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Matemática Aplicada ·
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Estruturas Algébricas Material Teórico História da Álgebra Abstrata e Corpo Responsável pelo Conteúdo Prof Ms Ana Paula Teles de Oliveira Revisão Textual Prof Ms Claudio Brites História da Álgebra Abstrata e Corpo Domínio de Integridade Corpo Exemplos Nesta Unidade estudaremos alguns aspectos históricos da álgebra abstrata e o corpo Na parte histórica iremos nos aprofundar em equações discorrendo sobre sua representação na álgebra clássica até o momento em que se inicia a utilização de letras nas equações como utilizamos atualmente Apresentaremos alguns exemplos em que o conceito de corpo foi formalizado antes da formalização do conceito abstrato Antes de estudarmos o corpo discorreremos sobre domínio de integridade Ao término deste estudo esperamos que você consiga distinguir corpos e domínio de integridade OBJETIVO DE APRENDIZADO Para um bom aproveitamento da aula realize a leitura integral do conteúdo teórico acompanhando e refazendo os exemplos resolvidos Quando aparecer alguma dúvida entre em contato com seusua tutora utilizando a ferramenta Mensagens ou o Fórum de Dúvidas ORIENTAÇÕES História da Álgebra Abstrata e Corpo UNIDADE História da Álgebra Abstrata e Corpo Contextualização A História do Corpo Muitos matemáticos durante muito tempo dedicaramse aos estudos sobre equações algébricas Um dos que se dedicou a esse estudo foi Evariste Galois Galois apesar de ter morrido aos 20 anos em 1832 com uma bala no estômago em consequência de um duelo com Pescheux dHerbinville deixou muito material escrito relacionado às suas ideias sobre equações algébricas Na verdade alguns materiais foram publicados ainda em vida enquanto outra parte sempre que era submetida à publicação era impedida por algum evento a ser publicada Em uma noite anterior ao duelo escreveu toda a sua teoria em cartas para seu amigo Chevalier sendo esse material publicado depois O interessante em sua teoria é que é possível encontrar o conceito de corpos em seu trabalho se considerarmos corpo como um conjunto fechado com as operações de adição e multiplicação em que todo elemento possui o elemento oposto e que todo elemento diferente de zero possui elemento inverso Porém o termo utilizado para essa estrutura não é corpo e sim domínio de racionalidade Todas essas estruturas contêm o corpo dos números racionais sendo assim corpos infinitos Galois publicou em 1830 um artigo em que constrói grupos finitos hoje conhecidos como corpos de Galois Gauss trabalhou com outra linha de pesquisa que leva o estudo de corpos à teoria dos números Em seus estudos introduziu os números complexos da forma a bi a b Z Atualmente conhecidos como inteiros de Gauss muitos resultados dos inteiros podem ser estendidos aos inteiros de Gauss A teoria dos inteiros de Gauss direcionou o estudo da teoria dos números algébricos Vários matemáticos tentaram provar o Teorema de Fermat Esse teorema afirma que em uma equação da forma xn yn zn n 2 não existem soluções inteiras Foram resolvidos casos particulares porém a primeira tentativa para o caso geral foi de Ernst Eduard Kummer Ele considerou xp yp zp p primo E utilizou a fatoração xp yp x y x δy x δp1 y em que δ é uma raiz da equação 6 7 Xp1 Xp2 X 1 0 Isso o levou a estender a ideia de inteiros de Gauss considerando os números da forma α a0 a1 δ ap2δp2 Contudo cometeu um erro ao considerar a unicidade de decomposição em fatores primos e com isso provou o teorema de Fermat Após descobrir o erro criou a teoria dos números ideais com a intenção de conseguir a unicidade da decomposição Richard Dedekind com o objetivo de conseguir a fatoração única resolveu proceder de maneira diferente estendendo ainda mais a ideia dos inteiros de Gauss Para ele um número complexo é algébrico se esse número for raiz de uma equação da forma anXn an1Xn1 a1X a0 0 em que a0 a1 an1 an Z Nesse contexto Dedekind deu a definição de corpo e anel em que anel era denominado ordem Alguns matemáticos continuam estudando corpos mas foram os trabalhos de Ernst Steinitz e Emmy Noether que trouxeram resultados importantes relacionados à teoria abstrata de corpos 7 UNIDADE História da Álgebra Abstrata e Corpo História da Álgebra Abstrata e Corpo Ao estudarmos a álgebra clássica percebemos que ela focalizava resolução de equações Ao relembrarmos nossa vida estudantil é fácil notar que esse foi um tema trabalhado durante muito tempo lembrase como resolvíamos as equações de primeiro grau Aquelas que eram representadas desta forma axb 0 com a b R a 0 Nelas os coeficientes a b são as constantes e x a variável E as equações do segundo grau São aquelas representadas desta maneira ax2 bx c 0 com a b c R a 0 Em que os coeficientes a b e c são as constantes e x a variável Para resolvermos uma equação quadrática aprendemos alguns métodos tente relembrar alguns Já pensou quantos conteúdos sobre equações estudamos no ensino fundamental e médio Chegamos ao curso de licenciatura em Matemática com a capacidade de definir uma estrutura algébrica como grupo e anel somente utilizando expressões Podemos imaginar que tudo isso foi formalizado de forma simples e rápida da mesma maneira que algumas vezes foi apresentado tanto na escola como nos livros Porém a realidade é bem diferente como discorreremos a seguir Os babilônios e gregos tinham métodos para resolver equações de primeiro e segundo grau mas não tinham notações e nem fórmulas gerais Somente no sec IV d C encontraremos uma letra para a representação de uma incógnita da equação na obra intitulada Aritmética escrita pelo matemático grego Diophanto Figura 1 em que ele denominava a incógnita como o número do problema Também utilizou nomes para a representação de potências de incógnita como quadrado cubo quadradoquadrado para a quarta potência quadradocubo para a quinta potência imagine como seria representada uma equação Com o passar do tempo a notação de Diophanto foi se modificando lentamente Figura 1 Diophanto de Alexandria Fonte cdntimerimecom 8 9 Para detalhes sobre a bibliografi a de Diophanto acesse o material complementar Explor Outro exemplo relacionado à notação são os símbolos das operações de adição e subtração muitos matemáticos utilizavam as letras p para adição e m para subtração por serem as iniciais das palavras latinas plus e minus Para a igualdade utilizavam variadas palavras o símbolo só foi utilizado por Robert Recorde em 1557 aparecendo em obra impressa contudo só em 1618 Em 1591 é impresso o livro In Artem Analyticam Isagoge Introdução à Arte Analítica do matemático francês François Viète Figura 2 Nessa obra são utilizadas letras para representar tanto a incógnita como os coeficientes e as quantidades conhecidas Para tanto faziase a seguinte distinção as consonantes representavam quantidades conhecidas e as vogais as incógnitas De acordo com Milies 2004 p 8 Viéte representaria bx2 cx d da seguinte maneira B in A quadratum plus C plano in A aequalia D sólido O que você achou da representação de Viéte Imagine como seriam as nossas aulas de matemática se não existissem os símbolos para representar equações expressões conjuntos numéricos operações Como seria um livro didático de Matemática Como seria resolver uma equação de segundo grau Explor Figura 2 François Viète Fonte apprendremathinfo Mas mesmo com o trabalho de Viéte publicado a utilização de letras para representação de uma equação foi lentamente aceita Em 1637 René Descartes 1596 1650 publica um apêndice onde existem algumas modificações como a utilização das primeiras letras do alfabeto para representar quantidades conhecidas e as últimas como x y z para as incógnitas utilizamos essa convenção em nossos dias 9 UNIDADE História da Álgebra Abstrata e Corpo Uma limitação que aparece tanto nos trabalhos de Viéte como no de Descarte é que as letras representavam somente os números positivos O primeiro a utilizar letras para representar coeficientes formados tanto por números positivos quanto por negativos foi John Hudde em 1657 Aos poucos também se inicia uma modificação relacionada ao grau de uma equação A maneira que representamos expoentes com números fracionários e negativos já é encontrada em uma carta de Isaac Newton em 1676 Com o passar do tempo lentamente a álgebra foi se modificando Um trabalho aqui outro ali e assim foi se formalizando a ciência que hoje conhecemos Lembrase de Evariste Galois Aquele matemático francês que estudamos ao falar sobre a estrutura grupo Em seus trabalhos sobre resolução de equações polinomiais encontramos o conceito de corpo que foi denominada como estruturas de domínios de racionalidade Outra linha de pesquisa que levou ao estudo sobre corpo foi a teoria dos números com trabalhos de Gauss E foi a partir de trabalhos sobre teoria dos números que Richard Dedekind 18311916 formalizou o conceito de corpo A teoria abstrata sobre corpo tem início em 1903 tendo vários matemáticos envolvidos Com tantas variedades de corpos definidos surge uma motivação para estudos dessa teoria como os desenvolvidos pelo alemão Ernst Steinitz Figura 3 em 1910 e pela matemática alemã Emmy Noether Figura 4 em 1929 Figura 3 Ernst Steinitz Fonte unikielde Figura 4 Emmy Noether Fonte Wikimedia Commons É possível observar que foi percorrido um longo caminho até se chegar à álgebra que conhecemos hoje O processo para a formalização e aceitação de todos os símbolos universais que usamos com tanta facilidade em nosso cotidiano foi realmente lento A abstração ou ainda a formalização do conceito abstrato surgiu após exemplos concretos e aplicações como ocorreu com as estruturas de grupos e corpos Para aprofundar o conhecimento sobre a história da álgebra abstrata acesse o artigo de Milies no Material Complementar Explor A partir daqui estudaremos a última das estruturas proposta em nossa disciplina denominada corpo 10 11 Domínio de Integridade Para estudarmos a estrutura corpo teremos que nos aprofundar um pouco mais na estrutura anel Isso ocorre porque todo corpo é um anel Um dos exemplos de anel que vimos é o conjunto dos números reais com a operação de adição e multiplicação Apesar de ser exemplo vimos que existem várias diferenças muitas estão relacionadas à operação de multiplicação Vamos relembrar algumas diferenças A operação de multiplicação não é necessariamente comutativa mas os anéis que possuem essa operação são denominados comutativos O anel não tem necessariamente o elemento neutro em relação à operação multiplicação denominado unidade o anel com essa característica é denominado anel com unidade Vamos relembrar outras diferenças entre a estrutura anel e o anel dos conjuntos numéricos Por exemplo suponhamos que o anel A não possua divisores de zero ou seja existe a b A tal que a b 0 então a 0 ou b 0 Quando o anel não possui divisores de zero dizemos que A é um anel sem divisores de zero Vejamos alguns exemplos de anéis sem divisores de zero O anel dos números inteiros Z Z é o conjunto dos números inteiros com as operações e usuais O anel dos números racionais Q Q é o conjunto dos números racionais com as operações e usuais O anel dos números reais R R é o conjunto dos números reais com as operações e usuais O anel dos números complexos C C é o conjunto dos números complexos com as operações e usuais Ao nos restringirmos a esses exemplos podemos acreditar que não existem anéis sem divisores de zero Porém isso não é verdade como mostraremos nos próximos exemplos Consideremos F f f R R sejam f g F definimos a adição f g por fgx fx gx para todo x R E a operação multiplicação f g por fg x fxgx para todo x R 11 UNIDADE História da Álgebra Abstrata e Corpo Sabemos que F é um anel comutativo com unidade Sejam f g F tal que fx representada na Figura 5 Figura 5 Representação gráfica de f e gx Figura 6 Figura 6 Representação gráfica de g Representamos a função constante zero por 0F Observamos que f 0F e g 0F Porém f g 0F Explique o motivo a partir das representações gráficas das funções f e g Figura 7 Figura 7 Representação gráfica de f e g 12 13 Portanto F é um anel com divisores de zero Como mostrar algebricamente que f g 0F Outro exemplo é o anel das matrizes M2R com as operações de adição e multiplicação usuais Sejam B D M2 R tais que B e D Observemos que tanto B como D não são matrizes nulas mas a multiplicação entre as mesmas resulta em uma matriz nula como podemos ver B D Portanto M2R é um anel com unidade não comutativo e possui divisores de zero O anel MnR n 2 com as operações de adição e multiplicação usuais possui divisores de zero Vejam quantos anéis diferentes são formalizados a partir das condições da operação multiplicação e não acaba por aí estudaremos outras Porém quando há um anel A com unidade comutativo e sem divisores de zero dizemos que A é um domínio de integridade Como exemplos de domínio de integridade vimos os conjuntos dos números inteiros racionais reais e complexos com as operações de adição e multiplicação usuais Vimos também que é possível fazer cálculos com a estrutura de anel como nos conjuntos numéricos levando em consideração as diferenças Temos a lei do cancelamento em relação à adição Será que é válida a lei do cancelamento com respeito à multiplicação A próxima propriedade falará sobre esse assunto Propriedade 1 seja A um domínio de integridade para todo a b c A tal que e a0 ab ac então b c Demonstração sejam a b c A tal que ab ac Como A é um anel temos abac ac ac ab ac 0A ab c 0A Como A é um domínio de integridade temos bc 0A Assim 13 UNIDADE História da Álgebra Abstrata e Corpo bc c 0A c bc c c b 0A c b c Portanto b c Então podemos utilizar a lei do cancelamento em relação à multiplicação nos domínios de integridade como os anéis numéricos Z Q R e C Porém não será válido se os anéis não forem domínios de integridades como o anel das matrizes ou o anel de funções Após falarmos sobre domínio de integridade estamos preparados para estudar a última estrutura proposta em nosso curso assunto da próxima seção Corpo As próximas linhas estão dedicadas a estudar a estrutura corpo Para tanto continuaremos fazendo uso de resultados anteriores Seja K um domínio de integridade consideramos K em relação à operação multiplicação Suponhamos que todo elemento não nulo de K possui um elemento inverso em K ou seja para todo k K0 existe k1 K0 tal que kk1 1 Dizemos que K é um corpo Podemos citar como exemplos de corpo os conjuntos dos números racionais reais e complexos com as operações de adição e multiplicação usuais Vale a pena destacar que o anel dos inteiros não é um corpo Por que o anel dos inteiros não é um corpo Nesse momento vejamos outro exemplo de corpo Consideremos o seguinte conjunto Q 2 a b 2 a b Q Sejam x y Q 2 tal que x a b 2 y c d 2 a operação adição é definida por x y a b 2 c d 2 ac bd 2 E a operação multiplicação por xy a b 2 c d 2 ac 2bd adbc 2 Como as operações adição e multiplicação são fechadas mostraremos que Q 2 é um anel 14 15 A operação adição é associativa Sejam x y z Q 2 tal que x a b 2 y c d 2 z h j 2 x y z a b 2 c d 2 h j 2 a c b d 2 h j 2 a c h b d j 2 a c h b d j 2 a b 2 c h d j 2 a b 2 c d 2 h j 2 x y z Portanto x y z x y z A operação adição é comutativa Sejam x y Q 2 tal que x a b 2 y c d 2 x y a b 2 c d 2 a c b d 2 c a d b 2 c d 2 a b 2 yx Logo xy yx O zero de Q 2 é 0 0 0 2 Sejam x Q 2 tal que x a b 2 temos 0 x 0 0 2 a b 2 0 a 0 b 2 a b 2 x Portanto 0 x x para qualquer x Q 2 Para todo x Q 2 tal que x a b 2 o elemento oposto é x a b 2 De fato temos xx a b 2 a b 2 a a b b 2 0 0 2 0 Logo xx 0 15 UNIDADE História da Álgebra Abstrata e Corpo A operação multiplicação é associativa Sejam x y z Q 2 tal que x a b 2 y c d 2 z h j 2 x y z a b 2 c d 2 h j 2 ac 2bd adbc 2 h j 2 ac2bdh 2ad bcj ac2bdj adbch 2 ach2bdh 2adj 2bcj acj 2bdj adh bch 2 ach 2adj 2bdh 2bcj adhacj bch 2bdj 2 ach 2dj 2bdh cj adh cj bch 2dj 2 a b 2 ch 2dj dh cj 2 a b 2 c d 2 h j 2 x y z Portanto x y z x y z A operação multiplicação é distributiva em relação à adição Sejam x y z Q 2 tal que x a b 2 y c d 2 z h j 2 x y z a b 2 c d 2 h j 2 a b 2 c h d j 2 ac h 2 bd j ad j bc h 2 ac ah 2 bd 2bj ad 2 aj 2 bc 2 bh 2 ac 2 bd ad 2 bc 2 ah 2bj aj 2 bh 2 ac 2 bd ad bc 2 ah 2bj aj bh 2 a b 2 c d 2 a b 2 h j 2 xy xz Portanto xy z xy xz Deixamos para você resolver o caso em que yzx yzzx Portanto Q 2 é um anel 16 17 Dizemos que Q 2 é um corpo Para tanto é necessário que seja um domínio de integridade Será que Q 2 é um domínio de integridade Para responder a essa questão é necessário verificarmos se o anel Q 2 tem unidade é comutativo e não possui divisores de zero Esse será o nosso próximo objetivo Q 2 é um anel com unidade De fato ao considerarmos 1 10 2 Q 2 para todo x Q 2 tal que xab 2 temos 1x 10 2 ab 2 1a 20b 1b 0a 2 a0 b 0 2 a b 2 x Logo 1x x para todo x Q 2 deixamos para resolver o caso em que x1 x Portanto Q 2 é um anel com unidade Q 2 é um anel comutativo sejam x y Q 2 tal que x a b 2 y c d 2 xy a b 2 c d 2 ac 2bd bc ad 2 ca 2db cb da 2 c d 2 a b 2 yx Logo xy yx Portanto Q 2 é um anel comutativo Se soubéssemos que a operação multiplicação é comutativa em Q 2 poderíamos omitir algumas demonstrações Por quê Quais as demonstrações que poderiam ser omitidas Explor Q 2 é um anel sem divisores de zero sejam x y Q 2 tal que x a b 2 y c d 2 e xy 0 Como xy a b 2 c d 2 ac 2bd bc ad 2 17 UNIDADE História da Álgebra Abstrata e Corpo temos ac 2bd bc ad 2 0 0 2 ou seja 1 ac 2bd 0 2 bc ad 0 Suponhamos que x 0 então a 0 ou b 0 Seja a 0 Por 2 temos ad bc 3 d a1bc Ao substituirmos 3 em 1 temos ac 2ba1bc0 ac 2a1b2c 0 a 2a1b2 c 0 Como Q não tem divisores de zero temos a 2a1b2 0 ou c 0 Se a 2a1b2 0 temos a 2a1b2 a2 2b2 b a b a 1 2 1 2 ou Como a e b são racionais essas soluções são impossíveis Portanto a 2a1b2 0 Logo c 0 Como c 0 por 3 temos d0 logo y0 Portanto se xy 0 e x 0 então y 0 Assim Q 2 é um anel sem divisores de zero Então Q 2 é um domínio de integridade Foram muitos cálculos e concluímos que Q 2 é um domínio de integridade mas será que Q 2 realmente é um corpo Para respondermos a essa questão precisamos saber se todo o elemento não nulo de Q 2 possui um elemento inverso em Q 2 18 19 Sejam x Q 2 0 tal que x a b 2 sabemos que x1x 1 Se mostrarmos que 1x Q 2 então o elemento inverso de x pertence a Q 2 Temos 1x Logo 1x Agora é necessário verificar se essa solução é válida Para isso precisamos que a2 2b2 0 Vejamos o que acontece quando a2 2b2 0 Como x 0 sabemos que a 0 ou b 0 Se b 0 obtemos que a b 2 ou a b 2 Porém essa solução é impossível visto que a e b são números racionais Se a 0 o raciocínio é parecido Logo é a2 2b2 0 Como e são números racionais então 1x Q 2 Portanto Q 2 é um corpo Com um raciocínio análogo podemos encontrar infinitos exemplos de corpos Para tanto basta considerarmos os seguintes conjuntos Q p a b p a b Q e p primo E as operações definidas de adição e multiplicação definidas em Q 2 O conjunto Z 2 a b 2 a b Z com as operações de adição e multiplicação defi nidas em Q 2 é um corpo Explor O estudo relacionado a corpos é extenso e importante Muitos resultados interessantes estão relacionados à Teoria dos Números mas não podemos esquecer que ela engloba resultados da teoria das equações Lembrase que ao estudarmos a história da álgebra abstrata falamos sobre o matemático francês Evariste Galois que em seus trabalhos sobre resolução de equações polinomiais aparece o conceito de corpo Suas ideias são estudadas atualmente por alguns matemáticos e embora não seja objeto de nosso estudo vale a pena efetuar uma pesquisa nos livros indicados na bibliografia 19 UNIDADE História da Álgebra Abstrata e Corpo Exemplos 1 Seja A um domínio de integridade encontre as soluções da equação x2 x para todo x A Resolução Seja A um domínio de integridade e x A tal que x2 x temos x2 x xx 1x x1x 0 Como A é um domínio temos que x1 0 ou x 0 Assim x1 ou x0 Portanto o conjunto das soluções da equação x2 x é 01 2 Considere o anel M2R e A M2R tal que A A é divisor de zero Resolução Sim A é um divisor de zero De fato A2 3 Considere os seguintes anéis Z nZ Q R C Z 2 Q 2 M2R e F f f R R a Quais são os anéis que contêm divisores de zero b Quais anéis são domínios de integridade c Quais são os anéis que são corpos Resolução a Os anéis que possuem divisores de zero são F f f R R e M2R b Os anéis que são domínios de integridade são Z nZ Q RC Z 2 Q 2 c Os anéis que são corpos são Q R C Q 2 20 21 Material Complementar Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade Nesta unidade estudamos a história da álgebra abstrata e a estrutura algébrica corpo Para que você possa ampliar e aprofundar seus conhecimentos sobre como se desenvolveu esses assuntos indicamos algumas leituras Livros Elementos de álgebra abstrata ALENCAR FILHO Edgard de 4 ed São Paulo Nobel 1988 Álgebra Moderna DOMINGUES HH IEZZI G São Paulo Atual 2003 Elementos de Álgebra GARCIA A LEQUAIN Y Rio de Janeiro Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada 2002 Introdução à Álgebra GONÇALVES A Rio de Janeiro Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada 2003 Tópicos de Álgebra HEIRSTEIN I NSão Paulo Universidade e Polígono 1970 Iniciação às estruturas algébricas MONTEIRO L H Jacy 6 ed São Paulo Nobel 1973 Sites Aritmética de Diophanto ALEJANDRIA D Diophanti Alexandrini Arithmeticorum libri sex et De numeris multangulis liber unus nunc primùm Graecè Latinè editi atque absolutisimis commentariis illustrat Ed sumptibus Hieronymi Drouart 1621 Disponível em httpsgoogl1Vsz2U Bibliografia Diophanto Disponível em httpwwwsomatematicacombrbiografdiofantophp Acesso em 20 ago 2015 Leitura Breve história da Álgebra Abstrata MILIES C P In II Bienal da Sociedade Brasileira da Matemática Salvador 2004 Disponível em httpwwwbienasbmufbabrM18pdf Acesso em 11 jun 2015 21 Referências ALENCAR FILHO Edgard de Elementos de Álgebra Abstrata 3 ed São Paulo Nobel 1982 DOMINGUES HH IEZZI G Álgebra Moderna São Paulo Atual 2003 GARCIA A LEQUAIN Y Elementos de Álgebra Rio de Janeiro Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada 2002 GONÇALVES A Introdução à Álgebra Rio de Janeiro Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada 2003 HEIRSTEIN I N Tópicos de Álgebra São Paulo Editora da Universidade e Polígono 1970 MONTEIRO L H Jacy Iniciação às estruturas algébricas 6 ed São Paulo Nobel 1973 Webgrafia MILIES C P Breve história da Álgebra Abstrata In II Bienal da Sociedade Brasileira da Matemática Salvador 2004 Disponível em httpwwwbienasbm ufbabrM18pdf Acesso em 11 jun 2015 22 wwwcruzeirodosulvirtualcombr Campus Liberdade Rua Galvão Bueno 868 CEP 01506000 São Paulo SP Brasil Tel 55 11 33853000 Cruzeiro do Sul Educacional
Envie sua pergunta para a IA e receba a resposta na hora
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Estruturas Algébricas Material Teórico História da Álgebra Abstrata e Corpo Responsável pelo Conteúdo Prof Ms Ana Paula Teles de Oliveira Revisão Textual Prof Ms Claudio Brites História da Álgebra Abstrata e Corpo Domínio de Integridade Corpo Exemplos Nesta Unidade estudaremos alguns aspectos históricos da álgebra abstrata e o corpo Na parte histórica iremos nos aprofundar em equações discorrendo sobre sua representação na álgebra clássica até o momento em que se inicia a utilização de letras nas equações como utilizamos atualmente Apresentaremos alguns exemplos em que o conceito de corpo foi formalizado antes da formalização do conceito abstrato Antes de estudarmos o corpo discorreremos sobre domínio de integridade Ao término deste estudo esperamos que você consiga distinguir corpos e domínio de integridade OBJETIVO DE APRENDIZADO Para um bom aproveitamento da aula realize a leitura integral do conteúdo teórico acompanhando e refazendo os exemplos resolvidos Quando aparecer alguma dúvida entre em contato com seusua tutora utilizando a ferramenta Mensagens ou o Fórum de Dúvidas ORIENTAÇÕES História da Álgebra Abstrata e Corpo UNIDADE História da Álgebra Abstrata e Corpo Contextualização A História do Corpo Muitos matemáticos durante muito tempo dedicaramse aos estudos sobre equações algébricas Um dos que se dedicou a esse estudo foi Evariste Galois Galois apesar de ter morrido aos 20 anos em 1832 com uma bala no estômago em consequência de um duelo com Pescheux dHerbinville deixou muito material escrito relacionado às suas ideias sobre equações algébricas Na verdade alguns materiais foram publicados ainda em vida enquanto outra parte sempre que era submetida à publicação era impedida por algum evento a ser publicada Em uma noite anterior ao duelo escreveu toda a sua teoria em cartas para seu amigo Chevalier sendo esse material publicado depois O interessante em sua teoria é que é possível encontrar o conceito de corpos em seu trabalho se considerarmos corpo como um conjunto fechado com as operações de adição e multiplicação em que todo elemento possui o elemento oposto e que todo elemento diferente de zero possui elemento inverso Porém o termo utilizado para essa estrutura não é corpo e sim domínio de racionalidade Todas essas estruturas contêm o corpo dos números racionais sendo assim corpos infinitos Galois publicou em 1830 um artigo em que constrói grupos finitos hoje conhecidos como corpos de Galois Gauss trabalhou com outra linha de pesquisa que leva o estudo de corpos à teoria dos números Em seus estudos introduziu os números complexos da forma a bi a b Z Atualmente conhecidos como inteiros de Gauss muitos resultados dos inteiros podem ser estendidos aos inteiros de Gauss A teoria dos inteiros de Gauss direcionou o estudo da teoria dos números algébricos Vários matemáticos tentaram provar o Teorema de Fermat Esse teorema afirma que em uma equação da forma xn yn zn n 2 não existem soluções inteiras Foram resolvidos casos particulares porém a primeira tentativa para o caso geral foi de Ernst Eduard Kummer Ele considerou xp yp zp p primo E utilizou a fatoração xp yp x y x δy x δp1 y em que δ é uma raiz da equação 6 7 Xp1 Xp2 X 1 0 Isso o levou a estender a ideia de inteiros de Gauss considerando os números da forma α a0 a1 δ ap2δp2 Contudo cometeu um erro ao considerar a unicidade de decomposição em fatores primos e com isso provou o teorema de Fermat Após descobrir o erro criou a teoria dos números ideais com a intenção de conseguir a unicidade da decomposição Richard Dedekind com o objetivo de conseguir a fatoração única resolveu proceder de maneira diferente estendendo ainda mais a ideia dos inteiros de Gauss Para ele um número complexo é algébrico se esse número for raiz de uma equação da forma anXn an1Xn1 a1X a0 0 em que a0 a1 an1 an Z Nesse contexto Dedekind deu a definição de corpo e anel em que anel era denominado ordem Alguns matemáticos continuam estudando corpos mas foram os trabalhos de Ernst Steinitz e Emmy Noether que trouxeram resultados importantes relacionados à teoria abstrata de corpos 7 UNIDADE História da Álgebra Abstrata e Corpo História da Álgebra Abstrata e Corpo Ao estudarmos a álgebra clássica percebemos que ela focalizava resolução de equações Ao relembrarmos nossa vida estudantil é fácil notar que esse foi um tema trabalhado durante muito tempo lembrase como resolvíamos as equações de primeiro grau Aquelas que eram representadas desta forma axb 0 com a b R a 0 Nelas os coeficientes a b são as constantes e x a variável E as equações do segundo grau São aquelas representadas desta maneira ax2 bx c 0 com a b c R a 0 Em que os coeficientes a b e c são as constantes e x a variável Para resolvermos uma equação quadrática aprendemos alguns métodos tente relembrar alguns Já pensou quantos conteúdos sobre equações estudamos no ensino fundamental e médio Chegamos ao curso de licenciatura em Matemática com a capacidade de definir uma estrutura algébrica como grupo e anel somente utilizando expressões Podemos imaginar que tudo isso foi formalizado de forma simples e rápida da mesma maneira que algumas vezes foi apresentado tanto na escola como nos livros Porém a realidade é bem diferente como discorreremos a seguir Os babilônios e gregos tinham métodos para resolver equações de primeiro e segundo grau mas não tinham notações e nem fórmulas gerais Somente no sec IV d C encontraremos uma letra para a representação de uma incógnita da equação na obra intitulada Aritmética escrita pelo matemático grego Diophanto Figura 1 em que ele denominava a incógnita como o número do problema Também utilizou nomes para a representação de potências de incógnita como quadrado cubo quadradoquadrado para a quarta potência quadradocubo para a quinta potência imagine como seria representada uma equação Com o passar do tempo a notação de Diophanto foi se modificando lentamente Figura 1 Diophanto de Alexandria Fonte cdntimerimecom 8 9 Para detalhes sobre a bibliografi a de Diophanto acesse o material complementar Explor Outro exemplo relacionado à notação são os símbolos das operações de adição e subtração muitos matemáticos utilizavam as letras p para adição e m para subtração por serem as iniciais das palavras latinas plus e minus Para a igualdade utilizavam variadas palavras o símbolo só foi utilizado por Robert Recorde em 1557 aparecendo em obra impressa contudo só em 1618 Em 1591 é impresso o livro In Artem Analyticam Isagoge Introdução à Arte Analítica do matemático francês François Viète Figura 2 Nessa obra são utilizadas letras para representar tanto a incógnita como os coeficientes e as quantidades conhecidas Para tanto faziase a seguinte distinção as consonantes representavam quantidades conhecidas e as vogais as incógnitas De acordo com Milies 2004 p 8 Viéte representaria bx2 cx d da seguinte maneira B in A quadratum plus C plano in A aequalia D sólido O que você achou da representação de Viéte Imagine como seriam as nossas aulas de matemática se não existissem os símbolos para representar equações expressões conjuntos numéricos operações Como seria um livro didático de Matemática Como seria resolver uma equação de segundo grau Explor Figura 2 François Viète Fonte apprendremathinfo Mas mesmo com o trabalho de Viéte publicado a utilização de letras para representação de uma equação foi lentamente aceita Em 1637 René Descartes 1596 1650 publica um apêndice onde existem algumas modificações como a utilização das primeiras letras do alfabeto para representar quantidades conhecidas e as últimas como x y z para as incógnitas utilizamos essa convenção em nossos dias 9 UNIDADE História da Álgebra Abstrata e Corpo Uma limitação que aparece tanto nos trabalhos de Viéte como no de Descarte é que as letras representavam somente os números positivos O primeiro a utilizar letras para representar coeficientes formados tanto por números positivos quanto por negativos foi John Hudde em 1657 Aos poucos também se inicia uma modificação relacionada ao grau de uma equação A maneira que representamos expoentes com números fracionários e negativos já é encontrada em uma carta de Isaac Newton em 1676 Com o passar do tempo lentamente a álgebra foi se modificando Um trabalho aqui outro ali e assim foi se formalizando a ciência que hoje conhecemos Lembrase de Evariste Galois Aquele matemático francês que estudamos ao falar sobre a estrutura grupo Em seus trabalhos sobre resolução de equações polinomiais encontramos o conceito de corpo que foi denominada como estruturas de domínios de racionalidade Outra linha de pesquisa que levou ao estudo sobre corpo foi a teoria dos números com trabalhos de Gauss E foi a partir de trabalhos sobre teoria dos números que Richard Dedekind 18311916 formalizou o conceito de corpo A teoria abstrata sobre corpo tem início em 1903 tendo vários matemáticos envolvidos Com tantas variedades de corpos definidos surge uma motivação para estudos dessa teoria como os desenvolvidos pelo alemão Ernst Steinitz Figura 3 em 1910 e pela matemática alemã Emmy Noether Figura 4 em 1929 Figura 3 Ernst Steinitz Fonte unikielde Figura 4 Emmy Noether Fonte Wikimedia Commons É possível observar que foi percorrido um longo caminho até se chegar à álgebra que conhecemos hoje O processo para a formalização e aceitação de todos os símbolos universais que usamos com tanta facilidade em nosso cotidiano foi realmente lento A abstração ou ainda a formalização do conceito abstrato surgiu após exemplos concretos e aplicações como ocorreu com as estruturas de grupos e corpos Para aprofundar o conhecimento sobre a história da álgebra abstrata acesse o artigo de Milies no Material Complementar Explor A partir daqui estudaremos a última das estruturas proposta em nossa disciplina denominada corpo 10 11 Domínio de Integridade Para estudarmos a estrutura corpo teremos que nos aprofundar um pouco mais na estrutura anel Isso ocorre porque todo corpo é um anel Um dos exemplos de anel que vimos é o conjunto dos números reais com a operação de adição e multiplicação Apesar de ser exemplo vimos que existem várias diferenças muitas estão relacionadas à operação de multiplicação Vamos relembrar algumas diferenças A operação de multiplicação não é necessariamente comutativa mas os anéis que possuem essa operação são denominados comutativos O anel não tem necessariamente o elemento neutro em relação à operação multiplicação denominado unidade o anel com essa característica é denominado anel com unidade Vamos relembrar outras diferenças entre a estrutura anel e o anel dos conjuntos numéricos Por exemplo suponhamos que o anel A não possua divisores de zero ou seja existe a b A tal que a b 0 então a 0 ou b 0 Quando o anel não possui divisores de zero dizemos que A é um anel sem divisores de zero Vejamos alguns exemplos de anéis sem divisores de zero O anel dos números inteiros Z Z é o conjunto dos números inteiros com as operações e usuais O anel dos números racionais Q Q é o conjunto dos números racionais com as operações e usuais O anel dos números reais R R é o conjunto dos números reais com as operações e usuais O anel dos números complexos C C é o conjunto dos números complexos com as operações e usuais Ao nos restringirmos a esses exemplos podemos acreditar que não existem anéis sem divisores de zero Porém isso não é verdade como mostraremos nos próximos exemplos Consideremos F f f R R sejam f g F definimos a adição f g por fgx fx gx para todo x R E a operação multiplicação f g por fg x fxgx para todo x R 11 UNIDADE História da Álgebra Abstrata e Corpo Sabemos que F é um anel comutativo com unidade Sejam f g F tal que fx representada na Figura 5 Figura 5 Representação gráfica de f e gx Figura 6 Figura 6 Representação gráfica de g Representamos a função constante zero por 0F Observamos que f 0F e g 0F Porém f g 0F Explique o motivo a partir das representações gráficas das funções f e g Figura 7 Figura 7 Representação gráfica de f e g 12 13 Portanto F é um anel com divisores de zero Como mostrar algebricamente que f g 0F Outro exemplo é o anel das matrizes M2R com as operações de adição e multiplicação usuais Sejam B D M2 R tais que B e D Observemos que tanto B como D não são matrizes nulas mas a multiplicação entre as mesmas resulta em uma matriz nula como podemos ver B D Portanto M2R é um anel com unidade não comutativo e possui divisores de zero O anel MnR n 2 com as operações de adição e multiplicação usuais possui divisores de zero Vejam quantos anéis diferentes são formalizados a partir das condições da operação multiplicação e não acaba por aí estudaremos outras Porém quando há um anel A com unidade comutativo e sem divisores de zero dizemos que A é um domínio de integridade Como exemplos de domínio de integridade vimos os conjuntos dos números inteiros racionais reais e complexos com as operações de adição e multiplicação usuais Vimos também que é possível fazer cálculos com a estrutura de anel como nos conjuntos numéricos levando em consideração as diferenças Temos a lei do cancelamento em relação à adição Será que é válida a lei do cancelamento com respeito à multiplicação A próxima propriedade falará sobre esse assunto Propriedade 1 seja A um domínio de integridade para todo a b c A tal que e a0 ab ac então b c Demonstração sejam a b c A tal que ab ac Como A é um anel temos abac ac ac ab ac 0A ab c 0A Como A é um domínio de integridade temos bc 0A Assim 13 UNIDADE História da Álgebra Abstrata e Corpo bc c 0A c bc c c b 0A c b c Portanto b c Então podemos utilizar a lei do cancelamento em relação à multiplicação nos domínios de integridade como os anéis numéricos Z Q R e C Porém não será válido se os anéis não forem domínios de integridades como o anel das matrizes ou o anel de funções Após falarmos sobre domínio de integridade estamos preparados para estudar a última estrutura proposta em nosso curso assunto da próxima seção Corpo As próximas linhas estão dedicadas a estudar a estrutura corpo Para tanto continuaremos fazendo uso de resultados anteriores Seja K um domínio de integridade consideramos K em relação à operação multiplicação Suponhamos que todo elemento não nulo de K possui um elemento inverso em K ou seja para todo k K0 existe k1 K0 tal que kk1 1 Dizemos que K é um corpo Podemos citar como exemplos de corpo os conjuntos dos números racionais reais e complexos com as operações de adição e multiplicação usuais Vale a pena destacar que o anel dos inteiros não é um corpo Por que o anel dos inteiros não é um corpo Nesse momento vejamos outro exemplo de corpo Consideremos o seguinte conjunto Q 2 a b 2 a b Q Sejam x y Q 2 tal que x a b 2 y c d 2 a operação adição é definida por x y a b 2 c d 2 ac bd 2 E a operação multiplicação por xy a b 2 c d 2 ac 2bd adbc 2 Como as operações adição e multiplicação são fechadas mostraremos que Q 2 é um anel 14 15 A operação adição é associativa Sejam x y z Q 2 tal que x a b 2 y c d 2 z h j 2 x y z a b 2 c d 2 h j 2 a c b d 2 h j 2 a c h b d j 2 a c h b d j 2 a b 2 c h d j 2 a b 2 c d 2 h j 2 x y z Portanto x y z x y z A operação adição é comutativa Sejam x y Q 2 tal que x a b 2 y c d 2 x y a b 2 c d 2 a c b d 2 c a d b 2 c d 2 a b 2 yx Logo xy yx O zero de Q 2 é 0 0 0 2 Sejam x Q 2 tal que x a b 2 temos 0 x 0 0 2 a b 2 0 a 0 b 2 a b 2 x Portanto 0 x x para qualquer x Q 2 Para todo x Q 2 tal que x a b 2 o elemento oposto é x a b 2 De fato temos xx a b 2 a b 2 a a b b 2 0 0 2 0 Logo xx 0 15 UNIDADE História da Álgebra Abstrata e Corpo A operação multiplicação é associativa Sejam x y z Q 2 tal que x a b 2 y c d 2 z h j 2 x y z a b 2 c d 2 h j 2 ac 2bd adbc 2 h j 2 ac2bdh 2ad bcj ac2bdj adbch 2 ach2bdh 2adj 2bcj acj 2bdj adh bch 2 ach 2adj 2bdh 2bcj adhacj bch 2bdj 2 ach 2dj 2bdh cj adh cj bch 2dj 2 a b 2 ch 2dj dh cj 2 a b 2 c d 2 h j 2 x y z Portanto x y z x y z A operação multiplicação é distributiva em relação à adição Sejam x y z Q 2 tal que x a b 2 y c d 2 z h j 2 x y z a b 2 c d 2 h j 2 a b 2 c h d j 2 ac h 2 bd j ad j bc h 2 ac ah 2 bd 2bj ad 2 aj 2 bc 2 bh 2 ac 2 bd ad 2 bc 2 ah 2bj aj 2 bh 2 ac 2 bd ad bc 2 ah 2bj aj bh 2 a b 2 c d 2 a b 2 h j 2 xy xz Portanto xy z xy xz Deixamos para você resolver o caso em que yzx yzzx Portanto Q 2 é um anel 16 17 Dizemos que Q 2 é um corpo Para tanto é necessário que seja um domínio de integridade Será que Q 2 é um domínio de integridade Para responder a essa questão é necessário verificarmos se o anel Q 2 tem unidade é comutativo e não possui divisores de zero Esse será o nosso próximo objetivo Q 2 é um anel com unidade De fato ao considerarmos 1 10 2 Q 2 para todo x Q 2 tal que xab 2 temos 1x 10 2 ab 2 1a 20b 1b 0a 2 a0 b 0 2 a b 2 x Logo 1x x para todo x Q 2 deixamos para resolver o caso em que x1 x Portanto Q 2 é um anel com unidade Q 2 é um anel comutativo sejam x y Q 2 tal que x a b 2 y c d 2 xy a b 2 c d 2 ac 2bd bc ad 2 ca 2db cb da 2 c d 2 a b 2 yx Logo xy yx Portanto Q 2 é um anel comutativo Se soubéssemos que a operação multiplicação é comutativa em Q 2 poderíamos omitir algumas demonstrações Por quê Quais as demonstrações que poderiam ser omitidas Explor Q 2 é um anel sem divisores de zero sejam x y Q 2 tal que x a b 2 y c d 2 e xy 0 Como xy a b 2 c d 2 ac 2bd bc ad 2 17 UNIDADE História da Álgebra Abstrata e Corpo temos ac 2bd bc ad 2 0 0 2 ou seja 1 ac 2bd 0 2 bc ad 0 Suponhamos que x 0 então a 0 ou b 0 Seja a 0 Por 2 temos ad bc 3 d a1bc Ao substituirmos 3 em 1 temos ac 2ba1bc0 ac 2a1b2c 0 a 2a1b2 c 0 Como Q não tem divisores de zero temos a 2a1b2 0 ou c 0 Se a 2a1b2 0 temos a 2a1b2 a2 2b2 b a b a 1 2 1 2 ou Como a e b são racionais essas soluções são impossíveis Portanto a 2a1b2 0 Logo c 0 Como c 0 por 3 temos d0 logo y0 Portanto se xy 0 e x 0 então y 0 Assim Q 2 é um anel sem divisores de zero Então Q 2 é um domínio de integridade Foram muitos cálculos e concluímos que Q 2 é um domínio de integridade mas será que Q 2 realmente é um corpo Para respondermos a essa questão precisamos saber se todo o elemento não nulo de Q 2 possui um elemento inverso em Q 2 18 19 Sejam x Q 2 0 tal que x a b 2 sabemos que x1x 1 Se mostrarmos que 1x Q 2 então o elemento inverso de x pertence a Q 2 Temos 1x Logo 1x Agora é necessário verificar se essa solução é válida Para isso precisamos que a2 2b2 0 Vejamos o que acontece quando a2 2b2 0 Como x 0 sabemos que a 0 ou b 0 Se b 0 obtemos que a b 2 ou a b 2 Porém essa solução é impossível visto que a e b são números racionais Se a 0 o raciocínio é parecido Logo é a2 2b2 0 Como e são números racionais então 1x Q 2 Portanto Q 2 é um corpo Com um raciocínio análogo podemos encontrar infinitos exemplos de corpos Para tanto basta considerarmos os seguintes conjuntos Q p a b p a b Q e p primo E as operações definidas de adição e multiplicação definidas em Q 2 O conjunto Z 2 a b 2 a b Z com as operações de adição e multiplicação defi nidas em Q 2 é um corpo Explor O estudo relacionado a corpos é extenso e importante Muitos resultados interessantes estão relacionados à Teoria dos Números mas não podemos esquecer que ela engloba resultados da teoria das equações Lembrase que ao estudarmos a história da álgebra abstrata falamos sobre o matemático francês Evariste Galois que em seus trabalhos sobre resolução de equações polinomiais aparece o conceito de corpo Suas ideias são estudadas atualmente por alguns matemáticos e embora não seja objeto de nosso estudo vale a pena efetuar uma pesquisa nos livros indicados na bibliografia 19 UNIDADE História da Álgebra Abstrata e Corpo Exemplos 1 Seja A um domínio de integridade encontre as soluções da equação x2 x para todo x A Resolução Seja A um domínio de integridade e x A tal que x2 x temos x2 x xx 1x x1x 0 Como A é um domínio temos que x1 0 ou x 0 Assim x1 ou x0 Portanto o conjunto das soluções da equação x2 x é 01 2 Considere o anel M2R e A M2R tal que A A é divisor de zero Resolução Sim A é um divisor de zero De fato A2 3 Considere os seguintes anéis Z nZ Q R C Z 2 Q 2 M2R e F f f R R a Quais são os anéis que contêm divisores de zero b Quais anéis são domínios de integridade c Quais são os anéis que são corpos Resolução a Os anéis que possuem divisores de zero são F f f R R e M2R b Os anéis que são domínios de integridade são Z nZ Q RC Z 2 Q 2 c Os anéis que são corpos são Q R C Q 2 20 21 Material Complementar Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade Nesta unidade estudamos a história da álgebra abstrata e a estrutura algébrica corpo Para que você possa ampliar e aprofundar seus conhecimentos sobre como se desenvolveu esses assuntos indicamos algumas leituras Livros Elementos de álgebra abstrata ALENCAR FILHO Edgard de 4 ed São Paulo Nobel 1988 Álgebra Moderna DOMINGUES HH IEZZI G São Paulo Atual 2003 Elementos de Álgebra GARCIA A LEQUAIN Y Rio de Janeiro Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada 2002 Introdução à Álgebra GONÇALVES A Rio de Janeiro Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada 2003 Tópicos de Álgebra HEIRSTEIN I NSão Paulo Universidade e Polígono 1970 Iniciação às estruturas algébricas MONTEIRO L H Jacy 6 ed São Paulo Nobel 1973 Sites Aritmética de Diophanto ALEJANDRIA D Diophanti Alexandrini Arithmeticorum libri sex et De numeris multangulis liber unus nunc primùm Graecè Latinè editi atque absolutisimis commentariis illustrat Ed sumptibus Hieronymi Drouart 1621 Disponível em httpsgoogl1Vsz2U Bibliografia Diophanto Disponível em httpwwwsomatematicacombrbiografdiofantophp Acesso em 20 ago 2015 Leitura Breve história da Álgebra Abstrata MILIES C P In II Bienal da Sociedade Brasileira da Matemática Salvador 2004 Disponível em httpwwwbienasbmufbabrM18pdf Acesso em 11 jun 2015 21 Referências ALENCAR FILHO Edgard de Elementos de Álgebra Abstrata 3 ed São Paulo Nobel 1982 DOMINGUES HH IEZZI G Álgebra Moderna São Paulo Atual 2003 GARCIA A LEQUAIN Y Elementos de Álgebra Rio de Janeiro Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada 2002 GONÇALVES A Introdução à Álgebra Rio de Janeiro Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada 2003 HEIRSTEIN I N Tópicos de Álgebra São Paulo Editora da Universidade e Polígono 1970 MONTEIRO L H Jacy Iniciação às estruturas algébricas 6 ed São Paulo Nobel 1973 Webgrafia MILIES C P Breve história da Álgebra Abstrata In II Bienal da Sociedade Brasileira da Matemática Salvador 2004 Disponível em httpwwwbienasbm ufbabrM18pdf Acesso em 11 jun 2015 22 wwwcruzeirodosulvirtualcombr Campus Liberdade Rua Galvão Bueno 868 CEP 01506000 São Paulo SP Brasil Tel 55 11 33853000 Cruzeiro do Sul Educacional