c A multiplicação é fechada em L De fato para todo B D L tal que B D temos B D L Logo a operação multiplicação é fechada em L Portanto L é um subanel de M2 R Ao estudarmos anéis estudamos o anel com unidade Você recorda Vamos relembrar Pois bem dizemos que A é um anel com unidade quando A possui o elemento neutro da multiplicação Observamos que a unidade do anel R é a mesma do subanel Z Uma pergunta que podemos fazer é será que se A é um anel com unidade um subanel L de A também terá a mesma unidade A reposta é negativa Exemplificamos esse fato com o próximo exemplo Consideremos o subanel L do anel M2R tal que L 15 UNIDADE Anéis Propriedades Subanel e Homomorfismo Sabemos que I2 é a unidade do anel M2R porém I2 L portanto I2 não é a unidade de L Um detalhe interessante é que L tem unidade O nosso próximo passo é mostrar que a unidade 1L Para tanto seja B L tal que B Temos B 1L B Logo B 1L B para todo B L temos 1L B B Logo 1L B B para todo B L Portanto 1L é a unidade de L Com esse exemplo observamos que se um anel tem unidade a unidade do anel e do seu subanel podem ser distintas Outra dúvida será que um subanel de um anel com unidade necessariamente tem unidade A resposta é negativa Exemplificamos com o conjunto dos números pares 2Z que são um subanel de Z Sabemos que o número 1 é a unidade de Z porém 2Z não possui unidade Dessa forma observamos que não existe uma regra relacionada aos anéis e subanéis e suas unidades Até este momento estudamos anéis e subanéis Podemos também fazer uma aplicação de um anel em outro mas em nosso curso focalizaremos nas aplicações que também preservam a estrutura de anel Esse assunto será tratado na próxima seção 16 17 Homomorfismo de Anéis As aplicações de uma estrutura algébrica em outra estrutura semelhante que a preserva são denominadas de homomorfismos Como já estudamos anéis concentraremos nosso estudo em homomorfismos de anéis Consideremos os anéis A e A e a aplicação f A A dizemos que f é um homomorfismo Figura 1 se f verificar as condições i fx y fx fy para todo x y A ii fx y fx fy para todo x y A A x xy x y y A ƒ ƒx ƒx ƒy ƒx ƒy ƒy Figura 1 Representação do homomorfi smo de anéis f AA Fonte DOMINGUES HH IEZZI G Álgebra Moderna São Paulo Ed Atual 2003 P 233 Importante As operações de adição e multiplicação que aparecem no primeiro membro das condições I e II são do anel A enquanto as operações adição e multiplicação do segundo membro são do anel A Importante Vejamos alguns exemplos A função f A A definida por fa 0A é um homomorfismo de anéis pois para todos a b A temos fa b 0A 0A 0A fa fb Logo fab fa fb e fab 0A 0A 0A fa fb Logo fab fafb A aplicação f é denominada homomorfismo nulo 17 UNIDADE Anéis Propriedades Subanel e Homomorfismo A função Id A A definida por Ida a é um homomorfismo de anel De fato para todo a b A temos Ida b a b Ida Idb Logo Idab Ida Idb e Idab ab Ida Idb Logo Idab Ida Idb A aplicação Id é denominada homomorfismo identidade A função f R x R R tal que fx1 x2 x1 Mostraremos que f é um homomorfismo de anéis Sejam x y R x R tais que x x1 x2 e y y1 y2 temos fx y fx1 x2 y1 y2 fx1y1 x2 y2 x1 y1 fx1 x2 fy1 y2 fx fy Logo fxy fx fy temos fxy fx1 x2 y1 y2 fx1 y1 x2 y2 x1 y1 fx1 x2 fy1 y2 fx fy Logo fxy fx fy Portanto f é um homomorfismo de anéis denominada projeção Existem alguns resultados interessantes sobre o homomorfismo de anéis que abordaremos neste momento Vejamos o que acontece quando aplicamos um homomorfismo no zero do anel Proposição 2 consideremos os anéis A e A com seus respectivos zeros 0A e 0A Se f G J é um homomorfismo de anel então f0A 0A Demonstração Para a demonstração dessa proposição utilizaremos o conceito de elemento neutro da adição e do homomorfismo de anéis Temos f0A f0A 0A f0A f0A 18 19 Como f0A f0A0A temos f0A 0A f0A f0A Logo f0A 0A Representamos a proposição 2 na Figura 2 A 0A 0A A ƒ Figura 2 Representação de f0A 0A A próxima proposição indica o que ocorre quando um homomorfismo é aplicado em um elemento oposto ao do anel Proposição 3 considere os anéis A e A Se f A A é um homomorfismo de anéis então fa fa Demonstração Para demonstrarmos utilizaremos a proposição 2 os conceitos de zero de anel elemento oposto e homomorfismo de anéis Temos 0A f0A f a a fa fa Logo 0A fa fa Como 0A fa f a temos f a f a fa fa Portanto fa fa Representamos a proposição 3 na Figura 3 A a ƒa A ƒ a ƒa Figura 3 Representação fa fa Fonte DOMINGUES HH IEZZI G Álgebra Moderna São Paulo Ed Atual 2003 P164 19 UNIDADE Anéis Propriedades Subanel e Homomorfismo Ao trabalharmos com o conceito de função enunciamos alguns conjuntos como por exemplo o conjunto imagem da função O conjunto imagem de um homomorfismo é Im f a A a fa para algum a A Vejamos alguns exemplos O homomorfismo nulo f A A definida por fa 0A Temos Im f 0A O homomorfismo identidade Id A A definida por Ida a Temos Im Id A O homomorfismo projeção f R x R R tal que fx1 x2 x1 Temos Im f R O próximo resultado apresentará o conjunto imagem de um homomorfismo de anéis Propriedade 6 consideremos os anéis A e A Se f A A é um homomorfismo de anéis então Im f a A a fa para algum a A é um subanel de A Demonstração Pela proposição 1 precisamos verificar 3 condições Para tanto utilizaremos os resultados da proposição 2 e o conceito de homomorfismo a Como 0A f0A temos 0A Im f b Vejamos se a diferença é fechada em Im f Para tanto sejam a b A tal que a fa para algum a A b fb para algum b A Assim a b a b fa fb fa b fab Logo a b fa b com ab A Assim ab Im f ou seja a operação diferença é fechada em Im f 20 21 c Falta verificar que a operação multiplicação é fechada em Im f Temos a b fafb fab Logo ab fab com ab A Assim ab Im f ou seja a operação multiplicação é fechada em Im f Portanto Im f é um subanel de A Pela proposição sabemos que Im f é subanel do contradomínio vejamos alguns exemplos Do homomorfismo nulo f A A definida por fa 0A concluímos que 0A é um subanel de A esse é um exemplo de subanel trivial Do homomorfismo identidade Id A A definida por Ida a concluímos que A é um subanel de A esse é um exemplo de subanel trivial Do homomorfismo projeção f R x R R tal que fx1 x2 x1 concluímos que R é um subanel de R Ao trabalharmos com o conceito de homomorfismo de grupos definimos um conjunto denominado núcleo de um homomorfismo Consideraremos o núcleo de um homomorfismo de anéis para tanto vejamos o seu conceito Consideremos os anéis A e A e 0A o zero do anel de A Seja f A A um homomorfismo de anel denominamos o conjunto Nf a A fa 0A como núcleo de f Vejamos alguns exemplos O homomorfismo nulo f A A definida por fa 0A Temos Nf A De fato se a Nf então fa 0A Como fa 0A para todo a A temos Nf A O homomorfismo identidade Id A A definida por Ida a Temos NId 0A De fato se a NId então Ida 0A Como Ida a temos a 0A Logo NId 0A O homomorfismo projeção f R x R R tal que fx1 x2 x1 Temos Nf 0 x R 21 UNIDADE Anéis Propriedades Subanel e Homomorfismo De fato se x1 x2 Nf então fx1 x2 0 Como fx1 x2 x1 temos x1 0 e x2 R Logo Nf x1 x2 R x R x1 0 0 x R O núcleo de um homomorfismo é um subanel como verificaremos na próxima propriedade Propriedade 7 consideremos os anéis A e A Se f A A é um homomorfismo de anéis então Nf a A fa 0A é um subanel de A Demonstração Pela proposição 1 precisamos verificar 3 condições Para tanto utilizaremos os resultados das propriedades 2 3 e o conceito de homomorfismo a Como f0A 0A temos 0A Nf b Vejamos se a diferença é fechada em Nf Para tanto sejam a b Nf Assim fa b fa b fa fb fa fb 0A 0A 0A Logo fab 0A ou seja ab Nf Portanto a diferença é fechada em Nf c Falta verificarmos que a operação multiplicação é fechada em Nf Temos fa b fafb 0A 0A 0A Logo fab 0A ou seja ab Nf Portanto a operação multiplicação é fechada em Nf Dessa forma Im f é um subanel de A Aplicando essa propriedade nos exemplos de homomorfismos de anéis apresentados temos Do homomorfismo nulo concluímos que A é um subanel de A Esse é um exemplo de subanel trivial Do homomorfismo identidade Id A A definida por Ida a concluímos que 0A é um subanel de A Esse é um exemplo de subanel trivial Do homomorfismo projeção f R x R R tal que fx1 x2 x1 concluímos que 0 x R é um subanel de R x R 22 23 O núcleo do homomorfismo é importante nos estudos do anel Essa importância consiste em ser um dos conjuntos necessários para encontrar anéis isomorfos comprovada pelo teorema sobre isomorfismo O objetivo principal em estudar homomorfismo de anéis é encontrar um isomorfismo ou seja homomorfismo injetor e bijetor Quando existe um isomorfismo de anéis dizemos que os dois anéis são isomorfos ou seja os dois anéis possuem a mesmas propriedades que não é necessário fazer distinção entre os mesmos contudo por falta de tempo não faremos esse estudo para aprofundamento basta acessar os livros indicados na bibliografia Exemplos 1 Seja A um anel tal que a2 a para todo a A Mostre que a a Resolução Por hipótese temos a2 a Como a2 a2 a temos aa 2 Seja A um anel tal que a2 a para todo a A Mostre que A é comutativo Resolução Para todos a b A temos ab2 a2 abbab2 Por hipótese ab2 ab a2 b2 Assim a2 abbab2 a2 b2 abba 0 ab ba ba Portanto abba ou seja A é comutativo 3 Mostre que 2Z x 3Z é um subanel do anel Z x Z com as operações usuais de adição e multiplicação Para mostrar utilizaremos a proposição Para tanto é necessário verificarmos as condições I O zero do anel Z x Z pertence a 2Z x 3Z pois 00 20 30 II A diferença é fechada em 2Z x 3Z Sejam a b 2Z x 3Z tal que a 2a13a2 e b 2b1 3b2 onde a1 a2 b1 b2 Z temos ab 2a1 3a2 2b1 3b2 2a1 2 b1 3a2 3 b2 2a1b1 3a2 b2 2Z x 3Z III A multiplicação é fechada em 2Z x 3Z Sejam a b 2Z x 3Z tal que a 2a13a2 e b 2b1 3b2 onde a1 a2 b1 b2 Z temos ab 2a1 3a22b1 3b2 2a12 b1 3a23 b2 22a1b1 33a2b2 2Z x 3Z 23 UNIDADE Anéis Propriedades Subanel e Homomorfismo Portanto 2Zx3Z é um subanel de Z x Z 4 Verifique se a função f ZZ tal que fx x1 é um homomorfismo de anéis Para tanto é necessário verificar se f preserva a estrutura do anel dos inteiros Para tanto sejam x y Z temos fxy x y 1 fx fy x 1 y 1 x y 2 Logo fxy fx fy Portanto f não é um homomorfismo 24 25 Material Complementar Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade Nesta Unidade estudamos as propriedades dos anéis e homomorfismo de anéis Para que você possa ampliar e aprofundar seus conhecimentos sobre esses assuntos indicamos algumas leituras Livros Elementos de álgebra abstrata ALENCAR FILHO Edgard de 4 ed São Paulo Nobel 1988 Álgebra Moderna DOMINGUES HH IEZZI G São Paulo Atual 2003 Elementos de Álgebra GARCIA A LEQUAIN Y Rio de Janeiro Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada 2002 Introdução à Álgebra GONÇALVES A Rio de Janeiro Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada 2003 Tópicos de Álgebra HEIRSTEIN I NSão Paulo Universidade e Polígono 1970 Iniciação às estruturas algébricas MONTEIRO L H Jacy 6 ed São Paulo Nobel 1973 25 Referências ALENCAR FILHO Edgard de Elementos de Álgebra Abstrata 3 ed São Paulo Nobel 1982 DOMINGUES HH IEZZI G Álgebra Moderna São Paulo Atual 2003 GARCIA A LEQUAIN Y Elementos de Álgebra Rio de Janeiro Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada 2002 GONÇALVES A Introdução à Álgebra Rio de Janeiro Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada 2003 HEIRSTEIN I N Tópicos de Álgebra São Paulo Editora da Universidade e Polígono 1970 MONTEIRO L H Jacy Iniciação às estruturas algébricas 6 ed São Paulo Nobel 1973 26 wwwcruzeirodosulvirtualcombr Campus Liberdade Rua Galvão Bueno 868 CEP 01506000 São Paulo SP Brasil Tel 55 11 33853000 Cruzeiro do Sul Educacional