·
Matemática ·
Outros
Envie sua pergunta para a IA e receba a resposta na hora
Texto de pré-visualização
Função Exponencial Material Teórico Responsável pelo Conteúdo Profa Ms Conceição Aparecida Cruz Longo Revisão Textual Prof Ms Claudio Brites 5 Introdução O símbolo da Potência Função Exponencial Nesta Unidade você inicia mais um estudo sobre as funções exponenciais Este conteúdo lhe permitirá rever os conceitos de potenciação e radiciação bem como suas propriedades que servirão como embasamento para os estudos das equações exponenciais das funções exponenciais e dos gráficos das funções exponenciais Não se esqueça consulte o material teórico na íntegra Faça as atividades Fique atento às datas de entrega das tarefas avaliativas Enfim ao concluir seus estudos nesta Unidade você terá vencido mais uma importante etapa no seu curso Nesta unidade trataremos das funções exponenciais A função exponencial é uma das mais importantes para o estudo e explicação de inúmeros fenômenos naturais e também para o projeto de incontáveis máquinas tornandose assim uma das ferramentas indispensáveis para físicos químicos biólogos e também engenheiros Função Exponencial Equação Exponencial Inequação Exponencial 6 Unidade Função Exponencial Contextualização Nesta contextualização você estudará uma aplicação de funções exponenciais lendo o seguinte artigo extraído do jornal O Globo de 21 maio 2011 Pense neste trecho aumentou exponencialmente Em algum momento você já deve ter lido ou ouvido uma notícia em que se fala sobre aumento exponencial ou decréscimo exponencial Que tal dar uma olhada no que diz o dicionário Exponencialmente ou exponencial significa algo que é considerado acima ou abaixo do comum ou que tem grande variação Ex crescimento exponencial1 Suponha que neste município a cada ano o número de casos de dengue aumente aproximadamente dez vezes em relação ao ano anterior e esse padrão se mantenha nos anos seguintes Logo 2010 17 casos 2011 17 x 10 170 casos aproximadamente 2012 17 x 10 x 10 1 700 casos aproximadamente 2013 17 x 10 x 10 x 10 17 000 casos aproximadamente 2014 17 x 10 x 10 x 10 x 10 170000 casos aproximadamente E assim sucessivamente Agora vamos chamar de Qt a quantidade de casos de dengue a cada ano e t a quantidade de anos a fim de poder escrever da seguinte forma 1 Fonte httpwwwpriberamptdlpoexponencialmente 7 Considerando o ano de 2010 como t 0 2010 17 x 100 2011 17 x 10¹ 2012 17 x 10² 2013 17 x 10³ 2014 17 x 104 Ano t 17 x 10t Assim a função que expressa o número de casos de dengue de acordo com o ano t é Qt 17 10t Se nada for feito para controlar a dengue em 2016 teremos Qt 17 106 Qt 17 1 000 000 Qt 17 000 000 dezessete milhões de casos Um valor considerado absurdo certamente Lembrase do que dizia o dicionário Exponencialmente ou exponencial significa algo que é considerado acima ou abaixo do comum ou que tem grande variação grifos nossos Pense nisso Vejamos agora este outro exemplo Vunesp SP Duas funções ft e gt fornecem o número de ratos e o número de habitantes de uma certa cidade em função do tempo t em anos respectivamente num período de 0 a 5 anos Suponha que no tempo inicial t 0 existiam nessa cidade 100 000 ratos e 70 000 habitantes que o número de ratos dobra a cada ano e que a população humana cresce 2 000 habitantes por ano Encontre a As expressões matemáticas das funções ft e gt b O número de ratos que haverá por habitante após 5 anos Pense primeiro na quantidade de ratos Em t 0 temos f0 100 000 100 000 x 20 Em 1 ano temos f1 200 000 100 000 x 21 Em 2 anos temos f2 400 000 100 000 x 22 Em 3 anos temos f3 800 000 100 000 x 23 Em 4 anos temos f4 1 600 000 100 000 x 24 Em t anos temos ft 100 000 x 2t ft 100 000 2t 8 Unidade Função Exponencial E para a quantidade de pessoas Em g 0 temos g0 70 000 Em 1 ano temos g1 70 000 2 000 Em 2 anos temos g2 70 000 2 000 x 2 Em 3 anos temos g3 70 000 2 000 x 3 Em 4 anos temos g4 70 000 2 000 x 4 Em t anos temos gt 70 000 2 000 x t gt 70 000 2 000t Para resolver o item b calculamos o quociente entre o número de ratos e de pessoas daqui a cinco anos Logo após cinco anos existirão nessa cidade quarenta ratos por habitante 9 Introdução Primeiro faremos uma revisão de potenciação Você conhece a lenda do xadrez O xadrez é um dos jogos mais antigos do mundo Foi criado há séculos na Índia A história do jogo conta que um rei chamado Sheram ficou entusiasmado pela criação do jogo novo Sessa era professor e o inventor do jogo e foi recompensado pelo rei pelo invento realizado Como era uma pessoa humilde o pedido que fez ao rei foi de receber um grão de trigo pela primeira casa do tabuleiro de xadrez dois grãos pela segunda casa quatro grãos pela terceira oito pela quarta e assim por diante até completar as 64 casas do tabuleiro de xadrez O Rei Sheram ficou admirado pelo pedido tão modesto do inventor que imediatamente ordenou aos seus sábios o cálculo do número de grãos para que fossem entregues em um saco ao inventor Contudo o rei ficou espantado com o resultado fornecido pelos sábios pois esse número era tão grande que não caberia dentro de um saco nem dentro de todos os sacos existentes na Terra Como foi realizado o cálculo feito pelos sábios para se chegar ao número 18 446 744 073 709 551 615 Primeira casa 1 grão Segunda casa 1 2 2 grãos Terceira casa 2 2 4 grãos Quarta casa 2 2 2 8 grãos Quinta casa 2 2 2 2 16 grãos E assim por diante até completar as 64 casas do tabuleiro de xadrez chegando ao resultado gigantesco Trocando Ideias Para conhecer mais sobre o assunto acesse httpeducacaouolcombrplanosdeaulafundamentalmatematicapotenciacaonotabuleiro dexadrezhtm Assim Exemplo 53 5 5 5 125 3 fatores iguais Fonte ThinkstockGetty Images 10 Unidade Função Exponencial O símbolo da Potência Podemos dizer então que para indicarmos multiplicações com fatores iguais o homem criou a potenciação Assim para indicar 2 2 2 2 2 por exemplo usamos o símbolo 25 denominado potência de base 2 e expoente 5 Nomenclatura 25 2 2 2 2 2 32 Assim 2 é a base 5 é o expoente e 32 é a potência A base é o fator que se repete O expoente é o número de vezes que repetimos a base A potência é o resultado Potências de base real com expoente inteiro Exemplos 26 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 64 42 4 x 4 16 35 3 x 3 x 3 x 3 x 3 243 63 6 x 6 x 6 216 Todo número diferente de zero e elevado a zero é um 20 1 30 1 100 1 Todo número diferente de zero e elevado a um é o próprio número 151 15 201 20 121 12 11 Base zero e qualquer número no expoente o resultado é zero 05 0 012 0 025 0 Base negativa e expoente ímpar resultado negativo 45 4 x 4 x 4 x 4 x 4 1024 33 3 x 3 x 3 27 27 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 128 Base negativa e expoente par resultado positivo 24 2 x 2 x 2 x 2 16 62 6 x 6 36 82 8 x 8 64 Explicando algumas propriedades Potências de bases iguais Multiplicação conservase a base comum e somamos os expoentes aman am n Exemplos 37 x 35 375 312 58 x 53 583 511 24 x 22 242 242 22 53 x 3 x 58 x 35 538 x 315 511 x 36 Divisão conservase a base comum e subtraímos os expoentes Exemplos 28 25 285 23 512 55 5125 5125 517 63 27 6 23 631 273 62 273 62 210 Potências de Expoentes Iguais Multiplicação multiplicase as bases e conservamos o expoente comum am bm abm 12 Unidade Função Exponencial Exemplos 37 x 27 3 x 27 67 29 x 35 x 26 x 310 29 x 26 x 35 x 310 296 x 3510 215 x 315 2 x 315 615 Divisão dividese as bases e conservamos o expoente comum am bm a bm Exemplos 87 27 8 27 47 610 35 62 37 610 623537610 2 35 7 6102 357 612 312 6 312 212 Consequência todo número diferente de zero elevado a zero é igual a um a0 1 a 0 Assim an an ann a0 1 Potências de potência para escrever a potência elevada a outro expoente mantémse a base e multiplicamse os expoentes amn amn Exemplos 223 22 22 22 2222 26 64 224 22 22 22 22 22222 28 256 Potências de expoente negativo invertese a base da potência e depois mudase o sinal do expoente para positivo e então é resolvida normalmente aplicando as propriedades vistas anteriormente amn amn Exemplos 13 Potências de base 0 quando a base do expoente é zero o resultado será sempre zero para qualquer valor que seja colocado no expoente com exceção do zero 0n 0 se n 0 00 indeterminação 0n impossível se n 0 Em síntese Outros exemplos ATENÇÃO amn amn Veja por exemplo 234 212 e 234281 Para saber mais acesse httpgoogl6vjQsR 14 Unidade Função Exponencial Agora uma revisão de radiciação Figura 2 Tirinha intitulada Guaraná e Pirrixa e a raiz quadrada Fonte httpguaranaeturmablogspotcombr201207guaranaepirrixaeraizquadradahtml Dado um número real a não negativo e um número natural n n 1 chamase raiz n ésima enésima de a o número real e não negativo b tal que bn a Importante Considere dois casos 1º caso sendo a um número real não negativo e n um número inteiro positivo temse que Exemplos 2º caso sendo a um número real negativo e n um número inteiro positivo temse que 15 Exemplos Propriedades dos radicais Considerando a e b reais não negativos m inteiro n aos naturais não nulos temos as seguintes propriedades 1ª propriedade Exemplos 2ª propriedade Exemplos 3 5 3 5 2 8 2 8 16 4 3ª propriedade Exemplos 16 Unidade Função Exponencial 4ª propriedade a a e a a m n m p n p m n n p m p Exemplos 56 56 56 10 10 10 2 3 2 4 3 4 8 12 6 10 10 2 3 5 6 2 5ª propriedade Exemplos Racionalização de denominadores São três casos 1 caso o radical do denominador possui índice 2 Exemplos O valor de uma fração não se altera quando multiplicamos seu numerador e seu denominador por um mesmo número pois isso equivale a multiplicar essa fração por 1 17 2 caso o radical do denominador possui índice diferente de 2 Exemplos a 5 2 5 2 2 2 5 2 2 5 2 2 5 2 2 2 3 2 3 1 3 1 3 1 3 2 1 3 1 3 3 3 3 b 6 3 6 3 3 3 6 3 3 6 27 3 6 27 3 2 27 4 4 3 4 3 4 3 4 1 3 4 4 4 4 4 4 3 caso o denominador é um binômio em que pelo menos um dos termos é um número irracional sob a forma de radical Exemplos Função Exponencial Vamos à função fx ax Dado um número real a a 0 e a 1 denominase função exponencial de base a uma função f de R em R definida por fx ax ou y ax Exemplos Para Pensar Por que as restrições de a 0 e a 1 foram dadas na definição 18 Unidade Função Exponencial Exemplos Não são funções exponenciais fx 4x fx x2 fx 0x fx 1x Dada a função exponencial fx 2x calcule Figura 3 Gráfico da função exponencial Acompanhe a construção dos gráficos de duas funções exponenciais Atribuise alguns valores para x para encontrar os valores correspondentes de fx Tabela 1 Função Exponencial x fx 2x x fx 2 fx22 2 1 2 1 4 2 1 4 1 fx22 1 1 2 1 2 1 1 2 0 fx 20 1 0 1 1 fx 21 2 1 2 2 fx 22 4 2 4 19 Gráfico 1 Função Exponencial Uma função exponencial é crescente se a 1 pois sempre que aumentamos os valores de x os valores correspondentes de fx também aumentam No caso acima temos que a função f é crescente com a 2 Tabela 2 Função exponencial x fx x 1 2 x fx 2 fx 2 22 4 1 2 24 1 fx 1 21 2 1 2 12 0 fx 0 1 1 2 0 1 1 fx 1 1 2 1 2 1 1 2 2 fx 2 1 2 1 4 2 1 4 Gráfico 2 Função exponencial 20 Unidade Função Exponencial Uma função exponencial é decrescente se 0 a 1 pois sempre que aumentamos os valores de x os valores correspondentes de fx diminuem No caso acima temos que a função f é decrescente com a 1 2 Em Síntese Se a 1 a função é crescente Se 0 a 1 a função é decrescente Para Pensar O gráfico de uma função exponencial não toca o eixo x encontrandose todo acima desse eixo pois para todo x temos fx ax 0 O gráfico de uma função fx ax é chamado curva exponencial e corta o eixo das ordenadas no ponto de coordenadas 0 1 Na função exponencial fx ax o domínio contradomínio e o conjunto imagem são definidos por Df R CDf R e Imf R Equação Exponencial Equações exponenciais são aquelas em que a incógnita aparece nos expoentes Exemplos Para resolver uma equação exponencial são reduzidos os dois membros da equação a potências de mesma base Para isso utilizamse as propriedades das potências vistas anteriormente Exemplo Resolva as equações abaixo 4x 8 3x 1 81 Transformase a equação dada em uma igualdade de potências de mesma base 21 4x1 42x2 x 1 2x2 x 1 2x 4 x 2x 4 1 3x 3 x 1 S 1 73x4 492x3 73x4 722x3 73x4 74x6 3x 4 4x 6 4x 3x 4 6 x 10 S 10 23x1 42x3 83x 23x1 222x3 233x 23x1 24x6 29x 23x14x6 29x 27x5 29x 7x5 9x 9x 7x 5 2x 5 x 5 2 S 5 2 Em algumas equações exponenciais não é possível reduzir ambos os membros da equação a uma potência de mesma base Nesses casos usamse alguns artifícios de cálculo Exemplo 1 Determinar a solução da equação 9x 103x 9 0 Inicialmente a equação é escrita de outra maneira 32x 103x 9 0 3x2 103x 9 0 Pense 32x 3x2 22 Unidade Função Exponencial Agora 3x é substituído por y y2 10y 9 0 Ao substituir é encontrada uma equação do segundo grau que é resolvida da seguinte forma y2 10y 9 0 a 1 b 10 c 9 b2 4ac 102 419 100 36 64 As raízes são 1 e 9 Agora voltase à igualdade para substituir os valores encontrados de y e determinar a solução da equação exponencial Para y 1 há 3x 1 3x 30 x 0 Para y 9 3x 9 3x 32 x 2 S 02 Exemplo 2 Determinar a solução da equação 2x2 2x 1 18 Aqui é utilizada a propriedade 2m 2n 2mn 22 2x 21 2x 18 Substituímos 2x por y 4y 1 2 y 18 mmc 2 8y1y 2 36 2 23 9y 36 y 4 Como 2x y 2x 4 2x 22 x 2 S 2 Trocando Ideias Você se lembra da restrição a 0 e a 1 Veja porque são necessárias para fx ax Se a 1 teríamos uma função constante e não exponencial pois 1 elevado a qualquer x real resultaria em 1 Neste caso fx 1x equivale a fx 1 que é uma função constante Para a 0 quando se estuda a potenciação constatase que 00 é indeterminado então fx 0x seria indeterminado quando x 0 No caso de a 0 não se esqueça de que não existe a raiz real de um radicando negativo e índice par portanto se houver a 3 e x 1 4 o valor de fx não será um número real pois haverá Inequação Exponencial Inequação exponencial é toda desigualdade cuja incógnita está no expoente Exemplo 3x1 27 4x3 1 25x 5 Para resolver uma inequação exponencial você deve se lembrar que a função exponencial fx ax é crescente para a 1 e decrescente para 0 a 1 ou seja Se a 1 fx ax é crescente ax1 ax2 x1 x2 24 Unidade Função Exponencial Note que o sentido da desigualdade se mantém Gráfico 3 Inequação exponencial Se 0 a 1 fx ax é decrescente ax1 ax2 x1 x2 Note que o sentido da desigualdade é invertido Gráfico 4 Inequação exponencial Exemplo resolver as inequações a seguir 5x 25 5x 52 x 2 25 Note que o sentido da desigualdade se manteve pois a base a 5 é maior que 1 Portanto S x R x5 3x1 9x2 3x1 32x2 3x1 32x4 x 1 2x 4 x 2x 4 1 x 5 inverte o sinal da desigualdade pois multiplicamos os dois lados da desigualdade por 1 x 5 Note que o sentido da desigualdade se manteve pois a base a 3 é maior que 1 Portanto S x R x5 Note que o sentido da desigualdade se inverte pois a base a 23 é menor que 1 Portanto S x R x 1 07xx3 049x2 26 Unidade Função Exponencial Resolvendo esta equação do segundo grau encontrase Note que o sentido da desigualdade se inverte pois a base a 07 é menor que 1 Portanto S x R x1 e x4 Separar em duas inequações Resolver separadamente Fazendo a intersecção há S x R 0 x 12 27 Material Complementar Para aprofundar seus estudos sobre a função exponencial consulte as seguintes indicações httpeducacaouolcombrmatematicafuncaoexponencialjhtm httpeducacaouolcombrdisciplinasmatematicafuncaoexponencialaplicacoesembiologia quimicaematematicafinanceirahtm LIMA E L Crescimento Linear e crescimento exponencial Revista do Professor de Matemática RPM n 33 p 16 Quais as raízes da equação 2x x2 Revista do Professor de Matemática RPM n 3 p 18 et al A Matemática do Ensino Médio Rio de Janeiro SBM 1997 Coleção do Professor de Matemática 1 Capítulo 8 28 Unidade Função Exponencial Referências BIGODE A J L Projeto Velear Matemática 9º ano São Paulo Scipione 2012 DANTE L R Matemática contexto e aplicações 1º ano São Paulo Ática 2011 PAIVA M Matemática volume único São Paulo Moderna 1999 RIBEIRO J Matemática Ciência e linguagem volume único São Paulo Scipione 2007 wwwcruzeirodosulvirtualcombr Campus Liberdade Rua Galvão Bueno 868 CEP 01506000 São Paulo SP Brasil Tel 55 11 33853000
Envie sua pergunta para a IA e receba a resposta na hora
Texto de pré-visualização
Função Exponencial Material Teórico Responsável pelo Conteúdo Profa Ms Conceição Aparecida Cruz Longo Revisão Textual Prof Ms Claudio Brites 5 Introdução O símbolo da Potência Função Exponencial Nesta Unidade você inicia mais um estudo sobre as funções exponenciais Este conteúdo lhe permitirá rever os conceitos de potenciação e radiciação bem como suas propriedades que servirão como embasamento para os estudos das equações exponenciais das funções exponenciais e dos gráficos das funções exponenciais Não se esqueça consulte o material teórico na íntegra Faça as atividades Fique atento às datas de entrega das tarefas avaliativas Enfim ao concluir seus estudos nesta Unidade você terá vencido mais uma importante etapa no seu curso Nesta unidade trataremos das funções exponenciais A função exponencial é uma das mais importantes para o estudo e explicação de inúmeros fenômenos naturais e também para o projeto de incontáveis máquinas tornandose assim uma das ferramentas indispensáveis para físicos químicos biólogos e também engenheiros Função Exponencial Equação Exponencial Inequação Exponencial 6 Unidade Função Exponencial Contextualização Nesta contextualização você estudará uma aplicação de funções exponenciais lendo o seguinte artigo extraído do jornal O Globo de 21 maio 2011 Pense neste trecho aumentou exponencialmente Em algum momento você já deve ter lido ou ouvido uma notícia em que se fala sobre aumento exponencial ou decréscimo exponencial Que tal dar uma olhada no que diz o dicionário Exponencialmente ou exponencial significa algo que é considerado acima ou abaixo do comum ou que tem grande variação Ex crescimento exponencial1 Suponha que neste município a cada ano o número de casos de dengue aumente aproximadamente dez vezes em relação ao ano anterior e esse padrão se mantenha nos anos seguintes Logo 2010 17 casos 2011 17 x 10 170 casos aproximadamente 2012 17 x 10 x 10 1 700 casos aproximadamente 2013 17 x 10 x 10 x 10 17 000 casos aproximadamente 2014 17 x 10 x 10 x 10 x 10 170000 casos aproximadamente E assim sucessivamente Agora vamos chamar de Qt a quantidade de casos de dengue a cada ano e t a quantidade de anos a fim de poder escrever da seguinte forma 1 Fonte httpwwwpriberamptdlpoexponencialmente 7 Considerando o ano de 2010 como t 0 2010 17 x 100 2011 17 x 10¹ 2012 17 x 10² 2013 17 x 10³ 2014 17 x 104 Ano t 17 x 10t Assim a função que expressa o número de casos de dengue de acordo com o ano t é Qt 17 10t Se nada for feito para controlar a dengue em 2016 teremos Qt 17 106 Qt 17 1 000 000 Qt 17 000 000 dezessete milhões de casos Um valor considerado absurdo certamente Lembrase do que dizia o dicionário Exponencialmente ou exponencial significa algo que é considerado acima ou abaixo do comum ou que tem grande variação grifos nossos Pense nisso Vejamos agora este outro exemplo Vunesp SP Duas funções ft e gt fornecem o número de ratos e o número de habitantes de uma certa cidade em função do tempo t em anos respectivamente num período de 0 a 5 anos Suponha que no tempo inicial t 0 existiam nessa cidade 100 000 ratos e 70 000 habitantes que o número de ratos dobra a cada ano e que a população humana cresce 2 000 habitantes por ano Encontre a As expressões matemáticas das funções ft e gt b O número de ratos que haverá por habitante após 5 anos Pense primeiro na quantidade de ratos Em t 0 temos f0 100 000 100 000 x 20 Em 1 ano temos f1 200 000 100 000 x 21 Em 2 anos temos f2 400 000 100 000 x 22 Em 3 anos temos f3 800 000 100 000 x 23 Em 4 anos temos f4 1 600 000 100 000 x 24 Em t anos temos ft 100 000 x 2t ft 100 000 2t 8 Unidade Função Exponencial E para a quantidade de pessoas Em g 0 temos g0 70 000 Em 1 ano temos g1 70 000 2 000 Em 2 anos temos g2 70 000 2 000 x 2 Em 3 anos temos g3 70 000 2 000 x 3 Em 4 anos temos g4 70 000 2 000 x 4 Em t anos temos gt 70 000 2 000 x t gt 70 000 2 000t Para resolver o item b calculamos o quociente entre o número de ratos e de pessoas daqui a cinco anos Logo após cinco anos existirão nessa cidade quarenta ratos por habitante 9 Introdução Primeiro faremos uma revisão de potenciação Você conhece a lenda do xadrez O xadrez é um dos jogos mais antigos do mundo Foi criado há séculos na Índia A história do jogo conta que um rei chamado Sheram ficou entusiasmado pela criação do jogo novo Sessa era professor e o inventor do jogo e foi recompensado pelo rei pelo invento realizado Como era uma pessoa humilde o pedido que fez ao rei foi de receber um grão de trigo pela primeira casa do tabuleiro de xadrez dois grãos pela segunda casa quatro grãos pela terceira oito pela quarta e assim por diante até completar as 64 casas do tabuleiro de xadrez O Rei Sheram ficou admirado pelo pedido tão modesto do inventor que imediatamente ordenou aos seus sábios o cálculo do número de grãos para que fossem entregues em um saco ao inventor Contudo o rei ficou espantado com o resultado fornecido pelos sábios pois esse número era tão grande que não caberia dentro de um saco nem dentro de todos os sacos existentes na Terra Como foi realizado o cálculo feito pelos sábios para se chegar ao número 18 446 744 073 709 551 615 Primeira casa 1 grão Segunda casa 1 2 2 grãos Terceira casa 2 2 4 grãos Quarta casa 2 2 2 8 grãos Quinta casa 2 2 2 2 16 grãos E assim por diante até completar as 64 casas do tabuleiro de xadrez chegando ao resultado gigantesco Trocando Ideias Para conhecer mais sobre o assunto acesse httpeducacaouolcombrplanosdeaulafundamentalmatematicapotenciacaonotabuleiro dexadrezhtm Assim Exemplo 53 5 5 5 125 3 fatores iguais Fonte ThinkstockGetty Images 10 Unidade Função Exponencial O símbolo da Potência Podemos dizer então que para indicarmos multiplicações com fatores iguais o homem criou a potenciação Assim para indicar 2 2 2 2 2 por exemplo usamos o símbolo 25 denominado potência de base 2 e expoente 5 Nomenclatura 25 2 2 2 2 2 32 Assim 2 é a base 5 é o expoente e 32 é a potência A base é o fator que se repete O expoente é o número de vezes que repetimos a base A potência é o resultado Potências de base real com expoente inteiro Exemplos 26 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 64 42 4 x 4 16 35 3 x 3 x 3 x 3 x 3 243 63 6 x 6 x 6 216 Todo número diferente de zero e elevado a zero é um 20 1 30 1 100 1 Todo número diferente de zero e elevado a um é o próprio número 151 15 201 20 121 12 11 Base zero e qualquer número no expoente o resultado é zero 05 0 012 0 025 0 Base negativa e expoente ímpar resultado negativo 45 4 x 4 x 4 x 4 x 4 1024 33 3 x 3 x 3 27 27 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 128 Base negativa e expoente par resultado positivo 24 2 x 2 x 2 x 2 16 62 6 x 6 36 82 8 x 8 64 Explicando algumas propriedades Potências de bases iguais Multiplicação conservase a base comum e somamos os expoentes aman am n Exemplos 37 x 35 375 312 58 x 53 583 511 24 x 22 242 242 22 53 x 3 x 58 x 35 538 x 315 511 x 36 Divisão conservase a base comum e subtraímos os expoentes Exemplos 28 25 285 23 512 55 5125 5125 517 63 27 6 23 631 273 62 273 62 210 Potências de Expoentes Iguais Multiplicação multiplicase as bases e conservamos o expoente comum am bm abm 12 Unidade Função Exponencial Exemplos 37 x 27 3 x 27 67 29 x 35 x 26 x 310 29 x 26 x 35 x 310 296 x 3510 215 x 315 2 x 315 615 Divisão dividese as bases e conservamos o expoente comum am bm a bm Exemplos 87 27 8 27 47 610 35 62 37 610 623537610 2 35 7 6102 357 612 312 6 312 212 Consequência todo número diferente de zero elevado a zero é igual a um a0 1 a 0 Assim an an ann a0 1 Potências de potência para escrever a potência elevada a outro expoente mantémse a base e multiplicamse os expoentes amn amn Exemplos 223 22 22 22 2222 26 64 224 22 22 22 22 22222 28 256 Potências de expoente negativo invertese a base da potência e depois mudase o sinal do expoente para positivo e então é resolvida normalmente aplicando as propriedades vistas anteriormente amn amn Exemplos 13 Potências de base 0 quando a base do expoente é zero o resultado será sempre zero para qualquer valor que seja colocado no expoente com exceção do zero 0n 0 se n 0 00 indeterminação 0n impossível se n 0 Em síntese Outros exemplos ATENÇÃO amn amn Veja por exemplo 234 212 e 234281 Para saber mais acesse httpgoogl6vjQsR 14 Unidade Função Exponencial Agora uma revisão de radiciação Figura 2 Tirinha intitulada Guaraná e Pirrixa e a raiz quadrada Fonte httpguaranaeturmablogspotcombr201207guaranaepirrixaeraizquadradahtml Dado um número real a não negativo e um número natural n n 1 chamase raiz n ésima enésima de a o número real e não negativo b tal que bn a Importante Considere dois casos 1º caso sendo a um número real não negativo e n um número inteiro positivo temse que Exemplos 2º caso sendo a um número real negativo e n um número inteiro positivo temse que 15 Exemplos Propriedades dos radicais Considerando a e b reais não negativos m inteiro n aos naturais não nulos temos as seguintes propriedades 1ª propriedade Exemplos 2ª propriedade Exemplos 3 5 3 5 2 8 2 8 16 4 3ª propriedade Exemplos 16 Unidade Função Exponencial 4ª propriedade a a e a a m n m p n p m n n p m p Exemplos 56 56 56 10 10 10 2 3 2 4 3 4 8 12 6 10 10 2 3 5 6 2 5ª propriedade Exemplos Racionalização de denominadores São três casos 1 caso o radical do denominador possui índice 2 Exemplos O valor de uma fração não se altera quando multiplicamos seu numerador e seu denominador por um mesmo número pois isso equivale a multiplicar essa fração por 1 17 2 caso o radical do denominador possui índice diferente de 2 Exemplos a 5 2 5 2 2 2 5 2 2 5 2 2 5 2 2 2 3 2 3 1 3 1 3 1 3 2 1 3 1 3 3 3 3 b 6 3 6 3 3 3 6 3 3 6 27 3 6 27 3 2 27 4 4 3 4 3 4 3 4 1 3 4 4 4 4 4 4 3 caso o denominador é um binômio em que pelo menos um dos termos é um número irracional sob a forma de radical Exemplos Função Exponencial Vamos à função fx ax Dado um número real a a 0 e a 1 denominase função exponencial de base a uma função f de R em R definida por fx ax ou y ax Exemplos Para Pensar Por que as restrições de a 0 e a 1 foram dadas na definição 18 Unidade Função Exponencial Exemplos Não são funções exponenciais fx 4x fx x2 fx 0x fx 1x Dada a função exponencial fx 2x calcule Figura 3 Gráfico da função exponencial Acompanhe a construção dos gráficos de duas funções exponenciais Atribuise alguns valores para x para encontrar os valores correspondentes de fx Tabela 1 Função Exponencial x fx 2x x fx 2 fx22 2 1 2 1 4 2 1 4 1 fx22 1 1 2 1 2 1 1 2 0 fx 20 1 0 1 1 fx 21 2 1 2 2 fx 22 4 2 4 19 Gráfico 1 Função Exponencial Uma função exponencial é crescente se a 1 pois sempre que aumentamos os valores de x os valores correspondentes de fx também aumentam No caso acima temos que a função f é crescente com a 2 Tabela 2 Função exponencial x fx x 1 2 x fx 2 fx 2 22 4 1 2 24 1 fx 1 21 2 1 2 12 0 fx 0 1 1 2 0 1 1 fx 1 1 2 1 2 1 1 2 2 fx 2 1 2 1 4 2 1 4 Gráfico 2 Função exponencial 20 Unidade Função Exponencial Uma função exponencial é decrescente se 0 a 1 pois sempre que aumentamos os valores de x os valores correspondentes de fx diminuem No caso acima temos que a função f é decrescente com a 1 2 Em Síntese Se a 1 a função é crescente Se 0 a 1 a função é decrescente Para Pensar O gráfico de uma função exponencial não toca o eixo x encontrandose todo acima desse eixo pois para todo x temos fx ax 0 O gráfico de uma função fx ax é chamado curva exponencial e corta o eixo das ordenadas no ponto de coordenadas 0 1 Na função exponencial fx ax o domínio contradomínio e o conjunto imagem são definidos por Df R CDf R e Imf R Equação Exponencial Equações exponenciais são aquelas em que a incógnita aparece nos expoentes Exemplos Para resolver uma equação exponencial são reduzidos os dois membros da equação a potências de mesma base Para isso utilizamse as propriedades das potências vistas anteriormente Exemplo Resolva as equações abaixo 4x 8 3x 1 81 Transformase a equação dada em uma igualdade de potências de mesma base 21 4x1 42x2 x 1 2x2 x 1 2x 4 x 2x 4 1 3x 3 x 1 S 1 73x4 492x3 73x4 722x3 73x4 74x6 3x 4 4x 6 4x 3x 4 6 x 10 S 10 23x1 42x3 83x 23x1 222x3 233x 23x1 24x6 29x 23x14x6 29x 27x5 29x 7x5 9x 9x 7x 5 2x 5 x 5 2 S 5 2 Em algumas equações exponenciais não é possível reduzir ambos os membros da equação a uma potência de mesma base Nesses casos usamse alguns artifícios de cálculo Exemplo 1 Determinar a solução da equação 9x 103x 9 0 Inicialmente a equação é escrita de outra maneira 32x 103x 9 0 3x2 103x 9 0 Pense 32x 3x2 22 Unidade Função Exponencial Agora 3x é substituído por y y2 10y 9 0 Ao substituir é encontrada uma equação do segundo grau que é resolvida da seguinte forma y2 10y 9 0 a 1 b 10 c 9 b2 4ac 102 419 100 36 64 As raízes são 1 e 9 Agora voltase à igualdade para substituir os valores encontrados de y e determinar a solução da equação exponencial Para y 1 há 3x 1 3x 30 x 0 Para y 9 3x 9 3x 32 x 2 S 02 Exemplo 2 Determinar a solução da equação 2x2 2x 1 18 Aqui é utilizada a propriedade 2m 2n 2mn 22 2x 21 2x 18 Substituímos 2x por y 4y 1 2 y 18 mmc 2 8y1y 2 36 2 23 9y 36 y 4 Como 2x y 2x 4 2x 22 x 2 S 2 Trocando Ideias Você se lembra da restrição a 0 e a 1 Veja porque são necessárias para fx ax Se a 1 teríamos uma função constante e não exponencial pois 1 elevado a qualquer x real resultaria em 1 Neste caso fx 1x equivale a fx 1 que é uma função constante Para a 0 quando se estuda a potenciação constatase que 00 é indeterminado então fx 0x seria indeterminado quando x 0 No caso de a 0 não se esqueça de que não existe a raiz real de um radicando negativo e índice par portanto se houver a 3 e x 1 4 o valor de fx não será um número real pois haverá Inequação Exponencial Inequação exponencial é toda desigualdade cuja incógnita está no expoente Exemplo 3x1 27 4x3 1 25x 5 Para resolver uma inequação exponencial você deve se lembrar que a função exponencial fx ax é crescente para a 1 e decrescente para 0 a 1 ou seja Se a 1 fx ax é crescente ax1 ax2 x1 x2 24 Unidade Função Exponencial Note que o sentido da desigualdade se mantém Gráfico 3 Inequação exponencial Se 0 a 1 fx ax é decrescente ax1 ax2 x1 x2 Note que o sentido da desigualdade é invertido Gráfico 4 Inequação exponencial Exemplo resolver as inequações a seguir 5x 25 5x 52 x 2 25 Note que o sentido da desigualdade se manteve pois a base a 5 é maior que 1 Portanto S x R x5 3x1 9x2 3x1 32x2 3x1 32x4 x 1 2x 4 x 2x 4 1 x 5 inverte o sinal da desigualdade pois multiplicamos os dois lados da desigualdade por 1 x 5 Note que o sentido da desigualdade se manteve pois a base a 3 é maior que 1 Portanto S x R x5 Note que o sentido da desigualdade se inverte pois a base a 23 é menor que 1 Portanto S x R x 1 07xx3 049x2 26 Unidade Função Exponencial Resolvendo esta equação do segundo grau encontrase Note que o sentido da desigualdade se inverte pois a base a 07 é menor que 1 Portanto S x R x1 e x4 Separar em duas inequações Resolver separadamente Fazendo a intersecção há S x R 0 x 12 27 Material Complementar Para aprofundar seus estudos sobre a função exponencial consulte as seguintes indicações httpeducacaouolcombrmatematicafuncaoexponencialjhtm httpeducacaouolcombrdisciplinasmatematicafuncaoexponencialaplicacoesembiologia quimicaematematicafinanceirahtm LIMA E L Crescimento Linear e crescimento exponencial Revista do Professor de Matemática RPM n 33 p 16 Quais as raízes da equação 2x x2 Revista do Professor de Matemática RPM n 3 p 18 et al A Matemática do Ensino Médio Rio de Janeiro SBM 1997 Coleção do Professor de Matemática 1 Capítulo 8 28 Unidade Função Exponencial Referências BIGODE A J L Projeto Velear Matemática 9º ano São Paulo Scipione 2012 DANTE L R Matemática contexto e aplicações 1º ano São Paulo Ática 2011 PAIVA M Matemática volume único São Paulo Moderna 1999 RIBEIRO J Matemática Ciência e linguagem volume único São Paulo Scipione 2007 wwwcruzeirodosulvirtualcombr Campus Liberdade Rua Galvão Bueno 868 CEP 01506000 São Paulo SP Brasil Tel 55 11 33853000