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Estruturas Algébricas Material Teórico Responsável pelo Conteúdo Prof Ms Ana Paula Teles de Oliveira Revisão Textual Prof Ms Claudio Brites A história da Álgebra Abstrata e a Formação do Conceito Grupo 5 A história da Álgebra Abstrata e a Formação do Conceito Grupo A Estrutura Grupo Exercícios de Exemplo Nesta unidade veremos uma estrutura algébrica fundamental para o nosso curso denominada grupo Para tanto veremos alguns aspectos históricos da Álgebra Ao término deste estudo esperamos que você consiga definir e exemplificar a estrutura grupo Para um bom aproveitamento da aula realize a leitura integral do conteúdo teórico acompanhando e refazendo os exemplos resolvidos Quando aparecer alguma dúvida entre em contato com seusua tutora utilizando a ferramenta Mensagens ou o Fórum de Dúvidas A história da Álgebra Abstrata e a Formação do Conceito Grupo 6 Unidade A história da Álgebra Abstrata e a Formação do Conceito Grupo Contextualização Com a obra Ars Magna do matemático italiano Cardano onde são descritos métodos para resolver equações de terceiro e quarto grau iniciouse um novo questionamento será que todas as equações algébricas poderiam ser resolvidas somente utilizando operações e radicais Para responder a esse questionamento iniciamse estudos nas equações de graus superiores a quatro com o objetivo de saber se existe e qual seria a fórmula geral para resolvêlas Contudo apesar dos muitos esforços não conseguiram respondêla No séc XVII o matemático francês Lagrange dedicase a estudar todas as fórmulas conhecidas até aquele momento com o intuito de responder a esse questionamento fazendo permutações entre as raízes das equações Em seguida Ruffini com uma proposta semelhante ao de Lagrange propõese a provar que geralmente equações com grau maior do que quatro não eram resolvidas por radicais Entretanto a demonstração desse fato foi construída pelo matemático norueguês Abel Apesar de em geral uma equação com grau superior a quatro não ser solucionada por radicais algumas podem ser resolvidas O problema agora consistia em caracterizálas Cauchy faz um estudo sobre permutações de raízes das equações algébricas Dessa forma a noção de permutação é apresentada de outro modo utilizando o termo substituição Evariste Galois inicia um trabalho para se ter um critério em que conseguiria distinguir quais equações eram resolvidas por radicais Para isso ele utiliza trabalhos realizados sobre esse assunto como estudos sobre permutações entre raízes Também em seu trabalho o termo permutação é o mesmo que substituição usado por Cauchy Em seu trabalho Galois associou a cada equação um grupo o grupo de permutações A utilização que Galois faz da palavra grupo tem o mesmo sentido que utilizamos em nossos dias Cauchy percebendo a importância da teoria da permutação publica uma série de artigos sobre esse assunto entre os anos 1844 e 1846 Com esses materiais Cayley define em um artigo publicado em 1854 grupo abstrato Em sua definição utiliza notação multiplicativa 7 A história da Álgebra Abstrata e a Formação do Conceito Grupo Nesta unidade estudaremos o objeto matemático denominado grupo uma estrutura algébrica fundamental para o nosso curso Essa estrutura consiste em um conjunto não vazio com uma operação que possui determinadas propriedades Apesar de atualmente estudarmos este conteúdo como algo muito bem organizado em curto espaço de tempo não foi sempre assim A Álgebra por muito tempo foi vista como uma ciência que estudava a resolução de equações Por meio dessa informação podemos concluir que se trata de uma ciência antiga Sabemos que existe um documento egípcio denominado Papiro de Rhind Figura 1 datado de 1650 aC em que o escriba relata copiar um material datado de 2000 aC Nesse documento existem problemas relacionados à distribuição de mercadoria que conduzem à solução de equações simples MILIES 2004 Figura 1 Papiro de Rind Fonte fisicainteressantecom Desde o seu início a Álgebra foi empregada com a preocupação de se ter métodos precisos e ao mesmo tempo gerais Apesar de se conseguir formalizar uma notação apropriada para uma equação com a utilização de letras para os coeficientes e as variáveis durante muito tempo elas se restringiam a casos concretos em que muitas situações eram intuitivas MILIES 2004 Porém no século XIX a operação é vista de maneira mais abrangente pois o seu estudo não se limita às operações clássicas dos conjuntos numéricos Há uma generalização em seu conceito em que se estudam as operações entre elementos Os matemáticos preocupamse em estudar as propriedades das operações deixando o enfoque dado anteriormente para a natureza dos elementos É nesse século que se inicia o que denominamos de Álgebra Abstrata 8 Unidade A história da Álgebra Abstrata e a Formação do Conceito Grupo Em 1770 o matemático ítalofrancês Joseph Louis Lagrange 17361813 Figura 2 inicia o estudo da teoria das permutações para a resolução de equações algébricas O seu trabalho recebeu contribuições do italiano Paolo Ruffini 17651822 Figura 3 e do norueguês Niels Henrik Abel 1802 1829 Figura 4 Figura 2 Joseph Louis Lagrange 17361813 Fonte successstoriescoin Figura 3 Paolo Ruf ni 1765 1822 Fonte Wikimedia Commons Figura 4 Niels Henrik Abel 1802 1829 Fonte findagravecom Apesar de existirem vários matemáticos estudando permutações foi o francês Evariste Galois 1811 1832 Figura 5 que formalizou o conceito de grupo de permutações em seu trabalho por volta de 1830 onde utilizou o termo grupo Figura 5 Evariste Galois 1811 1832 Fonte megacuriosocombr 9 Entre os anos de 1844 e 1846 o francês Agustin Cauchy 17891857 Figura 6 percebeu a importância desse assunto escrevendo vários artigos sobre grupo de permutações Figura 6 Agustin Cauchy Fonte imeunicampbr Esses artigos influenciaram o britânico Arthur Cayley 18211895 Figura 7 que possuía uma habilidade para a generalização a partir de exemplos particulares Ele percebeu que a definição de grupo não precisava ser restrita às permutações e dessa forma generalizou esse conceito sendo o primeiro a definir o conceito de grupo abstrato em um artigo no ano de 1854 MILIES 2004 Figura 7 Arthur Cayley Fonte Wikimedia Commons Para aprofundar o seu conhecimento sobre a História da Álgebra Abstrata acesse o artigo de Milies que consta abaixo httpwwwbienasbmufbabrM18pdf 10 Unidade A história da Álgebra Abstrata e a Formação do Conceito Grupo Observamos então que foram necessários aproximadamente 24 anos entre a definição de grupo de permutação e a generalização para a formalização do conceito de grupo abstrato E em pleno século XXI esse conceito permanece não somente na Matemática mas também na Física que a emprega atualmente em mecânica quântica E agora dedicaremos nosso estudo a essa importante estrutura A Estrutura Grupo Historicamente percebemos que a estrutura grupo foi constituída primeiramente em um exemplo particular as permutações para depois ser generalizada e assim formalizar o conceito abstrato Mas na análise de diferentes livros que tratam desse assunto como Álgebra Moderna Introdução a Álgebra Elementos de Álgebra percebese que a apresentação ocorre de maneira inversa iniciandose com a definição geral para depois passar aos exemplos particulares Em nosso trabalho procederemos de maneira semelhante Seja G um conjunto não vazio com uma operação G x G G G será um grupo se as seguintes condições são satisfeitas I A operação é associativa ou seja para quaisquer que sejam a b c G têmse a b c a b c II O conjunto G possui elemento neutro ou seja existe e G tal que e a a e a para todo a G III Todo elemento de G possui elemento inverso em G ou seja para todo a G existe a G tal que a a a a e Vale a pena destacar a unicidade do elemento neutro Suponha a existência de dois elementos neutros representados por e1 e2 G e1 Como e2 é elemento neutro temos e1 e2 Como e1 é elemento neutro temos e2 Portanto e1 e2 Outra característica é a unicidade do elemento inverso Sejam a a G elementos inverso de a G dessa forma a Como e é elemento neutro de G temos a e Como a é elemento inverso de a temos a a a 11 Utilizando a propriedade associativa temos a a a Como a é inverso de a temos e a Como e é o elemento neutro temos a Portanto a a Usualmente utilizamos a notação G para representar o grupo G com a operação Assista ao vídeo socrático sobre grupo httpswwwyoutubecomwatchvPSvv73PemQs Agora que conhecemos o conceito de grupo vejamos alguns exemplos Iniciaremos falando de conjuntos com a operação de adição por isso é denominado grupo aditivo O grupo aditivo dos inteiros representado por Z A operação adição é associativa O elemento neutro é o número 0 O elemento inverso de a Z é a Z O grupo aditivo dos racionais representado por Q A operação adição é associativa O elemento neutro é o número 0 O elemento inverso de a Q é a Q O grupo aditivo dos reais representado por R A operação adição é associativa O elemento neutro é o número 0 O elemento inverso de a R é a R Você pode estar pensando Será que todos os conjuntos numéricos que conhecemos é grupo aditivo A resposta é negativa Pensemos em N observemos que a adição é uma operação aditiva que o número 0 é o elemento neutro da adição Porém apesar de satisfazer essas duas condições observamos que o conjunto dos números naturais não possui o elemento inverso Por exemplo qual é o número que seria o inverso para o número 1 Para respondermos a esse questionamento temos que encontrar um número x que satisfaça à condição do elemento inverso ou seja satisfaça às seguintes equações 1 x 0 x 1 0 Contudo o número que satisfaz às equações acima é o número 1 que não é um número natural Portanto o conjunto N não é um grupo aditivo O grupo aditivo dos complexos representado por C Sejam a b C tais que a a0 a1i e b b0 b1i A operação adição é definida por ab a0 b0 a1 b1i 12 Unidade A história da Álgebra Abstrata e a Formação do Conceito Grupo Mostraremos que a adição em C é associativa Preste muita atenção aos cálculos pois a notação pode parecer complicada Descreveremos todos os passos neste momento tentando diminuir o tempo para a compreensão Para tanto sejam a b c C tais que a a0 a1i b b0 b1i c c0 c1i temos ab c Substituindo os valores de a b e c a0 a1i b0 b1i c0 c1i Operando a adição entre os elementos a0 a1i e b0 b1i temos a0 b0 a1 b1i c0 c1i Operando a adição entre os elementos a0 b0 a1 b1i e c0 c1i obtemos a0 b0 c0 a1 b1 c1i Aplicando a associatividade da adição dos números reais em a0 b0 c0 e a1 b1 c1 temos a0 b0 c0 a1 b1 c1i Utilizando a definição da adição em C temos a0 a1i b0 c0 b1 c1i Utilizando a definição da adição em C temos a0 a1i b0 b1i c0 c1i Substituindo o valor de a b e c temos a b c Portanto vale a associatividade Observe que todos esses passos são necessários pois a adição em C e R é uma operação binária e para distinguir os elementos que estamos adicionando usamos os parênteses Na resolução dos exercícios contudo não costumamos descrever todos os passos Vamos reescrever essa mesma prova sem dar todos os detalhes e tente imaginar quais propriedades foram utilizadas a b c a0 a1i b0 b1i c0 c1i a0 b0 a1 b1i c0 c1i a0 b0 c0 a1 b1 c1i a0 b0 c0 a1 b1 c1i a0 a1i b0 c0 b1 c1i a0 a1i b0 b1i c0 c1i a b c 13 Observemos que apesar de não estarem descritos todos os passos as equações têm uma sequência lógica deixando claro ao leitor qual é a propriedade em uso Então é sempre necessário ser cuidadoso em sua escrita Mostraremos que o elemento neutro de C é o número 0 Seja 0 0 0i C para qualquer a C tal que a a0 a1i temos 0 a Substituindo o valor de 0 e a temos 0 0i a0 a1i Adicionando temos 0 a0 0 a1i O número 0 é o elemento neutro da adição em R temos a0 a1i Substituindo o valor de a obtemos a Agora reescreveremos sem os comentários Tente imaginar porque vale cada igualdade 0 a 0 0i a0 a1i 0 a0 0 a1i a0 a1i a Você reparou que utilizamos somente a definição de adição em C e a propriedade do elemento neutro para a adição dos números reais Ao considerarmos a condição II para um conjunto ser grupo é necessário verificarmos tanto 0 a a quanto a 0 a Fizemos 0 a a então tente mostrar que a 0 a Dessa forma o número 0 é o elemento neutro de C Falta verificarmos que todos os elementos de C na operação adição tem um elemento inverso ou seja para cada número complexo existe outro número complexo e ao adicionarmos os dois números como resultado teremos o número 0 Seja a C tal que a a0 a1i considere a a0 a1i a a a0 a1i a0 a1i a0 a0 a1 a1i 0 0i 0 14 Unidade A história da Álgebra Abstrata e a Formação do Conceito Grupo Omitimos todos os comentários tente imaginar o motivo pelo qual vale o sinal de igual em cada linha Esse é um exercício muito importante Observemos que para provar a propriedade do inverso em C utilizamos a definição de a e a e a propriedade do elemento inverso no conjunto dos números reais Mas ao olharmos a condição III vemos que é necessário verificar também que a a 0 deixaremos como exercício essa verificação Como verificamos C possui todas as condições necessárias para ser um grupo então C é um grupo aditivo Grupo Aditivo das matrizes quadradas de ordem 2 sendo representado por M2R onde a operação de adição é Mostre que todas as condições necessárias para ser um grupo estão verificadas nesse conjunto Saiba Mais O grupo aditivo das matrizes independe se a matriz é quadrada Por exemplo consideremos as matrizes sobre um conjunto K com m linhas e n colunas em que K pode ser Z Q R ou C representado por MmxnK temos MmxnK como um grupo aditivo ou seja MmxnK Também podemos utilizar a multiplicação como operação em conjuntos conhecidos Por esse motivo são denominados grupos multiplicativos Vejamos alguns exemplos O grupo multiplicativo dos racionais sem o zero representado por Q0 A operação multiplicação é associativa O elemento neutro é o número 1 O elemento inverso de a Q0 é a1 Q0 O grupo multiplicativo dos reais sem o zero representado por R0 A operação multiplicação é associativa O elemento neutro é o número 1 O elemento inverso de a R0 é a1 R0 O grupo multiplicativo dos complexos sem o zero representado por C0 Sejam a b C0 tais que a a0 a1i e b b0 b1i A operação multiplicação é definida por ab a0 b0 a1b1 a0 b1 a1 b0i O elemento neutro é o número 1 1 0i O elemento inverso de a C0 é a1 C0 Verifique 15 Lembramos a propriedade do elemento neutro para todo a G existe e G tal que ea aea e a propriedade do elemento inverso ou seja para todo a G existe a G tal que aa aa e Observemos que a ordem em que os elementos são operados é de suma importância A propriedade em que a b b a para quaisquer a b G é denominada comutativa Se o grupo G satisfaz a propriedade comutativa G é denominado Grupo Abeliano em homenagem ao matemático norueguês N H Abel citado anteriormente Também pode ser denominado grupo comutativo Então todos os grupos citados nos exemplos anteriores são abelianos Vamos conhecer grupos que não são abelianos Grupo multiplicativo das matrizes inversíveis de ordem 2 com entradas nos reais representado por GL2R em que a multiplicação de matrizes é definida por Observemos que não vale a propriedade comutativa em M2R Para ilustrarmos temos E ao comutarmos os elementos temos Mostraremos que são válidas as condições para que GL2R seja grupo Vejamos a associatividade sejam A B C GL2R tais que A B e C temos A B C 16 Unidade A história da Álgebra Abstrata e a Formação do Conceito Grupo Omitimos os parênteses da operação multiplicação pois em R a multiplicação é comutativa A BC Portanto o conjunto GL2R com a operação multiplicação é associativa Ao olhar todos esses cálculos não se esqueça de imaginar porque cada igualdade é válida pense se são definições ou propriedades nos números reais Não se esqueça de que esse é um exercício importantíssimo O elemento neutro será a matriz identidade I2 Ao prestarmos atenção consideramos o conjunto das matrizes inversíveis para termos a condição de elemento inverso Para saber se uma matriz é inversível basta encontrar a sua inversa mas um processo mais fácil é lembrar que uma matriz quadrada terá inversa se e somente se o seu determinante for diferente de zero Portanto GL2R é um grupo multiplicativo que não é abeliano Será que posso considerar GL3R E o conjunto GL4R E GLnR onde n 1 2 3 4 Você se lembra de que o primeiro exemplo de grupo foi denominado de permutações Vamos agora descrever esse grupo Para tanto considere S um conjunto não vazio seja G f S S f é bijetiva Sejam f1 f2 G a função composta de f1 e f2 é definida assim f1 f2x f1 f2x para qualquer x S Vejamos que a função composta é fechada Para tanto vamos verificar se f1 f2 G ou seja f1 f2 é bijetiva Vejamos se f1 f2 é injetiva Sejam x1 x2 S tais que f1 f2x1 f1 f2x2 Por definição temos f1f2x1 f1 f2x2 17 Como f1 é injetiva temos f2x1 f2x2 Como f2 é injetiva temos x1 x2 Portanto f1 f2 é injetiva Mostraremos se f1 f2 é sobrejetora Seja z S Como f1 é sobrejetora temos y S tal que z f1y Como f2 é sobrejetora temos x S tal que z f1y f1 f2x f1 f2 x Portanto f1 f2 é sobrejetora Como f1 f2 é injetora e sobrejetora a denominamos bijetora Portanto f1 f2 G O grupo de permutações será representado por G A composição de funções em S é uma operação associativa O elemento neutro será a função identidade representada por I Se f é bijetora então f é inversível ou seja f1 f I Seja G um grupo o número de elementos de um grupo é denominado por ordem de G e representado por G Quando o conjunto S é finito e representado por S1 2 3 n denotamos por Sn o grupo simétrico O conjunto Sn é finito e a sua ordem será n ou seja Sn será n Você percebeu que ao invés de utilizarmos a notação Sn utilizamos somente Sn Podemos fazer isso quando está clara qual é a operação do grupo ou seja ao invés de usarmos G representamos o grupo por G Seja f Sn representamos f da seguinte maneira f Por exemplo a função identidade In Sn é In Vejamos o grupo de permutação S3 Quantos elementos S3 possui Você se lembra S3 3 6 ou seja S3 possui 6 elementos Os elementos de S3 são I3 f1 f1 1 f2 f2 1 f3 f3 1 f4 f5 1 f5 f4 1 18 Unidade A história da Álgebra Abstrata e a Formação do Conceito Grupo A composição de dois elementos de S3 é realizada da mesma maneira que na composição de duas funções Vejamos as composições de duas permutações f1 f4 Para tanto temos que encontrar a imagem dos elementos 1 2 3 Temos f1 f4 1 f1 f4 1 f1 2 1 Outra maneira utilizada é a imagem do elemento 1 pela composta dada por 1 2 1 Temos f1 f4 2 f1 f4 2 f1 3 3 a imagem do elemento 2 pela composta é dada por 2 3 3 Temos f1 f4 3 f1 f4 3 f1 1 2 a imagem do elemento 3 pela composta é dada por 3 1 2 Então f1 f4 f2 Observamos que f1 f4 f2 Vejamos agora o valor f4 f1 f4 f1 Para tanto calculemos a imagem dos elementos 1 2 e 3 A imagem do elemento 1 pela composta é dada por 1 2 3 A imagem do elemento 2 pela composta é dada por 2 1 2 A imagem do elemento 3 pela composta é dada por 3 3 1 Assim temos f4 f1 f3 Notamos que f4 f1 f3 Uma consideração relevante é que f1 f4 f4 f1 Portanto S3 não é um grupo abeliano Verificaremos se realmente f5 é a função inversa de f4 Para tanto temos f5 f4 I3 Como esse grupo não é abeliano é necessário comutar ou seja f4 f5 I3 Portanto f5 é a função inversa de f4 19 Vimos que S3 não é um grupo abeliano Na verdade os únicos grupos de permutação que são abelianos são S1 e S2 e para mostrarmos isso consideremos os grupos Sn para n 3 Sejam f g Sn tais que f 1 2 3 n 1 2 3 n tais que f1 2 f2 1 e fx x 3 x n g 1 2 3 n 1 2 3 n tais que g1 3 g3 1 e gx x x 2 ou 4 x n Vejamos que f g g f para tanto basta verificarmos um elemento em que a imagem é diferente Então calculemos em 1 temos f g1 f g1 f3 3 Agora calculamos g f em 1 temos g f1 gf1 g2 2 Assim concluímos que f g g f ou seja Sn n 3 não é um grupo abeliano O conjunto S1 somente possui um elemento que é S1 O conjunto S2 possui dois elementos que são S2 20 Unidade A história da Álgebra Abstrata e a Formação do Conceito Grupo Exercícios de Exemplo 1 O conjunto P5Ra0 a1x a2x2a5x5 a0 a5 R com a operação multiplicação é um grupo O conjunto P5R com a operação multiplicação não é um grupo pois a multiplicação não é fechada em P5R De fato px x5 qx x P5R porém pxqx x5 x x51 x6 P5R 2 O conjunto 5Z x x 5m m Z com a operação soma é um grupo Para respondermos a essa questão inicialmente verificaremos se a operação adição é fechada em 5Z Sejam x y 5Z tal que x 5m y 5n com m n Z temos xy 5m 5n 5mn 5Z Portanto a operação adição é fechada em 5Z Vejamos se as condições de grupo são verificadas I A associatividade é válida pois 5Z Z e em Z vale a propriedade associativa em relação à adição II Existe o elemento neutro pois 0 50 então 0 5Z III Todo elemento de 5Z possui elemento inverso em 5Z De fato seja x 5Z tal que x 5m temos x 5m 5m 5Z e x é o elemento inverso de x pois x x 5m 5m 5mm 50 0 x x0 Portanto 5Z é um grupo 3 O grupo 5Z é abeliano O grupo 32Z será abeliano se for possível verificar a comutatividade em relação à adição Como 5Z Z e Z é comutativo 5Z será comutativo 4 Podemos afi rmar que C é grupo Não Pois C não satisfaz a propriedade do elemento inverso De fato 0 C porém 0 não possui inverso Porém temos que C é grupo já que teríamos um complexo não nulo e por consequência a propriedade do elemento inverso 21 Material Complementar Nesta unidade estudamos sobre a história da álgebra abstrata e a estrutura algébrica grupo Para que você possa ampliar e aprofundar seus conhecimentos sobre como se construiu o conceito de Grupo e a sua própria definição indicamos algumas leituras Livros ALENCAR FILHO E Elementos de Álgebra Abstrata 3 ed São Paulo Nobel 1982 DOMINGUES HH IEZZI G Álgebra Moderna São Paulo Atual 2003 GARCIA A LEQUAIN Y Elementos de Álgebra Rio de Janeiro Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada 2002 GONÇALVES A Introdução à Álgebra Rio de Janeiro Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada 2003 HEIRSTEIN I N Tópicos de Álgebra São Paulo Editora da Universidade e Polígono 1970 MONTEIRO L H J Iniciação às estruturas algébricas 6 ed São Paulo Nobel 1973 Sites A história da Álgebra Abstrata MILIES C P Breve história da Álgebra Abstrata In II Bienal da Sociedade Brasileira da Matemática Salvador 2004 httpwwwbienasbmufbabrM18pdf BORRALHO A CABRITA I PALHARES P E VALE I Os Padrões no Ensino e Aprendizagem da Álgebra In VALE I PIMENTEL T BARBOSA A FONSECA L SANTOS L CANAVARRO P Orgs Números e Álgebra Lisboa SEMSPCE 2007 p 193211 httprdpcuevorapt Cubo Mágico e o Grupo httpwwwdmufscarbrprofswaldeckrubikrubik2pdf 22 Unidade A história da Álgebra Abstrata e a Formação do Conceito Grupo Referências ALENCAR FILHO E Elementos de Álgebra Abstrata 3 ed São Paulo Nobel 1982 DOMINGUES HH IEZZI G Álgebra Moderna São Paulo Atual 2003 GARCIA A LEQUAIN Y Elementos de Álgebra Rio de Janeiro Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada 2002 GONÇALVES A Introdução à Álgebra Rio de Janeiro Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada 2003 HEIRSTEIN I N Tópicos de Álgebra São Paulo Editora da Universidade e Polígono 1970 MONTEIRO L H J Iniciação às estruturas algébricas 6 ed São Paulo Nobel 1973 MILIES C P Breve história da Álgebra Abstrata In II Bienal da Sociedade Brasileira da Matemática Salvador 2004 Disponível em httpwwwbienasbmufbabrM18pdf RIZZATO F B Grupos de Permutação Disponível em httpwwwmatematicabr historiagruposhtml Anotações wwwcruzeirodosulvirtualcombr Campus Liberdade Rua Galvão Bueno 868 CEP 01506000 São Paulo SP Brasil Tel 55 11 33853000 Cruzeiro do Sul Educacional
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Estruturas Algébricas Material Teórico Responsável pelo Conteúdo Prof Ms Ana Paula Teles de Oliveira Revisão Textual Prof Ms Claudio Brites A história da Álgebra Abstrata e a Formação do Conceito Grupo 5 A história da Álgebra Abstrata e a Formação do Conceito Grupo A Estrutura Grupo Exercícios de Exemplo Nesta unidade veremos uma estrutura algébrica fundamental para o nosso curso denominada grupo Para tanto veremos alguns aspectos históricos da Álgebra Ao término deste estudo esperamos que você consiga definir e exemplificar a estrutura grupo Para um bom aproveitamento da aula realize a leitura integral do conteúdo teórico acompanhando e refazendo os exemplos resolvidos Quando aparecer alguma dúvida entre em contato com seusua tutora utilizando a ferramenta Mensagens ou o Fórum de Dúvidas A história da Álgebra Abstrata e a Formação do Conceito Grupo 6 Unidade A história da Álgebra Abstrata e a Formação do Conceito Grupo Contextualização Com a obra Ars Magna do matemático italiano Cardano onde são descritos métodos para resolver equações de terceiro e quarto grau iniciouse um novo questionamento será que todas as equações algébricas poderiam ser resolvidas somente utilizando operações e radicais Para responder a esse questionamento iniciamse estudos nas equações de graus superiores a quatro com o objetivo de saber se existe e qual seria a fórmula geral para resolvêlas Contudo apesar dos muitos esforços não conseguiram respondêla No séc XVII o matemático francês Lagrange dedicase a estudar todas as fórmulas conhecidas até aquele momento com o intuito de responder a esse questionamento fazendo permutações entre as raízes das equações Em seguida Ruffini com uma proposta semelhante ao de Lagrange propõese a provar que geralmente equações com grau maior do que quatro não eram resolvidas por radicais Entretanto a demonstração desse fato foi construída pelo matemático norueguês Abel Apesar de em geral uma equação com grau superior a quatro não ser solucionada por radicais algumas podem ser resolvidas O problema agora consistia em caracterizálas Cauchy faz um estudo sobre permutações de raízes das equações algébricas Dessa forma a noção de permutação é apresentada de outro modo utilizando o termo substituição Evariste Galois inicia um trabalho para se ter um critério em que conseguiria distinguir quais equações eram resolvidas por radicais Para isso ele utiliza trabalhos realizados sobre esse assunto como estudos sobre permutações entre raízes Também em seu trabalho o termo permutação é o mesmo que substituição usado por Cauchy Em seu trabalho Galois associou a cada equação um grupo o grupo de permutações A utilização que Galois faz da palavra grupo tem o mesmo sentido que utilizamos em nossos dias Cauchy percebendo a importância da teoria da permutação publica uma série de artigos sobre esse assunto entre os anos 1844 e 1846 Com esses materiais Cayley define em um artigo publicado em 1854 grupo abstrato Em sua definição utiliza notação multiplicativa 7 A história da Álgebra Abstrata e a Formação do Conceito Grupo Nesta unidade estudaremos o objeto matemático denominado grupo uma estrutura algébrica fundamental para o nosso curso Essa estrutura consiste em um conjunto não vazio com uma operação que possui determinadas propriedades Apesar de atualmente estudarmos este conteúdo como algo muito bem organizado em curto espaço de tempo não foi sempre assim A Álgebra por muito tempo foi vista como uma ciência que estudava a resolução de equações Por meio dessa informação podemos concluir que se trata de uma ciência antiga Sabemos que existe um documento egípcio denominado Papiro de Rhind Figura 1 datado de 1650 aC em que o escriba relata copiar um material datado de 2000 aC Nesse documento existem problemas relacionados à distribuição de mercadoria que conduzem à solução de equações simples MILIES 2004 Figura 1 Papiro de Rind Fonte fisicainteressantecom Desde o seu início a Álgebra foi empregada com a preocupação de se ter métodos precisos e ao mesmo tempo gerais Apesar de se conseguir formalizar uma notação apropriada para uma equação com a utilização de letras para os coeficientes e as variáveis durante muito tempo elas se restringiam a casos concretos em que muitas situações eram intuitivas MILIES 2004 Porém no século XIX a operação é vista de maneira mais abrangente pois o seu estudo não se limita às operações clássicas dos conjuntos numéricos Há uma generalização em seu conceito em que se estudam as operações entre elementos Os matemáticos preocupamse em estudar as propriedades das operações deixando o enfoque dado anteriormente para a natureza dos elementos É nesse século que se inicia o que denominamos de Álgebra Abstrata 8 Unidade A história da Álgebra Abstrata e a Formação do Conceito Grupo Em 1770 o matemático ítalofrancês Joseph Louis Lagrange 17361813 Figura 2 inicia o estudo da teoria das permutações para a resolução de equações algébricas O seu trabalho recebeu contribuições do italiano Paolo Ruffini 17651822 Figura 3 e do norueguês Niels Henrik Abel 1802 1829 Figura 4 Figura 2 Joseph Louis Lagrange 17361813 Fonte successstoriescoin Figura 3 Paolo Ruf ni 1765 1822 Fonte Wikimedia Commons Figura 4 Niels Henrik Abel 1802 1829 Fonte findagravecom Apesar de existirem vários matemáticos estudando permutações foi o francês Evariste Galois 1811 1832 Figura 5 que formalizou o conceito de grupo de permutações em seu trabalho por volta de 1830 onde utilizou o termo grupo Figura 5 Evariste Galois 1811 1832 Fonte megacuriosocombr 9 Entre os anos de 1844 e 1846 o francês Agustin Cauchy 17891857 Figura 6 percebeu a importância desse assunto escrevendo vários artigos sobre grupo de permutações Figura 6 Agustin Cauchy Fonte imeunicampbr Esses artigos influenciaram o britânico Arthur Cayley 18211895 Figura 7 que possuía uma habilidade para a generalização a partir de exemplos particulares Ele percebeu que a definição de grupo não precisava ser restrita às permutações e dessa forma generalizou esse conceito sendo o primeiro a definir o conceito de grupo abstrato em um artigo no ano de 1854 MILIES 2004 Figura 7 Arthur Cayley Fonte Wikimedia Commons Para aprofundar o seu conhecimento sobre a História da Álgebra Abstrata acesse o artigo de Milies que consta abaixo httpwwwbienasbmufbabrM18pdf 10 Unidade A história da Álgebra Abstrata e a Formação do Conceito Grupo Observamos então que foram necessários aproximadamente 24 anos entre a definição de grupo de permutação e a generalização para a formalização do conceito de grupo abstrato E em pleno século XXI esse conceito permanece não somente na Matemática mas também na Física que a emprega atualmente em mecânica quântica E agora dedicaremos nosso estudo a essa importante estrutura A Estrutura Grupo Historicamente percebemos que a estrutura grupo foi constituída primeiramente em um exemplo particular as permutações para depois ser generalizada e assim formalizar o conceito abstrato Mas na análise de diferentes livros que tratam desse assunto como Álgebra Moderna Introdução a Álgebra Elementos de Álgebra percebese que a apresentação ocorre de maneira inversa iniciandose com a definição geral para depois passar aos exemplos particulares Em nosso trabalho procederemos de maneira semelhante Seja G um conjunto não vazio com uma operação G x G G G será um grupo se as seguintes condições são satisfeitas I A operação é associativa ou seja para quaisquer que sejam a b c G têmse a b c a b c II O conjunto G possui elemento neutro ou seja existe e G tal que e a a e a para todo a G III Todo elemento de G possui elemento inverso em G ou seja para todo a G existe a G tal que a a a a e Vale a pena destacar a unicidade do elemento neutro Suponha a existência de dois elementos neutros representados por e1 e2 G e1 Como e2 é elemento neutro temos e1 e2 Como e1 é elemento neutro temos e2 Portanto e1 e2 Outra característica é a unicidade do elemento inverso Sejam a a G elementos inverso de a G dessa forma a Como e é elemento neutro de G temos a e Como a é elemento inverso de a temos a a a 11 Utilizando a propriedade associativa temos a a a Como a é inverso de a temos e a Como e é o elemento neutro temos a Portanto a a Usualmente utilizamos a notação G para representar o grupo G com a operação Assista ao vídeo socrático sobre grupo httpswwwyoutubecomwatchvPSvv73PemQs Agora que conhecemos o conceito de grupo vejamos alguns exemplos Iniciaremos falando de conjuntos com a operação de adição por isso é denominado grupo aditivo O grupo aditivo dos inteiros representado por Z A operação adição é associativa O elemento neutro é o número 0 O elemento inverso de a Z é a Z O grupo aditivo dos racionais representado por Q A operação adição é associativa O elemento neutro é o número 0 O elemento inverso de a Q é a Q O grupo aditivo dos reais representado por R A operação adição é associativa O elemento neutro é o número 0 O elemento inverso de a R é a R Você pode estar pensando Será que todos os conjuntos numéricos que conhecemos é grupo aditivo A resposta é negativa Pensemos em N observemos que a adição é uma operação aditiva que o número 0 é o elemento neutro da adição Porém apesar de satisfazer essas duas condições observamos que o conjunto dos números naturais não possui o elemento inverso Por exemplo qual é o número que seria o inverso para o número 1 Para respondermos a esse questionamento temos que encontrar um número x que satisfaça à condição do elemento inverso ou seja satisfaça às seguintes equações 1 x 0 x 1 0 Contudo o número que satisfaz às equações acima é o número 1 que não é um número natural Portanto o conjunto N não é um grupo aditivo O grupo aditivo dos complexos representado por C Sejam a b C tais que a a0 a1i e b b0 b1i A operação adição é definida por ab a0 b0 a1 b1i 12 Unidade A história da Álgebra Abstrata e a Formação do Conceito Grupo Mostraremos que a adição em C é associativa Preste muita atenção aos cálculos pois a notação pode parecer complicada Descreveremos todos os passos neste momento tentando diminuir o tempo para a compreensão Para tanto sejam a b c C tais que a a0 a1i b b0 b1i c c0 c1i temos ab c Substituindo os valores de a b e c a0 a1i b0 b1i c0 c1i Operando a adição entre os elementos a0 a1i e b0 b1i temos a0 b0 a1 b1i c0 c1i Operando a adição entre os elementos a0 b0 a1 b1i e c0 c1i obtemos a0 b0 c0 a1 b1 c1i Aplicando a associatividade da adição dos números reais em a0 b0 c0 e a1 b1 c1 temos a0 b0 c0 a1 b1 c1i Utilizando a definição da adição em C temos a0 a1i b0 c0 b1 c1i Utilizando a definição da adição em C temos a0 a1i b0 b1i c0 c1i Substituindo o valor de a b e c temos a b c Portanto vale a associatividade Observe que todos esses passos são necessários pois a adição em C e R é uma operação binária e para distinguir os elementos que estamos adicionando usamos os parênteses Na resolução dos exercícios contudo não costumamos descrever todos os passos Vamos reescrever essa mesma prova sem dar todos os detalhes e tente imaginar quais propriedades foram utilizadas a b c a0 a1i b0 b1i c0 c1i a0 b0 a1 b1i c0 c1i a0 b0 c0 a1 b1 c1i a0 b0 c0 a1 b1 c1i a0 a1i b0 c0 b1 c1i a0 a1i b0 b1i c0 c1i a b c 13 Observemos que apesar de não estarem descritos todos os passos as equações têm uma sequência lógica deixando claro ao leitor qual é a propriedade em uso Então é sempre necessário ser cuidadoso em sua escrita Mostraremos que o elemento neutro de C é o número 0 Seja 0 0 0i C para qualquer a C tal que a a0 a1i temos 0 a Substituindo o valor de 0 e a temos 0 0i a0 a1i Adicionando temos 0 a0 0 a1i O número 0 é o elemento neutro da adição em R temos a0 a1i Substituindo o valor de a obtemos a Agora reescreveremos sem os comentários Tente imaginar porque vale cada igualdade 0 a 0 0i a0 a1i 0 a0 0 a1i a0 a1i a Você reparou que utilizamos somente a definição de adição em C e a propriedade do elemento neutro para a adição dos números reais Ao considerarmos a condição II para um conjunto ser grupo é necessário verificarmos tanto 0 a a quanto a 0 a Fizemos 0 a a então tente mostrar que a 0 a Dessa forma o número 0 é o elemento neutro de C Falta verificarmos que todos os elementos de C na operação adição tem um elemento inverso ou seja para cada número complexo existe outro número complexo e ao adicionarmos os dois números como resultado teremos o número 0 Seja a C tal que a a0 a1i considere a a0 a1i a a a0 a1i a0 a1i a0 a0 a1 a1i 0 0i 0 14 Unidade A história da Álgebra Abstrata e a Formação do Conceito Grupo Omitimos todos os comentários tente imaginar o motivo pelo qual vale o sinal de igual em cada linha Esse é um exercício muito importante Observemos que para provar a propriedade do inverso em C utilizamos a definição de a e a e a propriedade do elemento inverso no conjunto dos números reais Mas ao olharmos a condição III vemos que é necessário verificar também que a a 0 deixaremos como exercício essa verificação Como verificamos C possui todas as condições necessárias para ser um grupo então C é um grupo aditivo Grupo Aditivo das matrizes quadradas de ordem 2 sendo representado por M2R onde a operação de adição é Mostre que todas as condições necessárias para ser um grupo estão verificadas nesse conjunto Saiba Mais O grupo aditivo das matrizes independe se a matriz é quadrada Por exemplo consideremos as matrizes sobre um conjunto K com m linhas e n colunas em que K pode ser Z Q R ou C representado por MmxnK temos MmxnK como um grupo aditivo ou seja MmxnK Também podemos utilizar a multiplicação como operação em conjuntos conhecidos Por esse motivo são denominados grupos multiplicativos Vejamos alguns exemplos O grupo multiplicativo dos racionais sem o zero representado por Q0 A operação multiplicação é associativa O elemento neutro é o número 1 O elemento inverso de a Q0 é a1 Q0 O grupo multiplicativo dos reais sem o zero representado por R0 A operação multiplicação é associativa O elemento neutro é o número 1 O elemento inverso de a R0 é a1 R0 O grupo multiplicativo dos complexos sem o zero representado por C0 Sejam a b C0 tais que a a0 a1i e b b0 b1i A operação multiplicação é definida por ab a0 b0 a1b1 a0 b1 a1 b0i O elemento neutro é o número 1 1 0i O elemento inverso de a C0 é a1 C0 Verifique 15 Lembramos a propriedade do elemento neutro para todo a G existe e G tal que ea aea e a propriedade do elemento inverso ou seja para todo a G existe a G tal que aa aa e Observemos que a ordem em que os elementos são operados é de suma importância A propriedade em que a b b a para quaisquer a b G é denominada comutativa Se o grupo G satisfaz a propriedade comutativa G é denominado Grupo Abeliano em homenagem ao matemático norueguês N H Abel citado anteriormente Também pode ser denominado grupo comutativo Então todos os grupos citados nos exemplos anteriores são abelianos Vamos conhecer grupos que não são abelianos Grupo multiplicativo das matrizes inversíveis de ordem 2 com entradas nos reais representado por GL2R em que a multiplicação de matrizes é definida por Observemos que não vale a propriedade comutativa em M2R Para ilustrarmos temos E ao comutarmos os elementos temos Mostraremos que são válidas as condições para que GL2R seja grupo Vejamos a associatividade sejam A B C GL2R tais que A B e C temos A B C 16 Unidade A história da Álgebra Abstrata e a Formação do Conceito Grupo Omitimos os parênteses da operação multiplicação pois em R a multiplicação é comutativa A BC Portanto o conjunto GL2R com a operação multiplicação é associativa Ao olhar todos esses cálculos não se esqueça de imaginar porque cada igualdade é válida pense se são definições ou propriedades nos números reais Não se esqueça de que esse é um exercício importantíssimo O elemento neutro será a matriz identidade I2 Ao prestarmos atenção consideramos o conjunto das matrizes inversíveis para termos a condição de elemento inverso Para saber se uma matriz é inversível basta encontrar a sua inversa mas um processo mais fácil é lembrar que uma matriz quadrada terá inversa se e somente se o seu determinante for diferente de zero Portanto GL2R é um grupo multiplicativo que não é abeliano Será que posso considerar GL3R E o conjunto GL4R E GLnR onde n 1 2 3 4 Você se lembra de que o primeiro exemplo de grupo foi denominado de permutações Vamos agora descrever esse grupo Para tanto considere S um conjunto não vazio seja G f S S f é bijetiva Sejam f1 f2 G a função composta de f1 e f2 é definida assim f1 f2x f1 f2x para qualquer x S Vejamos que a função composta é fechada Para tanto vamos verificar se f1 f2 G ou seja f1 f2 é bijetiva Vejamos se f1 f2 é injetiva Sejam x1 x2 S tais que f1 f2x1 f1 f2x2 Por definição temos f1f2x1 f1 f2x2 17 Como f1 é injetiva temos f2x1 f2x2 Como f2 é injetiva temos x1 x2 Portanto f1 f2 é injetiva Mostraremos se f1 f2 é sobrejetora Seja z S Como f1 é sobrejetora temos y S tal que z f1y Como f2 é sobrejetora temos x S tal que z f1y f1 f2x f1 f2 x Portanto f1 f2 é sobrejetora Como f1 f2 é injetora e sobrejetora a denominamos bijetora Portanto f1 f2 G O grupo de permutações será representado por G A composição de funções em S é uma operação associativa O elemento neutro será a função identidade representada por I Se f é bijetora então f é inversível ou seja f1 f I Seja G um grupo o número de elementos de um grupo é denominado por ordem de G e representado por G Quando o conjunto S é finito e representado por S1 2 3 n denotamos por Sn o grupo simétrico O conjunto Sn é finito e a sua ordem será n ou seja Sn será n Você percebeu que ao invés de utilizarmos a notação Sn utilizamos somente Sn Podemos fazer isso quando está clara qual é a operação do grupo ou seja ao invés de usarmos G representamos o grupo por G Seja f Sn representamos f da seguinte maneira f Por exemplo a função identidade In Sn é In Vejamos o grupo de permutação S3 Quantos elementos S3 possui Você se lembra S3 3 6 ou seja S3 possui 6 elementos Os elementos de S3 são I3 f1 f1 1 f2 f2 1 f3 f3 1 f4 f5 1 f5 f4 1 18 Unidade A história da Álgebra Abstrata e a Formação do Conceito Grupo A composição de dois elementos de S3 é realizada da mesma maneira que na composição de duas funções Vejamos as composições de duas permutações f1 f4 Para tanto temos que encontrar a imagem dos elementos 1 2 3 Temos f1 f4 1 f1 f4 1 f1 2 1 Outra maneira utilizada é a imagem do elemento 1 pela composta dada por 1 2 1 Temos f1 f4 2 f1 f4 2 f1 3 3 a imagem do elemento 2 pela composta é dada por 2 3 3 Temos f1 f4 3 f1 f4 3 f1 1 2 a imagem do elemento 3 pela composta é dada por 3 1 2 Então f1 f4 f2 Observamos que f1 f4 f2 Vejamos agora o valor f4 f1 f4 f1 Para tanto calculemos a imagem dos elementos 1 2 e 3 A imagem do elemento 1 pela composta é dada por 1 2 3 A imagem do elemento 2 pela composta é dada por 2 1 2 A imagem do elemento 3 pela composta é dada por 3 3 1 Assim temos f4 f1 f3 Notamos que f4 f1 f3 Uma consideração relevante é que f1 f4 f4 f1 Portanto S3 não é um grupo abeliano Verificaremos se realmente f5 é a função inversa de f4 Para tanto temos f5 f4 I3 Como esse grupo não é abeliano é necessário comutar ou seja f4 f5 I3 Portanto f5 é a função inversa de f4 19 Vimos que S3 não é um grupo abeliano Na verdade os únicos grupos de permutação que são abelianos são S1 e S2 e para mostrarmos isso consideremos os grupos Sn para n 3 Sejam f g Sn tais que f 1 2 3 n 1 2 3 n tais que f1 2 f2 1 e fx x 3 x n g 1 2 3 n 1 2 3 n tais que g1 3 g3 1 e gx x x 2 ou 4 x n Vejamos que f g g f para tanto basta verificarmos um elemento em que a imagem é diferente Então calculemos em 1 temos f g1 f g1 f3 3 Agora calculamos g f em 1 temos g f1 gf1 g2 2 Assim concluímos que f g g f ou seja Sn n 3 não é um grupo abeliano O conjunto S1 somente possui um elemento que é S1 O conjunto S2 possui dois elementos que são S2 20 Unidade A história da Álgebra Abstrata e a Formação do Conceito Grupo Exercícios de Exemplo 1 O conjunto P5Ra0 a1x a2x2a5x5 a0 a5 R com a operação multiplicação é um grupo O conjunto P5R com a operação multiplicação não é um grupo pois a multiplicação não é fechada em P5R De fato px x5 qx x P5R porém pxqx x5 x x51 x6 P5R 2 O conjunto 5Z x x 5m m Z com a operação soma é um grupo Para respondermos a essa questão inicialmente verificaremos se a operação adição é fechada em 5Z Sejam x y 5Z tal que x 5m y 5n com m n Z temos xy 5m 5n 5mn 5Z Portanto a operação adição é fechada em 5Z Vejamos se as condições de grupo são verificadas I A associatividade é válida pois 5Z Z e em Z vale a propriedade associativa em relação à adição II Existe o elemento neutro pois 0 50 então 0 5Z III Todo elemento de 5Z possui elemento inverso em 5Z De fato seja x 5Z tal que x 5m temos x 5m 5m 5Z e x é o elemento inverso de x pois x x 5m 5m 5mm 50 0 x x0 Portanto 5Z é um grupo 3 O grupo 5Z é abeliano O grupo 32Z será abeliano se for possível verificar a comutatividade em relação à adição Como 5Z Z e Z é comutativo 5Z será comutativo 4 Podemos afi rmar que C é grupo Não Pois C não satisfaz a propriedade do elemento inverso De fato 0 C porém 0 não possui inverso Porém temos que C é grupo já que teríamos um complexo não nulo e por consequência a propriedade do elemento inverso 21 Material Complementar Nesta unidade estudamos sobre a história da álgebra abstrata e a estrutura algébrica grupo Para que você possa ampliar e aprofundar seus conhecimentos sobre como se construiu o conceito de Grupo e a sua própria definição indicamos algumas leituras Livros ALENCAR FILHO E Elementos de Álgebra Abstrata 3 ed São Paulo Nobel 1982 DOMINGUES HH IEZZI G Álgebra Moderna São Paulo Atual 2003 GARCIA A LEQUAIN Y Elementos de Álgebra Rio de Janeiro Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada 2002 GONÇALVES A Introdução à Álgebra Rio de Janeiro Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada 2003 HEIRSTEIN I N Tópicos de Álgebra São Paulo Editora da Universidade e Polígono 1970 MONTEIRO L H J Iniciação às estruturas algébricas 6 ed São Paulo Nobel 1973 Sites A história da Álgebra Abstrata MILIES C P Breve história da Álgebra Abstrata In II Bienal da Sociedade Brasileira da Matemática Salvador 2004 httpwwwbienasbmufbabrM18pdf BORRALHO A CABRITA I PALHARES P E VALE I Os Padrões no Ensino e Aprendizagem da Álgebra In VALE I PIMENTEL T BARBOSA A FONSECA L SANTOS L CANAVARRO P Orgs Números e Álgebra Lisboa SEMSPCE 2007 p 193211 httprdpcuevorapt Cubo Mágico e o Grupo httpwwwdmufscarbrprofswaldeckrubikrubik2pdf 22 Unidade A história da Álgebra Abstrata e a Formação do Conceito Grupo Referências ALENCAR FILHO E Elementos de Álgebra Abstrata 3 ed São Paulo Nobel 1982 DOMINGUES HH IEZZI G Álgebra Moderna São Paulo Atual 2003 GARCIA A LEQUAIN Y Elementos de Álgebra Rio de Janeiro Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada 2002 GONÇALVES A Introdução à Álgebra Rio de Janeiro Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada 2003 HEIRSTEIN I N Tópicos de Álgebra São Paulo Editora da Universidade e Polígono 1970 MONTEIRO L H J Iniciação às estruturas algébricas 6 ed São Paulo Nobel 1973 MILIES C P Breve história da Álgebra Abstrata In II Bienal da Sociedade Brasileira da Matemática Salvador 2004 Disponível em httpwwwbienasbmufbabrM18pdf RIZZATO F B Grupos de Permutação Disponível em httpwwwmatematicabr historiagruposhtml Anotações wwwcruzeirodosulvirtualcombr Campus Liberdade Rua Galvão Bueno 868 CEP 01506000 São Paulo SP Brasil Tel 55 11 33853000 Cruzeiro do Sul Educacional